分布图示
★ 线性相关与线性无关
★ 例1
★ 例2
★ 证明线性无关的一种方法
线性相关性的判定
★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5
★ 例7
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-3
内容要点
一、线性相关性概念
定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使
,02211=+++s s k k k αααΛ (1)
则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.
注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;
③ 向量组只含有一个向量α时，则
（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；
④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
二、线性相关性的判定
定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.
定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要
条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .
推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵
),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .
推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.
注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.
推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.
定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.
定理5 设有两向量组
,,,,:;
,,,:2121t s B A βββαααΛΛ
向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.
推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥
推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =
例题选讲
例1 设有3个向量(列向量):
,421,221,101221⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα
不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.
例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使
,02211=+e e λλ
也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ
于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个
向量.
例3 (E01) n 维向量组
T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε
称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.
解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵
)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=10
0010
001Λ
ΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.
由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.
例 4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性
相关性.
解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.
),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-212
5r r ,000220201⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.
例5 判断下列向量组是否线性相关:
.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα
解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---111511131242
1 ⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛000000110421
秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.
例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使
0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）
成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+0
0032
2131k k k k k k （2） 因为1
100111
01,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.
因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.
例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.
证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；
（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.
课堂练习
1. 试证明:
(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;
(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
2. 判断向量组
T T T )0,1,1,1(,)1,0,3,1(,)1,0,2,1(321--=-==ααα
是否线性相关.
3. 判断向量组
T T T )11,1,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321-=-=-=ααα
是否线性相关.
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩 何建军 §3 • 1 概念与性质 3.1.1向量的概念和运算 1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置 T T （a1,a2, a n）称为n维向量。 2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。 3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n 4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数） 5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n 3.1.2向量组的线性相关性 1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m， 向量 k V1 k^ 2肚m 称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数 2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数 n n « n '1, '2, ，‘ m ,使得 ■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm 则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。 3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k m，使得 kr 1 k2〉2 k m〉m=o 则称向量组A是线性相关的。 4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当 k 1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。（如果存在一组数 k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关） 注：含有零向量的向量组一定线性相关。 两个向量构成的向量组线性相关的=对应的分量成比例。 5、向量组等价：两个n维向量组A : ?1<'2^' ^ m B : _1, '2^' , 's，如果B组中的每一个向量能有向量组A线性表示，则称向量组B能有向量组A线性表示。如果向量组A与向量组B能相互线性表
分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使 ,02211=+++s s k k k αααΛ (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要 条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s . 推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法
（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ⨯矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明 向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩. 一、定义法. 利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1, ,s k k 是否全为0，从而得到结论. 对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1, ,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k = ==时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩. (1)1,,s αα线性相关?1(, ,)s r s <αα； 1, ,s αα线性无关?1(,,)s r s =αα． 特别地， n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关?12,,,0a a a n =； n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关?12,,,0a a a n ≠． (2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩. 用秩的时候经常用到下面几个定理： ①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B . ②若m n r =n ?A ()，则()()r r =AB B . ③若m n n s ??=A B O ，则()()r r n +≤A B . 【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α， 112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα 证明123,,ααα线性无关． 【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件， 112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα
判断向量组线性相关的方法 判断向量组线性相关的方法是线性代数中的一个重要概念，它对于研究向量空间的性质和解决实际问题都具有重要意义。在实际应用中，我们经常需要判断给定的向量组是否线性相关，这就需要运用相应的方法进行分析。接下来，我们将介绍几种常见的方法来判断向量组的线性相关性。 一、行列式法。 对于给定的向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们可以将它们按列排成一个矩阵$A=[{\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n]$。然后，我们计算矩阵$A$的行列式$|A|$，如果$|A|=0$，则向量组线性相关；如果$|A|\neq0$，则向量组线性无关。 二、线性方程组法。 另一种判断向量组线性相关的方法是通过解线性方程组来进行分析。对于向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们可以构造一个线性方程组 $X{\alpha}_1+Y{\alpha}_2+\cdots+Z{\alpha}_n=0$，其中$X,Y,\cdots,Z$为未知数。然后，我们求解该线性方程组，如果存在不全为零的解，则向量组线性相关；如果只有零解，则向量组线性无关。 三、秩的方法。 我们还可以通过矩阵的秩来判断向量组的线性相关性。对于给定的向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们将它们按列排成一个矩阵 $A=[{\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n]$，然后计算矩阵$A$的秩$r$。如果$r 向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的 线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12 ,m k k k ，使 0332211=++++m m k k k k αααα ， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α， ()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例. 习题 4-1 向量组的线性相关性 1．向量组12,, ,s ααα（s ≥2）线性无关的充分条件是 。 a ．12,, ,s ααα均不是零向量； b ．12,, ,s ααα中任意两个向都不成比例； c ．12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量表示； d ．存在12,,,s ααα的一个部分组是线性无关的。 2．如果向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表示，则 a ．存在一组不全为0的数s i k i ≤≤1,，使得i s i i k αβ∑== 1成立； b ．对β的线性表示式不唯一； c ．向量组s ααβ ,,1是线性相关； d ．存在一组全为0的数s i k i ≤≤1,，使得i s i i k αβ∑==1成立。 3．设向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，当=β 时，β能由21,αα线性表示。 a ．（2，0，0），（3-，0，4）； b ．（2，0，0），（1，1，0）； c ．（3-，0，4），（1，1，0）； d ．（2，0，0），（0，1-，0）。 4．设向量组γβα,,线性无关而δβα,,线性相关，则 。 a ．α必可由δγβ,,线性表示； b ．β必不可由δγα,,线性表示； c ．δ必不可由γβα,,线性表示； d ．δ必可由γβα,,线性表示。 5．设向量组321,,ααα线性无关，则向量组 线性无关。 a ．133221,,αααααα-++； b ．32132212,,ααααααα++++； c ．1332213,32,2αααααα+++； d ．321321321553,2232,ααααααααα-++-++. 第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6 1T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=312123111012421301402230) ,(B A ?? ?? ? ??-------971820751610402230421301 ~r 第四章 向量组的线性相关性 4.4.1 基础练习 1. 设有n 维向量组12m ???ααα，，,与???12m ββ,β，， 若存在两组不全为零的数 12m λλλ???，，,和12k k k m ???，，,使 11111m m m k k k k 0m m m λλλλ??????1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝ 则（ ） （A ）12m ???ααα，，,和???12m ββ,β，，都线性相关 (B) 12m ???ααα，，,和???12m ββ,β，，都线性无关 (C) 1m m 1m m ??????11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性无关 (D) 1m m 1m m ??????11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性相关 2. 设12s ???ααα，，,与t ???12ββ,β，，为两个n 维向量组，且 12s t ()()r R R ???=???=12αααββ,β，，,，，，则（ ） （A ）当s t =时，两向量组等价； （B ）两向量组等价； （C ）12s t ()r R ??????12αααββ,β，，,，，，＝； （D ）当向量组12s ???ααα，，,被向量组t ???12ββ,β，，线性表示时，两个向量组等价. 3. 设A 是4阶方阵，且0A ＝，则A 中（ ） (A) 必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 4. 设A 是矩阵，B 是矩阵，则( ) （A ）当m n >时，必有0≠AB ； （B ）当m n >时，必有0AB ＝ （C ）当m n <时，必有0≠AB ； （D ）当m n <时，必有0AB ＝ 5. 设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由 231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） 线性代数向量组的线 性相关性 第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练 习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使 ,02211=+++s s k k k αααΛ (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的 充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s . 