河北省衡水市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析

河北衡水金卷—高三第三次联合质量测评数学（文科）本试卷共6页 满分150分 考试用时120分钟 注意事项：l ．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．第I 卷每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合(){}{}()22log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则B ⋂为A ．∅B ．{}12x x -<≤C ．{}4x x -<<3D ．{}42x x -<≤3．若命题p 为：[)1,,sin cos 2x x x p ∀∈+∞+≤⌝，则为A ．[)1,,sin cos 2x x x ∀∈+∞+>B ．[)00,1,sin cos 2x x x ∃∈-∞+>C ．[)0001,,sin cos 2x x x ∃∈+∞+>D ．(),1,sin cos 2x x x ∀∈-∞+≤4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为 A ．14B ．16C ．18D ．205．若线段AB 的长为3，在AB 上任意取一点C ，则以AC 为直径的圆的面积不超过34π的概率为 A ．34B ．436C ．33D ．4336．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1) ()()12,f x f x +=-(2)当[)()20,2,1x f x x x ∈=-+，则有A ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭ B ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()3112f f f ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭ D ．()()3112f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7．某几何体111ABP A B P -的三视图如图所示，其中点1,P P 分别是几何体111ABP A B P -上下底面的一组对应顶点，打点器从P 点开始到1P 点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为 A ．625+ B ．()2153+C ．425+D ．153+8．已知向量()11,3,,2a b x a b ⎛⎫==-⎪⎝⎭，若与的夹角为60 ，则x 的值为A ．0B ．33C ．32D ．302或9．已知双曲线()222210,0x y E a b a b -=>>：的左，右焦点分别为12,F F 过右焦点的直线:l x y c +=在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为2QF 的中点，12QF F ∆的面积为4，则双曲线E 的方程为A ．22122x y -= B ．2212x y -= C ．22144x y -= D ．22143x y -= 10．在长方体11111122,ABCD A BC D AA AD A B -==中，与平面11ABC D 所成的角为α，则α的取值区间为A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．椭圆()222210x y C a b a b+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E 相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为 A ．33B ．22C ．23D ．3412．已知函数()()sin 03,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<≤<<⎪⎝⎭对(),6x R f x f π⎛⎫∈≤⎪⎝⎭恒成立，且12x π=-为函数()f x 的一个零点，将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得函数()g x 的图象，则方程()()10,4,4xe g x x +=∈-的解的个数为 A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】2()626()3a f x x ax x x '=-=-， 若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03a x f x x f x ''∈<∈+∞>， ()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.2．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则218r ππ=，解得32OC r == 则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 3．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 【答案】A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数1z i =+，∴|2|z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题5．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形 故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题1.设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）A. {}0,2B. {}2,2-C.2,0,2D.{}2,1,0,1,2--【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，利用交集的定义可得出集合A B .【详解】{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则z 的共轭复数z -在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先根据1z i i ⋅=-+求出z ，再求出z -，即得z -在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由1z i i ⋅=-+得21(1)1,1i i iz i z i i i --+-+===+∴=-. 所以z -对应的点为(1,1)-，在第四象限. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪-≤⎩则1x y ++的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，由++1z x y =可得1y x z =-+-， 将直线l ：1y x z =-+-进行平移， 当l 与AB 重合时，目标函数z 达到最大值， 因为AB 过点（0，2）； ∴z max ＝0+2+1＝3． 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4.平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A. 2 B. 3 C. 1210【解析】因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=，则244423a b +=++=，应选答案B ．5.如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()|sin cos |f x x x =+B. 22()sin cos f x x x =+ C. ()|sin ||cos |f x x x =+ D. ()sin ||cos ||f x x x =+【答案】B 【解析】 【分析】由图像的对称性和单调性逐个判断即可.【详解】解：由图像可知，函数图像关于y 轴对称，所以()f x 应为偶函数，所以排除A ； 由图像可知函数值能取到小于0的值，所以排除C ； 对于当(0,1)x ∈时，()sin cos 2)4f x x x x π=+=+，而当 (0,)4x π∈时， ()(,)442x πππ+∈，而正弦的函数图像可知D 不正确，故选：B【点睛】此题考查函数图像的识别，利用函数的奇偶性，增减性，或取特殊值进行识别，属于中档题.6.已知二项式121(2)n x x+展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A. 240 B. 120C. 48D. 36【答案】A【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr rT C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r ，则6426622240rr C C -⋅=⋅=.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）A. 297B. 302C. 307D. 312【答案】B【分析】先求出正四面体的体积1V 与内切球的体积2V ，设落在球内的玻璃球数量为x ，由几何概型的概率计算公式，得到211000V x V =即可解决. 【详解】由三视图知，该模型是一个棱长为502a =的正四面体及其内切球， 正四面体体积222311332()34312V a a a a =⨯⨯⨯-=⨯，过球心及正四面体顶点作截面，如图所示，易知BOD BEC ∆~∆，所以r BD EC BE =，即3622r a a=612r a = 所以内切球体积243V π=⨯36)， 设落在球内的玻璃球数量为x ，则211000V xV =，即31000x = 近似计算得302x ≈. 故选：B.【点睛】本题考查几何概型的概率模型与三视图的综合应用，涉及到正四面体的体积与内切球的体积问题，是一道中档题.8.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A. 23ω=，12πϕ= B. 23ω=，12ϕ11π=- C. 13ω=，24ϕ11π=- D. 13ω=，724πϕ=【答案】A 【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ． 【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）A. 乙丁B. 乙丙C. 丙丁D. 甲丁【答案】A【解析】【分析】根据甲、乙、丙对丁的猜测可得丁获奖，而且丁的猜测是错误的，根据甲、丙对甲、乙的猜测，必有1人错误，可得乙的猜测正确，根据乙的猜测，即可得出结论.【详解】由甲、乙、丙均猜测丁获奖，丁猜测丁没有获奖，故丁的猜测错误，否则有三人猜测错误，所以丁获奖，再由甲、丙对对甲、乙猜测结果，因此甲、丙一人猜测正确，另一人猜测错误，所以乙猜测正确，则甲不获奖，甲猜测错误，故乙、丙猜测正确，即乙、丁获奖.故选：A【点睛】本题考查逻辑思维和推理能力，通过猜测结果找出矛盾关系是解题的关键，属于基础题.10.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F．2F也是抛物线()2:20E y px p=>的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线1AF的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（）1- C. 3-1【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆和抛物线的性质得到2p c=，再由直线与椭圆方程联立求出点A坐标，求出1AF和2AF，根据椭圆定义得到关于a和c的方程，进而求出离心率cea=.【详解】由题意可知，2pc=，则2p c=.所以2:4E y cx=.因为()1,0F c-，直线1AF的倾斜角为45︒，所以直线1AF 的方程为：y x c =+.由24y x c y cx =+⎧⎨=⎩得2x cy c=⎧⎨=⎩，所以(),2A c c .因为()2,0F c ，所以212AF F F ⊥.在21Rt AF F △中，22AF c =，1AF =.由椭圆的定义得：122AF AF a +=，即22c a +=，解得：1ca=. 故选：B .【点睛】本题考查椭圆定义、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系和离心率，属于基础题. 11.已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ） A. 2e - B. e -C. e 2-D. 1e-【答案】B 【解析】 【分析】首先不等式变形为ln ln ax a xxe x e --≥⋅，()xf x xe=()1x >，不等式等价于()()ln a f x f x -≥，然后利用函数的单调性可得ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，再利用参变分离ln x a x ⎛⎫-≤⎪⎝⎭恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为()ln xaxe xa x -≥- ，即ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()xf x xe =()1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立， 等价于()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立，()()10x f x x e '=+>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，ln a x x -∴≥ ，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，ln x a x ⎛⎫∴-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 令()ln x g x x= ，则()()2ln 1ln x g x x -'= ()1x >，当1x e <<时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减， 当x e >时，()0g x '> ，()g x 在(),e +∞上单调递增，x e ∴=时，()g x 取得最小值()g e e = ，a e ∴-≤ ，即a e ≥-，a ∴的最小值是e -.故选：B【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形ln ln ax a x xe x e --≥⋅，并能构造函数并转化为()()ln a f x f x -≥对任意1x >恒成立,属于难题.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ）A.2B.C.【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求得正方体棱长为3，则球O的半径2r =，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得111,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，进而可得点O 到直线EF 的距离d =，根据公式可得弦长【详解】设正方体的边长为a ，则2427ππ⎫=⎪⎪⎝⎭，即正方体棱长为3a =，.球O 的球心为正方体的中心，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则A （3，0，0），1303A （，，），B （3，3，0），()1033C ，，，D （0，0，0），333(2,1,1),(1,1,2),,,222E F O⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 111,,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴点O 到直线EF 的距离221||2||OE EF d OE EF →→→→⎛⎫⋅ ⎪=-= ⎪⎝⎭，又球O 的半径为1329922r =+=， 因此正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为2222321221722r d ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题13.已知双曲线的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的标准方程为______． 【答案】2213y x -=【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得224a b +=，由OAB 的面积为6可得23b a =，联立两式求得,a b 的值，从而可得结果.【详解】解:28y x =,22p∴=, 即28y x =焦点为(2,0)，即22221x y a b-=的焦点为(2,0)， 224a b ∴+=,①又OAB 的面积为6，x c =-时，222,,,,b b b y A c B c a a a ⎛⎫⎛⎫=±∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212262AOBb Sa=⨯⨯=,得23b a =，② 由①②得，2213a b ⎧=⎨=⎩，双曲线的方程为2213y x -=.故答案为: 2213y x -=【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.14.2021年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______. 【答案】13【解析】 【分析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A =⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A +=种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题．15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．【答案】805 【解析】 【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin1504062sin1562AC ===-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°，由正弦定理，CD BCsin CBD sin BDC =∠∠，所以BC ()80sin1516015406212CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=-∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ＝()()()()0811600843160216006224362-+++⨯+⨯-⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB 805=，则两目标A ，B 间的距离为805． 故答案为805．【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．16.已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.【答案】1717---+⎝⎭【解析】 【分析】①当直线l 斜率不存在时，易求得0M x =；②当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，利用直线与圆有交点可求得2244m k <+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE →→=和22248AE AP +=可整理得到12x x +，12x x ，12y y +，12y y 满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m =-；当0m =时，知0M x =；当0m ≠时，可将M x 表示为关于k 的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),M M M x y ， ①当直线l 斜率不存在时，直线方程:0l x =，此时()0,2P -，()0,2Q ，2PQ QE →→=，()0,4E ∴，2448AE ∴=+=，241620AP =+=，满足22248AE AP +=，此时0M x =；②当直线l 斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，l 与圆O有两个不同交点，2<，即2244m k <+()*，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m kmk k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-，当0m =时，1202M x x x +==； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，k <<， 212222441442111M x x km k k kx k k k +-+∴==-==-+⨯+++， 471->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+，当4433k +<<时，()211y k k =+++单调递增， ∴()442121y k k=-+++-+在4433⎛ ⎝⎭上单调递减，M x ∴∈⎝⎭， 综上所述：弦PQ中点M的横坐标的取值范围为⎝⎭.故答案为：⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由． 【答案】（1）()12n n b -=-；（2）存在，1λ=.【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到2q =-，再求n b 即可.（2）首先求出210n a n =-，()298192024n S n n n ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，将不等式()3010k S λ+≤有解转化为max 1030k S λ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，即可得到答案.【详解】（1）由11b =，()23113T b q q =++=，得2q =-或1q =（舍去）∴()12n n b -=-（2）∵330a b +=，∴334a b =-=-，2d q =-=， ∴()323210n a a n n =+-=-，18a =-，∴()298192024n S n n n ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭()3010k S λ+≤有解，即1030kS λ≤+有解，又max 10130k S ⎛⎫=⎪+⎝⎭，1λ∴=，（当1λ=时，3010k S +≤解得4k =或5）， 故存在1λ=，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解．【点睛】本题主要考查等差，等比数列的通项公式和前n 项和公式，同时考查了不等式有解，属于中档题.18.如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件证明DE ⊥平面ACE ，从而得到DE //PA ，得出DE //平面PAC ; （2）建立空间直角坐标系，假设存在点(),0,0T λ，计算平面TDA 和平面BDA 的法向量，使法向量数量积为零，然后求解λ，根据λ的值确定点T 的位置.