新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)本文是一份新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练重难点突破的精品文档，主要讲解了三角形的相关概念和性质。

研究目标包括：认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系；理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作图提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题；能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用；了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。

重点梳理了三角形的相关概念和性质，其中包括三角形三边的关系，三角形按“边”分类，三角形的重要线段（包括高、中线、角平分线）等。

三角形三边关系的应用包括判断三条线段能否组成三角形，求已知两边长的第三边长的取值范围等。

同时，三角形还可以按边分类，分为不等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形。

三角形的重要线段包括高、中线和角平分线，它们的作用分别是作垂线、分割三角形、平分角度等。

此外，三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种，分别是锐角三角形交点在三角形内、直角三角形交点在直角顶点、钝角三角形交点在三角形外。

最后，本文还提到了多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念，以及多边形内角和及外角和的计算方法，帮助学生掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。

已知一个多边形的边数，可以求出它的内角和。

反之，已知一个多边形的内角和，可以求出它的边数。

多边形的外角和恒等于360°，与边数无关。

根据外角和公式，可以求出正多边形的边数，也可以根据正多边形的边数求出外角度数。

FA B C DE11题三角形全章复习知识点一：1.三角形的定义：由不在同一条_________上的三条线段___________组成的图形叫做三角形．2.三角形的分类（1）按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形__________　______________（2）按角分类： 3.三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和__________第三边．任意两边之差___________第三边。

即已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a 、b ，则第三边的长c 的取值范围是_______________________． 基础知识训练练习1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）A ．3cm ，12cm ，8cmB ．6cm ，8cm ，15cmC ．2.5cm ，3cm ，5cmD ．6.3cm ，6.3cm ，12.6cm 【变式1】五条线段的长分别是1cm 、2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，以其中三条线段为边可构成__个三角形. 【变式2】已知三角形的两边长分别4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm【变式3】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简|a+b-c|+|b-a-c|-|c+b-a|．练习2．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c 的取值范围是___________． 【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6，则周长L 的取值范围是（ ） A ．6<L<15 B ．6<L<16 C ．11<L<13 D ．12<L<16【变式2】已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，且它的周长大于16cm ，则第三边长为_________________．【变式】如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8【变式】小芳要画一个有两边长分别为5cm 和6cm 的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ） A ．16cm B ．17cm C ．16cm 或17cm D ．11cm【变式】小芳要画一个有两边长分别为2cm 和6cm 的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ） A ．10cm B ．14cm C ．10cm 或14cm D ．12cm 知识点二：三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,_____和___之间的线段叫做三角形的高 ①锐角三角形的三条高在三角形_______部，三条高的交点也在三角形_______部；②钝角三角形有两条高在三角形的___部，另一条高在三角形的____部，三条高的交点在三角形的__ 部； ③直角三角形有两条高在三角形的__ _,另一条高在三角形的____部，三角三条高的交点是直角三角形的____________．2、三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边___________的连线叫三角形的中线． （1）三角形的中线是___________；（2）三角形三条中线全在三角形____________部； （3）三角形三条中线交于三角形_________部一点，这一点叫三角形的____________． （4）中线把三角形分成面积_______________的两个三角形．3、三角形的角平分线从三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，那么这个角的顶点与交点的连线叫三角形的角平分线 （1）三角形的角平分线是___________；（2）一个三角形有__________条角平分线，并且都在三角形的___________部； （3）三角形三条角平分线的交点到三角形____________的距离相等. 知识点四：三角形具有__________性． 基础知识练习 ：1.、对应练习：如图所示，画△ABC 的BC 边上的高，下列画法正确的是（ ）．2.将三角形面积四等分（至少四种）3.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( )A.是边BB ′上的中线 B.是边BB ′上的高 C.是∠BAB ′的角平分线 D.以上三种都是4.不是利用三角形稳定性的是( ) A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.照相机的三角架 D.矩形门框的斜拉条5.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm 和15cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．知识点五：1:三角形的内角和定理:三角形内角和为 °2:三角形外角的性质(1)三角形的一个外角与相邻的内角 ;(2)三角形的一个外角等于不相邻的 ;(3) 三角形的一个外角大于任何一个 的内角.（4）三角形外角和为 °3.直角三角形两锐角 ，反之对应练习1、△ABC 中，若∠A ＝350,∠B ＝650,则∠C ＝___；若∠A ＝1200,∠B ＝2∠C ，则∠C ＝___2、三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为_______； 3.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE= ° 3.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形4.△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=____5..△ABC 中，∠B =40°，∠C =60°，AD 是∠A 的平分线，则∠DAC 的度数为_____． 6．如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，∠B =50°，∠CFD =60°，则∠ACB =________．7.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )A.90°B.110°C.100° D.120° 8.(1) 如图1，123456+++++∠∠∠∠∠∠ _____． (2). 如图2，A B C D E ++++=∠∠∠∠∠ =_____. (3).如图3,1234+++=∠∠∠∠_____．9.如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向。

