2020-2021备战中考数学压轴题专题复习—圆的综合的综合含答案解析

2020-2021备战中考数学压轴题专题复习—圆的综合的综合含答案解析

一、圆的综合

1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；

（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．

试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，

∴OA旋转了45°．

∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602．

（2）∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．

（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

证明：延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN． ∴△OAE≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

考点：旋转的性质.

2．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．

（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AG2=AF·AB；

（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.

【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.

【解析】

试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．

（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.

（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．

试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：

如答图1，连接CD，

∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.

∴∠D+∠CAD=90°.

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.

∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.

∵点A在圆上，

∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如答图2，连接BG，

∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴»»ACAD.∴∠AGF=∠ABG.

∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.

∴AG：AB=AF：AG. ∴AG2=AF•AB.

（3）如答图3，连接BD，

∵AD是直径，∴∠ABD=90°.

∵AG2=AF•AB，AG=AC=25，AB=45，∴AF=5.

∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90°.

∵∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD. ∴AEAFABAD，即51045AE，解得：AE=2.

∴221EFAFAE.

∵224EGAGAE，∴413FGEGEF.

∴1132322AFGSFGAE．

考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.

3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，

交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．

（1）求证：DA是⊙O切线；

（2）求证：△CED∽△ACD；

（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；

（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；

（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．

详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．

∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．

∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；

（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．

∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B． ∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．

∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；

（3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．

∵AD=22ODOA=22．

又∵△CED∽△ACD，∴ADCDCDDE，∴DE=2CDAD=2，

∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．

点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．

4．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接OC、BC、CE．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若圆O的直径等于2，填空：

①当AD= 时，四边形OADC是正方形；

②当AD= 时，四边形OECB是菱形．

【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．

【解析】

试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；

（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；

②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．

试题解析：解：∵AM⊥AB，

∴∠OAD=90°．

∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，

∴△OAD≌△OCD，

∴∠OCD=∠OAD=90°．

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）①∵当四边形OADC是正方形，

∴AO=AD=1．

故答案为：1．

②∵四边形OECB是菱形，

∴OE=CE． 又∵OC=OE，

∴OC=OE=CE．

∴∠CEO=60°．

∵CE∥AB，

∴∠AOD=60°．

在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，

∴AD=．

故答案为：．

点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．

5．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．

（1）∠C的最大度数为 ；

（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；

（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；

（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．

试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：

∵sin∠OCP=OPOC=24=12，∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度数为30°，

故答案为：30°；

（2）有最大值，理由：

∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大， 而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，

也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；

（3）连结AP，BP，如图2，

在△OAP与△OBD中，OAODAOPBODOPOB ，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，

∵PC=DB，∴AP=PC，

∵PA=PC，∴∠A=∠C，

∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，

在△APB和△CPO中，APCPACABCO ，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，

∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，

∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．

6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，»»ABCD．

（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；

（2）求证：△ABE≌△DCE；

（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．

【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）833．

【解析】

分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所