河北省衡水市2021届新高考二诊数学试题含解析

数学参考答案一、选择题1.B 【解析】因为{02},{04}A x x B x x ==<<∣∣，{0,2,4,6,}C =±±±，所以{04}A B x x ⋃=<∣，所以(){0,2}A B C ⋃⋂=.2.A 【解析】因为2cos 2sin()2y x x π==+，所以由函数2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数2sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需向左平移4个单位.3.C 【解析】因为(1)y f x =+为偶函数，所以()y f x =的对称轴为1x =−.又因为()10f =，所以()y f x =的顶点坐标为(1,0).由222()24a a f x x ax b x b ⎛⎫=−+=−+− ⎪⎝⎭，得1,2(1)10,a f ab ⎧=⎪⎨⎪=−+=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩4.C 【解析】设公差为d ，由题意知()211311,22,a a d a a d ⎧++=⎪⎨=+=⎪⎩解得10,1a d =⎧⎨=⎩或18,5.a d =−⎧⎨=⎩当10,1a d ==时，46S =，当18,5a d =−=时，4434(8)522S ⨯=⨯−+⨯=−. 5.D 【解析】因为2233ππααπ⎛⎫−=+− ⎪⎝⎭，所以cos 23πα⎛⎫− ⎪⎝⎭cos 2cos 233a πππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−=−+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦223112sin 21333a π⎛⎫⎡⎤⎛⎫−−+=⨯−=− ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 6.A 【解析】由题图知函数的定义域为R 且()f x 为奇函数，所以排除C ，D 选项；B 选项中，()12cos 2f x x '=+，则(0)3f '=，不满足原点处切线斜率为0，排除B 选项；A 选项中，()1cos 2f x x '=−，则(0)0f '=，符合题意.7.B 【解析】作出函数()f x 的图象，如图中实线所示，由()()f a f b =可知，214log log 3a b =+，所以24log log 3a b +=，即222log log log ()3a b a b +==，所以8a b =.8.A 【解析】由*1(1),2n n a n S a n =−−∈N ，当1n =时，1112S a =−−，得114a =−；当2n ≥时，111111(1)(1)22n n n n n n n n n a S S a a −−−−−−+==−−−，即11(1)(1)2n nn n n na a a −=−+−+.当n 为偶数时，11(2)2n n a n −=−，所以112n n a +=−，当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n n n a a −+−⎛⎫=−+=−−+= ⎪⎝⎭，所以12n na =，所以122211,22a a −==，所以312342411112,,2222a a a a −+=⨯=−==，所以34991004310010011112,2222a a a a −+=⨯=⋯⋯−==，所以991001009911222a a −+=⨯=.因为123100S S S S ++++()()()()12345910069a a a a a a a a =−++−++−+++−+−2100111222⎛⎫−+++ ⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫−+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−=−−10011132⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 二、选择题9.ABD 【解析】因为{}n a 是递增数列，所以0d >.因为753a a =，所以5523a d a +=，所以5d a =，所以51430a a d d =−=−<，故A ，B 正确；又因为450a a d d d =−=−=，所以34S S =，且为n S 的最小值，故C错误；又()()184********,2B a a S a a a d S +==+==>=()4717702a a a +==，故D 正确10.AB 【解析】由题意得1()2xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与2()x a f x =+在区间[1,2020]上同增或同减.若同增，则10,220x x a a ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+⎩在区间[1,2020]上恒成立，即1,22,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥−⎩所以122a −−.若同减，则10,220x x a a ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+⎩在区间[1,2020]上恒成立，即20202020,122,a a ⎧⎛⎫−⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪−⎩无解，所以A ，B 选项符合题意. 11.AC 【解析】由8x π=为()f x 的一条对称轴，得842k ππωππ+=+⋅，即28,k k ω=+∈Z .又因为(]0,3ω∈，所以2ω=，所以()sin 22cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222x x =−1)tan 3x ϕϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.易知,4k k πϕπ≠+∈Z ，且3,4k k πϕπ≠+∈Z ，故A ，C 错误，B ，D 正确.12.BC 【解析】由题意得70,,6122x k k ωπωπϕϕπ−+=+=+∈Z ，即4132k ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又()f x （在区间2,23ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上至少存在两个最大值或最小值，且在区间,312ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则1k =，此时2,3πωϕ==，即公众号：潍坊高中()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为62x ππ<<，所以242333x πππ<+<，所以()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误；由5922063πππ⨯+=，所以59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确；因为44xππ−，所以min 52,()6364x f x f ππππ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭max 1sin ,()sin 162122f x f πππ⎛⎫⎛⎫=−=−=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最大值与最小值之和为12，故C 正确；将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向左平移6π个单位，得到sin sin cos 632y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即()cos g x x =，故D 错误.综上，B ，C 正确.三、填空題13.-2【解析】当2n ≥时；()()111222n n n n n n a S S a b a b b −−−=−=+⋅−+⋅=⋅；当1n =时，01122a S a b b ==+=⋅，所以0a b +=①.又25,9,a a 成等差数列，所以2518a a +=，即42218b b +⋅=②.由①②解得1,1a b =−=，所以2a b −=−.14.2【解析】2()sin cos 1sin()f x a x x a x ωωωϕ=+=++，所以()f x 的最大值为212a +=，解得3a =或3a =−（舍去），所以()3sin cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当2,62x k k ππωπ+=+∈Z 时，函数()f x 取得最大值，则当0x >时，前两个最大值分别为0k =和1k =.当1k =时，由262x ππωπ+=+，得773x πω=，所以3πω，所以ω的最小整数值为2.15.11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图所示.方程()()f x g x =在区间[-5,0)上有3个实根，故在区间[0,5]上有4个不同实根.当直线y kx =经过点()4,1时，14k =，经过点()5,1时，15k =.若在区间[0,5]上有4个根，则11,54k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.16.2 35,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，即2222cos b a c ac B −=−，所以22cos c ac B ac −⋅=，即2cos c a B a −=.由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A −=，即sin()2sin cos sin A B A B A +−=，所以sin()sin B A A −=，所以B A A −=或()B A A π−+=（舍去），所以B =2A ，即2BA=.因为3(0,)A B A π+=∈，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin cos sin sin 2cos sin sin sin sin sin 2b A a B A A A A A a b A B A A+=+=+=212cos 2cos A A +.令cos x A =，则322211181()2,,1,()402222x f x x x f x x x x x −⎛⎫'=+∈=−=> ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增。

河北省衡水市2021届新高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC V 面积的最大值是( )A ．5B ．15C ．10D ．5【答案】A【解析】【分析】 根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r 两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12s S ab C =，求出ABC V 面积的最大值. 【详解】ABC V 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得22212c a b ab =+-，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 44C C C π=∈=Q . QD 是AB 的中点，且1CD =，()()222,2CD CA CB CD CA CB ∴=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22242CD CA CB CA CB =++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ， 即222211542cos 2222b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=， 85ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立.ABC ∴V 的面积118sin 225S ab C =≤⨯所以ABC V 故选：A .【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.2．已知函数()ln a f x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D ．[)1,e - 【答案】C【解析】【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x +'== 2x a x+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意.当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．3．函数y=2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．4．复数432i z i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简出z ，即可得出虚部.【详解】 解：432i z i +=-=()()()()43251012225i i i i i i +++==---+-， 故虚部为-2.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.5．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．97 B ．53 C ．43 D ．1310【答案】D【解析】【分析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解.【详解】22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，当1,6m n ==时，1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，141912m n +=， 当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，14256m n +=， 14m n +最小值为1310. 故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.6．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-【答案】B【解析】【分析】【详解】解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选B7．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =…，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】D【解析】【分析】 先求出集合N 的补集U N ð，再求出集合M 与U N ð的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由U =R ，{|||1}N x x =…，可得{1U N x x =<-ð或1}x >， 又{|31}M x x =-<< 所以{31}U M N x x ⋂=-<<-ð. 故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.8．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2C 3D 5【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】 21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 2212||(1)25z i z ∴=-+⇒=-+=故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.9．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -【答案】B【解析】【分析】【详解】 因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．10．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【答案】D 【解析】 【分析】 根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.【详解】运行程序，11,25s i =-=， 1211,3552s i =+--=， 123111,455523s i =++---=， 12341111,55555234s i =+++----=， 12341111,55555234s i =+++----=， 1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环， 故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.11．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】D【解析】【分析】 根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数频率求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是180.30=60（人）. 故选：D.【点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题 12．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1【答案】C【解析】【分析】根据函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称可得()f x 为奇函数，结合()()2f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，利用()00f =及()14f =可得所求的值.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图象关于原点对称，所以()f x 为R 上的奇函数.由()()2f x f x +=-可得()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为4的周期函数.因为20164504,201745041,201845042=⨯=⨯+=⨯+，所以()()()()()()()20162017201012428f f f f f f f +=+=+++.