柯西不等式的应用篇

浅谈柯西不等式的证明及应用刘治和柯西 （Cauchy ）不等式21122 ()n n a b a b a b ++⋯+≤2222221212 ()()n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(,,1,2,)i i a b R i n ∈=⋅⋅⋅， 当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时等号成立。

现将它的证明介绍如下： 证明1（构造法）：构设二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅++222222212112212()2()(),n n n n a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+22212()0n a a a f x ++⋅⋅⋅+≥＞0,恒成立，2222222112212124()()n n n n a b a b a b a a a b b b ∴∆=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≤-4(++)+0,即222222*********()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+(++)+,当且仅当12120(1,2,,),n i i na a a a xb i n b b b +==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=即时等号成立. 证明2（数学归纳法）：1）22211111=),=,=n a b a b =当时,左式(右式显然左式右式，2n =当时，右式=2222222222121211222112()()=()()a a b b a b a b a b a b +++++≥22212112212121122211212()()2=()===a a a b a b a a b b a b a b a b a b b b +++左式，仅当，即时取等号，故=12.n ，时不等式成立 2）假设(,2)n k k N k *=∈≥时，不等式成立，即222222*********()()(),k k k k a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+当且仅当1212k ka a ab b b ==⋅⋅⋅=时取符号。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

柯西施瓦茨不等式数学归纳法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柯西施瓦茨不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在许多领域中都有着广泛的应用。

柯西施瓦茨不等式是由法国数学家柯西（Augustin Louis Cauchy）和瑞士数学家施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）分别独立提出的，后来被称为柯西施瓦茨不等式。

这个不等式可以用来描述内积空间中的向量之间的关系，也可以用来证明各种数学问题。

柯西施瓦茨不等式的数学表达式如下：\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)a和b都是n维向量，\sum_{i=1}^{n} a_i b_i是向量a和b的内积，\sum_{i=1}^{n} a_i^2和\sum_{i=1}^{n} b_i^2分别是向量a和b的范数的平方。

柯西施瓦茨不等式的几何意义是，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的范数的乘积。

这个不等式可以用来证明一系列的数学问题，例如在线性代数、实分析、概率论等领域中经常会用到。

下面我们将通过数学归纳法来证明柯西施瓦茨不等式。

我们来看一下当n=2时的情况。

假设有两个向量a和b，它们的分量分别为a=(a_1,a_2)，b=(b_1,b_2)。

根据柯西施瓦茨不等式的定义，我们有：(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)展开计算可得：这就证明了当n=2时，柯西施瓦茨不等式成立。

假设当n=k时柯西施瓦茨不等式成立，即对于任意k维向量a=(a_1,a_2,...,a_k)和b=(b_1,b_2,...,b_k)，有：假设有两个k+1维向量a=(a_1,a_2,...,a_{k+1})和b=(b_1,b_2,...,b_{k+1})。

x 1 x 2 x 1 x 21 2 1 2 1 21 2 n x 2柯西不等式在解题中的几点应用（二）a) 用柯西不等式证明条件不等式n nn柯西不等式中有三个因式∑ a 2， ∑ b 2，∑ a b 而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不ii =1ii =1i i i =1等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。

又柯西不 等式中诸量 a i ， b i具有广泛的选择余地，任意两个元素 a i ， a j （或b i ， b j ） 的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。

这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。

例：已知 a,b ∈ R + ，a+b=1, x , x ∈ R + ,求证： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 ) ≥ x 1 x 2分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。

若把第二个小括号内的前后项对调一下， 情况就不同了。

证明： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 )= (ax 1 + bx 2 ) • (ax 2 + bx 1 )≥ (a + b )2= (a + b )2x x = x x 。

