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试验设计与建模第一章课后习题答案课件

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习题第一章1.1 孟德尔豌豆试验孟德尔做过这样一个实验：把一种开紫花的豌豆种和一种开白花的豌豆种结合在一起，第一次结出来的豌豆开紫花，第二次紫白相间，第三次全白。

对此孟德尔没有充分的理由作出解释。

后来，孟德尔从豌豆杂交实验结果，得出了相对性状中存在着显性和隐性的原理。

虽然还有不少例外，但它仍然是一个原理。

孟德尔根据自己在实验中发现的原理，进一步做了推想。

他认为决定豌豆花色的物质一定是存在于细胞里的颗粒性的遗传单位，也就是具有稳定性的遗传因子。

他设想在身体细胞里，遗传因子是成双存在的；在生殖细胞里，遗传因子是成单存在的。

例如，豌豆的花粉是一种雄性生殖细胞，遗传因子是成单存在的。

在豌豆的根、茎、叶等身体细胞里，遗传因子是成双存在的。

这就是说，孟德尔认为可以观察到的花的颜色是由有关的遗传因子决定的。

如果用D代表红花的遗传因子，它是显性；用d代表白花的遗传因子，它是隐性。

这样，豌豆花色的杂交实验，就可以这样解释：红花×白花（纯种）DD dd（身体细胞，遗传因子成双存在）↓↓（杂交）D d（生殖细胞，遗传因子成单存在）\/Dd（杂交）自交DdDD Dd dD dd红花因为杂种的遗传基础物质是由D和d组成的，因此，它的后代（子2）就可能出现白花(dd）了。

这就是说，隐性的遗传因子在从亲代到后代的传递中，它可以不表现。

但是它是稳定的，并没有消失。

遗传单位，叫做基因。

研究基因的科学就是遗传学。

基因学说就是现代遗传学的中心理论。

很清楚，基因概念是孟德尔在推想中提出来的，虽然当时他并没有提出“基因”这个科学名词。

孟德尔认为遗传单位（基因）具有高度的稳定性。

一个显性基因和它相对的隐性基因在一起的时候，彼此都具有稳定性，不会改变性质。

例如，豌豆的红花基因R和白花基因r在一起，彼此不会因为相对基因在一起而发生变化，在一代一代的传递中，D和d都能长期保持自己的颜色特征。

孟德尔的结论正好跟长期流传的融合遗传理论相对立。

融合遗传理论是怎么回事儿呢？它的基本论点是：遗传因子或遗传物质相遇的时候，彼此会相互混合，相互融化，而成为中间类型的东西。

根据融合理论来推理，甲和乙杂交，就会产生出混血儿，甲的遗传因子和乙的遗传因子，都变成了中间类型的东西。

好比两种液体混合在一起似的，亲代的遗传因子都因为融合而消失了。

根据融合理论来推理，豌豆的红花遗传因子D跟白花遗传因子d在一起的时候也就会融合成为新的东西，D和d都不再存在了。

显然，融合理论是错误的，因为它没有科学事实的支持。

它只是一种推测和猜想，不能解释所有的表现不同的遗传现象。

然而中间类型是有的。

这是相对的基因相互作用而产生的性状，基因本身并没有改变。

例如，红花的紫茉莉和白花的紫茉莉杂交，子一代的花是粉红色的。

可是子二代，这些粉红色茉莉的后代，却有三种不同的性状：粉红花、红花和白花。

从这里也可以看到，现象和本质虽然有着密切的关系，但是它们之间是有区别的，不能简单地把现象和本质等同起来。

豌豆是自花传粉植物，而且还是闭花受粉，也是豌豆花在未开放时，就已经完成了受粉，避免了外来花粉的干扰。

所以豌豆在自然状态下一般都是纯种，用豌豆做人工杂交实验，结果既可靠，又容易分析。

1.2比较植物在不同生长条件下生长速度1、试验的目标植物的生长速度的快慢2、因素及其试验范围不同的生长条件为因素，如，阳光、水分、空气、土壤……3、响应结果为试验的生长速度4、试验误差如，温度的细小误差，土壤中微量元素的干扰，空气湿度……5、区组设立多的区组，可以使试验更加精确6、随机化随机化试验顺序7、重复重复多次试验，减小误差8、统计模型建立统计模型，估计实验结果9、追加试验追加试验，减小误差10、试验的组织和管理1.6 为研究纸张的抗张强度与纸浆中硬木的比例的相关性，现根据十次试验得（b ）检验（a ）中线性模型的显著性； （c ）画出残点图。