因为()()2f x f x +=-，故()()()02000f f f +=-=-=，所以()()()2016201720148f f f +=+.故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，那么()f x 是周期为2a 的周期函数，本题属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 525cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 2555ααα==⨯⨯=. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2或3D ．2或3【答案】D 【解析】 【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7mMF PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527mm a -=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯，整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A．243π+B．342π+C．263π+D．362π+【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+12•π•12×1=（6+1.5π）cm1．故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．4．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一【答案】C【解析】【分析】通过图表所给数据，逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C：16635.3 1.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确.选C. 【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.5．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 7．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ） A ．14 B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ，所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r， 因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur u u u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 9．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．–1D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可得2z i =--，即可得答案. 【详解】∵(3)1i z i +=+，∴131iz i i++==-， ∴2z i =--，∴复数z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.10．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅u u u r u u u r的值为( ) A ．4 B ．8C ．6D ．12【答案】B 【解析】 【分析】可画出图形，根据条件可得2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，从而可解出22AC AO BOBC BO AO ⎧=+⎨=+⎩u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v ，然后根据OA OB ⊥，2AB =进行数量积的运算即可求出()()282AO BO BO AO AC BC ⋅=⋅++=u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u rr ．【详解】 如图：点O 为ABC ∆的三条中线的交点11()(2)33AO AB AC AC BC ∴=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，11()(2)33BO BA BC BC AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴由2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 可得：22AC AO BO BC BO AO ⎧=+⎨=+⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又因OA OB ⊥，2AB =，222(2)(2)2228AC BC AO BO BO AO AO BO AB ∴⋅=+⋅+=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：B 【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 11．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 【详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U . 因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=， 所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水市2021届新高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在()0,+?上单调递增,则()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1ex axx -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1eaxh x =-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111mf m m m '=-=++（0m >），所以()f m 在()0,+?上单调递增，所以()()01f m f >=-，故问题转化为至少存在两个正整数x ，使得()1e 1e x ax x -≤-成立，设()()1e x g x x =-，()1eaxh x =-，则()e x g x x '=，当0x >时()0g x ¢>，()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e2a +≥.故选:B. 【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.2．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．6πD ．12π【答案】B 【解析】 【分析】根据直线y ax b =+与()f x 和()g x 都相切，求得,a b 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆2222220x y x y ++--=，由此求得正确选项.【详解】()()''2,2f x g x x x==.设直线y ax b =+与()f x 相切于点()00,2ln 5A x x +，斜率为02x ，所以切线方程为()()00022ln 5y x x x x -+=-，化简得0022ln 3y x x x =++①.令()'022g x x x ==，解得01x x =，200114g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为20001214y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得200214y x x x =-+②.由①②对比系数得02012ln 34x x +=-+，化简得02012ln 10x x +-=③.构造函数()()212ln 10h x x x x=+->，()()()'3321122x x h x x x x+-=-=，所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 在1x =处取得极小值也即是最小值，而()10h =，所以()0h x =有唯一解.也即方程③有唯一解01x =.所以切线方程为23y x =+.即2,3a b ==.不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩即230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩，画出其对应的区域如下图所示.圆2222220x y x y ++--=可化为()()221124x y ++-=，圆心为()1,1A -.而方程组230320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解也是11x y =-⎧⎨=⎩.画出图像如下图所示，不等式组230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的部分如下图阴影部分所示.直线230x y -+=的斜率为12，直线320x y +-=的斜率为13-.所以()tan tan BAC AED ADE ∠=∠+∠1123111123+==-⨯，所以4BAC π∠=，而圆A=，所以阴影部分的面积是(21324ππ⨯⨯=.故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 3．已知i 是虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可化简得出结果 【详解】故选 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅰ）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−2x≤0}，集合B满足A∪B=A，则B可以为()A. {x|x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {1,2}D. {−1,0，1，2}2.设复数z=|√3+i|−i2021，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A. 该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B. 该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C. 该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13D. 该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的164.函数f(x)=x的图象大致为()ln|x|A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=sinx −x ，设a =f(π0.1)，b =f(0.1π)，c =f(log 0.1π)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c6. 在钝角三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，S △ABC =√32，点D 为BC 的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √72B. √52C. √32D. 127. 已知函数f(x)=me x−2+n 的图象恒过点(2,1)，若对于任意的正数m ，n ，不等式1m+4n ≥A 恒成立，则实数A 的最大值为( ) A. 9 B. 3+2√2 C. 7D. 4√28. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FN 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin2θ=( )A. 2√23B. 13C. √24D. 4√299. 若各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，a 1a 5=256，则使得不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立的最大正整数n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的内角A 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,若函数g(x)=f(x)−kx +k 在区间[−2,1]上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−4−2√3,0)B. (−1,0)C. (−4+2√3,0)D. (−12,0)12.在△ABC中，AC=2√3，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则其外接球的表面积为()A. 12πB. 163π C. 94π D. 16π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为______ ．14.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数n(n>10)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为______ ．15.对于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)来说，我们定义圆x2+y2=a2为它的“伴随圆”.过双曲线x2a2−4y29=1(a>0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P，若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO|−|MT|为定值12，则该双曲线的离心率为______ ．16.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)+a同时满足下述性质：①若对于任意的x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立；②f(π6)≤√3−a2，则a的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是递增的等差数列，a1=12，且满足a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{1a n a n+118.如图，DA⊥平面ABC，DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形．(1)证明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD//BE，P为CE的中点，Q为线段OP上的动点，判断三棱锥QACD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．19.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3，整理数据得到如表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计(1)完成2×2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率．，其中n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=sinx−ae x−1(a∈R)．(1)定义f(x)的导函数为f(1)(x)，f(1)(x)的导函数为f(2)(x)，……以此类推，若)的单调区间；f(2020)(1)=sin1，求函数f(2x+π3(2)若a≥1，x≥0，证明：f(x)<0．21.已知圆M：(x−√6)2+y2=32，点Q是圆M上的一个动点，点N(−√6,0)，若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T．(1)求动点T的轨迹曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，点P(2,1)，点R(异于原点)是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR，PS分别与曲线C交于A，B(异于点P)两点，判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=mt 2y=mt，(m≠0,t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|⋅|TN|．23.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求不等式f(x)−f(2x+4)≤1的解集；(2)当x<−1时，f(ax)+f(−x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B可以为{1,2}．故选：C．求出集合A，由集合B满足A∪B=A，得B⊆A，由此能求出集合B．本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵i4=1，i2021=(i4)505⋅i=i，|√3+i|=√(√3)2+12=2，复数z=|√3+i|−i2021=2−i，则在复平面内z对应的点(2,−1)位于第四象限，故选：D．由i4=1，可得i2021=(i4)505⋅i=i，再利用几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查统计图的应用，属基础题．依题意，根据统计图的数据，逐个选项判断即可．【解答】解：设第一季度的总收入为a，则由题意可知，第二季度的总收人为2a，第三季度的总收入为4a，故A正确；由图可知，该直播间第三季度的服装收人为4a×0.7=2.8a，第一季度和第二季度的服装总收入为a×0.9+2a×0.8=2.5a<2.8a，故B正确；该直播间第二季度的食品收入为2a×0.2=0.4a，第三季度的食品收入为4a×0.3=1.2a；0.4a1.2a =13，故C正确；而第一季度的食品收人是0.1a，不满足是第三能度食品收入的16.故D错误．故选D．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，f(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f(x)→+∞，排除D，当x=e时，f(e)=elne=e<5，排除C，故选：B．