二倍角的三角函数 导学案

第6课时二倍角的三角函数一、课程学习目标1.能够根据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式.2.能够根据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系.3.能够使用倍角公式进行简单的三角恒等变换.二、知识体系梳理2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是错误!未找到引用源。

,你能求出sin2θ-cos2θ的值吗?问题1:二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=(α为任意角);(2)cos2α=cos2α- = -1=1- (α为任意角);(3)tan2α=(α≠+kπ,且α≠错误!未找到引用源。

+ ,k∈Z).问题2:半角的正弦、余弦、正切公式sin错误!未找到引用源。

=;cos错误!未找到引用源。

= ;tan错误!未找到引用源。

== = .问题3:如何根据倍角公式导出半角公式?单角和倍角是相对的,α是错误!未找到引用源。

的倍角,在问题1中如果使用这个关系,则得到cos2错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,sin2错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,把这个式子开方得cos错误!未找到引用源。

=±错误!未找到引用源。

,sin 错误!未找到引用源。

=±错误!未找到引用源。

,再根据同角三角函数关系可得tan错误!未找到引用源。

=±错误!未找到引用源。

,符号由错误!未找到引用源。

所在象限决定.对正切的半角公式又有tan错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,这组公式称为半角公式.问题4:二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?三、基础学习交流1.2sin错误!未找到引用源。

cos错误!未找到引用源。

二倍角的三角函数导学案二倍角的三角函数（导学案）一.学习目标：1.知识与技能（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.2.过程与方法让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.二．学习重、难点重点:倍角公式的应用.难点:公式的推导.三 .学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四.学习设想【探究新知】1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？3、让学生板演得下述二倍角公式：这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：这两个形式今后常用.例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.（公式巩固性练习）求值：①．sin2230’cos2230’=②．③．④．例2.化简①．②．③．④．例3、已知，求sin2，cos2，tan2的值。

二倍角公式学案一、引言二倍角公式是初等数学中的重要内容之一，它在解决三角函数相关问题时起到了重要的作用。

本文档将从定义、推导以及实际应用三个方面详细阐述二倍角公式的相关知识，帮助读者更好地理解和运用该公式。

二、定义二倍角公式的定义是：sin(2θ) = 2sinθcosθ，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ。

其中，θ为任意一个角度。

三、推导过程1. 推导sin(2θ) = 2sinθcosθ：由三角函数中的和差化积公式可得：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB令A = B = θ，代入公式中得：sin(2θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ2. 推导cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ：同样利用和差化积公式，得：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB令A = B = θ，代入公式中得：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ四、实际应用二倍角公式在解决三角函数相关问题时被广泛应用。

下面是一些常见的应用示例：1. 求解三角函数值：通过利用二倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为另一个角的三角函数值，从而更方便地求解。

比如，若已知sin(θ) = 1/2，可以利用二倍角公式得到sin(2θ) = 2sinθcosθ = 1/2 * cosθ，进而求得cosθ的值。

2. 求解三角方程：在求解诸如sin(θ) = cos(θ)等三角方程时，可以借助二倍角公式将其转化为关于θ的二次方程，进而求得θ的取值。

3. 矢量旋转：在二维平面中，矢量的旋转可以通过三角函数的二倍角公式来表示。

例如，若有矢量v(x, y)的方向角为θ，通过二倍角公式我们可以得到v的旋转角度为2θ的矢量。

4. 几何证明：二倍角公式在几何证明中也具有重要作用。

通过变换和推导，可以利用二倍角公式来证明各种几何定理，丰富了几何学的内容。

陕西省榆林育才中学高中数学第3章《三角恒等变形》3二倍角的三角函数（1）导学案北师大版必修4【学习目标】1．探索、发现并推导二倍角公式，了解公式之间的内在联系．2．掌握二倍角公式的特征，灵活应用公式解决与二倍角有关的求值问题．【重点难点】重点：二倍角公式的推导及其应用.难点：二倍角公式的灵活应用.【使用说明】复习回顾两角和的正弦、余弦和正切公式，利用由一般到特殊的思想推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，注意公式之间的内在联系；熟记二倍角公式及其特征，灵活应用公式解决与二倍角有关的问题．【自主学习】1．复习回顾：()sinαβ+= ；()cosαβ+= ；()tanαβ+= ．2．探索新知：3．若tan2α=，则tan2α=________．【合作探究】1．设α是第二象限角，已知3cos5α=-，求sin2,cos2αα和tan2α的值．【课堂检测】1． 求下列各式的值：(1) 2sin15cos15； (2) 22cos 22.5sin 22.5-； (3) 212sin 15-； (4) 212cos 15-； (5) sin cos88ππ； (6) 2tan 751tan 75-． 2．已知73cos ,2,82πααπ=<< 求sin 2,cos 2αα和tan 2α的值．3．已知等腰三角形一个底角的正弦值为3,5求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值．【课后训练】1． 求下列各式的值： (1) 22sin cos 1212ππ-； (2) 2'12sin 6730-； (3) sin15sin 75； (4) 25tan125tan 112ππ-．2．已知83cos ,(,2),172πααπ=∈ 求cos2α和tan 2α的值．3．把图中的一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料, 怎样截取才能使横截面面积最大?。