推论1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n . 推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零. 注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立. 推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 判断向量组线性相关的方法 向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念。判断向量组是否线性相关的方法有很多。下面将介绍几种常见的判断方法。 方法一：线性组合法 设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，若存在一组不全为0的系数c1,c2,…,cn，使得c1v1+c2v2+…+cnvn=0，则向量组V是线性相关的；否则，向量组是线性无关的。这个方法主要是利用了线性组合的概念，通过求解线性方程组的方法来判断向量组的线性相关性。 方法二：行列式法 将n个向量作为列向量排列成一个n×n的矩阵A，即 A=[v1,v2,…,vn]，计算矩阵A的行列式det(A)。若det(A)=0，则向量组V是线性相关的；若det(A)≠0，则向量组V是线性无关的。这个方法主要是利用了行列式的性质，当行列式为0时，表示该矩阵的行（或列）向量线性相关。 方法三：秩的概念 定义矩阵A=[v1,v2,…,vn]，将矩阵A进行高斯消元或初等变换，得到阶梯形矩阵B。如果B的主对角线上所有元素都不为0，那么向量组V 是线性无关的；如果B的主对角线上有一个元素为0，那么向量组V是线性相关的。这个方法主要是利用了矩阵的秩的概念，即矩阵的秩等于阶梯形矩阵的主对角线上非零元素的个数。 方法四：向量的线性组合关系 设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果存在一个向量vi （i从2到n），可以由剩余的n-1个向量线性表出，即vi可以表示为其他向量的线性组合，那么向量组V是线性相关的；如果任意一个向量都不能由剩余的其他向量线性表出，那么向量组V是线性无关的。这个方法是一种直观的判断方法，通过观察向量之间的线性组合关系来判断向量组的线性相关性。 方法五：向量的长度关系 设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果向量v1的长度大于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性无关的；如果向量v1的长度小于等于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性相关的。这个方法利用了欧几里得空间中向量的长度关系。 综上所述，判断向量组线性相关的方法有线性组合法、行列式法、秩的概念、向量的线性组合关系以及向量的长度关系等。在实际应用中，可以综合运用这些方法来判断向量组的线性相关性。 向量组线性相关的概念 向量组线性相关是线性代数学中一个基本的概念，它涉及到它们之间的关系。两个或多个向量，或一组由多个向量构成的线性组合，被称为向量组。如果这些组中的每个向量都存在着唯一的关系，通常被称为向量组线性相关。 首先，要明确的是，什么是向量组。向量组是一组由多个向量构成的线性组合。这些向量通常与相关的系数相连，以表示每个向量对这个组的作用。举个例子，如果只有两个向量，a和b，那么它们组 成的向量组可以写为a + b，其中a和b代表着两个向量。另外，如果有更多的向量，那么他们将分别写成a1 + a2 + + an，其中n表 示他们的个数。 接下来就是线性相关的概念。线性相关是指两个或多个变量之间的线性关系，如果两个变量之间有着精确的正相关或负相关，那么就可以说这两个变量之间具有线性相关性。对于向量组来说，线性相关的概念也一样，如果向量组中的每一个向量都有着唯一的关系，那么就可以说这个向量组具有线性相关性。 线性相关在许多不同的领域也有着广泛的应用。例如，在数学上，线性相关的概念可以用来解决任何一系列的方程，它可以用来解释不同变量间的关系以及相互之间的关系。在物理学，研究事物之间的线性相关性可以帮助我们理解和研究它们之间的相互作用。此外，线性相关的概念也在经济学、生物学和商业分析中有着重要的应用。 另外，由于线性相关的概念可以用来表示定系数之间的线性关系， 因此它也可以用来计算不同变量之间的线性回归，从而帮助我们进行相关性分析，从而更好地理解这些变量之间的关系。 总之，向量组线性相关是一个重要的数学概念，它可以用来表示不同变量之间的线性关系，并可以用来计算线性回归，从而帮助我们更好地理解这些变量之间的关系。此外，线性相关也广泛地应用在各个领域，由此可以看出线性相关的重要性及其对各个领域的重要性。 向量的线性相关性及其应用 摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。同时给出了线性相关性的一些应用。 关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵 一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念 1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量 空间中向量之间的关系。在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为 向量组12,, s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。特 别地,零向量是任一向量组的线性组合。于是,就引出了线性相关和线性无关的定义: 定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得 1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组 12,,s ααα线性无关 。即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++ = 0 ,就称为 线性无关。 定义2：对于向量组12,, s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得 1122s s k k k ααα++=β 则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合 二． 关于线性相关性的几种判定 1. 利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用 的一种方法。