例、设 x , x , , x ∈ R + , 求证：x 2 x 1 + x 2 x 3+ + x x n x 2 + n x 1≥ x 1 + x 2 + + x n （1984 年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2 + x 3 + + x n + x 1 ) ，也即嵌以因式(x 1 + x 2 + + x n )，由柯西不等式，得( 1 + xx 2 x 3 + + x x n x 2 + n x 1) • (x 2 + x 3 + + x n + x 1 )x 2 x 3x n x 1x 2x 3x nx 1x 2 x 2 x 3 x 3 x n x n x 1 x 1 1⎡⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎤ ⎡ 2222⎤ = ⎢ 1 ⎪ + 2 ⎪ + + n -1 ⎪ + n ⎪ ⎥ • ⎢( ) + ( ) + + ( ) + ( )⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎦ ⎛ x x x x⎫ ≥ 1 • + 2 • + + n -1 • + n • ⎪ ⎝ ⎭= ( x + x + + x )2,12x 2x于 是 1+ x 2 x 3n+ + x x nx 2 + n x 1≥ x 1+ x 2+ + x n .b) 利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的， 但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。

浅析中学数学中柯西不等式的应用（3）2.4 柯西不等式在解析几何中的应用对于柯西不等式不仅在平面和立体几何中有应用，同时也在解析几何中发挥了作用。

例1 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线的准线上，且//BC x 轴。

证明直线AC 经过原点O .分析：xyOABC图2-3如图所示，欲证直线AC 经过原点O ，只须证,,A O C 三点共线即可。

因为AB 是抛物线的焦点弦，可知,A B 两点纵坐标之积为2p -，故可设2(2,2)A pt pt ，2(,)82p p B t t-. 据题意不难得出(,0),(,)222p p p F C t --，从而20(2,2),A pt pt =(,),22p pOC t--=24OA t OC =-，因此,,A O C 三点共线。

2.5 柯西不等式在解其它题方面的应用柯西不等式在整个不等式证明求解当中都起了很大的作用，它与我们的其它知识相结之后，就变得更加灵活，使解题增加了难度。

例1 设123,,a a a ⋅⋅⋅是正实数数列，对所有的1n ≥满足条件21nj j a n =≥∑，证明对所有1n ≥，有21111(1)42nj j a n=≥++⋅⋅⋅+∑ 证明：先证一个更一般的命题：设12,,n a a a ⋅⋅⋅和12,,n b b b ⋅⋅⋅都是正数， 且12n b b b >>⋅⋅⋅> （2-1）若对所有1,2,,k n =⋅⋅⋅，11kkj j j j b a ==≤∑∑ （2-2）则有2211k kj j j j b a ==≤∑∑（2-3）事实上，设10n b +=，由（2-1）和（2-2）可得111111()()nk n kkk j k k j k j k j bb b b b a ++====-≤-∑∑∑∑改变求和次序得1111()()nnnnj k k j k k j k jj k jb b b a b b ++====-≤-∑∑∑∑由此可得211nnjj jj j b a b ==≤∑∑由柯西不等式，有222111()nnnj j jjj i j a b ab===≤∑∑∑所以22221111()()n n nnjj j jjj j j j b a b ab====≤≤∑∑∑∑ 即2211nnj j j j b a ==≤∑∑令1,2,,)j b j n ===⋅⋅⋅则211111(1)42nnnj j j j a n ===≥>=++⋅⋅⋅+∑ 例 2 试问：当且仅当实数01,,,(2)n x x x n ⋅⋅⋅≥满足什么条件时，存在实数01,,,n y y y ⋅⋅⋅，使得2222012n z z z z =++⋅⋅⋅+成立，其中222k k k z x iy =+，i 为虚数单位，0,1,,k n =⋅⋅⋅.证明你的结论。

柯西不等式在高中数学中的应用研究柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。

巧拆常数证不等式例：设a、b、c为正数且互不相等，求证：2/a+b+2/b+c+2/c+a>9/a+b+c证明：将a+b+c移到不等式的左边，化成：(a+b+b+c+c+a)*(1/a+b+1/b+c+1/c+a)=[( √a+b) ²+ ( √b+c) ²+ ( √a+c) ²][(√1/a+b) ²+√1/ b+c) ²+√1/a+c) ²≧(√a+b√1/a+b+√b+c√1/ b+c + √a+c√1/a+c) ²=（1+1+1）²=9 由于a、b、c为正数且互不相等，等号取不到。