精品资料欢迎下载3．2．1 二倍角的三角函数【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明 .【学习过程】一、情景引入：首先复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()( S)cos()(C)tan()(T) (,,k, k Z )2那么在公式 ( S)， (C)， (T) 中，当时得到什么呢？二、自主探究：1. 二倍角公式的推导在公式 (S )， (C)， (T ) 中，当时，得到相应的一组公式：sin 2；(S2 )cos2；(C2 )cos2sin 21,cos2=；(C2 ) tan2； (T2)2. 注意：1°在(T2) 中 22k 且k k z，公式 (T2) 成立的条件是22°二倍角公式不只限于 2是的二倍的形式，其它如 4是 2的两倍，是的两倍， 3是3的两倍，24是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式. 因此，要理解“二倍角”236的含义，即当 2 时，就是的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式“倍角”的意义是相对的.3°二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式 .公式 ( S2 ) ， (C2 ) ， (C2 ) ， (T2 ) 统称为二倍角的三角函数公式，简称为4°倍角公式给出了的三角函数与2的三角函数值间的关系.二倍角公式.三、展示点拨例 1 求下列各式的值 (1) (sin5cos 5 )(sin 5cos 5) (2) cos 4 2 sin 412 12 12 12 2(3) 1 1(4) cos201 tan1 tancos40 cos60 cos80例 2 已知 tan 3，求 sin2 cos2 的值例 3 用 sin , cos 表示 sin 3 , cos3例 4 已知sin(5(0) ，求 cos2 , cos() 的值。

必修4 导学案 使用时间：2017年08 月 24 日 编写人：/ 21课题：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 【课程标准】1、会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2、能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用． 【重点难点】重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。

难点：二倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。

【学习目标】1、知识与技能：（1）掌握222,,S C T ααα公式的推导，明确α的取值范围。

（2）能正确运用二倍角公式求值、化简。

2、过程与方法：（1）通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养学生的类比推理能力，自主探究的学习能力。

（2）通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观：自己由和角公式导出倍角公式，领会从“一般”化归为“特殊”的数学思想，体会公式所蕴含的和谐美，激发学生学习数学的兴趣；引导学生发现数学规律，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质。

【学法指导】自己由和角公式导出倍角公式,二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.【预习案】1、复习回顾,两角和的正弦，余弦，正切公式()S αβ+：()sin αβ+= ()C αβ+：()cos αβ+=()T αβ+：()tan αβ+= 若上述公式中 ，你能否对它进行变形？ 2、自主推导二倍角公式2S α：sin 2α=2C α：cos2α=2T α：tan 2α=βα=/ 22【课堂案】1、 小组自查预习案内容，给出二倍角公式2、 公式运用 例1、 已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 例2、 求下列各式的值(1)2sin15cos15︒︒ (2)sin 22.5cos 22.5︒︒22(3)cos sin 88ππ- 21(4)2sin 752︒-2(5)12cos 75︒- 2tan15(6)1tan 15︒︒-例3、1.求 sin15°+cos15°的值.cos 22.2sin()4a a π=--若,求cos α+sin α的值. 【巩固案】1、已知1sin ,sin 232παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭则2、已知sin 2α=-sin α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α= 13sin cos ,sin 23ααα+==、则14tan 2=3αα、已知，则tan =445sincos88ππ-=、【学习疑惑】【学习反思】【课后拓展】 1．sin αcos α=83，且4π<α<2π,则cos α－sin α的值为 （ ） A ．21B ．21- C ．41- D ．21±2．函数x y 2sin =是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 sin cos cos 2A B 2C D 2y x x x ππππ=3.函数是（ ）（）周期为的奇函数；（）周期为的奇函数（）周期为的偶函数；（）周期为的偶函数。

总 课 题 二倍角的三角函数 总课时 第36课时 分 课 题二倍角的三角函数（2）分课时 第 2 课时教学目标 灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。

重点难点记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明。

在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式。

引入新课1、=α2sin ； =α2cos = = ；=α2tan _______________ ；=α2cos ；=α2sin 。

2、化简：)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+= ； ︒︒75sin 15sin =125tan2125tan 12ππ-= 例题剖析例1、化简απαπα222sin )6(sin )6(sin -++-。

