高一数学(平面向量的坐标运算)教案3 教案

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

【教学目标】

1、知识与技能

理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。

2、过程与方法

在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。

3、情感、态度与价值观

让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。

【教学重点】

平面向量的坐标运算。

【教学难点】

理解向量坐标化的意义。

【教学过程】

〖创设情境 导入新课〗

【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受到

斜面的力1F的作用，沿斜面下滑；

一是木块产生 斜面的压力2F，也就是说，重力G的效果等价于1F和2F的 力的效果，即：12GFF,12GFF叫做把重力G 。

类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量11e和22e，使1122aee。而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。

把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x轴和y轴上分别取两个 向量i和j，则ij，且,ij可以作为一个基底。由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a在基底,ij下进行分解，从而对向量作进一步的研究。既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对,xy来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。那么，如果我们把向量也放入直角坐标系内，向量又能否用一个有序实数对来作为它的坐标呢？今天我们就在平面向量基本定理基础之上来探讨这个问题:平面向量的坐标运算

第 1 页 共 12 页 向量的教案5篇

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平面向量的坐标运算

一、【教材的地位和作用】

本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。

二、【学习目标】

根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的：

1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。

2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想

三、【教学重点和难点】

理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。

四、【教法和学法】

本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。

整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。

五、【学习过程】

1.提供新知识产生的理论基础

课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。 2.新课引入

平面向量的坐标运算

学习过程

一、课前准备

复习：（1）向量122,0eee是共线的两个向量，则12,ee之间的关系可表示为 .

（2）向量12,ee是同一平面内两个不共线的向量，a为这个平面内任一向量，则向量a可用12,ee表示为 ，则不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组 .

二、新课导学

※ 学习探究

问题：已知11,axy，22,bxy，能得出ab，ab，a的坐标吗？

新知：1212,abxxyy

1212,abxxyy

11,axy

※ 典型例题

例1 如图，已知11,Axy，22,Bxy，求AB的坐标.

小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 减去 的坐标.

例2 已知(2,1)a，(3,4)b，求ab，ab，34ab的坐标.

练1. 已知向量,ab的坐标，求ab，ab的坐标.

（1）2,4,5,2ab

（2）4,3,3,8ab

（3）2,3,2,3ab

（4）3,0,0,4ab

例3 已知平行四边形ABCD的顶点2,1A，1,3B，3,4C，试求顶点D的坐标.

2 三、总结提升

若11,axy，22,bxy，则

1. 1212,abxxyy 2. 1212,abxxyy

3. 11,axy 4. 已知11,Axy，22,Bxy， 则2121,ABxxyy.