先求出函数的定义域，判断函数是奇函数，利用极限思想以及f(e)的值利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数性质比较大小，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意得f′(x)≤0，可得f(x)在定义域上单调递减，比较π0.1，0.1π，log0.1π大小即可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由题意得f′(x)=cosx−1≤0，所以f(x)在定义域上单调递减．因为π0.1>π0=1，0<0.1π<0.10=1，log0.1π<0，所以π0.1>0.1π>log0.1π，即c>b>a．故选C．6.【答案】C【解析】解：如图，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,S △ABC =√32， ∴12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin∠BAC =sin∠BAC =√32，∴cos∠BAC =±12，若cos∠BAC =12，则：|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4−2×2×1×12=3，∴∠B =90°，△ABC 是直角三角形，与已知△ABC 是钝角三角形矛盾， ∴cos∠BAC =−12，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12⋅√4+1−2×2×1×12=√32． 故选：C ．可画出图形，可求出|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，根据S △ABC =√32即可求出sin∠BAC =√32，从而得出cos∠BAC =±12，然后根据△ABC 为钝角三角形可得出cos∠BAC =−12，然后根据|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，进行数量积的运算即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：可令x −2=0，即x =2，可得f(2)=m +n =1， 由m >0，n >0，可得1m+4n=(m +n)(1m+4n)=1+4+n m+4m n≥5+2√n m⋅4m n=9，当且仅当n =2m =23时取得等号， 则A ≤9，可得A 的最大值为9． 故选：A ．可令x −2=0，求得m +n =1，再由乘1法和基本不等式求得1m +4n 的最小值，由不等式恒成立思想得到A 的最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为抛物线y 2=2px(p >0)， 所以焦点F(p2,0)，设过焦点F ，倾斜角为θ的直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)， 设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)， 与抛物线联立得k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以x 1+p2=2(x 2+p2)，即x 1=2x 2+p2， 两边加x 2可得，x 1+x 2=3x 2+p2， 又因为x 1+x 2=2p+pk 2k 2，所以2p+pk 2k 2=3x 2+p2，解得x 2=pk 2+4p 6k 2，又因为x 1x 2=p 24，所以(2x 2+p2)x 2=p 24，所以2x 22+p2⋅x 2=p 24，所以2(pk 2+4p 6k 2)2+p 2⋅(pk 2+4p 6k 2)=p 24，所以k 4−7k 2−8=0， 解得k 2=8或k 2=−1(舍)， 又因为k >0， 所以k =tanθ=2√2，所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=4√29．故选：D ．根据题意设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)，直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)，与抛物线联立，结合韦达定理可得x 1+x 2=2p+pk 2k2，x 1x 2=p24，由于FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，推出|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即x 1=2x 2+p2，即可解得k ，tanθ，再计算sin2θ即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，可得a n+1a n=4，则数列{a n }是公比为4的等比数列，又a 1a 5=256，∴a 12q 4=256，即a 1=1，∴a n =4n−1=(2n−1)2，可得√a n =2n−1，由不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立， 得4n <133(1+20+21+22+⋯+2n−1)=133(1+1−2n1−2)=133×2n ， ∴2n <133<28，即n <8，可得最大正整数n 的值为7． 故选：C ．由已知可得数列{a n }是公比为4的等比数列，再由已知求得公比，得到数列通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式求1+√a 1+√a 2+⋯+√a n ，代入已知不等式求得n 的范围，可得最大正整数n 的值．本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，考查指数不等式的解法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3r ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，CD 的中点为E ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又由|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上， 连接AB ，当AB 与圆E 相切时，∠A 最大，当AB 与圆相切时，BE =r ，AE =2r ，∠EBA =π2，则A =π6，故内角A 的最大值为π6， 故选：A ．根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量加法的性质可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，分析可得当AB 与圆相切时，∠A 最大，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查平面向量数量积的性质以及向量加法的性质，关键是分析B 的轨迹，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,， 作出f(x)在[−2,1]的函数图象， 当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x ． 那么g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．∵y =kx −k =k(x −1)，直线恒过(1,0)， ∴−x 2−2x =kx −k 只有2个交点， 此时△=(2+k)2+4k =0， 解得k =2√3−4，要使f(x)图象与y =kx −k 有3个交点， 可知−4+2√3<k <0． 故选：C ．作出f(x)在[−2,1]的函数图象，根据g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵顶点B在以AC为直径的圆上，∴∠ABC=90°，∵AD=DC，∴D为△ABC的外心，又PD⊥平面ABC，且AD=DC，∴PA=PC=2，∵PD⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，则△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心．在△PAC中，由余弦定理可得，cos∠APC=22+22−(2√3)22×2×2=−12，∴∠APC=120°，sin∠APC=√32，设△PAC外接圆的半径为R，则2R=ACsin∠APC=2√3√32=4，得R=2．∴其外接球的表面积为S=4π×22=16π．故选：D．由已知可得△ABC为直角三角形，得到AC的中点D为△ABC外接圆圆心，再由PD⊥底面ABC，可得△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】16π9【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为4的13圆锥体；故V=13×13×π×22×4=16π9．故答案为：16π9．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】421【解析】解：在闭区间[10,30]中，任取一个整数，基本事件总数n=21，此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11，13，17，19，共4个，∴此整数是“通体质数”的概率为P=421．故答案为：421．先求出基本事件总数n=21，再用列法求出此整数是“通体质数”包含的基本事件有4个，由此能求出此整数是“通体质数”的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．15.【答案】√132【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，如图，则|MO|=12|PF2|，在Rt△OF1T中，|OF1|=c，|OT|=a，∴|TF1|=b，|OM|−|MT|=12|PF2|−(12|PF1|−b)=b−a=32−a=12，∴a=1，∴c=√a2+b2=√1+94=√132，故答案为：√132．根据双曲线的性质，定义，设出双曲线右焦点为F2，即可解出a的值，可以直接求出离心率．本题考查了双曲线的定义，性质，学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】0【解析】解：f(x)=sin2x +(12sin2x +√32cos2x)+a=32sin2x +√32cos2x +a =√3(√32sin2x +12cos2x)+a=√3sin(2x +π6)+a当x ∈[0,π4]时，2x +π6∈[π6,2π3]，∴当x ∈[0,π4]时，f(x)∈[a +√32,a +√3]，∵对于任意x 1，x 2，x 3∈[0,π4]，f(x 1)+f(x 2 )≥f(x 3) 恒成立， ∴2f(x)min ≥f(x)max ， ∴2(a +√32)≥a +√3，∴a ≥0 ①，∵f(π6)=√3+a ≤√3−a 2，∴a 2+a ≤0，∴−1≤a ≤0 ②，由①②可得a =0． 故答案为：a =0．首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最值的应用得出结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由数列{a n }是递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由a 1=12，且a 4是a 2与a 8的等比中项，可得a 42=a 2a 8，即(12+3d)2=(12+d)(12+7d)， 解得d =12(0舍去)， 则a n =12+12(n −1)=12n ； (2)1an a n+1=112n⋅12(n+1)=4(1n −1n+1)，则数列{1an a n+1}的前n 项和为4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)设公差为d ，d >0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；(2)求得1a n a n+1=4(1n−1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(1)∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，∵DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形，∴OC=12AB，∴BC⊥AC，∵DA∩AC=A，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面BCE，∴平面ACD⊥平面BCE．解：(2)取BC的中点R，连接OR，PR，在△ACB，△BCE中，OR，PR分别为中位线，∴OR//AC，PR//BE，∵AD//BE，∴PQ//AD，∵AC⊂平面ACD，PR⊄平面ACD，∴PR//平面ACD，同理OR//平面ACD，∵PR∩OR=R，PR⊂平面OPR，OR⊂平面OPR，∴平面ACD//平面OPR，∵BC⊥AC，∴平面ACD与平面OPR的距离CR=12BC=√32，∵S△ACD=12×1×1=12，∴V Q−ACD=13×12×√32=√312．故三棱锥QACD的体积是定值，值为√312．【解析】(1)根据直角三角形的性质可得BC⊥AC，再根据线面垂直的性质可得DA⊥BC，根据线面垂直和面面垂直的判断定理即可证明．(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ，根据中位线定理，以及面面平行的判定定理可得平面ACD//平面OPR ，即可求出三棱锥QACD 的体积是为定值，根据三棱锥的体积公式即可求出．本题考查了线线垂直，线面垂直，面面垂直，线线平行，线面平行，面面平行的判定和性质，以及三棱锥的体积公式，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意知，吸电子烟的有100×11+3=25(人)，不吸电子烟的有100−25=75(人)，由此填表如下：由表中数据，计算K 2=100×(15×50−25×10)225×75×40×60=509≈5.556>3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关； (2)用分层抽样方法抽取8人，吸电子烟的有8×14=2(人)，不吸电子烟的有6人， 从这8个人中任取2人，则这两个人来自同一类别的概率为P =C 22+C 62C 82=47．【解析】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了分层抽样方法与古典概型的概率计算问题，是基础题．(1)分别求出吸电子烟和不吸电子烟的人数，填写列联表，计算K 2，对照附表得出结论； (2)求出用分层抽样法抽取的8人中吸电子烟和不吸电子烟的人数，计算所求的概率值．20.【答案】解：(1)先证f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1，当n =1时，f (1)(x)=cosx −ae x−1=sin(x +π2)−ae x−1成立， 假设n =k 时，f (k)(x)=sin(x +kπ2)−ae x−1，成立，则n =k +1时，f (k+1)(x)=(f (k)(x))′=cos(x +kπ2)−ae x−1=sin(x +(k+1)π2)−ae x−1成立，所以f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1，则f (2020)(1)=sin(1+2020π2)−ae 0=sin1−a =sin1，可得a =0，所以f(x)=sinx ，f(2x+π3)=sin(2x+π3)，令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，所以f(2x+π3)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z，单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z．(2)证明：要证f(x)<0，即证sinx<ae x−1，又a≥1，则ae x−1≥e x−1，故只需证sinx<e x−1，令g(x)=e x−1−x，x≥0，则g′(x)=e x−1−1，在(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0，所以e x−1≥x，令ℎ(x)=x−sinx，则ℎ′(x)=1−cosx≤0，所以在(0,+∞)上，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以x≥sinx，所以sinx≤x≤e x−1，因为左右两边的不等号不能同时取到，所以sinx<e x−1，所以f(x)<0，得证．【解析】(1)利用数学归纳法证得f(n)(x)=sin(x+nπ2)−ae x−1，由f(2020)(1)=sin1，即可求得a值，从而可得f(2x+π3)，再由正弦函数的单调性即可求解；(2)分析可得要证f(x)<0，只需证sinx<e x−1，再利用导数分别证得e x−1≥x，x≥sinx，即可证明结论成立．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查三角函数的单调性及不等式的证明，考查数学归纳法及分析法的应用，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意知，圆M：(x−√6)2+y2=32，所以圆心M(√6,0)，r=4√2，因为线段QN的垂直平分线交线段QM于点T，所以|TQ|=|TN|， 因为|QT|+|TM|=4√2，所以|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，2a =4√2，2c =2√6，解得a =2√2，c =√6， 所以b 2=a 2−c 2=(2√2)2−(√6)2=8−6=2， 所以曲线C 的方程为x 28+y 22=1．