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一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【：第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（2016•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树； 第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式. 到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。
初二数学上册第二单元知识点总结第二单元主要介绍了初二数学上册的几个重要知识点，包括代数式的基本概念、整式的加减乘除、一元一次方程与一元一次不等式等内容。
下面将对这些知识点进行总结和归纳。
一、代数式的基本概念代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，它可以表示数与数之间的关系。
代数式中的字母通常表示未知数，可以用来表示各种数值。
代数式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，根据运算法则可以进行各种运算。
二、整式的加减乘除整式是由常数项、字母项和它们的乘积组成的代数式。
整式的加减法遵循交换律和结合律，可以通过合并同类项来简化运算。
整式的乘法可以使用分配律进行展开，然后合并同类项。
整式的除法需要注意除数不能为零，并且要进行因式分解来简化运算。
三、一元一次方程与一元一次不等式一元一次方程是指未知数的最高次数为一次的方程，它可以表示为ax + b = 0的形式，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的关键是通过逆运算将方程化简为x = a的形式。
一元一次不等式是指未知数的最高次数为一次的不等式，解一元一次不等式的方法与解方程类似，但要注意不等号的方向。
四、二元一次方程组二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的方程组，可以表示为{ax + by = c{dx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。
解二元一次方程组的方法有代入法、消元法和等式相加法等，通过逐步消去未知数，最终求得解。
五、图形的坐标表示图形的坐标表示是指通过坐标系来表示平面上的点和图形。
平面直角坐标系由x轴和y轴组成，原点为坐标系的起点。
点的坐标表示为(x, y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。
通过坐标系可以绘制直线、曲线和各种图形，方便进行几何运算和分析。
六、平面直角坐标系与直线的关系平面直角坐标系与直线的关系主要包括直线的斜率和截距。
直线的斜率表示为k，可以通过两点的坐标计算得到。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线水平，斜率不存在表示直线垂直于x轴。
第2章一元一次不等式与一元一次不等式组单元检测一、单选题1．在平面直角坐标系中，点M（1+m，2m﹣3）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知实数a，b满足a+1>b+1，则下列选项错误的是（）A．a>b B．−a>−b C．a+2>b+2D．2a>2b 3．将不等式组x>−2x≤3的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A．B．C．D．4．已知a＜b，下列式子不成立．．．的是（）A．a＋2021＜b＋2021B．a－2021＜b－2021C．－2021a＜－2021b D．a2021＜b20215．点P（-1，2)所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，则共有学生人数为（）A．6人B．5人C．6人或5人D．4人7．如图，直线y＝kx＋b经过点A(－1，－2)和点B(－2，0)，直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx＋b＜0的解集为()A．x＜－2B．－2＜x＜－1C．－2＜x＜0D．－1＜x＜08．若数m使关于x的不等式组−1≤3≤−2有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程3y2y−4= m−2y−2+12的解满足-3≤y≤4，则满足条件的所有整数m的个数是（）A．6B．5C．4D．39．据天气预报2018年4月12日大田县的最高气温是32℃，最低气温是21℃，则当天大田县气温t（℃）的变化范围是（）A．t＞21B．t＜32C．21＜t＜32D．21≤t≤3210．下列说法正确的是（）A．若a＜b，则3a＜2b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若﹣2a＞2b，则a＜b D．若ac2＜bc2，则a＜b二、填空题11．在函数y=3x−2中，自变量x的取值范围是.12．根据图象，不等式kx＞﹣x＋3的解集是.13．若a<b，则a－b0；若a－b>a，则b0.14．已知x=3是方程x−a2−2=x−1的解,那么不等式(2-a5)x<13的解集是. 15．若代数式3x−15的值不小于代数式1−5x6的值，则x的取值范围是. 16．已知3x+2y=5k4x+y=2k+1且y﹣x＜2，则k的取值范围是．17．邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是元．三、计算题18．（1）解方程组：3x−2y=49x−5y=13；（2）解不等式2x+14≤x−13+1，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数解．四、解答题19．解不等式组：2(x−1)≤3x+1x3<x+14，并把解集在数轴上表示出来．五、综合题21．振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进40本甲种图书和30本乙种图书共需1700元：若购进60本甲种图书和20本乙种图书共需1800元，（1）求甲、乙两种图书每本进价各多少元；（2）该书店购进甲、乙两种图书共120本进行销售，且每本甲种图书的售价为25元，每本乙种图书的售价为40元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于950元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？22．为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：产品展板宣传册横幅制作一件产品所需时间（小时）11512制作一件产品所获利润（元）20310（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作.求制作三种产品总量的最小值.23．一次函数CD：y=−kx+b与一次函数AB：y=2kx+2b，都经过点B（-1,4）.（1）求两条直线的解析式；（2）求四边形ABDO的面积.24．如图，直线AB与x轴交于点B(−3,0)，与y轴交于点C，点A的坐标为(1,4)，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D．点E与点B关于y轴对称，直线CE交AD于点F，连接CD．（1）求直线AB的解析式：（2）点Q为直线AB上一点，当△OBQ与△CDE的面积相等时，求点Q的坐标；（3）若点P是坐标平面内一点，请直接写出△CDF与△PAC全等时点P的坐标．25．对x，y定义一种新运算F(x,y)=(ax+by)(x+3y)（中a，b均为非零常数）.例如：F(1,1)= 4a+4b；已知F(3,1)=0，F(0,1)=−9.（1）求a，b的值；（2）若关于F的不等式组F(3t+1,t)≥kF(6t,1−2t)<27恰好只有1个整数解，求k的取值范围.。
一元一次不等式和一元一次不等式组
主题单元学习目标
知识与技能：
1、经历将一些实际问题抽象成不等式的过程，体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型进一步发展符号感。
2、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。
3、掌握不等式的基本性质。
4、理解不等式组的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示一元一次不等式的解集，会解一元一次不等式组并会在数轴上确定其解集，初步体会数形结合的思想。
其他：纸、笔
学习活动设计
活动一、
如下图，正方形的边长和圆的直径都是acm。
1、如果要使正方形的周长不大于25cm,那么 a 应满足怎样的关系式？
2、如果要使圆的周长不小于100cm，那么a 应满足怎样的关系式？
3、当 a= 8 时，正方形和圆的周长哪个大？a = 12 呢？
4、你能得到什么猜想？改变a的取值再试一试。
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
由4a 4a4a≤25, πa ≥100 ,3x+5＞240得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式
活动二、。
第九章 不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。
4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。
用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。
二元一次方程组1.二元一次方程:含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.注意:一般说二元一次方程有无数个解.2.二元一次方程组:两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.注意:一般说二元一次方程组只有解(即公共解).4.二元一次方程组的解法:(1)代入消元法;(2)加减消元法;(3)注意:判断如何解简单是关键.※5.一次方程组的应用:(1)对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则难列易解(2)对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值;(3)对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系.一元一次不等式(组)1.不等式:用不等号，把两个代数式连接起来的式子叫不等式.2.不等式的基本性质:不等式的基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变;不等式的基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;不等式的基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 3.不等式的解集:能使不等式成立的未知数的`值，叫做这个不等式的解;不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集.4.一元一次不等式:只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式;它的标准形式是ax+b0或ax+b0，(a0).5.一元一次不等式的解法:一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用;注意:在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点.第一章有理数1、大于0的数是正数。
