一元一次方程组的解法

经典例题透析

类型一：求二元一次方程的解

1．写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解.

思路点拨：要把4x＋y＝20变形，再根据代数式的特点求解.

解析：由原方程得y＝20－4x.因为x、y都是正整数，

所以当x＝1,2，3,4时，y＝16,12,8，4.

所以方程4x＋y＝20的所有正整数解为：， ， ， .

总结升华：(1)可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，然后两个未知数取正整数值即可.(2)对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才符合题意的解.

举一反三：

【变式1】在方程3x＋4y－2＝0中，若y分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.

【答案】将3x＋4y－2＝0变形得.

把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：

2 0 －1 －4

－2 2 6

【变式2】求二元一次方程2x＋y＝9在自然数范围内的解。

思路点拨：首先明确自然数的概念，自然数是指0,1，2, 3，…，也就是非负整数，最小的自然数是0。再把二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可变为y＝9－2x，这样再让未知数x按顺序0,1，2，3，…取值，即可获得所求的自然数范围内的解。

解析：原方程变形为y＝9－2x

当x＝0时，y＝9，当x＝1时，y＝7，当x＝2时，y＝5

当x＝3时，y＝3，当x＝4时，y＝1，当x＝5时，y＝－1

所以方程在自然数范围内的解为，，，，。

类型二：确定方程的待定系数

2．若是关于的二元一次方程，求的值.

思路点拨：根据二元一次方程的定义，a－3≠0，即a≠3；|a|－2＝1，即a＝±3，所以a＝－3.

解析：由题意得|a|－2＝1，所以a＝±3.

而a－3≠0，即a≠3，所以a＝－3.

一元一次方程组的概念与解法

一、概念

在数学中，一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次幂为1的方程。而一元一次方程组则是由若干个一元一次方程组成的方程组。

一元一次方程组的一般形式如下：

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

其中，a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂为已知系数，x和y为未知数。

二、求解方法

为了求解一元一次方程组，我们可以使用以下两种方法：

1. 等价变换法

通过等价变换，即对方程组进行加减乘除等运算，将一元一次方程组转化为更简单的形式，从而得到解。

（例1）

考虑如下一元一次方程组：

2x + 3y = 7

4x - y = 1 首先，我们可以通过倍乘第二个方程，得到其系数与第一个方程相等的结果：

2x + 3y = 7

8x - 2y = 2

然后，我们可以将第二个方程加到第一个方程上，消去y的项：

2x + 3y + 8x - 2y = 7 + 2

10x + y = 9

接着，我们通过等式变换将y的系数变为1，然后解得x的值：

y = 9 - 10x

10x + (9 - 10x) = 9

9 = 9

最后，将x的值代入一元一次方程中，求解得到y的值：

2x + 3y = 7

2(1) + 3y = 7

3y = 5

y = 5/3

因此，该一元一次方程组的解为 x = 1，y = 5/3。

2. 代入法 通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步消去未知数，最终求得解的方法。

（例2）

考虑如下一元一次方程组：

x - 2y = 1

3x + 4y = 14

首先，可以通过第一个方程解得x的值：

x = 1 + 2y (式1)

接着，将式1代入第二个方程，得到：

1

7.2 二元一次方程组的解法

2 加减消元法

【教学目标】

1.掌握用加减法解二元一次方程组。

2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。

3.体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心.

【教学重点】

用加减法解二元一次方程组

【教学难点】

两个方程组相加减消元时符号的问题

【教学过程】

（一）课前预习，明确目标

1、解二元一次方程组的基本思路是什么？

2、什么是加减消元法？

3、什么条件下用加法、什么条件下用减法?

（二）生成问题，自主探究

做一做:

合并同类项

（1） 3x+(-3x) =_____ （2） 2y-2y=______

（3） 9x+_____= 0 （4） 7y-_____ = 0

2

想一想：在一个方程组里，如果某个未知数的系数是相同或互为相反数，我们可不可以用加减法消去这个未知数?

探究学习：

例1 解方程组：

②22①7yxyx

解：①+②得：

3x=9

x=3

把x=3 带入方程①得：

3+y=7

y=4

34xy

（三）展示提升，相互释疑

例2 解方程组：

②2343①553yxyx

解：①-②得：

9y=-18 3

y=-2

把y=-2 带入方程①得：

3x-10=5

x=5

52xy

思 考:

从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？

通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做加减消元法,简称加减法.

结论：利用加减消元法解方程组时,在方程组的两个方程中:

(1)某个未知数的系数互为相反数，则可以直接把这两个方程中的两边分别相加，消去这个未知数;

(2)如果某个未知数系数相等，则可以直接把这两个方程中的两边分别相减,消去这个未知数;

第4讲：二元一次方程组及其解法

上课时间：_____________

【教学目标】

考点1. 二元一次方程和二元一次方程组的概念

考点2．二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义

考点3．二元一次方程组的解法

【教学过程】

一、检查与测试

【检查上次作业完成情况】

【上次上课掌握情况测试】

1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )

A． x＝0，y＝－12 B． x＝1，y＝1 C． x＝1，y＝0 D． x＝－1，y＝－1

2．(2012重庆)关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

3．(2012山东临沂)关于x，y的方程组 3x－y＝m，x＋my＝n的解是 x＝1，y＝1，则|m－n|的值是( )

A．5 B．3 C．2 D．1

4．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )

A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200

5．(2012广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是 x＝2，y＝－1.

二、考点突破

考点1、二元一次方程和二元一次方程组的概念

【配套例题】

例1、已知下列方程2xm－1＋3yn＋3＝5是二元一次方程，则m＋n＝ .

【方法归纳】解二元一次方程必须同时具备三个条件：

⑴这个方程中有且只有两个未知数；

⑵含未知数的次数是1；

⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.

【配套测试】

01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.

⑴2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3 (3)x1＋y＝21 (4)x2＋2x＋1＝0 (5)2x＋10xy＝5