第6章 特勒根定理

理论力学

东北大学理学院力学系张英杰Northeastern University

PAG 2质点动力学问题:

质点系动力学问题:理论上，n个质点列3n个微分

方程，联立求解即可

建立质点运动微分方程求解动力学普遍定理概述

动量矩定理

动能定理动力学普遍定理

:动量定理动量冲量

动量矩力矩

动能功Ⅲ 动力学Northeastern University

PAG 31

2

3第十章动量定理

动量与冲量

动量定理

质心运动定理Northeastern University

PAG 4—度量物体机械运动强弱程度的物理量

物体在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与

物体的速度变化有关，而且与它们的质量有关。

方向：与质点速度方向相同质点的动量:子弹击穿钢板、钢针穿透玻璃板

瞬时矢量

单位：kgm/s轮船靠岸§10-1动量与冲量

一、动量

质点的质量与速度的乘积vm

大小：mvNortheastern University

PAG 5

质点系的动量

:

质点系内各质点动量的矢量和

m

i:第i个质点的质量n:质点的个数质点系动量

的主矢量§10-1动量与冲量



n

iiivmp

1

:第i个质点的速度

iv方向：与质点速度方向相同质点的动量:

瞬时矢量

单位：kgm/s质点的质量与速度的乘积vm

大小：mv—度量物体机械运动强弱程度的物理量一、动量Northeastern University

PAG 6§10-1动量与冲量

三个可视为质点的物块用绳相连,质量m

1=2m

2= 4m

3 ,忽

略绳的质量和变形。求这三个质点组成质点系的动量。

iin

iiivmvmp

1v

45

1m3m2m

cos

3322vmvmp

xvm

3707.2

1133sinvmvmp

y

vm

3293.3y

x11vm

33vm

22vmp

vmppp

yx322263.4

58.50arccos),(

pp

ipx58.140arccos),(

pp

jpy332211vmvmvmNortheastern University

特勒根定理（Tolerance Theorem）是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。下面是特勒根定理的证明：

假设有一个电路，其中包含元件A、B、C，它们的电阻值分别为R1、R2、R3，并且它们的容差分别为δR1、δR2、δR3。根据容差的定义，我们知道δR1+δR2+δR3=0。

现在，我们考虑将元件A、B、C的电阻值分别调整为R1+ΔR1、R2+ΔR2、R3+ΔR3，其中ΔR1、ΔR2、ΔR3都是非零实数，并且它们的大小小于元件的额定容差。根据容差的定义，我们有δR1+δR2+δR3=0，因此我们可以将上式改写为：

δR1+δR2+δR3 = -(δR1+δR2+δR3)

将ΔR1、ΔR2、ΔR3代入上式，我们得到：

ΔR1+ΔR2+ΔR3 = -(ΔR1+ΔR2+ΔR3)

这意味着元件的容差对电路中各个元件之间的相互关系产生了影响。如果我们将元件的电阻值调整为比额定容差小的值，那么电路中各个元件之间的相互关系将发生变化。

为了描述这种变化，特勒根定理提供了一个简单的公式。具体来说，特勒根定理指出：

对于电路中的任何元件，如果它的电阻值的变化量ΔR小于元件的额定容差，那么电路中的总电压变化量ΔV将满足：

ΔV/V < (R1+R2+R3) / 3

其中，V是电路中的总电压。

这个公式告诉我们，当电路中的某个元件的电阻值发生变化时，电路中的总电压变化量将非常小，通常小于额定容差的三分之一。这意味着我们可以在电路设计中考虑元件的容差，而不必担心它们对电路性能的影响。

总之，特勒根定理是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。特勒根定理的证明基于电路中各个元件之间的相互关系，并且提供了一个简单的公式，用于描述元件的容差对电路中总电压变化量的影响。

- 1 - 1 特勒根定理

5-1 引言

特勒根定理是关于电网络拓扑结构的定理，它脱离了元件具体的物理性态，因而具有更普遍的意义。

特勒根定理是B.D.H. Tellegen在本世纪五十年代初提出的[1、2]。 实际上，在此之前，已出现了许多关于特勒根定理的推导和讨论的文章[3-5]。 最早的工作应追溯到 1883年

O. Heaviside的论文[6]。尽管如此，先于Tellegen的作者们没有指出定理的普遍性及其应用上的灵活性，只是将它用于一个特定的目的，或者只作出说明而没有探讨它的应用。定理以 Tellegen的名字命名是因为他是指出定理有普遍意义的第一人。

特勒根定理不仅具有电网络意义，它还具有更一般的应用价值，文[7]在一般数学方程组的基础上提出了广义特勒根定理，并给出了矩阵互易定理，进一步发展了这一理论。

本章介绍特勒根定理。首先讨论特勒根定理在电网络中的表述，然后给出广义特勒根定理，并进行流图解析，最后是广义特勒根定理的应用举例。

5-2 特勒根定理

1． 定理5-1（特勒根定理1）：对n个节点b条支路的电网络，在标定支路的参考方向后，必有

0),,,(02121nnIIIVVVbTbIV （5.1）

其中，bV和bI分别是支路电压和支路电流向量。

证明：

由第一章网络的关联性可知 mTbbnTabIKIVKV （5.2）

各符号意义同第一章，于是有 baTnbTbIKVIV (5.3)

由基尔霍夫电流定律 0IKba （5.4）

故必有 0IVbTb （5.5）

第6讲 力与运动的关系 动量定理 （1）

一、动量定理：（微元法）

1、以速度大小为v1竖直向上抛出一小球，小球落回地面时的速度大小

为v2，设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比，求小球

在空中运动的时间t=？（高度h=？）

2、质量为m，长为L的均匀软铁链用细绳悬在天花板上，下端刚好接触

地面．某时刻细绳突然断了，软铁链自由落下，求：

L

A

B

（1）从悬绳断开到铁绳全部落至地面过程中地面对铁绳的平均弹力？

（2）若地面改为电子秤托盘面，求秤的最大读数为铁链重力的几倍？

（隔离分析微元或整体“导数”）

（练习）一根均匀柔软绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一个钉

子上．其中一端突然从钉子上脱落，求下落端的端点离钉子的距离为x

时，钉子对绳子另一端的作用力．

（机械能不守恒）

3、质量很大的平板沿水平方向以速度v0运动．一小球在高度为H处从静

止自由下落，并与平板相碰，小球与平板间的摩擦系数为μ，小球反弹

时相对地面的速度为v，与水平面的夹角为α，反弹后达到的最大高度仍

为H，试讨论α与高度H的关系．

（注：当“碰撞”作用时间极短时，可忽略有限大小力的冲量．）

（与关系怎样？）

二、动量守恒定律

①系统在某一方向上所受合外力为零，则系统在这一方向上动量守恒.

②当物体间内作用时间极短时，忽略有限大小外力的冲量，动量守恒.

1、图为两弹性小球1和2，球1的质量为m1，初速为v10；球2的质量

为m2，静止．两球相碰后，球l的速度方向与碰前速度方向垂直，球2的

速度方向与球l的初速方向夹角θ，．试求两球碰后的速度大小以及恢复

系数、总机械能的损失？

（斜碰，没有摩擦作用，仅在弹性作用方向体现）

2、如图所示，光滑水平面上有一长为L的平板小车，其质量为M，车左

端站着一个质量为m的人，车和人都处于静止状态，若人要从车的左端

刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（相对地面）？

（设速度大小v、方向θ）

（练习）如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m,发