2、有理数分类：正有理数、0、负有理数。
3、有理数分类：整数(正整数、0、负整数)、分数(正分数、负分数)4、规定了原点，单位长度，正方向的直线称为数轴。
第二单元必考知识点总结第二单元主要涉及以下几个知识点：一元一次方程与不等式、二元一次方程组、一元二次方程与不等式、平方根、勾股定理和坐标系与直角坐标系。
本文将对这些知识点进行详细的总结和讲解。
一、一元一次方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指方程中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数是一。
通常的一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a、b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本步骤是先化简，然后进行移项、合并同类项、消元、求解未知数等。
2. 一元一次不等式一元一次不等式也是只包含一个未知数的不等式，其形式为ax+b>0或ax+b<0。
求解一元一次不等式与求解一元一次方程的方法基本相同，先进行移项，然后进行合并同类项、消元、求解未知数等。
二、二元一次方程组二元一次方程组是指包含两个未知数的方程组，通常的一般形式为{ax+by=c，dx+ey=f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。
求解二元一次方程组的方法有代入法、消元法、加减消元法等。
三、一元二次方程与不等式1. 一元二次方程一元二次方程是指方程中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数是二。
通常的一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
求解一元二次方程的方法有配方法、公式法、因数分解法等。
2. 一元二次不等式一元二次不等式也是只包含一个未知数的不等式，其形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
求解一元二次不等式与求解一元二次方程的方法基本相同，先求出函数的零点，然后判断各个区间的符号，最后得出不等式的解集。
四、平方根平方根是指一个数的平方等于给定的数。
平方根通常表示为√a，其中a为非负实数。
平方根有两个符号，正号表示正平方根，负号表示负平方根。
五、勾股定理勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
勾股定理的数学表达式为a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20， 所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三： 【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x xx +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．一元一次不等式组（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为 （ ）．3．（•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ＞1 4．不等式32015x -<≤的整数解有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．现用甲、乙两种运输车将46t 抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t ，乙种运输车载重4t ，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆6．如果|x+1|＝1+x ，|3x+2|＝-3x-2，那么x 的取值范围是（ ）．A ．213x -≤≤-B ．1x ≥-C ．23x ≤-D ．213x -≤≤- 二、填空题7.如果a ＜2，那么不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解集为_______，2x a x <⎧⎨>⎩的解集为_______． 8．（•广东）不等式组x x x x --⎧⎪⎨-⎪⎩1222132≤＞的解集是 ． 9．不等式组34125x +-≤<的所有整数解的和是______． 10. 如图所示，在天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围为 ．11．从彬彬家步行到学校的路程是2400米，如果彬彬7时离家，要在7时30分至40分间到达学校，那么步行的速度x （米/分）的范围是________．