高考数学一轮复习 第六章 第5讲 数列的综合应用配套课件 理 新人教A版

1 第3讲 等比数列及其前n项和

基础知识整合

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第□012项起，每一项与它的前一项的比等于□02同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的□03公比，通常用字母q表示，定义的表达式为□04an＋1an＝q.

(2)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么□05G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒□06G2＝ab(ab≠0)．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝□07a1qn－1.

2

等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

(6)等比数列{an}满足 a1>0，q>1或 a1<0，00，01时，{an}是递减数列．

3 1．(2019·四川成都检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝( )

A．12 B．18

C．24 D．36

答案 B

解析 由题意，a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝78，所以1＋q2＋q4＝13，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝18.故选B.

2．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为( )

第5讲 数列的综合应用

【2020年高考会这样考】

1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．

2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力．

【复习指导】

1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算．

2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．

3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法．

基础梳理

1．等比数列与等差数列比较表

不同点 相同点

等差数列 (1)强调从第二项起每一项与前项的差；

(2)a1和d可以为零；

(3)等差中项唯一 (1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；

(2)结果都必须是同一个常数；

(3)数列都可由a1，d或a1，q确定 等比数列 (1)强调从第二项起每一项与前项的比；

(2)a1与q均不为零；

(3)等比中项有两个值

2.解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．

(3)求解——求出该问题的数学解．

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．

3．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．

一条主线

数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．

两个提醒

(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

学案31 数列的综合应用

导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．

自主梳理

1．数列的综合应用

数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．

(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．

(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．

(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．

(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由Sn求an时，要对__________进行分类讨论．

2．数列的实际应用

数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．

(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求an还是求Sn.

(2)分期付款中的有关规定

①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；

②在分期付款中规定每期所付款额相同；

③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；

④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．

自我检测

1．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为________．

2．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a6a16＝________.

3．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240

2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 第5讲 数列的综合应用 理

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2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 第5讲 数列的综合应用 理

2 第5讲 数列的综合应用

一、选择题

1．已知｛an｝为等比数列．下面结论中正确的是 ( )．

A．a1＋a3≥2a2 B．a2，1＋a错误!≥2a错误!

C．若a1＝a3,则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4〉a2

解析 设公比为q，对于选项A,当a1〈0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确;选项D，当a1＝1,q＝－2时不正确;选项B正确,因为a错误!＋a错误!≥2a1a3＝2a错误!.

答案 B

2．满足a1＝1,log2an＋1＝log2an＋1（n∈N＊）,它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是 ( )．

A．9 B．10 C．11 D．12

解析 因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1（n∈N＊），所以an＋1＝2an，an＝2n－1,Sn＝2n－1，则满足Sn〉1 025的最小n值是11.

答案 C

3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝错误!n（n＋1）（2n＋1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( ）．