【详解】解：（1）因为22BD CD ==ABC 是边长为4的等边三角形， 所以((2222222216BD CD BC +=+==，所以BDC 是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒． 又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC ⋂平面ABC BC =， 所以DE ⊥平面ABC ． 因42PC PB ==，4PA AC AB ===，所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==， 所以PAB △与PAC 都是直角三角形， 故PA AC ⊥，PA AB ⊥． 又AC AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ， 所以DE PA ∥．因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ， 所以DE 平面PAC ．（2）连接AE ，以E 为原点，EC ，EA ，ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()A ，()2,0,0B -，()2,0,0C ，()0,0,2D ，设存在(),0,0T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤，且0λ≠． 设平面BAD 的法向量为()1111,,n x y z =， 则由()2,0,2BD =，()0,2AD =-，得111100x z z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，得111x x =-，13y =，故1n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面TAD 的法向量为()2222,,n x y z =， 则由(),0,2DT λ=-，(),AT λ=-，得222220,0x z x λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，得22x λ=，23y =，故22n λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．由1221cos ,0n n λ-+⨯+==，得12103λ-+=，故32λ=．所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角．【点睛】本题为空间立体几何综合题，考查空间中线面平行的证明及根据二面角大小确定动点的位置问题，难度较大. 解决根据二面角大小求参的问题关键点在于合理设元、计算法向量，使法向量的夹角余弦值符合题目条件即可.19.如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为5，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）)51⎡⎣． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到,,a b c 关系，求解得到标准方程；（2）设2:l y kx n =+，根据12S S λ=可知，λ=又1l 与原点距离为1，即m =可把λ化简为：1nm -，根据2l 与椭圆相切，联立可得2254n k =+，由此代入化简可得2λ的范围，再进一步求解出λ的范围.【详解】（1）25a =，21c =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22154x y +=．（2）因为原点与直线1:l y kx m =+的距离为11=，即m =，设直线2:l y kx n =+，由22154y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22245105200k x knx n +++-=，因为直线2l 与椭圆C 相切，所以()()()222104455200kn kn∆=--+-=，整理得2254n k =+，因为直线1l 与直线2l之间的距离d =112S AB d =⋅，2112S AB =⋅，所以121m n S n S m m λ-====-，又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，因为20k ≥，所以[)24,5n m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又O ，M 位于直线1l 的两侧，所以m ，n 同号，所以n m⎡∈⎣，所以)11n m ⎡-∈⎣，故实数λ的取值范围为)1⎡⎣． 【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆的关系中求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.20.2021年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．质量指标值k 90100k ≤≤8590k ≤<8085k ≤<7580k ≤<7075k ≤<产品等级 废品合格良好优秀良好（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<） 质量指标值k90100k ≤≤8590k ≤< 8085k ≤< 7580k ≤< 7075k ≤<利润 t e -t 3t 5t 3t试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）【答案】（1）答案见解析；（2）0.973；（3）1.6，90万元． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求出质量指标值k 所处范围内的频率，根据分层抽样的知识求出各层的样本数，进而利用超几何分布求解概率，得分布列，求得数学期望；（2）由频率分布直方图求出对应事件的频率，然后用频率估计概率，最后代入二项分布的公式中求解即可；（3）根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润y 取值的概率，建立利润y 的函数模型，利用导数求函数的最值即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中，[)85,90k ∈的频率为0.0850.4⨯=； [)90,95k ∈的频率为004502..⨯=； []95,100k ∈的频率为0.0250.1⨯=．故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，[)85,90k ∈的有4件，[)90,95k ∈的有2件，[]95,100k ∈的有1件．从这7件产品中任取3件，质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的所有可能取值为0，1，2，则()230537207C C P X C ===； ()122537417C C P X C ===；()212537127C C P X C ===．所以X 的分布列为故()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=． （2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为p ，则根据频率分布直方图可得()10.040.0250.7p =-+⨯=，则()()33331110.310.0270.973P A C p =--=-=-=．（3）由题意可得该产品的质量指标值k 与对应概率如下表所示（14t <<）：故每件产品的利润()0.30.430.1550.130.050.3 1.5tty e t t t t e t =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-+， 则()0.3 1.50.35tty e e =-+=--'，令0y '=，则ln5t =， 故当()1,ln5t ∈时，0y '>，当()ln5,4t ∈时，0y '<， 所以当ln5t =时，y 取得最大值，()ln5max 0.3 1.5ln5 1.51ln5 1.50.60.9y e =-⨯+⨯=-+≈⨯=（元）．所以当ln5 1.6t =≈时，每件产品的利润取得最大值为0.9元 电已知，该生产线的年产量为100万件，所以该生产线的年盈利的最大值为0.910090⨯=（万元）．【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，超几何分布，数学期望的求解，二项分布，利用导数研究函数的最值等，考查数据分析、数学建模、数学运算等核心素养.21.已知函数()l e n x m f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最小值； （2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．【答案】（1）0；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）1em =，对函数()f x 求导，利用导数判断其单调性，进而可求出最小值；（2）构造函数()()()()e ln 0xm F x f x g x x x x=-=->，对函数()F x 求导，分别求出01x <≤和1x >时，函数()F x 的单调性，进而证明其最大值小于0，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意知()f x 的定义域为0,．当1e m =时，()l e n e x f x x xx =+-，则()()()()22e e 1e 111e e x x x x xf x x x x---'=+-=． 令()()e e 0xu x x x =->，则()e e xu x '=-，令()0u x '>，得1x >，令()0u x '<，得01x <<， 故()u x 在1,上单调递增，在0,1上单调递减，则()()10u x u ≥=，即对任意()0,x ∈+∞，()e e 0xu x x =-≥恒成立． 所以令0fx ，得1x >，令0f x ，得01x <<，故()f x 在1,上单调递增，在0,1上单调递减，所以当1x =时，()f x 取得最小值，即()()min 10f x f ==．（2）令()()()()e ln 0xm F x f x g x x x x=-=->，220e m ≥>，则()()221e1e e xx x x m x m x m F x x x x---'=-=， 当01x <≤时，()10m x --≥，则()0F x '>，()F x 单调递增， 所以当01x <≤时，()()1e 0m x F F =-<≤，故()()f x g x <成立；当1x >时，()()()21e 1x m x x F x x m x ⎡⎤-'=-⋅-⎢⎥-⎣⎦，显然()210m x x --<， 令()()()e 11xxG x x m x =->-，则()()21e 1G x x m x '=+-，因为220em ≥>，所以()0G x '>，即()G x 在1,上单调递增，因为2e 2m ≥，所以()222e 22e 0m G m m-=-=≥，因为222e 11e 1e 1m m m =+--，且2e 11m -≥，所以22e 12e 1m m <≤-， 所以存在t 满足22e 12e 1m t m <<≤-，则()22e 1e t m m -<，整理得()2e 1t m t >-， 则有()()22e e e 01ttG t m t =-<-=-．因为()()20G t G ≤，所以()G x 存在唯一零点(]01,2x ∈，所以()01,x x ∈时，()0G x <，()0F x '>，()F x 单调递增；()0,x x ∈+∞时，()0G x >，()0F x '<，()F x 单调递减，所以当1x >时，()F x 的最大值为()0F x ，且(]01,2x ∈．由()00G x =，可得()000e 1x x m x =-，故()000000e 1ln ln 1x m F x x x x x =-=--．令()n 11l x x x ϕ=--，(]1,2x ∈，则()()21101x x x ϕ'=+>-， 所以()ϕx 在(]1,2上单调递增，所以()()2ln 21x ϕϕ≤=-， 故()0ln 210F x ≤-<，所以1x >时，()()f x g x <成立． 综上所述，()()f x g x <．【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查学生逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题. 选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PNPN PM+的最大值．【答案】（1）()(22216x y -+-=；（2）103． 【解析】 【分析】（1）将圆C的极坐标方程化为2sin 4cos ρθρθ=+，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可将圆C 的极坐标方程化为直角坐标标准方程；（2）求得直线l的参数方程为1cos sin x t y t ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈），设点M 、N 所对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与圆C 的普通方程联立，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义结合三角恒等变换、正弦型函数的有界性可求得PM PNPN PM+的最大值．【详解】（1）圆C的极坐标方程为8cos 4cos 3πρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 4cos ρθρθ=+．因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2240x y x +--=，所以圆C 的直角坐标标准方程为()(22216x y -+-=；（2）由（1）知圆C的圆心的直角坐标为(2,，则00222x y =⎧⎪⎨=⎪⎩001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线l的参数方程为1cos sin x t y t ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．将直线l 的参数方程代入()(22216x y -+-=，得()22cos 120t t ϕϕ-+-=． 设点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t，则122cos t t ϕϕ+=+，1212t t =-，()2222212121212122PM PN PM PN t t t t t t PNPMPM PNt t t t +++-+====⋅()22112cos 24sin 212126πϕϕϕ⎡⎤⎛⎫++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因此，当3πϕ=时，PM PN PN PM +取得最大值103． 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求最值，涉及三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤． （1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥． 【答案】（1）{|0x x <或8}3x >；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据已知求出1a =，再利用分类讨论法解不等式2321x x -<--即得解； （2）由()()3f m f n +=得9m n +=，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】（1）由()2f x ≤，得232,15ax ax -≤-≤≤≤，()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤，则0a >，1155aa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1a =．不等式()()211f x f x <+-可化为2321x x -<--，则()33221x x x ≥⎧⎨-<--⎩或()()233221x x x ≤<⎧⎨--<--⎩或()()23221x x x <⎧⎨--<---⎩，解得3x ≥或833x <<或0x <， 所以原不等式的解集为{|0x x <或8}3x >． （2）因为3m ≥，3n ≥，所以()()–33333f m f n m n m n +=-=-+-=+，即9m n +=．所以()141141411451999n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即3m =，6n =时取等号． 所以不等式得证.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知z 为复数，z 2+1=0，则|z −1|等于( )A. 0B. 1C. √2D. 22. 已知cosθ−sinθ=34，则θ的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 三象限D. 第四象限3. 已知数列{a n }是等比数列，T n 是其前n 项之积，若a 5⋅a 6=a 7，则T 7的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知log a 14<1，(14)a <1，a 14<1，则实数a 的取值范围为( )A. (0,14)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (14,1)5. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1CD 1中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，D 1的截面与棱A 1B 1交于F ，则截面BED 1F 分别在平面A 1B 1C 1D 1和平面ABB 1A 1上的正投影的面积之和( )A. 有最小值1B. 有最大值2C. 为定值2D. 为定值16. 已知在圆(x −1)2+y 2=r 2上到直线x −y +3=0的距离为√2的点恰有一个，则r =( )A. √2B. √3C. 2D. 2√27. 有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位：℃)、时间(单位：min)、催化剂用量(单位：g)，三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.如表给出了这9次实验的结果：实验号温度(℃)时间(min)催化剂用量(g)产量(kg) 18090531 280120654 380150738 48590653 585120749 685150542 79090757 890120562 990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为()A. 85℃120min7gB. 90℃120min6gC. 85℃150min6gD. 90℃150min7g8.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间是()A. [−π2,π6] B. [−π3,π3] C. [−π3,π6] D. [−π6,π6]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩.某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图．针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是()A. 获得A等级的人数增加了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同10.已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是()A. 若A=B，则a=−3B. 若A⊆B，则a=−3C. 若B≠⌀，则a≤−6或a≥6D. 若a=3，则A∩B={x|−3<x<6}11.已知函数f(x)=cos2x1+sinx，则()A. f(x+π)=f(−x)B. f(x)的最大值为4−2√2C. f(x)是奇函数D. f(x)的最小值为−1212.我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k.如图所示，已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上、下底面的圆心，以1为上、下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为β，平面α//β，且距离为h，若平面α截圆柱体N所得截面面积为S1，平面α截环体M所得截面面积为S2，则下列结论正确的是()A. 圆柱体N的体积为4πB. S2=2πS1C. 环体M的体积为8πD. 环体M的体积为8π2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x2.若a2=5，则m=______ ．14.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则cos<a⃗,c⃗>=______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|=|MF1|，P为线段NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为______ ．16. 用M I 表示函数y =sinx 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0,a]≥2M [a,2a]，则a 的最大值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①√3acosB =bsinA ，②√3bsinA =a(2−cosB)，③cosC =2a−c 2b这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2，BC 边上的中线长为√7，____，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=3，a n =xa n−1+n −2(n ≥2)，其中x ∈R ．(1)若x =1，求a n ；(2)是否存在实数x ，y 使{a n +yn}为等比数列？若存在，求出S n ；若不存在，说明理由．19. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．(1)通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ=64，δ2=169，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,δ2)，则P(μ−δ<X<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<X<μ+ 2δ)=0.9544，P(μ−3δ<X<μ+3δ)=0.9974．20.将长(AB)、宽(BC)、高(AA1)分别为4，3，1的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方案：方案一：如图(1)传统的十字捆扎；方案二：如图(2)折线法捆扎，其中A1E=FB=BG=HC1=C1I=JD=DK=LA1=1．(1)哪种方案更省彩绳？