附用基本不等式证设，则所证不等式等价于1/x+1/y+1/z>9/x+y+z x+y+z/x+x+y+z/y+x+y+z/z>5 y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6因为y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2 所以上式显然成立。

求某些函数最值例：求函数y=3√x-5+4√9-x的最大值。

函数的定义域为[5，9]，y>0, ，由柯西不等式变形ac+bd≦√(a²+b ²)(c²+d²)则y=3√x-5+4√9-x≦√3²+4²*√(√x-5) ²+( √9-x) ²=6*2=10.函数仅在3√9-x=4√x-5，即x=161/25时取到。

（1） 设B A ,为n 阶正定矩阵，则成立()0tr AB >。

证明 因为B A ,为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵T 使得，A TT '=，1()AB T T BT T -'=，显然T BT '是n 阶正定矩阵，它的特征值全为正的， 由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是1()(())()tr AB tr T T BT T tr T BT -''==。

（2）设B A ,为n 阶半正定矩阵，则成立()0tr AB ≥。

证明 对任意0ε>，有,I A I B εε++为n 阶正定矩阵，(()())0tr I A I B εε++>令0ε+→，由连续性,可知, ()0tr AB ≥。

定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。

证明 证法一 对区间],[b a 的任意分割∆：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 任取 ],[1i i i x x -∈ξ，，n i ,,2,1 =，记1--=∆i i ix x x ，i ni x ∆=∆≤≤1max )(λ；由于成立 |)()(|1iiini xg f ∆∑=ξξ 21212121)|)(|()|)(|(i i ni i i ni x g x f ∆∆≤∑∑==ξξ，在上式中，令0)(→∆λ取极限，则得到212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤ ；证法二 考虑二次函数dx x g x f ba2)]()([)(λλϕ+=⎰0)()()(2)(222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f dx x f bab ab aλλ，),(+∞-∞∈∀λ；如果0)(2>⎰dx x gba，在上式中取dxx g dxx g x f b aba⎰⎰-=)()()(2λ，得到0))()(()(1)(222≥-⎰⎰⎰dx x g x f dxx g dx x f bababa，从而dx x g dx x f dx x g x f bab ab a)()())()((222⎰⎰⎰≤，于是成立212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤；如果0)(2=⎰dx x g ba，则对),(+∞-∞∈∀λ，成立0)()(2)(2≥+⎰⎰dx x g x f dx x f babaλ ，必有0)()(=⎰dx x g x f b a，此时自然成立，212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤。

浅议柯西不等式及其变式的应用
柯西不等式是微积分领域不可或缺的数学思想之一，为学习者们提供无限的想
象空间以及涉及和探索不同数学概念的可能性。

它的变式在理论和实际生活中都有广泛的应用，能够有效解决复杂的数学问题，丰富学习者的知识体系。

柯西不等式的十分重要的异质性体现在它的核心概念：它结合了对凸性函数的
分析，它能够更为有效地灵活地反映函数的图像，浓缩了函数表达式中的详细信息，省略了无关紧要的内容，使得计算结果更加简洁高效。

柯西不等式的变式应用广泛，特别是在优化理论和统计学中，其中有许多数学
问题可以精确地使用最小化或最大化柯西不等式来求解。

此外，柯西不等式还用于数据处理，大数据分析以及问题解决，能够为学习者提供全面而精细的解答。

柯西不等式是数学研究的重要方法，尤其在涉及数学建模、偏微分方程解法等
领域中都十分重要，同时它也能为实际生活中的科学研究搭建宽泛的框架。

柯西不等式的变式应用范围更是大，因为柯西的基本概念不仅与凸性函数有关，而且还可以扩展至更多的方向，为学习者的探索带来了无穷的可能性。

浅析中学数学中柯西不等式的应用刘小菲引言：柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。

它在20届的IMO ，26届的IMO 以及1987年CMO 集训队试题等数学竞赛题中都有直接或者间接利用到。

作为一个基础不等式，它在高等数学中也起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，并且对证明其它不等式都有很大的作用。

