【数学】河南省豫南九校联考2018-2019学年高一上学期期末考试试题(解析版)

`河南省豫南九校联考2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线()A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【答案】D【解析】解：由题意，笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．故选：D．由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项．本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直与三垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案．2.已知直线l经过点P(−2,5)，且斜率为−3，则直线l的方程为()4A. 3x+4y−14=0B. 3x−4y+14=0C. 4x+3y−14=0 D. 4x−3y+14=0【答案】A【解析】解：∵直线l经过点P(−2,5)，且斜率为−3，4(x+2)，∴直线l的点斜式方程为y−5=−34整理得：3x+4y−14=0．故选：A．直接弦长直线方程的点斜式，整理为一般式得答案．本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．3.若线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘【答案】C【解析】解：如图，AC⊥α，垂足为C，AB∩α=B，则BC是AB在平面α内的射影，∴∠ABC是直线与平面所成的角，∵线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，∴BC=1AB，2∴∠ABC=60∘．∴AB所在直线与平面α所成的角为60∘．故选：C．作AC⊥α，AB∩α=B，则BC是AB在平面α内的射影，∠ABC是直线与平面所成的角，由此能求出AB所在直线与平面α所成的角．本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．4.下列函数中，满足“f(xy)=f(x)f(y)“的单调递增函数是())x D. f(x)=3xA. f(x)=x3B. f(x)=lgxC. f(x)=(13【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于f(x)=x3，有(xy)3=x3×y3，满足f(xy)=f(x)f(y)，符合题意；对于B，f(x)=lgx，为对数函数，不满足f(xy)=f(x)f(y)，不符合题意；)x，为指数函数，不满足f(xy)=f(x)f(y)，不符合题意；对于C，f(x)=(13对于D，f(x)=3x，为指数函数，不满足f(xy)=f(x)f(y)，不符合题意；故选：A．根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的值的计算，涉及函数单调性的判断，属于基础题．5.若直线11：2x−ay−1=0过点(1,1)，l2：x+2y=0，则直线l1与l2()A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 相交于点(2,−1)【答案】C【解析】解：∵直线l1：2x−ay−1=0过点(1,1)，∴2−a−1=0，∴a=1，∴直线l1：2x−y−1=0的斜率为2，∵l2：x+2y=0的斜率为−1，2∴直线l1与l2：x+2y=0互相垂直．故选：C．利用直线l 1：2x −ay −1=0过点(1,1)，求出a ，求出两条直线的斜率，即可得出结论． 本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．6. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )A.B. C. D.【答案】D【解析】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中， 在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合， 另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合， 对照各图，只有D 符合． 故选：D ．根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．7. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0log 5x,x>0，则f(f(125))=( )A. 4B. 14C. −4D. −14【答案】B【解析】解：f(125)=log 5125=−2， f(f(125))=f(−2)=14， 故选：B ．由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．8. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直【答案】D【解析】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB//CE；∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60∘；∴AB，CD异面但不垂直．故选：D．根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断AB，CD的位置关系．考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图．9.已知函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y=ax+1a表示的直线是()A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，∴0<a<1，方程y=ax+1a，令x=0可得y=1a ，y=0可得x=−1a2，∵−1a2>1a，∴C选项正确．故选：C．判断a的范围，利用函数的图象经过的特殊点，判断求解即可．本题考查函数的图象的判断，指数函数的应用，考查计算能力．10. 如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A. AC ⊥BDB. AC//截面PQMNC. AC =BDD. 异面直线PM 与BD 所成的角为45∘【答案】C【解析】解：因为截面PQMN 是正方形，所以PQ//MN 、QM//PN ， 则PQ//平面ACD 、QM//平面BDA ， 所以PQ//AC ，QM//BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ//AC 可得AC//截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的． 故选：C ．首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC 、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断． 本题主要考查线面平行的性质与判定．11. 已知f(x)=log a (8−3ax)在[−1,2]上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,43)C. [43,4)D. (1,+∞)【答案】B【解析】解：令y =log a t ，t =8−3ax ， (1)若0<a <1，则函y =log a t ，是减函数，由题设知t =8−3ax 为增函数，需a <0，故此时无解； (2)若a >1，则函数y =log a t 是增函数，则t 为减函数， 需a >0且8−3a ×2>0，可解得1<a <43 综上可得实数a 的取值范围是(1,43). 故选：B ．先将函数f(x)=log a (8−3ax)转化为y =log a t ，t =8−3ax ，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．12. 《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB =1尺，弓形高CD =1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5∘≈513)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D【解析】解：如图，AB =10(寸)，则AD =5(寸)，CD =1(寸)， 设圆O 的半径为x(寸)，则OD =(x −1)(寸)，在Rt △ADO 中，由勾股定理可得：52+(x −1)2=x 2，解得：x =13(寸)．∴sin∠AOD =ADAO =513，即∠AOD ≈22.5∘，则∠AOB =45∘． 则弓形ACB ⏜的面积S =12×π4×132−12×10×12≈6.33(平方寸)． 则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V =6.33×100=633(立方寸)． 故选：D ．由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案． 本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线y =kx +2k +1，则直线恒经过的定点______． 【答案】(−2,1)【解析】解：将直线y =kx +2k +1化简为点斜式，可得y −1=k(x +2)， ∴直线经过定点(−2,1)，且斜率为k ． 即直线y =kx +2k +1恒过定点(−2,1)． 故答案为：(−2,1)．将直线化简成点斜式的形式得：y −1=k(x +2)，可得直线的斜率为k 且经过定点(−2,1)，从而得到答案．本题给出含有参数k 的直线方程，求直线经过的定点坐标.着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．14. 在△ABC 中，∠ACB =90∘，AB =8，∠ABC =60∘，PC ⊥平面ABC ，PC =4，M是AB 上一个动点，则PM 的最小值为______．【答案】2√7【解析】解：如图，作CH ⊥AB 于H ，连PH ， ∵PC ⊥面ABC ，∴PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值， 而CH =2√3，PC =4， ∴PH =2√7． 故答案为：2√7要使PM 的最小，只需CM 最小即可，作CH ⊥AB 于H ，连PH ，根据线面垂直的性质可知PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值，在直角三角形PCH 中求出PH 即可．本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于基础题．15. 已知集合A ={x|log 2(2x −4)≤1}，集合B ={y|y =(15)x ,x ≥−12}，则A ∩B =______． 【答案】，【解析】解：解不等式：log 2（2x -4）≤1得：0＜2x -4≤2，即：2＜x ≤3，即A =，由y =（15）x ，x ≥−12，求其值域得：0＜y ≤√5，即B =，即A ∩B =， 故答案为：．解对数不等式得：A =，求指数函数值域有：B =，再利用交集及其运算可得解，本题考查了解对数不等式、求指数函数值域及交集及其运算，属简单题16. 平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是______(填上所有你认为正确的序号)①正三边形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 ⑤钝角三角形 ⑥等腰梯形 ⑦非矩形的平行四边形 【答案】①②④⑥⑦ 【解析】解：画出截面图形如图：可以画出三边形，但不能画出直角三角形和钝角三角形，故①正确，⑤错误； 可以画出正四边形，故②正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形，故③错误；．正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故④正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故⑥正确．可以画出非矩形的平行四边形，故⑦．故平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是：正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形的平行四边形．故答案为：①②④⑥⑦．正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得正六边形，最少与三个面相交得正三边形，因此用一个平面去截一正方体，截面可能为正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形的平行四边形．本题考查平面截正方体的截面图形的判断，考查棱柱的结构特征等基础知识，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l的方程为x+2y−6=0，直线l1与l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l1的方程．【答案】解：由题意可设直线l1的方程为：x+2y+m=0，可得与两坐标轴的交点分别为：(−m,0)，(0,−m2).则12|−m|⋅|−m2|=4，解得m=±4．∴直线l1的方程为：x+2y±4=0．【解析】由题意可设直线l1的方程为：x+2y+m=0，可得与两坐标轴的交点，利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、直线与坐标轴的交点、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.设函数f(x)=x2+2x−m．(1)当m=3时，求函数f(x)的零点．(2)当x∈[1,+∞)时，f(x)≥0恒成立，求m的最大值．【答案】解：(1)m=3时，f(x)=x2+2x−3，由f(x)=0，可得x=1或−3，则f(x)的零点为1或−3；(2)当x∈[1,+∞)时，f(x)≥0恒成立，可得m≤x2+2x在x≥1的最小值，由y=x2+2x在x≥1递增，可得函数y的最小值为3，即有m≤3，即m的最大值为3．【解析】(1)求得f(x)的解析式，令f(x)=0，解方程可得所求零点；(2)由题意可得m≤x2+2x在x≥1的最小值，由二次函数的单调性可得最小值，即可得到所求m的最大值．本题考查二次函数的零点和二次不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于基础题．19.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．(Ⅰ)求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)证明：四边形EFGH是矩形．【答案】(Ⅰ)解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V=13×12×2×2×1=23；(Ⅱ)证明：∵BC//平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC//FG，BC//EH，∴FG//EH．同理EF//AD，HG//AD，∴EF//HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【解析】(Ⅰ)证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形．本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0.AC边上的高BH所在直线为x−2y−5=0.求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．【答案】解：直线AC 的方程为： y −1=−2(x −5)， 即2x +y −11=0，解方程组{2x −y −5=02x+y−11=0得{y =3x=4则C 点坐标为(4,3)． 设B(m,n)， 则M(m+52,n+12)，{2m+52−n+12−5=0m −2n −5=0，整理得{m −2n −5=02m−n−1=0，解得{n =−3m=−1则B 点坐标为(−1,−3)， y −3=65(x −4)，即6x −5y −9=0．【解析】(1)先求直线AC 的方程，然后求出C 的坐标．(2)设出B 的坐标，求出M 代入直线方程为2x −y −5=0，与直线为x −2y −5=0.联立求出B 的坐标然后可得直线BC 的方程．本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．21. 已知四棱锥E −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60∘，AB =EC =2，AE =BE =√2，O 为AB 的中点．(Ⅰ)求证：EO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求点D 到面AEC 的距离．【答案】(I)证明：连接CO∵AE =EB =√2,AB =2∴△AEB 为等腰直角三角形∵O 为AB 的中点，∴EO ⊥AB ，EO =1…(2分)又∵AB =BC ，∠ABC =60∘，∴△ACB 是等边三角形∴CO =√3，…(4分)又EC =2，∴EC 2=EO 2+CO 2，∴EO ⊥CO ，∵AB ∩CO =O∴EO ⊥平面ABCD …(6分)(II)解：设点D 到面AEC 的距离为h∵AE =√2,AC =EC =2∴S △AEC =√72…(8分) ∵S △ADC =√3，E 到面ACB 的距离EO =1，V D−AEC =V E−ADC∴S △AEC ⋅ℎ=S △ADC ⋅EO …(10分)∴ℎ=2√217∴点D 到面AEC 的距离为2√217…(12分) 【解析】(I)连接CO ，利用△AEB 为等腰直角三角形，证明EO ⊥AB ，利用勾股定理，证明EO ⊥CO ，利用线面垂直的判定，可得EO ⊥平面ABCD ；(II)利用等体积，即V D−AEC =V E−ADC ，从而可求点D 到面AEC 的距离．本题考查线面垂直，考查点到面距离的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，考查等体积的运用，属于中档题．22. 已知函数f(x)=2x−3x−1+a(a ∈R)．(1)判断并证明f(x)在(1,+∞)上的单调性；(2)若存在1<m <n 使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=2x−3x−1+a 在(1,+∞)上为增函数； 设1<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(2x 1−3x 1−1+a)−(2x 2−3x 2−1+a)=x 1−x 2(x 1−1)(x 2−1)，又由1<x 1<x 2，则(x 1−1)>0，(x 2−1)>0，(x 1−x 2)<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，则函数函数f(x)=2x−3x−1+a 在(1,+∞)上为增函数；(2)根据题意，由(1)的结论，函数f(x)在(1,+∞)上为增函数，若存在1<m <n 使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，即{f(n)=n f(m)=m，则方程f(x)=x 即x 2+(a +3)x +(a +3)=0在区间(1,+∞)上有两个不同的根， 设g(x)=x 2+(a +3)x +(a +3)，必有{△=(a +3)2−4(a +3)>0g(1)=1>0a+32>1，解可得a >1， 即a 的取值范围为(1,+∞)．【解析】(1)根据题意，设1<x 1<x 2，由作差法分析可得结论；(2)根据题意，结合函数的单调性可得{f(n)=n f(m)=m，分析可得方程f(x)=x 即x 2+(a +3)x +(a +3)=0在区间(1,+∞)上有两个不同的根，设g(x)=x 2+(a +3)x +(a +3)，结合二次函数的性质分析可得{△=(a +3)2−4(a +3)>0g(1)=1>0a+32>1，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性，属于综合题．。