12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,如果a 3x =，b 4x =，c 28=，那么x 的取值范围是 ．三、解答题13.解下列不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．（1）2(1)31134x x x x +≤-⎧⎪+⎨<⎪⎩；（2）1＜3x-2＜4；14.若关于x 、y 的二元一次方程组中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围．15.郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元?(2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；【解析】解：A 、含有两个未知数，错误；B 、未知数的次数是2，错误；C 、含有两个未知数，错误；D 、符合一元一次不等式组的定义，正确；故选D.2. 【答案】A ；【解析】解不等式组可得：1,2x x >≥且．3. 【答案】A ；4. 【答案】B ；【解析】32053215x x -⎧<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：312x -≤<，所以整数解：-1，0，1. 5. 【答案】C ；【解析】设甲种运输车安排x 辆，5x+4（10-x ）≥46，x≥6，故至少要甲种运输车6辆．6. 【答案】A ；【解析】由10320x x +≥⎧⎨--≥⎩，解得213x -≤≤-． 二、填空题7. 【答案】x ＞2，无解；8. 【答案】﹣3＜x≤1；【解析】解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞-3，所以不等式组的解集是：﹣3＜x≤1.9. 【答案】-5；【解析】所有整数解：-3，-2，-1,0,1，所以和为-5.10．【答案】1＜m ＜2；【解析】由第一幅图得m ＞1，由第二幅图得m ＜2，故1＜m ＜211.【答案】60＜x ＜80； 【解析】设步行速度为x 米/分，依题意可得：3240042400x x <⎧⎨>⎩，得60＜x ＜80 12.【答案】4＜x ＜28；【解析】4x-3x ＜28＜4x+3x ，即4＜x ＜28．三、解答题13.【解析】解：(1)由①得解集为x ≥3，由②得解集为x ＜3，在数轴上表示①、②的解集，如图， 所以不等式组无解．（2）不等式组的解集为1＜x ＜2，表示在数轴上如图：14.【解析】 解：，①+②得2x=4m ﹣2，解得x=2m ﹣1，②﹣①得2y=2m+8，解得y=m+4，∵x 的值为负数，y 的值为正数， ∴，∴﹣4＜m ＜．15.【解析】解：(1)设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x-8)元．根据题意得：3x+2(x-8)＝124解得：x ＝28．∴ x-8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．(2)解：设购买书包y 个，则购买词典(40-y)本．根据题意得：1000[2820(40)]1001000[2820(40)]120y y y y -+-≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得：10≤y ≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12．所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．。
【基本目标要求】一、经历由具体实例建立不等式模型的过程，了解不等式和一元一次不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质.二、了解不等式的解和解集的概念，掌握一元一次不等式的解法，会在数轴上表示不等式的解集．三、初步认识一元一次不等式的应用价值．四、了解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴表示一元一次不等式组的解集．五、会用不等式和不等式组解决有关不等关系的简单实际问题，感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，发展学生分析问题、解决问题的能力．【基础知识导引】一、不等式及其基本性质1．定义凡用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．2．性质性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．二、不等式的解集1．不等式的解集一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．2．解不等式求不等式的解集的过程，叫做解不等式．不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如5x≥15的解集为x≥3，即在数轴上(图1-1)用表示3的点及其右边部分来表示，这里的黑点表示包括3这一点．如果不等式的解集为-1≤x＜4(图1-2)，则用数轴上表示-1的点和点4的左边之间的部分来表示，这里的黑点表示包括-1这一点在内，而右边的圆圈表示不包括4这一点在内．三、一元一次不等式和它的解法1．一元一次不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式．叫做一元一次不等式．2．一元一次不等式标准形式ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．3．