本文先从三个不同的方法出发给出了柯西不等式的证明，并结合近年来中学数学，包括中学数学竞赛中的实例，采用从易到难的方法讨论了柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解几何问题等方面的应用，并且描述了柯西不等式的几何意义，以及柯西不等式的推广形式。

1. 柯西不等式的证明柯西不等式的内容是：定理：设,i i a b R ∈（i=1,2……n ），则222111n nn i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑（1-1） 当且仅当1212......n nb b b a a a ===时，不等式等号成立。

对于这个定理有如下证法。

证1：作关于x 的二次函数222111()2n n ni i i i i i i f x a x a b x b ===⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑若210ni i a ==∑，即12......0n a a a ====，显然不等式成立。

若210ni i a =≠∑，则有2221122()()()......()0n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥且210nii a =>∑，所以222111[2()]4()()0n n ni i ii i i i a b a b ===-⋅≤∑∑∑故 222111()()()n n niii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑从上面的证明过程看出，当且仅当1212n nb b b a a a ==⋅⋅⋅=时，不等式取等号。

第十讲 柯西不等式的应用技巧一、知识概要 定理: 设12,,n a a a ,12,,n b b b 是两组实数,则有222111n nn i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑,其中等号成立当且仅当i i a b λ=,(1,2,3i n =.),其中λ是常数. 推 论１：设12,,n a a a 是正实数,则21212111()()n na a a n a a a ++++++≥, 其中等号成立当且仅当12n a a a ===.推论2：设12,,n a a a 是实数,则有2211nn i i i i n a a ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑,其中等号成立当且仅当12n a a a ===,(1,2,3i n =.).变形１：2111nnn i i i i i i i i a a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑.变形2: 22111nnn i i i i i i iab a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑. 变形3 :1ni =.变形4: 22111()ni nii ni iii a a b b===≥∑∑∑.二、解题指导 1.常数的巧拆、增添例1.当,,a b c 是正实数，求证：32a b c b c a c b a ++≥+++.例2 .设123,,,,n x x x x 为任意实数，证明：1222222211212111nn x x x x x x x x x +++<+++++++奥 204 )2.项的增添例3.已知非负实数123,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=，证明：1223131231111nn n n a a a a a a a a a a a a a -++++++++++++++++存在最小值，并求出最小值.3.依系数构建柯西不等式例4.已知,x y 为实数，且满足22326x y +≤，求证：2x y +例5.已知,,,a b c d 是实数，且满足21a ≤，225a b +≤,222230,a b c d +++≤22214,a b c ++≤222230,a b c d +++≤ 求证: 222211110234a b c d +++≤变式：10a b c d +++≤.4.待定系数的巧设例 6.求最大的正数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数,,x y z 成立的不等式：xy yz λ+.5.因式分解构建两个和式的乘积例7.已知,a b 为正实数，且有111a b+=，试证明：对每一个n N +∈，都有21()22n n n n n a b a b ++--≥-.6.增加因式构建两个和式的乘积 例8. 设12,,n a a a R +∈ 12,,n a a a R +∈，且121n a a a +++=，求证：222211212231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++.例9.已知,,a b c 是正实数，且2221112111a b c ++=+++，求证：32ab bc ac ++≤.三、习题演练 1.已知12,,n a a a 是正实数，12n s a a a =+++求证：12121n n a a ans a s a s a n +++≥----.2. 设123,,,(1)n a a a a n >是实数，1ni i A a ==∑，且221111nn i i i i A a a n ==⎛⎫+< ⎪-⎝⎭∑∑，试证：2(1)i j A a a i j n <≤<≤.3.设方程432210x ax x bx ++++=至少有一个实数根，证明：228a b +≥.4.设()P x 是正系数多项式，如果1()()1P x P x ≥对于x=1成立，则对一切正数都有1()()1P x P x≥5.若352x ≤≤，则<(p 自主招２６)6.已知0,0a b >>，求证：1112a b a ba nb++++++7.设123,,,,n a a a a R +∈求证：2121222223341212()2()n nn a a a a a a a a a a a a a a a +++≤+++++++++。