新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)本文介绍了八年级上册数学中三角形的相关知识点。

研究目标包括正确表示三角形，理解三角形三边之间的关系，掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用，掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题。

首先，文章介绍了三角形三边之间的关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这一定理的应用可以判断三条线段能否组成三角形，同时可以求出第三边长的取值范围。

接着，文章将三角形按边分类，分为不等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形。

同时，文章介绍了三角形的重要线段，包括三角形的高、中线、角平分线。

三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外。

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心。

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心。

最后，文章提到了多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念，探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。

在解决多边形问题时，可以先将多边形分割成若干个三角形，然后利用三角形的内角和公式求解；3)内角和公式的推导：将多边形分割成(n-2)个三角形，每个三角形的内角和为180°，因此n边形的内角和为(n-2)·180°.2.外角和公式：n边形的外角和为360°(n≥3，n是正整数)．要点诠释：(1)外角和公式的推导：每个顶点的外角之和为360°，因此n边形的外角和为n·360°；2)外角和公式的应用：在解决多边形问题时，可以利用外角和公式求解一些问题，如求一个n边形的某个内角的补角或余角等．1.已知多边形的边数，可通过公式计算出其内角和；已知多边形的内角和，可通过公式计算出其边数。

2023-2024年人教版八年级上册数学的第五章三角形知识点总结一、三角形的定义与分类-定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

-分类：-按边分类：不等边三角形、等腰三角形（两边相等）、等边三角形（三边相等）。

-按角分类：锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（有一个角为90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）。

-特殊三角形：等腰直角三角形（既是等腰三角形又是直角三角形）。

二、三角形的特性与三边关系-特性：-封闭图形。

-稳定性（在生产生活中应用广泛）。

-三边关系：-两边之和大于第三边。

-两边之差小于第三边。

-作用：判断三条线段能否组成三角形，确定第三边的范围，证明线段不等关系。

三、三角形的内角与外角-内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

-推论：直角三角形的两个锐角互余。

-外角定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角。

-外角性质：-一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

-一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

四、三角形中的主要线段-角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段。

性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

-中线：连接一个顶点和它对边中点的线段。

-高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段。

注意：三角形的高不一定在三角形内部。

-交点：-三条角平分线交于一点（内心）。

-三条中线交于一点（重心）。

-三条高线所在直线交于一点（垂心，锐角三角形在内部，钝角三角形在外部，直角三角形在直角顶点）。

五、多边形-定义：由三条或三条以上的线段首尾顺次相接所组成的平面图形。

-内角与外角：-内角和：n边形的内角和= 180°×(n - 2)。

-外角和：多边形的外角和总是360°。

新人教版八年级数学上册知识点总结归纳+重点整理新人教版八年级上册数学各章节知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.n-·180°⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.n-条对角线，⑸多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引(3)第十二章全等三角形第一节：全等三角形形状大小放在一起完全重合的图形，叫做全等形。

换句话说，全等形就是能够完全重合的图形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个全等的三角形重合放在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

（人教版）初中八年级数学上册《三角形》重要知识点梳理详解（汇编）11.1 与三角形有关的线段 一、三角形的边三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。

注意点：（1）三条线段（2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接三角形的表示：三角形用符号“△”表示，记作“△ ABC ”， 读作“三角形ABC ”，除此△ ABC 还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB 等.三角形的分类：按角分 按边分等腰三角形：两边相等的三角形叫等腰三角形。

