高中数学第三章指数函数和对数函数第2课时对数的运算学案北师大必修1

第2课时 对数的运算性质及换底公式学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重、难点)；2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重、难点)．预习教材P80－85完成下列问题： 知识点一 对数的运算性质 如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，则： (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a MN＝log a M －log a N ．思考 当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示 不一定成立．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)对数的运算性质(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 能推广为log a (a 1·a 2·…·a n )＝log a a 1＋log a a 2＋…＋log a a n (a >0且a ≠1，a n >0，n ∈N *)．( )提示 (1)错误．M 和N 为负数时log a M 和log a N 无意义． (2)错误．log a x ＋log a y ＝log a (xy )． (3)正确．能log a [(a 1a 2…a n－1)·a n ]＝log a (a 1·a 2·…·a n－1)＋log a a n ＝log a (a 1·a 2·…·a n －2)＋log a a n －1＋log a a n ＝…＝log a a 1＋log a a 2＋…＋log a a n ．答案 (1)× (2)× (3)√ 知识点二 换底公式log b N ＝log a Nlog a b (a ，b >0，a ，b ≠1，N >0)．【预习评价】1．换底公式中底数a 是特定数还是任意数？ 提示 是大于0，且不等于1的任意数． 2．换底公式有哪些作用？提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于应用对数的运算性质进行化简、求值．知识点三 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1； (3)log an b n＝log a b ； (4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b ．【预习评价】1．计算log 2781＝( ) A.43 B ．34 C ．23D ．32解析 log 2781＝log 3334＝lg 34lg 33＝43．答案 A2．计算log 42＋log 48＝________． 解析 log 42＋log 48＝log 416＝2． 答案 23．结合教材P81－82，例4和例5，你认为应怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？ 提示 第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化． 第二步：利用对数的性质化简、求值．题型一 利用对数的运算性质化简、求值 【例1】 计算下列各式的值． (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2．解 (1)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12． 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg (75)＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12．(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．【训练1】 计算下列各式的值． (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27．解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1．(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3－＝115．题型二 利用换底公式化简、求值 【例2】 计算下列各式的值． (1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． 解 (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2．(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52) ＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52 ＝133×3＝13． 规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式． (2)常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log an b m＝m nlog a b ， log a b ＝1log b a等．【训练2】 (1)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B ．12 C ．2D ．4(2)log 2125·log 318·log 519＝________．解析 (1)(log 29)·(log 34)＝(log 232)·(log 322) ＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4． (2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg 19lg 5＝－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3lg 2·lg 3·lg 5＝－12．答案 (1)D (2)－12方向1 含有附加条件的对数式或指数式的求值 【例3－1】 (1)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645． (2)设3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．解 (1)法一 ∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b ． 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18log 18＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a． 法二 ∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b ． 于是log 3645＝log 18log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a．法三 ∵log 189＝a,18b＝5，∴lg9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a． (2)法一 由3a＝4b ＝36，得a ＝log 336＝2log 36，b ＝log 436＝log 2262＝log 26． ∴2a ＋1b ＝22log 36＋1log 26＝log 63＋log 62＝log 6(2×3)＝log 66＝1． 法二 对已知条件取以6为底的对数，得a log 63＝2，b log 62＝1，∴2a ＝log 63，1b＝log 62，于是2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1．方向2 与方程的综合应用 【例3－2】 解下列方程．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2； (3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1．解 (1)首先，方程中的x 应满足x >10， 其次，原方程可化为lgx3＝lg5x －10，∴x3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0． 解得x ＝15或x ＝－5(舍去)， 经检验，x ＝15是原方程的解． (2)首先，x >0且x ≠110，其次，原方程可化为lg x ＋2lg x 1＋lg x＝2，即lg 2x ＋lg x －2＝0．令t ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2， ∴x ＝10或x ＝1100．经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1>0且x 2－1≠1，即x >1或x <－1且x ≠±2． 由2x 2－3x ＋1>0，得x <12或x >1．综上可知，x >1或x <－1且x ≠±2． 其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1． ∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2． 又∵x >1或x <－1且x ≠±2，∴x ＝2． 经检验，x ＝2是原方程的解． 方向3 与集合知识的综合应用【例3－3】 已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，若A ＝B ，则log 8(x 2＋y 2)＝________．解析 在集合B 中，根据集合中元素的互异性，有|x |≠0，且y ≠0.则在集合A 中，x ≠0，且xy ≠0，有lg(xy )＝0，解得xy ＝1.此时，A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，y }．由A ＝B ，得|x |＝1或y ＝1．①若|x |＝1，则x ＝－1或x ＝1(舍去)．此时y ＝－1.经检验，符合题意． ②若y ＝1，则|x |＝x ，解得x ＝1，与集合中元素的互异性矛盾． 综合可知，x ＝－1，y ＝－1，log 8(x 2＋y 2)＝log 82＝13．答案 13方向4 与函数知识的综合应用【例3－4】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ∈，＋，x2，x ∈－1，0]，－2x ＋3，x ∈－∞，－1]，求f (f (f (－2－3)))的值．解 ∵－2－3<－1，且当x ∈(－∞，－1]时，f (x )＝－2x ＋3，∴f (－2－3)＝－2－2－3＋3＝－14．∵－14∈(－1,0]，且当x ∈(－1,0]时，f (x )＝x 2，∴f (f (－2－3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝116>0．又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ， ∴f (f (f (－2－3)))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝log 2116＝－4．规律方法 (1)带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．(2)解对数方程时，先由对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可，这样做可以避免烦琐的计算．课堂达标1．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．aD ．a2解析 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3(lg x －lg y )＝3a ．答案 A2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a bC ．abD ．a ＋b解析 log 32＝ln 2ln 3＝ab ．答案 B3．log 510＋log 512＝________．解析 原式＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫10×12＝log 55＝1． 答案 14．log 23·log 34＝________． 解析 原式＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2．答案 25．计算：lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8×(lg 32－lg 2)．解 原式＝－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2×lg 24＝4． 课堂小结1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N )n，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．。