豫南九校2017-2018学年上期期末联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个．故选D.2. 已知：直线与直线平行，则的值为（）A. 1B. -1C. 0D. -1或1【答案】A【解析】由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，即－1或1，经检验成立.故选A.3. 函数，则（）A. B. 4 C. D. 8【答案】D【解析】∵，∴.故选D4. 设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（）A. 是直线且，B. 是异面直线，C. 是相交直线且，D. 是平行直线且，【答案】C【解析】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，是相交直线且，，，，由直线和平面平行的判定定理可得.故选C.5. 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上是单调增函数，，只需a≤1，从而a∈(－∞，1]．故选B.6. 已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为. 故选C.7. 设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以，，又当x≥1时，f(x)＝ln x单调递增，所以，故选B.8. 已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（）A. 0B.C.D. 1【答案】C【解析】∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴，所以.故选C.9. 某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】在正方体ABCD­A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1­BCB1，如图所示，该四面体的体积为. 故选B．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10. 已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（）A. -9，1B. -10，1C. -9，2D. -10，2【答案】A【解析】即为y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，.....................故选A.11. 已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，对一切，f(x)>0都成立，即，而，则实数a的取值范围为.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .12. 已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（）A. 10B. 13C. 15D. 20【答案】B【解析】如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝5，∴|AC|2＋|BD|2＝4(9－|OP|2)＋4(9－|OQ|2)＝52．则|AC|·|BD|=，当时，|AC|·|BD|有最大值26，此时S四边形ABCD＝|AC|·|BD|=×26＝13，∴四边形ABCD面积的最大值为13．故选B．点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的单调递增区间为__________．【答案】(－∞，－1)【解析】试题分析：因为，所以当时，而，所以函数的单调递增区间为.考点：复合函数单调性14. 已知集合，，则集合中子集个数是__________【答案】4【解析】由题意知中的元素为圆与直线交点，因为圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离，所以直线与圆相交．集合有两个元素.故集合中子集个数为4.故答案为：4.15. 如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________．【答案】【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形， AA1=2AB所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2．故答案为：2.点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.16. 已知函数，则函数的零点个数为__________．【答案】3【解析】由，得，作出y＝f(x)，的图象，由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3．故答案为：3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，集合，集合.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1)A∪B＝{x|－2<x<3}，；(2)(－∞，－2]．【解析】试题分析：（1）求解集合A,B根据集合交并补的定义求解即可；（2）由A∩B＝A，得A⊆B，从而得，解不等式求解即可.试题解析：（1）由题得集合A＝{x|0＜＜1}={x|1＜＜3}当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝{x|－2<x<3}．（2）由A∩B＝A，得A⊆B..解得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．18. 已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x＋24y＋2＝0.【解析】试题分析：（1）直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定点；（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大，利用点斜式求直线方程即可.试题解析：（1）证明：直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，得，所以直线l恒过定点．（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率，所以直线l的斜率k l＝－．故直线l的方程为，即15x＋24y＋2＝0．19. 设是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）解不等式.【答案】(1)；(2)(－∞，－2)∪(0,2)．【解析】试题分析：（1）奇函数有f(0)＝0，再由x<0时，f(x)＝－f(－x)即可求解；（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.试题解析：（1）因为f(x)是定义在上的奇函数，所以当x=0时，f(x)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，.所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝..综上所述：此函数的解析式.（2）f(x)<－，当x=0时，f(x)<－不成立；当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x－1<8，解得x<2，当x<0时，即<－，所以>－，所以3－x>32，所以x<－2，综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2)．20. 已知圆经过点，和直线相切.（1）求圆的方程；（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.【答案】(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0．【解析】试题分析：（1）先求线段AB的垂直平分线方程为，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；（2）由题知圆心C到直线l的距离，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.试题解析：（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)，,线段AB的垂直平分线方程为，即，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，则，化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝．∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．（解二：可设原方程用待定系数法求解）（2）由题知圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，解得k＝，∴直线l的方程为y＝（x－2）．综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0．点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．21. 如图，四面体中，平面，，，，.（1）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.试题解析：（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，可得,所以,由PA⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,所以,又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以,所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，．（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA 交PC于点M，连接BM．由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC．由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN．又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．因为与相似，，从而NC＝AC－AN＝．由MN∥PA，得＝＝．22. 已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数的最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根据log3x∈[0,2]，即可得值域；（3）由，假设最大值为0，因为,则有，求解即可.试题解析：（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，因为x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．（2）由，得(3－4log3x)(3－log3x)>k，令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，令，其对称轴为，所以当时，的最小值为，综上，实数k的取值范围为(－∞，)．.（3）假设存在实数，使得函数的最大值为0，由.因为,则有，解得，所以不存在实数，使得函数的最大值为0.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。