相等的两边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

三角形中三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小 于第三边.）直角三角形 不等边三角形锐角三角形 等腰三角形钝角三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形二、三角形的高、中线与角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。

1、 锐角三角形的三条高交于同一点。

三条高都在三角形的内部。

2、 直角三角形的三条高交于直角顶点.3、 钝角三角形的三条高不相交于一点。

钝角三角形的三条高所在直线交于一点。

总结：三角形的三条高的特性锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量 3 1 1 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 高之间是否相交 相交 相交 不相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部直角顶点三角形外部三角形的中线：在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线.三角形中线的符号语言：∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=CD =1/2 BC三角形的角平分线：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。

∵AD 是 △ ABC 的角平分线 ∴∠BAD = ∠CAD =1/2∠BAC 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部三、三角形的稳定性三角形的三条高所在直线交于一点三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部。

人教版八年级数学上册知识点总结和复习要点一、全等三角形1全等三角形的概念与性质概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2全等三角形的判定条件SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。

SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。

HL（直角、斜边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

例子：若△ABC与△DEF中，AB = DE，AC = DF，∠A = ∠D，则根据SAS判定条件，△ABC ≌△DEF。

二、轴对称1轴对称的概念概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2轴对称的性质性质：轴对称图形上对应点到对称轴的距离相等；对应点的连线与对称轴垂直。

例子：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高（中线或顶角平分线）。

三、实数1平方根与立方根的概念平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或三次方根）。

2实数的分类与性质实数可以分为有理数和无理数两大类。

有理数包括整数和分数，而无理数则是无限不循环小数。

实数具有封闭性、有序性和传递性等性质。

例子：√4 = 2，是4的平方根；∛8 = 2，是8的立方根。

四、一次函数1一次函数的概念概念：一般地，形如y = kx + b（k，b是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数。

2一次函数的性质性质：一次函数的图像是一条直线；当k > 0时，函数值y随x的增大而增大；当k < 0时，函数值y随x的增大而减小。

例子：函数y = 2x + 1是一次函数，其图像是一条斜率为2、截距为1的直线。

五、整式的乘法与因式分解1整式的乘法整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等。

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形；(2)n 边形共有(3)2n n 条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n 边形的内角和为(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016?长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a 的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a 的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选 B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.举一反三：【变式】（2014秋?孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.（2015春?石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠１的度数，进而得到∠３的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠３计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵ＡE平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．举一反三：【与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。

最新三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．〔1〕三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法一样，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．〔2〕三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．〔3〕三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．BCADC注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有〔 〕个三角形。

A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，那么△ABC 中AC 边上的高是〔 〕A ：AEB ：CDC ：BFD ：AF 3、三角形一边上的高〔 〕。

A ：必在三角形部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两局部的是〔 〕。

A ：三角形的角平分线B ：三角形的中线C ：三角形的高线D ：以上都不对5、具备以下条件的三角形中，不是直角三角形的是〔 〕。

人教版八年级数学上册第11章三角形知识点总结复习第11章三角形知识点总结复习1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的角关系三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

人教版八年级数学上册第十一章三角形知识点复习巩固一、思维导图二、知识点复习1. 三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2. 三角形的分类3. 三角形的高、中线与角平分线高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图 .中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点（重心），如图②.角平分线：三条角平分线相交于一点，如图③.4. 三角形的内角和与外角(1)三角形的内角和等于180°；(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.5. 多边形及其内角和在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.n 边形内角和等于(n -2)×180 °(n ≥3的整数）n 边形的外角和等于360°.正多边形的每个内角的度数是 正多边形的每个外角的度数是(2)180,n n -⨯︒360.n︒三、知识点巩固练习知识点1 三角形的三边关系1.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A 4 cm，5 cm，9 cmB 8 cm，8 cm，15 cmC5 cm，5 cm，10 cm D 6 cm，7 cm，14 cm2.（泰州中考）已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为___________知识点2 三角形的重要线段3.如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法不正确的是（）A.BC是△ABE的高B.BE是△ABD的中线C.BD是△EBC的角平分线D.∠ABE=∠EBD=∠DBC4.如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是________.5.如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，AC边上的高为BG，已知AF=6，BC=10，BG=5（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长（3）说明△ABC和△ACD的面积关系知识点3 三角形的内角和与外角和6.如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A.145B.150°C.155°D.1607.如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC.如果∠BAC=65°，∠C=30°，那么∠BDE的度数是_______.8.如图，在△ABC与△DBE中，AC∥DE，点B，C，E在同一直线上，AC，BD相交于点F.若∠BDE=85°，∠BAC=55°，∠ABD：∠DBE=3：4，求∠DBE的度数知识点4 多边形的内角和与外角和9.一个正多边形的边长为2，每个外角都为60°，则这个多边形的周长是（）A.8B.12C.16D.1810.如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形.若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列图形（）A. B. C. D.参考答案1.B2.53.D4.25.解：（1）S △ABC BC·AF=106=30.（2）AC=12（3）S △ABC =2S △ACD6.B7.958.解：∠DBE=409.B10.C。