2．1 指数概念的扩充1．了解整数指数幂的概念．2．理解分数指数幂的概念，掌握分数指数形式与根式形式的互化． 3．了解无理数指数幂和实数指数幂的概念．1．整数指数幂 a n＝(n ∈N ＋)，a 0＝____(a ≠0)，a －n ＝____(a ≠0，n ∈N ＋)．【做一做1－1】 π0等于( )．A ．0B ．πC ．1D ．2π【做一做1－2】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝__________.2．分数指数幂(1)定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在____的正实数b ，使得b n＝____，那么b 叫作a 的m n次幂，记作b ＝____.它就是分数指数幂．分数指数幂m na 不是m n个a 相乘，实质上是关于b 的方程b n ＝a m的解．(2)写成根式形式：m na ＝____，1m nm naa-=＝____(其中a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．(3)结论：0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂________． 【做一做2－1】 323等于( )．A. 2B.33 C.327 D.27【做一做2－2】 5a －2等于( )． A ．25a- B ．52a C ．25a D ．52a -3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的____．指数的扩充过程：(1)规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．(2)规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂． 【做一做3】 计算：(1)1327-；(2)126449-⎛⎫⎪⎝⎭；(3)212-⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：1．11na 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 162．(1)唯一 a mm na (2)na m1na m(3)0 没有意义【做一做2－1】 D 【做一做2－2】 A 3．实数【做一做3】 (1)13 (2)78(3)221．为什么分数指数幂的定义中规定b 为正实数？剖析：由整数指数幂的规定知，当a ＞0时，对任意整数m ，总有a m＞0.若b ＝0，当n为正整数时，b n ＝0，此时b n ≠a m ；当n 为负整数或零时，b n 无意义，b n ＝a m无意义．若b ＜0，当n 为奇数时，b n＜0，此时b n≠a m；当n 为偶数时，虽然b n＝a m成立，但此时，0＞b ≠m na ＞0.因此规定b ＞0.2．为什么分数指数幂的定义中规定整数m ，n 互素？剖析：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：13a 中，底数a ∈R, 当a ＜0时，13a ＜0，而如果把13a 写成26a ，有两种运算：一是26a ＝126()a 就必须a ≥0；二是26a＝126()a ，在a ＜0时，26a 的结果大于0，与13a ＜0相矛盾．所以规定整数m ，n 互素．题型一 用分数指数幂表示正实数【例1】 把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式(b ＞0)：(1)b 3＝4；(2)b －2＝5；(3)b m ＝32n(m ，n ∈N ＋)．反思：将b k＝d 中正实数b 写成分数指数幂的形式时，主要依据分数指数幂的意义：b n ＝amb ＝a m n(m ，n ∈N ＋，b ＞0)．题型二用分数指数幂表示根式【例2】用分数指数幂表示下列各式：(1)3x2；(2)13a；(3)4a－b3；(4)3m2＋n2.反思：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式：a mn＝na m(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．题型三求指数幂a mn的值【例3】计算：(1)6412-；(2)238；(3)13125-.分析：将分数指数幂化为根式，再求值．反思：分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式时，用熟悉的知识去理解新概念是关键．题型四易错辨析易错点忽略n的范围导致化简na n时出错【例4】化简：31＋23＋41－24.错解：原式＝(1＋2)＋(1－2)＝2.错因分析：错解中忽略了1－2＜0的事实，应当是41－24＝2－1. 答案：【例1】解：(1)b＝134.(2)b＝125-.(3)b＝33nm.【例2】解：(1)3x2＝23x.(2)13a＝131a＝13a-.(3)4a－b3＝34()a b-.(4)3m2＋n2＝1223()m n+.【例3】解：(1)12164864-==.(2)2323388644==.(3)13125-＝13125＝15.【例4】正解：原式＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.1 122写成根式形式是( )．2若b 4＝3(b ＞0)，则b 等于( )．A ．34B ．143 C ．43 D ．353 230-等于( )．A ．0B ．1C ．23- D ．没有意义4 把下列各式中的正实数x 写成根式的形式：(1)x 2＝3；(2)x 7＝53；(3)x －2＝d 9.5 求值：(1)10012；(2)329-；(3)34181-⎛⎫⎪⎝⎭.答案：1．A 2.B 3.D4．解：(1)x＝123=x＝375=(3)x＝92921dd-=.5．解：(1)∵102＝100，∴12100＝10.(2)∵231927-⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴321927-=.(3)∵274＝3181-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴34181-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝27.。