(2)设R(0,y 0)，y 0∈(−√2,√2)，S(0,−y 0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线PR 的方程为y −1=y 0−1−2(x −2)， 直线PS 的方程为y −1=y 0+12(x −2)，联立直线PR 与椭圆的方程，消去y 得(y 02−2y 0+2)x 2+4(1−y 0)y 0c +4y 02−8=0，可得2x 1=4y 02−8y 02−2y0+2，所以x 1=2y 02−4y 02−2y0+2， 则y 1=1−y 02(2y 02−4y 02−2y 0+2)+y 0=−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2，联立直线PS 与椭圆的方程，消去y 得(y 02+2y 0+2)x 2−4(1+y 0)y 0c +4y 02−8=0，所以2x 2=4y 02−8y 02+2y0+2，所以x 2=2y 02−4y 02+2y0+2， 所以y 2=−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2，则A(2y 02−4y 02−2y0+2,−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2)，B(2y 02−4y 02+2y0+2,−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2)，所以k AB =−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2−−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+22y 02−4y 02+2y 0+2−2y 02−4y 02−2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)，则直线AB 的方程为y −−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)(x −2y 02−4y 02+2y 0+2)，所以y =y 02−2y 02(y 02−2)x −y 02−2y 0y 02+2y0+2+−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)x +−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，则设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，则有−m(y 02−2y 0)2(y 02−2)+n =−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，所以−m(y 02−2y 0)(y 02+2y 0+2)+2n(y 02−2)(y 02+2y 0+2)=(−2y 02−2y 0−2)(2y 02−4)，所以−my 04−2my 03−2m +2my 03+4my 02+4my 0+2ny 04+4ny 03+4n −4ny 02−8ny 0−8n =−4y 04+8y 02−4y 03+8y 0−4y 02+8，所以{−m +2n =−4−2m +2m +4n =−4，解得{m =2n =−1，所以直线AB 过定点(2,−1)．【解析】(1)由题意知圆心M(√6,0)，r =4√2，由线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T ，推出|TQ|=|TN|，得|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，a =2√2，c =√6，进而可得椭圆的方程．(2)设R(0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线PR ，直线PS 的方程，分别联立椭圆的方程可得A ，B 点坐标，进而写出直线AB 的方程，设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，化简，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22，转换为√22ρcosθ−√22ρsinθ=√22，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标为x −y −1=0．曲线C 的参数方程为{x =mt 2y =mt ，(m ≠0,t 为参数)，转换为直角坐标方程为y 2=mx ．直线与x 轴的交点坐标为(1,0)，故抛物线的焦点坐标为(1,0)，故抛物线的方程为y 2=4x ． 设直线的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)代入抛物线的方程为y 2=4x ，得到t 2−4√2t −8=0(t 1和t 2为M 和N 对应的参数)， 所以t 1t 2=−8，故|TM|·|TN|=|t 1t 2|=8．【解析】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．第21页，共21页 (1)直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.【答案】解：(1)f(x)−f(2x +4)≤1即为|x −1|−|2x +3|≤1，等价为{x ≤−321−x +2x +3≤1或{−32<x <11−x −2x −3≤1或{x ≥1x −1−2x −3≤1， 解得x ≤−3或−1≤x <1或x ≥1，所以解集为{x|x ≤−3或x ≥−1}；(2)当x <−1时，f(ax)+f(−x)+x >0恒成立，可得|ax −1|+|−x −1|+x >0，化为|ax −1|−x −1+x >0，即|ax −1|>1，可得ax −1>1或ax −1<−1对x <−1恒成立，即有a <2x 对x <−1恒成立，或a >0，由x <−1时，2x >−2．所以a ≤−2或a >0，可得实数a 的取值范围是(−∞,−2]∪(0，+∞)．【解析】(1)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|ax −1|>1对x <−1恒成立，由绝对值的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

河北省衡水中学2021届高三〔上〕第二次调研数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔每题5分，共60分．以下每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1．〔5分〕〔2021•包头一模〕设U={1，2，3，4}，且M={x∈U|x2﹣5x+P=0}，假设∁U M={2，3}，那么实数P的值为〔〕A．﹣4 B．4C．﹣6 D．6考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：由全集U和集合M的补集确定出集合M，得到集合M中的元素是集合M中方程的解，根据韦达定理利用两根之积等于P，即可求出P的值．解答：解：由全集U={1，2，3，4}，C U M={2，3}，得到集合M={1，4}，即1和4是方程x2﹣5x+P=0的两个解，那么实数P=1×4=4．应选B点评：此题考查学生理解掌握补集的意义，灵活利用韦达定理化简求值，是一道根底题．2．〔5分〕“cosα=〞是“cos2α=﹣〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用公式cos2α=2cos2α﹣1，即可很容易判断；解答：解：∵cos2α=2cos2α﹣1，假设cosα=，⇒cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，假设cos2α=﹣，∴2cos2α﹣1=﹣，∴cosα=±，∴“cosα=〞是“cos2α=﹣〞的充分而不必要条件，应选A．点评：此题主要考查三角公式的应用及必要条件和充分条件的判断，此类题是高考常考的一道选择题，做题时要知道必要条件和充分条件的定义即可求解．3．〔5分〕〔2021•河南模拟〕数列{a n}，假设点〔n，a n〕〔n∈N+〕在经过点〔5，3〕的定直线l上，那么数列{a n}的前9项和S9=〔〕A．9B．10 C．18 D．27考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a5=3，而S9==，代入可得答案．解答：解：∵点〔n，a n〕〔n∈N+〕在经过点〔5，3〕的定直线l上，∴数列{a n}为等差数列，且a5=3，而S9===27，应选D点评：此题考查等差数列的性质，以及数列和函数的关系，属根底题．4．〔5分〕〔2021•黑龙江〕{a n} 为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，那么a1+a10=〔〕A．7B．5C．﹣5 D．﹣7考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可解答：解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，那么a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7应选D点此题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了根本运算的能力．评：5．〔5分〕函数上单调递增，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，4〕B．〔﹣∞，4] C．〔﹣∞，8〕D．〔﹣∞，8]考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数上单调递增，可得f′〔x〕＞0在x≥2上成立，从而求出a的范围；解答：解：∵函数上单调递增，∴f′〔x〕=1﹣≥0在[2，+∞〕上恒成立，∴a≤在[2，+∞〕上恒成立，求出的最小值，可得其最小值为=4，∴a≤4，应选B；点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，还考查了函数的恒成立问题，解题的过程中用到了转化的思想，此题是一道中档题；6．〔5分〕计算以下几个式子，①tan25°+tan35°+tan25°tan35°，②2〔sin35°cos25°+sin55°cos65°〕，③，④，结果为的是〔〕A．①②B．③C．①②③D．②③④考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分先令tan60°=tan〔25°+35°〕利用正切的两角和公式化简整理求得析：tan25°+tan35°=〔1﹣tan25°tan35°〕，整理后求得tan25°+tan35°+tan25°tan35°=；②中利用诱导公式把sin55°转化才cos35°，cos65°转化为sin25°，进而利用正弦的两角和公式整理求得结果为；③中利用正切的两角和公式求得原式等于tan60°，结果为，④中利用正切的二倍角公式求得原式等于，推断出④不符合题意．解答：解：∵tan60°=tan〔25°+35°〕==∴tan25°+tan35°=〔1﹣tan25°tan35°〕∴tan25°+tan35°+tan25°tan35°=，①符合2〔sin35°cos25°+sin55°cos65°〕=2〔sin35°cos25°+cos35°sin25°〕=2sin60°=，②符合=tan〔45°+15°〕=tan60°=，③符合==tan=，④不符合故结果为的是①②③应选C点评：此题主要考查了三角函数的化简求值，两角和公式的应用和二倍角公式的应用．考查了学生对三角函数根底公式的理解和灵活一运用．7．〔5分〕函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为〔〕A ．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于第一个函数的定义域为{x|x≠0}，值域为R．第二个定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣1，0]，结合图象可得结论．解答：解：∵函数的定义域为{x|x≠0}，值域为R．函数的定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣1，0]，结合图象可得，只有C满足条件，应选C．点评：此题主要考查函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于根底题．8．〔5分〕〔2021•天门模拟〕函数的图象的一个对称中心是〔〕A．B．C．D．考点：奇偶函数图象的对称性．分析：先根据二倍角公式将函数进行化简为y=sin〔2x+〕﹣，然后代入检验即可．解答：解：∵==sin〔2x+〕﹣故原函数的对称中心的纵坐标一定是故排除CD将x=代入sin〔2x+〕不等于0，排除A．应选B．点评：此题主要考查三角函数的二倍角公式和对称中心．这种题型是每年高考中必考题目，做题第一步先将原函数化简再进行求解．9．〔5分〕函数为奇函数，假设函数f〔x〕在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，那么a的取值范围是〔〕A．〔1，3〕B．〔1，3] C．〔3，+∞〕D．[3，+∞〕考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先求得m的值，确定函数的解析式，可得函数的单调区间，利用函数f〔x〕在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，即可求得结论．解答：解：设x＜0，那么﹣x＞0，∴f〔﹣x〕=﹣x2﹣2x∵f〔x〕为奇函数，∴f〔x〕=﹣f〔﹣x〕=x2+2x〔x＜0〕，∴m=2∴在〔﹣∞，﹣1〕，〔1，+∞〕上单调递减，在[﹣1，1]上单调递增∵假设函数f〔x〕在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，∴﹣1＜a﹣2≤1∴1＜a≤3应选B．点评：此题考查函数的奇偶性，考查函数解析式确实定，考查函数的单调性，属于中档题．10．〔5分〕数列{a n}满足，它的前n项和为S n，那么满足S n＞2021的最小n值是〔〕A．9B．10 C．11 D．12考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，确定数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，再求和，即可得到结论．解答：解：∵log2a n+1=log2a n+1，∴log2a n+1﹣log2a n=1∴=2∵a1=1∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列∴S n==2n﹣1∵S n＞2021，令2n﹣1＞2021，解得n≥12应选D．点评：此题主要考查数列递推式及前n项和的计算，确定数列是等比数列是关键．11．〔5分〕定义在R上的可导函数f〔x〕，当x∈〔1，+∞〕时，f〔x〕+f′〔x〕＜xf′〔x〕恒成立，，那么a，b，c的大小关系为〔〕A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a考利用导数研究函数的单调性．点：专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用．分析：根据x∈〔1，+∞〕时，f〔x〕+f′〔x〕＜xf′〔x〕，可得g〔x〕=在〔1，+∞〕上单调增，由于，即可求得结论．解答：解：∵x∈〔1，+∞〕时，f〔x〕+f′〔x〕＜xf′〔x〕∴f′〔x〕〔x﹣1〕﹣f〔x〕＞0∴[]′＞0∴g〔x〕=在〔1，+∞〕上单调增∵∴g〔〕＜g〔2〕＜g〔3〕∴∴∴c＜a＜b应选A．点评：此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键．12．〔5分〕〔2021•滨州一模〕定义在R上的奇函数f〔x〕，当x≥0时，，那么关于x的函数F〔x〕=f〔x〕﹣a〔0＜a＜1〕的所有零点之和为〔〕A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a考点：函数的零点．专题：计算题；压轴题．分析：函数F〔x〕=f〔x〕﹣a〔0＜a＜1〕的零点转化为：在同一坐标系内y=f〔x〕，y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，为计算提供简便．解答：解：当﹣1≤x＜0时⇒1≥﹣x＞0，x≤﹣1⇒﹣x≥1，又f〔x〕为奇函数∴x＜0时，画出y=f〔x〕和y=a〔0＜a＜1〕的图象，如图共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，那么⇒log2〔1﹣x3〕=a⇒x3=1﹣2a，可得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a，应选D．点评：此题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕〔2021•崇明县二模〕正数数列{a n}〔n∈N*〕定义其“调和均数倒数〞〔n∈N*〕，那么当时，a2021= ．考点：数列的概念及简单表示法；数列的应用．专题：计算题；新定义．分析：由，，知2021×V2021﹣2021×V2021==2021×2021÷2﹣2021×2021÷2=2021．由此能求出a2021=．解答：解：由题设知：，，2021×V2021﹣2021×V2021==2021×2021÷2﹣2021×2021÷2=2021．所以 a2021=．故答案为：．点此题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合评：理地进行等价转化．14．〔5分〕设的值为﹣．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值；同角三角函数间的根本关系．专题：计算题．分析：用换元法求出函数f〔x〕的解析式，从而可求函数值．解答：解：令sinα+cosα=t〔t∈[﹣，]〕，平方后化简可得sinαcosα=，再由f〔sinα+cosα〕=sinαcosα，得f〔t〕=，所以f〔sin〕=f〔〕==﹣．故答案为：﹣．点评：此题主要考查换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于根底题．15．〔5分〕〔2021•苏州二模〕假设点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，那么点P到直线y=x ﹣2的最小距离为．考点：点到直线的距离公式．专题：转化思想．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或 x=﹣〔舍去〕，故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标〔1，1〕，点〔1，1〕到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．点评：此题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，表达了转化的数学思想．16．〔5分〕以下正确命题的序号为②③④．①命题“存在〞的否认是：“不存在②函数的零点在区间〔〕内；③假设函数f〔x〕满足f〔1〕=1且f〔x+1〕=2f〔x〕，那么f〔1〕+f〔2〕+…+f〔10〕=1023；④假设m≥﹣1，那么函数的值域为的值域为R．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据命题的否认可以得到①不正确；根据函数零点的判定定理可得②正确．根据等比数列的前n项和公式可得③正确．根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R，故④正确．解答：解：①命题“存在〞的否认是：“任意，故①错误；②∵，∴f〔〕=﹣〔〕＜0，f〔〕=﹣＞0，∴f〔x〕的零点在区间〔〕内，故②正确；③∵函数f〔x〕满足f〔1〕=1且f〔x+1〕=2f〔x〕，∴f〔2〕=2×1=2，f〔3〕=2×2=4，f〔4〕=2×4=8，f〔5〕=2×8=16，f〔6〕=2×16=32，f〔7〕=2×32=64，f〔8〕=2×64=128，f〔9〕=2×128=256，f〔10〕=2×256=512，∴f〔1〕+f〔2〕+…+f〔10〕=1023，故③正确；④当m≥﹣1，函数y=log〔x2﹣2x﹣m〕的真数为 x2﹣2x﹣m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，故函数y=log〔x2﹣2x﹣m〕的值域为R，故④正确．