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2020届全国高考仿真模拟考试（五）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·北京海淀一模]已知集合P ＝{x |0≤x ≤2} ，且M ⊆P ，则M 可以是( ) A ．{0，1} B ．{1，3} C ．{－1，1} D ．{0，5} 答案：A解析：∵0∈{x |0≤x ≤2}，1∈{x |0≤x ≤2}，∴{0，1}⊆{x |0≤x ≤2}，故选A.2．[2019·安徽皖南八校联考]i 为虚数单位，a ∈R ，若z ＝a －ia ＋i＋i 为实数，则a ＝( )A ．－1B ．－12C ．1D ．2 答案：C解析：z ＝a －i a ＋i ＋i ＝(a －i )2(a ＋i )(a －i )＋i ＝(a 2－1)－2a i a 2＋1＋i ＝a 2－1a 2＋1＋⎝⎛⎭⎫1－2a a 2＋1i ＝a 2－1a 2＋1＋(a －1)2a 2＋1i ，由题意可得a ＝1，故选C.3．[2019·山东烟台模拟]已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 答案：D解析：由对数函数的性质及题图，得0<a <1，易知c >0，所以函数y ＝log a (x ＋c )的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.故选D.4．[2019·江西九江重点学校联考]在扇形AOB 中，∠AOB ＝θ，扇形AOB 的半径为3，C 是弧AB 上一点，若OC →＝233OA →＋33OB →，则θ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：D解析：∵OC →＝233OA →＋33OB →，|OC →|＝|OA →|＝|OB →|＝3，∠AOB ＝θ，∴OC →2＝43OA →2＋43OA →·OB →＋13OB →2＝3，即4cos θ＝－2，∴cos θ＝－12，∵0<θ<π，∴θ＝2π3，故选D.5．[2019·湖南岳阳三检]观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，…，归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．－g (x )B ．f (x )C ．－f (x )D ．g (x ) 答案：A解析：(x 2)′＝2x 中，函数y ＝x 2为偶函数，其导函数y ′＝2x 为奇函数； (x 4)′＝4x 3中，函数y ＝x 4为偶函数，其导函数y ′＝4x 3为奇函数；(cos x )′＝－sin x 中，函数y ＝cos x 为偶函数，其导函数y ′＝－sin x 为奇函数；…. 我们可以归纳，偶函数的导函数为奇函数．事实上，若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )为偶函数， 又g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－x )＝－g (x )，故选A.6．[2019·安徽池州期末]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π12，1 B.⎝⎛⎭⎫π12，2 C.⎝⎛⎭⎫7π12，1 D.⎝⎛⎭⎫3π4，2 答案：C解析：由函数图象可知A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，所以ω＝2πT＝2，易得2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，所以函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫7π12，1.故选C. 7．[2019·河南洛阳尖子生第二次联考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.⎝⎛⎭⎫12n －1 答案：B解析：解法一 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12；当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝2a n＋1－2a n ，则a n ＋1a n ＝32.所以当n ≥2时，数列{a n }是公比为32的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，于是S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝⎛⎭⎫32n －2＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选B.解法二 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12，所以S 2＝1＋12＝32，结合选项可得只有B 选项满足．故选B.8．[2019·鄂东南省级示范高中联考]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”．翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断他们是否都是偶数，若是，用2约简，若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a ＝114，b ＝30，则输出的n 为( )A ．3B ．6C ．7D ．30 答案：C解析：根据框图可列表如下．a 114 57 42 27 12 15 3 12 9 6 3b 30 15 15 15 15 12 12 3 3 3 3 n 0 0 1 2 3 3 4 4 5 6 7 k 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9．[2019·吉林省实验中学测试]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x 2＋y 2≤1，则2x ＋y 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，＋∞)C ．(0，5]D ．[1，5] 答案：D解析：设z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x 2＋y 2≤1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－2x ，平移该直线，数形结合可知当平移后的直线过点(0，1)时，z 取得最小值1，当平移后的直线与圆相切于第一象限时，z 取得最大值，最大值为5，所以2x ＋y 的取值范围是[1，5]．故选D.10．[2019·江西五校协作体联考]如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A.π6B.π3C.5π12D.π2 答案：B解析：如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于点E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π3，则D (3，1，0)，A (0，－2，0)，B (0，2，0)，C (0，0，22)，AD →＝(3，3，0)，BC →＝(0，－2，22)，所以cos 〈AD →，BC →〉＝－612×12＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B.11．[2019·四川成都一诊]过曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1，C 3有一个共同的焦点，若MF 1→＋MN →＝0，则曲线C 1的离心率为( )A.5＋12 B. 5 C.2＋12 D. 2答案：A解析：易知曲线C 1为双曲线．设曲线C 1的右焦点为F ，则F 的坐标为(c ，0)． 因为曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，所以y 2＝4cx .因为MF 1→＋MN →＝0，所以MF 1→＝－MN →＝NM →，则M 为线段F 1N 的中点．连接OM ，NF (O 为坐标原点)．因为O 为线段F 1F 的中点，M 为线段F 1N 的中点，所以OM 为△NF 1F 的中位线，所以OM ∥NF .因为|OM |＝a ，所以|NF |＝2a .易知NF ⊥NF 1，|F 1F |＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，则由抛物线的定义可得x ＋c ＝2a ， 所以x ＝2a －c .过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a .由勾股定理得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，得e 2－e －1＝0(e >0)，所以e ＝5＋12.故选A.12．[2019·重庆西南大附中月考]已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(0，1]D ．(0，1) 答案：D解析：∵g (－x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝g (x )，∴g (x )是偶函数．若g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，等价于当x >0时，g (x )有2个不同的零点．∵f (x )是奇函数，∴由g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝0，得f (x 2)＝－f (a －2|x |)＝f (2|x |－a )．∵f (x )是单调函数，∴x 2＝2|x |－a ，即－a ＝x 2－2|x |，当x >0时，－a ＝x 2－2|x |＝x 2－2x 有两个根即可．设h (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，要使当x >0时，－a ＝x 2－2|x |有两个根，则－1<－a <0，即0<a <1，即实数a 的取值范围是(0，1)，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·河北九校联考]已知两条不同的直线m ，n ，两个不重合的平面α，β，给出下列命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ④m ⊥α，m ∥β⇒α⊥β；⑤α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是________． 答案：①④⑤解析：命题①，显然正确；命题②，m ，n 可能异面，故②为假命题；命题③，可能n ⊂α，故③为假命题；命题④，显然正确；命题⑤，由m ∥n ，m ⊥α，得n ⊥α，又α∥β，所以n ⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤.14．[2019·山东潍坊重点学校摸底]若(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2－ax 6的展开式中常数项为60，则实数a的值是________．答案：±2解析：⎝⎛⎭⎫x 2－a x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r ·⎝⎛⎭⎫126－r ·C r 6·x 6－3r 2.由6－32r ＝－1，得r ＝143(舍去)，由6－32r ＝0，得r ＝4.所以(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2－a x 6的展开式中常数项为(－a )4·⎝⎛⎭⎫122·C 46＝15a 44＝60，得a ＝±2. 15．[2019·湖北八校联考]已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，若a 4＝65，则a 1＝________.答案：3解析：∵a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 4＝65，∴2a 3＋24－1＝65，得a 3＝25，∴2a 2＋23－1＝25，得a 2＝9，∴2a 1＋22－1＝9，得a 1＝3.16．[2019·江苏张家港一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫34，2解析：画出函数f (x )的大致图象，如图所示．由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )成立，则12≤b <1.b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·广东省六校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．解析：(1)依题意知a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ， 由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ， 因为a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B .