第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。

第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。

§4.1 对数及其运算（第二课时）一．教学目标：1．知识与技能①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的运算性质.②让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用难点：正确使用对数的运算性质三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.教学用具：投影仪四．教学过程：1．设置情境复习：对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0），指数的运算性质.;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=();n m n mn ma a a == 2．讲授新课探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +⋅=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设。

于是,m n MN a += 由对数的定义得到log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔=log m n a MN a m n MN +=⇔+=log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？（让学生探究，讨论）如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+（2）log log log a a a M M N N=- （3）log log ()n a a M n Mn R =∈ 证明：（1）令,m n M a N a ==则：m n m n M a a a N-=÷= log a M m n N ∴-= 又由,m n M a N a ==log ,log a a m M n N ∴== 即：log log log a a aM M N m n N -=-= （3）0,log ,N n n a n N M M a ≠==时令则 log ,bna b n M M a ==则 Nb n na a ∴= Nb ∴= 即log log log a a a M M N N=- 当n =0时，显然成立.log log n a a M n M ∴=提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0？2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？例题分析例4 计算：（1）㏒3（92×35）； （2）lg1001/5 例5 用㏒a x, ㏒a y ㏒a z 表示下列各式：（1）㏒a （x 2yz ） （2）㏒a yz x 2 （3）㏒z y x 2.例6科学家以里氏震级来度量地震的强度。

