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巧用关有关结论解题

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巧用有关结论解题
湖南长沙天心区第一中学 刘小兰
向量是一个几何量，是有“形”的，既然向量具有“数”与“形”的两方面的特征，所以向量成为数与形结合的桥梁，善于运用向量的这一特征，同时在解题中，巧用有关结论可以达到事半功倍的效果
一、巧用三点共线有关结论解题
设OA
⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线，P 为平面OAB 内任意一点，且OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ① 若P 、A 、B 三点共线则 λ＋μ=1
② 若P 为AB 的中点，则 λ=μ=12 例1．如图所示，在△ABO 中，OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =14OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ， OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12
OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AD 与BC 相交于点M ，设OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ⃑ ，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，试用a ⃑ ，b ⃑ 表示向量OM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 解：设OM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =mOA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋nOD ⃑⃑⃑⃑⃑ ∵OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =14
OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =4OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 又OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4mOC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋n 2
OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 又∵A 、M 、D 三点共线，C 、M 、B 三点共线
∴{m +n =14m +n 2=1 解之得{m =17n =67
∴OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =mOA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋n 2OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =17a ⃑ +37b ⃑ 例2．若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ⃑ ， OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =ma ⃑ ，OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nb
⃑ ， 求证：1m +1n =3
证明：如图所示，由题意OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =ma ⃑ ，OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nb ⃑ 可知 a ⃑ =1m OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，b ⃑ =1n OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 设M 为AB 的中点
∵G 为△ABO 的重心
∴OG ⃑⃑⃑⃑⃑ =23OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23·12(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=13a ⃑ +13b ⃑ =13m OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +13n OQ ⃑⃑⃑⃑⃑
又∵Q 、G 、P 三点共线
∴13m +13n =1
即1m +1n =3
例1、例2 抓住三点共线及有关结论建立方程，用等量转化的方程思想是解决这类问题的
关键。

二、巧用向量的投影有关结论解题
如图：作AM ⊥OB 交于OB 于M ，设∠AOB =θ
则向量OA
⃑⃑⃑⃑⃑ 在OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影为OM =|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ |·COS θ 例3．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点
则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ·（AB
⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ） （ ） A ．最大值为8 B ．是定值6
C ．最小值为2
D ．与点P 的位置有关
解：如图，设H 为BC 的中点，连AH ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在AH ⃑⃑⃑⃑⃑ 上的投影为AH =√3
又AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC
⃑⃑⃑⃑⃑ =2AH ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ·（AB
⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ）=AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ·2AH ⃑⃑⃑⃑⃑ =2×√3×|AH ⃑⃑⃑⃑⃑ |=6 选B 。

例4．（2012年湖南高考（文）15）.如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为
P ，且AP=3，则AP
⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ = 解：设AC ∩BD =M ，则AC
⃑⃑⃑⃑⃑ =2AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， AM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 上的投影为AP=3 ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2×3×|AP
⃑⃑⃑⃑⃑ |=2×32=18 例3、例4利用数形结合，直观判断一向量在另一向量上的投影值 ，再利用有关结论直接得出结果。

向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数题要结合图形进行分析判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧，如果同时注意有关结论的灵活应用，可减少繁琐的运算。

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“设而不求法”在中学数学解题中的巧用

“设而不求法”在中学数学解题中的巧用

例谈“设而不求法”在中学数学解题中的巧用数学的学习离不开解题，数学学习应该以解题为中心，只有在解题中才能消化所学的知识，只有在解题中才能积极地展开数学思维活动，进而达到融会贯通的目的。

本文就介绍中学数学学习中一种常见而又重要的解题方法——设而不求法，在解数学题时，有时可以考虑设出某些中间变量，但不必将其求出，而是以它们为过渡，帮助我们解题，这就是设而不求地技巧。

它的作用有两个：一是在解题中起桥梁作用，辅助解题；二是因为不直接求出而简化计算。

这种方法在解解析几何题时使用较多，如两曲线相交时，对其交点设而不求，从而快速简捷的求出轨迹方程、弦中点坐标等。

在数列、立体几何等其他问题中也有应用。

为了寻求问题的解决途径，给问题的转化创造必要的条件，常常引进一个或几个起连接作用的辅助元素；把分散的条件集中起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件合结果联系起来，或者转繁难为简易，从而达到转化问题找出解决途径的目的。