说明理由；(2)求平面EFK与平面GIJ所成角的余弦值．21.已知双曲线C：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为19．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于2√33，过椭圆上任意一点P作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E于M，N两点，若PM2+PN2=5，求椭圆E的方程．22.(1)若0<a≤1，判断函数f(x)=asin(1−x)+lnx在区间(0,1)内的单调性；(2)证明：对任意n≥2，n∈N∗，sin215+sin2110+⋅⋅⋅+sin21n2+1<ln2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z2+1=0，得z2=−1，则z=±i，当z=−i时，|z−1|=|−i−1|=√(−1)2+(−1)2=√2；当z=i时，|z−1|=|i−1|=√12+(−1)2=√2．综上，|z−1|=√2．故选：C．由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由cosθ−sinθ=34，平方得：sin2θ+cos2θ−2sinθcosθ=169，则1−2sinθ=169，即sin2θ=−79<0，则2kπ+π<2θ<2kπ+2π，k∈Z，即有kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ>0，cosθ<0，不成立，当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ<0，cosθ>0，成立．∴角θ的终边在第四象限．故选：D．将已知等式平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可得sin2θ=−79<0，可得kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，分类讨论即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}是等比数列，T n是其前n项之积，a5⋅a6=a7，∴a1q4⋅a1q5=a1q6，解得a1q3=1，∴T7=a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6⋅a7=a17q21=(a1q3)7=1．故选：A．由a5⋅a6=a7，解得a1q3=1，由此利用等比数列的通项公式能求出T7．本题考查等比数列的前7项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：①由log a14<1，得a>1或0<a<14，②由(14)a<1，得a>0，③由a14<1，得0<a<1，∴当log a14<1，(14)a<1，a14<1同时成立时，取交集得0<a<14，故选：A．由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，分别求得a的范围，再取交集，即得所求．本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：BF与D1E分别为截面与两个平行平面的交线，由面面平行的性质定理可得，BF//D1E，同理可得D1F//BE，所以四边形BED1F为平行四边形，所以D1F=BE，又Rt△A1D1F≌Rt△CBE，所以A1F=CE=12，即F为A1B1的中点，截面在A1B1C1D1，ABB1A1上的投影如图所示，则S平行四边形D1EB1F =S A1B1C1D1−S△A1D1F−S△B1C1E=1−12×12×1−12×12×1=12，同理可得，S平行四边形A1EBF =12，故截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影的面积之和为定值1．故选：D．利用面面平行的性质定理得到BF//D1E，D1F//BE，从而可得D1F=BE，推出F为A1B1的中点，然后分别求解两个平行四边形的面积，即可得到答案．本题考查了平行投影及平行投影的应用，面面平行的性质定理的运用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题，6.【答案】A【解析】解：因为圆(x−1)2+y2=r2的圆心为(1,0)，半径为r，圆心(1,0)到直线x−y+3=0的距离d=√2=2√2，因为在圆(x−1)2+y2=r2上到直线x−y+3=0的距离为√2的点恰有一个，所以r=2√2−√2=√2．故选：A．求出圆心到直线的距离d，结合题意即可求得r的值．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：利用数表分析可知，从不同的温度来看，温度对其影响比较大，几乎成正比关系；其次催化剂的量对其影响比较大，从9组数据分析可知当催化剂为6克时，在组内产量都比较大；再次，从时间上看，9组数据显示，当时间为120分钟时，相对产量较高，故选：B．利用题中的数据信息，分别对温度，时间，催化剂的量进行分析，即可得出．本题考查了函数模型的实际应用，学生数据处理能力，逻辑推理能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，∴14⋅2πω=π4，∴ω=2．结合五点法作图可得2×2π3+φ=3π2，求得φ=π6，∴f(x)=3sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间为[−π3,π6]，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出f(x)的解析式，进而求出它在[−π2,π2]上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，由统计图可得，2018年获得A等级的人数为0.28a，2020年获得A等级的人数为0.48a，故A正确；2018年获得B等级的人数为0.32a，2020年获得B等级的人数为0.80a，获得B等级的人数增加了0.8a−0.32a0.32a=1.5倍，故B正确；2018年获得D等级的人数为0.08a，2020年获得D等级的人数为0.12a，获得D等级的人数增加了一半，故C错误；2018年获得E等级的人数为0.02a，2020年获得E等级的人数为0.04a，获得E等级的人数为原来的2倍，故D错误．故选：AB．设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，分别算出获得各个等级的人数，即可得到结论．本题考查统计图和频率分布图的运用，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B≠⌀时，△>0即a2−4(a2−27)>0，解得−6<a<6，故C错误，当a=3时，B={x|x2+3x−18<0}={x|−6<x<3}，∴A∩B={x|−3<x<3}，故D错误，故选：AB．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos2x1+sinx，则f(x+π)=cos(2x+2π)1+sin(x+π)=f(−x)=cos2x1−sinx，故A正确；对于B：f(x)=cos2x1+sinx =1−2sin2x1+sinx=4−(2+2sinx+11+sinx)≤4−2√2，当且仅当sinx=√22−1时，等号成立，故B正确；对于C：函数f(−x)≠−f(x)，故C错误；对于D：f(−π3)=cos(−2π3)1+sin(−π3)=−121−√32=−2−√3<−12，故D错误．故选：AB．直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：∵圆柱N的底面半径为1，高为4，则圆柱N的体积为V=π×12×4=4π，故A正确；由图可知，S1=2√1−ℎ2⋅4=8√1−ℎ2，S2=πr外2−πr内2，其中，r外2=(4+√1−ℎ2)2，r内2=(4−√1−ℎ2)2，故S2=16√1−ℎ2⋅π=2πS1，故B正确；环体M的体积为2π⋅V柱=2π⋅4π=8π2，故C错误，D正确．故选：ABD．直接由圆柱体积公式求得N的体积判断A；分别求解S1，S2判断B；由祖暅原理求出环体M的体积判断C 与D．本题考查圆柱体积的求法，考查祖暅原理的应用，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】−1【解析】解：因为(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6，所以a2=C52+mC51=10+5m=5，解得m=−1，故答案为：−1．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】2√1313【解析】解：根据题意，a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，即a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则|c⃗|2=(2a⃗−3b⃗ )2=13，即|c⃗|=√13，a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(2a⃗−3b⃗ )=2a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =2，则cos<a⃗,c⃗>=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=2√13=2√1313，故答案为：2√1313．根据题意，由数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，进而求出|c⃗|和a⃗⋅c⃗的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．15.【答案】y=±√3x【解析】解：由双曲线的定义，可得|MF2|−|MF1|=|MF2|−|MN|=|NF2|=2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|=12|NF2|=a，又|F1F2|=4|OP|，可得2c=4a，即c=2a，b=√c2−a2=√4a2−a2=√3a，所以双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故答案为：y=±√3x.由双曲线的定义和三角形的中位线定理，推得|OP|=a，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】13π12【解析】解：①当a∈[0,π2]时，2a∈[0,π]，M[0,a]=sina，M[a,2a]=1，∴sina≥2舍去；②当a∈[π2,π]时，2a∈[π,2π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sina，∴1≥2sina，∴sina≤12，∴a≥5π6，∴5π6≤a≤π；③当a∈[π,3π2]时，2a∈[2π,3π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sin2a或1，∴1≥2sin2a且2a≤2π+π2，∴sin2a≤12，∴2π≤2a≤2π+π6，∴a≤π+π12=13π12；④当a∈[3π2,+∞)时，2a∈[3π,+∞)，M[0,a]=M[a,2a]=1，舍去；综上所述：a max=13π12．故答案为：13π12．分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a值即可．本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：①√3acosB=bsinA，由正弦定理得，√3sinAcosB=sinBsinA，因为sinA>0，所以√3cosB=sinB，即tanB=√3，因为B为三角形内角，所以B=π3；②√3bsinA=a(2−cosB)，由正弦定理得，√3sinBsinA=sinA(2−cosB)，因为sinA>0，所以√3sinB=2−cosB，所以即2sin(B+π6)=2，所以sin(B+π6)=1，因为√3sinB+cosB=2，B为三角形内角，所以B=π3；③cosC=2a−c2b，由余弦定理得，cosC=2a−c2b =a2+b2−c22ab，整理得，b2=a2+c2−ac，故cosB=12，因为B为三角形内角，所以B=π3；因为c=2，BC边上的中线长为√7，△ABD中，由余弦定理得，cos60°=4+BD2−74BD，解得BD=3，BC=6，△ABC的面积S=12AB⋅BCsin60°=12×2×6×√32=3√3．【解析】由已知所选条件结合正弦定理，同角基本关系及辅助角公式或余弦定理进行化简可求B，然后结合余弦定理求出BD，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)当x=1时，a n=a n−1+n−2(n≥2)，所以a n−a n−1=n−2，a n−1−a n−2=(n−1)−2，a n−2−a n−3=(n−2)−2，.......，a2−a1=2−2，所以a n−a1=(n+...+2)−2(n−1)，整理得a n=n2−3n+82，(首项符合通项)，故a n=n2−3n+82．(2)假设存在实数x，y使{a n+yn}为等比数列故a n+y n=x[a n−1+y n−1]，整理得a n =xa n−1+(xy −y)n −xy ， 故{xy −y =1xy =2，解得{x =2y =1，所以a n +n =2×[a n−1+n −1]， 即a n +nan−1+(n−1)=2，当n =1时，a 1+1=4，所以存在x =2，y =1使数列{a n +y n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 整理得a n =2n+1−n ， 故S n =4×(2n −1)2−1−n(n+1)2=2n+2−n(n+1)2−4．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和构造新数列的应用求出数列的通项公式；(2)利用存在性问题的应用和方程组的解法求出x 和y 的值，进一步求出数列的通项公式和前n 项和公式． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造新数列，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为学生笔试成绩X 服从正态分布N(μ,ξ2)，其中μ=64，ξ2=169，μ+2ξ=64+2×13=90，所以P(X ≥90)=P(X ≥μ+2ξ)=12(1−0.9544)=0.0228， 所以估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000=114人； (2)Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，则P(Y =0)=(1−34)×(1−23)2=136，P(Y =3)=34×(1−23)2=112，P(Y =5)=(1−34)××C 21×23×(1−23)=19， P(Y =8)=34×C 21×23×(1−23)=13，P(Y =10)=(1−34)×(23)2=19，P(Y =13)=34×(23)2=13， 故Y 的分布列为：所以数学期望为E(Y)=0×136+3×112+5×19+8×13+10×19+13×13=32136=10712．【解析】本题考查了正态分布的应用以及离散型随机变量的期望方差和分布列问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)利用正态分布给出的数据即可求解；(2)由已知先求出Y 的取值，然后求出对应的概率即可求解．20.【答案】解：(1)方案②更省彩绳．理由如下：方案①中彩绳的总长度为l =2×(4+3)+4=18，方案②中彩绳的总长度为m =2×√5+6×√2<2×2.5+6×1.5=14， ∴l >m ，故方案②更省彩绳．(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(3,1，1)，F(3,3，0)，K(1,0，0)G(2，4，0)，I(0,3，1)，J(0,1，0)， ∴KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JG ⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JI ⃗⃗⃗ =(0,2，1)， 设平面EFK 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y +z =02x +3y =0，令y =1，则x =−32，z =2，∴m⃗⃗⃗ =(−32,1，2)， 同理可得，平面GIJ 的法向量为n ⃗ =(−32,1，−2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=94+1−4√94+1+4×√94+1+4=−329，由图可知，平面EFK 与平面GIJ 所成角为钝角， 故平面EFK 与平面GIJ 所成角的余弦值为−329．【解析】(1)方案①中彩绳的总长度为l=2×(4+3)+4=18，利用勾股定理，求得方案②中彩绳的总长度为m=2×√5+6×√2<14，比较l和m的大小，即可得解；(2)以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面EFK和平面GIJ的法向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |，即可得解．本题考查长方体的结构特征，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1①双曲线的顶点为B(−m,0)，C(m,0)，由题设知k AB⋅k AC=y1x1+m ⋅y1x1−m=19，故x12=9y12+m2，代入①式可得(9m2−1n2)y12=0．又A为双曲线上任意一点，故9m2−1n2=0，所以m=3n，双曲线的渐近线方程为y=±13x．(2)由椭圆E的离心率e=ca =√1−b2a2=2√33，可得a=3b，故椭圆方程为x29b2+y2b2=1，即x2+9y2=9b2(b>0)．设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.②不妨设直线PM的方程为y=13(x−x0)+y0，与椭圆方程x2+9y2=9b2联立，消去y，利用②式整理得x2+(3y0−x0)x−3x0y0=0，即(x−x0)(x+3y0)=0，故x M=−3y0，从而y M=13(x M−x0)+y0=−13x0.所以M(−3y0,−13x0)．而直线PN的方程为y=−13(x−x0)+y0，同理可求得N(3y0,13x0)．于是PM2+PN2=5可得(−3y0−x0)2+(−13x0−y0)2+(3y0−x0)2+(13x0−y0)2=5，整理得x02+9y02=94．结合②式可得b2=14，所以椭圆E的方程为x2+9y2=94，即49x2+4y2=1．【解析】(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1，通过斜率乘积推出x12=9y12+m2，得到m=3n，即可求解双曲线的渐近线方程．(2)利用离心率推出a=3b，椭圆方程为x29b2+y2b2=1，设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.设直线PM 的方程为y =13(x −x 0)+y 0，与椭圆方程x 2+9y 2=9b 2联立，推出x M =−3y 0，求出M 的坐标，求解N 的坐标，利用PM 2+PN 2=5，求解椭圆E 的方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(1−x)+lnx(0<x <1)，∴f′(x)=−acos(1−x)+1x ，0<x <1⇒0<1−x <1⇒0<cos(1−x)<1，又0<a ≤1， ∴−1<−acos(1−x)<0，且0<x <1时，1x >1，∴f′(x)>0∴f(x)=asin(1−x)+lnx 在区间(0,1)内单调递增；(2)证明：由(1)知，当a =1时，f(x)<f(1)，即sin(1−x)+lnx <0， ∴sin(1−x)<ln 1x，令1−x =1n 2+1，则x =1−1n 2+1，1x=n 2+1n 2，∴当0<sin1n 2+1<ln n 2+1n 2=ln(1+1n 2)<ln2(n ∈N ∗)，令φ(x)=ln(1+lnx)−x ，x >0，φ′(x)=11+x −1=−x1+x <0，所以φ(x)在(0,+∞)单调递减， ∴φ(x)<φ(0)=0， 即ln(1+x)<x(x >0)， ∴0<ln(1+1k 2)<1k 2<1k(k−1)(k >1)，∴当n ∈N ∗，且n ≥2时，0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ， ∴sin1n 2+1<ln2n(n−1)=(1n−1−1n)ln2，∴对任意n ≥2，n ∈N ∗， sin 215+sin 2110+⋅⋅⋅+sin 21n 2+1<(ln2)(1−1n)<ln2．【解析】(1)可求得f′(x)=−acos(1−x)+1x ，依题意，可判得f′(x)>0，从而可判断f(x)在(0,1)内的单调性；(2)由(1)知sin(1−x)<ln 1x ，令1−x =1n 2+1，可分析得0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ，累加可证得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造法与推理证明，属于难题．。