解：（a ）1ˆβ=38785/4684=8.28 0ˆβ=11.07 得一阶线性模型为：y=8.28x+11.07(b) )1()1(F 22---=s n R sRSSTSSR=2R =0.964F=214.961=-)81()1(，αF ），（）（8195.0F =11.26 由于11.26<214.961 拒绝原假设 产生显著性影响(c)1.7 加权最小二乘误差平方和 Q=210)(i i i x y ββω--∑ωωωββx y 10ˆˆ-= 2i 1)())((ˆωωωωωωβx x y y x x i i i i -∑--∑= 即可得出为如题方程组的解1.8 数据如下：y X1 X2 26 1 1 25 1 1 175 1.5 4 160 1.5 4 164 1.5 4 55 0.5 3 62 1.5 2 102 0.5 3 26 1 1.5 32 0.5 1.5 70 1 2.5 720.52.5（a ）计算其ANOVA 表，并判断模型的显著性，显著性水平α=0.01解： (a)P<0.01 检验显著1.9 （a ）考虑中心化线性模型，写出矩阵形式的y ，β，G ； (b)计算其ANOVA 表。

解：(a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯=n y y y 1 , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321ββββ , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(.........)()()(838281131211x g x g x g x g x g x g G(b)P<0.01 检验显著第一章 试验设计与建模 习题1.5 、基于线性回归模型（1.14），令随机误差ε～Nn （0，σ²）。

令预测误差r=y-^y ,其中^y 是预测值。

证明：（a ）E(r)=0且r 和^y 的协方差矩阵为零矩阵，即r 和^y 相互独立；（b ）r ～Nn (0,σ²(I-H)),其中I 为n ×n 的单位矩阵，（b ）H=G 1)'(-GG G ´. 解：（a ）E(r )=E(y-^y )=E(G β+ε-G ^β) =G β+E(ε)-G E(^β)=G β-G β+0（^β是β的无偏估计) =0y H I y G G G G y G y y y r )()('1'^^-=-=-=-=-β '1')(G G G G H -= 所以),)((),(^Hy y H I Cov y r Cov -= H y y Cov H I ),()('-=22'2)()(σσσ=-=-=H H H H I 0 故r 和^y 相互独立（b ）因ε、^β服从正态分布，而r 是ε和^β的线性组合，故而r 也服从正态分布，由（1）知，E （r ）=0 Var(r )=Var(y -^y )=Var(y -G ^β)=Var(y -G 1)'(-GG G ´y )=(I -G 1)'(-GG G ´Var(y ) =(I -H )σ²(H =G 1)'(-GG G ´ 所以，r ～Nn (0,σ²(I -H ))1.10、设A=)ij a （为n 阶方阵，X=)ij x （为n ×n 的矩阵，向量x='1),...,n x x （，证明（a)设Axx y '=，则xA A x y)('+=∂∂；（b)设)('AX X tr y =，其中tr （B ）表示方阵B 的迹，即矩阵B的对角元素之和，则XA A X y)('+=∂∂。