所以设立辅助元素而不求出也是一种转化的方法。

那么在解决实际问题时，怎样从已知条件入手来假设辅助元素呢？这就需要你有扎实的数学基本功，开阔的数学思维能力，对一个问题通过分析条件和特征，从解决问题的需要角度来确定。

在使用设而不求的技巧时，常常伴随曲线的定义、几何性质、点参数、曲线系、韦达定理、方程理论、消去法等概念和方法的运用。

下面我们来看几个“设而不求法”在平面解析几何中的具体的应用：1、F 1 、F 2是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个焦点，∠F 1P F 2 = 900，则△F 1P F 2则的面积是多少？思路：设点P 坐标，列出方程组，再消去点P 坐标。

解：设点P 坐标为（x 0,y 0），则由焦半径公式知 |PF 1|= a+ex 0，|PF 2|= a - ex 0。

又∵∠F 1P F 2 = 900 ，故有,))((214)()(0022020⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-++S ex a ex a c ex a ex a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+220222202222S x e a c x e a 两式相加得 S+c 2=a 2，∴S=a 2—c 2=b 2。

巧用二级结论,提高答题速度

巧用二级结论,提高答题速度

给做物理题按上翅膀-巧用二级结论，提高答题速度二级结论”是在一些常见的物理情景中，由基本规律和基本公式导出的推论，又叫“半品”。

由于这些情景和这些推论在做题时出现率高，或推导繁杂，因此，熟记这些“二级结论”，在做填空题或选择题时，就可直接使用。

在做计算题时，虽必须一步步列方程，一般不能直接引用“二级结论”，但只要记得“二级结论”，就能预知结果，可以简化计算和提高思维起点，也是有用的。

细心的学生，只要做的题多了，并注意总结和整理，就能熟悉和记住某些“二级结论”，做到“心中有数”，提高做题的效率和准确度。

运用“二级结论”，谨防“张冠李戴”，因此要特别注意熟悉每个“二级结论”的推导过程，记清楚它的适用条件，避免由于错用而造成不应有的损失。

举个例子，你本来用砖头盖屋时间要慢些，要是你用的预制块盖屋，速度就提高了，现在的高考对答题速度要求很高，记住一些常用的二级结论有助于提高答题速度。

温馨提示1、“二级结论”是常见知识和经验的总结，都是可以推导的。

2、先想前提，后记结论，切勿盲目照搬、套用。

3、常用于解选择题，可以提高解题速度。

一般不要用于计算题中。

下面列出一些“二级结论”，供做题时参考，并在自己做题的实践中，注意补充和修正。

必修一 一、力学：1．几个力平衡，则一个力是与其它力合力平衡的力。

2．两个力的合力：F 大+F 小≥F 合≥F 大－F 小。

三个大小相等的力平衡，力之间的夹角为1200。

3．物体沿斜面匀速下滑，则αμan t =。

4．两个一起运动的物体“刚好脱离”时：貌合神离，弹力为零。

此时速度、加速度相等，此后不等。

二、直线运动：1．在描述运动时，在纯运动学问题中，可以任意选取参照物；在处理动力学问题时，只能以地为参照物。

2．匀变速直线运动：用平均速度思考匀变速直线运动问题，总是带来方便： T S S V V V V t 2221212+=+==3．匀变速直线运动：时间等分时， S S aT n n -=-12 ，位移中点的即时速度V V V S212222=+， V V S t 22>纸带点痕求速度、加速度：TS S V t2212+= ，212T S S a -=，()a S S n T n =--121 4．自由落体：V t （m/s ）： 10，20，30，40，50H 总(m)： ５、２０、４５、８０、１２５ H 分(m)： ５、１５、２５、３５、４５5．竖直上抛运动：对称性：t 上= t 下，V 上= －Ｖ下 6．相对运动：共同的分运动不产生相对位移。