例2 、求证：1)10tan 31(50sin =︒+︒例3、在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？巩固练习1、化简：（1）2)15cos 15(sin ︒+︒ （2）125cos 12sin 22ππ+；（3）︒-︒+10sin 20cos 22 （4）θθtan 11tan 11+--2、证明：（1）B A B A B A 2cos 2cos )(sin )(cos 22=--+（2）θθθ2cos )tan 1(cos 22=-3、已知31tan ,71tan ==βα, 且α,β都是锐角，求βα2+的值。

4、试说明x y x y 2sin 2sin ==与图象之间有什么关系？课堂小结灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题 1、已知x sin =215-，则)42(sin 2π-x 的值等于______________.2、若)2,0(πα∈，则化简α2cos 21212121--= 3、若0cos cos sin sin =+βαβα，则ββααcos sin cos sin +的值为_____________. 4、用αsin 表示α3sin 。

《二倍角公式》导学案学习目标：1、知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2、能力目标：能用公式进行简单的求值、化简和恒等证明；3、德育目标：引导学生发现数学规律，培养学生的创新意识和应用意识.学习重点：1、二倍角公式的推导；2、二倍角公式的简单应用.学习难点：灵活应用倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.【课前热身】1、同角三角函数关系式 和2、和角公式=+)sin(βα()=+βαcos()=+βαtan【合作探究】教师预设问题1：在和角公式中，如果让βα=，会有什么发现？问题2：因为1cos sin 22=+αα，那么=α2cos ?问题3：我们知道当)(2z k k ∈+=ππα时，αtan 不存在，那么α2tan 存在吗？【课堂训练】的值和），求，（且、已知ααππαα2cos 2sin 2,53sin 1∈=()= 15cos 15sin 212、()=-6s i n 6c o s 222ππ()=-30t an 130t an 2323、()= 15cos 15sin 1()=-6c o s 6s i n 222ππ()=-30tan 130tan 32【拓展提升】ααααtan 1tan 12cos sin2-1+-=证明：【课时小结】1、本节课学习了二倍角公式及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等证明.2、二倍角公式适用于二倍角与单角的三角函数的互化问题，灵活理解“二倍角”的含义，熟悉公式的逆用.【达标检测】1、下列各式中，值为21的是 （ ）A. 15cos 15sinB.12sin 1222ππ-COS C.6cos 2121π+ D. 5.22tan 15.22tan 2-2、8sin 8cos 44ππ-等于 （ ） A.0 B.22 C.1 D.22- 3、若α满足条件,0sin cos ,02sin >-<ααα则α在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、=∙5.37cos 5.37sin 2 .5、=- 5.67cos 5.67sin 22 .6、=-5.7tan 15.7tan 2 . 7、已知2tan =α，求ααα2cos 2cos 2sin -的值.。

1、=+=+=+)tan(;)cos(;)sin(βαβαβα2、函数x y sin =与x y 2sin =图象之间的位置关系？3、角α的三角函数与角α2的三角函数之间有怎样的关系？4、学生活动：由)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 公式中，令αβ=可以得到的结果：（倍角公式）=α2sin ；=α2cos = = ； =α2tan _______________。

例题剖析例1、已知1312sin =α，),2(ππα∈，求ααα2tan 2cos 2sin ，，的值。

例2、求证：θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+。

例3、不查表，求下列各式的值。

Oxy（1）︒︒15cos 15sin （2）8sin 8cos 22ππ- （3）︒-︒5.22tan 15.22tan 22（4）︒-75sin 212巩固练习1、求下列各式的值： （1）8cos8sinππ= ；（2）16cos 16sin 22ππ-= ；（3）=︒-︒15tan 115tan 22 ；（4）=︒-15sin 212 ；（5）=12cos24cos48cos48sin8ππππ。

2、已知，，542cos 532sin-==αα则角α的终边在第___________象限。

3、已知)2,0(8.0sin παα∈=，，求αα2cos 2sin ，的值。

4、已知21tan =α，求)22tan(απ+的值5、证明：（1）ααπαπ2sin )cos()sin(2=-+（2）12cos cos 22=-θθ（3）αααsin 2sin 2cos 1=-（4）2tan cos 1cos 12AA A =+-课堂小结 记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、求下列各式的值：（1）0367cos 03112sin '︒'︒= ；（2）︒-︒15cos 15sin 22= ； （3）2112sin 2-π= ；（4）︒-750cos 212= ．2、化简： （1）8cos 8sin 22ππ-= ；（2）2sin 2cos 44αα-=（3）245tan 1245tan2ππ-= ； （4）︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin = ．3、若21cos sin =+αα，则=α2sin ______________。

课题： 二倍角的三角函数【学习目标】1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2.能用上诉公式进行简单的求值、化简、恒等证明。