具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++ = 0 ,其中12,s k k k 为常数; ⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12 ,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全 线性相关与线性无关 线性相关和线性无关是线性代数中重要的概念，它们描述了向量之 间的关系以及它们在空间中的位置和方向。在本文中，我们将探讨线 性相关和线性无关的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。 1. 定义 线性相关是指存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于 零向量。换句话说，如果存在不全为零的常数c1、c2、…、cn，使得 c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的。 而线性无关则是指不存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组 合等于零向量。简而言之，如果c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0只有当c1 = c2 = … = cn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性无关的。 2. 性质 线性相关和线性无关有一些重要的性质。 2.1 线性相关性的传递性 如果向量组{v1, v2, …, vn}中的某个向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组是线性相关的。具体而言，如果存在c1、c2、…、cn-1，使得vn = c1v1 + c2v2 + … + cn-1vn-1，则这个向量组是线性相关的。 2.2 仅有一个向量的向量组是线性无关的 只含一个向量的向量组肯定是线性无关的。因为要使c1v1 = 0成立，必须令c1 = 0。 2.3 子集的线性相关性 如果向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的，那么它的任意子集也是 线性相关的。这是因为如果向量组中的向量可以线性表示成零向量， 那么删除其中的向量后，仍然可以通过相同的系数得到零向量。 3. 应用 线性相关和线性无关在实际问题中具有广泛的应用。 3.1 线性方程组的解的个数 对于一个包含n个未知数和m个线性方程的线性方程组，如果系数 矩阵的秩等于扩展矩阵的秩，那么方程组的解存在且唯一。换句话说，如果方程组的系数向量是线性无关的，那么方程组有唯一解。 3.2 判断向量空间的维数 对于一个向量空间，其中向量组的线性无关的最大个数称为该向量 空间的维数。通过判断向量组的线性相关性，我们可以确定向量空间 的维数。 3.3 数据降维 在数据处理和机器学习中，线性相关和线性无关有助于降低数据的 维度。通过分析数据中的相关性，我们可以选择一组线性无关的特征 向量来表示数据，从而降低计算和存储的复杂性。 综上所述，线性相关和线性无关是线性代数中的重要概念。它们能 够帮助我们理解向量之间的关系和空间中的位置，同时在实际问题中 行向量组和列向量组-回复 "行向量组和列向量组"是线性代数中的基本概念，用于描述矩阵中的向量集合。在本文中，我们将逐步介绍行向量组和列向量组的概念、性质和应用。 一、行向量组的概念和性质： 行向量组是指将多个行向量排列在一起形成的向量集合。假设有m个n 维行向量a1,a2,⋯,am，则行向量组可以表示为： [a1,a2,⋯,am] 行向量组具有以下性质： 1. 线性无关性：如果行向量组中的向量之间线性无关，即不能由其他向量线性表示，则称该行向量组是线性无关的。 2. 线性相关性：如果行向量组中的向量之间存在线性关系，即存在一组不全为0的系数使得向量之间的线性组合为0，则称该行向量组是线性相关的。 3. 基础行向量组：如果行向量组中的向量是线性无关的，并且能通过增 加或删除其中的某些向量得到其他所有的行向量，则称该行向量组为基础行向量组。 4. 增广矩阵：将一个矩阵的增广列去除掉，得到的矩阵称为增广矩阵。增广矩阵可以用来表示行向量组。 二、列向量组的概念和性质： 列向量组是指将多个列向量排列在一起形成的向量集合。假设有n个m 维列向量b1,b2,⋯,bn，则列向量组可以表示为： [b1,b2,⋯,bn] 列向量组具有以下性质： 1. 线性无关性：如果列向量组中的向量之间线性无关，即不能由其他向量线性表示，则称该列向量组是线性无关的。 2. 线性相关性：如果列向量组中的向量之间存在线性关系，即存在一组不全为0的系数使得向量之间的线性组合为0，则称该列向量组是线性相关的。 3. 基础列向量组：如果列向量组中的向量是线性无关的，并且能通过增加或删除其中的某些向量得到其他所有的列向量，则称该列向量组为基础列向量组。 4. 原则：行向量组的秩等于其列向量组的秩，这个原则被称为矩阵的秩的原则。 三、行向量组和列向量组的应用： 1. 求解线性方程组：行向量组和列向量组可以用来表示线性方程组，通过对向量组进行运算可以求解线性方程组的解。 2. 矩阵分解：将矩阵表示为行向量组或列向量组的线性组合形式，可以帮助我们进行矩阵的分解和简化计算。 3. 矩阵的秩计算：行向量组和列向量组的秩可以用来确定矩阵的秩，进而帮助我们理解矩阵的性质和应用。 4. 矩阵的行空间和列空间：通过行向量组和列向量组，我们可以定义矩阵的行空间和列空间，进而帮助我们理解矩阵的结构和性质。 总结起来，行向量组和列向量组是线性代数中重要的概念，用于描述矩 第三章向■组得线性相关性 作业1 一、判断题 1、如果当时"则线性无关、（X ） 2、若只有当全为0时，等式才成立，则 线性无关，线性无关、（X 二、填空题 I 、设苴中 则= __________________ 2、 n 维零向量一立线性. 设，若线性相关，则= 4、已知向量组线性相关，则二 5、设向量组线性无关，则必满足关系式 三、选择题 1.向虽组・与向量组等价得；4^义就是向量组（A ）、 与可互相线性表示 B 、与中有一组可由另一组线性表示 中每个向量都不能由其余向量线性表示 3 .设向量，则向量组“ 2,3线性无 关得充分必要条件就是（ B 、 不全为0 D 、互不相等 关、 3、 6、设则向量组得线性相关性就是 线性相关 A 、 C 、 与中所含向量得个数相等 D 、与得秩相等 2、 A 、 向量组线性无关得充要条件就是（D ）、 均不为零向量 B 、 中有一部分向量线性无关 B 、 C 、 中任意两个向量得分量不成比例 A 、全不为0 C 、不全柑等 4、在下列向11组中. 就是线性无关得、 D.