解：（a)由Ax x y '=知，()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x y ................................,...,,2121222211121121即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n n i n i ni i in i i i x x x x a x a x a y ....,...,,21111221=∑∑∑===+++ni ni iin n i i ni i i x a x x a x x a x 1122111...，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++++=∂∂n nn n n n n n n n n n n x a x a a x a a x a a x a x a a x a a x a a x a x y 2...)()(...)(...2))(...)(222211122222112211121221111（= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n nn n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x a a a a a a a a a .......................... (21212221212111)21212222111211=xA A x A Ax )(''+=+，得证（b ）易知∑∑∑===+++==ni ni ini n i i ni i i a x x a x x a x x AX X tr y 1111212111111'...)( ∑∑∑===++++ni ni ini n ni i i i i a x x a x x a x x 1122122221212......+∑∑∑===++++ni n i ni inin nn i in n i in n a x x a x x a x x 1112211...，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=∂∂∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========ni ni in in ni ni in i ni ni ini ni i i in ni i i i ni i i i ni i i in ni i i i ni i i i a a x a a xa a x a a x a a xa a x a a x a a x a a x X y 112111221222122111111121111)(...)()(..................)(...)()()(...)()(第二章习题2.1、为了提高合成纤维的抗拉强度，根据以前的经验，工程师知道在合成纤维中棉花所占的比例可能会影响到抗拉强度，而且棉花所占比例的范围应该在10%到40%之间，为此，他选定棉花所占比例的五个水平：15%，20%，25%，30%，35%，并在每个水平下试验四个样品，其数据如表所示。

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数学建模课后习题答案

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实验报告姓名：和家慧 专业:通信工程 学号：20121060248 周一下午78节实验一：方程及方程组的求解一 实验目的：学会初步使用方程模型，掌握非线性方程的求解方法，方程组的求解方法，MA TLAB 函数直接求解法等。

二 问题：路灯照明问题。

在一条20m 宽的道路两侧，分别安装了一只2kw 和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m 和6m 。

在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时 （1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？ （2）如果3kw 的路灯的高度可以在3m 到9m 之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？ （3）如果两只路灯的高度均可以在3m 到9m 之间变化，结果又如何？三 数学模型解：根据题意，建立如图模型P1=2kw P2=3kw S=20m 照度计算公式：2sin r p k I α= （k 为照度系数，可取为1；P 为路灯的功率）（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q 点的照度分别为21111sin R p k I α= 22222sin R p k I α=22121x h R += 111sin R h =α22222)(x s h R -+= 222sin R h =αQ 点的照度：3232322222322111))20(36(18)25(10))((()(()(x x x s h h P x h h P x I -+++=-+++=要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点5252522222522111'))20(36()20(54)25(30))(()(3)(3)(x x x x x s h x s h P x h x h P x I -+-++-=-+-++-=算法与编程利用MATLAB 求得0)('=x I 时x 的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))'); s1=vpa(s,8); s1计算结果运行结果： s1 =19.97669581 9.338299136 8.538304309-11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i因为x>=0，选取出有效的x 值后，利用MATLAB 求出对应的I(x)的值，如下表：综上，x=9.33m 时，为最暗点；x=19.97m 时，为最亮点。

试验设计与建模-课后答案

试验设计与建模-课后答案

试验设计与建模-课后答案1、我们研究过硅酸盐水泥砂浆的抗折强度，用四种不同的配方收集了下述数据：（a ）、检验配方法影响泥沙浆强度的假设。

（05.0=α） （b ）、用Duncan 多重极差检验法比较均值对。

解、（a ）经计算，得出如下方差分析表：①原假设：H0：配方法不影响水泥砂浆强度；H1：配方法影响水泥砂浆强度； ②构造统计量：728.12==EMS MS F 处理；③选定显著性水平：05.0=α；④决策：对于05.0=α，P-值为0<05.0=α，故因拒绝原假设H0，接受备择假设H1，有95%的把握认为配方法影响水泥砂浆强度。