希尔伯特空间柯西施瓦布不等式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：希尔伯特空间是数学中重要的概念，它是一个拓扑线性空间，满足完备性和内积结构的特殊空间。

希尔伯特空间的研究广泛应用于数学分析、泛函分析、量子力学等领域。

在希尔伯特空间中，存在着许多重要的不等式，其中柯西施瓦布不等式是其中之一。

柯西施瓦布不等式是希尔伯特空间中非常重要的不等式之一，这个不等式以19世纪著名数学家奥古斯丁·柯西和约瑟夫·施瓦布的名字命名。

柯西施瓦布不等式描述了希尔伯特空间中内积的性质，它在数学分析和泛函分析中有着广泛的应用。

在希尔伯特空间中，内积是定义在两个向量之间的一种特殊二元运算，它满足线性性、对称性和正定性。

内积可以衡量两个向量之间的夹角和长度关系，因此内积是希尔伯特空间中非常重要的概念。

柯西施瓦布不等式就是描述了内积的一种重要性质。

柯西施瓦布不等式的表述如下：对于希尔伯特空间中的任意两个向量x和y，有|⟨x, y⟨| ≤ ||x|| * ||y||其中⟨x, y⟨表示向量x和y的内积，||x||表示向量x的范数。

柯西施瓦布不等式告诉我们，希尔伯特空间中的内积的绝对值不会超过向量的范数的乘积。

这个不等式的证明比较简单，可以通过内积的性质和基本不等式来推导得到。

第二篇示例：希尔伯特空间是数学里一个非常重要的概念，它是一个完备的内积空间。

希尔伯特空间在函数分析、数学物理和量子力学等领域都有广泛的应用。

在希尔伯特空间中，有一些重要的定理和不等式，其中柯西施瓦布不等式是一个很有意义的不等式。

柯西施瓦布不等式是希尔伯特空间中一个非常重要的不等式，它是由法国数学家柯西和施瓦布在19世纪提出的。

该不等式描述了希尔伯特空间中两个向量内积的关系。

具体来说，柯西施瓦布不等式可以表述为：对于希尔伯特空间中的两个向量x 和y，有|<x, y>| ≤ ||x|| ||y||，其中<x, y> 表示x 和y 的内积，||x|| 表示向量x 的范数。

毕业论文文献综述数学与应用数学Cauchy 不等式的等价形式及其应用一、 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）柯西不等式在不同的数学领域有不同的形式和应用。

特别是在应用柯西不等式解决某些问题时能起到简便直观的作用。

对任意两组实数n a a a ,,,21 ；n b b b ,,,21 ；有ni i n i i n i i i b a b a 121221当且仅当ia 与 n ib i ,...2,1 对应成比例，即n n i i b a b a 时等号成立。

（nn i i b ab a 的意义如下：在n b b b ,,21不全为零时，若0 i b ，则对应的0 i a ；在01 n b b 时，n a a ,,1 可取任意实数。

）这个不等式称柯西（Cauchy ）不等式1。

柯西不等式（Cauchy Inequality ）定理：设n a a a ,...,,21和n b b b ,...,,21是任意实数，则ni i n i i n i i i b a b a 121221，当且仅当i i ka b （k 为常数，n i ,...,2,1 ）时取等号。

由于所设条件是一切实数，没有其他条件限制，运用范围较广2。

柯西不等式在不同的数学领域的形式和内容不同，但却具有内在的联系。

在初等数学中的柯西不等式就称为柯西不等式；在微积分中的柯西不等式称为柯西—许瓦兹不等式，它是以积分的形式给出的；在概率论中的柯西不等式也称为柯西—许瓦兹不等式，它是以随机变量的数字特征形式给出的；在线性代数中的柯西不等式称为柯西—布涅雅柯斯基不等式，它是用内积形式给出的。

Cauchy 不等式的形式765431、在初等数学中，任意,,1,2,...,,i i a b R i n 有.121221ni i n i i n i i i b a b a 当且仅当存在不全为零的常数21,k k 使n i b k a k i i ,...,2,1,021 时，等式成立。