巧用过两圆交点的曲线系方程解题

巧用过两圆交点的曲线系方程解题

巧用过两圆交点的曲线系方程解题河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文Email:zhaojw1968@已知圆A ：2x +2y +1D x +1E y +1F =0与圆B ：2x +2y +2D x +2E y +2F =0，方程：2x +2y +1D x +1E y +1F +λ(2x +2y +1D x +1E y +1F )=0 ①,当λ≠1-时，方程①表示过圆A 与圆B 的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A ，但不能表示圆B ；当λ=1-时，若圆A 与圆B 相交，方程①表示圆A 与圆B 的公共弦所在的直线方程，当圆A 与圆B 相切时，方程①表示圆A 与圆B 的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半功倍的效果，本文将过两圆交点的曲线系方程在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例1求过圆：2x +2y 2x -+2y +1=0与圆：2x +2y +4x 2y -4-=0的交点，圆心在直线：250x y --=的圆的方程.分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析：设所求圆的方程为：2x +2y 2x -+2y +1+(λ2x +2y +4x 2y -4-)=0(λ≠1-).整理得 22(1)(1)(42)2(1)14x y x y λλλλλ++++-+-+-=0， 所以所求圆的圆心为121(,)11λλλλ--++， 由已知知所求圆的圆心在直线：250x y -+=上， 所以1212511λλλλ---⨯+++＝0，解得，λ=8-，代入圆系方程整理得， 所以，所求圆的方程为223418330777x y x y ++--=. 点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数λ不等于1-这一条件，同学们应很好掌握这一方法.二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程例2已知圆O ：222410x y x y +-++=和圆外一点A （3，4），过点A 作圆O 的切线，切点分别为C 、D ，求过切点C 、D 的直线方程.分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO 为直径的圆上，故直线CD 是以线段AO 为直径的圆与圆O 的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点C 、D 在以线段AO 为直径的圆上，由题知，O(1,2-)，∴，线段AO 的中点为（2，1）， ∴以线段AO 为直径的圆的方程为，22(2)(1)10x y -+-=，即224250+---=，x y x y圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：x+3y+3=0，∴直线CD的方程为x+3y+3=0.点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数λ为何值时表示圆，参数λ为何值时表示直线.。

巧用结论 快速解题

巧用结论 快速解题

巧用结论快速解题作者：俞潜来源：《初中生世界·七年级》2016年第02期许多数学题本身就具有规律性，解题时只要找到其中的规律并进行归纳总结，得出结论，问题就可快速解决了.下面将我在计算同一直线上两线段中点间的距离时得到的结论与同学们分享.设点C为线段AB上任意一点，点P、Q、R分别为线段AB、AC、BC的中点，如图1.则PQ=AP-AQ=AB-AC=（AB-AC）=BC.PR=BP-BR=AB-BC=（AB-BC）=AC.QR=RC+QC=BC+AC=（BC+AC）=AB.如果我们把AB称为全线段，AC、BC称为分线段，那么可以得出下面两个结论：【结论一】全线段的中点与一分线段的中点的距离，等于另一分线段长的一半.【结论二】两分线段的中点间的距离等于全线段长的一半.利用以上两个结论，可使计算同一直线上两线段中点间的距离问题，省时、简捷.1. 已知：如图2，设AC=4，BC=6，点P、Q、R分别为线段AB、AC、BC的中点，则QR=_______，PQ=_______，PR=_______.解：由结论2，得QR=AB=（4+6）=5；由结论1，得PQ=BC=×6=3；PR=AC=×4=2.2. 延长线段AB至C，BC=5，取AB的中点D，BC的中点E，若DE=6，则AB的长为（）.A. 5B. 6C. 7D. 无法确定解：画出示意图（图3）.由结论2，得DE=AC=（AB+BC），所以6=（AB+5），AB=7，故选C.同学们只要在学习过程中认真观察，仔细分析，寻找规律，巧用结论，就可提高解题的技巧和能力，快速地解决问题.教师点评：发现数学问题的规律并进行归纳总结，得出结论，对数学学习来说是一个很好的方法，看到你这份细心和认真的思考劲，老师感到非常高兴.计算同一直线上两线段中点间的距离问题是第六章“平面图形的认识（一）”中常见的一类问题，利用这两个结论在解决相关的填空、选择题时会很省时、简捷.（指导教师：朱志伟）。