2021-2022学年河北省衡水市高一下学期第三次质检数学试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）z ()()42i 1i z =-+z =A ．B ．C ．D ．62i -62i+22i-22i+B【分析】利用复数代数形式的乘法运算计算作答.【详解】.()()42i 1i 62iz =-+=+故选：B2．在中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且，，则ABC 6b a =3π4A C +=（ ）sin A =A ．BC ．D 16112D【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合三角形内角和定理计算作答.【详解】在中，因，则，由正弦定理及得：ABC 3π4A C +=π4B =6b a =，sin 6sin B A =所以1πsin sin 64A ==故选：D3．水平放置的平面四边形ABCD 的斜二测直观图是一个长为3的矩形，则四边形ABCD 的实际面积为（ ）A ．12B ．6C ．D ．A【分析】由已知，先计算出该图形斜二测直观图的面积，然后再根据原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系换算关系，可直接求解出四边形ABCD 的实际面积.S '=【详解】解：由题意得，矩形的面积为由斜二测画法，得四边形ABCD 的实际面积为．12=故选：A4．设、是两个不同的平面．则“中有三个不共线的点到的距离相等”是αβαβ“”的（ ）//αβA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B【分析】利用平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】如下图所示：当、相交时，设，若、、，且，则、到平面的αβa αβ⋂=A B C α∈//BC βB C β距离相等，若线段的中点，则、到平面的距离相等，则、、到平面的距AC D a ∈A C βA B C β离相等，即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”；αβ⇒//αβ若，则内所有点到平面内的距离都相等，//αβαβ即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”.αβ⇐//αβ因此，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.αβ//αβ故选：B.5．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱111ABC A B C -2AB BC AC ===13AA =,D E ，上的动点，则的最小值是（ ）1BB 1CC 1AD DE EA ++A B ．C ．D ．57D【分析】作出三棱柱的侧面展开图，可知四点共线时取最小值，利用勾股定1,,,A D E A 理可得结果.【详解】将直三棱柱的侧面展开，如图所示，111ABC A B C -当四点共线时，取得最小值，1,,,A D E A 1AD DE EA ++==故选：D.6．在三棱锥中，底面，，，，D ABC -CD ⊥ABC AD BC =2AB =3AC =，则AD 与平面BCD 所成角的正弦值为（ ）23BAC π∠=A ．B ．CD 517519D【分析】根据余弦定理可得于可知AD 与平面BCD 所AD BC ==AE BC ⊥E成角为，再根据三角形面积公式求得即可ADE ∠AE =sin ADE ∠【详解】由余弦定理，，故222123223192BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭AD BC ==于，因为底面，故，又，，故AE BC ⊥E CD ⊥ABC AE CD ⊥AE BC ⊥BC CD C ⋂=平面，故AD 与平面BCD 所成角为.又，AE ⊥BCD ADE ∠11sin12022BC AE AB AC ⋅=⋅⋅解得，故AE =si n AE ADE AD ∠==故选：D 7．在正方体中，E ，F 分别为棱AD ，的中点，则异面直线EF1111ABCD A B C D -11A B 与夹角的余弦值为（ ）1CDA B C D A【分析】设棱的中点为G ，连接FG ，EG ，BE ，，根据，1BB 1A B 1A B FG ∥，得到，进而得到∠EFG 为异面直线EF 与所成的角求解．11CD A B ∥1CD FG ∥1CD 【详解】解：如图，设棱的中点为G ，连接FG ，EG ，BE ，．1BB 1A B 因为，，1A B FG ∥11CD A B ∥所以，1CD FG ∥故∠EFG 为异面直线EF 与所成的角．1CD 设正方体的棱长为2，1111ABCD A B C D -则，．FG =1A E BE ==EF EG ==在等腰三角形EFG 中，2cos EFG EF ∠==故异面直线EF 与1CD 故选：A8．在正四棱锥中，，截四棱锥外P ABCD -4AB =PA =PAB P ABCD -接球的截面面积是（ ）A B ．C ．D ．365π12π36πB【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.【详解】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，PO '⊥ABCD O 'O 'ABCD 从而正四棱锥外接球的球心在上，P ABCD -O PO '取棱的中点，连接，作，垂足为.AB E ,,,O D O E OD PE ''OH PE ⊥H由题中数据可得，2,4O D O E PE O P '''====设四棱锥外接球的半径为，P ABCD -R 则，()22222R O D O O OP O P O O =+='-'=''即，()22284R O O O O =+='-'解得.3R =由题意易证，OPH EPO ' ∽则，PH OPO P PE ='故PH =故所求截面圆的面积是.236ππ5PH ⋅=故选：B 二、多选题9．已知复数，，则下列命题正确的是（ ）14z a i =+()22z bi a b R =+∈，A ．若，则是实数8ab =-12z z B ．若是实数，则12z z 8ab =-C ．若，则是纯虚数2a =12z z -D ．若是纯虚数，则12z z -2a =AB【分析】根据复数的相关知识对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，，()()124i 2i 2i+8i-4a b a ab bz z =++=+若，则是实数，故A 正确；8ab =-122-4z b z a =对于B 选项，，若是实数，则，故B()()124i 2i 2i+8i-4a b a ab bz z =++=+12z z 8ab =-正确；对于C 选项，若，则不一定是纯虚数，故C 错误；2a =()1224i 2i=4iz z b b =+----对于D 选项，，若是纯虚数，则且，()124i 2i=a-2+4ia b b z z =+----12z z -2a =4b ≠故D 错误.故选：AB10．已知m ，n ，l 是三条不同的直线．，，是三个不同的平面，则下列命题不αβγ正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则m n ⊥n l ⊥m l ⊥αβ⊥βγ⊥αγ⊥C ．若，，则D ．若，，，则//m ββγ⊥//m γm α⊥//n m n β⊥//αβABC【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面垂直的性质推理判断D 作答.【详解】如图，在直三棱柱中，是锐角三角形，111ABC A B C -ABC对于A ，直线分别为，直线为直线，满足，，而与不,AC BC ,m l 1CC n m n ⊥n l ⊥m l 垂直，A 不正确；对于B ，平面与平面分别为，，平面为平面，满足，11ACC A 11BCC B αγABC βαβ⊥，而平面与不垂直，B 不正确；βγ⊥αγ对于C ，平面为平面，平面为平面，直线为直线，满足，11ACC A γABC β11B C m //m β，而，C 不正确；βγ⊥1m C γ⋂=对于D ，因，，则有，而，于是得，D 正确.m α⊥//n m n α⊥n β⊥//αβ故选：ABC11．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的ABC A B C a b c 命题是（ ）A ．若，则sin sin AB >a b>B ．若是锐角三角形，则恒成立ABC sin cos A B >C ．若，则一定是直角三角形cos cos b C c B a -=ABC D ．若，则一定是锐角三角形222sin sin cos 1A C B +>+ABC ABC【分析】利用正弦定理边角互化可以判断出A 正确；由三角形内角和为，结合诱导π公式可推得B 正确；利用正弦定理及余弦定理即可判断出C 正确；利用同角三角函数的基本关系式及正弦定理及余弦定理结合三角形知识判断出D.【详解】对于A ，因为，所以由正弦定理得，所以，所以Asin sin A B >22a b R R >a b >正确；对于B ，若为锐角三角形，可得且，ABC 2A B π+>,(0,2A B π∈可得，且，2A Bπ>-(0,22B ππ-∈根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以B 正确；sin sin()2A B π>-sin cos A B >对于C ，由正弦定理及，知，cos cos b C c B a -=sin cos sin cos sin B C C B A -=所以，因为，则或，又sin()sin B C A -=,0B C A πππ-<-<<<B C A -=B C A π-+=，则，三角形为直角三角形，故C 正确；A B C π++=2B π=对于D ，若，则,由正弦定理得222sin sin cos 1A C B +>+222sin sin sin 0A C B +>-，则角B 为锐角，但不一定是锐角三角形，故D 错误；2220a c b +->ABC 故选：ABC.12．在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，若点P ABC -PA PB PC ，，2PA PB PC ===P ，A ，B ，C 均在球 O 的球面上，M 为球面上的一个动点，则（ ）A ．球 O 的表面积为8πB ．O 到平面 ABCC ．三棱锥M PAB -D ．存在点 M ，使平面 ABC MA ⊥BCD【分析】由题可将三棱锥补成正方体，然后利用正方体的性质及球的性质逐项分析即得.【详解】如图，将三棱锥补成正方体，则该三棱锥的外接球与该正方体的外接球相同，所以球O O 的表面积为，A 错误；=12π由正方体的性质可知，又，,AB PE AB DE ⊥⊥DE PE E = 可得平面，故，同理可得，又，AB ⊥PED PD AB ⊥PD AC ⊥AB AC A ⋂=可得平面，设P 到平面ABC 的距离为，因为PD ⊥ABC h AB AC BC ===所以由，得，得P ABCC ABP V V --=(2111222332h =⨯⨯⨯⨯h =所以O 到平面ABC B 正确；=由题可知O 到平面PAB 的距离为1，故M 到平面PAB ，1所以三棱锥体积的最大值为，C 正确；M PAB -)1213⨯⨯因为平面ABC ，若平面ABC ，则．PD ⊥MA ⊥MA PD ∥因为AO 不垂直于PD ，所以MA 可以平行于PD ，D 正确．故选：BCD.三、填空题13．已知某圆锥的母线长为3，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为3π________．【分析】先由侧面展开图求出底面圆半径，进而求得高，再由体积公式求解即可.【详解】设该圆锥的母线长为l ，高为h ，底面圆的半径为r ．圆锥侧面展开图的面积为，解得，3lr ππ=1r =h ==213r h π=故答案为14．已知轮船A 在灯塔B 的北偏东45°方向上，轮船C 在灯塔B 的南偏西15°方向上，且轮船A ，C 与灯塔B 之间的距离分别是10千米和A ，C 之间的距离是___________千米．【分析】根据题意作出图形，再利用余弦定理求解作答.【详解】依题意，如图，在中，ABC 10,AB BC ==，1804515150ABC ∠=-+=由余弦定理得：AC ===所以轮船A ，C 之间的距离是千米.故15．在正三棱锥中，，M 是棱PC 上的任意一点，则P ABC -PB ==的最小值是___________．AM MB +【分析】借助于侧面展开图，则可得的最小值即为，此时2AM MB MB +=2AB BM =，利用余弦定理可得，结合等面积法求．AB PC ⊥cos PBC ∠=BM 【详解】如图，借助于侧面展开图，则可得AM MB=的最小值即为，此时2AM MB MB +=2AB BM =AB PC⊥在△中PBC∵222cos 2PB BC PC PBC PB BC +-∠==⋅sin PBC ∠==∴，则11sin 22PB BC PBC PC BM ⨯⨯∠=⨯BM =的最小值为AM MB +2BM =．16．如图，在长方体中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，1111ABCD A B C D -，E 为棱CD 的中点，F 为棱（包括端点）上的动点，则三棱锥13AA =11C D 外接球表面积的最小值是______．A DEF -2449π2449π【分析】取AE 的中点，过作平面ABCD 的垂线，与平面交于点M ，过1O 1O 1111D C B A M 作的垂线，垂足为N ，设，，则．设球O 的半径为11C D 1OO m =NF n =03n ≤≤R ，求出，得到的取值范围，即得解.286n m +=m 【详解】解：如图，取AE 的中点，过作平面ABCD 的垂线，与平面交1O 1O 1111D C B A 于点M ，过M 作的垂线，垂足为N ，则三棱锥外接球的球心O 在11C D E ADF -上．1MO 设，，则．设球O 的半径为R ，则，1OO m =NF n =03n ≤≤222R OE OF ==即，所以．()2222222534R m OM MN NF m n =+=++=-++286n m +=因为，所以，则.03n ≤≤41736m ≤≤226159R m =+≥故三棱锥外接球的表面积．A DEF -224449S R ππ=≥故2449π四、解答题17．如图，在正三棱柱中，D 是BC 的中点．111ABC A B C -(1)证明：平面．1//A B 1AC D (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比．11D ABB A -1C AC D -(1)证明见解析(2)2:1【分析】（1）连接，交于O ，连接OD ．即可得到，从而得证；1A C 1AC 1//OD A B （2）设，，根据锥体的体积公式分别求出，，即可得解；AB a =1AA b =11D ABB A V -1C AC D V -【详解】(1)证明：连接，交于O ，连接OD ．1A C 1AC因为O 是的中点，D 是BC 的中点，1A C所以OD 是的中位线，所以．1A BC 1//OD A B 因为平面，平面，1A B ⊄1AC D OD ⊂1AC D 所以平面．1//A B 1AC D (2)解：设，．因为D 是BC 的中点，AB a =1AA b =所以D 到AB 的距离d 等于C 到AB 的距离的一半，所以，d =所以．11213D ABB A V ab b -=⨯=又，11221132C AC D C ACD V V b b --==⨯⨯=所以，即所求体积之比为．1112D ABB A C AC D V V --=2:118．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且．1111ABCD A B C D -3BAD π∠=(1)证明：．1AC BD ⊥(2)若平面平面．求三棱锥的表面积．1A BD ⊥1C BD 1A ABD -(1)证明见解析；(2)+【分析】（1）利用菱形的性质、直四棱柱的结构特征，结合线面垂直的判定、性质推理作答.（2）令，连，，由给定条件证明，再求出即可AC BD O = 1AO 1C O 112πA OC ∠=1AA 计算作答.【详解】(1)在直四棱柱中，平面ABCD ，平面ABCD ，1111ABCD A B C D -1DD ⊥AC ⊂则，1DD AC ⊥菱形ABCD 中，，而，平面，AC BD ⊥1DD BD D = 1,DD BD ⊂1BDD 于是得AC ⊥平面，又平面，1BDD 1BD ⊂1BDD 所以.1AC BD ⊥(2)如图，设AC 与BD 的交点为O ，，连接，，，则O 为BD 的1AA x =11A C 1AO 1C O 中点，因，即，则1A B =1A D ==11A B A D =，1AO BD ⊥同理有，即是二面角的平面角，而平面平面1C O BD ⊥11A OC ∠11A BD C --1A BD ⊥，则有，1C BD 112πA OC ∠=又，即1A O ==1C O =11A C AC ==，解得223312x x +++=x =因此，11AA A B AD S S == ABD S = 1A BD S =△所以三棱锥的表面积为1A ABD -+19．如图，在三棱锥中，PA ⊥平面ABC ，是直角三角形，，P ABC -ABC AC BC =．D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点．6PA AB ==(1)证明：平面PAC ⊥平面ADE ．(2)求三棱锥的体积．P ADE -(1)证明见解析(2)92【分析】（1）由题意易知，，从而可证平面PAC ，而由中位线AC BC ⊥PA BC ⊥BC ⊥定理可得，于是平面PAC ，最后由面面垂直的判定定理可证得平面∥DE BC DE ⊥PAC ⊥平面ADE ．（2）由等体积法可知三棱锥与三棱锥的体积相等，求出三棱锥P ADE -D PAE -的体积即可求出答案,P ADE -【详解】(1)证明，因为是直角三角形，且，所以．ABC AC BC =AC BC ⊥因为平面ABC ，且平面ABC ，所以．PA ⊥BC ⊂PA BC ⊥因为平面PAC ，平面PAC ，且，所以平面PAC ．PA ⊂AC ⊂PA AC A = BC ⊥因为D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点，所以．∥DE BC 因为平面PAC ，所以平面PAC ．BC ⊥DE ⊥因为平面ADE ，所以平面平面ADE ．DE ⊂PAC ⊥(2)解：因为，所以．6AB =AC BC ==因为平面ABC ，且，PA ⊥6PA =所以三棱锥的体积．P ABC -1161832V =⨯⨯=连接CD ，因为D 是棱PB 的中点，所以三棱锥的体积．-D PAC 11118922V V ==⨯=因为E 是棱PC 的中点，所以三棱锥的体积．D PAE -211199222V ==⨯=因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，P ADE -D PAE -所以的体积为．P ADE -9220．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ．22cos cos (sin sin )sin 0C A A B B +-+=(1)求C ；(2)若a ，b 为方程的两个实数根，且C 的角平分线交AB 于点D ，求210200x x -+=CD ．(1)；23C π=(2)2.【分析】（1）利用同角公式变形，正弦定理角化边，再借助余弦定理求解作答.（2）由已知条件结合三角形面积公式计算作答.【详解】(1)依题意，，即2221sin 1sin sin sin sin 0C A A B B --+++=，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：ABC 222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-==-因，解得，0πC <<2π3C =所以．2π3C =(2)依题意，，，而是的角平分线，则，10a b +=20ab =CD ABC += ACD BCD ABC S S S 即，整理得，解得1π1π12πsin sin sin 232323b CD a CD ab ⋅⋅+⋅⋅=()a b CD ab +⋅=，2ab CD a b ==+所以．2CD =21．如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示.(1)证明.AD BH⊥(2)若，求三棱锥的体积.BH =2CM MG = A BHM -(1)证明见解析(2)8【分析】（1）连接BF 交AD 于O ，则O 为BF 的中点，根据，得到4AF AB ==，即，，再利用线面垂直的判定定理证明；AO BF ⊥ AD OB ⊥AD OH ⊥（2）利用，得到，再利用线面垂直的判定定理得到222OH OB BH +=OH OB ⊥平面，再由平面，由求解.OH ⊥ABCD CG ∥ ABH ----===A BHM M ABH C ABH H ABC V V V V 【详解】(1)证明：如图，连接BF 交AD 于O ，则O 为BF 的中点.∵，∴，即，.4AF AB ==AO BF ⊥ AD OB ⊥AD OH ⊥∵，平面，OB OH O ⋂=,OB OH ⊂BOH ∴平面.AD ⊥BOH ∵平面，BH ⊂BOH ∴.AD BH ⊥(2)由正六边形性质，可知，3FAD BAD π∠=∠=∴OF OB ==∵，∴.222OH OB BH +=OH OB ⊥∵，平面，OB AD O = ,OB AD ⊂ABCD ∴平面.OH ⊥ABCD ∵，且，//BC HG BC HG =∴四边形是平行四边形，BCGH ∴.CG BH ∥∵平面，平面，BH ⊂ ABH CG ⊂/ ABH ∴平面，CG ∥ ABH∴.183A BHM M ABH C ABH H ABC ABC V V V V S OH ----====⋅=△22．如图1，在△ABC 中，，，E 为AC 的中点，现将△ABC 及其2AB BC ==2π3B ∠=内部以边AB为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O 为C 旋转过程中形成的圆的圆心，为圆O 上任意一点.C '(1)求新的几何体的体积.(2)记与底面所成角为.EC 'OCC 'θ①求sin 的取值范围；θ②当的平面角的余弦值.sin θ=B EC C -'-(1)2π(2)①[；②12【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算求解即可；（2）①作OC 的中点F ，进而得为与底面所成的角，进而结合EC F ∠'EC 'OCC '，求解即可；C F ∈'sinθ=②根据几何关系得，分别过B ，C 作的垂线，垂足分别为C E '=C C '=C E 'G ，H ，则G ，H 重合，设二面角为，进而结合余弦定理求解即可.β【详解】(1)解：连接AO ，由题可得3,1,AO BO CO ==所以新的几何体的体积()2123V AO BO ππ=⨯⨯-=(2)解：①如图，作OC 的中点F ，因为E 为AC 的中点，所以，//EF AO 因为底面，所以底面，AO ⊥'C OC EF ⊥'C OC 所以为与底面所成的角，则EC F ∠'EC 'OCC 'sin EF C Eθ'==因为，所以CF ∈'1sin 2θ⎡∈⎢⎣②，由中线长公式，得sin EF C E θ'===222242AC C E C C CA'++='C C '=可由余弦定理计算）分别过B ，C 作的垂线，垂足分别为G ，H ，C E '则，222cos 2C B C E BE C G BC BC E C E ∠'''''+-==='，即G ，H 重合，222cos 2C C C E CE C H CC CC E C E ∠'''''+-==='又，BG==CH ==记二面角为，则β222cos 2CH BG BC CH BG β+-==⨯⨯。