（b ）已知E MS =12825.688，N=16，n=4，误差自由度为12，将处理均值按递减顺序排列：25.3156.2=-y ，2971.1=-y ，75.2933.3=-y ，25.2666.4=-y ，各个均值的标准误差是625.564688.12825.==-i y S ，当自由度为12和05.0=α时，查得33.3)12,4(,23.3)12,3(,08.3)12,2(05.005.005.0===γγγ最小显著性极差405.174625.5608.3)12,2(.05.02=⨯==-i y S R γ，3R =182.899，4R =188.561，进行比较得 2对4:3156.25-2666.25=499>188.561(4R ） 2对3:3156.25-2933.75=222.5>182.899（3R ） 2对1:3156.25-2971=185.25<174.405(2R ) 1对4:2971-2666.25=304.75>182.899(3R ) 1对3:2971-2933.75=37.25<174.405（2R ） 3对4:2933.75-2666.25=267.5>174.405(2R )由这一分析知，除了2与1及1与3之外，所有均值对之间均存在显著性差异。

数学建模与数学实验课后习题答案

数学建模与数学实验课后习题答案

P594•学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。

学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各 宿舍的委员数。

解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。

i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表 示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。

首先，我们先按比例分配委员席位。

23710 A 宿舍为:n A ==2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =4.3111002现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。

经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。

所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。

QA23722 3= 9361.5 Q B33323 4 = 9240.7 Q C4322 4 5=9331.2商人们怎样安全过河傻麴删舫紬削＜ I 11山名畝臥蹄峨颂禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH 錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm 彌鯉械即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M 删牘HX …佛讪卜过樹蘇 卜允棘髒合 岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口 於广歎煙船上觸人敦% V O J U;xMmm朗“…他1曲策D 咿川| thPl,2卜允隸策集合 刼為和啊母紳轉 多步贱 就匚叫=1入“山使曲并按 腿翻律由汩3』和騒側），模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;X =3? J =0,1,2,3； X =»*=1,2}J规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy¥）~ 16个格点 允许状态〜U ）个。

点 , 允许决策〜移动1或2格； k 奇）左下移；&偶，右上移. 右，…，必I 给出安全渡河方案评注和思考［廿rfn片,rfl12 3xmm賤縣臓由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。