绝密★启用前【全国校级联考word 】河南省豫南九校2016-2017学年高一下学期期中联考数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（ ）A ．85，86B ．85，85，C ．86，85D ．86，862、函数（是常数，）的部分图像如图所示，则下列结论：①将的图像向左平移个单位，所得到的函数是偶函数：②；③最小正周期为；④；⑤．其中正确的结论有（）A ．个B ．个C ．个D ．个3、已知函数满足，函数，若函数与的图像共有个交点，记作，则的值为（）A ．B ．C ．D ．4、函数（为常数），若在上有最小值为，则在上有（）A ．最大值B ．最大值C ．最大值D ．最大值5、如图，已知三菱锥的底面是等腰直角三角形，且,侧面底面，．则这个三菱锥的三视图中标注的尺寸分别是（）A ．B ．C ．D ．6、已知集合，在区间上任取一实数，则的概率为（）A ．B ．C ．D ．7、阅读如图所示的程序框图，输入的值为（）A ．B ．C ．D ．8、已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题： ①若，则 ②若，则③若是两条异面直线，若，则④如果，那么上面命题中，正确的序号为（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③④9、下列函数中，周期为，且以直线为对称轴的是（）A ．B ．C ． D．10、某数学兴趣小组有名男生和名女生，从中任选出名同学参加数学竞赛，那么对立的两个事件为（）A ．恰有名女生与恰有名女生B ．至少有名男生与全是男生C ．至少有名男生与至少有名女生D ．至少有名女生与全是男生11、某公司为对本公司的名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为，采用系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为，那么抽取的员工中，最大的编号应该是（） A ．B ．C ．D ．12、若角的终边上有一点，则的值是（）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，若圆与直线相切，则圆的标准方程是__________．14、设函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为 ，则函数在上的面积为__________．15、从中任取两个不同的数字，分别记为，则为整数的概率是__________．16、如图所示程序执行后输出的结果是__________．三、解答题（题型注释）17、某地为弘扬中国传统文化举办“传统文化常识问答活动”，随机对该市岁的人群抽取一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：，再将其按从左到右的顺序分别编号为第组，第组，…，第组，绘制了样本的频率分布直方图，并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组组组 组 组⑴分别求出,的值；⑵从组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则第组每组应各抽取多少人？⑶在⑵的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求所抽取的人中第组至少有人获得幸运奖的概率．18、已知函数．⑴从区间内任取一个实数，设事件表示“函数在区间上有两个不同的零点”，求事件发生的概率；⑵若联系掷两次一颗均匀的骰子（骰子六个面上标注的点数分别为）得到的点数分别为和，记事件表示“在上恒成立”，求事件发生的概率．19、已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻最高点的距离为．⑴求的解析式；⑵将的图象向右平移个单位，得到的图象若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围．20、已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，某班名学生的数学和物理成绩如表：⑴求物理成绩对数学成绩的线性回归方程；⑵当某位学生的数学成绩为分时，预测他的物理成绩．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：参考数据：，21、已知函数．⑴求函数的最小正周期和单调递增区间； ⑵解不等式．22、⑴已知，若为第二象限角，且，求的值；⑵已知，求的值．参考答案1、B2、C3、D4、A5、D6、C7、B8、C9、B10、D11、C12、A13、14、15、16、17、（1），（2）第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人（3）18、（1）（2）19、（1）（2）20、（1）（2）．21、（1）（2）22、（1）（2）2【解析】1、试题分析：甲同学的成绩分别为，众数为85，乙同学成绩分别为，中位数是85．故选B．考点：茎叶图，众数，中位数．2、解答：由图可知f(x)的最小值为−2，∴A=2..故③正确；∵.令k=0得：故①不正确；，故②错误；令,∴f(x)的对称轴方程为.∴f(x)的图象关于直线对称,∵，∵，故④正确；令,解得,∴f(x)的对称中心为.∴f(x)关于对称，∵点(x,y)关于对称的点为，∴，故⑤正确.综上，有3个结论正确.本题选择C选项.点睛：函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝A sin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．(2)周期性：y＝A sin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为.(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x、ω.利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．3、解：函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=8-f(4+x)，可得：f(-x)+f(4+x)=8，即函数f(x)关于点(2，4)对称，函数可知图象关于(2，4)对称；∴函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点即在(2，4)两边各有84个交点．而每个对称点都有：x1+x2=4，y1+y2=8，∵有168个交点，即有84组．故得：(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x168+y168)=(4+8)×84=1008．本题选择D选项.点睛：若函数y＝f(x＋b)+a是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,a)中心对称，利用两函数的对称中心相同可求得的值4、解：由题意可知：是奇函数，且：，由题意可知：在上有最小值为，则函数在上有最大值，故函数在上有最大值.本题选择A选项.5、解：∵三棱锥P−ABC的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90∘，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4；∴x是等边△PAB边AB上的高,，y是边AB的一半,，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线,；∴x,y,z分别是，2，2.本题选择D选项.6、解答：∵A=(−1,2)，B= (−1,1)，所以A∩B={x|−1<x<1},所以在区间(−3,3)上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为.本题选择C选项.7、解：第1次循环；第2次循环；第3次循环；第4次循环；循环的规律是n增加“1”,s增加角为等差数列公差为的正弦函数值，循环11次结束,所以 .本题选择B选项.点睛：本题考查循环结构需要注意以下三点：一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．8、解：对于①,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或异面，故错；对于②,若m,n⊂α,m∥β,n∥β且m、n相交,则α∥β，故错；对于③,若m,n是两条异面直线,若m∥α,n∥α,在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线,由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；本题选择C选项.9、解：逐一考查所给的选项：选项A中，，不合题意，选项B中，，当时：，直线为函数的对称轴，符合题意；选项C中，，当时：，直线不是函数的对称轴，不合题意；选项D中，正切型函数没有对称轴，不合题意.本题选择B选项.10、解：由对立事件的定义结合题意可知：“从中任选出名同学参加数学竞赛”对立的两个事件为：“至少有名女生与全是男生”.本题选择D选项.11、解答：∵抽取的学生中最小的两个编号为为5,21,∴样本数据组距为21−5=16，样本容量n=10，∴编号对应的数列的通项公式为a n=5+16(n−1)，则当n=10时，5+16×9=149，即抽取的最大编号是149.本题选择C选项.12、解：由题意可知： .本题选择A选项.13、解：直线与圆相切，设圆心坐标为(a,0)，则圆方程为：(x−a)2+y2=4，∵圆心与切点连线必垂直于切线，根据点与直线距离公式，得,解得a=2或，(因圆心在正半轴,不符合舍去)，∴a=2，∴圆C的方程为：(x−2)2+y2=4.整理为一般方程为：.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．14、解：令，则问题等价于求解在区间上的面积，由题中所给的结论可知：，函数的周期为，结合正弦函数的性质可知：，将函数的图象向上平移两个单位得到函数的图象，增加的面积为：，综上可得：函数在上的面积为 .15、解：满足题意的a,b实数对可以是：共四种，由古典概型公式可得： .16、解：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4，满足条件S＜15；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3，满足条件S＜15；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2，满足条件S＜15；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1，满足条件S＜15；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0，不满足条件S＜15；结束循环，输出n=0．17、试题分析：（1）先根据频率分步直方图求出,再求出第二组和第四组的人数，再根据比例求出（2）分层抽样，即按照比例抽取，所以先求第2,3,4组回答正确的人的比为，再进行抽取。

豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的娃名、准考证号．考场号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}22610A x x =∈<+≤N ，{}04B x x =<<，则A B ⋂=（）A ．{}1,2,3B ．{}0,2,3C ．{}1,2D ．{}2,32．已知i 为虚数单位，则43i1i -=+（）A ．17i 22+B ．17i22-C ．53i 22+D ．53i 22-3．已知“24x x >”是“2x m <”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．[]2,2-C ．()(),22,⋃-∞-+∞D ．(][),22,-∞-⋃+∞4．已知圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若6cos 4BOC ∠=，则OA OC ⋅= （）A ．BC ．D 5．已知函数()1xf x ax x =++，若()02f '=，则()2f =（）A ．83B ．2C ．53D ．36．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b ==，且12CA CB ⋅=- ，则c =（）A ．2B ．C D7．已知sin18m ︒=，则cos 2424︒+︒=（）A ．242m-B ．224m-C ．4D ．4-8．已知{}n a 为等差数列，公差为黄金分割比512（约等于0.618），前n 项和为n S ，则()2106842a a S S -+-=（）A 1-B 1+C ．16D ．49．2022年8月26日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同吋，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积S （单位：m 2）与时间t （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型()tS t ka =（t ∈Z ，0k >，0a >且1a ≠）．已知第一个月该植物的生长面积为1m 2，第3个月该植物的生长面积为4m 2，则该植物的生长面积达到100m 2，至少要经过（）A ．6个月B ．8个月C ．9个月D ．11个月10．已知()e xf x x =，过1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（）A ．3e2B ．23e C ．2e D11．已知函数()()sin 034f x A x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若4T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的图象向左平移2π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则2f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．D 12．已知数列{}n a 的通项公式为()2(1)n n a n n =--，前n 项和为n S ，则满足212023n S +≤-的最小正整数n 的值为（）A ．28B ．30C ．31D ．32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点()1,2A ，()2,3B -，则与AB垂直的单位向量的坐标为______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若945S =，且8996a a +=，则123a a +=______．15．已知函数()2sin f x x =的导函数为()f x '，()()()g x f x f x =+'，则函数()g x 图象的对称中心为______．16．已知函数()231sin 3e 12xf x x π⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为______．三、解答题，本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知复数z 的共轭复数为z ，()()2i 3i zm m -=+∈R （其中i 为虚数单位）．（1）若6z z +=，求z ；（2）若3z z ⋅<，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知命题p ：()21,02,0x a x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪+≤⎩的最小值为1-，命题q ：x ∀∈R ，2420x x a -+≥恒成立．（1）若p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos a B A =．（1）若2c b =，求证：ABC △为直角三角形；（2）若ABC △的面积为6a =，求ABC △的周长．20．（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a x x =，()cos ,cos sin b x x x =- ，向量b 在a 上的投影记为()f x ．（1）若()a ab ⊥-，求()f x 的值；（2）若()2f x =，求b ．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n s a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()1122n n n n a b a a ++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若()10nn c n a =-，数列{}n c 的前n 项和为n A ，求n A 的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln exf x x k k =+∈R ．（1）若1x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的极值；（2）设()ln e x x h x =的极大值为()0h x ，且()f x 有零点，求证：02e x kx ≥-．豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）参考答案123456789101112CBDAADBCBCAD1．【答案】C【解析】由题意，得{}{}220,1,2A x x =∈-<≤=N ，又{}04B x x =<<，故{}1,2A B ⋂=．故选C ．2．【答案】B【解析】()()()()43i 1i 43i 17i 17i 1i 1i 1i 222----===-++-．故选B ．3．【答案】D【解析】由24x x >，得04x <<，由题意，得24m≥，即(][),22,m ∈-∞-⋃+∞．故选D ．4．【答案】A【解析】由cos 4BOC ∠=，得cos 4AOC ∠=-，故6224OA OC ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．5．【答案】A 【解析】由()1x f x ax x =++，得()()211f x a x +'=+，故()012f a ='+=，故1a =，故()1x f x x x =++，故()282233f =+=．故选A ．6．【答案】D【解析】由12CA CB ⋅=- ，得1cos 2ab C =-．又22a b ==，故1cos 4C =-，由余弦定理，得22212cos 4122164c a bab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故c =D ．7．【答案】B 【解析】()1cos 24242cos 24sin 242cos 60242cos3622⎛⎫︒+︒=⨯︒+︒=︒-︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭()()222212sin 1821224m m =⨯-︒=⨯-=-．故选B ．8．【答案】C 【解析】设{}n a 的公差为d ，则d 是方程210x x +-=的一个解，则21d d +=，故()()()2221068424161616a a S S d d d d -+-=+=+=．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意，得()()31134S ka S ka ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故()11222t t S t -=⨯=．令()12100t S t -=>，结合t ∈Z ，解得8t ≥，即该植物的生长面积达到100m 2时，至少要经过8个月．故选B ．10．【答案】C 【解析】由()e x f x x =，得()()1e x f x x +'=，设切点坐标为()000,e x x x ，则切线方程为()()00000e 1e x x y x x x x -=+-，把点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入并整理，得()000112x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得01x =或012x =-（舍去），故切线斜率为()12e f '=．故选C ．11．【答案】A 【解析】∵2T πω=，∴3sin 44T f A π⎛⎫==⎪⎝⎭2A =，∴()2sin 24g x x ππω⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∵()g x 为奇函数，∴()00g =，即()24k k ωπππ+=∈Z ，∴()122k k ω=-∈Z ．又03ω<<，∴32ω=，∴()32sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2sin 222f ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选A ．12．【答案】D 【解析】由题意，得()()()()222222212143221n S n n +⎡⎤=-+-++---⎣⎦ ()()22112345221n n n ⎡⎤+--+-+-+⋅⋅⋅+-+⎣⎦()()()()()()()221124334221212(21)21n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+---+-+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222121234221121122n n n n n n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+++=+++=-+，由212023n S +≤-，得()222023n n -+≤-，即220232n n +≥，结合*n ∈N ，解得32n ≥，故n 的最小值为32．故选D ．13．【答案】10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意，得()3,1AB =- ．设与AB 垂直的向量为(),a x y =，由0AB a ⋅= ，得30x y -+=，即3y x =，当a的坐标是()1,3时，可得与AB 垂直的单位向量为a a ± ，即10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．14．【答案】182【解析】因为945S =，所以()19599452a a a +==，解得55a =．又8951296a a a a +=+=，所以1291a =，所以123122182a a a +==．故答案为：182．15．【答案】(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z【解析】由()2sin f x x =，得()2cos f x x ='，故()2sin 2cos 4g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k ππ+=∈Z ，得()4x k k ππ=-+∈Z ．故答案为：(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．16．【答案】-6【解析】由题意，得()2321sin 31cos 3e 12e 1xx f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把()f x 的图象向上平移3个单位长度，可得函数()21cos e 1x g x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭的图象．当[],x ππ∈-时，()()()221cos 1cos e 1e 1x x g x x x g x -⎛⎫⎫-=---=-=- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()g x 为奇函数，在[],ππ-上的最大值与最小值之和为0，故()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为6-．故答案为：6-．17．【解析】由()2i 3i z m -=+，得()()()()3i 2i 3i 236i 2i 2i 2i 55m m m m z +++-+===+--+．（2分）∴236i 55m m z -+=-．（3分）（1）由6z z +=，得23265m -⨯=，解得9m =，∴33i z =+，故z ==．（6分）（2）由3z z ⋅<，得22236355m m -+⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（8分）即26m<，解得m <<∴m 的取值范围是(．（10分）18．（1）对于命题p ，当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，当且仅当1x =时取等号，故当0x >时，()f x 的最小值为2a +．（2分）当0x ≤时，()()22211f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 的最小值为1-．（4分）由()f x 的最小值为1-，得21a +≥-，即3a ≥-．即若命题p 为真，则3a ≥-．（5分）故若命题p ⌝为真，则3a <-，即实数a 的取值范围是(),3-∞-．（6分）（2）对于命题q ，由x ∀∈R ，2420xx a -+≥，得Δ1680a =-≤，解得2a ≥．即若命题q 为真，则2a ≥．（9分）故若q ⌝为真，则2a <．由()p q ∧⌝为真，得32a -≤<，即实数a 的取值范围为[)3,2-．（12分）19．【解析】由sin cos a B A =及正弦定理，得sin sin cos A B B A =，又sin 0B >，故tan A =()0,A π∈，故3A π=．（3分）（1）因为2c b =，所以结合余弦定理，得22222222cos 423a b c bc A b b b b =+-=+-=，所以22224ab bc +==，所以ABC △是以C 为直角的直角三角形．（6分）（2）由ABC △的面积为1sin 2bc A =8bc =，（8分）由6a =，结合余弦定理，得()()222222cos 32436a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-=，所以b c +=（11分）故ABC △的周长为6．（12分）20．【解析】（1）由题意，得()a b f x a b a⋅==⋅，由()a ab ⊥-，得()0a a b ⋅-=，（2分）即20a a b -⋅= ，21a b a ⋅== ，∴()1f x =．（4分）（2）由（1），得()()2215cos sin cos sin sin 2cos 2sin 222f x a b x x x x x x x ϕ=⋅=+-=+=+ （其中25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=）．（6分）令()()55sin 222f x x ϕ=+=，得()sin 21x ϕ+=，∴()222x k k πϕπ+=+∈Z ，（8分）∴()222x k k ππϕ=+-∈Z ，（8分）∴sin 2sin 2cos 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，cos 2cos 2sin 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭．（10分）∴b ===．（12分）21．【解析】（1）由22n n S a =-，得1122S a =，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=，（2分）∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴{}n a 的通项公式为2n n a =．（4分）（2）由（1），得()()111211222222222n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪+++⋅+⎝⎭，（5分）∴11111111124661010182222n n n T +⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪++⎝⎭111112422221n n+⎛⎫=⨯-=- ⎪++⎝⎭．（7分）（3）∵()()10102n nn c n a n =-=-⋅，∴当9n ≤时，0n c >；当10n =时，0n c =；当11n ≥时，0n c <．∴当9n =或10时，n A 取得最大值，且910A A =．（9分）239992827212A =⨯+⨯+⨯++⨯ ．①∴234109292827212A =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯．②②-①，得()923910941218222218202612A ⨯-=-+++⋅⋅⋅++=-=-，∴n A 的最大值为2026．（12分）22．【解析】（1）解法一：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2ex f x x -=-，()()1121e 22e x x x f x x x---=-='，设()()11e 0x g x x x -=->，则()()11e 0x g x x -'=-+<，即()g x 在()0,+∞上单调递减．（3分）又()10g=，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）解法二：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2e x f x x -=-，()122e x f x x-=-'，显然()f x '是减函数，又()10f '=，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）（2）由()ln e x x h x =，得()()1ln 1ln 0e ex x xx x x h x x x --==>'．（6分）设()1ln x x x ϕ=-，则()ln 1x x ϕ'=--．令()0x ϕ'=，得1ex =．当10e x <<时，()0x ϕ'>，当1e x >时，()0x ϕ'<，故()x ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()x ϕ的极大值为1110e e ϕ⎛⎫=+>⎪⎝⎭．（8分）当10ex <<时，()0x ϕ>．又()110ϕ=>，()212ln 20ϕ=-<，故()x ϕ存在唯一的零点0x ，且()01,2x ∈．由()0001ln 0x x x ϕ=-=，得001ln x x =．（10分）当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h >，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0h x '<，即()hx 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减．故()hx 的极大值为()00000ln 1e e x x x h x x ==，（11分）令()0f x =，得2ln e 0x x k +=，即1ln 2e x xk -=．由()f x 有零点，得00112e x k x -≤，即02e x kx ≥-．（12分）。