人教版八年级数学上册知识点整理（完整版）第十一章三角形一、三角形的有关概念（一）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

（二）基本元素1、三个顶点：点A、点B、点C2、三个内角：∠A、∠B、∠C3、三条边（1）表示方法①线段AB、AC、BC②a（∠A所对的边BC用a表示）、b、c（2）三角形的三边关系（依据：两点之间线段最短）①三角形两边之和大于第三边，数学语言：a+b>c，a+c>b，b+c>a。

；②三角形两边之差小于第三边，数学语言：a−b<c，a−c<b，b−c<a。

③判断三条线段能否组成三角形，只需判断“两条较短的线段之和大于第三条”即可。

4、三角形的表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作∆ABC，读作“三角形ABC”。

（三）三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。

二、三角形的分类（一）按边分类1、三边都不相等的三角形2、等腰三角形（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（2）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。

（二）按角分类1、锐角三角形：三个内角都是锐角。

2、直角三角形：有一个内角是直角的三角形。

3、钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。

三、与三角形有关的线段（一）三角形的高1、定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。

从∠ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做∠ABC 的边BC上的高，记作AD∠BC于点D。

3、几何语言（1）AD是三角形的边BC上的高。

（2）AD⊥BC于点D。

4、三角形三条高的位置（1）锐角三角形：三条高及其交点都在三角形内部。

（2）直角三角形：有两条高与两条直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高交于三角形的直角顶点。

第十一章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa-⎧⎨-⎩＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.举一反三：【变式】（2014秋•孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BA C（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵A E平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．举一反三：【与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。