【重点难点】教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式。

教学难点：能用二倍角的公式进行求值、化简、恒等证明。

【学习流程】■问题引导（自主学习）1.两角和差的正弦、余弦、正切公式)sin(βα+= （βα+S ）)cos(βα+= （βα+C ）()βα+tan = (z k k T ∈+≠++,2,,)((ππβαβαβα)2.二倍角公式的推导在公式βα+S ,βα+C ,βα+T 中,当βα+时，得到相应的一组公式： α2sin = （α2S ）α2cos = （α2C ）α2tan = （α2T ），注意：)(22z k k ∈+≠ππα公式 统称为 ，简称为二倍角公式。

■诱思讨论（合作学习）例1：已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,1312sin 求ααα2tan ,2cos ,2sin 的值。

例2：已知,40,1354sin πθθπ<<=⎪⎭⎫⎝⎛-求⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθ4cos ,2cos 的值。

练习：求()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x x x f 4cos 4cos 4cos sin 6cos 62ππ的值域。

例3：已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+43,2,51cos sin ππθθθ，求θθθθ2cos ,2sin ,cos ,sin 的值。

■重点点拨（方法学习）■及时训练（巩固学习）利用倍角公式求下列各式的值：()8cos 8sin .1ππ；()8sin 8cos 222ππ-；()︒-15sin 2132；()2)15cos 15(sin 4︒-︒；化简：()()ααα2cos sin 1sin 41222+-；()αααααcos sin 2cos 2sin 2cos212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+。

课堂小结■反思小结。

二倍角的三角函数1.阅读探究课本P122-123页的基础知识，学习二倍角的三角函数相关知识； 。

1、让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系； 2、会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；3、领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

重点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。

难点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。

预习，独学，思考交流，归纳结论。

1、问题1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？问题2：若β=α，结果会如何，你能得出什么结论？α2S ： α2C ： α2T ：问题3：你能利用同角三角函数公式对α2C 进行变形吗？（sin 2α+cos 2α=1）问题4：二倍角公式延伸 （1）sin2α=±2cos -1α （2）cos2α=±2cos 1α+ （3）tan2α=±ααcos 1cos 1+-=ααcos 1sin +=ααsin cos 1-1、不查表，计算下列式子的值（1）sin 2230cos 2230''⋅=（2）=-π18cos 22（3）=π-π8cos 8sin 22使用说明 重难点 学习目标自主学习自主练习 学习方法（4）= 40cos 20cos 10sin已知)0,2(135cos παα-∈=且，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。

1、计算下列式子的值：（1）、1sin 40-； （2）、1cos 20+；(3)、1sin 40+； (4)、1cos 20-。

（5）22tan 22.51tan 22.5-= ；（6）、15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ++= 。

2、在∆ABC 中，已知cosA=53,sinB=31,求sin(2A+B),tan(A+2B).当堂检测 合作探究课后反思。

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，能够运用这些公式进行计算和化简。

2.过程与方法：通过探究、讨论、练习等方式，培养学生的数学思维能力，提高解题技巧。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

二、教学重点与难点1.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切函数公式的推导与应用。

2.教学难点：二倍角公式的推导过程及运用过程中的符号变化。

三、教学过程1.导入新课（1）复习回顾：引导学生回顾初中阶段学习的正弦、余弦、正切函数的定义及性质。

（2）提出问题：如何利用已知的三角函数公式来推导二倍角的三角函数公式？2.探究新知（1）引导学生利用正弦、余弦、正切的定义，结合三角形的面积公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切函数公式。

（2）教师引导学生进行推导，并解释推导过程中的关键步骤。

3.应用练习（1）教师给出一些简单的二倍角问题，让学生运用新学的公式进行解答。

（2）学生互相交流，分享解题过程和心得。

（3）教师点评，指出学生解题过程中的优点和不足。

4.拓展延伸（1）引导学生探讨二倍角公式在解三角形、化简三角函数表达式等方面的应用。

（2）学生举例说明，教师点评。

（2）学生反馈学习过程中的疑问和收获。

6.作业布置（1）教材P页习题1、2、3。

（2）思考：如何利用二倍角公式化简三角函数表达式？四、教学反思1.本节课通过引导学生探究二倍角公式的推导过程，让学生体会到了数学的严谨性和美感，提高了学生的学习兴趣。

2.在应用练习环节，学生能够积极参与，互相交流，提高了解题技巧。

3.在拓展延伸环节，学生能够将二倍角公式应用于实际问题，培养了学生的数学思维能力。

4.教学过程中，部分学生对二倍角公式的符号变化掌握不够熟练，需要在课后加强练习。

5.教师在课堂上要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。

五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度、合作交流情况等。