故答案为：②③④．点评：此题主要考查命题的真假的判断，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于根底题．三、解答题〔本大题共6道小题，请将解题过程写在答题纸相应的位置，写错位置不得分〕17．〔10分〕〔2021•肇庆一模〕数列{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．〔I〕求{a n}的通项a n；〔II 〕设，，求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n的值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：〔I〕根据等差数列的通项公式，建立方程组，即可求{a n}的通项a n；〔II〕先确定数列{b n}的通项，再用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：〔Ⅰ〕设{a n}的公差为d ，由条件，，解得a1=3，d=﹣2．所以a n=a1+〔n﹣1〕d=﹣2n+5．〔Ⅱ〕∵a n=﹣2n+5，∴∴，∴T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n ==点评：此题考查等差数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．18．〔12分〕如图，以ox为始边作角α与β〔0＜β＜α＜π〕，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q ，点的坐标为．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设，求sin〔α+β〕．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：题干错误，应该：点P 的坐标为．〔Ⅰ〕由任意角的三角函数的定义求出sinα、cosα、tanα 的值，再利用二倍角的正弦、余弦公式求得sin2α、cos2α 的值，代入要求的式子花简求得结果．〔Ⅱ〕假设，那么有β+α=2α﹣，再由sin〔α+β〕=sin〔2α﹣〕=﹣cos2α，运算求得结果．解答：解：〔Ⅰ〕由任意角的三角函数的定义可得sinα=，cosα=﹣，tanα=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=cos2α﹣sinα2=﹣．∴==．〔Ⅱ〕假设，那么β﹣α=，β+α=2α﹣，∴sin〔α+β〕=sin〔2α﹣〕=﹣cos2α=．点评：此题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦、余弦公式的应用，属于中档题．19．〔12分〕函数相邻的两个最高点和最低点分别为〔Ⅰ〕求函数表达式；〔Ⅱ〕求该函数的单调递减区间；〔Ⅲ〕求时，该函数的值域．考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式；函数的值域；正弦函数的单调性．专三角函数的图像与性质．题：分〔I〕根据函数相邻的两个析：最高点和最低点分别为，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将代入解析式，结合，可求出φ值，进而求出函数的解析式．〔II〕由2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，求出自变量的取值范围，可得函数的单调递减区间；〔Ⅲ〕由，求出相位角2x+的取值范围，进而根据正弦函数的图象求出最值，可得函数的值域．解解：〔I〕由函数图象相邻的两个最高点和最低点分别为答：∵A＞0∴A=2∵==，ω＞0∴ω=2∴y=2sin〔2x+φ〕将代入y=2sin〔2x+φ〕得sin〔+φ〕=1即+φ=+2kπ，k∈Z即φ=+2kπ，k∈Z∵∴∴函数表达式为2sin〔2x+〕〔II〕由2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，得x∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，∴函数的单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，〔III〕当时，2x+∈[，]当2x+=，即x=时，函数取最大值2当2x+=时，即x=时，函数取最小值﹣1 ∴函数的值域为[﹣1，2]点评：此题考查的知识点是正弦型函数的解析式求法，正弦型函数的单调区间，正弦型函数在定区间上的值域，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答此题的关键．20．〔12分〕〔2021•武昌区模拟〕某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，1：作时间为n天．〔I〕工作n天，记三种付费方式薪酬总金额依次为A n，B n，C n，写出A n，B n，C n关于n的表达式；〔II〕如果n=10，你会选择哪种方式领取报酬？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：〔Ⅰ〕三种付酬方式每天金额依次为数列{a n}，{b n}，{c n}，第一种付酬方式每天金额组成数列{a n}为常数数列，第二种付酬方式每天金额组成数列{b n}为首项为4，公差为4的等差数列，第三种付酬方式每天金额组成数列{c n}为首项是0.4，公比为2的等比数列，利用求和公式，即可得到结论；〔Ⅱ〕利用〔Ⅰ〕得到的结论，当n=10时，求出相应的值，比较即可得到结论．解答：解：〔Ⅰ〕三种付酬方式每天金额依次为数列{a n}，{b n}，{c n}，它们的前n项和依次分别为A n，B n，C n．依题意，第一种付酬方式每天金额组成数列{a n}为常数数列，A n=38n．第二种付酬方式每天金额组成数列{b n}为首项为4，公差为4的等差数列，那么．第三种付酬方式每天金额组成数列{c n}为首项是0.4，公比为2的等比数列，那么．…〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，当n=10时，A n=38n=380，，．所以B10＜A10＜C10．答：应该选择第三种付酬方案．…〔12分〕点评：此题考查数列模型的构建，考查数列的求和，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．21．〔12分〕〔2021•湖北模拟〕某商场预计，1月份起前x个月顾客对某种商品的需求总量p〔x〕〔单位：件〕与x的关系近似地满足p〔x〕=x〔x+1〕〔39﹣2x〕，〔x∈N*，且x≤12〕．该商品第x月的进货单价q〔x〕〔单位：元〕与x的近似关系是q〔x〕=．〔1〕写出今年第x月的需求量f〔x〕件与x的函数关系式；〔2〕该商品每件的售价为185元，假设不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场第几月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？考点：函数模型的选择与应用；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；应用题．分析：〔1〕根据所给的前x个月顾客对某种商品的需求总量p〔x〕，可以写出第x个月的对货物的需求量，注意验证第一个月的需求量符合表示式．〔2〕根据所给的表示式，写出每一个月的利润的表示式，是一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，得到利润的最大值．解答：解：〔1〕当x=1时，f〔1〕=p〔1〕=37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f〔x〕=P〔x〕﹣P〔x﹣1〕=x〔x+1〕〔39﹣2x〕﹣〔x﹣1〕x〔41﹣2x〕=﹣3x2+40x．验证x=1符合f〔x〕〕=﹣3x2+40x〔x∈N*，且1≤x≤12〕〔2〕该商场预计第x月销售该商品的月利润为：g〔x〕=6x3﹣185x2+1400x〔x∈N，1≤x≤6〕g〔x〕=﹣480x+6400 〔x∈N.7≤x≤12当1≤x≤6，x∈N时g′〔x〕=18x2﹣370x+1400，令g′〔x〕=0，解得x=5，x=〔舍去〕．当1≤x≤5时，g′〔x〕＞0，当5＜x≤6时，g′〔x〕＜0，∴当x=5时，g〔x〕max=g〔5〕=3125〔元〕．当7≤x≤12，x∈N时，g〔x〕=﹣480x+6400是减函数，当x=7时，g〔x〕的最小值等于g〔7〕=3040〔元〕，综上，商场第5月份的月利润最大，最大利润为3125元．点评：此题考查函数模型的选择和导数的应用，此题解题的关键是写出分段函数，要分别求出两段函数的最大值，进行比较．22．〔12分〕〔2021•楚雄州模拟〕函数f〔x〕=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．〔1〕当a=﹣1时，求f〔x〕的最大值；〔2〕假设f〔x〕在区间〔0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；〔3〕当a=﹣1时，试推断方程|f〔x〕|=是否有实数解．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：〔1〕在定义域〔0，+∞〕内对函数f〔x〕求导，求其极大值，假设是唯一极值点，那么极大值即为最大值．〔2〕在定义域〔0，+∞〕内对函数f〔x〕求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f〔x〕在区间〔0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，假设是就可求出相应的最大值．〔3〕根据〔1〕可求出|f〔x〕|的值域，通过求导可求出函数g〔x〕═的值域，通过比较上述两个函数的值域，就可判断出方程|f〔x〕|=是否有实数解．解答：解：〔1〕易知f〔x〕定义域为〔0，+∞〕，当a=﹣1时，f〔x〕=﹣x+lnx，f′〔x〕=﹣1+，令f′〔x〕=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′〔x〕＞0；当x＞1时，f′〔x〕＜0．∴f〔x〕在〔0，1〕上是增函数，在〔1，+∞〕上是减函数．f〔x〕max=f〔1〕=﹣1．∴函数f〔x〕在〔0，+∞〕上的最大值为﹣1．〔2〕∵f′〔x〕=a+，x∈〔0，e]，∈．①假设a≥，那么f′〔x〕≥0，从而f〔x〕在〔0，e]上增函数，∴f〔x〕max=f〔e〕=ae+1≥0，不合题意．②假设a＜，那么由f′〔x〕＞0＞0，即0＜x＜由f′〔x〕＜0＜0，即＜x≤e．从而f〔x〕在上增函数，在为减函数∴f〔x〕max=f=﹣1+ln令﹣1+ln=﹣3，那么ln=﹣2∴=e﹣2，即a=﹣e2．∵﹣e2＜，∴a=﹣e2为所求．〔3〕由〔1〕知当a=﹣1时f〔x〕max=f〔1〕=﹣1，∴|f〔x〕|≥1．又令g〔x〕=，g′〔x〕=，令g′〔x〕=0，得x=e，当0＜x＜e时，g′〔x〕＞0，g〔x〕在〔0，e〕单调递增；当x＞e时，g′〔x〕＜0，g〔x〕在〔e，+∞〕单调递减．∴g〔x〕max=g〔e〕=＜1，∴g〔x〕＜1，∴|f〔x〕|＞g〔x〕，即|f〔x〕|＞．∴方程|f〔x〕|=没有实数解．点评：此题先通过对函数求导，求其极值，进而在求其最值及值域，用到分类讨论的思想方法．。

【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}，那么〔C U B〕∩A=( )A、〔﹣∞，﹣1]B、〔﹣∞，﹣1]∪〔0，3〕C、[0，3〕D、〔0，3〕2．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，那么的最小值是( )A、B、2 C、D、3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，假设存在实数λ，使得与﹣λ垂直，那么λ=( )A、B、1 C、2 D、34．函数y=Asin〔ωx+φ〕+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，那么符合条件的解析式是( )A、B、C、D、5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，假设S △ABC=2，a+b=6，=2cosC，那么c=( )A、2B、4C、2D、36．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC 中点，那么的值为( )A、B、C、1 D、27．锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，假设sin2A﹣cos2A=，那么以下各式正确的选项是( )[来源:学&科&网Z&X&X&K]A、b+c=2aB、b+c＜2aC、b+c≤2aD、b+c≥2a8．函数g〔x〕=a﹣x2〔≤x≤e，e为自然对数的底数〕与h〔x〕=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，那么实数a的取值范围是( )A、[1，+2]B、[1，e2﹣2]C、[+2，e2﹣2]D、[e2﹣2，+∞〕9．S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，那么S25=( )A、232B、233C、234D、23510．函数f〔x〕=cosπx与函数g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( )A、2B、4C、6D、811．向量是单位向量，，假设•=0，且|﹣|+|﹣2|=，那么|+2|的取值范围是( )A、[1，3]B、[]C、[，]D、[，3] 12．定义在〔0，+∞〕上的单调函数f〔x〕，对∀x∈〔0，+∞〕，都有f[f〔x〕﹣log2x]=3，那么方程f〔x〕﹣f′〔x〕=2的解所在的区间是( )A、〔0，〕B、〔1，2〕C、〔，1〕D、〔2，3〕【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．假设tanα+=，α∈〔，〕，那么sin〔2α+〕+2cos cos2α的值为__________．14．函数f〔x〕〔x∈R〕满足f〔1〕=1，且f〔x〕的导数f′〔x〕＜，那么不等式f〔x2〕＜的解集为__________．15．S n是等差数列{a n}〔n∈N*〕的前n项和，且S6＞S7＞S5，有以下五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|．其中正确的命题是__________〔写出你认为正确的所有命题的序号〕16．函数f〔x〕为偶函数且f〔x〕=f〔4﹣x〕，又f〔x〕=，函数g〔x〕=〔〕|x|+a，假设F〔x〕=f 〔x〕﹣g〔x〕恰好有4个零点，那么a的取值范围是__________．【三】解答题〔本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1〔1〕求{a n}的通项公式；〔2〕记b n=log2〔a n+1〕，求数列{b n•a n}的前n项和为S n．18．△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且〔1〕求tanA•tanB的值；〔2〕求的最大值．19．函数的最小正周期为3π．〔I〕求函数f〔x〕在区间上的最大值和最小值；〔II〕在△A BC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b ＜c，，求角C的大小；〔Ⅲ〕在〔II〕的条件下，假设，求cosB的值．20．函数f〔x〕=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．〔1〕讨论函数f〔x〕的单调性，并写出对应的单调区间；〔2〕设b∈R，假设函数f〔x〕≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．21．设函数f〔x〕=〔1+x〕2﹣mln〔1+x〕，g〔x〕=x2+x+A、〔1〕当a=0时，f〔x〕≥g〔x〕在〔0，+∞〕上恒成立，求实数m 的取值范围；[来源:]〔2〕当m=2时，假设函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；〔3〕是否存在常数m，使函数f〔x〕和函数g〔x〕在公共定义域上具有相同的单调性？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由．22．函数f〔x〕=ln〔x+1〕+ax2﹣x，a∈R．〔Ⅰ〕当a=时，求函数y=f〔x〕的极值；〔Ⅱ〕假设对任意实数b∈〔1，2〕，当x∈〔﹣1，b]时，函数f〔x〕的最大值为f〔b〕，求a的取值范围．【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}，那么〔C U B〕∩A=( )A、〔﹣∞，﹣1]B、〔﹣∞，﹣1]∪〔0，3〕C、[0，3〕D、〔0，3〕【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=〔0，4]，B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}=〔﹣∞，﹣1]∪[3，+∞〕，∴C U B=〔﹣1，3〕，∴〔C U B〕∩A=〔0，3〕，应选：D【点评】此题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．[来源:学科网]2．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，那么的最小值是( )A、B、2 C、D、【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出那么的最小值．【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1〔舍去〕，∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=〔〕=，当且仅当，即n=2m时取等号．应选：A、【点评】此题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，假设存在实数λ，使得与﹣λ垂直，那么λ=( )A、B、1 C、2 D、3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1，∴==2×1=2．∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直，∴==0，∴22﹣2λ=0，解得λ=2．应选：C、【点评】此题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4．