线性代数期末试题含答案

线性代数

1 线性代数期末试题含答案

学院 系 姓名 学号 分数 22/12/2013

请注意所有答案和解答写在空白答题纸上，标明大题号和小题号。

一 二 三 四 总分

一、填空题（本题共10个小题,每小题2分，满分20分。答案写在答题纸上）。

(1)若=0是矩阵A的特征值，则||A 0 。

(2)若2是可逆矩阵A的一个特征值，则1312A必有一个特征值为 1/4 。

(3)若20000101Ax与20000001By相似，则xy 1 。

(4)若矩阵A与矩阵130110002B相似，则A的特征值为 -2，2（二重） 。

(5)若A为实对称矩阵，T(1,1,3)与T(4,5,)a是 A的分别属于特征值3与4的特征向量，则a -3 。

(6)设,是实对称矩阵A的分别属于特征值1和2的单位特征向量，则(2)A 22 。

(7)若A是正交矩阵，,是长度分别为3,4的正交向量，则()A

5 。

(8)二次型122331fxxxxxx的秩是 3 。

(9)二次型123123123(,,)()(2)fxxxxxxxxx的符号差为 0 。 线性代数

2 (10)二次型3312311(,,)ijijfxxxxx的正惯性指数和秩的乘积是 1 。

二、选择题(本题共10个小题,每小题2分，满分20分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。答案写在答题纸上)。

(1)设A为n阶实对称矩阵，则[ B]

(A) ) 对于任意n维实向量有;Axx (B) A有n个互相正交的特征向量；

(C) A的线性无关的两个特征向量一定正交；(D) A有n个互不相同的的实特征值；

(2)下列矩阵中不是正交矩阵的是 [ D ]

cossin001(A);(B)sincos0;100011510313111(C)5110;(D)62313110104

(3) n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[B ]

(A) A有n个互不相同的特征值； (B) A有n个线性无关的特征向量；

(C) A有n个互不相同的特征向量； (D) A有n个两两正交的特征向量。

(4)同阶矩阵A与B相似的充分必要条件是[B ]

(A)存在可逆矩阵P与Q，使得PAQB；(B) 存在可逆矩阵P，使得1APBP；

(C) 存在可逆矩阵P，使得TPAPB； (D) ()()rArB。

(5)如果矩阵A与对角矩阵100010001D相似，则10=A [ A ]

(A)E； (B)A； (C)E； (D) 10E。

(6) 若实可逆矩阵C使得实矩阵,AB满足TCACB，则必成立[ C ]

(A)A与B有相同的特征值; (B) 当 B是对称矩阵时，有T1AA; 线性代数

3 (C)当TBB时，二次型TXAX与TXBX有相同的规范形； (D) A与B相似。

(7)实二次型T()fXXAX正定的一个充分必要条件是 [ D ]

(A)||0A; (B)存在可逆矩阵C，使得TCAC成为对角形矩阵；

(C)A可逆； (D)存在可逆矩阵P，使得TAPP。

(8)二次型22212312232442fxxxxxxx的一个标准形是 [ A ]

(A)22212322yyy; (B) 22122yy ; (C) 212y； (D) 22212323yyy。

(9)设111300111,000,111000AB则[ A ]

(A)A与B既合同又相似； (B) A与B合同但不相似；

(C) A与B不合同但相似；(D) A与B既不合同又不相似。

(10)设A是三阶矩阵，将A 的第二行加到第一行得B，将B的第二列减去第一列得C，记110010001P，则[ B ]

(A)1CPAP； (B)1CPAP；

(C)TCPAP； (D)TCPAP。

三、计算题(本题共5个小题，满分为40分) (解答写在答题纸上)

(1)(5分)设(1,3,4),(1,1,2)，求

(i)(,);

(,)((2,2,2),(0,4,6))20.

(ii)22。

224(,)4(138)40.

(2)(5分)设4阶实对称矩阵A的特征值是1,1,2,2，求 线性代数

4 (i)|2|;A

4|2|2464.A

(ii)tr(5)A;

tr(5)500.A

(iii)**()A的最小特征值；

**1*1114112()(||)||||(||)||||||||16.AAAAAAAAAAAAAA

**()A最小特征值为16(2)32.

(iv)二次型TXAX的正惯性指数。

二次型TXAX的正惯性指数是2。

(3)(10分)设021201110A，求可逆矩阵C，使得TCAC为对角矩阵。

解 线性代数

5 121323112212332222121311322221323222123113113222233331021201110422.4()44()414()42441122Afxxxxxxxyyxyyxyfyyyyyyyyyyyyzzzzyyyzzzyyzzyyzx1232123331212zzzxzzzxz

(4)(10分)设T22212313()222(0)fXXAXaxxxbxxb，其中A的特征值之和为1，特征值之积为12。

(i)求,ab；

(ii)用正交线性替换XQY把f化为标准形。

解 线性代数

6 T222123132222121()222(0)00020.tr()1,||0202(2)12,02024,2.102020.202102||020(2)[6]202(2)(3).2(2),3.2.fXXAXaxxxbxxbababAAaAbbbbbAEA重1212233102102000000204000(0,1,0),(2,0,1).(0,1,0),(2/5,0,1/5)3402201050010.(1,0,2).201000(1/5,0,2/5).

线性代数

7 22212202/51/510001/52/5223.Qfyyy

(5) (10 分)当t在什么范围时二次型222123123121323(,,)44224fxxxxxxtxxxxxx为正定二次型？

解

222123123121323212232222(,,)44224.1142.124110.40,||2,22.41111420421240233(4)(44)4484(2)4(2)(1)0,21.fxxxxxxtxxxxxxtAttAAttttttAtttttttttttttt

当21t时二次型正定。

四、证明题(本题共2个小题，每小题10分，满分为20分) (解答写在答题纸上)

(1)(10分)假设A是n阶实矩阵，对于任意n维列向量有A，证明：

(i) 对于任意n维列向量,有(,)(,)AA;

(ii)A是正交矩阵。

证明 线性代数

8 2222221(i)(,)[]41[()()]41[()()](,).4AAAAAAAA

1(ii)(,,).(,)(,)(,).nijijijijAAA

(2)(10分)证明n阶实矩阵

111bbbbAbb和1(1)00010001nbbBb

相似(n>1,b0)。

证明 线性代数

9 111||11(1)1(1)11(1)1111(1(1))111010(1(1))001(1(1))(1)0,1(1),1.bbbbEAbbnbbbnbbnbbbbbnbbbbbnbbnbbnbb

根据实对称矩阵相似于特征值组成的对角矩阵的定理，A相似于B。