… 四、计算与证明题 1、给;4^向量组 试判断就是否为得线性组合;若就是，则求出组合系数、 解:设，若此方程组有解,则可写成得线性组合，否则，不可以、 所以，线性相关、 证明：若向量组线性无关，则任一向量必可由线性表示、 一解、则必可由线性表示、 因线性无关，所以 ,由C r amer 法则⑴有唯 4、向量组线性无关，证明:向量组"，也线性无关、 证：设有一组数使 于就是有、 又因为线性无关，所以 ‘3 1 1 -1 3、 1 -1 3 、 气 -1 3 ' 1 -1 3 3 1 1 -> 0 4 8 -> 0 1 -2 0 2 -4 0 2 -4 0 2 -4 0 0 0 、2 -1 4, 、2 -1 <0 1 -2. 、0 0 0. (2)A = (q J J 勺)= r-2 -3 2 4 3 0 0 -I 2 4 -1 9, -3 -2 0 、3 0 4 9, 0 0 <0 -3 -5 2 13 -2 4 1 12, 即从而、 讨论下列向量组得线性相关性、 2、 (1): ⑵ (1)因为，所以，线性相关、 3、 证:设有数， 线性代数练习题四（向量组的线性相关性） 一、填空题 1、设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 .（填相关或无关） 2、n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,, ,n ααα，则 12(,,,)n R ααα= . 3、设A 是45⨯矩阵，且()3R A =，则线性方程组0AX =解空间的维数为 . 4、向量组123(1,0),(1,1),(0,1)T T T ααα=-==的最大无关组为 . 5、设向量组123(2,1,3,0),(1,2,0,2),(0,5,3,4),T T T ααα=-=-=- 4(1,3,,0)T t α=-，则t = 时，该向量组线性相关. 6、设n 维单位向量组12,, ,n e e e 可由向量组12,,,s a a a 线性表 示，则向量个数s 与n 的关系为 . 7、已知12,(1,2,3),3A αβαβ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ ，则()R A = . 8、设方程组0Ax =以12(1,0,2),(0,1,1)T T ξξ==-作为基础解系，则系数矩阵A = . 二、选择题 1、设123451********* ,,,,217254214010ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，则该 向量组的最大无关组是（ ） 1231241251245 (),,(),,(),,(),,,A B C C ααααααααααααα2、设矩阵(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解的充分必要条件是（ ） ()()()()的行向量组线性无关的行向量组线性相关的列向量组线性无关的列向量组线性相关 A A B A C A D A 3、向量组12,, ,s ααα的秩为r ，则下列叙述不正确的是（ ） 1212121212(),,,(),,,,,,(),, ,(),,,1s s s s s A r B r C r D r ααααααααααααααα+中至少有个向量的部分组线性无关中任意个线性无关的部分组与可互相线性表示 中个向量的部分组皆线性无关 中个向量的部分组皆线性相关 4、设0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则有（ ） ()0()0()0()0若仅有零解，则有唯一解若有非零解，则有无穷多解若有无穷多解，则仅有零解若有无穷多解，则有非零解 A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b Ax ======== 5、设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组 1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ） ()()()()必要非充分条件充分非必要条件充分必要条件无关条件 A B C D 6、向量组12,, ,s ααα线性无关的充要条件是（ ） 第三章 向量组的线性相关性 作业1 一、判断题 1. 如果当120m k k k ====时，110m m k k αα++=，那么12,,,m ααα线性无关.〔× 〕 2. 假设只有当12,,,m k k k 全为0时，等式11110m m m m k k k k ααββ+++++=才成 立，那么12,,,m ααα线性无关，12,, ,m βββ线性无关.〔 × 〕 二、填空题 1. 设1233()2()5(),αααααα-++=+其中12(2,5,1,3),(10,1,5,10),αα== 3(4,1,1,1),α=-那么α=. 2. n 维零向量一定线性相关. 3. 设12(6,1,3),(,2,2)αλαλ=+=-，假设12,αα线性相关，那么λ=. 4.向量组123(1,1,2,1),(1,0,0,2),(1,4,8,)k ααα===---线性相关，那么k =. 5. 设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)a c b c a b ααα===线性无关，那么,,a b c 必满足关系式. 6.设 112223334441,,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+那么向量组 1234,,,ββββ的线性相关性是线性相关. 三、选择题 1．向量组1(I):, ,r αα和向量组1(II):,,s ββ等价的定义是向量组〔 A 〕. A.(I)和(II)可互相线性表示 B.(I)和(II)中有一组可由另一组线性表示 C.(I)和(II)中所含向量的个数相等 D. (I)和(II)的秩相等 2. 向量组12,,,m ααα线性无关的充要条件是〔 D 〕. A. 12,,,m ααα均不为零向量 B. 12,,,m ααα中有一局部向量线性无关 C. 12,,,m ααα中任意两个向量的分量不成比例 D. 12,,,m ααα中每个向量都不能由其余向量线性表示 (1,2,3,4) 4 -20abc ≠向量组线性相关与线性无关解析
线性代数习题[第四章] 向量组的线性相关性
线性代数课后习题答案04
第四章 向量组的线性相关性 线性代数 含答案
线性代数 向量组的线性相关性知识分享
判断向量组线性相关的方法
向量组线性相关的概念
向量的线性相关性及其应用
线性相关与线性无关
行向量组和列向量组 -回复
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