函数y=Asin〔ωx+φ〕+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，那么符合条件的解析式是( )A、B、C、D、【考点】由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．【解答】解：由题意m=2．A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，∴函数y=Asin〔ωx+φ〕+m=±2sin〔2x+φ〕+2．再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，故符合条件的函数解析式是y=﹣2sin〔2x+〕+2，应选B【点评】此题主要考查利用y=Asin〔ωx+∅〕的图象特征，由函数y=Asin〔ωx+∅〕的部分图象求解析式，属于中档题．5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，假设S △ABC=2，a+b=6，=2cosC，那么c=( )A、2B、4C、2D、3【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，假设S △ABC=2，那么absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=〔a+b〕2﹣2ab﹣ab=〔a+b〕2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．应选C、【点评】此题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．6．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC 中点，那么的值为( )A、B、C、1 D、2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．【解答】解：如下图，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴==〔+〕；又∵++=，∴=﹣〔+〕=﹣3；∴==．应选：A、【点评】此题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，解题的关键是画出平行四边形MAEC，得出与的关系．7．锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，假设sin2A﹣cos2A=，那么以下各式正确的选项是( )A、b+c=2aB、b+c＜2aC、b+c≤2aD、b+c≥2a【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理．【专题】解三角形；不等式的解法及应用．【分析】等式左边变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos2A的值，由A为锐角求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式得出关系式，即可做出判断．【解答】解：由sin2A﹣cos2A=，得cos2A=﹣，又A为锐角，∴0＜2A＜π，∴2A=，即A=，由余弦定理有a2=b2+c2﹣bc=〔b+c〕2﹣3bc≥〔b+c〕2﹣〔b+c〕2=，即4a2≥〔b+c〕2，解得：2a≥b+c，应选：C、[来源:学&科&网Z&X&X&K]【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解此题的关键．8．函数g〔x〕=a﹣x2〔≤x≤e，e为自然对数的底数〕与h〔x〕=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，那么实数a的取值范围是( )A、[1，+2]B、[1，e2﹣2]C、[+2，e2﹣2]D、[e2﹣2，+∞〕【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f〔x〕=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f〔x〕=2lnx﹣x2，求导得：f′〔x〕=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′〔x〕=0在x=1有唯一的极值点，∵f〔〕=﹣2﹣，f〔e〕=2﹣e2，f〔x〕极大值=f〔1〕=﹣1，且知f〔e〕＜f〔〕，故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．应选B、【点评】此题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．9．S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，那么S25=( )A、232B、233C、234D、235【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由可得a n+3﹣a n=〔a n+1+a n+2+a n+3〕﹣〔a n+a n+1+a n+2〕=2，故a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前n项和公式，和分组求和法，可得答案．【解答】解：∵数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，∴a n+3﹣a n=〔a n+1+a n+2+a n+3〕﹣〔a n+a n+1+a n+2〕=2，∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，∴S25=〔a1+a4+a7+…+a25〕+〔a2+a5+a8+…+a23〕+〔a3+a6+a9+…+a24〕=++=233，应选：B【点评】此题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，根据得到a n+3﹣a n=2，是解答的关键．10．函数f〔x〕=cosπx与函数g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( )A、2B、4C、6D、8【考点】函数的零点；函数的图象．【专题】作图题．【分析】由图象变化的法那么和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法那么可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象；又f〔x〕=cosπx的周期为=2，如下图：两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，由中点坐标公式可得：x A+x D=2，x B+x C=2故所有交点的横坐标之和为4，应选B[来源:Z。

河北省衡水市2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．0,2⎛ ⎝⎦B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以c a >故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.2．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5 B ．3C ．32D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离. 【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和. 3．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度. 【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C. 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题. 4．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．5．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B ．22C 3D 3【答案】C【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫-⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故2e =.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85 B ．852C ．35D ．352【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S . 【详解】设公差为d ，则11522234a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题.7． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383 B ．57171 C ．59189 D ．61242【答案】C 【解析】 【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a 则()233513512n a n n =+-=- 令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。

2021年河北省衡水中学高考数学二调试卷1.已知集合A={(x,y)|2x+y=0}，B={(x,y)|x+my+1=0}.若A∩B=⌀，则实数m=()A. −2B. −12C. 12D. 22.设复数z=(1+i)21−2i，则|z|=()A. √105B. 25C. 2√55D. 433.已知{a n}是公差为3的等差数列.若a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前10项和S10=()A. 165B. 138C. 60D. 304.已知函数f(x)=4cos(2ωx+π6)−2(ω>0)在[0,π]内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是()A. .(32,136] B. [32,136) C. (34,1312] D. [34,1312)5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A. f(x)=ln|x|−cosxB. f(x)=ln|x|−sinxC. f(x)=ln|x|+cosxD. f(x)=ln|x|+sinx6.中国书法历史悠久、源远流长.书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观.谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术.我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为()A. 35B. 25C. 45D. 157.已知等差数列{a n}的公差为2020，若函数f(x)=x−cosx，且f(a1)+f(a2)+⋯+f(a2020)=1010π，记S n为{a n}的前n项和，则S2020的值为()A. 1010πB. 20212π C. 2020π D. 40412π8.如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积之比为3：1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两点在小球上，B、D两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直=()线AD与BC的夹角为θ，则sinθ2A. √66B. √24C. √306D. 2√6339.如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是()A. f(3)=9B. f(1)=f(7)C. 若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)D. 不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值10.下列四个命题中①设有一个回归方程y=2−3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②命题P：“∃x0∈R，x02−x0−1>0“的否定￢P：“∀x∈R，x2−x−1≤0”；−p；③设随机变量X服从正态分布N(0,1)，若P(X>1)=p，则P(−l<X<0)=12④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有()附：本题可以参考独立性检验临界值表P(K2≥0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k)10．k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.5357.879828A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.下列不等式成立的是()A. 2ln32<32ln2 B. √2ln√3<√3ln√2C. 5ln4<4ln5D. π>elnπ12.函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，下列结论正确的有()A. 当x<0时，f(x)=e x(x+1)B. 函数f(x)有且仅有2个零点C. 若m≤e−2，则方程f(x)=m在x>0上有解D. ∀x1，x2∈R，|f(x2)−f(x1)|<2恒成立13.已知(x+2)(ax−1)5的展开式中的常数项为13，则实数a的值为______ ．14.如图，在棱长均为2√3的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为AB中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则AP+PQ的最小值是______ ．15.已知双曲线C：x24−y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，E为C的右顶点，过点F2的直线与C的右支交于A，B两点，设M，N分别为△AF1F2和△BF1F2的内心，则|ME|−|NE|的取值范围为______ ．16.函数f(x)=x2e x2−2lnx−ax2，若a=0，则f(x)在[1,2]的最小值为；当x>0时，f(x)≥1恒成立，则a的取值范围是．17.已知函数f(x)=sin(π−x)cosx−cos2(x+π4)．(1)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间；(2)若对∀x∈{A2+π4,B2+π4,C2+π4}，恒有f(x)+12>0成立，且____，求△ABC面积的最大值．在①△ABC的外接圆直径为4，②a是直线√2x+y+3=0截圆O：x2+y2=4所得的弦长，③√3sinA+cosA=√3这三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边．18.设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，已知a1=1，S n+1−2S n=1(n∈N∗).数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n2+1a n+1．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得T n=4−n成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．19.如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB为圆锥底面⊙O的直径，在底面内以线段AO为直径作⊙M，点P为⊙M上异于点A，O的动点．(1)证明：平面SAP⊥平面SOP；(2)当三棱锥S−APO的体积最大时，求二面角A−SP−B的余弦值．20.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，点P在椭圆C上，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，PF1的中点为Q，△OF1Q周长等于√3+√62．(1)求椭圆C的标准方程；(2)W为双曲线D：y2−x24=1上的一个点，由W向抛物线E：x2=4y做切线l1，l2，切点分别为A，B．(ⅰ)证明：直线AB与图x2+y2=1相切；(ⅰ)若直线AB与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN外接圆面积的最大值．21.某陶瓷厂只生产甲、乙两种不同规格的瓷砖，甲种瓷砖的标准规格长宽为600mm×600mm，乙种瓷砖的标准规格长宽为900mm×400mm，根据长期的检测结果，两种规格瓷砖每片的重量x(单位：kg)都服从正态分布N(μ,σ2)，重量在(μ−3σ,μ+3σ)之外的瓷砖为废品，废品销毁不流入市场，其他重量的瓷砖为正品．(1)在该陶瓷厂生产的瓷砖中随机抽取10片进行检测，求至少有1片为废品的概率；(2)监管部门规定瓷砖长宽规格“尺寸误差”的计算方式如下：若瓷砖的实际长宽为amm，bmm，标准长宽为a− mm，b− mm，则“尺寸误差”为|a−a−|+|b+b−|，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“尺寸误差”的范围分别是[0,0.1]，(0.1,0.2]，(0.2,0.4)(正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于0.4mm的瓷砖)，现分别从甲、乙两种产品的正品中随机抽取各100片，分别进行“尺寸误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如下：已知经销商经营甲种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.12，“二级品”的利润率为0.08，“合格品”的利润率为0.02.经销商经营乙种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.10，“二级品”的利润率为0.05，“合格品”的利润率为0.02.视频率为概率．(ⅰ)若经销商在甲、乙两种瓷砖上各投资10万元，X1和X2分别表示投资甲、乙两种瓷砖所获得的利润，求X1和X2的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种瓷砖的利弊；(ⅰ)若经销商在甲、乙两种瓷砖上总投资10万元，则分别在甲、乙两种瓷砖上投资多少万元时，可使得投资所获利润的方差和最小？附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X<μ+ 2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974，0.682710≈0.0220，0.954510≈0.6277，0.997410≈0.9743．22.