同解不等式如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式．4．不等式的同解原理原理l 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式；原理2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式；原理3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式．5．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如表1-1所示．表1-1四、一元一次不等式组和它的解法1．一元一次不等式组的解集一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．2．解不等式组求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．3．解一元一次不等式组的两个步骤(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．【重点难点点拨】本章的重点是一元一次不等式的解法．本章的难点是了解不等式的解集和不等式组的解集，以及运用不等式基本性质3，要注意变号．另外，要特别重视搞清一元一次不等式与一元一次方程、一次函数三者之间的关系．要掌握以上重点、难点，必须注意以下问题．一、一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的区别与联系1．一元一次不等式、一元一次方程含有一个未知数，一次函数含有两个未知数，它们的左右两边都是整式．2．一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等的关系，一次函数不仅表示相等关系，更重要的它表示因变量关于自变量的依存关系．3．一元一次方程和一次函数的图象都是一条直线，一元一次不等式的图象是直线一侧(有时包含直线，有时不包含直线)的区域．4．一元一次方程的解是其图象(直线)与x 轴交点的横坐标的值，至于一次函数y=kx+b(k ≠0)的解析式，只须依据两个独立条件确定k 、b ，即可求出一次函数．二、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用 令一次函数y=kx+b(k ≠0)中的y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式．【发散思维导练】 ★ 发散思维分析本章的主要内容是一元一次不等式和它的解法，及一元一次不等式组和它的解法．它们是在有理数大小比较、等式及其性质、解一元一次方程、研究一次函数的基础上引入的、一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其它不等式的基础．正确地解一元一次不等式，关键在于正确地理解不等式的解的集合的意义和准确运用不等式的三个同解原理．学习不等式、一元一次不等式的有关内容可与等式、一元一次方程、一次函数的有关内容对比，找出它们之间的联系和区别，用数轴表示不等式的解集，利用数轴求不等式的解集等，都体现了数形结合的思想方法．本章安排了一定数量的迁移发散题，迁移发散利用数学式、图形在不同的数学分科中的不同含义与等价形式，把一个分科里的公式、定理、原则或方法，巧妙地迁移到另一个分科中，达到化难为易的目的．★ 发散思维应用 1．不等关系2．不等式的基本性质 3．不等式的解集 4．一元一次不等式【典型例题】1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)16144<--+x x ； (2)5.265413315.0≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛----x 。
. 解 (1)去分母，得12)1(2)4(3<--+x x ，去括号，得1222123<+-+x x ，合并同类项，得x<-2；原不等式的解集在数轴上表示如下(图1-3)(2)56541331-≤-⎪⎭⎫⎝⎛---x ， 1541331≤⎪⎭⎫ ⎝⎛---x ， 35413-≥--x ， 2413≥-x ， ∴ 3≥x .原不等式的解集在数轴上表示为(图1-4)2．解不等式1)1(22<---x x ，并把它的解集在数轴上表示出来． 解 原不等式化为2)1(22<---x x ，2222<+--x x ，∴x>-2.它在数轴上表示为(图1-5)3．求使方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x,y 都是正数的m 的取值范围．解 解方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 得⎩⎨⎧-=+-=.527m y m x ∵ 它的解为正数，∴ ⎩⎨⎧>->+-.052,07m m∴⎪⎩⎪⎨⎧><.25,7m m∴725<<m . 故当725<<m 时，原方程的解都是正数．【题型发散】发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内． (1)下面列出的不等式中，正确的是 ( ) (A)a 不是负数，可表示成a ＞0 (B)x 不大于3，可表示成x ＜3(C)m 与4的差是负数，可表示成m-4＜0 (D)x 与2的和是非负数，可表示成x+2＞0 (2)下列不等式中一定成立的是 ( ) (A)4a ＞3a (B)3-x ＜4-x (C)-a ＞-2a (D)aa 23> (3)不等式5(x+1)-3x ＞2x+3的解集为 ( ) (A)x ＞-1 (B)x ＞1 (C)无解 (D)一切实数(4)如果关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，那么 (A)m=6 (B)m 等于5，6，7 (C)无解 (D)5≤m ≤7(5)不等式14x-7(3x+8)＜4(2x-5)的负整数解是 ( ) (A)-3，-2，-1，0 (B)-4，-3，-2，-1 (C)-2，-1 (D)以上答案都不对(6)已知0|32|)2(2=--+-n b a a 中，b 为正数，则n 的取值范围是( )(A)n ＜2 (B)n ＜3 (C)n ＜4 (D)n ＜5 解 (1)用直接法.