2019年5月河南省豫南九校联考2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解+析版）一、选择题。

1.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【答案】D【分析】由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项．【详解】解：由题意，若笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直；若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．故选：D．【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直与三垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案．2.已知直线l经过点，且斜率为，则直线l的方程为A. B.C. D.【答案】A直线经过点，且斜率为，则即故选A3.若线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为A. B. C. D.【答案】C【分析】根据图形找到线面角,进而在直角三角形中求解即可.【详解】如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以∠ABC ＝60°，它是AB与平面α所成的角．故选C．【点睛】本题主要考查了线面角的求解,属于基础题.4.下列函数中，满足的单调递增函数是A. B. C. D.【答案】A【分析】根据题意，由依次分析选项，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于，有，满足，符合题意；对于B，，为对数函数，不满足，不符合题意；对于C，，为指数函数，不满足，不符合题意；对于D，，为指数函数，不满足，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查函数的值的计算，涉及函数单调性的判断，属于基础题．5.若直线：过点，：，则直线与A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 相交于点【答案】C【分析】利用直线：过点，求出a，求出两条直线的斜率，即可得出结论．【详解】解：直线：过点，，，直线：的斜率为2，：的斜率为，直线与：互相垂直．故选：C．【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．6.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为A. B.C. D.【答案】C解：将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体中可以从左向右看得到,则该几何体的侧视图为D7.已知函数，则=（）A. 4B.C.D.【答案】B【分析】根据分段函数的解+析式，代入求解，即可得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以，选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确把握分段函数的解+析式，根据分段条件代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直【答案】D解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D9.已知函数，且，当时，，方程表示的直线是A. B.C. D.【答案】C∵f(x)=a x,且x<0时,f(x)>1,∴0<a<1, >1.又∵y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和,且|-|>,故C项图符合要求.10.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的是（）A. B. 截面PQMNC. D. 异面直线PM与BD所成的角为【答案】C【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．【详解】解：因为截面PQMN是正方形，所以、，则平面ACD、平面BDA，所以，，由可得，故A正确；由可得截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：C．【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定．11.已知在上的减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【分析】先将函数转化为，，两个基本初等函数，再利用复合函数的单调性求解．【详解】解：令，，若，则函，是减函数，由题设知为增函数，需，故此时无解；若，则函数是增函数，则t为减函数，需且，可解得综上可得实数a的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．12.九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈尺寸，，)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D【分析】由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积.【详解】连接，设⊙的半径为，则，所以.由于，所以，即.所以平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，故选D．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题二、填空题。

