内心、外心、重心、垂心定义及性质总结-外心的定义

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B D C 2016届高三数学讲义 

————三角形的“五心”———— 

（Ⅰ）“五心”的概念及性质 

一、外心 

（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 

（2）外心的位置 

锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内；

直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点；

钝角三角形的外心在三角形外． 

（3）性质 

垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．

外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．

内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径) 

R=

2sinc

C(某边除以它对角正弦的2倍)

证明过程如下:

连接AO并延长交圆O于D,则AD为圆直径,AD=2R． 

又90ABD

Ð=°

(直径所对的圆周角是90

°

),AB=c, ADBC

Ð=Ð

(同弧AB所对的圆周角相等),∴AD=

sinAB

ADB

Ð,即2R

sinc

C=, R=

2sinc

C． 

延伸①:正弦定理 

由于R=

2sinc

C,同理易证

2sin2sin2sincba

R

CBA===,变形得到变形得到

正弦定理: 2

sinsinsinabc

R

ABC===(每边除以它所对角的正弦为2R)

延伸②:余弦定理 

2222cosabcbcA

=+- （222

cos

2bcaA

bc+-=） 

 A

BCO

第 2

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B C D 证明过程如下： 

作CD

^AB交其于D， 

∴coscosADACAbA

==，BD= coscbA

-，

sinCDbA=，又222

BCBDCD

=+，即

222

(cos)(sin)acbAbA

=-+

=2222222

2coscossin2coscbcAbAbAbcbcA

-++=+-，其他边角也同求． 

二、内心 （

1）定义：

三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心．

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

1.内心：

（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：

（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：

（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重 心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，

交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好．

6 垂 心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．

高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清.

7内 心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，

三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，

此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

8外 心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．

作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为“外心”，用它可作外接圆．

“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．

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三角形的“四心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、

垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时,

四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。 ABC的重心一般用字母 0表示。 性 质：

1.外心到三顶点等距，即 OA OB 0C。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一

边，即 OD BC,OE AC,OF AB.

1

3. A BOC, B 2

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC的内心一

般用字母I表示，它具有如下性质:

性 质：

1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

1

2. 三角形的面积= 三角形的周长 内切圆的半径.

2

3. AE AF,BF BD,CD CE ；

AE BF CD 三角形的周长的一半。

1 1

4. BIC 90 — A, CIA 90 — B, AIB 90 2 2

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。

性 质： 1. 顶点与垂心连线必垂直对边，

即 AH BC, BH AC,CH AB。 -AOC, C - AOB。

2 2

2. △ ABH的垂心为C , △ BHC的 垂心为A , △ ACH的垂心为B。

ABC的重心一般用字母 H表示。

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1 三角形“四心”定义与性质

三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。

性 质：

1.外心到三顶点等距，即OCOBOA。〖半径〗

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ABOFACOEBCOD,,.〖定义〗

3.AOBCAOCBBOCA21,21,21。〖圆周角与圆心角〗

4.向量形式：若点O为ABC所在的平面内一点，满足ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(＝0，则点O为ABC的外心。

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：

性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。〖半径、定义〗

2.三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径．〖三角形拆分〗

3.CECDBDBFAFAE,,；CDBFAE三角形的周长的一半。〖三角形全等〗

4.,2190ABICBCIA2190，CAIB2190。

4.向量形式：（1）若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足0ICcIBbIAa（其中cba,,为三角形的三边），

则点I为△ABC的内心。

(2)设,0，则向量)||||(ACACABABAP，则动点P的轨迹过ABC的内心。 证4①：∠2 三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。

性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，即ABCHACBHBCAH,,。

2.△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。