已知函数f(x)=e ax−x．(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)≥e ax lnx−ax2对x∈(0,e]恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为A ∩B =⌀，所以直线2x +y =0与直线x +my +1=0平行，所以m =12， 故选：C ．利用A ∩B =⌀，所以直线2x +y =0与直线x +my +1=0平行，得出结论．本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z =(1+i)21−2i=1+2i+i 21−2i=2i 1−2i =2i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−4+2i 5=−45+25i ，∴|z|=√(−45)2+(25)2=2√55， 故选：C ．根据复数的基本运算法则进行化简即可． 本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.【答案】A【解析】解：{a n }是公差d 为3的等差数列，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 1a 4=a 22，即a 1(a 1+9)=(a 1+3)2，解得a 1=3，又d =3，可得S 10=10a 1+12×10×9d =30+45×3=165． 故选：A ．设公差d =3，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=4cos(2ωx+π6)−2(ω>0)在[0,π]内有且仅有两个零点，则即cos(2ωx+π6)=12在[0,π]内有且仅有两个解．当x∈[0,π]，则2ωx+π6∈[π6,2ωπ+π6].∴由于cosπ3=cos5π3=cos7π3，∴2ωπ+π6∈[5π3,7π3)，∴ω∈[34,1312)，故选：D．由题意可得cos(2ωx+π6)=12在[0,π]内有且仅有两个解，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由图象可知f(x)不为偶函数，A选项、C选项为偶函数，故A选项、C选项错误，当y=ln|x|+sinx，当x∈(−π2,π2 )，令x1<0，x2>0，且|x1|=|x2|，可得y(x1)<y(x2)，通过观察图图象可知y(x1)>y(x2)，故D选项错误，故选：B．结合偶函数的性质，以及x∈(−π2,π2)时，通过判断函数的大小，即可判断．本题考查了函数的奇偶性，以及三角函数的性质，需要学生一定的数形结合的能力．6.【答案】A【解析】解：从五种书体中任意选两种进行研习的可能结果有C52=10种，则他恰好不选草书体的共有C42=6种，故他恰好不选草书体的概率为P=610=35．故选：A．先求出从五种书体中任意选两种进行研习及恰好不选草书体的事件的结果数，然后结合古典概率公式可求．本题主要考查了古典概率公式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设{a n}的公差为d，由f(x)=x−cosx，且f(a1)+f(a2)+⋯+f(a2020)=1010π，可得(a1+a2+⋯+a2020)−(cosa1+cosa2+⋯+cosa2020)=1010π，即1010(a1+a2020)−(cosa1+cosa2+⋯+cosa2020)=1010π，①又对1≤i≤1010π.i∈Z，有cosa i+cosa2021−i=cos[2a i+(2021−2i)d2−(2021−2i)d2]+cos[2a i+(2021−2i)d2+(2021−2i)d2]=2cos2a i+(2021−2i)d2cos(2021−2i)d2=2cos a i+a2021−i2cos(2021−2i)d2=2cos a1+a20202cos(2021−2i)d2．设a1+a20202=m，则①即为2020m−[(cosa1+cosa2020)+(cosa2+cosa2019)+⋯+(cosa1010+ cosa1011)]=1010π，即2020m−2cosm⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]=1010π②，设g(x)=2020x−2cosx⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]−1010π，由d=2020，可得g′(x)=2020+2sinx⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]>2020−2020=0，所以g(x)在R上递增，且g(π2)=0，又由②可得g(m)=0，所以m=π2，即a1+a20202=π2，所以S2020=2020(a1+a020)2=1010π．故选：A．设{a n}的公差为d，由等差数列的求和公式和两角和的余弦公式，化简可得2020m−2cosm⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]=1010π，设g(x)=2020x−2cosx⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]−1010π，求得导数，判断单调性，结合等差数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及构造函数，运用导数的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属中档题．首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为1：√3，内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例．判断当四面体ABCD体积最大时，AB，CD的位置关系，作出异面直线AD，BC所成的角θ，解直角三角形求得sinθ2．【解答】解：设正方体的边长为2，则其内切球半径为1，外接球的半径为√22+22+222=√3，∴内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例，依题意CD，AB最长为√(√3)2−12=√2，AC最长为小球的直径2．∵三角形的面积S=12⋅ab⋅sinC，若a，b为定值，则C=π2时面积取得最大值．画出图象如下图所示，其中A，C分别是所在正方形的中心，O是正方体内切球与外接球的球心，CD//AD1，CD=AD1，CB1//AB，CB1=AB．∵V A−BCD=13V ABD1−CB1D=13⋅S△ABD1⋅AC，故此时四面体A−BCD的体积最大．∵CE//AB，CE=AB，∴四边形ABCE为平行四边形，∴BC//AE，∴∠DAE是异面直线BC和AD所成角，∴∠DAE=θ，∵AD=AE，设G是DE的中点，则AG⊥DE，∴θ2=∠GAE，∴sinθ2=GEAE=√22+12+12=√6=√66．故选：A．9.【答案】BD【解析】解：设f(t)=Asin(ωx+φ)+B，依题意可知f(t)的最大值为9，最小为−3，∴A+B=9，且−A+B=−3，可得A=6，B=3；∵OP每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6，得f(t)=6sin(π6t+φ)+3，当t=0时，f(t)=0，得sinφ=−12，即φ=−π6，故所求的函数解析式为f(t)=6sin(π6t−π6)+3，对于A，f(3)=6sin(π6×3−π6)+3=3√3+3，即A错误；对于B，f(1)=6sin(π6×1−π6)+3=3，f(7)=6sin(π6×7−π6)+3=3，即B正确；对于C，因为f(t)≥6，所以6sin(π6t−π6)+3≥6，即sin(π6t−π6)≥12，所以π6t−π6∈[π6+2kπ,5π6+2kπ]，解得t∈[2+12k,6+12k]，k∈N，即C错误；对于D，f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin(π6t−π6)+3+6sin[π6(t+4)−π6]+3+6sin[π6(t+8)−π6]+3=6sin(π6t−π6)+6sin(π6t+π2)+6sin(π6t+7π6)+9=6[sin(π6t−π6)+cosπ6t−sin(π6t+π6)]+9，因为sin(π6t−π6)+cosπ6t−sin(π6t+π6)=(sinπ6t⋅cosπ6−cosπ6t⋅sinπ6)+cosπ6t−(sinπ6t⋅cosπ6+cosπ6t⋅sinπ6)=0，所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正确．故选：BD．设f(t)=Asin(ωx+φ)+B，根据f(t)的最大值和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当t=0时，f(t)=0，求得φ，因此函数的解析式为f(t)=6sin(π6t−π6)+3.由此，再逐一判断每个选项即可．本题主要考查了三角函数在实际生活中的应用，涉及求三角函数解析式、诱导公式、正弦的两角和差公式等知识，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：①设有一个回归方程y=2−3x，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故①不正确；②命题P：“∃x0∈R，x02−x0−1>0“的否定￢P：“∀x∈R，x2−x−1≤0”，正确；③设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则对称轴为x=0，∵P(X>1)=p，∴P(−l<X<0)=12−p，正确；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679>6.535，∴有99%的把握确认这两个变量间有关系，正确．故选：C．对选项逐个进行判断，即可得出结论．本题考查回归方程、命题的否定，考查正态分布、独立性检验知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：设f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1−lnxx2，所以当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为32<3<e，所以f(32)<f(2)，即2ln32<32ln2，故A正确；因为√2<√3<e，所以f(√2)<f(√3)，即√2ln√3>√3ln√2，故选项B不正确；因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln4>4ln5，故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>elnπ，故选项D正确．故选：AD．构造f(x)=lnxx (x>0)，求导得f′(x)=1−lnxx2，判断函数的单调性，然后逐个判断即可．本题考查对数函数的性质，属于基础题．12.【答案】AD【解析】解：当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，f′(x)=−e−x(x−1)+e−x=e−x(2−x)，可得0<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增，x>2时，f′(x)<0，f(x)递减，可得x=2处f(x)取得极大值e−2，x→+∞，f(x)→0，画出y=f(x)在x>0的图象，由奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)在x<0的图象，且f(0)=0，可得y=f(x)在R上的图象．当x<0时，−x>0，f(x)=−f(−x)=−e x(−x−1)=e x(x+1)，故A正确；由图象可得f(x)与x轴有三个交点，故B错误；由x>0时，可得f(x)∈(−1,e−2]，可得方程f(x)=m在x>0上有解，则−1<m≤e−2，故C错误；由图象可知，f(x)∈(−1,1)，则∀x1，x2∈R，|f(x2)−f(x1)|<1−(−1)=2，故D正确．故选：AD．求得x>0时，f(x)的导数，可得单调性和极值，画出x>0的图象，由奇函数的特点作出y=f(x)在R上的图象，由x<0，−x>0，运用奇函数的定义可得x<0时f(x)的解析式，可判断A；由图象与x轴的交点个数可判断B；由x<0时f(x)的范围，可判断C；由f(x)的值域可判断D．本题考查函数的图象和性质，主要是奇偶性和单调性、对称性的运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵(x+2)(ax −1)5=(x+2)[(ax)5−5(ax)4+10(ax)3−10(ax)2+5⋅ax−1),故它的展开式中的常数项为5a−2=13，则实数a=3，故答案为：3．把(ax −1)5按照二项式定理展开，可得(x+2)(ax−1)5的展开式中常数项，再根据(x+2)(ax−1)5的展开式中的常数项为13，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】√3+√112【解析】解：由题意，平面CDE⊥平面ABC，又平面CDE∩平面ABC=CE，过M作MG⊥CE，则MG⊥平面CDE，连接DG，则DG为DM在平面CDE上的射影，要使AP+PQ最小，则PQ⊥DG，沿DM把平面ADM展开，使得平面ADM与平面DMG重合，则AP+PQ的最小值为A到DG的距离．MG=12AE=√32，DM=√(2√3)2−(√3)2=3，则sin∠MDG=√36，∴cos∠MDG=√336，∠ADM=30°，∴sin∠ADG=sin(∠MDG+30°)=sin∠MDG⋅cos30°+cos∠MDG⋅sin30°=√36×√32+√336×12=3+√3312．又AD=2√3，∴AQ=2√3×3+√3312=√3+√112．故答案为：√3+√112．由题意，平面CDE⊥平面ABC，找出DM在平面CDE上的射影，再把平面DMA沿DM把平面ADM展开，使得平面ADM与平面DMG重合，则AP+PQ的最小值为A到DG的距离，然后求解三角形得答案．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.【答案】(−4√33,4√3 3)【解析】解：设直线AF1，AF2，F1F2与△AF1F2的内切圆M分别相切于点H，I，J，则|AH|=|AI|，|F1H|=|F1J|，|F2J|=|F2I|，因为|AF1|−|AF2|=4，所以(|AH|+|F1H|)−(|AI|+|F2I|)=4，即|F1H|−|F2I|=4，即|F1J|−|F2J|=4，设点M的横坐标为x0，则点J的横坐标为x0，因为F1(−4,0)，F2(4,0)，所有(x0+4)−(4−x0)=4，解得x0=2，所以点J与点E重合，且EM⊥x轴，同理，可得EN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，当θ=π2时，|ME|−|NE|=0，当θ≠π2时，∠EF2M=π−θ2，∠EF2N=θ2，由题可知|F1E|=2，所以|ME|−|NE|=2tanπ−θ2−2tanθ2=2(cosθ2sinθ2−sinθ2cosθ2)=4cosθsinθ=4tanθ，由题意知a=2，c=4，ba=√3，所以π3<θ<2π3，所以tanθ∈(−∞,−√3)∪(√3,+∞)，所以4tanθ∈(−4√33,0)∪(0,4√33)，综上可知，|ME|−|NE|的取值范围为(−4√33,4√33)，故答案为：(−4√33,4√3 3).由题意得|AH|=|AI|，|F1H|=|F1J|，|F2J|=|F2I|，再由双曲线定义得|F1H|−|F2I|=2a，即|F1J|−|F2J|= 2a，设J的横坐标，解出横坐标，设直线AB的倾斜角，再求出|ME|−|NE|的取值范围．本题考查直线与双曲线的位置关系，三角形的内切圆，解题中需要理清思路，属于中档题．16.【答案】e(−∞,1]【解析】【分析】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查发现问题解决问题的能力．求出函数的解析式，求解函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值，利用函数的最值判断a 的范围即可．【解答】解：当a=0时，∵f(x)=x2e x2−2lnx，∴f′(x)=2xe x2+2x⋅x2e x2−2x．当x>1时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在[1,2]上单调递增．∴f(x)在[1,2]上最小值为f(1)=e．又x>0时，f(x)≥1恒成立，令g(x)=e x−x−1，x∈R，可得g′(x)=e x−1，x<0时，g′(x)<0，x>0，g′(x)>0，所以x=0时，g(x)取得最小值：0，∴e x≥x+1，∴e 2lnx+x 2≥2lnx +x 2+1；∴f(x)=x 2e x 2−2lnx −ax 2=e 2lnx+x 2−2lnx −ax 2≥2lnx +x 2+1−2lnx −ax 2=(1−a)x 2+1≥1， ∴a ≤1．故空1答案为：e ；空2答案为(−∞,1]．17.【答案】解：(1)f(x)=sinxcosx −1+cos(2x+π2)2=sin2x −12，令−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π4+kπ≤x ≤π4+kπ，k ∈Z ，x ∈[0,π]， 所以f(x)的单调递增区间为[0,π4]，[3π4,π]． (2)①因为x ∈{A2+π4,B2+π4,C2+π4}，所以2x ∈(π2,3π2)，由f(x)+12>0得sin2x >0， 所以0<2x <π，所以0<A +π2<π，所以0<A <π2， 同理0<B <π2，0<C <π2，即△ABC 为锐角三角形． ②∵圆心到直线的距离d =√2+1=√3， 故弦长a =2√4−3=2．③∵由√3sina +cosA =√3得sin(A +π6)=√32，又A 为锐角，所以A =π6．选择①②，2R =4，a =2，2RsinA =a ，得4sinA =2，sinA =12； 选择①③，2R =4，A =π6，得a =2RsinA =2； 选择②③，即a =2，A =π6．由余弦定理得b 2+c 2−2bccos π6=a 2=4， 所以b 2+c 2−√3bc =4≥(2−√3)bc ，所以bc 最大值为2−√3=4(2+√3)，当且仅当b =c 时取等号， 所以△ABC 的面积为S =12bcsinA =14bc ，最大值为2+√3．【解析】(1)化简f(x)=sin2x −12，令−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z ，即可求得f(x)的单调递增区间； (2)①由f(x)+12>0，得0<2x <π，即可得0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，即△ABC 为锐角三角形； ②利用弦心距、半径、弦长的关系求解；③由√3sina +cosA =√3求得A =π6.选择①②，选择①③，选择②③，分别求解最大值．． 本题考查了三角恒等变形、三角函数的性质、解三角形，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由S n+1−2S n =1，得S n −2S n−1=1(n ≥2)，两式相减，得a n+1−2a n =0，即a n+1a n=2(n ≥2)．