由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)已知tan C ＝32，C ∈(0，π)，易得sin C ＝217，cos C ＝277，由(1)知B ＝π3，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.18．(12分)[2019·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上．(1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；(2)当ABAD＝2时，求二面角D －AC －B 的余弦值．解析：(1)证明：如图，设点D 在平面ABC 内的射影为点E ，连接DE ， 则DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥BC .因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ， 所以BC ⊥AD .又AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ， 所以平面ACD ⊥平面BCD .(2)解法一 在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连接ME . 因为DE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥AC ， 又DM ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面DME ，EM ⊂平面DME ，所以EM ⊥AC ， 所以∠DME 为二面角D －AC －B 的平面角． 设AD ＝a ，则AB ＝2a .在Rt △ADC 中，易求得AM ＝5a 5，DM ＝25a5.在Rt △AEM 中，EM AM ＝tan ∠BAC ＝12，得EM ＝5a10，所以cos ∠DME ＝EM DM ＝14.解法二 以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系B -xyz ，如图所示．设AD ＝a ，则AB ＝2a ，所以A (0，－2a ，0)，C (－a ，0，0)．由(1)知AD ⊥BD ，又ABAD＝2，所以∠DBA ＝30°，∠DAB ＝60°，所以AE ＝AD cos ∠DAB＝12a ，BE ＝AB －AE ＝32a ，DE ＝AD sin ∠DAB ＝32a ， 所以D ⎝⎛⎭⎫0，－32a ，32a ，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a ，AC →＝(－a ，2a ，0)．设平面ACD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AD →＝0，m ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12ay ＋32az ＝0，－ax ＋2ay ＝0.取y ＝1，则x ＝2，z ＝－33，所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，1，－33. 因为平面ABC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3322＋12＋⎝⎛⎭⎫－332＝－14.结合图知，二面角D －AC －B 为锐二面角，所以二面角D －AC －B 的余弦值为14.19．(12分)[2019·安徽省合肥市高三上学期期末考试]每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如下的频率分布直方图．(1)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似地等于样本平均数x (精确到个位)，σ2近似地等于样本方差s 2，s 2≈33.6，假设该辖区内这一年龄层次共有10 000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数．附：33.6≈5.8，若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.解析：(1)x ＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.(2)由题意得，μ≈45，σ≈5.8，μ－σ＝39.2，μ＋σ＝50.8，P (39.2<t <50.8)＝0.682 6， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间(39.2，50.8)的人数约为10 000×0.682 6＝6 826. 20．(12分)[2019·山东滨州联考]已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点M 的纵坐标为6，且点M 到焦点F 的距离为7.(1)求抛物线E 的方程；(2)设l 1，l 2为过焦点F 且互相垂直的两条直线，直线l 1与抛物线E 相交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线E 相交于C ，D 两点，若直线l 1的斜率为k (k ≠0)，且S △OAB ·S △OCD ＝8，试求k 的值．解析：(1)由抛物线的定义知，点M 到抛物线的准线的距离为7，所以6＋p2＝7，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由题意可知l 1的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 216(k 2＋1)＝4(k 2＋1)．由点O 到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1， 得S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4(k 2＋1)×1k 2＋1＝2k 2＋1.因为l 1⊥l 2，所以同理可得S △OCD ＝2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝2k 2＋1|k |. 由S △OAB ·S △OCD ＝8，得2k 2＋1×2k 2＋1|k |＝8， 解得k 2＝1，即k ＝－1或k ＝1.21．(12分)[2019·贵州贵阳监测]已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1e x(m ≥0)，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若m ∈(1，2)，证明：当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1e恒成立．解析：(1)由题意得f ′(x )＝－x 2＋(m －2)x ＋1－m e x ＝－[x －(1－m )](x －1)e x，当m ＝0，即1－m ＝1时，f ′(x )＝－(x －1)2e x≤0，f (x )在R 上单调递减；当m >0，即1－m <1时，令f ′(x )<0，得x <1－m 或x >1，令f ′(x )>0，得1－m <x <1.∴f (x )在(－∞，1－m )，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m ，1)上单调递增．(2)令g (x )＝－x ＋1＋1e，问题转化为证明f (x )min >g (x )max .由(1)可知，m ∈(1，2)时f (x )在[1，m ]上单调递减，∴f (x )min ＝f (m )＝2m 2＋1em .∵g (x )在[1，m ]上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝1e.所以要证f (x )min >g (x )max ，只需证2m 2＋1e m >1e.记h (m )＝2m 2＋1e m (1<m <2)，则h ′(m )＝－2m 2＋4m －1e m，令h ′(m )>0，得1<m <2＋22，令h ′(m )<0，得2＋22<m <2，∴h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2上单调递减．又2×12＋1e 1＝3e ，2×22＋1e 2＝9e2，∴对任意的m ∈(1，2)，都有h (m )>3e >1e，即当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1e恒成立．选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·南宁市高三毕业班第一次适应性测试]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋r cos φ，y ＝1＋r sin φ(r >0，φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1＝0.若直线l 与曲线C 相切．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1＝0得 32ρcos θ－12ρsin θ＋1＝0， 则直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2＝0. 曲线C 是圆心为(3，1)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切可得r ＝|3×3－1＋2|2＝2.则曲线C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3. (2)由(1)不妨设M (ρ1，θ)，N ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π6 ⎝⎛⎭⎫ρ1>0，ρ2>0，－π3<θ<2π3.S △MON ＝12|OM |·|ON |·sin π6＝14ρ1ρ2＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2 ＝2sin θcos θ＋23cos 2θ ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋ 3. 当θ＝π12时，△MON 面积的最大值为2＋ 3.23．(10分)[2019·四川资阳一诊][选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x |，g (x )＝|2x －2|. (1)解不等式f (x )>g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)不等式f (x )>g (x )，即|2x －2|<|x |. 则(2x －2)2<x 2，即(2x －2)2－x 2<0，故有(3x －2)(x －2)<0，解得23<x <2.则所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)2f (x )＋g (x )＝2|x |＋|2x －2|，若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，则①当x ≤0时，只需不等式－2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即ax <－4x ＋1，x ＝0时，该不等式恒成立，a ∈R ；x <0时，a >－4＋1x恒成立，可得a ≥－4.②当0<x <1时，只需不等式2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即a <1x 恒成立，可得a ≤1.③当x ≥1时，只需不等式2x ＋2x －2>ax ＋1恒成立，即a <4－3x恒成立，可得a <1.综上，实数a 的取值范围是[－4，1)．。
