概率论与数理统计复习
第一章 概率论的基本概念
一.基本概念
随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.
随机事件(事件):样本空间S的子集.
必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.
二. 事件间的关系和运算
(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.
∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.
3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.
4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.
5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.
6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .
运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 BABA BABA
三. 概率的定义与性质
1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.
(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;
(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…),
P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…
2.性质
(1) P() = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .
(2)有限可加性 对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n , P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)
(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .
知识要点
一 概念：
1 随机事件：用,,ABC等表示
互不相容： AB
互逆： AB且AB ，此时，BA
互逆 互不相容 ，反之不行
相互独立： ()()PABPA或()()()PABPAPB
2 随机事件的运算律：
(1) 交换律 ：,ABBAABBA
(2) 结合律 ：()(),()()ABCABCABCABC
(3) 分配律 ：
(4 ) De Morgen 律（对偶律）
推广：11nniiiiAAUI
3 随机事件的概率：()PA
有界性 0()1PA
若AB 则()()PAPB
条件概率 ()()()PABPABPB
4 随机变量： 用大写,,XYZ表示 .
若X与Y相互独立的充分必要条件是)()(),(yFxFyxFYX
若X与Y是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()XYfxyfxfy
若X与Y是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()XYpxypxpy
若X与Y不相关，则cov(,)0XY 或 (,)0RXY
独立不相关 反之不成立
但当X与Y服从正态分布时 ，则相互独立 不相关 相关系数：1),(YXR 且当且仅当bXaY时1),(YXR，并且
二 两种概率模型
古典概型 ：()MPAN :MA所包含的基本事件的个数 ；:N总的基本事件的个数
伯努利概型 ： n次独立试验序列中事件A恰好发生m次的概率 ()mmnmnnPmCpq
n次独立试验序列中事件A发生的次数为1m到2m之间的概率
《概率论与数理统计》课程教案
第一章 随机事件及其概率
一．本章的教学目标及基本要求
(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念;
(2)掌握随机事件之间的关系与运算,；
(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算；
(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概
率的公理化定义。(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配
第一节 随机事件及事件之间的关系
第二节 频率与概率 2学时
第三节 等可能概型（古典概型） 2 学时
第四节 条件概率
第五节 事件的独立性 2 学时
三．本章教学内容的重点和难点
1）随机事件及随机事件之间的关系；
2）古典概型及概率计算；
3）概率的性质；
4）条件概率，全概率公式和Bayes公式
5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理
四．教学过程中应注意的问题
1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；
2）注意让学生理解事件,,,,,ABABABABABA…的具体含义，理解
事件的互斥关系；3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；
4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组
合，复习排列、组合原理；5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；
五．思考题和习题
思考题：1. 集合的并运算和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？
3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？
习题：
第二章 随机变量及其分布
一．本章的教学目标及基本要求
(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续
型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律
或密度函数及性质；
二．本章的教学内容及学时分配
第一章 随机事件及其概率
概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.
第一节 随机事件
内容分布图示
★ 随机现象 ★ 随机现象的统计规律性
★ 样本空间 ★ 随机事件
★ 事件的集合表示
★ 事件的关系与运算
★ 事件的运算规律
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题1-1
内容要点：
一. 随机现象
从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.
二. 随机现象的统计规律性
由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.
为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.
随机试验具有下列特点:
1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;
2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;
3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.
