线性代数期末题型总结

线性代数知识点梳理

一、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式)

还具有两种形式：

(1)矩阵形式

(2)向量形式。

齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：

①有唯一零解;

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩 → 线性相关无关 → 线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下： 1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

第一章行列式

一、行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A| = |AT|.（行列互换，行列式不变）

性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.

推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.

性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式.

au ai2 ai3

an ai2 ^13

kan ai2 ai3

a2X a22 a23 — ka2x ka’2 転23 = ka2} a22 a23

角1 a32 «33

a3i 角2 。33

脳31 «33

若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0.

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.

坷 1

坷］an纠3

41 an 坷 3

a21+bl a22+b2 如+4 — a21 a22 "23 + bl b2 S

。31 “32 。33

。31 “32 “33

。31 “32 “33

性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变.

a\\ ai2 ai3

au an + ka!3 ai3

a CL CL a CL + ka a W21 u22 w23 ^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33

°31 “32 + 氐 °33 。33

性质7 （Laplace定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和，BP： | A| = aix Ai} + ai2Ai2 + • • • + ain Ain （1 = 1,2,• • •, n） 推论2

性质4 。21 ^22

a31 “32

ka[{ ka{2 。13

。23

a33 。21

°3an "12 "13

a22 ^23

a32= 40 = 0

性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零. 二. 行列式的计算

第 1 页 共 6 页 《线性代数》综合复习题

一、单项选择题：

1、若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为4、2、1，则D=（ ）

(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 11

2、设123,,是三阶方阵A的列向量组，且齐次线性方程组AX=O仅有零解，则（ ）

(A) 1可由23,线性表示 (B) 2可由13,线性表示

(C) 3可由12,线性表示 (D) 以上说法都不对

3、设A为n(n≥2)阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，A*为A的伴随矩阵，则| 3A* | 等于（ ）

(A) 3na (B) 3a n-1 (C) 3nan-1 (D) 3an

4、设A=333231232221131211aaaaaaaaa, B=133311311232232122131112aaaaaaaaaaaa,1000010101P,1010100012P，则有（ ）

(A) BAPP12 (B) BAPP21 (C) BAPP21 (D) BAPP12

5、设A是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（ ）

(A) |A|2必为1 (B) |A|必为1 (C) A-1=AT (D) A的行向量组是正交单位向量组

6、设A是n阶方阵，且OEAA232，则（ ）

(A) 1和2必是A的特征值 (B) 若,2EA则EA

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线性代数期末知识点总结

1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.代数余子式和余子式的关系：

4.设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

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④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵1.是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

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是中某两组基的过渡矩阵；