∵ a 不是负数，可表示成a ≥0； x 不大于3，应表示成x ≤3；x 与2的和是非负数应表示成x+2≥0， ∴ 只有(C)正确． 故本题应选(C)． (2)用排除法．由不等式的性质，若a ＜0，则(A)，(C)，(D)三个选项都不正确，可排除(A)，(C)，(D)． 故本题应选(B)． (3)用直接法．解不等式，经移项、合并同类项，得 O ＞-2．上面不等式与x 无关，它的解集为一切实数． 故本题应选(D)． (4)用直接法． ∵ x+2m-3=3x+7 解得 x=m-5．依据题意得0≤x ≤2，即 0≤m-5≤2，∴ 5≤m ≤7． 故本题应选(D)． (5)用排除法．14x-7(3x 十8)＜4(2x-5)， 14x-21x-56＜8x-20， 14x-21x-8x ＜-20+56， -15x ＜36，522->x ,所以，(A)，(B)，(D)均可排除． 故本题应选(C)． (6)用直接法．∵ 0|32|)2(2=--+-n b a a . 得 a-2=0，则 a=2．2a-3b-n=0，以a=2代入，得 34nb -=， ∴ b 为正数，∴ 4-n ＞0， ∴ n ＜4．故本题应选(C)．发散2 填空题(1)若方程kx+1=2x-1的解是正数，则k 的取值范围是_________． (2)若｜2a+3｜＞2a+3，则实数a 的取值范围是_____________． (3)在下面横线上填上等号或不等号． 设m ＞n ，那么m-5________n-5；-5m__________-5n ；10m _____________10n ；mp____________np 。
(4)有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20而小于40，则这个两位数为______________．(5)已知0≤a ≤15，且a ≤x ≤15，则当x_________时，式子｜x-a ｜+｜x-15｜+｜x-a-15｜的值最小．解 (1)∵ kx+1=2x-1， ∴ (k-2)x=-2，当k ≠2时，22--=k x ． 由题意得022>--k ． ∴ k-2＜0，∴ k ＜2．当k=2时，方程变为1=-1，不成立． ∴ k ≠2．(2)依据绝对值的概念，如果2a+3≥0时，｜2a+3｜=2a+3，只有2a+3＜0时，才有｜2a+3｜＞2a+3， 解不等式2a+3＜0得23-<a .(3)设m ＞n ，那么m-5＞n-5(根据不等式性质1)； -5m ＜-5n(根据不等式性质3)；1010nm >(根据不等式性质2)： 当p ＞0时，mp ＞np ， 当p=0时，mp=np ， 当p ＜0时，mp ＜np ． (4)设十位数为x ，由题意，可得20＜10x+(x+2)＜40， 得 20＜llx+2＜40，即18＜11x ＜38， ∴11381118<<x ． ∵ x 为整数，∴ x=2或x=3， ∴ 所求的两位数为24，35． (5)∵ 0≤a ≤15，且a ≤x ≤15， ∴ a+15≥15， x-(a+15)≤0，又 a ≤x ≤15，∴ x-a ≥0， x-15≤0，∴ ｜x-a ｜+｜x-15｜+｜x-a-15｜ =(x-a)+(15-x)+(a+15-x) =x-a+15-x+a+15-x =30-x ．∴ 要使上式值最小，只需x 最大，而a ≤x ≤15． ∴ 当x=15时，上式取最小值为15． 发散3 解答题(1)解不等式3(2x-5)-5(1-x)＞x-2(x-6)；(2)解不等式13)2(2413+-≥-x x ； (3)解不等式025.161)53(5.0312>++----x x x ． 解 (1)3(2x-5)-5(1-x)＞x-2(x-6)，去括号，得 6x-15-5+5x ＞x-2x+12， 移项，得 6x+5x+2x-x ＞15+5+12， 合并同类项，得 12x ＞32， 系数化为1，得 38>x ； (2)13)2(2413+-≥-x x ， 去分母，得 3(3x-1)≥4×2(x-2)+12， 去括号，得 9x-3≥8x-16+12， 移项，得 9x-8x ≥-16+12+3， 合并同类项，得 x ≥-1 (3)025.161)53(5.0312>++----x x x ， 将小数全部变为分数，得04561253312>++----x x x ， 去分母，得 4(2x-1)-6(3x-5)-2(x+1)+3×5＞0， 去括号，得 8x-4-18x+30-2x-2+15＞0， 合并同类项，得 -12x+39＞0， 移项，得 -12x ＞-39， 系数化为1，得 413<x ． 解法指导 既含有分母又含有小数的不等式，可将小数化为分数，也可将分数化为小数，但后者有可能出现无限小数，会使运算答案不准确，故常将小数全部化成分数后再解．纵横发散发散1 已知6≤m ≤12，m n m33<≤．求m+n 的取值范围． 分析 由已知得出3m和3m 的取值范围，再确定m+n 的范围． 解 ∵ 6≤m ≤12， ∴ 432≤≤m，18≤3m ≤36， 又∵m n m33<≤， ∴ 2≤n ＜36， 故 8≤m+n ＜48．发散2 p 为何值时，方程)6(213)72(21)3(51p x p x p x x --=+++-有负数解． 分析 先解方程，求出x 的值．