河北省衡水中学2021届高三数学下学期（5月）第三次联合考试试题 理（含解析）总分150分．考试时间120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上相应的位置． 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔 迹签字笔写在答题卡上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3B. 3iC. 4D. 4i【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3.以下统计表和分布图取自《清华大学2021年毕业生就业质量报告》.则下列选项错误的是（ ）A. 清华大学2021年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2021年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2021年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2021年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半 【答案】D 【解析】根据统计表和分布图中的数据信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.【详解】A. 根据统计表，本科生选择继续深造的比例为80.4%，硕士生选择就业的比例为89.2%，所以判断正确.B. 根据统计表，本科生就业率17.3%, 硕士生的就业率为为89.2%.判断正确.C. 根据分布图，签三方就业的毕业生中，硕士生的就业城市主要分布在北京、广东、上海；本科生的就业城市相对比较分散.判断正确.D. 根据分布图, 毕业学生中，本科生人数占绝大多数，签三方就业的毕业生中,留在北京的本科生占18.2%，而硕士生和博士生分别占43.0%、51.2%， 所以毕业生留在北京的没有达到一半，所以判断错误. 故选：D【点睛】本题考查对统计图表的认识，根据图表得出有用的信息，读懂图表是关键，属于基础题.4.若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ） A. 4B. C. 9D.【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号， 此时，min 219a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5.要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A. 4x y +≤B. 4x y +C. 6x y +D.6x y + 【答案】C 【解析】 【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可；【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C .【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6.若{}n a 是公比为()0q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A. 若{}n a 是递增数列，则10a <，0q <B. 若{}n a 是递减数列，则10a >，01q <<C. 若0q >，则4652S S S +>D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】选项,,A B C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项,,A B C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误；B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，()1110n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7.为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9.如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A12B.23C.34D. 1【答案】B 【解析】 分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23，得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ = 所以())230,23,1，，A J C⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302nm m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩所以23 mn=故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10.区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ）A.13B.24C.23D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△ 故选：A【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)【答案】60 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x-+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)rr rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r ，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=则p 的值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =， 所以其一个焦点化为()10,3F p ，所以221133134p FF p p =+==，所以2p =. 故答案为：2.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.16.已知函数()(2)1xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为_________.【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】把()0f x <转化为(2)1xkx k e x +<+，即1(2)xx k x e ++<，然后，利用数形结合法求解即可.【详解】由()(2)10xf x kx k e x =+--<得，(2)1xkx k e x +<+，即1(2)x x k x e++<，在平面直角坐标系中画出函数g()(2)x k x =+和1()+=xx h x e 的图象如图所示，为了满足不等式()0f x <的解集中恰有三个整数，只需要满足(2)(2)(3)(3)h g h g >⎧⎨⎩，解得324354k e e<故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用数形结合，求参数范围的问题，本题采用数形结合法求解，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，属于中档题 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.【答案】（1）12BC =（2）sin 5ACE ∠= 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长(2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ==【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质，可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则25cos BAD ∠=所以51sin ,tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒.【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD 的一个法向量为()111,,n x y z =， 平面ABD 的一个法向量为()222,,m x y z =则00CD n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00BD m BA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即11100x y z =⎧⎨+=⎩，2220x y z -=⎧⎨=⎩，令121,1y x ==可得(0,1,1),(1,1,0)n m =-= 所以1cos ,2n m n m n m⋅<>==由图知，二面角B AD C --的平面角为锐角，所以二面角B AD C --的大小为60︒. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19.2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2021年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】（1）易知c =，设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程y kx m =-，另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k +=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44== 因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)，所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知函数()2,()ln xf x e xg x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<. 【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可.【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <.因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x <方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0t H t t e t =-+> 则1()tH t e t '=-，则()00010t H t e t '=-=则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+<所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x <（2）证明：令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减.由题意得()()()ln 2x h x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln ln x x x =-= 所以()2222211,0x x e h x e x x '==-=因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减.所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.(二)选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线D MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+ 【解析】【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案；（2）由122t t +=可算出MN k =MN 的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D 建立方程求解即可.【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --.所以直线MN 的方程为21y x =+.曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ，所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-=设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-.（1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】【分析】 （1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解.【详解】解：（1）由题意得 35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -；当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x < 综上，解集为1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立.②当[1,1)x 时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x =+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数，所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-.因为()()f x g x 恒成立，所以7(1)x a x --，即76111x ax x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数，所以min ()(3)2G x G ==，所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=1+√3i，则|z|+z=()A. 3+√3iB. 3−√3iC. −3+√3iD. −3−√3i2.函数y=2cos2(x−π4)−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A. (5,7)B. (6,6)C. (4,8)D. (7,5)4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()．A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+∞)5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心6.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y=14x2的准线相切，则m的值等于()A. ±√2B. √3C. √2D. ±√37.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时A. 6B. 12C. 18D. 248.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则()A. ω=2π15，A=5 B. ω=152π，A=5C. ω=152π，A=3 D. ω=2π15，A=3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：(名词解释：高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)根据图中信息，下列论断正确的有()A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人10.已知集合U=(−∞,+∞)，A={x|2x2−x≤0}，B={y|y=x2}，则()A. A∩B=[0,12] B. ∁U A⊆∁U BC. A∪B=BD. ∁B A=(12,+∞)11.已知函数f(x)=sinxcos2xcosx，则()A. f(x)的图象关于点(π2,0)对称 B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的值域为RD. f(x)在(0,π4)上单调递增12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BC1(含端点)上运动，则下列判断正确的是()A. A1P⊥B1DB. 三棱锥D1−APC的体积不变，为83C. A1P//平面ACD1D. A 1P 与D 1C 所成角的范围是(0,π3)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为______．14. 设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b =4，c =2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ． 15. 已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的值为 ．16. 已知函数f(x)=3sinx +4cosx ，则函数f(x)的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，2cosC =sinB ． (1)求tan C 的值；(2)若a =√10，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=x 2+(a −1)x +b +1，当x ∈[b,a]时，函数f(x)的图象关于y 轴对称，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =f(n +1)−1 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦起开始实施，A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了男性市民30人，女市民70人进行调查，得到以下的2×2列联表：支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计6040100(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关；(2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从A市所有市民中，采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X(i)求X的分布列；(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X)．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1//AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.点M 为线段BC的中点，点P是线段BB1中点．(Ⅰ)求证：A1C1⊥AP；(Ⅱ)求二面角P−AM−B的余弦值．21.已知椭圆C：．(1)如果椭圆的离心率，经过点．①求椭圆的方程；②经过点P的两直线与椭圆分别相交于A，B，它们的斜率分别为.如果，试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．(2)如果椭圆的，点分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.若△的面积是△的面积的倍，求的最大值．22. 已知x=1时，函数f(x)=ax3+bx有极值−2．(1)求实数a，b的值；(2)若方程f(x)=k恰有1个实数根，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z=1+√3i，∴|z|=√1+3=2，z=1−√3i，则|z|+z=2+1−√3i=3−√3i．故选：B．由已知求得|z|及z，作和得答案．本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：y=2cos2(x−π4)−1=cos(2x−π2)=sin2x，∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；故选：A．运用二倍角公式化简为cos(2x−π2)，再利用诱导公式化简．本题考查了余弦的二倍角公式以及诱导公式的运用．3.答案：A解析：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：可得：(1,1)为第1项，(1,2)为第(1+1)=2项，(1,3)为第(1+1+2)=4项，(1,4)为第(1+1+2+3)=7项，(1,5)为第(1+1+2+3+4)=11项，…，依此类推得到：(1,11)为第(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=56项，∴第57项为(2,10)，第58项为(3,9)，第59项为(4,8)，则第60项为(5,7)．故选A我们可以在平面直角坐标系中，将：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．4.答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y=a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y=a x的图象经过点A时a取得最大值，由方程组解得x=2，y=9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9=a2，即a=3，故1<a≤3．5.答案：A解析：本题考查二面角的平面角，考查三角形内心的概念，属于基础题．二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，可得点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，即可得出结论．解：∵二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，∴点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，∴点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心，故选：A．6.答案：D解析：试题分析：由抛物线的方程找出p，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由抛物线的方程得到p =2，所以抛物线的准线为y =−p2=−1， 将圆化为标准方程得：(x +m2)2+y 2=1+m 24，圆心坐标为(−m2,0)，圆的半径r =√1+m 24，圆心到直线的距离d =√1=1=r =√1+m 24，化简得：m 2=3，解得m =±√3． 故选 D7.答案：A解析：解：∵某食品保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，所以{e b=384e 22k+b=24，解得e 22k =116，即有e 11k =14，e b =384， 则当x =33时，y =(e 11k )3⋅384=6， 故选：A ．由该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，列出方程组，求出，由此能求出该食品的保鲜时间．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅． 根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T =2πω求解；A 为最大振幅，由图象知到最高点时即为A 值． 解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=4×2π60=2π15又∵半径为3m ，水轮中心O 距水面2m ， ∴距水面最高点为5，即A =3， 故选D ．9.答案：BD解析：解：对于A ，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A 错误；对于B ，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000+16×(38−30−29−65−5+128)=4000+376>4000万人，故选项B 正确；对于C ，2019年未接受高中教育的人数为399589.5%−3995≈469万人，超过420万人，故选项C 错误； 对于D ，2020年普通高中的在校生人数为4128×60.1%=2480.928>2470万人，故选项D 正确． 故选：BD ．根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.答案：ACD解析：求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，∁U A ，∁U B ，A ∪B ，∁B A ，由此能求出结果．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵集合U =(−∞,+∞)，A ={x|2x 2−x ≤0}={x|0≤x ≤12}， B ={y|y =x 2}={y|y ≥0}， ∴A ∩B =[0,12]，故A 正确；∁U A ={x|x <0或x >12}，∁U B ={x|x <0}， ∴∁U A ⊇∁U B ，故B 错误； A ∪B =[0,+∞)=B ，故C 正确； ∁B A ={x|x >12}=(12,+∞).故D 正确．故选：ACD ．11.答案：ABC解析：解：对于A ：函数f(π−x)+f(x)=0，所以函数f(x)的图象关于(π2,0)对称，故A 正确； 对于B ：函数f(x +π)=f(x)，故B 正确；对于C ：由于函数的最小正周期为π，且x →±π2时，f(x)→±∞，故函数的值域为R ，故C 正确； 对于D ：由于函数f(x)=sinxcos2x cosx，故f′(x)=cos2x−sin 22xcos 2x=cos 22x+cos2x−1cos 2x，当x ∈(0,π4)时，cos2x ∈(0,1)，而cos2x ∈(0,12)时，cos 22x +cos2x −1<0，所以函数f(x)在(0,π4)上不单调递增，故D 错误； 故选：ABC ．