2018-2019学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）1．（5分）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线（）A．平行B．相交C．异面D．垂直2．（5分）已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣14＝0B．3x﹣4y+14＝0C．4x+3y﹣14＝0D．4x﹣3y+14＝0 3．（5分）若线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）下列函数中，满足“f（xy）＝f（x）f（y）“的单调递增函数是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝lgx C．f（x）＝（）x D．f（x）＝3x 5．（5分）若直线11：2x﹣ay﹣1＝0过点（1，1），l2：x+2y＝0，则直线l1与l2（）A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．相交于点（2，﹣1）6．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数，则＝（）A．4B．C．﹣4D．8．（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直9．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1），当x＜0时，f（x）＞1，方程y＝ax+表示的直线是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°11．（5分）已知f（x）＝log a（8﹣3ax）在[﹣1，2]上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）12．（5分）《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5°≈）A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线y＝kx+2k+1，则直线恒经过的定点．14．（5分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为．15．（5分）已知集合A＝{x|log2（2x﹣4）≤1}，集合B＝{y|y＝（）x，x}，则A∩B＝．16．（5分）平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是（填上所有你认为正确的序号）①正三边形②正四边形③正五边形④正六边形⑤钝角三角形⑥等腰梯形⑦非矩形的平行四边形三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l的方程为x+2y﹣6＝0，直线l1与l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l1的方程．18．（12分）设函数f（x）＝x2+2x﹣m．（1）当m＝3时，求函数f（x）的零点．（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求m的最大值．19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．20．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5＝0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．21．（12分）已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，，O为AB的中点．（Ⅰ）求证：EO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到面AEC的距离．22．（12分）已知函数f（x）＝+a（a∈R）．（1）判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性；（2）若存在1＜m＜n使得f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]求实数a的取值范围．2018-2019学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）1．【解答】解：由题意，笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．故选：D．2．【解答】解：∵直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣，∴直线l的点斜式方程为y﹣5＝（x+2），整理得：3x+4y﹣14＝0．故选：A．3．【解答】解：如图，AC⊥α，垂足为C，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，∴∠ABC是直线与平面所成的角，∵线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，∴BC＝AB，∴∠ABC＝60°．∴AB所在直线与平面α所成的角为60°．故选：C．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于f（x）＝x3，有（xy）3＝x3×y3，满足f（xy）＝f（x）f（y），符合题意；对于B，f（x）＝lgx，为对数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；对于C，f（x）＝（）x，为指数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；对于D，f（x）＝3x，为指数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；故选：A．5．【解答】解：∵直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（1，1），∴2﹣a﹣1＝0，∴a＝1，∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0的斜率为2，∵l2：x+2y＝0的斜率为﹣，∴直线l1与l2：x+2y＝0互相垂直．故选：C．6．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选：D．7．【解答】解：f（）＝log5＝﹣2，＝f（﹣2）＝，故选：B．8．【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB∥CE；∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60°；∴AB，CD异面但不垂直．故选：D．9．【解答】解：函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1），当x＜0时，f（x）＞1，∴0＜a＜1，方程y＝ax+，令x＝0可得y＝，y＝0可得x＝﹣，∵﹣＞，∴C选项正确．故选：C．10．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：C．11．【解答】解：令y＝log a t，t＝8﹣3ax，（1）若0＜a＜1，则函y＝log a t，是减函数，由题设知t＝8﹣3ax为增函数，需a＜0，故此时无解；（2）若a＞1，则函数y＝log a t是增函数，则t为减函数，需a＞0且8﹣3a×2＞0，可解得1＜a＜综上可得实数a的取值范围是（1，）．故选：B．12．【解答】解：如图，AB＝10（寸），则AD＝5（寸），CD＝1（寸），设圆O的半径为x（寸），则OD＝（x﹣1）（寸），在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13（寸）．∴sin∠AOD＝，即∠AOD≈22.5°，则∠AOB＝45°．则弓形的面积S＝≈6.33（平方寸）．则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝6.33×100＝633（立方寸）．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：将直线y＝kx+2k+1化简为点斜式，可得y﹣1＝k（x+2），∴直线经过定点（﹣2，1），且斜率为k．即直线y＝kx+2k+1恒过定点（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．14．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，连PH，∵PC⊥面ABC，∴PH⊥AB，PH为PM的最小值，而CH＝2，PC＝4，∴PH＝2．故答案为：215．【解答】解：解不等式：log2（2x﹣4）≤1得：0＜2x﹣4≤2，即：2＜x≤3，即A＝，由y＝（）x，x，求其值域得：0＜y，即B＝，即A∩B＝，故答案为：．16．【解答】解：画出截面图形如图：可以画出三边形，但不能画出直角三角形和钝角三角形，故①正确，⑤错误；可以画出正四边形，故②正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故③错误；．正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故④正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故⑥正确．可以画出非矩形的平行四边形，故⑦．故平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是：正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形的平行四边形．故答案为：①②④⑥⑦．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：由题意可设直线l1的方程为：x+2y+m＝0，可得与两坐标轴的交点分别为：（﹣m，0），（0，﹣）．则＝4，解得m＝±4．∴直线l1的方程为：x+2y±4＝0．18．【解答】解：（1）m＝3时，f（x）＝x2+2x﹣3，由f（x）＝0，可得x＝1或﹣3，则f（x）的零点为1或﹣3；（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，可得m≤x2+2x在x≥1的最小值，由y＝x2+2x在x≥1递增，可得函数y的最小值为3，即有m≤3，即m的最大值为3．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝＝；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC ＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．20．【解答】解：直线AC的方程为：y﹣1＝﹣2（x﹣5），即2x+y﹣11＝0，解方程组得则C点坐标为（4，3）．设B（m，n），则M（，），，整理得，解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），y﹣3＝（x﹣4），即6x﹣5y﹣9＝0．21．【解答】（I）证明：连接CO∵∴△AEB为等腰直角三角形∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1…（2分）又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ACB是等边三角形∴，…（4分）又EC＝2，∴EC2＝EO2+CO2，∴EO⊥CO，∵AB∩CO＝O∴EO⊥平面ABCD…（6分）（II）解：设点D到面AEC的距离为h∵∴…（8分）∵，E到面ACB的距离EO＝1，V D﹣AEC＝V E﹣ADC∴S△AEC•h＝S△ADC•EO…（10分）∴∴点D到面AEC的距离为…（12分）22．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝+a在（1，+∞）上为增函数；设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（+a）﹣（+a）＝，又由1＜x1＜x2，则（x1﹣1）＞0，（x2﹣1）＞0，（x1﹣x2）＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数函数f（x）＝+a在（1，+∞）上为增函数；（2）根据题意，由（1）的结论，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，若存在1＜m＜n使得f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，即，则方程f（x）＝x即x2+（a+3）x+（a+3）＝0在区间（1，+∞）上有两个不同的根，设g（x）＝x2+（a+3）x+（a+3），必有，解可得a＞1，即a的取值范围为（1，+∞）．。

绝密★启用前豫南九校2011-2012学年高三第四次联考数学试题（理科）命题学校：上蔡第一高级中学 命题：程国柱 审题：董长见考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1. 答选择题前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔准确涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3. 考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分.4. 考试结束后，监考员将答题卡收回，试卷由考生自己保管.第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合}1{>=x x A ，}4210{，，，=B ，则（R A B ）=（ ） A.{0,1}B.{0}C.{2,4}D.∅2．已知复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）4．若0sin a xdx π=⎰，则二项式61(的展开式中含x 项的系数是( )A ．210B ．210-C ．240D ．240-5．在下列四个命题中，其中为真命题的是( )A. 命题“若42=x ，则22-==x x 或”的逆否命题是“若22-≠≠x x 或，则42≠x ”B. 若命题p:032,2>+-∈∀x x R x ，则032,:2<+-∈∃⌝x x R x pC. 若b a >，则)(+∈>N n b a nnD.若命题p :所有幂函数的图像不过第四象限，命题q :所有抛物线的离心率为1，则命题p 且q 为真6. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ） A ． 1- B. 0C. 1 D . 27．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 8．若圆22:2430C x y x y ++-+=关于260ax by ++= 对称，则由点（a ，b ）向圆C 所作切线长的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．3D ．29．已知数列{}n a ，若点*(,)()n n a n N ∈在经过点（5，3）的定直线l 上，则数列{}n a 的前9项和9S =（ ）A ．9B ．10C ．18D ．2710.设20<<a ，10<<b ，则双曲线12222=-by ax 的离心率5>e 的概率是( )A.81 B.61 C. 41 D. 2111.已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 、y 的正半轴上（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）A ．1 B．2C ．2 D12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12xf x =-，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(01)a a >≠且恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C．D．2)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知21(1)()[()]sin 2(1)x x f x f f x x π⎧-≤==⎨->⎩则14.若实数x ，y 满足1,21,.y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z x y =-的最小值1-，则实数m= 。

河南省豫南九校联考2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题。

1.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【答案】D【解析】【分析】由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项．【详解】解：由题意，若笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直；若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．故选：D．【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直与三垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案．2.已知直线l经过点，且斜率为，则直线l的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】直线经过点，且斜率为，则即故选A3.若线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图形找到线面角,进而在直角三角形中求解即可.【详解】如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以∠ABC ＝60°，它是AB与平面α所成的角．故选C．【点睛】本题主要考查了线面角的求解,属于基础题.4.下列函数中，满足的单调递增函数是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由依次分析选项，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于，有，满足，符合题意；对于B，，为对数函数，不满足，不符合题意；对于C，，为指数函数，不满足，不符合题意；对于D，，为指数函数，不满足，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查函数的值的计算，涉及函数单调性的判断，属于基础题．5.若直线：过点，：，则直线与A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 相交于点【答案】C【解析】【分析】利用直线：过点，求出a，求出两条直线的斜率，即可得出结论．【详解】解：直线：过点，，，直线：的斜率为2，：的斜率为，直线与：互相垂直．故选：C．【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．6.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体中可以从左向右看得到,则该几何体的侧视图为D7.已知函数，则=（）A. 4B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求解，即可得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以，选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确把握分段函数的解析式，根据分段条件代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直【答案】D【解析】解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D9.已知函数，且，当时，，方程表示的直线是A. B.C. D.【答案】C【解析】∵f(x)=a x,且x<0时,f(x)>1,∴0<a<1,>1.又∵y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和,且|-|>,故C项图符合要求.10.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的是（）A. B. 截面PQMNC. D. 异面直线PM与BD所成的角为【答案】C【解析】【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．【详解】解：因为截面PQMN是正方形，所以、，则平面ACD、平面BDA，所以，，由可得，故A正确；由可得截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：C．【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定．11.已知在上的减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将函数转化为，，两个基本初等函数，再利用复合函数的单调性求解．【详解】解：令，，若，则函，是减函数，由题设知为增函数，需，故此时无解；若，则函数是增函数，则t为减函数，需且，可解得综上可得实数a的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．12.九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈尺寸，，)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D【解析】【分析】由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积.【详解】连接，设⊙的半径为，则，所以.由于，所以，即.所以平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，故选D．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题二、填空题。

