中考数学压轴题专题复习—圆的综合的综合含答案解析
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一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求CE的长；
（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．
【答案】（1）证明见解析（2）8-43（3）4π
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；
（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=12BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；
（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.
【详解】
（1）如图1，连接AD，OD；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）如图2，连接BF，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB=90°，
∴BF∥DE，
∵CD=BD，
∴DE=12BF，CE=EF，
∵∠A=30°，AB=16，
∴BF=8，
∴DE=4，
∵DE为⊙O的切线，
∴ED2=EF•AE，
∴42=CE•（16﹣CE），
∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；
（3）如图3，连接OG，连接AD，
∵BG∥DF，
∴∠CBG=∠CDF=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠OBG=75°﹣30°=45°，
∵OG=OB，
∴∠OGB=∠OBG=45°，
∴∠BOG=90°，
∴BG的长度=908180=4π．
【点睛】
本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
2．已知O的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．
1如图①，若m5，则C的度数为______；
2如图②，若m6．
①求C的正切值；
②若ABC为等腰三角形，求ABC面积．
【答案】130；2C①的正切值为34；ABCS27②或43225.
【解析】
【分析】
1连接OA，OB，判断出AOB是等边三角形，即可得出结论；
2①先求出10AD，再用勾股定理求出8BD，进而求出tanADB，即可得出结论；
②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【详解】
1如图1，连接OB，OA，
OBOC5，
ABm5，
OBOCAB，
AOB是等边三角形，
AOB60，
1ACBAOB302，
故答案为30；
2①如图2，连接AO并延长交O于D，连接BD，
AD为O的直径，
AD10，ABD90，
在RtABD中，ABm6，根据勾股定理得，BD8，
AB3tanADBBD4，
CADB，
C的正切值为34；
②Ⅰ、当ACBC时，如图3，连接CO并延长交AB于E，
ACBC，AOBO，
CE为AB的垂直平分线，
AEBE3，
在RtAEO中，OA5，根据勾股定理得，OE4，
CEOEOC9，
ABC11SABCE692722；
Ⅱ、当ACAB6时，如图4，
连接OA交BC于F， ACAB，OCOB，
AO是BC的垂直平分线，
过点O作OGAB于G，
1AOGAOB2，1AGAB32，
AOB2ACB，
ACFAOG，
在RtAOG中，AG3sinAOGAC5，
3sinACF5，
在RtACF中，3sinACF5，
318AFAC55，
24CF5，
ABC111824432SAFBC225525；
Ⅲ、当BABC6时，如图5，由对称性知，ABC432S25．
【点睛】
圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：
①t的值； ②∠MBD的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．
【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=6﹣3或6+33．
【解析】
分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；
（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：3t﹣2t=7，可得t的值；
②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t+3=2t+6，解出即可；
第二种情况：如图6，同理可得t的值．
详解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E．
∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），∴AE=3，BE=3﹣2=1，∴AB=22AEBE=2231（）=2．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；
（2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E．
∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．
∵BC=2，且E为BC的中点，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'﹣FE'=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；
②由（1）可知：BE=1，AE=3，
∴tan∠EBA=AEBE=31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202=60°．
∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．
∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，
∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：
第一种情况：如图5．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．
∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线． ∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．
∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；
第二种情况：如图6．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．
∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．
∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．
∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan=33，
∴3t=2t+6+33，t=6+33；
综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．
点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．
4．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F． （1）当BC=233 时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．
【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）222 .
【解析】
试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；
（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．
试题解析：
（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．
证明：如图，
作以AB为直径的⊙O；
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵O为AB的中点，连接DO，
∴OD=OB=AB，
∴点D在⊙O上．
在Rt△ACB中，BC=，AC=2；
∴tan∠CAB==，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴△BOD是等边三角形．
∴∠BOD=60°．
∴∠ABC=∠BOD，
∴FC∥DO．
∵DF⊥CG，
∴∠ODF=∠BFD=90°，