直接利用函数的性质单调性，周期性和函数的额值域的应用和函数的求导判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性和函数的额值域的应用，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.答案：AC解析：解：棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BC 1(含端点)上运动，对于A ，B 1C ⊥BC 1，CD ⊥BC 1，B 1C ∩CD =C ，B 1C 、CD ⊂平面CDB 1，∴BC 1⊥平面CDB 1，∵B 1D ⊂平面CDB 1，∴B 1D ⊥BC 1， 同理，B 1D ⊥A 1C 1，∵A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B ，∵A 1P ⊂平面A 1C 1B ，∴A 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 对于B ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动，BC 1//AD 1，BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1，∴BC 1//平面ACD 1，∴P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系， D 1(0,0，0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)， D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，2)， 设平面D 1AC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， ∴P 到平面D 1AC 的距离d =|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=2√3=2√33， ∴三棱锥D 1−APC 的体积为：V D 1−APC =V P−ACD 1=13×S △ACD 1×d =13×12×√22+22×√22+22×sin60°×2√33=43，故B 错误；对于C ，∵AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，AD 1∩CD 1=D 1，BC 1∩A 1B =B ，∴平面AD 1C//平面BC 1A 1，∵A 1P ⊂平面BC 1A 1，∴A 1P//平面ACD 1，故C 正确； 对于D ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动， ∴当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3，故D 错误． 故选：AC ．对于A ，推导出B 1D ⊥BC 1，B 1D ⊥A 1C 1，从而B 1D ⊥平面A 1C 1B ，进而A 1P ⊥B 1D ，；对于B ，推导出BC 1//平面ACD 1，从而P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥D 1−APC 的体积为43；对于C ，由AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，得平面AD 1C//平面BC 1A 1，从而A 1P//平面ACD 1；对于D ，当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3．本题考命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．13.答案：5解析：解：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r， 所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，故答案为：5．由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r，所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，得解．本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．14.答案：6解析：解：如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ． 则AE =12AB ，AF =12AC ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =12(42−22)=6． 故答案为：6．如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC.利用三角形外心的性质可得AE =12AB ，AF =12AC.再利用数量积的定义即可得出．本题考查了三角形外心的性质、数量积的定义，属于中档题．15.答案：33解析：由双曲线方程可知，，则，因为是双曲线上一点，所以，又，所以或.又，所以．考点：双曲线定义、标准方程及简单的几何性质．16.答案：5解析：解：函数f(x)=3sinx +4cosx5(35sinx +45cosx)， 令cosθ=35，sinθ=45，θ∈[0,2π)．则由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值为5， 故答案为：5．由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，再根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值． 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，所以：sinA =45，由于：2cosC =sinB =sin(A +C)， 2cosC =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：tanC =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：tanC =2， 所以：sinC =2√55，cosC =√55， 由正弦定理得：asinA =csinC ，解得：c =5√22， 由于：2cosC =sinB ， sinB =2√55， S △ABC =12acsinB =12×5√22×√10×2√55=5解析：(Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积．本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．18.答案：解：(1)∵函数f(x)的图象关于y 轴对称，∴a −1=0且a +b =0， 解得a =1，b =−1， ∴f(x)=x 2，∴S n =f(n +1)−1=(n +1)2−1=n 2+2n即有a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，a 1=S 1=1也满足， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得b n =2n+12n，T n =32+522+723+⋯+2n−12n−1+2n+12n，①∴12T n =322+523+724+⋯+2n−12n+2n+12n+1，②①−②得12T n =32+222+223+224+⋯+22n −2n+12n+1=32+2×12[1−12n−1]1−12−2n+12n+1=32+2−12n−1−2n+12n+1=72−2n+52n+1．∴T n =7−2n+52n．解析：(1)依题意，可求得a =1，b =−1，从而得S n =n 2，于是可求得a 1及a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，观察即可求得数列{a n }的通项公式； (2)由(1)得b n =2n−12n，利用错位相减法可求得T n =5−2n+52n．本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题．19.答案：解：(1)由列联表可得K 2=100×(16×26−14×44)230×70×60×40≈0.7937<2.706．所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关．(2)依题意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×1660=4(人)，女性市民有15×4460=11(人)． (3)(i)由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60100=35，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为35． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B(3,35)，所以P(X =k)=C 3k⋅(35)k (25)3−k (k =0,1，2，3)． 从而X 的分布列为： X 0123P8125361255412527125(ii)E(X)=np =3×35=95；D(X)=np(1−p)=3×35×25=1825．解析：(1)计算K 2，与2.706比较大小； (2)根据各层的人数比例计算；(3)求出X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差．本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题．20.答案：证明：(Ⅰ)∵在直角梯形AA 1B 1B 中，∠A 1AB =90°，A 1B 1//AB ，AB =AA 1=2A 1B 1=2，直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到， ∴∠A 1AB =∠A 1AC =90°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ， ∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ， 又∵AC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A ， ∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，由已知A 1C 1//AC ，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵AP ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AP ． 解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC ，AB ，AA 1两两垂直，分别以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系， 由已知得AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=2，∴A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，B 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)， ∵M 为线段BC 的中点，P 为线段BB 1的中点， ∴M(1,1，0)，P(0,32,1)，平面ABM 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面APM 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,−2,3)， 由图知二面角P −AM −B 的大小为锐角， 设二面角P −AM −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√17=3√1717， ∴二面角P −AM −B 的余弦值为3√1717． 解析：(Ⅰ)推导出AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1，从而AC ⊥平面AA 1B 1B ，由A 1C 1//AC ，知A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，由此能证明A 1C 1⊥AP ．(Ⅱ)以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P −AM −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.答案：解：(1)①由已知得 ， ， ，联立解得 ．椭圆M 的方程为 ．②直线AB 的斜率为定值 .理由如下：由已知直线 代入椭圆 的方程消去 并整理得所以，从而同理，因为所以为定值；(2)直线方程为，联立，得，直线方程为：，联立，得，，令，则，当且仅当，即时，取“”，所以 的最大值为 ．解析：(1)①由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系，计算即可得到；②设出直线PA 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，由化简可得结论；(2)分别求出直线TB ，TC 的方程，代入椭圆方程，求得交点E ，F 的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．22.答案：解：(1)因为f(x)=ax 3+bx ，所以f′(x)=3ax 2+b ．又因为当x =1时，f(x)的极值为−2，所以{a +b =−23a +b =0，解得a =1，b =−3．(2)由(1)可得f(x)=x 3−3x ，则f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f′(x)=0，得x =±1，当x <−1或x >1时f′(x)>0，f(x)单调递增， 当−1<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以当x =−1时f(x)取得极大值，f(−1)=2， 当x =1时f(x)取得极小值，f(1)=−2， 大致图象如图所示：要使方程f(x)=k 恰有1个解，只需k >2或k <−2． 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．解析：(1)求出f′(x)=3ax 2+b.通过x =1时，f(x)的极值为−2，得到{a +b =−23a +b =0，求解即可．(2)化简f(x)=x 3−3x ，求出f′(x)，得到极值点x =±1，判断函数的单调性以及极值，画出图形，然后求解方程f(x)=k 恰有1个实数根，实数k 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．。

2021届河北衡水中学高三三轮复习数学试题一、单选题1．已知集合321x A xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】先解分式不等式，化简集合A ，再由A B ⊆，即可列出不等式求出结果.【详解】因为{}3322220012111x x x x A xx x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫---=≤=≤=≤=-<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬+++⎩⎭⎩⎭⎩⎭， 又{}221B x a x a =-<<+，A B ⊆，所以21212a a -≤-⎧⎨+>⎩，解得112a <≤.故选：B.【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型.2．下列命题中，正确命题的个数是①若x ，y ∈C ，则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==； ②若a ，b R ∈且a b >，则ai b i ；③若220x y +=，则0x y ==． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【详解】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0. 【解析】复数的有关概念.3．已知01a b <<<，下列不等式成立的是（ ）A ．1123a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11log log 32ab <C ．1123log log a b>D ．131log 2ab ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】C【分析】直接利用函数的性质，即指数函数，对数函数和幂函数的单调性判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】解析：因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，b y x =在()0,∞+上单调递增，所以111223abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；取13a =，12b =，则11log 1log 32a b ==，故B 错误；因为01a b <<<，所以ln ln 0a b <<，即ln ln 0a b ->->，由110ln 2ln 3>>，得ln ln ln 2ln 3a b -->，即1123log log a b >，故C 正确；画出指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =的图象(如图所示)，设其交点坐标为()00,x y ，则001x <<，取001a x b <<<<，由图象可知，0131log 2ay b ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C.4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.搜索指数越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的统计图.根据该统计图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差D ．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值 【答案】D【分析】根据统计图表信息，逐项判定，即可求解.【详解】统计图显示，近半年来该关键词的搜索指数的变化没有周期性，排除选项A ； 统计图显示，近半年来该关键词的搜索指数的变化，整体减弱不显著，排除选项B ； 统计图显示，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，故10月的方差大于11月的方差，排除选项C ；统计图显示，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于1000，该月平均值大于1000，2018年1月关键词的搜索指数大多低于10000，该月平均值小于10000，所以D 正确. 故选：D .5．在如图所示中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可为A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知a ，b 同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论．【详解】根据指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知a ，b 同号且不相等，则二次函数2y ax bx =+的对称轴02bx a=-<在y 轴左侧，又2y ax bx =+过坐标原点， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题．6．“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．16【答案】B【分析】利用排列组合与概率的定义，进行计算即可【详解】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P == 故选：B7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且)1n n S a +=(n *∈N ).记1n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n项和，则使n T > ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】根据,n n S a 之间的关系证明{}n a 为等比数列，然后再证明{}n b 也是等比数列，由此求解出n T .根据不等式结合指数函数单调性求解出n 的取值范围，从而确定出n 的最小整数值. 【详解】解析：由)1n n S a +=，可知)111n n S a +++=∴)()1110n n n n S S a a ++-+-=1n n a +=.1n =时，)111a a +=∴11a =，∴0n a ≠，∴1n n a a += ∴数列{}n a 是以1.∴21122112n n n n n n n n b a a a b a a a +++++====⎝⎭.又112b a a ==， ∴数列{}n b12为公比的等比数列.∴112111212nn nT ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦-.又n T >∴1631264n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即61112642n ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴6n >.又n *∈N ，∴n 的最小值为7. 故选：C .8．P 为双曲线22149x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，且120PF PF ⋅=，直线2PF 交y 轴于点A ，则1AF P ∆的内切圆半径为A ．2B ．3C ．32D 【答案】A【详解】分析：根据题意，由双曲线的标准方程可得a 的值，设1APF ∆的内切圆半径为r ，由直角三角形的性质分析可得112PF PA AF r +-=，由双曲线的几何性质分析2124AF AF r -=-，由图形的对称性知2r-4=0，即可得答案. 详解：根据题意，双曲线22149x y -=，其中2a =，设1APF ∆的内切圆半径为r ，12PF PF ⊥，∴2124AF AF r -=-，由图形的对称性知21AF AF =， 即240r -= ∴2r.故选：A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质、双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆公式. 二、多选题9．函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω，ϕπ<)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得图像对应的函数是奇函数 C ．若把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图像对应的函数在[],ππ-上是增函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，则a 【答案】AB【分析】由五点法求解析式可判断A ；利用三角函数的平移变换原则即可判断B ；利用三角函数的平移伸缩变换可判断C ；利用三角函数的单调性以及最值即可判断D.