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设集合U ={1，2，3，4}，集合A ={x ∈N |2x −5x +4<0}，则U A ð=（ ）A ．{1，4}B ．{1，2}C ．{2，4}D ．{1，3，4} 2．已知复数z =i1im (m >0)，z ·z =1，则z =（ ） A ．2+2i B ．2−2i C ．2+2i D ．2−2i 3．已知数列{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，若2017S =4 034，则3a +1009a +2015a =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 4．某几何的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．4π+4B ．3π+4C ．3πD ．32π+4 5．已知0<a <b <1，则下列结论正确的为（ ）A ．3a >3bB ．ln a a >ln b bC ．1()a e <1()b e D ．log 3a >log 3b6．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．3 7．已知将函数()f x =a sin2x +b cos2x 的图象向右平移6π个单位长度后所得到的图象关于直线x =4π对称，则b a 的值为（ ）A 3B ．1C 3D ．2 8．已知x ，y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数z =1y x m +-的取值范围为[0，2)，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[0，12]B ．(−∞，12]C ．(−∞，12) D ．(−∞，0]9．已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2210．已知直线y 25与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)交于A ，B 两点，若在双曲线上存在点P ，使得|P A |=|PB 3AB |，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B ．3 C ．52D 511．已知二次函数()f x =a 2x −2x +2c，x ∈R 的值域为[0，+∞)，其图象过定点(0，1)，且()g x =x ()f x +b 2x +a 在区间(12，1)上不是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ）A ．(0，2B ．(0，2C ．[2+∞)D ．(2+∞)12．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，n S =(−1)n n a +12n +2n −6， 且(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(−74，234) B ．(−∞，234) C ．(−74，6) D ．(−2，234) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若(1x−2x )n 的常数项是15，则展开式中3x 的系数为 ．14．已知AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为150°，|AB u u u r |AC u u u r AP u u u r =λAB u u u r +μAC u u u r ，且AP u u u r ⊥BC uuu r ，则λμ的值为 ．15．已知函数()f x =2x −2x sin2πx +1的两个零点分别为a ，b (a <b )，则a ⎰dx = ．16．已知直线y =kx +1与抛物线2y =2x 相切于M 点，过M 点作两条直线，分别与抛物线交于A 、B 两点，若两直线的斜率之和为0，则直线AB 的斜率为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C +c cos A =2b cos B ，b ． (1)求证：角A ，B ，C 成等差数列； (2)求△ABC 面积的最大值． 18．(本小题满分12分)某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示45名同学的饮食指数．说明：饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类．(1)根据茎叶图，完成下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”，说明理由；喜食蔬菜喜食肉类合计男同学女同学合计(2)用分层抽样的方法按照喜食蔬菜、喜食肉类从全班同学中随机抽取15名同学进行进一步调查，记抽到的喜食肉类的女同学的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：2K=2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++．P(2K≥k) 0．10 0．05 0．01k2．706 3．841 6．63519．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=60°，点A在平面PBC上的射影为PB的中点O，PB⊥AC．(1)求证：PC=PD；(2)求平面BAP与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别是点1F ，2F ，其离心率e =12，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆面积的最大值为． (1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，AC BD ⋅u u u r u u u r =0，求|AC u u u r |+|BD u u u r|的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =(x −a )x e −2x ．(1)若a =1，x ∈[0，1]，求函数()f x 的最值；(2)若a ∈Z ，函数()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，求a 的最大整数值．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρθ．(1)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 的坐标为(3，求|P A |+|PB |． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知二次函数()f x =2x −bx +c 在 x =1处取得最小值−1． (1)解不等式|()f x |+|()f x -)| 6|x |；(2)若实数a 满足|x −a |<1，求证：|()f x −()f a |<2|a |+3．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)答案1．A 【解析】由2x −5x +4<0得1<x <4，由于x ∈N ，所以A ={2，3}，于是U A ð={1，4}．2．A 【解析】解法一 z =i 1i m +=i(1i)(1i)(1i)2m m -=+-+2m i ，z =2m −2mi ，z·z =22m =1， 又m >0，则mz=2+2i ，选A ． 解法二 由题意知|z|=|i ||1i |m =+，由z·z =2||z ，得22m =1， 又m >0，则m==2+2i ，选A ． 3．C 【解析】依题意，120172017()2a a +=4 034，所以21009a =1a +2017a =4，3a +1009a +2015a =31009a =6，选C ．4．B 【解析】由三视图，可得到该几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱切掉四分之一后剩余的几何体，因而其侧面积S =34×2π×1×2+2×1×2=3π+4，故选B ．5．D 【解析】对于A ，由于y =3x 为增函数，因而3a <3b ，故A 错误；对于B ，令y =x ln x ，y '=ln x +1，则y =x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，1)上单调递增，则ln a a ，ln b b 的大小关系不确定；对于C ，y=1()x e 为减函数，所以1()a e >1()b e；对于D ，y=3log x 为增函数，因而3log a <3log b <0， 则log 3a =31log a >31log b=log 3b ．故选D ． 6．B 【解析】第一次循环：S =2×1+20=3，i =3；第二次循环：S =2×3+23=14，i =5；第三次循环：S =2×5+214，i =7，此时S >2 017，结束循环．故输出的i 的值是7． 7．C 【解析】通解 ()f x =a sin 2x +b cos 2xx +φ)，其中tan φ=ba，将其图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为()6f x π- =22a b +sin(2x −3π+φ)，其对称轴为2x −3π+φ=kπ+2π，k ∈Z ，由题意知其中一解为x =4π，则φ=kπ+3π，k ∈Z ，即tan φ=b a =3，故选C ．优解 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为y=a sin2(x −6π)+b cos 2(x −6π)，因为所得图象关于直线x =4π对称，则4y x π'==2[a cos(2x −3π)−b sin(2x −3π)]4x π==3a −b =0，因而b a =3，故选C ． 8．C 【解析】由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z=1y x m+-的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，−1)连线的斜率．由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即B (2，−1)．由题意知m =2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0．由y =−1与2x −y −2=0得交点C (12，−1)，在点A由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0，2)，则m <12，故选C ． 9．A 【解析】根据题意作出图形如图所示，设球心为O ，过A ，B ，C 三点的小圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC ，连接1CO 并延长交球面于点D ，连接SD ，则SD ⊥平面ABC ．∵1CO =2332⨯=33，∴1OO =63，∴三棱锥的高SD =21OO =263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴ABC S ∆=34， ∴三棱锥的体积V =132623436⨯⨯=，故选A ． 10．B 【解析】通解 由2222251y x x y ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22x a −2245x b =1，则2x =221145a b -，2y =2245145a b -， 因而|OA |2=|OB |2=2295145a b -，如图，连接OP ，由于|P A |=|PB |，因而直线OP 的方程为y=−52x ，同理可得|OP |2=2294154a b-，又|P A |=|PB |=3|AB |，∴|OP |2=2|OA |2， 从而得22b a =2，∴e =221b a+=3，故选B ．优解 连接OP ，设|OA |=m >0，由题意知|OP 2|OA 2m ，且OP ⊥OA ，设直线AB 的倾斜角为α，则tan α=255，因而sin α=23，cos α=53，不妨设点A 在第一象限，则A (53m ，23m )，直线OP 的倾斜角为2π+α，同理可得P (−23m 10)或(23m ，10m )，∵A ，P 均在双曲线上，∴2259m a−2249m b =1，且2289m a −22109m b =1，则259a −249b =21m =289a −2109b，解得22b a =2， ∴eB ．11．A 【解析】由函数()f x 的图象过定点(0，1)得c =2，又()f x 的值域为[0，+∞)，则a >0，244ac a-=0，因而a =1，则()f x =2x −2x +1，()g x =3x +(b −2)2x +x +1， ()g x ' =32x +2(b −2)x +1，由题意知方程()g x '=0在区间(12，1)上有解，由于()g x '=0不能有两个相等的实根，因而Δ=4(b −2)2−12>0， 即b或b，同时2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4，−， 所以0<b，从而0<b，故选A ． 12．A 【解析】∵n S =(−1)n n a +12n +2n −6，∴当n 2时，1n S -=(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8， 两式相减得，n a =(−1)n n a + 12n +2n −6−[(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8]，整理得[1−(−1)n ]n a =(−1)n 1n a -+2−12n (n 2) (*)．又n S =(−1)n n a +12n +2n −6，∴1S =−1a +12+2−6，即1a =−74．①当n 为偶数时，化简(*)式可知，1n a -=12n −2，∴n a =112n +−2(n 为奇数)；②当n 为奇数时，化简(*)式可知，2n a =−1n a -+2−12n ，即12n −4=−1n a -+2−12n ，即1n a -=6−112n -，∴n a =6−12n (n 为偶数)． 于是n a =112216,2n nn n +⎧-⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，为奇数为偶数．