因为a 1=1，由(a 1+a 2)−2a 1=1，得a 2=2，所以a2a 1=2，所以a n+1a n=2对任意n ∈N ∗都成立，所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2．故a n =2n−1，由b n+1=b n 2+1an+1，得b n+1=b n 2+12n，即2n b n+1=2n−1b n +1，即2n b n+1−2n−1b n =1，因为b 1=1，所以数列{2n−1b n }是首项为1，公差为1的等差数列． 所以2n−1b n =1+(n −1)×1=n ，所以b n =n2n−1． (2)T n =1×(12)0+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n ×(12)n−1，所以12T n =1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+n ×(12)n ， 两式相减， 得12T n =(12)0+(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1−n ×(12)n=1−(12)n1−12−n ×(12)n =2−(n +2)×(12)n ，所以T n =4−(2n +4)×(12)n ．由T n =4−n ，得4−(2n +4)×(12)′′=4−n ， 即n+2n=2n−1显然当n =2时，上式成立， 设f(n)=n+2n−2n−1(n ∈N ∗)，即f(2)=0．因为f(n +1)−f(n)=(n+3n+1−2n )−(n+2n−2n−1)=−[2n(n+1)+2n−1]<0，所以数列{f(n)}递减，所以f(n)=0只有唯一解n =2，所以存在唯一正整数n =2，使得T n =4−n 成立．【解析】(1)由S n+1−2S n =1，得S n −2S n−1=1(n ≥2)，两式相减，利用等比数列的通项公式即可得出a n .把a n+1代入b n+1=b n 2+1an+1，转化为等差数列，利用通项公式即可得出．(2)利用错位相减法即可得出T n ，再利用数列的单调性即可得出n ．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，∴SO ⊥AP ，∵AO 为⊙M 的直径，∴PO ⊥AP ，∴AP ⊥平面SOP ， ∵AP ⊂平面SAP ，∴平面SAP ⊥平面SOP ． (2)解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，∴圆锥的侧面积S 侧=12×2πrl =πrl ，底面积S 底=πr 2，∴依题意2πr 2=πrl ，∴l =2r ，取r =2，l =4，则在△ABS 中，AB =AS =BS =4，∴SO =√AS 2−AO 2=2√3，如图，在底面作⊙O 的半径OC ，使得OA ⊥OC ， ∵SO ⊥OA ，SO ⊥OC ，∴以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(2,0，0)，B(−2,0，0)，S(0,0，2√3)，在三棱锥S −APO 中，∵SO =2√3，∴△AOP 面积最大时，三棱锥S −APO 的体积最大，此时MP ⊥OA ， ∵⊙M 的半径为1，∴P(1,1，0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1，0)，取a =1，得SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−2√3)， 设平面SBP 的法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0n ⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −2√3c =0，取a =1，得n⃗ =(1,1，√33)， 设平面SBP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +y =0m ⃗⃗⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −2√3z =0，取x =−1，得m⃗⃗⃗ =(−1,3，√33)， 设二面角A −SP −B 的平面角为θ，由图得θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−|−1+3+13|√73⋅√313=−√21731，∴二面角A −SP −B 的余弦值−√21731．【解析】(1)推导出SO ⊥AP ，PO ⊥AP ，从而AP ⊥平面SOP ，由此能证明平面SAP ⊥平面SOP ． (2)设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，推导出l =2r ，OA ⊥OC ，SO ⊥OA ，SO ⊥OC ，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −SP −B 的余弦值． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设|F 1F 2|=2c ，因为Q 为PF 1的中点，所以△OF 1Q 的周长为|F 1Q|+|OQ|+|QF 1|=c +|F 2P|+|F 1P|2=a +c ，所以{a +c =√3+√62c a =√22，解得a =√3，b =c =√62，所以椭圆C 的方程为x 23+2y 23=1．(2)(ⅰ)证明：由x 2=4y 得y =x 24，求导得y′=x2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则直线l 1：y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 124，同理：l 2=x 22x −x 224，设W(x 0,y 0)，因为W 为l 1，l 2的交点， 所以x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，由题知直线AB 的斜率存在，设它的方程为y =kx +m ， 将y =kx +m 代入x 2=4y 得：x 2−4kx −4m =0， 所以x 0=2k ，y 0=−m ，因为y 02−x 024=1，所以m 2=1+k 2，所以圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ，所以直线AB 与圆O ：x 2+y 2=1相切． (ⅰ)将y =kx +m 与x 23+2y 23=1联立得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−3=0，由韦达定理可得x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−31+2k 2，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2，=3m 2−3k 2−31+2k 2=0，所以OM ⊥ON ， 又因为|MN|=2√(1+k2)(6k 2−2m 2+3)1+2k 2=2|m|√4m 2+32m 2+1，方法一：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0， 解得√32<m 或m <−√5+12，所以|MN|=√2⋅√2m 2(4m 2−3)2m 2−1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m 2−1，所以0<t <2或0<t <√5−2， |MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)=√2⋅√−(t −12)2+94，当t =12时，即m =√62时，|MN|有最大值，且最大值3√22，所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22，所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．方法二：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0， 解得√32<m 或m <−√5+12，|MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)≤√2⋅(2m 2+4m 2−3)2×(2m 2−1)=3√22， 当且仅当2m 2=4m 2−3，即m =√62(m =−√62舍)，所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22，所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．【解析】(1)根据题意可得{a +c =√3+√62c a =√22，解得a ，c ，再由a 2=b 2+c 2，解得b ，进而可得椭圆的方程．(2)(ⅰ)根据题意可得y =x 24，求导得y′=x2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线l 1，l 2的方程，联立求出l 1与l 2交点W(x 0,y 0)的坐标，有点W 在双曲线上，推出m 2=1+k 2，进而有点到直线的距离公式可得圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ，即可得出答案．(ⅰ)联立直线ABy =kx +m 与x 23椭圆的方程得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，计算得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，推出OM ⊥ON ，写出弦长|MN|=2|m|√4m 2+32m 2+1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m2−1，0<t<2或0<t<√5−2，再由配方法可得|MN|的最大值．方法二：同方法一解得m的取值范围，再由基本不等式可得|MN|的最大值，进而求出△OMN外接圆面积的最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由正态分布可知，抽取的1片瓷砖的质量在(μ−3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，则这10片质量全部在(μ−3σ,μ+3σ)之内(即没有废品)的概率为0.997410≈0.9743，则这10片中至少有1片是废品的概率为1−0.9743=0.0257．(2)(i)由利润率和投资额得X1可以为1.2万元、0.8万元和0.2万元，X2可以为1万元、0.5万元和0.2万元，由直方图可得对应的频率分别为0.3，0.5，0.2和0.2，0.8，0．所以随机变量X1的分布列：E(X1)=1.2×0.3+0.8×0.5+0.2×0.2=0.8万元，D(X1)=(1.2−0.8)2×0.3+(0.8−0.8)2×0.5+ (0.2−0.8)2×0.2=0.12．随机变量X2的分布列：E(X2)=1×0.2+0.5×0.8+0.2×0=0.6万元，D(X2)=(1−0.6)2×0.2+(0.5−0.6)2×0.8=0.04，经销商经销甲瓷砖的平均利润0.8万元大于经销乙瓷砖的平均利润0.6万元，但经销甲瓷砖的方差0.12也远大于经销乙瓷砖的方差0.04，所以经销甲瓷砖的平均利润大，相对不稳定，而经销乙瓷砖的平均利润小，但相对稳定．(ii)设经销商在经销甲瓷砖上投资x万元，则在经销乙瓷砖上投资(10−x)万元，经销甲瓷砖的方差与经销乙瓷砖的方差的和f(x)=D(x10X1)+D(10−x10X2)=(x10)2D(X1)+(10−x10)2D(X2)=0.04 100[3x2+(10−x)2]=0.04100⋅(4x2−20x+100)，当x=−−202×4=2.5时，f(x)取最小值，故在经销甲瓷砖上投资2.5万元，经销乙瓷砖上投资7.5万元时，可使得投资所获利润的方差和最小．【解析】(1)利用正态分布，抽取的1片瓷砖的质量在(μ−3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，求出这10片质量全部在(μ−3σ,μ+3σ)之内(即没有废品)的概率，然后求解这10片中至少有1片是废品的概率．(2)(i)由利润率和投资额得X 1可以为1.2万元、0.8万元和0.2万元，X 2可以为1万元、0.5万元和0.2万元，求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差，推出经销商经销甲瓷砖的平均利润0.8万元大于经销乙瓷砖的平均利润0.6万元，但经销甲瓷砖的方差0.12也远大于经销乙瓷砖的方差0.04，所以经销甲瓷砖的平均利润大，相对不稳定，而经销乙瓷砖的平均利润小，但相对稳定．(ii)设经销商在经销甲瓷砖上投资x 万元，则在经销乙瓷砖上投资(10−x)万元，然后求解经销甲瓷砖的方差与经销乙瓷砖的方差的和，利用二次函数的性质，求解最值即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=ae x −1，则f′(0)=a −1=1，即a =2．令f′(x)=0，得x =−ln22， 当x <−ln22时，f′(x)<0；当x >−ln22时，f′(x)>0． 故f(x)的单调递减区间为(−∞,−ln22)，单调递增区间为(−ln22,+∞)．(2)由f(x)≥e ax lnx −ax 2对x ∈(0,e]恒成立，得ax 2−x ≥e ax (lnx −1)，则ax−1e ax ≥lnx−1x ，即lne ax −1e ax ≥lnx−1x ．设函数g(x)=lnx−1x ，则lne ax −1e ax ≥lnx−1x 等价于g(e ax )≥g(x)． 因为g′(x)=2−lnxx 2，所以当x ∈(e 2,+∞)时，g′(x)>0，则g(x)在(0,e 2]上单调递增，所以g(x)≤g(e 2)=1e 2，当x ∈(e,+∞)时，g(x)=lnx−1x >0．所以当x ∈(0,e]时，g(e ax )≥g(x)等价于当x ∈(0,e]时，g(e ax )≥g(x)，e ax ≥x ，即a ≥lnx x ． 设函数ℎ(x)=lnx x ，x ∈(0,e]，则ℎ′(x)=1−lnx x 2≥0， 所以ℎ(x)max =ℎ(e)=1e ，所以a ≥1e ，故a 的取值范围为[1e ,+∞).【解析】(1)由已知结合导数几何意义可求a ，然后结合导数与单调性关系即可求解；(2)由已知不等式分离得ax−1e ax ≥lnx−1x ，即lne ax −1e ax ≥lnx−1x .结合已知不等式构造函数g(x)=lnx−1x ，原不等式等价于g(e ax)≥g(x)，然后转化为求解函数最值，结合导数可求．本题主要考查了导数的几何意义，导数与单调性关系及由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用．。

河北省衡水市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C 【解析】 【分析】由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2iz化简后可找到其对应的点. 【详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题. 2．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．132【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果. 【详解】程序运行过程如下：3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =；3x =，196M =；23x =，236M =； 12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.3．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ）A ．2B ．CD ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知，圆心M=222c a b ==+，解方程即可.【详解】由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M =2bb c===，故1a =， 所以离心率为2ce a==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 4．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元【答案】D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故选D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．5．已知复数31izi-=-，则z的虚部为（）A．i-B．i C．1-D．1 【答案】C【解析】【分析】先将31izi-=-，化简转化为2z i=+，再得到2z i=-下结论.【详解】已知复数()()()()3132111i iiz ii i i-+-===+--+，所以2z i=-，所以z的虚部为-1.故选：C【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（）A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及x ∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f （x ）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可. 【详解】由f （x+2）＝f （x ），得f （x ）是周期函数且周期为2，先作出f （x ）在x ∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移， 并结合f （x ）是偶函数作出f （x ）在R 上的图象如下，选项A ，130sincos 16226ππ<=<=<， 所以66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 错误； 选项B ，因为334ππ＜＜，所以203312sin cos -＜＜＜， 所以f （sin3）＜f （﹣cos3），即f （sin3）＜f （cos3），选项B 正确； 选项C ，434144sin,1033233cos sin cos ππππ==->->->， 所以4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 选项C 错误；选项D ，(2020)(0)(1)(2019)f f f f =<=，选项D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.7．已知函数1()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】化简()1sin cos 22f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。