在本题中，这是关于字母p 的表达式，然后再由x ＜0的条件，解关于p 的不等式，确定p 的取值范围．解 解方程，得 19x=30-3p ，19330px -=．∵ 方程有负数解，即 x ＜O ， 即019330<-p， 解此不等式，得 p ＞10． 发散3 当y 取什么值时，代数式412-y 的值满足下面条件： (1)大于y 231+的值； (2)不大于123-y 的值；(3)是非负数． 解 (1)根据题意，得 y y 231412+>-， 2y-1＞4+6y ，-5＞4y ，45-<y ，∴ 当45-<y 时，代数式412-y 的值大于y 231+的值．(2)根据题意，得 123412-≤-y y ，2y-1≤6y-4，3≤4y ，43≥y ， ∴ 当43≥y 时，412-y 的值不大于123-y 的值．(3)根据题意，得 0412≥-y ，2y-1≥o ，21≥y ，∴当21≥y 时，412-y 的值是非负数．【变形发散】发散题 a 取什么值时，关于x 的方程122124+-=+-ax a x 的解大于1． 分析 本题将原方程变形，以含a 的代数式来表示x ，从而利用x ＞1的条件解关于a的不等式．解 ∵ 122124+-=+-ax a x ， ∴ 176>-=a x ，故 67-<a ．【转化发散】发散1 当x 分别为何值时，代数式)3(21x -的值， (1)不小于1； (2)为正数．解 (1)根据题意，有1)3(21≥-x ，解这个不等式，得 x ≤1． ∴ 当x 取小于或等于1的值时，代数式)3(21x -不小于1；(2)根据题意，有 0)3(21>-x ，解这个不等式，得 x ＜3．∴ 当x 取小于3的值时，代数式)3(21x -的值为正数．发散2 当x 取何值时，代数式34x-的值，(1)小于612+x 的值；(2)不小于612+x 的值．分析 依题意，将比较2个代数式之值大小的问题转化为解不等式问题． 解 (1)根据题意，要求不等式61234+<-x x 的解集． 解这个不等式，得 24-2x ＜2x+1，23＜4x 得 423>x ． 所以当x 取大于423的值时，34x -的值小于612+x 的值；(2)根据题意，要求不等式61234+≥-x x 的解集，解这个不等式，得 423≤x ．所以当x 取不大于423的值时，34x -的值不小于612+x 的值．【逆向发散】发散1 已知0)3(|2|2=+-+-m y x x ． (1)当m 为何值时，y ≥0；(2)当m 为何值时，y ＜-2．解 ∵｜x-2｜≥0，0)3(2≥+-m y x ，∴ 只有在｜x-2｜=0且032=+-)m y x (时，它们的和才能等于0， 因此，x=2，3x-y+m=0， ① 将x=2代入①，得 -y+m=-6． ② 即 y=m+6．(1)要使y ≥0，即m+6≥0，得 m ≥-6．∴ 当m ≥-6时，y ≥0；(2)要使y ＜-2，即m+6＜-2，得 m ＜-8．∴ 当m ＜-8时，y ＜-2．发散2 若0)5(|123|2=--+-m y x x ．(1)当y ＞0时，求m 的范围；(2)当y ＜O 时，求m 的范围；(3)当y=0时，求m 的值．解 ∵ 0)5(|123|2=--+-m y x x ，∴ 3x-12=0，5x-y-m=0，∴ x=4，y=5x-m=20-m ．(1)∵ y=20-m ＞0 ∴ m ＜20．即当y ＞O 时，m ＜20；(2)∵ y=20-m ＜O ∴ m ＞20．即当y ＜O 时，m ＞20；(3)∵ y=20-m=0 ∴ m=20．即当y=0时，m=20．【变更命题发散】发散1 当k 取何值时，方程1)(5332+-=-k x k x 的解是正数． 分析 先解方程，求x ．解 1)(5332+-=-k x k x ， 2x-9k=15(x-k)+3，2x-9k=15x-15k+3，13x=6k-3，1336-=k x ． 令01336>-k ，∴ 6k-3＞0， ∴ 21>k ． 即当21>k 时，原方程的解为正数． 发散2 当k 取何值时，方程1)(5332+-=-k x k x 的解是负数． 分析 先解方程，求x ．解 1)(5332+-=-k x k x ， 2x-9k=15(x-k)+3，2x-9k=15x-15k+3，13x=6k-3，∴ 1336-=x x ． 令01336<-x ，∴6k-3＜0． ∴ 21<k ． 即当21<k 时，原方程的解为负数．【构造发散】发散1 求同时满足不等式6x-2≥3x-4和2214x x -<-的整数x ． 分析 本题构造数轴分别将2个不等式的解集在其上表示出来，然后观察其公共解集的范围内有哪些整数．不等式6x-2≥3x-4的解集是32-≥x ； 不等式2214x x -<-的解集是x ＜4． 所以，同时满足不等式6x-2≥3x-4和2214x x -<-的x 的取值范围是432<≤-x (如图1-6)，故满足条件的整数x 为0，1，2，3．发散2 求不等式21429323-≤---x x x 的非负整数解． 解 去分母得 4(3x-2)-3(9-2x)≤6(x-1)，化简整理得 12x ≤29，∴ 1229≤x ． ∴ 不等式的非负整数解为0，1，2． 发散3 求不等式6122343->--+x x x 的正整数解． 解 去分母得2(3x+4)-3(x-2)＞6x-1， 6x+8-3x+6＞6x-1，∴ x ＜5，∴ 不等式的正整数解为1，2，3，4．发散4 求不等式0)5(31)34(21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---x x 的正整数解． 解 原不等式两边都乘以-2，得0)5(31)34(<+--x x ． 314311<x ． ∴ 1114<x ． ∵ 小于1114的正整数只有1， ∴ 原不等式的正整数解为x=1 题组点评求正整数解的思路是先求不等式的解集，然后在解集中寻找符合条件的正整数．。