∵对任意n ∈N *，(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，∴对任意n ∈N *，(p −1n a +)(p −n a )<0恒成立．又数列{21k a -}单调递减，数列{2k a }单调递增，∴当n 为奇数时，有n a <p <1n a +，则1a <p <11a +，即−74<p <234；当n 为偶数时，有1n a +<p <n a ，则21a +<p <2a ，即−3116<p <234．综上所述，−74<p <234，故选A ．13．−20【解析】设第r +1项是常数项，则1r T +=C r n (1x)n r -·(−2x )r =(−1)r C r n x3n r-+， 由−n +3r =0得n =3r ，又(−1)r C r n =15，所以n =6，r =2．设第m +1项是含3x 的项，则1m T +=(−1)m 6C m x 63m -+，令−6+3m =3，得m =3，则展开式中3x 的系数为3(1)-36C =−20．14．59【解析】通解 由AP u u u r ⊥BC uuu r ，得AP u u u r ·BC uuu r =0，即(λAB u u u r +μAC u u u r )·(AC u u u r −AB u u u r )=(λ−μ) AB u u u r ·AC u u u r −λ2AB u u u r +μ2AC u u u r =(λ−μ)×3×1×(−32)−λ×2(3)+μ×21=52μ−92λ=0，因而λμ=59．优解 如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则由题意知AB u u u r =(3，0)，AC u u u r =(−3，12)，BC uuu r =(−33，12)，AP u u u r =(3λ−3μ，12μ)，由AP u u u r ⊥BC uuu r ，得−332(3λ−32μ)+14μ=0，得λμ=59．15．2π【解析】函数()f x 的零点，即方程()f x =2x −2x sin 2πx +1=0的根， 由于x =0不是方程的根，因而可化为2sin 2πx =x +1x ，又x +1x ∈(−∞，−2]∪[2，+∞)，所以sin 2πx =±1，则2x ±2x +1=0，从而x =±1，因为a <b ，所以a =−1，b =1，因而21ax -⎰dx =121x --⎰，由定积分的几何意义，知121x --⎰=2π． 16．−12【解析】数形结合可知k ≠0，由212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得2k 2x +2(k −1)x +1=0，因而Δ=4(k −1)2−42k =0，即k =12，从而2x −4x +4=0，则M (2，2)，设直线MA 的方程为y−2=m (x −2)，易知m ≠0，由2222y mx my x=+-⎧⎨=⎩，得m 2y −2y+4−4m =0，解得y =2m −2或2，即A (2(1m −1)2，2m−2)， 同理设直线MB 的方程为y −2=−m (x −2)，得B (2(1m +1)2，−2m−2)，则AB k =22112(1)2(1)112(1)2(1)m m m m------+=−12．17．【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B ，（1分）即sin(A +C )=2sin B cos B ，从而可得cos B =12． ∵在△ABC 中，0<B<π，∴B =3π，（3分） ∴A +C =23π=2B ， ∴角A ，B ，C 成等差数列．（5分）(2)由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B ，得2a +2c −ac =3， 即ac 3，当且仅当a =c 时等号成立．（7分）ABC S ∆=12ac sin Ba =c 时取等号，即△ABC面积的最大值为4．（12分） 18．【解析】(1)根据茎叶图，完成的2×2列联表如下，计算得2K =245(19367)3692025⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=0.562 5<2.706，对照临界值得出，没有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”．（5分）(2)因为从喜食肉类的同学中抽取的人数为9×1545=3，所以ξ的可能取值有0，1，2，3．P (ξ=0)=3639C C =521，P (ξ=1)= 216339C C C =1528， P (ξ=2)= 126339C C C =314，P (ξ=3)= 3339C C =184．（10分） 所以ξ的分布列为ξ 0123P521 1528 314 184所以ξ的数学期望Eξ=0×21+1×28+2×14+3×84=1．（12分）【备注】本题的易错点是审题不仔细，对所给图表理解不清，不能从图表中准确提取信息，另外，对于这类题目，运用公式不难，但运算量大，对运算能力要求较高，不少考生过不了运算关．把分层抽样、独立性检验与离散型随机变量的分布列与数学期望结合起来进行考查，代表了统计案例解答题的一种命题趋势，这类试题难度不大，但考查的知识面较广． 19．【解析】(1)如图，连接CO ，由题意知PB ⊥AO ，且AP =AB =2，又PB ⊥AC ，AO ∩AC =A ，因而PB ⊥平面AOC ． 又CO 平面AOC ，则PB ⊥OC ，（2分） 又O 为PB 的中点， 因而PC =BC =2，（3分）又ABCD 是菱形，且∠ABC =60°，则AC =2，所以OA =OC =1． 作DH ⊥平面PBC 于H ，连接PH ，CH ，则PH =DH =1， 因而PD =2，即PC =PD ．（5分）(2)解法一 以O 为坐标原点，OC ，OP ，OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，C (1，0，0)，P (0，1，0)，D (1，1，1)， PC uuu r =(1，−1，0)，PD u u u r=(1，0，1)， （7分） 设平面PCD 的法向量为m =(x ，y ，z )，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ，即00x y x z -=⎧⎨+=⎩， 取x =1，则y =1，z =−1，所以m =(1，1，−1)是平面PCD 的一个法向量，（9分） 易知平面BAP 的一个法向量为n =(1，0，0)， 那么cos<m ，n >=||||⋅⋅m n m n =331=⨯， 即平面BAP 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为3．（12分）解法二 由(1)知平面BAP ∥平面HCD ，因而等价于求平面HCD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，由于PH ⊥平面HCD ，则PH ⊥CD ，如图，作HM ⊥CD 于M ，连接PM ， 由PH ∩HM =H ，得CD ⊥平面PHM ，（6分）所以CD ⊥PM ，则∠PMH 为二面角P −CD −M 的平面角． 在直角三角形HCD 中，CD 112+=， 则HM =222=tan ∠PMH 222=，因而cos ∠PMH=3，（10分） 所以平面BAP 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为3． （12分） 【备注】从近几年高考题来看，立体几何的考查往往避开规则几何体，给人以新颖感，但无论如何创新，空间中线线、线面、面面的位置关系是必考点，一般位于第(1)问，要求考生运用性质定理、判定定理进行推理证明，当然借助向量解决也是一种趋势．在运用向量法求解时，关键是注意以下几点：①如何恰当地建立空间直角坐标系；②考虑一些未知量是否可用基向量或其他已知向量表示，能否顺利坐标化；③如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论；④运算结果和证明的结论不一致时，应该及时检查初始点或基向量是否正确；⑤运用向量法求二面角时要注意判断二面角是锐角还是钝角． 20．【解析】(1)由题意知，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取得最大值，此时12PF F ∆的面积S =12·2c ·bc①．（1分）又椭圆的离心率e =12，所以c a =12②，（2分）联立①②解得a =4，c =2，2b =12，所以椭圆的方程为2211612x y +=．（4分）(2)由(1)知1F (−2，0)，因为AC BD ⋅u u u r u u u r=0，所以AC ⊥BD ．①当直线AC ，BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC u u u r |+|BD u u u r|=8+6=14； ②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0时，其方程为y=k (x +2)，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得(3+42k )2x +162k x +162k −48=0．（6分）设A (1x ，1y )，C (2x ，2y )，则1x +2x =−221634k k +，1x 2x =22164834k k -+，所以|AC u u u r|1x −2x=2224(1)34k k ++，直线BD 的方程为y =−1k(x +2)，同理可得|BD u u u r |=2224(1)43k k ++，所以|AC u u u r |+|BD u u u r|=2222168(1)(34)(43)k k k +++，（8分）令1+2k =t ，则t >1，所以|AC u u u r |+|BD u u u r |=22221681681681(41)(31)12112t t t t t t t t ==--++-+， 设()f t =21t t-(t >1)，则()f t '=32t t -+， 所以当t ∈(1，2)时，()f t '>0，当t ∈(2，+∞)时，()f t '<0，（10分） 故当t =2时，()f t 取得最大值14． 又当t >1时，()f t =21t t ->0，所以0<21t t- 14， 所以|AC u u u r |+|BD u u u r |∈[967，14)．综上，|AC u u u r |+|BD u u u r |的取值范围为[967，14]．（12分）【备注】解决本题的关键有以下几点：(1)熟练掌握有关椭圆的基础知识；(2)注意对特殊情况进行讨论，如本题中讨论了直线斜率不存在的情况；(3)正确利用题目所给条件得到|AC u u u r|，|BD u u u r|的表达式；(4)灵活运用函数的有关知识求最值．21．【解析】(1) 若a =1，则函数()f x =(x −a )x e −2x ，()f x '=x e +(x −1)x e −2x =x (x e −2)．令()f x '=0，则x =0或x =ln 2，由于x ∈[0，1]， 因而当x ∈(0，ln 2)时，()f x '<0，()f x 单调递减， 当x ∈(ln 2，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 所以()f x 的最小值为(ln 2)f =−1−(ln 2−1)2，最大值为(0)(1)f f ==−1．（5分） (2) ()f x '=x e +(x −a )x e −2x =(x +1−a )x e −2x ，由()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，得()f x ' 0在x ∈[0，+∞)上恒成立， 即(x +1−a )x e −2x 0，x ∈[0，+∞)， 分离参数得1−a2x xe−x ，x ∈[0，+∞)．（7分） 设()g x = 2x x e −x ，则()g x '=22x xe-−1=22x xx e e --， 令()g x '=0，即2−2x −x e =0．（8分）设()h x =2−2x −x e ，由于(0)h =1>0，1()2h<0，因而方程2−2x −x e =0在(0，12)上有解，设为0x ，则0x e =2−20x ，且当x ∈(0，0x )时，()g x '>0，当x ∈(0x ，+∞)时，()g x '<0，所以()g x 的最大值为0()g x =002x x e −0x =001x x -−0x =2001x x -．（10分）因而1−a 2001x x -，即a 1+2001x x -=3+011x -+0x −1，又0x ∈(0，12)，0x −1∈(−1，−12)，因而3+011x -+0x −1∈(12，1)，因而a 的最大整数值为0． （12分）【备注】在高考题中，函数与导数试题多以对数、指数形式出现，而且属于压轴题，对考生的能力要求很高，意在提高区分度，有利于选拔．试题一般考查含有参数的函数的单调性、极值、最值，曲线的交点等，解题时由于对参数的讨论往往比较复杂，因而考生通常会由于对参数的分类标准分析不到位而出现失误．在复习过程中，对于某些常规函数的性质及图象要做到了如指掌，如对数函数、y=ln xx以及y=x ln x 的图象等更要多加积累，并善于利用数形结合思想进行研究，寻求问题的求解方法．22．【解析】(1)由直线l的参数方程322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 得直线l 的普通方程为y =−x由ρθ，得2x +2y −=0，即圆C 的直角坐标方程为2x +(y2=5．（5分）(2)通解由22(53x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩得2x −3x +2=0，解得12x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设A (1，，B (2，，又点P 的坐标为(3． 故|P A |+|PB（10分）优解 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−2t )2+(2t )2=5， 即2t −t +4=0．由于)2−4×4=2>0，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点P (3，故|P A |+|PB |=|1t |+|2t |=1t +2t． （10分）23．【解析】(1)由题意知，二次函数图象的顶点为(1，−1)，得b =2，c =0，因而()f x =2x −2x ．不等式|()f x |+|()f x -| 6|x |，即|2x −2x |+|2x +2x | 6|x |， 当x =0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式化为|x −2|+|x +2| 6，从而2226xx x-⎧⎨-+--⎩≤≥，或20226xx x-<<⎧⎨-+++⎩≥或02226xx x<⎧⎨-+++⎩≤≥，或2226xx x>⎧⎨-++⎩≥，解得x −3或x 3，故不等式的解集为{x|x −3或x=0或x 3}．（5分）(2)因为|x−a|<1，所以|()f x−()f a|=|2x−2x−2a+2a|=|(x+a−2)(x−a)|=|x+a−2|·|x−a|<|x+a−2| |x−a|+|2a|+2<2|a|+3．（10分）。