【详解】解析：由题图，知1732422T πππ=-=，∴6T π=，∴2163πωπ==.∵()222sin 23f ππϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2232k ππϕπ+=+(k ∈Z )，即26k πϕπ=-+(k ∈Z )， ∵ϕπ<，∴6πϕ=-，∴()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；把()f x 的图像向左平移2π个单位，所得图像对应的函数解析式为12sin 2sin 3263xy x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，故B 正确：把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，得到图像对应的函数解析式为12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵[],x ππ∈-，∴12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],ππ-上不是增函数，故C 错误；,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，令()()332x f f x g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 2sin 2sin 2666x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()12g x ≤，所以a 2，故D 错误. 故选：AB.10．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过M 点且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列结论中正确的是（ ） A ．k 的取值范围是()1,1- B ．12128y y x x =C ．存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD ．若三角形ABF 的面积为AB 的倾斜角为6π或56π 【答案】CD【分析】依题意直线l 的方程为()2y k x =+，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据根的判别式判断A ，利用韦达定理判断B ；由0FA FB ⋅=判断C ；121||2MF FBA MFA B S S S MF y y =-=⋅⋅-△△△，求出k ，即可判断D ；【详解】解：依题意得，()2,0F ，()2,0M -，直线l 的方程为()2y k x =+，联立得()282y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得()22224840k x k x k +-+=，因为直线l 与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，所以()22240,48160,k k k ⎧≠⎪⎨-->⎪⎩解得11k -<<且0k ≠，故A 选项错误；因为212244k x x k==，所以22121288644256y y x x =⋅=⨯=，易知1y ，2y 同号，所以1216y y =，于是12124y y x x =，故B 选项错误； 由于()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，所以()2121212228416244241632k x x x x y y k FA k FB -=-+++=-⋅++=-⋅，显然当212k =时，0FA FB ⋅=，此时AFB ∠为直角，即以AB 为直径的圆经过点F ，故C 选项正确； AFB 的面积121||2FB MF M A S S S MF y y =-=⋅⋅-=△△()()()1212128224y y k x k x k x x k +=+++=++=，1216y y=，所以S=，令S =k =，所以直线AB 的倾斜角为6π或56π，故选项D 正确.故选：CD.11．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB=，AD =E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点G ，DF 交AC 于点H .现分别将ABE △，CDF 沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面BFDE 同侧，则下列命题为真命题的是（ ） A ．当平面//ABE 平面CDF 时，//AC 平面BFDE B ．当平面//ABE 平面CDF 时，//AE CD C ．当A ，C 重合于点P 时，PG PD ⊥D ．当A ，C 重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π 【答案】AD【分析】由题意分两类画出图形，利用线面平行的判定和性质判断A ；利用反证法说明B 错误；求出线段长度，根据不满足勾股定理说明C 错误；求出三棱锥中的直角三角形，利用补形法求得外接球的表面积判断D ． 【详解】当平面//ABE 平面CDF 时，如图，由已知矩形ABCD 中，10AB =，AD =E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 可得AC BE ⊥，AC DF⊥，且求得AG GH CH == 则BE ⊥平面AGH ，DF ⊥平面CHG ，由//BE DF ，可得平面AGH 与平面CHG 重合，即四边形AGHC 为平面四边形， 平面平面//ABE 平面CDF ，//AG CH ∴，又AG CH =，可得四边形AGHC 为平行四边形，则//AC GH ，可得//AC 平面BFDE ，故A 正确；假设//AE CD ，则四边形AEDC 为平面图形，而//GH AC ，可得//GH ED ， 即四边形GHDE 为平行四边形，可得GH ED =，与GH DE ≠矛盾，∴假设错误，故B 错误；当A 、C 重合于点P 时，如图，PG =10PD GD ==，不满足222PG PD GD +=， PG ∴与PD 不垂直，故C 错误；在三棱锥P DEF -中，PE PF ==10EF =， EPF ∴△为直角三角形，PE ED ==10PD =，PED ∴为直角三角形，而FPD 为直角三角形，∴由补形法可知，三棱锥P DEF -则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为24150ππ⨯=，故D 正确． ∴命题正确的是AD ．故选：AD.12．已知函数()3e e x x x af x x -=-+-，则下列结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点 【答案】ACD【分析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.【详解】因为对于任意x ∈R ，都有()()()()3e e x x x x a xf x f -=-+---=--， 所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确.又()2e e 3x xf x x a -+'=+-，令()f x a '=-，得2e e 30x x x -++=()，因为e 0x >，e 0x ->，所以方程()无实数解，即曲线()y f x =的所有切线的斜率都不可能为a -，故B 错误. 若()f x 为增函数，则fx 大于等于0，即2e e 3x x a x -≤++，2e e 32x x x -++≥，当且仅当0x =时等号成立，所以2a ≤，故C 正确.令0f x ，得0x =或2e e x x x a x--+=(0x ≠).设()2e e x x g x x x --=+， 则()()()21e 1e 2x x x x x xg x -'=-+++，令()()()1e 1e x xx x t x -=-++， 则()()e e x xx x t -='-.当0x >时，()0t x '>，当0x =时，()0t x '=，当0x <时，()0t x '>，所以函数()t x 为增函数，且()00t =，所以当0x >时，()0t x >， 从而0g x，()g x 单调递增.又因为对于任意0x ≠，都有()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 综上，()g x 在,0上单调递减，在0,上单调递增，则直线y a =与y g x 最多有2个交点，所以()f x 在R 上最多有3个零点，故D 正确.故选ACD . 三、填空题13．已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-，则a 8＝____．【答案】180【分析】将1x +写成()21x --， 利用二项展开式的通项公式求出通项，令1x -的指数为8，求出a 8．【详解】解：∵()()1010121x x +=--⎡⎤⎣⎦∴其展开式的通项为()()10110121rrr r r T C x -+=--令r ＝8得a 8＝4C 108＝180 故答案为：18014．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为_____. 【答案】12【详解】设AB 的长为x ，因为AC =AB BC +，BE =BC CE +，所以·AC BE = ()AB BC +⋅()BC CE +=2AB BC AB CE BC BC CE ⋅+⋅++⋅=1cos18022xx x +⋅+1+1cos1202x⋅=1， 解得12x =，所以AB 的长为12. 【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.15．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为5b，则该椭圆的离心率为________.【答案】14【分析】根据题意，利用面积关系建立等式，即可求出离心率.【详解】由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S bc =，周长为22a c +.由题意可得1(22)25bS bc a c ==+⋅，得5a c c +=，所以14c e a ==，因此该椭圆的离心率为14.故答案为：14.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是建立与,a c 相关的方程，属于基础题. 四、双空题16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S an bn =+(a ，b 为常数)，且92a π=，则117a a +=___________；设函数()22sin 22sin 2xx f x =+-，()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为___________. 【答案】π 17【分析】化简函数解析式得()sin 2cos 1f x x x =++，由2n S an bn =+可得{}n a 是首项为a b +，公差为2a 的等差数列，又92a π=，所以1792n n a a a π-+==，即17n n y y -+=2，再首尾相加求和即可得解.【详解】当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn a n b n na a b -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 又当1n =时，11a S a b ==+，满足2n a na a b =-+，所以2n a na a b =-+，所以数列{}n a 为等差数列，故11792a a a π+==. 由题意得()sin 2cos 1f x x x =++，所以()()1111sin 2cos 1sin 22cos 12a a a a ππ=+++-+-+=，同理，2162y y +=，…，8102y y +=.又易得()991y f a ==， 所以数列{}n y 的前17项和为28117⨯+=. 故答案为：①π；②17【点睛】关键点睛：利用2n S an bn =+可得{}n a 为等差数列，且可求得通项，化简函数解析式得()sin 2cos 1f x x x =++，再首尾相加求和即可得解，属于中档题 五、解答题17．如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N （异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2（单位:千米)．如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远)．【答案】当AMN ∠为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 【详解】设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，．因为MN ＝2,所以AM ＝sin(120°－θ) ．在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ).AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM·MP·cos ∠AMP ＝sin 2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ)cos(60°＋θ)＝sin 2(θ＋60°)－sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值.答:设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．18．已知正项等差数列{}n a 中，1533a a =，2225a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n a ∈N ，243n n n b a -=+，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）当2d =时， 21n a n =+；当43d =时，4733n a n =+；（2）124136312n n n n T -=++-．【分析】（1）正项等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列方程组求解首项与公差即可得通项公式；（2）依题意确定通项公式，再用分组求和法求{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】（1）设正项等差数列{}n a 的公差为d ，因为2225a =，所以25a =，所以15a d +=，又1533a a =，所以()11433a a d +=，得2d =或43d =， 当2d =时，13a =，此时()32121n a n n =+-=+； 当43d =时，1113a =，此时()1144713333n a n n =+-=+；（2）因为n a ∈N ，所以21n a n =+因为243n n n b a -=+，所以()24321n n b n -=++，所以()10124334354374321n n T n --=+⨯++⨯++⨯++++()()11432143142nn n -++=+⨯-124136312n n n -=++-． 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．19．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证明四边形CDNM 是平行四边形，于是//GF DN ，//GF CM ，即可得到线面平行；（2）要使多面体ABCDE 体积最大，即BH最大，此时AB BC ={},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz -，于是可以得到(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D ，(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判断二面角是钝角还是锐角． 【详解】（1）分别取,AB EB 中点,M N ，连结,,CM MN ND . 在梯形ACDE 中，//DC EA 且12DC EA =，且,M N 分别为,BA BE 中点 ∴//MN EA ，12MN EA =∴//MN CD ，MN CD = ∴四边形CDNM 是平行四边形 ∴//CM DN 又14EG EB =，N 为EB 中点，∴G 为EN 中点， 又F 为ED 中点 ∴//GF DN ∴//GF CM又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ∴//GF 平面ABC （2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H .平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE 平面ABC AC =，BH ⊂平面ABC ，BH AC ⊥， ∴BH ⊥平面ACDE ∴BH 即为四棱锥B ACDE -的高，又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH最大，此时AB BC ==过点H 作//HP AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，以{},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz - 则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D 设1111(,,)n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则 110n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11111020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩，取1(1,1,0)n =- 设2222(,,)n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则 110n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222222020y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取2(3,1,2)n = 所以1212127cos ,7n n n n n n ⋅==⋅， 由图，二面角A BE D --为钝二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为【点睛】本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角．20．为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数为x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行了研究，收集了11块试验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx =+作为y 与x 的回归方程类型，令2i iu x =，i i v y=，相关统计量的值如下表：由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到关于的线性回归方程ˆˆv u βα=+中的ˆ0.03β=，求y 关于x 的回归方程； （3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01）．附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=- 5.48≈． 【答案】（1）10（2）212.503ˆ0.yx =+（3）9.13【分析】（1）根据残差图发现10号与其它编号的数据差异明显，故可疑数据的编号为10；（2）先去掉10号的数据，然后分别求出u 与v ，即可得到v 关于u 的线性回归方程，进而得到y 关于x 的回归方程；（3）先求出w 的表达式，然后利用基本不等式可以求出最大值．【详解】（1）可疑数据为第10组（2）剔除数据()10,0.25后，在剩余的9组数据中，11101600100501010i i u u u =--===∑，1110144441010i i v v v =--===∑所以0.03ˆv u α=-⋅=4500.03 2.5-⨯=， 所以v 关于u 的线性回归方程为0.03.5ˆ2vu =+ 则y 关于x 的回归方程为212.503ˆ0.yx =+（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量的预报值w 当且仅当2.50.03x x =时，等号成立，此时9.13x ===， 即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83.【点睛】本题考查了线性回归方程的知识，考查了基本不等式求最值，属于中档题． 21．已知函数()2ln()f x ax b =+，其中a ，b R ∈．（I ）若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（Ⅱ）设1b =，若关于x 的方程()222()21f x a x a a x a =++++有两个不相等的实根，求a 的最大整数值．（参考数据：5ln 0.2234≈） 【答案】（Ⅰ）4e （Ⅱ）–1【分析】（I ）设出直线y x =与()y f x =相切的切点坐标为()()00,2ln P x ax b +，然后对函数进行求导，这样可以得到()0021af x ax b'==+，切点又在直线y x =上，这样可以得到0222ln 2b a ax a a a =-=-，则有2222ln 2(0)ab a a a a =->，设函数22()22ln 2(0)g a a a a a =->，求导，判断函数()g a 的单调性，最后求出函数()g a 的最大值，也就求出ab 的最大值；（Ⅱ）方法1：原方程化为22ln(1)(1)(1)ax ax a ax +=+++，令1ax t +=进行换元，方程等价于22ln (0)t t at t =+>，构造函数2()2ln (0)p t t t at t =-->，原问题等价于函数()p t 需有两个不同的零点．对函数()p t 进行求导，根据函数()p t 的导函数的单调性，可以知道()0p t '=在()0+∞，上存在唯一实根0t ，这样可以判断出函数()p t 的单调性，然后根据a 的正负性进行分类讨论，根据函数的单调性最后求出a 的最大整数值．方法2：原方程即为22ln(1)(1)(1)ax ax a ax +=+++，设1ax t +=， 则原方程等价于关于t 的方程22ln 0(0)t t at t --=>有两个不同的解，即关于t 的方程22ln (0)t t a t t -=>）有两个不同的解．构造函数22ln ()t t h t t-=，求导得，得到函数的单调性，最后求出a 的最大整数值．，【详解】解：（I ）设直线y x =与()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b +．因为2()a f x ax b '=+，所以()0021a f x ax b '==+ 所以02(0)ax b a a +=>．又因为P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=所以()002ln 2ln2x ax b a =+=，0222ln 2b a ax a a a =-=-， 因此2222ln 2(0)ab a a a a =->. 设22()22ln 2(0)g a a a a a =->，则由()24ln22(12ln2)0g a a a a a a '=-=->解得0a <<. 