2018-2019学年上学期高二年级第二次月考测试卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2017·莆田九中]下列结论，不正确的是（ ）A ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题p q ∨为真命题B ．若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题C ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆命题为假命题D ．命题“x ∀，y ∈R ，220x y +≥”的否定是“0x ∃，0y ∈R ，22000x y +<”2．[2017·郑州一中]已知{}n a 为等比数列，q 为公比，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．充分不必要条件3．[2017·石嘴山三中]已知命题:p x ∃∈R ，使得12x x +<，命题:q x ∀∈R ，210x x ++>，下列命题为真的是（ ）A ．()p q ⌝∧ B ．p q ∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝4．[2017·豫南九校]已知命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则p ⌝为（ ）A ．x ∃∉R ，210x x ++≤B ．x ∃∈R ，210x x ++≤C ．x ∃∉R ，210x x ++>D ．x ∃∈R ，210x x ++> 5．[2017·淮北一中]且过点()2,0的焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是（ ） ABC ．2241x y += D6．[2017·郎溪中学] “0k <”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．[2017·雅安中学]已知抛物线22y px =(0)p >上点()1,M m 到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．4x = B ．2x = C ．1x =- D ．2x =- 8．[2017·莆田九中]设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 9．[2017·天水一中]P 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）上的点，1F ，2F 是其左右焦点，且120PF PF ⋅=，若12F PF △的面积是9，7a b +=，则双曲线的离心率为（ ） A ．74B ． CD ．54 10．[2017·哈尔滨六中]如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线24y x =及圆()2214x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB △的周长的取值范围（ ） A ．()4,6 B ．[]4,6 C ．()2,4 D ．[]2,4此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号11．[2017·铜仁一中]已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P Q 、两点，且点Q 在第一象限，若3PF FQ =，则直线PQ 的斜率是（ ）A ．1 BCD12．[2017·湖北联考]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：221x y +=和点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()1,1B ，M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ ）ABCD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2017·沐阳期中]命题“:10p x -=”是命题“:(1)(2)0q x x -+=”的________条件．（填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要”）14．[2017·双流中学]和圆22:16O x y +=，过点P 的动直线与圆O 交于M ，N ，则弦MN 中点的轨迹方程__________．15．[2017·西平县中]经过点(4,1)M 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，且M 是AB 的中点，则直线l 的方程为________．16．[2017·牡丹江一中]已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于A ，B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2017·临川一中]已知命题:p “存在x ∈R ，()212102x m x +-+≤”，命题:q “曲线2212:128x y C m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线222:11x y C m t m t +=---表示双曲线”． （1）若“p 且q ”是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围． 18．[2017·烟台期末]已知命题2:8200p x x -++≥，命题22:2140q x x m ++-≤． （1）当m ∈R 时，解不等式222140x x m ++-≤； （2）当0m >时，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．[2017·山东师范附中]已知1(2,0)F -，2(2,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>两个焦点，且椭圆经过点5(2,)3．（1）求此椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积．20．[2017·衡阳八中]分别求适合下列条件的标准方程：（1）实轴长为12x 轴上的椭圆；（2）顶点间的距离为621．[2017·淮北一中]已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，斜率为物线于A ，B（1）求该抛物线C 的方程； （2）已知过原点O 作抛物线的两条弦OD 和OE ，且OD OE ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由． 22．[2017·湖北联考]是椭圆C ：的右焦点为()1,0F ，斜率为的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值．2018-2019学年上学期高二年级第二次月考测试卷理科数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】A ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题p q ∨为真命题，该选项正确；B ．若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题，该选项正确；C ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆命题为“若x y =，则sin sin x y =”，该命题为真命题．该选项错误；D ．命题“x ∀，y ∈R ，220x y +≥”的否定是“0x ∃，0y ∈R ，22000x y +<”，该选项正确．本题选择C ．2．【答案】A【解析】当等比数列{}n a 的首项10a ＜，公比1q ＞时，{}n a 是递减数列，反过来，当{}n a 为递增数列，也可以10a ＜，公比01q <<，故{}n a 为等比数列，q 为公比，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，选A ．3．【答案】B【解析】对于命题:p x ∃∈R ，使得，当0x ＜时，命题p 成立，命题p 为真．命题:q x ∀∈R ，210x x ++＞，命题q 为真，∴根据复合命题的真假判定，p q ∧为真，p q ⌝∧（）为假，p q ∧⌝（）为假，()()p q ⌝∧⌝为假，故选B ．4．【答案】B【解析】全称命题的否定为存在命题，命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则p ⌝为x ∃∈R ，210x x ++≤，选B ．5．【答案】D【解析】已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆过点()2,0，则2b =，又由其离心率为，即216a =，此时椭圆的方D ． 6．【答案】A 【解析】(1)0k k -<，即(1)0k k ->，解得1k >或0k <，即“0k <”是“”的充分不必要条件，故选A ． 7．【答案】D 【解析】∵抛物线方程为22y px =，∴抛物线焦点为又∵点()1,M m 到其焦点的距离为3，∴0p >，根据抛物线的定义，∴4p =，所以准线方程为2x =-，故选D ． 8．【答案】D 【解析】当0a >时，由均值不等式的结论有：，当且仅当3a =时等时，点P 的轨迹表示线段12F F ，当时，点P 的轨迹表示以12F F 位焦点的椭圆，本题选择D 选项． 9．【答案】D 【解析】设1PF m =，2PF n =，由题意得，120PF PF ⋅=，且12F PF △的面积是9，192mn ∴=，得18mn =，12Rt PF F △中，根据勾股定理得2224m n c +=，()22222436m n m n mn c ∴-=+-=-，结合双曲线定义，得()224m n a -=，224364c a ∴-=，化简整理得229c a -=，即29b =，可得3b =，结合7a b +=得4a =，5c ∴==，∴该双曲线的离心率为54c e a ==，故选D ． 10．【答案】A 【解析】由题意知抛物线24y x =的准线为1x =-，设A 、B 两点的坐标分别为()10,A x y ，()20,B x y ，则．由()222414y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩消去y 整理得2230x x +-=，解得1x =， ∵B 在图中圆()2214x y -+=的实线部分上运动，∴213x <<．∴FAB △的周长为A ．11．【答案】D【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，由抛物线的方程可知，抛物线的焦点()1,0F ，因为3PF FQ =，则()()112231,1,x y x y --=-，所以213y y =-．又设过焦点的直线的斜率为k ，所以方程为()1y k x =-，联立方程组()21 4y k x y x =-=⎧⎨⎩，得，所以D ．12．【答案】C 【解析】令2=MA MC ，则12MAMC =．由题意可得圆221x y +=是关于点A ，C 的阿波罗尼斯圆，且1=2λ．设点C 坐标为(),m n ，则12MA MC ==．整理得22222421333m n m n x y x y ++-+++=． 由题意知该圆的方程为221x y +=，∴222420113m n m n ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪+-⎪=⎪⎩，解得2m n =-⎧⎨=⎩． ∴点C 的坐标为()2,0-．∴2MA MB MC MB +=+，因此当点M 位于图中的1M ，2M 的位置时，2MA MBMC MB +=+，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】充分不必要 【解析】由(1)(2)0x x -+=可得2x =-或1，所以命题“:10p x -=”是命题“:(1)(2)0q x x -+=”的充分不必要条件． 14．【解析】记M ，N 的中点为C ，连接OC ，OP ，则OPC △是直角三角形，以OP 为直径，点C 在圆上，故圆心是OPOP 的一半．故可以求得圆的标 15．【答案】8310x y --= 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 可得12121212()()()()02y y y y x x x x +-+--=12121212()()()02()y y y y x x x x +-⇒+-=-， 8k =，∴直线l 的方程为8310x y --=． 16．【答案】⎛ ⎝⎦ 【解析】如图所示，设F '为椭圆的左焦点，连接AF '，BF '，则四边形AFBF '是平行四边形，∴4||||||||2AF BF AF AF a '=+=+=，∴2a =． 取(0,)M b ，∵点M 到直线l 的距离不小于4545≥，解得1b ≥．∴ce a ==E的离心率的取值范围是⎛⎝⎦．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）42m -<<-或4m >；（2）43t --≤≤或4t ≥．【解析】（1）解：若p 为真，则()2114202m ∆=--⨯⨯≥，解得：1m -≤或3m ≥，若q 为真，则228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解得：42m -<<-或4m >，若“p 且q ”是真命题，则13424m m m m -⎧⎨-<<->⎩≤或≥或，解得：42m -<<-或4m >，∴m 的取值范围是{}424m m m -<<->或，（2）解：若s 为真，则()()10m t m t ---<，即1t m t <<+，∵由q 是s 的必要不充分条件，∴{}{}1424m t m t m m m <<+-<<->或Ö，即412t t -⎧⎨+-⎩≥≤或4t ≥，解得：43t --≤≤或4t ≥，∴t 的取值范围是{}434t t t --≤≤或≥．18．【答案】（1）当0m >时，不等式的解集为{}1212x m x m ---+≤≤；当0m =时，不等式的解集为{|1}x x =-；当0m <时，不等式的解集为{}1212x m x m -+--≤≤；（2）112m ≥．【解析】（1）22214(12)(12)0x x m x m x m ++-=+-++=，所以222140x x m ++-=对应的两根为12m -+和12m --，当0m >时，1212m m -+>--，不等式的解集为{|1212}x m x m ---+≤≤， 当0m =时，12121m m -+=--=-，不等式的解集为{|1}x x =-，当0m <时，1212m m -+<--，不等式的解集为{|1212}x m x m -+--≤≤．（2）由28200x x -++≥可得，(10)(2)0x x -+≤，所以210x -≤≤，即:210p x -≤≤，由（1）知，当0m >时，不等式的解集为{|1212}x m x m ---+≤≤，所以:1212q m x m ---+≤≤，∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件． 即12212100m m m ---⎧⎪-+⎨⎪>⎩≤≥，且等号不能同时取，解得112m ≥， 故实数m 的取值范围为112m ≥． 19．【答案】（1）22195x y +=；（2． 【解析】（1）由题意知22222242519c a b a b c ⎧⎪⎪⎨=+==+⎪⎪⎩，解得22295 4a b c ===⎧⎪⎨⎪⎩，∴椭圆方程为22195x y +=． （2）设11PF r =，22PF r =，2224F F c ==，由椭圆的定义得126r r +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①， 在12PF F △中由余弦定理得221212π2cos 163r r r r +-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②， 2-①②得12203r r =，∴12121πsin 23F PF S r r ==△． 20．【答案】（1（2）焦点在x轴上的双曲线的方程为y【解析】（1由已知，212a =，6a ∴=，4c =，22220b a c =-=（2）当焦点在x，解得3a =，1b =． 所以焦点在x同理，可求当焦点在y21．【答案】（1）24y x =；（2）()4,0．【解析】（1，∴直线AB 的方程为：，∴122x x p +=，2124p x x =， ，解得2p =． ∴抛物线C 的方程为：24y x =．（2）由（1）直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为：x my t =+， 联立24x my t yx =+⎧⎨=⎩，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>①．设()11,D x y ，()22,E x y ，则124y y m +=，124y y t =-．OD OE x x =⋅所以4t =或0t =（舍），所以直线DE 过定点()4,0．22．【答案】（1（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得椭圆的左焦点为()'1,0F -，由椭圆定义可得： 2||||4a AF AF '=+=， 解得2a =，∴2223b a c =-=，所以，椭圆C 的方程为（2）证明：设直线BD 的方程为，又A ，B ，D 三点不重合，故1m ≠-．由y 整理得2230x mx m ++-=，∵直线与椭圆交于B ，D 两点，∴23120m ∆=-+>，解得22m -<<，设()11,D x y ，()22,B x y ，则12x x m +=-——①，2123x x m =-——②， 设直线AB ，AD 的斜率分别为AB k ，AD k ，（*）， 分别将①②式代入（*）得： 所以0AD AB k k +=，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值0．。