2019年新课标高考理科数学仿真模拟试卷五1．是虚数单位，则( )A．2 B．C．4 D．【答案】B【解析】由题意得，∴．故选B．2．集合，，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，∴．故选C．3．已知向量，，，则与的夹角为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴．设与的夹角为θ，则，又，∴，即与的夹角为．4．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设等边三角形的边长为，则每个扇形的面积为，，所以封闭图形的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为．故选C．5．已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示．在中，当时，则有．①由得，代入消去整理得．②结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等，由①②两式消去得，整理得，解得或（舍去），∴．故选C．6．函数的图象大致为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由且，可得或，∴函数的定义域为．令，则．①当时，单调递减，∴，∴单调递增，且．②当时，单调递增，∴，∴单调递减，且选A．7．若函数的图象过点，则（）A．点是的一个对称中心B．直线是的一条对称轴C．函数的最小正周期是D．函数的值域是【答案】D【解析】由函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ）的图象过点（0，2），可得2sin2θ＝2，即sin2θ＝1，∴2θ，∴θ，故f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x＝2cos2x＝cos2x+1，当x时，f（x）＝1，故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为π，故C不正确；显然，f（x）＝cos2x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．8．函数的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除C，当>x>0时，是单调递减的，当x>时，导函数为-4sinx-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，故选A.故选：A．9．已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x＝（）x，则f（x）在（0，1）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°﹣β，则有sinα＞sin（90°﹣β）＝cosβ，则有f（sinα）＞f（cosβ），故选：B．10．已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得, ，∴，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，∴，故选：C．11．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则（）A．33 B．31 C．17 D．15【答案】D【解析】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n﹣1），则有P（n）＝2P（n﹣1）+1，则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]，又P（1）＝1，即是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，即P（4）＝24﹣1＝15，故选：D．12．定义：区间，，，的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】B【解析】当m＞0时，∵0⇔0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则0，且x1+x23，∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0，f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，所以不等式的解集为（1，x1]∪（2，x2]，∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝33，故选：B．13．展开式的常数项是__________．【答案】-8【解析】因为的通项为，所以展开式的常数项为。
一、单选题二、多选题1. 已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（ ）A ．0B ．4C．D．2. 已知函数是奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．3.已知函数（，，，）的部分图象如图所示，令，方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为（）A．B．C．D．4. 已知集合，则（ ）A ．B．C．D．5. 已知直线与平行，则实数a 的值是（ ）A．B ．2C．D ．-26. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7.已知集合，则（ ）A．B．C．D．8. 已知集合，则（ ）A．B．C ．或D ．或9. 已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ）A．B．是偶函数C ．在上单调递减，在上单调递增D ．不等式的解集是10.某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作年人均消费支出条形图（单位：元）和年人均消费支出饼图（如图）.已知年居民人均消费总支出比年居民人均消费总支出提高，则下列结论正确的是（ ）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）(2)2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）(2)三、填空题A ．年的人均衣食支出金额比年的人均衣食支出金额高B ．年除医疗以外的人均消费支出金额等于年的人均消费总支出金额C ．年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高D ．年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低11.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P 在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则（）A ．CP长度的最小值为B ．存在点P，使得C ．存在点P ，存在点，使得D ．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为12. 某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x 12345销量y （万件）5096142185227若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A．线性回归方程必过B．C．相关系数D ．6月份的服装销量一定为272.9万件13. 对于抛物线，设直线过的焦点，且与的对称轴的夹角为.若被所截得的弦长为，则抛物线的焦点到顶点的距离为________.14. 如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：①长度的最小值为；②当时，与相交；③始终与平面平行；四、解答题④当时，为直二面角．正确的序号是__________．15. 已知，则___________.16. 已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求a 的取值范围．17. 已知直三棱柱如图所示，其中，，点D 在线段上（不含端点位置）.(1)若，求点到平面的距离；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.18. 的内角，，的对边分别是，，，设．(1)若，求；(2)若，求的面积的最大值．19. 在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示.(1)求第三组的频率；(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.20. 已知直三棱柱中，D 为的中点．(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；①；②；③．(2)若，，，求直线与平面ABD 所成角的正弦值．21. 已知椭圆的左､右焦点分别为.(1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；(2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标；(3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由.。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2.=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.454.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种 D．36种5.设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．36.设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．57.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8.设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则x 0的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[﹣，]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．函数()()22231m m f x m m x --=--是幂函数的充分必要条件是2m =B ．若:(0,),1ln p x x x ∀∈+∞->，则000:(0,),1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．若()()()()62601263222x a a x a x a x +=+++++++，则315a =D ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=10．已知点()()()1,2,5,2,,4A B C k ，若ABC 为直角三角形，则k 的可能取值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．