教材解读：三角形与三角形有关的角1.三角形的外角必须满足三个条件：（1）顶点与三角形的一个内角的顶点重合（即共顶点）；（2）一边是三角形的一边（即共边）；（3）另一边是三角形一边的延长线（即共线）.如图，∠ACD是三角形ABC的外角，与三角形ABC有公共顶点C，公共边AC，CD在BC的延长线上.2.三角形外角的个数一个三角形共有六个外角，它们是三对对顶角，在研究和外角有关的问题时，通常在一个顶点处只取一个外角.如图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6都是三角形ABC的外角.3.三角形的外角与相邻的内角是邻补角的关系，与不相邻的内角是不等的关系.如上图，∠1是三角形ABC的外角，∠1与∠A是邻补角.因为∠1＝∠B+∠C，所以∠1与∠B、∠1与∠C都是不等关系.4.三角形的外角和是360°.如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.与三角形有关的线段一、三角形的高及其有关结论1.画出三角形ABC的三条高.三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形内部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.2.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形内部；钝角三角形ABC 三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.3.因为S＝BC×AD=AC×BE=AB×CF，所以BC×AD=AC×BE=AB×CF.二、三角形的中线及其有关结论1.在三角形ABC中画出所有中线.2.无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形内，并交于一点.3.由AF=BF=AB，BD=DC=BC，AE=CE=AC，所以S△ACF=S△BCF=S△ABD=S△ADC=S△ABE=S△BCE.三、三角形角平分线及其有关结论1.画出△ABC所有的角平分线.【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.2.无论什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形内部，并相交于一点.多边形内角和理解多边形内角和的推导可以让我们把公式的来龙去脉弄得一清二楚，从而加深对公式的理解与掌握，更重要的是能够从中学到许多重要的思想方法.对于n边形的内角和公式：n边形的内角和＝（n－2）×180°，其推导方法主要有以下几种：课本方法：从一个顶点出发引n边形的（n－3）条对角线，把n边形分割为（n－2）个三角形（如图1），则这（n－2）个三角形的内角和就是n边形的内角和，从而得到：n边形的内角和＝（n－2）×180°；方法二：在n边形内任取一点，然后把这一点与各顶点连结，将n边形分割为n个三角形（如图2），这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多了一个周角360°，因此n边形的内角和＝180°×n－360°＝（n－2）×180°；方法三：在n边形的一边上取一点，把这一点与各顶点连结，把n边形分割为（n－1）个三角形（如图3），这些三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个平角，因此，n边形的内角和＝（n－1）×180°－180°＝（n－2）×180°；方法四：在n边形外任取一点，然后把这一点与各顶点连结，将n边形分割为n个三角形（如图4），这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多出了两个三角形内角和，因此n边形的内角和＝n×180°－2×180°＝（n－2）×180°.知识梳理：三角形一、学习目标1.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画三角形的角平分线、中线和高.了解三角形的稳定性.2.掌握三角形内角和以及多边形内角和公式，了解多边形外角和性质.3.会欣赏美丽的平面镶嵌，掌握一些简单的平面镶嵌知识.二、知识网络根据知识网络结构图，按其中数码顺序，说出各个数码所指内容，以达到梳理知识的目的.三、几个定义的区别下边的图表给出了三角形中线、三角形的高、三角形的角平分线的区别与联系，希望大家能够掌握，区分开来.与三角形有关的角一、学习目标1.了解三角形的内角和和外角的定义.2.会用平行线的性质和平角的定义说明三角形的内角和等于180°.3.探索并掌握三角形的外角的性质.4.会用三角形内角和定理和三角形外角的性质进行相关的计算和证明.二、知识概要1.三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.三角形内角和反映了三角形三个内角之间的关系，是解决任意三角形关于内角的证明和计算问题的重要依据之一，利用它可以解决以下问题：（1）计算角度的大小，以及利用求出的角度来判断三角形的形状和证明直线垂直.解决这样的问题常常需要设未知数列方程求解.（2）证明角相等.（3）证明角的和、差、倍、分关系.（4）证明角之间的不等关系.2.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.3.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4.常用辅助线的做法：（1）说明角的关系时，如果没有现存的外角可以使用，通常要延长某个角的一边.（2）在进行角度计算时，为了能使用三角形内角和定理和外角性质，通常要构造三角形，这时需要连结某些线段或延长某些线段.