内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

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B D C 2016届高三数学讲义 

————三角形的“五心”———— 

（Ⅰ）“五心”的概念及性质 

一、外心 

（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 

（2）外心的位置 

锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内；

直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点；

钝角三角形的外心在三角形外． 

（3）性质 

垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．

外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．

内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径) 

R=

2sinc

C(某边除以它对角正弦的2倍)

证明过程如下:

连接AO并延长交圆O于D,则AD为圆直径,AD=2R． 

又90ABD

Ð=°

(直径所对的圆周角是90

°

),AB=c, ADBC

Ð=Ð

(同弧AB所对的圆周角相等),∴AD=

sinAB

ADB

Ð,即2R

sinc

C=, R=

2sinc

C． 

延伸①:正弦定理 

由于R=

2sinc

C,同理易证

2sin2sin2sincba

R

CBA===,变形得到变形得到

正弦定理: 2

sinsinsinabc

R

ABC===(每边除以它所对角的正弦为2R)

延伸②:余弦定理 

2222cosabcbcA

=+- （222

cos

2bcaA

bc+-=） 

 A

BCO

第 2

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B C D 证明过程如下： 

作CD

^AB交其于D， 

∴coscosADACAbA

==，BD= coscbA

-，

sinCDbA=，又222

BCBDCD

=+，即

222

(cos)(sin)acbAbA

=-+

=2222222

2coscossin2coscbcAbAbAbcbcA

-++=+-，其他边角也同求． 

二、内心 （

1）定义：

三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心．

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

1.内心：

（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：

（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：

（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重 心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，

交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好．

6 垂 心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．

高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清.

7内 心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，

三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，

此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

8外 心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．

作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为“外心”，用它可作外接圆．

“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．

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向量的重心、垂心、内心、外心、旁心

三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。

重心： ABC 中、每条边上所对应的中线的交点；

垂心： ABC 中、每条边上所对应的垂线上的交点；

内心： ABC 中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心） ；

外心： ABC 中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心） 。

一、重心

1、 O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0

若 O 是 ABC 的重心，则 BOC AOC AOB 1 ABC 故 OA OB OC 0 ,

1 (PA 3

PG PB PC) G 为 ABC 的重心 .

3

、 P 是△ ABC所在平面内任一点 . G是△ ABC的重心 1 ( PA ) . 2 PG PB PC 3

证明：

PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC)

∵ G是△ ABC的重心

∴ GA GB GC 0 AG BG CG 0，即 3PG PA PB PC

由此可得 PG 1 (PA PB PC ) . （反之亦然（证略））

3

3、已知 O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足

OP OA ( AB AC) ， (0， ) ，则 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心 . 例 1 若 O 为 ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是 ABC 的（ ）

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

1.内心：

（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：

（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：

（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重 心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，

交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好．

6 垂 心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．

高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清.

7内 心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，

三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，

此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

8外 心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．

作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为“外心”，用它可作外接圆．

“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．