511．已知直线l ：20kx y k -+=和圆O ：222x y r +=，则（ ）A ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y 垂直B ．直线l 恒过定点()2,0C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为(23,8⎤⎦12．已知圆22:(5)(5)16C x y -+-=与直线:240l mx y +-=，下列选项正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 不一定相交B ．当1615m ≥时，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1 C ．当2m =-时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程是22(3)(3)16x y +++=D ．当1m =时，若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为圆C 上任意一点，当||32PB =PBA∠最大或最小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（x+a ）10的展开式中，x 7的系数为15，则a=14．（5分）函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sin φcosx 的最大值为 ．15．（5分）偶函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称，f （3）=3，则f （﹣1）= ．16．（5分）数列{a n }满足a n+1=，a 8=2，则a 1= ．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.四边形ABCD 为圆内接四边形，1AD BC ==，3AC =（1）若6DAC ，求AB ； （2）若2AB CD =，求四边形ABCD 的面积．18.已知函数f （x ）=excosx ﹣x ．（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．19如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．20.某学校田径运动会跳远比赛规定：比赛设立及格线，每个运动员均有3次跳远机会，若在比赛过程中连续两次跳不过及格线，则该运动员比赛结束．已知运动员甲跳过及格线的概率为23，且该运动员不放弃任何一次跳远机会．（1）求该运动员跳完两次就结束比赛的概率；（2）设该运动员比赛过程中跳过及格线的总次数为ξ，求ξ的概率分布．21已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，右准线方程为x=√33.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P(0,−1)的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E(D在y 轴左侧)．①是否存在直线l，使得OA⊥OB?若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；②记△ODE和△OAB的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．22.已知函数f（x）=excosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)答案1．A 【解析】由2x −5x +4<0得1<x <4，由于x ∈N ，所以A ={2，3}，于是U A ð={1，4}．2．A 【解析】解法一 z =i 1i m +=i(1i)(1i)(1i)2m m -=+-+2mi ，z =2m −2m i ，z·z =22m =1，又m >0，则mz=2+2i ，选A ． 解法二 由题意知|z|=|i ||1i |m =+z·z =2||z ，得22m =1， 又m >0，则mz=i)1i (1i)(1i)-=++-i ，选A ． 3．C 【解析】依题意，120172017()2a a +=4 034，所以21009a =1a +2017a =4，3a +1009a +2015a =31009a =6，选C ．4．B 【解析】由三视图，可得到该几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱切掉四分之一后剩余的几何体，因而其侧面积S =34×2π×1×2+2×1×2=3π+4，故选B ． 5．D 【解析】对于A ，由于y =3x为增函数，因而3a<3b，故A 错误；对于B ，令y =x ln x ，y '=ln x +1，则y =x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，1)上单调递增，则ln a a ，ln bb 的大小关系不确定；对于C ，y=1()x e 为减函数，所以1()a e >1()b e；对于D ，y=3log x 为增函数，因而3log a <3log b <0， 则log 3a =31log a >31log b=log 3b ．故选D ． 6．B 【解析】第一次循环：S =2×1+20=3，i =3；第二次循环：S =2×3+23=14，i =5；第三次循环：S =2×5+214，i =7，此时S >2 017，结束循环．故输出的i 的值是7． 7．C 【解析】通解 ()f x =a sin 2x +b cos 2xx +φ)，其中tan φ=ba，将其图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为()6f x π- x −3π+φ)，其对称轴为2x −3π+φ=kπ+2π，k ∈Z ，由题意知其中一解为x =4π，则φ=kπ+3π，k ∈Z ，即tan φ=ba C ．优解 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为y=a sin 2(x −6π)+b cos 2(x −6π)，因为所得图象关于直线x =4π对称，则4y x π'==2[a cos(2x −3π)−b sin(2x −3π)]4x π=−b =0，因而ba =C ． 8．C 【解析】由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z=1y x m+-的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，−1)连线的斜率．由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即B (2，−1)．由题意知m =2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0．由y =−1与2x −y −2=0得交点C (12，−1)，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0，2)，则m <12，故选C ． 9．A 【解析】根据题意作出图形如图所示，设球心为O ，过A ，B ，C 三点的小圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC ，连接1CO 并延长交球面于点D ，连接SD ，则SD ⊥平面ABC ．∵1CO=232⨯3，∴1OO=3SD =21OO=3， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴ABC S ∆=4， ∴三棱锥的体积V=136=，故选A ． 10．B 【解析】通解由22221y x x y ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22x a −2245x b =1，则2x =221145a b -，2y =2245145a b -， 因而|OA |2=|OB |2=2295145a b -，如图，连接OP ，由于|P A |=|PB |，因而直线OP 的方程为y=−2，同理可得|OP |2=2294154a b-，又|P A |=|PB|=|AB |，∴|OP |2=2|OA |2， 从而得22b a =2，∴eB ．优解 连接OP ，设|OA |=m >0，由题意知|OPOA，且OP ⊥OA ，设直线AB的倾斜角为α，则tan αsin α=23，cos αA 在第一象限，则A，23m )，直线OP 的倾斜角为2π+α，同理可得Pm)或，)，∵A ，P 均在双曲线上，∴2259m a −2249m b =1，且2289m a −22109m b =1，则259a −249b =21m =289a −2109b ，解得22b a=2，∴eB ．11．A 【解析】由函数()f x 的图象过定点(0，1)得c =2，又()f x 的值域为[0，+∞)，则a >0，244ac a-=0，因而a =1，则()f x =2x −2x +1，()g x =3x +(b −2)2x +x +1， ()g x ' =32x +2(b −2)x +1，由题意知方程()g x '=0在区间(12，1)上有解，由于()g x '=0不能有两个相等的实根，因而Δ=4(b −2)2−12>0， 即bb2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4，−， 所以0<b0<bA ． 12．A 【解析】∵n S =(−1)nn a +12n +2n −6，∴当n 2时，1n S -=(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8， 两式相减得，n a =(−1)n n a + 12n +2n −6−[(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8]，整理得[1−(−1)n ]n a =(−1)n1n a -+2−12n (n 2) (*)．又n S =(−1)nn a +12n +2n −6，∴1S =−1a +12+2−6，即1a =−74．①当n 为偶数时，化简(*)式可知，1n a -=12n −2，∴n a =112n +−2(n 为奇数)；②当n 为奇数时，化简(*)式可知，2n a =−1n a -+2−12n ，即12n −4=−1n a -+2−12n ，即1n a -=6−112n -，∴n a =6−12n (n 为偶数)． 于是n a =112216,2n nn n +⎧-⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，为奇数为偶数．∵对任意n ∈N *，(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，∴对任意n ∈N *，(p −1n a +)(p −n a )<0恒成立．又数列{21k a -}单调递减，数列{2k a }单调递增，∴当n 为奇数时，有n a <p <1n a +，则1a <p <11a +，即−74<p <234；当n 为偶数时，有1n a +<p <n a ，则21a +<p <2a ，即−3116<p <234．综上所述，−74<p <234，故选A ．13．−20【解析】设第r +1项是常数项，则1r T +=C r n (1x)n r -·(−2x )r=(−1)r C r n x 3n r -+， 由−n +3r =0得n =3r ，又(−1)rC r n =15，所以n =6，r =2．设第m +1项是含3x 的项，则1m T +=(−1)m 6C m x 63m-+，令−6+3m =3，得m =3， 则展开式中3x 的系数为3(1)-36C =−20． 14．59【解析】通解 由AP ⊥BC ，得AP ·BC =0，即(λAB +μAC )·(AC −AB )=(λ−μ) AB ·AC −λ2AB +μ2AC =(λ−μ2)−λ×2+μ×21 =52μ−92λ=0，因而λμ=59． 优解 如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则由题意知AB 0)，AC =(−，12)，BC ，12)，AP μ，12μ)，由AP ⊥BC ，得μ)+14μ=0，得λμ=59．15．2π【解析】函数()f x 的零点，即方程()f x =2x −2x sin 2πx +1=0的根， 由于x =0不是方程的根，因而可化为2sin 2πx =x +1x ，又x +1x ∈(−∞，−2]∪[2，+∞)，所以sin 2πx =±1，则2x ±2x +1=0，从而x =±1，因为a <b ，所以a =−1，b =1，因而a⎰=1-⎰，由定积分的几何意义，知1-⎰=2π． 16．−12【解析】数形结合可知k ≠0，由212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得2k 2x +2(k −1)x +1=0，因而Δ=4(k −1)2−42k =0，即k =12，从而2x −4x +4=0，则M (2，2)，设直线MA 的方程为y−2=m (x −2)，易知m ≠0，由2222y mx my x=+-⎧⎨=⎩， 得m 2y −2y+4−4m =0，解得y =2m −2或2，即A (2(1m −1)2，2m−2)， 同理设直线MB 的方程为y −2=−m (x −2)，得B (2(1m +1)2，−2m−2)，则AB k =22112(1)2(1)112(1)2(1)m m m m------+=−12．