所以()g a在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减， 可知()g a的最大值为e4g =⎝⎭， 所以ab 的最大值为4e.（Ⅱ）方法1：原方程即为22ln(1)(1)(1)ax ax a ax +=+++， 设1ax t +=，则上述方程等价于22ln (0)t t at t =+>．设2()2ln (0)p t t t at t =-->，则函数()p t 需有两个不同的零点． 因为2()2p t t a t'=--在()0+∞，上单调递减， 且()0p t '=在()0+∞，上存在唯一实根0t ， 即0()0p t '=，即20022at t =-．所以当()00,t t ∈时，()0p t '>，当()0,t t ∈+∞时，()0p t '<． 因此()p t 在()00,t 上单调递增，在()0,t +∞上单调递减． 若0a >，则0(0,1)t ∈．()()2222000000000()2ln 2ln 222ln 20p t p t t t at t t t t t ≤=--=---=+-<，不合题意，舍去． 若0a <，则0(1,)t ∈+∞．当(0,1)t ∈时，则2()2ln 2ln ||p t t t at t a =--<+， 取||21et α-=，则()10p t <；当(1,)t ∈+∞时，则222()2ln 2(1)(2)p t t t at t t at t a t =--<---<-+-， 取22||t a =+，则()20p t <．由此102t t t <<，且()10p t <，()20p t <.要使函数2()2ln (0)p t t t at t =-->有两个不同的零点，则只需()200002ln 0p t t t at =-->，所以只需()()2220000002ln 222ln 20p t t t t t t =---=+->.因为()20002ln 2p t t t =+-是关于0t 的增函数．且(1)10p =-<，5572ln 04416p ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以存在51,4m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0p m =，所以当0t m >时，()00p t >． 因为0022a t t =-是关于0t 的减函数， 所以002222a t m t m=-<- 又因为292,010m m ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以a 的最大整数值为1-．方法2：原方程即为22ln(1)(1)(1)ax ax a ax +=+++，设1ax t +=， 则原方程等价于关于t 的方程22ln 0(0)t t at t --=>有两个不同的解， 即关于t 的方程22ln (0)t t a t t -=>）有两个不同的解． 设22ln ()t t h t t -=，则2222ln ()t t h t t '--=. 设2()22ln m t t t =--，由0t >知2()20m t t t'=--<，所以2()22ln m t t t =-- 在区间(0,)+∞上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =.当()00,t t ∈时，()0m t >，()0h t '>；当()0,t t ∈+∞时，()0m t <，()0h t '<．所以()h t 在()0,t 上单调递增，在()0t +∞，上单调递减， 所照()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭． 要使得关于t 的方程22ln (0)t t a t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <. 当1a =-时，设2()2ln p t t t t =-+，则2()21p t t t '=-+，可知()p t在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎝⎭单调递减． 又(1)0p =，0p >⎝⎭，2(e)2e e 0p =-+<，()p t 有两个不同的零点，符合题意．所以a 的最大整数值为–1．【点睛】本题考查了导数的几何意义、考查了利用用导数，根据方程根的情况求参数取值范围问题，转化思想、构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.22．已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上异于左、右顶点A 、B 的任一点，当12PF F △12PF F △为正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设PB 交直线4x =于M ，AM 交椭圆C 于Q ． （i ）证明：AP AQ k k ⋅为定值； （ii ）求APQ 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）92.【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）（i ）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，求出点M 的坐标，可得出AQ AM k k =，再由()2211344y x =-可求得AP AQ k k ⋅的值； （ii ）设直线PQ 的方程为x my t =+，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由14AP AQ k k ⋅=-求出1t =，可得出APQ 的面积关于m 的关系式，利用换元法结合函数单调性可求得APQ 面积的最大值． 【详解】（1）由题意可得：()12maxPF FS bc =△由12PF F △为正三角形可得：2a c =，则b =，解得：2a =，b =1c =，所以，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）（ⅰ）证明：由题意设()11,P x y 、()22,Q x y ， 又()2,0A -、()2,0B ，112AP k y x +=，112BP y k x =-，直线BP 的方程为()1122y y x x =--， 在直线BP 的方程中，令4x =，可得1122y y x =-，则点1124,2y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以，()1111224232AQAMy x y kk x -===+-， 因为点P 在椭圆C 上，则2211143x y +=，可得()2121344x y -=，所以()()()()221111221111341423243434AP AQx y y y k kx x x x -⋅=⋅===-+---； （ⅱ）设直线PQ 的方程为x my t =+，联立223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得()2223463120m y mty t +++-= 由韦达定理122212263431234mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由()()12121212122224AP AQ y y y y k k x x my t my t ⋅=⋅==-++++++，整理得()()()()2212124220m y y m t y y t ++++++=，即()()()()222224312622034m t m t t t m +--+++=+，易知直线PQ 不过点A ，则2t ≠-，整理可得10t -=，解得1t =.此时直线PQ 为的方程为1x my =+，()()22236363414410m m m ∆=++=+>，21211322APQS AF y y =⋅-=⨯=△， 今1λ，则221m λ=-，则218181313APQ S λλλλ==++△，设()13f λλλ=+，其中1λ≥，任取1λ、[)21,λ∈+∞，且12λλ>，()()()()()1212211212121212123111333f f λλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121λλ>≥，则120λλ->，121λλ>，()()12f f λλ∴>，所以，函数()f λ在[)1,+∞上单调递增，所以，当1λ=时，APQ 的面积取最大值92.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．。

河北省衡水中学2021届高三下学期三调考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={x|x 2−4x <0}，N ={x|m <x <5}，若M ∩N ={x|3<x <n}，则m +n 等于（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B【解析】由已知M ={x|0<x <4}，又N ={x|m <x <5}，M ∩N ={x|3<x <n}，所以m =3,n =4，m +n =7，故选B ．2. 已知i 是虚数单位，1−z 1+z=2i ，则|z|等于（ ）A. 1B. √2C. √3D. √5 【答案】A 【解析】因为1−z1+z=2i ，所以1−z =2i(1+z)=2i +2iz ，z =1−2i1+2i =(1−2i)2(1+2i)(1−2i)=−3−4i 5=−35−45i ，|z|=√(−35)2+(−45)2=1，故选A ． 3. 已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则乙同学成绩的方差为（ ）A.1432B.1434C.1438D.14316【答案】B【解析】由茎叶图，甲的平均数为x̅=71+80+81+84+85+85+87+998=84，因此乙的平均值为86，即86=74+82+(80+m)+86+87+89+92+858，解得m =4，所以乙的方差为s 2=18[(74−86)2+(82−86)2+(84−86)2+(86−86)2+(87−86)2+(88−86)2+(92−86)2+(95−86)2]＝1434，故选B ．4. 已知{a n }是等比数列，且a 2+a 6=3，a 6+a 10=12，则a 8+a 12等于（ ） A. 12√2 B. 24 C. 24√2 D. 48 【答案】B 【解析】a 6+a 10a 2+a 6=a 2q 4+a 6q 4a 2+a 6=q 4=123=4，q 2=2，a 8+a 12=a 6q 2+a 10q 2=q 2(a 6+a 10)=2×12=24，故选B ．5. 已知f(x)=x 2x −1,g(x)=x2，则下列结论正确的是（ ） A. ℎ(x)=f(x)+g(x)是偶函数 B. ℎ(x)=f(x)+g(x)是奇函数 C. ℎ(x)=f(x)g(x)是奇函数 D. ℎ(x)=f(x)g(x)是偶函数 【答案】A6. 已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB,CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率是2，直线AC 的斜率为k ，则|k|等于（ ）A. 2B. 32C. 52D. 3【答案】B【解析】 由题意得，假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则A(c,b 2a),B(c,−b 2a)，所以|AB|=2b 2a,|BC|=2c ，所以|k|=|AB||BC|=2b 2a2c=b 2ac =c 2−a 2ac=e −1e =32，故选B 。

河北省衡水市 2021 届新高考数学教学质量调研试卷、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。

1．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB,AC .已知以直角边 AC, AB 为直径的半圆的面积之比为 1 ， 4 记 ABC ，则 sin2 （ ）详解】 5曲线 C 有相同的焦点 .设 P 为抛物线与双曲线 C 的一个交点， 且cos PF 1F 2 75，则双曲线 C 的离心率为253 C ．54 D ．5答案】 D 解析】 分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边 AB, AC 的长度之比，从而可知 tanAC AB 121，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos，由二倍角公式即可求出 sin2 .解：由题意知0,2，以 AB 为直径的半圆面积S 12AB 2 ，2以 AC 为直径的半圆面积S 2AC 22，则S S 21AC 2 AB2，即 tanAC AB2sin2cos 1 sin 由tansin 1 ，得cos2cos故选 :D.【点睛】sin22sin cos考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值2 x 2．已知双曲线C: 2a 22b y 22 1 a2 0,b 0 的左、右焦点分别为 F 1、 F 2 ，抛物线 y 22pxp 0 与双25本题考查了同角三角函数的基本关系，5 5 ，所以 25 5A ． 2或 3B ． 2 或3C． 2或 3 D ．2或3【答案】 D 【解析】 【分析】55设 PF1 m ， PF2 n ，根据 cos PF 1F 2 7 和抛物线性质得出 PF 2 7 m ，再根据双曲线性质得出 m 7a ，n 5a ，最后根据余弦定理列方程得出 a 、 c 间的关系，从而可得出离心率． 【详解】故选： D.点睛】 本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．3．某几何体的三视图如图所示 （单位： cm ），则该几何体的体积等于（ ） cm 3过 P 分别向 x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、 N ， 不妨设 PF 1m ， PF 2 n ，则 MF 1 PN PF 2 PF 1 cos PF 1F 25m 7QP 为双曲线上的点，则 PF 1又 F 1F 2 2c ，在 PF 1F 2 中，整理得 c 2 5ac 6a 2 0 ，即PF 2 2a ，即由余弦定理可得2e 5e 6 0 ，Qe 5m7 49a 2 2a ， 4c 2 得 m 7a ， 25a 2 ，2 7a 2c1，解得 e 2或 e 3.n 5a ，2 3 2 3 A ．4B ．4C ． 6D ．63 2 3 2 【答案】 D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，V=V 三棱柱 +V 半圆柱 = ×2×2×1+ ?π ?2×11=（ 6+1.5 π）cm 1．2故答案为 6+1.5 π． 点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 4．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给， 实现了行业的良性发展 .下面是 2012 年至 2016 年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说 法错误的是（ ）A ． 2012 年至 2016 年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ． 2016年我国数字出版业营收超过 2012 年我国数字出版业营收的 2倍C ． 2016年我国新闻出版业营收超过 2012 年我国新闻出版业营收的 1.5倍D ． 2016 年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一【答案】 C 【解析】【分析】 通过图表所给数据，逐个选项验证 .【详解】 根据图示数据可知选项 A 正确；对于选项 B ： 1935.5 2 3871 5720.9，正确；对于选项 C：116635.3 1.5 23595.8，故 C 不正确；对于选项 D ： 23595.87865 5720.9 ，正确 .选 C.3【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单 .5．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1 个、黑球2 个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1 ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2，则（ ）A ． E 1 E 2 ， D 1 D 2B ． E 1 E 2 ， D 1 D 2C ． E 1 E 2 ，D 1 D 2 D ．E 1 E 2 ， D 1 D 2【答案】 B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系 【详解】1可能的取值为 0,1,2 ； 2可能的取值为 0,1，4 1 4 1 4 P 10 ，P 12，P 1 11999 9 922 4 2 1 2 44 4故E 1，D 1 02221239999 9.2 1 1，2 122， P 2P 2 13 2 33 2 322 1 2 2 4 2故E 2，D 2 0212333 9 9故E 1E 2， D 1 D 2. 故选 B .【点睛】离散型随机变量的分布列的计算， 应先确定随机变量所有可能的取值， 再利用排列组合知识求出随机变量 每一种取值情况的概率， 然后利用公式计算期望和方差， 注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区 别.上，且 AB//CD ，若正方体的六个面所在的平 B ． m n 2C ． m nD ． m n 86．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面则下列结论正确的是（A ． m n【答案】A【解析】【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得m,n 的值，即可比较各选项【详解】如下图所示，CE 平面ABPQ ，从而CE//平面A1B1P1Q1 ，∴ m 4，∵ EF / /平面BPP1B1 ，EF / /平面AQQ1A1，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴ n 4，∴结合四个选项可知，只有m n 正确.故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题7．已知VABC 的垂心为H ，且AB 6,BC 8,M 是AC 的中点，则uuuuruuur( )A．14【答案】A【解析】【分析】B．12 C ．10 D．8uuur uuur uuuur uuu ruuuuruuuruuuuruuur1 uuuruuuruuuruuur由垂心的性质，得到BH AC 0 ，可转化HM AC BM AC，又BM AC 2 (BA BC) (BC BA) 即得解.【详解】因为H 为VABC 的垂心，所以BH AC ，uuur 所以BH uuuruuuur0，而HMuuuruuuurBM ，uuu uuu uuur uuuu uuu uuuuuuu 所以HM AC (HB BM) AC BM AC 因为M 是AC 的中点，uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur 所以 BM AC (BA BC) (BC BA)1uuur 2 uuur 2 1(BC BA ) (64 36) 14 ．故选： A【点睛】 本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的 能力，属于中档题 .8．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是(1 A ．2【答案】 C 【解析】【分析】 根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：1的正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中截去四棱锥 B 1 ABCD 所形成的几何体，31 2 2 该几何体的体积为 V 13 12 1 .33 故选： C.点睛】25 C ．D ．36由图可知， 该几何体是在棱长为1 B ．3本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题详解】1i∵ i(3 z) 1 i ，∴ 3 z 1 i1 i ，i∴ z 2 i ，∴复数z 的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题A ．4 【答案】B 【解析】分析】uuu uuu uu uuu uuu uuuv可画出图形，根据条件可得2AC BC 3AO AC 2AO BOuuu uuu uu，从而可解出uuuv uuuv uuuv ，然后根据OA2BC AC 3BO BC 2BO AOuuu uuur uuur uuur uuu uuurAB 2 进行数量积的运算即可求出AC BC 2AO BO 2BO AO 8．【详解】如图：9．已知复数z 满足i(3 z) 1 i ，则z 的虚部为(B．C．–1 D．1答案】C解析】分析】利用复数的四则运算可得，即可得答案.10．点O 为ABC的三条中线的交点，且OAuuur uuurOB，AB 2，则AC BC的值为(B．8 C ．6 D．12点 O 为 ABC 的三条中线的交点uuur 1 uuur uuur 1 uuur AO (AB AC) (2AC 33 uuuv uuuv uuuv 2AC BC 3AO由 uuuv uuuv uuuv 可得： 2BC AC 3BO又因 OA OB ， AB 2，uuur uuur u uur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 AC BC (2 AO BO) (2BO AO) 2AO 2BO 2AB 8.故选： B 【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向 量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题答案】 D 解析】 分析】解得 x 1 ,1 (1,10) .10故选： Duuu uuu 1 uuur uuu BC) ， BO (BA 3 BC) uuu uuu uuuv AC 2AO BO uuu v uuuv 2BOu A u O uv ，由题得函数的定义域为( ,0) U(0,).因为 f ( x) f (x) ，所以 f (x) 为 (,0) U(0,) 上的偶函数，因为函数 y |1x| 1，y123 都是在 x|x 2所以函数 f (x) 在 (0, ) 上单调递减 . 因为 f (1) 3, f (lg x) 3f (1) ，所以 1 lg x1，且 lg x 0，详解】(0, ) 上单调递减 .11．已知函数 f (x) log 2 |x|x 123 ，则不等式 f (lg x) 3 的解集为(A ． 1 ,1010B ．1 10(10,1C ． (1,10)D ． 110,1(1,10)先判断函数的奇偶性和单调性， 得到 1 lg x 1 ，且 lg x 0 ，解不等式得解 .1 uuur uuur13(2u B u C urA C )考查函数的奇偶性和单调性的应用， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平答案】 C 解析】 分析】果. 【详解】tancos2 2cos 2sin 1 tan tan41 sin222 cos sin2sin cos1 tan所以 ，即 .44 故选 :C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数 ,难度较易 .、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。