方差与标准差导学案

联系小学统计知识，理解初中统计概念

——《方差和标准差》衔接教学案例

一、背景分析

浙教版初中数学八年级下册第三章《数据分析初步》的第三节为《方差和标准差》。本节教学内容主要介绍了两个非常重要的统计学概念——方差和标准差。方差和标准差都反映了数据的离散程度。学生在小学阶段已经学习过一些统计学知识，学生在小学数学中所学的统计学知识相对比较简单，其包括了收集数据（调查、实验、查找资料等）、整理并描述数据（统计表、统计图等）、分析数据（比较数据、趋势分析等）。小学所学的统计学知识在浙教版初中数学七年级下册的第6章《数据与统计图表》一章已经进行了复习并强化。在《方差和标准差》一节的教学中，可以默认学生具备了简单的统计学基础知识，但是他们对统计学中抽象的概念还知之甚少。本节所学的方差和标准差就比较抽象，学生学习起来有一定难度。为了帮助学生建构对方差和标准差的理解，教师不能忽视学生已有的统计学基础知识，必须进行衔接教学。本次衔接教学，不仅仅是和初一所学的内容进行衔接，更为重要的是和小学所学过的统计学知识进行衔接。

二、衔接分析

1.教学目标

本节课主要实现五个教学目标，分别为：（1）体验方差概念的产生过程；（2）理解方差的定义和计算公式；（3）会使用方差公式比较两组数据的离散程度；（4）理解标准差的概念和计算公式；（5）会使用标准差公式来比较两组数据的离散程度。在这五个教学目标中，（1）和（4）是核心。只有学生在理解方差和标准差概念的产生过程的基础上，才可能利用方差和标准差的计算公式来分析数据的离散程度。因而，本节课在教学目标上的衔接主要集中在实现教学目标（1）和（4）上。

2.教学内容

本节课的主要教学内容有两点，分别为方差的概念和计算公式、标准差的概念和计算公式。方差和标准差来源于人们对离散数据的离散程度的分析需要，在统计学中具有重要的意义。由于这两个概念的形成过程相对比较抽象，学生难以理解。如果教师不能积极地引导学生从理解方差和标准差概念的形成过程来学习本节内容，他们肯定难以真正掌握这两个概念。在实施教学内容的教学时，教师在注意衔接的基础上，要对这两个概念进行适当的应用，以强化学生对这两个概念的认知。

极差、方差与标准差学案

一、概念题

4．我们可以用一组数据中的__________减去__________所得的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为________．

5．方差实际上是一种表示一组数据的_________的量，我们可以用“先平均，_________，然后_________，最后再________”的方法得到．

6．标准差与方差有什么关系？这二者与原数据在单位上有什么关系？

二、读图题

1．观察下面的折线图，回答问题：

（1）__________组数据的极差较大．

（2）__________组数据的方差较大．

2．下图中两组数据哪一组离散程度较大？用什么样的数可以反映它们的离散程度的大小？

3．比较下面两幅频数分布图中的数据，哪组的平均值较大？哪组的标准差较大？

1 方差 导学案

姓名：

一、公式

方差的公式：

标准差的公式：

极差：

二、典型练习及练习

例1：求一组数据-2,-1,0,1,2的方差。

练习：

1、 求一组数据2,1,0,-1,-2，0，-1的方差。

2、一个样本的方差是s2=201［(x1一3)2+(x—3)2+…+(x20一3)2]．求：(1)样本容量n及平均数x； (2)如果样本数据的平方和为200，求样本标准差．

2 3、一次期中考试中，A、B、 C 、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：

(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差

（2）为了比较不同科考试成绩的好与坏,采用标准分是一个合理的选择.标准分的计算公式是:标准分=(个人成绩-平均成绩)成绩标准差,从标准分看,标准分大的考试成绩更好,请问A同学在本次考试中,数学与英语哪个学科考得更好?

4、为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他们各加工10个零件的相关数据收集如图．

根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：

(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些? (2)计算出sB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些?(3)考虑图中折线走势及竞赛加工零件个数超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适

A B C D E 平均分 标准差

数学 71 72 69 68 70 2

英语 88 82 94 85 76 85 3 5、甲、乙、丙三个家电厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命是8年，经质量检测部门对这三家销售的部分产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下(单位：年)：

第8课时 方差与标准差

【学习目标】

1．通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；

2．学会计算数据的方差、标准差；

3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．

【问题情境】

有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：2/mmkg），通过

计算发现，两个样本的平均数均为125．

甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135

125

乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145

哪种钢筋的质量较好？

【合作探究】

将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如下图所示．

由图可以看出，乙样本的最小值 ，低于甲样本的最小值 ，最大值

高于甲样本的最大值 ，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．

我们把一组数据的 称为极差（range）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．那又该如何刻画抗拉强度的稳定性呢？

【知识建构】

1．设一组样本数据12,,,nxxxL，其平均数为x， 则方差2s＝___________________________________________=________________；

标准差s＝____________________________________________=________________．

2．方差和标准差的意义：描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．

【展示点拨】

例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：2/hmt）如下，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．