17．【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B ，（1分）即sin(A +C )=2sin B cos B ，从而可得cos B =12． ∵在△ABC 中，0<B<π，∴B =3π，（3分） ∴A +C =23π=2B ， ∴角A ，B ，C 成等差数列．（5分）(2)由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B ，得2a +2c −ac =3， 即ac 3，当且仅当a =c 时等号成立．（7分）ABC S ∆=12ac sin B=4ac≤4，当且仅当a =c 时取等号， 即△ABC面积的最大值为4．（12分） 18．【解析】(1)根据茎叶图，完成的2×2列联表如下，计算得2K =245(19367)3692025⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=0.562 5<2.706，对照临界值得出，没有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”．（5分）(2)因为从喜食肉类的同学中抽取的人数为9×1545=3， 所以ξ的可能取值有0，1，2，3．P (ξ=0)=3639C C =521，P (ξ=1)= 216339C C C =1528， P (ξ=2)= 126339C C C =314，P (ξ=3)= 3339C C =184．（10分） 所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望Eξ=0×21+1×28+2×14+3×84=1．（12分）【备注】本题的易错点是审题不仔细，对所给图表理解不清，不能从图表中准确提取信息，另外，对于这类题目，运用公式不难，但运算量大，对运算能力要求较高，不少考生过不了运算关．把分层抽样、独立性检验与离散型随机变量的分布列与数学期望结合起来进行考查，代表了统计案例解答题的一种命题趋势，这类试题难度不大，但考查的知识面较广．19．【解析】(1)如图，连接CO ，由题意知PB ⊥AO ，且AP =AB又PB ⊥AC ，AO ∩AC =A ，因而PB ⊥平面AOC ． 又CO 平面AOC ，则PB ⊥OC ，（2分） 又O 为PB 的中点， 因而PC =BC （3分）又ABCD 是菱形，且∠ABC =60°，则AC OA =OC =1． 作DH ⊥平面PBC 于H ，连接PH ，CH ，则PH =DH =1， 因而PD PC =PD ．（5分）(2)解法一 以O 为坐标原点，OC ，OP ，OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，C (1，0，0)，P (0，1，0)，D (1，1，1)，PC =(1，−1，0)，PD =(1，0，1)， （7分）设平面PCD 的法向量为m =(x ，y ，z )，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即00x y x z -=⎧⎨+=⎩，取x =1，则y =1，z =−1，所以m =(1，1，−1)是平面PCD 的一个法向量，（9分） 易知平面BAP 的一个法向量为n =(1，0，0)， 那么cos<m ，n >=||||⋅⋅m n m n=即平面BAP 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为3．（12分）解法二 由(1)知平面BAP ∥平面HCD ，因而等价于求平面HCD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，由于PH ⊥平面HCD ，则PH ⊥CD ，如图，作HM ⊥CD 于M ，连接PM ， 由PH ∩HM =H ，得CD ⊥平面PHM ，（6分）所以CD ⊥PM ，则∠PMH 为二面角P −CD −M 的平面角．在直角三角形HCD 中，CD=则HM2=， tan ∠PMH2= 因而cos ∠PMH，（10分） 所以平面BAP 与平面PCD（12分） 【备注】从近几年高考题来看，立体几何的考查往往避开规则几何体，给人以新颖感，但无论如何创新，空间中线线、线面、面面的位置关系是必考点，一般位于第(1)问，要求考生运用性质定理、判定定理进行推理证明，当然借助向量解决也是一种趋势．在运用向量法求解时，关键是注意以下几点：①如何恰当地建立空间直角坐标系；②考虑一些未知量是否可用基向量或其他已知向量表示，能否顺利坐标化；③如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论；④运算结果和证明的结论不一致时，应该及时检查初始点或基向量是否正确；⑤运用向量法求二面角时要注意判断二面角是锐角还是钝角．20．【解析】(1)由题意知，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取得最大值，此时12PF F ∆的面积S =12·2c ·bc①．（1分） 又椭圆的离心率e =12，所以c a =12 ②，（2分）联立①②解得a =4，c =2，2b =12，所以椭圆的方程为2211612x y +=．（4分） (2)由(1)知1F (−2，0)，因为AC BD ⋅=0，所以AC ⊥BD ．①当直线AC ，BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC |+|BD |=8+6=14； ②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0时，其方程为y=k (x +2)，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得(3+42k )2x +162k x +162k −48=0．（6分）设A (1x ，1y )，C (2x ，2y )，则1x +2x =−221634k k +，1x 2x =22164834k k-+， 所以|AC|1x −2x2224(1)34k k ++，直线BD 的方程为y =−1k (x +2)，同理可得|BD |=2224(1)43k k++， 所以|AC |+|BD |=2222168(1)(34)(43)k k k +++，（8分） 令1+2k =t ，则t >1，所以|AC |+|BD |=22221681681681(41)(31)12112t t t t t t t t ==--++-+， 设()f t =21t t -(t >1)，则()f t '=32t t -+，所以当t ∈(1，2)时，()f t '>0，当t ∈(2，+∞)时，()f t '<0，（10分） 故当t =2时，()f t 取得最大值14． 又当t >1时，()f t =21t t ->0，所以0<21t t- 14， 所以|AC |+|BD |∈[967，14)．综上，|AC |+|BD |的取值范围为[967，14]．（12分）【备注】解决本题的关键有以下几点：(1)熟练掌握有关椭圆的基础知识；(2)注意对特殊情况进行讨论，如本题中讨论了直线斜率不存在的情况；(3)正确利用题目所给条件得到|AC |，|BD |的表达式；(4)灵活运用函数的有关知识求最值． 21．【解析】(1) 若a =1，则函数()f x =(x −a )xe −2x ，()f x '=x e +(x −1)x e −2x =x (x e −2)．令()f x '=0，则x =0或x =ln 2，由于x ∈[0，1]，因而当x ∈(0，ln 2)时，()f x '<0，()f x 单调递减，当x ∈(ln 2，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为(ln 2)f =−1−(ln 2−1)2，最大值为(0)(1)f f ==−1．（5分）(2) ()f x '=x e +(x −a )x e −2x =(x +1−a )x e −2x ，由()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，得()f x ' 0在x ∈[0，+∞)上恒成立，即(x +1−a )x e −2x 0，x ∈[0，+∞)，分离参数得1−a 2x x e−x ，x ∈[0，+∞)．（7分） 设()g x = 2x x e −x ，则()g x '=22x x e -−1=22xx x e e--， 令()g x '=0，即2−2x −x e =0．（8分）设()h x =2−2x −x e ，由于(0)h =1>0，1()2h，因而方程2−2x −x e =0在(0，12)上有解，设为0x ， 则0x e =2−20x ，且当x ∈(0，0x )时，()g x '>0，当x ∈(0x ，+∞)时，()g x '<0，所以()g x 的最大值为0()g x =002x x e −0x =001x x -−0x =2001x x -．（10分） 因而1−a 2001x x -，即a 1+2001x x -=3+011x -+0x −1， 又0x ∈(0，12)，0x −1∈(−1，−12)，因而3+011x -+0x −1∈(12，1)， 因而a 的最大整数值为0． （12分）【备注】在高考题中，函数与导数试题多以对数、指数形式出现，而且属于压轴题，对考生的能力要求很高，意在提高区分度，有利于选拔．试题一般考查含有参数的函数的单调性、极值、最值，曲线的交点等，解题时由于对参数的讨论往往比较复杂，因而考生通常会由于对参数的分类标准分析不到位而出现失误．在复习过程中，对于某些常规函数的性质及图象要做到了如指掌，如对数函数、y=ln x x以及y=x ln x 的图象等更要多加积累，并善于利用数形结合思想进行研究，寻求问题的求解方法．22．【解析】(1)由直线l的参数方程32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)得直线l 的普通方程为y =−x由ρθ，得2x +2y −=0，即圆C 的直角坐标方程为2x +(y2=5．（5分）(2)通解由22(53x y y x ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩得2x −3x +2=0，解得12x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩21x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩不妨设A (1，，B (2，，又点P 的坐标为(3．故|P A |+|PB|=（10分）优解 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−2t )2+(2t )2=5， 即2t −+4=0．由于2−4×4=2>0，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点P (3，故|P A |+|PB |=|1t |+|2t |=1t +2t（10分）23．【解析】(1)由题意知，二次函数图象的顶点为(1，−1)，得b =2，c =0，因而()f x =2x −2x ．不等式|()f x |+|()f x -| 6|x |，即|2x −2x |+|2x +2x | 6|x |，当x =0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式化为|x −2|+|x +2| 6，从而2226x x x -⎧⎨-+--⎩≤≥，或20226x x x -<<⎧⎨-+++⎩≥ 或02226x x x <⎧⎨-+++⎩≤≥，或2226x x x >⎧⎨-++⎩≥，解得x −3或x 3，故不等式的解集为{x |x −3或x =0或x 3}．（5分） (2)因为|x −a |<1，所以|()f x −()f a |=|2x −2x −2a +2a |=|(x +a −2)(x −a )|=|x +a −2|·|x −a |<|x +a −2| |x −a |+|2a |+2<2|a |+3．（10分）。