三、重点难点本周的重点是三角形的内角和和外角的性质，难点是三角形外角性质的应用.四、知识链接本周知识是以前学过的三角形的基础知识的拓展，也是以后求角度、证明角度相等的有利工具之一.五、中考视点中考对这部分知识的考察主要体现在以下两方面：1.三角形内角和定理的使用.2.三角形外角的性质的应用.与三角形有关的线段一、学习目标1.掌握三角形的概念.2.掌握并会应用三角形三边关系.3.掌握三角形的高、中线和角平分线.二、知识概要1. 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边.3. 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，读做“三角形”.如图：图中AB、BC、CA是三角形的边，有时也用a，b，c表示；点A、B、C是三角形的顶点；∠A、∠B、∠C是三角形的角；三角形ABC记作“△ABC”，读做“三角形ABC”.4. 三角形的高：由三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间线段，叫做这个三角形的高.5.三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线.6.三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线.三、重点难点三角形的高、中线、角平分线的内容和三角形三边关系是本周的重点.三角形的高、中线、角平分线的区别与联系是本周的难点.四、知识链接本周内容是前面学过的三角形的基础知识的拓展，也是以后求面积、求角度有力的工具.五、中考视点本周内容直接考的很少，但是经常与其他知识综合考查，像什么作高求面积，利用角平分线求角度，利用中线求线段等等.多边形内角和镶嵌一、学习目标1.了解多边形有关的概念：边、内角、外角、对角线、正多边形；2.理解并掌握多边形内角和公式与外角和公式；3.通过探索平面图形的镶嵌，知道任何一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面，并能利用这几种图形进行简单的镶嵌设计.二、知识概要1.多边形的有关概念（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（2）多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.（3）多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（4）连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.2.正多边形：各角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.3.n边形内角和：n边形的内角和为（n－2）×180°.4.多边形外角和：多边形的外角和等于360°.5.平面镶嵌：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行衔接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.三、重点难点多边形内角和与外角和的应用是本周的重点，镶嵌是本周的难点.四、知识链接多边形内角和知识由前面学过的三角形内角和知识拓展而来，是平面镶嵌问题的知识基础.五、中考视点多边形内角和与多边形边数的关系；多边形的外角和与多边形边数的关系.第十一章三角形复习小结教学目标：1、回顾本章知识，形成本章知识结构.2、总结本章解题规律，进行跟踪训练.重点：归纳本章知识结构，进行跟踪训练.难点：总结本章解题规律.教学过程：一、回顾本章知识，形成本章知识结构二、双基训练：⒈在活动课上，小红有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长应为8 cm．⒉⊿ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,则△ABC是直角三角形.⒊三角形中至少有一个角不小于60 °；没有对角线的多边形是三角形；一个多边形中，锐角最多有三个；一个四边形截去一个角后可以得到的多边形是三角形或四边形或五边形.⒋一个多边形的每个外角都是30°，则它是十二边形，其内角和是1800°.⒌一个多边形的每个内角都相等，且比它的一个外角大100°，则边数n＝9 .⒍如图⑴，在直角△ABD中，∠D＝90°，C为BD上一点，则x可能是（B）A、10B、20C、30D、40⒎如图⑵有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数为30°的角有（D）A、1个B、2个C、3个D、4个⒏一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为（B）A、正三边形B、正四边形C、正五边形D、正六边形三、例题解析：例1．等腰三角形一腰上的中线将周长分为6和15两部分，求此三角形的腰长. 解：如图等腰△ABC中，AB＝AC,BD是腰AC上的中线，x设AB＝AC＝x ,BC＝y 则AD＝DC＝2①当AB＋AD＝6 , BC＋CD＝15时,即：x ＋2x ＝6，y ＋2x ＝15 解得x ＝4， y ＝13 ∵4＋4＜13∴此时不能组成三角形，故x ＝4， y ＝13不合题意，舍去.②当AB ＋AD ＝15 , BC ＋CD ＝6时,即：x ＋2x ＝15，y ＋2x ＝6 解得x ＝10， y ＝1∵10＋1＞10∴10、10、1能构成三角形.∴此三角形的腰长为10.例2.如图⑶一个四边形ABCD 模板，设计要求AD 与BC 的夹角应为30°，CD与BA 的夹角应为20°.