2020年高中数学第二章解析几何初步22.1圆的标准方程课件北师大版必修2

第二章解析几何初步（二）—圆

第1页共8页知识点部分：

1.圆的定义：

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．

2.圆的标准方程：

圆的标准方程（x﹣a）2

+（y﹣b）2

＝r2

，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），

半径为r时，圆的标准方程为x2

+y2

＝r2

．

3.圆的一般方程：

（1）圆的一般方程x2

+y2

+Dx+Ey+F＝0．

①当D2

+E2

﹣4F＞0

时，表示圆心（﹣

，﹣）

，半径为的圆；

②当D2

+E2

﹣4F＝0

时，表示点（﹣

，﹣）；

③当D2

+E2

﹣4F＜0时，不表示任何图形．

（2）形如Ax2

+Bxy+Cy2

+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：

①A＝C≠0；②B＝0；③D2

+E2

﹣4F＞0．

4．直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系

（2）判断直线与圆的位置关系的方法

直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2

+（y﹣b）2

＝r2

（r＞0）的位置关系的判断方法：

①几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离

d＝

相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r

②代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．

由消元，得到一元二次方程的判别式△

相交：△＞0；相切：△＝0；相离：△＜0．第二章解析几何初步（二）—圆

第2页共8页5．圆与圆的位置关系及其判定（1）圆与圆的位置关系

（2）圆与圆的位置关系的判定

设两圆圆心分别为O

1，O

2，半径分别为r

1，r

2，|O

1O

2|＝d

利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断

①外离（4条公切线）：d＞r

1+r

2

②外切（3条公切线）：d＝r

1+r

2

③相交（2条公切线）：|r

1﹣r

2|＜d＜r

1+r

2

④内切（1条公切线）：d＝|r

1﹣r

2|

⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r

1﹣r

2|

练习题部分：

1．圆（x+1）2

+y2

＝4的圆心坐标和半径分别是（）

A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），4D．（﹣1，0），4

1 2.2 圆与圆的方程

一、知识清单

（一）圆的定义及方程

定义 平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹

标准

方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r

一般

方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F>0) 圆心：－D2，－E2，

半径：12D2＋E2－4F

1、圆的标准方程与一般方程的互化

（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4

①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D2，－E2)为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D2，y＝－E2，即只表示一个点(－D2，－E2)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.

3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（二）点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

（三）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：

（1）B＝0； （2）A＝C≠0； （3）D2＋E2－4AF＞0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

第二章 §2

2.1

一、选择题

1．以点(2，－1)为圆心，以2为半径的圆的标准方程是( )

A．(x＋2)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝2

[答案] C

2．经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为( )

A．x－y＋3＝0 B．x－y－3＝0

C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋3＝0

[答案] A

[解析] 圆C的圆心坐标为(－1,2)，故所求直线方程为y－2＝1·(x＋1)，即x－y＋3＝0.

3．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )

A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13

B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52

D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

[答案] A

[解析] 设直径两端点为A(x,0) B(0，y)，则圆心(2，－3)为直径中点，

∴ 2＝x＋02－3＝0＋y2即 x＝4y＝－6.∴A(4,0)，B(0，－6)．

∴r＝12|AB|＝12·42＋62＝13，

∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.

4．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于( )

A．13 B．7

C．－13 D．以上答案都不对

[答案] B

[解析] 当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0.解得a＝7.

5．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是( )

A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

[答案] D

[解析] 圆的半径r即为圆心(1,1)到直线x＋y－4＝0的距离d＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

2.3.1 圆的标准方程

1.以(-2,3)为圆心,与y轴相切的圆的标准方程为(A)

(A)(x+2)2+(y-3)2=4(B)(x-2)2+(y+3)2=4

(C)(x+2)2+(y-3)2=9(D)(x+2)2+(y-3)2=25

解析:因为圆心坐标(-2,3),圆与y轴相切,

所以r=|-2|=2,

所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4.

2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是(A)

(A)(-,1) (B)(-∞,-)∪(1,+∞)

(C)[-,1) (D)(-∞,-)∪[1,+∞)

解析:联立解得P(a,3a).

因为点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部.

所以(a-1)2+(3a-1)2<4.解得-

3.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(B)

(A)7(B)6(C)5(D)4

解析:由题意知以AB为直径的圆O与圆C有公共点,且|OC|=5,于是m-1≤5≤1+m即4≤m≤6.故选B.

4.若直线x+y-3=0始终平分圆(x-a)2+(y-b)2=2的周长,则a+b等于(A)

(A)3(B)2(C)5(D)1

解析:由题可知,圆心(a,b)在直线x+y-3=0上,

所以a+b-3=0,即a+b=3. 5.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.

解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2,

则a2+5=r2,

且=,

解得a=2或a=-2(舍去),

所以r2=9. 所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.

答案:(x-2)2+y2=9

6.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=25上一点M(x0,y0),则(x0-6)2+(y0+4)2的最小值为.