《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示

《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示

《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示一、填空题：1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.1221201011≈=（万元） 应该填写：12.2783万元．2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910=（万元） 应该填写：32.57793．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析．4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .解： 由商品的均衡价格公式：80352536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80.5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .解：根据经济订购批量公式：1911001.020022*≈⨯⨯==R c c T s b 209701.011020022*≈⨯⨯==s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T二、分析判断题1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决．解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．（2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等．（3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料．（4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型．2.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”．交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路．那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种．解：（1）车流的密度（2）车的行驶速度（3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度（5）设置斑马线地点的两侧视野等．3．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．（1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）．（3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间．（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t （S1+S2）/v．S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）．4．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇．（2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，…，那么从乙站到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，…．（3）步行了25分钟．设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55．三、计算题1．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．解：人、猫、鸡、米分别记为i =1, 2, 3, 4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s =（x 1, x 2, x 3, x 4）表示．记s 的反状态为s '=（1-x 1, 1-x 2, 1-x 3, 1-x 4），允许状态集合为S ={（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态}．决策为乘船方案，记作d =（u 1, u 2, u 3, u 4），当i 在船上时记u i =1，否则记u i =0，允许决策集合为D ={（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0）}．记第k 次渡河前的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k +1=s k +（-1）k d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1, d 2, …, d n ∈D ，使状态s n ∈S 按状态转移律由初始状态s 1=（1, 1, 1, 1）经n 步到达s n +1=（0, 0, 0, 0）．一个可行方案如下：2．假定人口的增长服从这样的规律：时间t 的人口为x (t )，t 到t +∆t 时间内人口的增长与x m - x (t )成正比 （其中x m 为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．解 )(d d x x r t x m -=，r 为比例系数,0)0(x x =， 解为rt m m x x x t x ---=e )()(0，如图1中粗实线所示．当t 充分大时，它与Logistic 模型相近． 图13．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例x x方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分．又因为形状一定时一般有s ∝w 2/3，故商品的价格可表为C = αw +β w 2/3+γ（α，β，γ为大于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w w C c γβα，其 图2 简图如图2所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的,4．用宽w 的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条 不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大（如图3）． 若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）． 如果管道是其它形状呢？解：将管道展开如图4，可得απcos d w =，若d 一 图3 定，0→w ，2πα→；d w π→，0→α．若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为w dl π，若考虑两 端的影响，则应加上απsin dw ．对于其它形状管道，只需将d π 改为相应的周长即可．5．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k >r ．在每一生产周期T 内，开 图4 始的一段时间（0<t <T 0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T 0<t <T ）只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形．设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k 》r 和k ≈ r 的情况． 解： 贮存量)(t q 的图形如图5．单位时间总费用 KT r k r c T c T c 2)()(21-+=， 使)(T c 达到最小值的最优周期)(221r k r c k c T -=*． 图5 当k 》r 时，rc c T 212=*，相当 于不考虑生产的情况．当k ≈ r 时，∞→*T ，因为0产量被销量抵消，无法形成贮存量．四、综合应用题1．试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题．（ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤．） 解：问题分析所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的．模型假设(1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；(2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；(3)模型建立 如图6，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A ，C 两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度θ有关．注意到假设3，设A ，B 两个桌脚与地面距离之和为0)(≥θf ，另外两个桌脚与地面距离之 和为,0)(≥θg 则)(,θθf ∀与)(θg 中至少有一个为零，当 图6 0=θ时不妨假设0)(,0)(>=θθg f ．又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：已知,0)0(,0)0(,0)()()(),(>==∀g f g f g f 且，的连续函数，对是θθθθθθ则0θ∃，使得.0)()(00==θθg f上述命题即为所建立的数学模型．模型求解将桌子旋转0180)(π，则A 、B 两点与D 、C 两点恰好交换位置．由假设便有，)(,0)(ππg f >.0=又由前述假设，.0)0(,0)0(>=g f令),()()(θθθg f h -=则有.0)(,0)0(><πh h 由于)(),(θθg f 的连续性知)(θh 也是连续函数．依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度0θ，,00πθ<<使得0)(0=θh ，即).()(00θθg f =又根据θθθ∀=,0)()(g f 成立，故有.0)()(00==θθg f 模型分析由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略．2．试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型．提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型．（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤．）解： 问题分析由题设，只须在不允许缺货模型条件下，考虑因缺货造成的损失即可．而缺货损失按天计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量、缺货时刻、每单位的缺货费用等． 模型假设 （1）每次定货费为C 1，每天每单位货物的存储费为C 2 （2）每天货物的需求量为r 单位.（3） 每T 天定货Q 单位，所定货物可在瞬间到达．（4）允许缺货，每天每单位货的缺货费为C 3缺货时，存储量q 视为负值，则)(t q 的图形变为,Q rt q +-=如图7所示．模型建立 图7 货物在1T t =时售完，则必有一段时间缺货．又在T t =时下一次定货量Q 到达，于是有1rT Q = （1）在一个定货周期内的总费用包括定货费1C 、存储费Q T C dt t q C T 102221)(1⎰=和缺货费.)(13dt t q C T T ⎰其中21)(2)()(11T T r dt Q rt dt t q TT T T -=-=⎰⎰ 其中用到了（1）式．于是总费用应为2/)(2/213121T T r C QT C C C -++= （2） 则由（1）式解出r Q T /1=并代入（2）式可得r Q rT C r Q C C C 2/)(2/23221-++= （3）每天的平均总费用便是rT Q rT C rT Q C T C T C Q T C 2/)(2///),(23221-++== （4）（4）式即为所求的数学模型．模型求解对（4）式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数，并令其为零解得0)()(22322322221=-+----=∂∂Q rT T C Q rT rT C rT Q C T C T C0)(32=--=∂∂Q rT rTC rT Q C Q C 由3230C C rT C Q Q C +=⇒=∂∂，代入0=∂∂TC 便可解出 32321*33221*2;2C C C C r C Q C C C rC C T +=+=. （5） （5）式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最佳定货量公式．模型分析当3C 远远超过2C 时，（5）式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明所建模型是合理的，结论也是正确的．。