现在已测得∠A ＝80°，∠B ＝70°，∠C ＝90°,请问：这块模板是否合格？并说明理由.解：这块模板合格.理由：延长AD 、BC 相交于点E,延长BA 、CD 相交于点F在△ABE 中∵∠EAB ＝80°，∠B ＝70°∴∠E ＝180°―∠EAB―∠B ＝30°在△CFB 中∵∠FCB ＝90°，∠B ＝70°∴∠F ＝180°―∠FCB―∠B ＝20°∴这块模板合格.例3. ⊿ABC 中，⑴如图⑷，∠DBC 和∠ECB 的角平分线相交于点O ；⑵如图⑸，∠ABC 的角平分线BD 和∠ACE 的角平分线相交于点O ；如图⑹，∠CBD 的角平分线BO 和∠BCE 的角平分线CO 相交于点0,试猜想∠A 与∠D 的关系，并选择其中一个进行证明.提示：⑴∠BOC ＝180°－（∠2＋∠3）＝180°－（∠1＋∠4）＝180°－（∠5＋∠6＋∠7＋∠8）＝180°－（∠BAC ＋∠BOC ）＝90°－2BAC ∠ ⑵∠A ＝322∠-∠＝2O ∠⑶∠BOC ＝180°－2ABC ACB ∠+∠ ＝180°－1802A -∠＝90°＋2A ∠．三、巩固练习：1.有四条线段，长度分别是12cm,10cm,8cm,4cm,选其中的三条组成三角形，则可组成 3 个不同的三角形.2.如果等腰三角形的两边长为5cm 和9cm ，则三角形周长为19cm 或23cm .3.△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶7,则△ABC 是 直角 三角形.4.一个n 边形的每个内角都相等，且比它的一个外角大60°，则边数n ＝ 6 .5..三角形最长边等于10，另两条边的长分别为x 和4，周长为C ，则x 和C 的取值范围分别是 6＜x≤10 ，20＜C≤246.如图⑺，AB ∥CE, ∠C ＝37°，∠A ＝114°，则∠F 的度数为 77°.7.如图⑻所示,△ABC 中AB ＝AC ，请你添加一个条件．．．．AD 平分∠EAC （不唯一），使得AD ∥BC.8.如图⑼，D 、E 是边AC 的三等分点若△ABC 的面积为12㎝2，则△BDC 的面积是8 ㎝2.9.如图⑽，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是300°.10.一个多边形的内角和是1980°，则它的边数是_13 _，它的外角和是360 ° ，共有__65__条对角线. 11.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的15，则这个多边形是（ D ）A 、五边形B 、八边形C 、九边形D 、十二边形12.下列说法不正确的是（ D ）A 、任意形状的一些三角形可镶嵌地面B、用形状大小完全相同的六边形可镶嵌地面C、用形状大小完全相同的任意四边形可镶嵌地面D、用任意一种多边形可镶嵌地面13.用两个正三角形与下面的若干个（B）可以进行平面镶嵌.A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形14.如图⑾，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A、∠1、∠2之间的关系是（B）A、∠A＝∠1－∠2B、2∠A＝∠1－∠2C、3∠A＝2∠1－∠2D、3∠A＝2（∠2－∠1）15.如图⑿,已知∠1＋∠2＝180°，DG∥AC，求证：∠A＝∠DFE.证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°∴∠2＝∠DFE∴AB∥EF∴∠A＝∠3又∵DG∥AC∴∠3＝∠DFE ∴∠A＝∠DFE.16.如图⒀, △ABC中，点D在AC上，且∠ABC＝∠C＝∠BDC, ∠ABD＝∠A,求∠A的度数.解：设∠ABD＝∠A＝x°∵∠BDC＝∠ABD＋∠A∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°∴x°＋2x°＋2x°＝180°∴x＝36，∴∠A＝36°17.如图⒁,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E,∠A＝35°,∠D＝42°,求∠ACD的度数.解：∵DF⊥AB∴∠AFE＝90°又∵∠CEF ＝∠AFE ＋∠A,∠CEF ＝∠ECD ＋∠D∴∠AFE ＋∠A ＝∠ECD ＋∠D又∵∠A ＝35°,∠D ＝42°∴90°＋35°＝∠ECD ＋42°∴∠ECD ＝83°,即∠ACD ＝83°.18.如图⒂,已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，AB ＝10cm,BC ＝8cm,AC ＝6cm.⑴求CD 的长；⑵求△ABE 的面积.解：⑴∵S △ABC ＝12(AC×BC)＝12(AB×CD) ∴12(6×8)＝12(10×CD) ∴CD ＝ 4.8(cm) .⑵∵BE 是AC 边上的中线∴S △ABE ＝12S △ABC ＝12 (682)＝12(cm 2). 19.如图⒂,已知∠xoy ＝90°,点A 、B 分别在射线ox,oy 上移动，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠C 的大小是否随点A 、B 的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C 的大小，如果随点A 、B 的移动而发生变化，请求出变化范围.解：∠C 的大小保持不变.∵BE 是∠ABy 的平分线∴∠3＝∠2＝12∠ABy 又∵AC 平分∠OAB∴∠1＝12∠OAB ∴∠C ＝∠3－∠1＝12∠ABy －12∠OAB ＝12 (∠ABy －∠OAB)＝12∠xoy 又∵∠xoy ＝90°∴∠C ＝45°.。