专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-， 故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-， 当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=， 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________． 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩， 同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（ ） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=； 设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =； 又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+； 当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >） 和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动， 当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（ ）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值， 是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ， 若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16， 此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足． 故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=， 又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==． 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ， 则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确． 对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L­距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=， 当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=； 当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-； 当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=； 当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+， 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ， 则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（ ） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F， 设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题 【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=， 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥， 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =， 当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意； 当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ， 解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++， 代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =， 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=， 又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______． 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2）， 即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+， 过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为（1，0）．。

绝密★启用前豫南九校2011-2012学年高三第四次联考数学试题（文）命题学校：信阳市二高 命题：李红梅 殷伟 审题：高明考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1. 答选择题前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔准确涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3. 考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分.4. 考试结束后，监考员将答题卡收回，试卷由考生自己保管.第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合2{0,},{|250,}P m Q x x x x Z ==-<∈，若P Q ≠∅ ，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或25 D ．1或22、已知=+∈∈++|6|,214i m R m R imi 则，且( )A. 6B. 8C. 10D. 38 3.在下列四个命题中，其中为真命题的是( )A. 命题“若42=x ，则22-==x x 或”的逆否命题是“若22-≠≠x x 或，则42≠x ”B. 若命题p :所有幂函数的图像不过第四象限，命题q :所有抛物线的离心率为1，则命题p 且q 为真 C. 若命题p:032,2>+-∈∀x x R x ，则032,:2<+-∈∃⌝x x R x pD. 若b a >，则)(+∈>N n b a nn4．某物体是空心的几何体，其三视图均为右图，则其体积为（ ）A ．8B ．43πC ．483π+D ．483π-(第4题图）5.设20<<a ，10<<b ，则双曲线12222=-by ax 的离心率5>e 的概率是( ) A.81 B.61 C. 41 D. 21C 1D 2 （第7题图）8. 椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率2a b的值为（ ）232279.若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( ).(0,1)A .(3,5)B .(2,3)C .(2,4)D 10.已知,x y 满足0))(1(≤+--y x y x ，则22)1()1(+++y x 的最小值是（ ）A ．0B ．21 C ．22 D ．211.已知A B C ∆中，4,AB AC BC ===，点P 为B C 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+满足（ ）A.最大值为16B.最小值为4C.为定值8D.与P 的位置有关12.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若数列{}n a 是等差数列，且30a <，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值（ ） A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生，现按年级分层抽样，调查学生的视力情况，若高一抽取了75人，则全校共抽取了 人。

河南省中原名校（即豫南九校）2024-2024学年高一下学期第一次联考全真演练物理试题1一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题地球上只有百万分之一的碳是以碳14形式存在于大气中。

能自发进行衰变，关于发生衰变下列说法正确的是（）A．衰变放出的粒子来自于的核外电子B．衰变产生的新核是C．衰变产生的新核的比结合能比大D．衰变放出的粒子带负电，具有很强的电离能力第(2)题核污染水中含有的氚、锶-90、铯-137、碘-129等放射性元素，都有可能对人类和自然界造成损害。

其中锶（）半衰期为30年，它经β衰变转变为钇核。

下列说法正确的是（ ）A．锶经通过β衰变产生的电子来自锶原子的核外电子B．钇原子核内有52个中子C．钇核的比结合能比锶核大D．100个锶原子核经过30年，还剩50个第(3)题关于电磁波，以下说法中不正确的是（ ）A．微波炉利用了微波的热效应B．家用电器的遥控器大多采用红外线遥控的原理，它有一个有效使用的角度范围C．电磁波从空气中进入水中，频率不发生变化D．我们看到的电视直播节目，声音和画面基本同步，表明声波和光波传播速度十分接近第(4)题如图所示，某理想变压器原、副线圈的匝数比为2：1，电源输出的电压有效值恒为U，理想电流表A和滑动变阻器R与变压器原线圈连接，阻值为的定值电阻接在副线圈两端。

已知滑动变阻器R的最大阻值为，现调节滑动变阻器R的滑片，下列说法正确的是（ ）A．电流表的示数与滑动变阻器接入电路的阻值R之间的关系为B．电源输出的最小功率为C．当滑动变阻器接入电路的阻值为时，定值电阻两端的电压最大D．滑动变阻器的最大功率为第(5)题一物体做匀加速直线运动，连续经过B、C、D三点， B、C间的距离为4.5m，C、D间的距离为9.5m，通过 BC与CD的时间相同，则经过B点与C点的速度之比为（ ）A．3：5B．2：7C．9：19D．5：7第(6)题下列有关匀变速直线运动的认识正确的是( )A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量第(7)题在带电量为的金属球的电场中，为测量球附近某点的电场强度E，现在该点放置一带电量为的点电荷，点电荷受力为，则该点的电场强度（ ）A．B．C．D．第(8)题福建南平茶文化久负盛名，“风过武夷茶香远”“最是茶香沁人心”。