2020北京海淀高三二模数学含答案
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数 学 2020.6
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若全集UR，|1Axx，|1Bxx，则
（A）AB （B）BA
（C）UBA （D）UAB
（2）下列函数中，值域为[0,)且为偶函数的是
（A）2yx （B）|1|yx
（C）cosyx （D）lnyx
（3）若抛物线212yx的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则||PF等于
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
（4）已知三条不同的直线,,lmn和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的为
（A）若//m，//n，则//mn （B）若//lm，m，则//l
（C）若//l，//l，则// （D）若//l，l，则
（5）在△ABC中，若7a，8b，1cos7B，则A的大小为
（A）6 （B）4 （C）3 （D）2
（6）将函数()sin(2)6fxx的图象向左平移3个单位长度，得到函数()gx的图象，则()gx 2 / 16 （A）sin(2)6x
（B）2sin(2)3x
（C）cos2x （D）cos2x
（7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为
（A）23 （B）43
（C）2 （D）4
（8）对于非零向量,ab，“2()2abaa”是“ = ab”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）如图,正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面11BBCC的边界及其内部运动. 若1DOOP，则△11DCP面积的最大值为
（A）255 （B）455
（C）5 （D）25
（10）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离. 某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座. 例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）. 根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 ABCD1A1B1C1DOP主视图左视图俯视图 3 / 16 （11）若复数(2i)(i)a为纯虚数，则实数a_______.
（12）已知双曲线E的一条渐近线方程为yx，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以为_______.（写出一个即可）
（13）数列na中，12a，12nnaa，*nN. 若其前k项和为126，则k_______.
（14）已知点(2,0)A，(1,2)B，(2,2)C，||||APABAC，O为坐标原点，则||AP_______，OP与OA夹角的取值范围是_______.
（15）已知函数1,0,()|ln|,0.axxfxxx 给出下列三个结论：
① 当2a时，函数()fx的单调递减区间为(,1)；
② 若函数()fx无最小值，则a的取值范围为(0,)；
③ 若1a且0a，则bR，使得函数()yfxb恰有3个零点1x,2x,3x，且1231xxx.
其中，所有正确结论的序号是_______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题共14分）
已知{}na是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为nS. 又 ，且540S，是否存在大于1的正整数k,使得1kSS？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.
从①14a，②2d这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
4 / 16 （17）（本小题共14分）
在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，//BCAD，90ADC，112BCCDAD，E为线段AD的中点. PE底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
（Ⅰ）求证：//BEFG；
（Ⅱ）若PC与AB所成的角为4，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．
ABCDPEGF 5 / 16 （18）（本小题共14分）
为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务. 已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示. 为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.
（Ⅰ）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；
（Ⅱ）若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；
（Ⅲ）据统计，该地区被访者的签约率约为44%. 为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.
（19）（本小题共15分）
已知椭圆2222:1xyWab(0)ab过(0,1),(0,1)AB两点，离心率为32.
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）过点A的直线l与椭圆W的另一个交点为C，直线l交直线2y于点M，记直线BC，BM的斜率分别为1k，2k，求12kk的值.
30.337.155.761.770.075.82图 O18~302040608031~5051~6061~7071~8081以上年龄段%签约率（）年龄（单位：岁）1 图 O21314151617181911011110.0180.0210.016频率组距0.0150.0100.0040.0050.010.0150.020.0250.00250.00050.0080.005 6 / 16 （20）（本小题共14分）
已知函数()e(sincos)xfxxx.
（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；
（Ⅱ）求证：曲线()yfx在区间(0,)2上有且只有一条斜率为2的切线.
（21）（本小题共14分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点. 对任意的点(,)Pxy，定义||||||||OPxy.任取点1122(,),(,)AxyBxy，记1221'(,),'(,)AxyBxy，若此时 2222||||||||||'||||'||OAOBOAOB成立，则称点,AB相关.
（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①(2,1),(3,2)AB； ②(4,3),C(2,4)D.
（Ⅱ）给定*nN，3n，点集{(,)|,,,}nxynxnnynxyZ.
(ⅰ)求集合n中与点(1,1)A相关的点的个数；
(ⅱ)若nS，且对于任意的,ABS，点,AB相关，求S中元素个数的最大值.
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参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D C C A B C
C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
题号 11 12 13 14 15
答案 12 22144xy 6 1，[0,]6 ②③
注：第12题答案不唯一，写出一个形如22221xyaa或22221yxaa（22a）的方程即可；第14题第一空3分，第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
（16）（本小题共14分）
解：选择条件①，不存在正整数(1)kk,使得1kSS.
解法1
理由如下：
在等差数列{}na中，5115455102Sadad
又14a，540S.
所以由 114,51040aad 得 2.d
所以 1(1)42(1)22naandnn.
又因为110nnnSSa，
所以数列{}nS为递增数列.即1k，都有1kSS. 0 8 / 16 所以不存在正整数(1)kk,使得1kSS.
解法2
理由如下：
在等差数列{}na中，5115455102Sadad
又14a，540S.
所以由 114,51040aad 得 2.d
所以21(1)(1)42322kkkkkSkadkkk.
令14kSS，即2340kk.
解得1k或4k.
因为1k，所以1k与4k均不符合要求.
所以不存在正整数(1)kk,使得1kSS.
选择条件②，存在正整数12k,使得1kSS.
理由如下：
在等差数列{}na中，5115455102Sadad
又2d，540S.
所以由
12,51040dad 得 112.a
所以21(1)(1)12(2)1322kkkkkSkadkkk.
令112kSS，即21312kk.
整理得213120kk.解得1k或12k.
因为1k，所以12k.
所以当12k时，1kSS.