2023年高考数学模拟试题(五)参考答案 一㊁选择题1.A 2.D 3.D 4.D图15.A 提示:由题意知O P ң㊃O A ң=x -3y ,设z =x -3y ,如图1,当直线z =x -3y ,即y =13x -13z 经过点A 0,2时,直线在y 轴上的截距最大,进而可得z 最小,所以O P ң㊃O Aң的最小值为-6㊂6.B 7.B 8.C 9.D10.B 提示:由S a ㊃O A ң+S b ㊃OB ң+S c ㊃O C ң=0,得O A ң=-S b S a O B ң-S c S aO C ң,由a ㊃O A ң+b ㊃O B ң+c ㊃O C ң=0,得O A ң=-b a O B ң-c a O C ң,根据平面向量基本定理可得-S b S a =-b a ,-S c S a =-c a ,所以S b S a =b a ,S c Sa 图2=ca ,如图2,延长C O 交A B于E ,延长B O 交A C 于F ,则S b S a =|A E ||B E |㊂又S bS a =b a ,所以|A E ||B E |=b a =|A C ||B C |,所以C E 为øA C B 的平分线㊂同理可得,B F 是øA B C 的平分线㊂所以O 为әA B C 的内心㊂11.C 提示:双曲线C 的渐近线方程为y =ʃba x ,因为双曲线C 的一条渐近线经过点P (3,3),所以3=b a ˑ3,故ba=3,所以e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b2a2=4,所以e =2,选项A 正确;因为P F 1ң㊃P F 2ң=0,所以点P 在圆x 2+y 2=c 2上,所以c =23,又离心率e =2,所以a =3,所以b =c 2-a 2=9,所以双曲线C 的方程为x 23-y 29=1,选项B 正确;әP O F 2的面积为23ˑ32=33,选项C 错误;设A (x 0,y 0),F 2(c ,0),由F 2A ң=3P F 2ң,得(x 0-c ,y 0)=3(c -3,-3),所以x 0=4c -33,y 0=-9,代入渐近线方程y =-3x ,得-9=-3(4c -33),所以c =332,所以双曲线C 的焦距为2c =33,选项D 正确㊂图312.B 提示:令f (x )>0,两边同时除以e x,可得xe x >a (x +1)㊂如图3,分别绘制函数F (x )=xex与G (x )=a (x +1)的图像,其中G (x )恒过定点(-1,0)㊂为了符合题意,函数F (x )与G (x )的交点需位于A ,B 之间,此时a 的取值范围为23e 2,12e㊂二㊁填空题13.fx =x 3+x +1(答案不唯一)㊂14.84 提示:从A 区域开始种,当A 区域与C 区域种相同的花时,则有C 14ˑC 13ˑ1ˑC 13=36(种)不同的种法;当A 区域与C 区域种不同的花时,则有C 14ˑC 13ˑC 12ˑC 12=48(种)不同的种法㊂综上可得共有84种不同的种法㊂15.1150提示:根据题意可得U =311s i n (100πt ),在[0,0.02]内,令311㊃s i n (100πt )=3112,可得t 1=1600,t 2=5600;令311s i n (100πt )=-3112,可得t 1=7600,t 2=11600㊂综上可得,电压的绝对值低于3112的时间为2100-2ˑ5600-1600=1150㊂16.x 24+y 2=1 提示:由题意知k A B =-3,设A B 与x 轴的交点为C ,则øA C F =60ʎ,øA FC =30ʎ㊂设A F =a ,则O A =a2,O F =3a 2,所以A 0,a 2,即有b =a 2,直线l 的方程为y =-3x +a2,联立x 2a 2+y 2b2=1,y =-3x +a2,b =a 2, 解得x =0,y =a2,或x =4313a ,y=-1126a ,所以B 4313a ,-1126a,所以A B =0-4313a2+a 2+1126a2=8313a ,S әA B F =12A F ㊃A B =12ˑa ˑ8313a =16313,又a >0,所以a =2,b =a2=1,所以椭圆Γ的标准方程为x 24+y 2=1㊂三、解答题17.(1)因为4a n +1=4a n a n +1+1,所以a n +1=14(1-a n ),所以a 2=14(1-a 1)=13,a 3=14(1-a 2)=38,所以b 1=22a 1-1=-4,b 2=22a 2-1=-6,b 3=22a 3-1=-8㊂(2)b n为等差数列,理由如下:因为b n =22a n -1,所以a n =b n +22b n,所以a n +1=b n +1+22b n +1,代入4a n +1=4a n a n +1+1,得2b n +1+4b n +1=b n +2b n ㊃b n +1+2b n +1+1,整理得b n +1-b n =-2,所以b n 是公差为-2的等差数列㊂(3)由(1)(2)知,b n =-4+(n -1)ˑ(-2)=-2n -2,即22a n -1=-2n -2,所以2a n -1=1-n -1,a n =n 2(n +1)㊂所以a nn 2=1n2㊃n 2(n +1)=12n (n +1)=121n -1n +1㊂所以S n =121-12+1212-13+ +121n -1n +1=121-12+12-13+ +1n -1n +1=121-1n +1 <12㊂图418.(1)如图4,连接A C 交B D 于点O ,连接M O ㊂因为A B =A D ,CB =CD ,所以әA C D ɸәA C B ,所以A C ʅB D ㊂又因为A B =A D ,øB A D =60ʎ,所以әA B D 是正三角形,所以A O =23s i n 60ʎ=3,C O =C B 2-O B 2=6㊂因为P A ʊ平面BDM ,且P A ⊂平面P A C ,平面P A C ɘ平面B DM =M O ,所以P A ʊM O ㊂所以P M P C =A O A C =33+6=13,即λ=13㊂图5(2)如图5,以O 为坐标原点,O B 为x 轴,O C 为y 轴,过点O 且垂直于平面A B -C D 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系Ox yz ㊂因为点P 在平面A B C D 上的投影恰好是әA B D 的重心,所以P E ʅ平面A B C D ,A E =2E O ,所以A E =2,E O =1㊂因为直线P A 与平面A B C D 所成角的正切值为32,所以在R t әP A E 中,t a n øP A E =P E A E =32,所以P E =32A E =3,所以A (0,-3,0),B (3,0,0),C (0,6,0),D (-3,0,0),P (0,-1,3)㊂由(1)知,λ=13,所以O M ң=O P ң+P M ң=O P ң+13P C ң=0,43,2,所以M 0,43,2,A P ң=(0,2,3),A D ң=(-3,3,0),OB ң=(3,0,0),O M ң=0,43,2㊂设平面P A D 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃A D ң=-3x 1+3y 1=0,m ㊃A P ң=2y 1+3z 1=0,取x 1=3,得y 1=1,z 1=-23,所以m =3,1,-23㊂设平面B DM 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则n ㊃O B ң=3x 2=0,n ㊃O M ң=43y 2+2z 2=0,取y 2=3,得x 2=0,z 2=-2,所以n =(0,3,-2)㊂所以c o s <m ,n >=m ㊃n|m ||n |=3+4313ˑ409=13020,所以平面B DM 与平面P A D 的夹角的余弦值为13020㊂19.由题意可得10(0.010+b +0.030+0.016+a +0.008)=1,即a +b =0.036㊂因为平均数为77分,所以10(0.010ˑ55+b ˑ65+0.030ˑ75+0.016ˑ85+a ˑ95+0.008ˑ105)=77,即65b +95a =2.7㊂联立a +b =0.036,65b +95a =2.7,解得a =0.012,b =0.024㊂因为前250名进入复赛,在1000名大学生中占比为25%,原问题等价于估计频率直方图中的75百分位数㊂经统计,落到区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的概率分别为0.1,0.24,0.3,0.16㊂因为0.1+0.24+0.3<0.75<0.1+0.24+0.3+0.16,所以75百分位数在区间[80,90)内,为80+0.75-0.640.16ˑ10=80+558ʈ87,由此估计进入复赛的分数线为87分(注:回答86分也可以得分)㊂(2)由题知,P 1=23,P n =45P n -1+(1-P n -1)ˑ13=715P n -1+13,所以P n -58=715P n -1-58,又因为P 1-58=124ʂ0,所以P n -58是以124为首项,715为公比的等比数列,所以P n -58=124ˑ715n -1,即P n =58+124ˑ715n -1,故P 10=58+124ˑ7159㊂20.(1)当l ʅx 轴时,A B 为抛物线E 的通径,此时A B =2p ,易知O F ʅA B ,所以O F 是әO A B 的高,所以әO A B 的面积S =12ˑA B ˑO F =p 22=2,解得p =2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x ㊂(2)依题意可设直线l 的方程为x =m y +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立x =m y +1,y 2=4x ,消去x 整理得y 2-4m y -4=0,Δ>0,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4㊂根据抛物线的定义可得F A =x 1+1,F B =x 2+1,所以F A ㊃F B =(x 1+1)(x 2+1)=(m y 1+2)(m y 2+2)=m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4=4m 2+4㊂设直线l 1的方程为x =m 1y +1,同理可得F C ㊃F D =4m 21+4㊂因为F A ㊃F B =F C ㊃F D ,所以4m 2+4=4m 21+4,故m =m 1(舍),或m +m 1=0,其中m ,m 1分别是直线l 与直线l 1的斜率的倒数,所以直线l 与直线l 1的斜率之和为0,此时A B =F A +F B =x 1+x 2+2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+4㊂同理可得C D =4m 2+4,当C D =8时,解得m =ʃ1,所以直线l 的方程为x =ʃy +1㊂21.(1)对函数f (x )求导可得f '(x )=m x +1-1x =m x 2+x -1x㊂若m =0,则f '(x )=x -1x㊂令f '(x )=0,得x =1,所以当0<x <1时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x >1时,f'(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂若m <0,设g (x )=m x 2+x -1,Δ=1+4m ,当m ɤ-14时,Δɤ0,g (x )ɤ0,所以f '(x )ɤ0,f (x )在(0,+ɕ)上单调递减;当-14<m <0时,Δ>0,令g (x )=0,得x 1=-1-1+4m 2m >0,x 2=-1+1+4m 2m>0,且x 1>x 2,当0<x <x 2或x >x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,所以f (x )在0,-1+1+4m 2m,-1-1+4m 2m,+ɕ上单调递减;当x 2<x <x 1时,g (x )>0,即f '(x )>0,所以f (x )在-1+1+4m 2m ,-1-1+4m2m上单调递增㊂若m >0,则Δ>0㊂令g (x )=0,得x 1=-1-1+4m2m<0(舍去),x 2=-1+1+4m2m>0㊂当0<x <x 2时,g (x )<0,即f '(x )<0,所以f (x )在0,-1+1+4m2m上单调递减;当x >x 2时,g (x )>0,即f '(x )>0,所以f (x )在-1+1+4m2m,+ɕ上单调递增㊂(2)由(1)知,-14<m <0,a ,b 是m x2+x -1=0的两根,所以a +b =-1m㊂因为f (a )=12m a 2+a -l n a ,f (b )=12m b 2+b -l n b ,所以f (a )-f (b )=12m (a +b )(a -b )+(a -b )-(l n a -l n b )=12(a-b )-(l n a -l n b ),故2[f (a )-f (b )]=(a -b )-2(l n a -l n b )㊂因为a +b =-1m,所以要证2[f (a )-f (b )]<(4m +1)(a -b ),只需证l n a -l n b >2(a -b )a +b ,等价于l n a b >2a b-1ab+1㊂设a b =t ,则t >1,所以l n t >2(t -1)t +1,所以只需证l n t -2(t -1)t +1>0㊂令g (t )=l n t -2(t -1)t +1(t >1),则g '(t )=1t -2(t +1-t +1)(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,所以g (t )在(1,+ɕ)上单调递增,所以g (t )>g (1)=0,所以l n t -2(t -1)t +1>0,即2[f (a )-f (b )]<(4m +1)(a -b )㊂22.(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ㊃c o s α-x ㊃s i n α=0,则极坐标方程为θ=α(ρɪR )㊂由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =3,即(x -1)2+y 2=4㊂(2)将θ=α代入曲线C 2的极坐标方程得ρ2-2ρc o s α-3=0㊂设A ,B 两点对应的参数分别为ρ1,ρ2,则ρ1ρ2=-3㊂所以O A ㊃O B =ρ1ρ2=3㊂23.(1)当x <-3时,f x =-x -2 -x +3 =-2x -1;当-3ɤx ɤ2时,f x =-x -2 +x +3 =5;当x >2时,f x =x -2 +x +3 =2x +1㊂综上可得,f x m i n =5㊂(2)由(1)可知f x ȡx +a ⇒5ȡx +a ,解得x +a ȡ-5,x +a ɤ5㊂当x ɪ-3,2 时,欲使不等式f x ȡx +a 恒成立,则x +a m i n ȡ-5,x +a m a x ɤ5,解得-2ɤa ɤ3㊂(责任编辑 王福华)。