§5对数函数5．1对数函数的概念5．2对数函数y＝log2x的图像和性质知识点一对数函数的有关概念[填一填](1)对数函数：我们把函数y＝log a x(a>0,a≠1)叫作对数函数,a叫作对数函数的底数．(2)常用对数函数与自然对数函数：称以10为底的对数函数y＝lg x为常用对数函数,以无理数e为底的对数函数y＝ln x为自然对数函数．[答一答]1．如何准确理解对数函数的定义？提示：(1)同指数函数一样,对数函数仍然采用形式定义,如y＝2log2x,y＝log2x2等都不是对数函数,只有y＝log a x(a>0,a≠1,x>0)才是．(2)由于指数函数y＝a x(a>0,且a≠1)的定义域是R,值域为(0,＋∞),再根据对数式与指数式的互化过程知道对数函数y＝log a x(a>0,且a≠1)的定义域为(0,＋∞),值域为(－∞,＋∞),它们的定义域和值域互换．知识点二反函数[填一填](1)指数函数y＝a x(a>0,a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0,a≠1)互为反函数,通常情况下,x表示自变量,y表示函数,指数函数y＝a x(a>0,a≠1)是对数函数y＝log a x(a>0,a≠1)的反函数；同时,对数函数y＝log a x(a>0,a≠1)也是指数函数y＝a x(a>0,a≠1)的反函数．互为反函数的图像关于直线y＝x对称．(2)y＝log2x的图像和性质对数函数y＝log2x的图像过点(1,0),函数图像都在y轴右边,表示了0和负数没有对数；当x>1时,y＝log2x的图像位于x轴上方,当0<x<1时,图像位于x轴下方；函数y＝log2x在(0,＋∞)为增函数．[答一答]2．如何正确理解反函数？提示：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数．深刻理解定义．(1)函数y＝f(x)的反函数常用y＝f－1(x)来表示．(2)函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．(3)对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数,它们的图像关于直线y＝x对称．(a>0且a≠1)(4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域．(5)对于任意一个函数y＝f(x),不一定总有反函数,只有当确定一个函数的映射是一一映射时,这个函数才有反函数．1．对数函数的形式特征(1)整体性：log a x为一个整体,且前面系数为1.(2)独立性：自变量x在真数的位置且为单个x.(3)限制性：底数a是满足a>0且a≠1的常数．2．对反函数的三点说明(1)只有一一映射确定的函数才有反函数,如一次函数y＝kx＋b(k≠0),反比例函数y＝k x(k≠0),指数函数y＝a x(a>0且a≠1),对数函数y＝log a x(a>0且a≠1),它们都是一一映射的函数,都有相应的反函数,而二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0),在整个定义域上没有反函数,因为它在定义域上不是一一映射的函数．(2)反函数也是函数,它具有函数的一切特征；反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数．(3)互为反函数的两个函数的定义域和值域互换,即原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域.类型一对数函数的判断【例1】下列函数是对数函数的是________．(1)y＝4x；(2)y＝log x2；(3)y＝－log3x；(4)y＝log0.4x；(5)y＝log(2a－1)x(a>12且a≠1,x是自变量)；(6)y＝log2(x＋1)．【思路探究】在对数函数y＝log a x中,log a x的系数必须是1,对数的底数a是一个大于0而不等于1的常数,对数的真数仅有自变量x.【解析】根据对数函数的定义,只有严格符合y＝log a x(a>0,a≠1,x>0)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数．易知,(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数；(3)式中y＝－log3x,系数不为1,所以不是对数函数；(4)式中y＝log0.4x,自变量x的次数不为1,所以不是对数函数；(5)式中对数的底数2a－1是一个大于0且不等于1的常数,符合对数函数的定义；(6)式中函数在对数的真数处不只有自变量x,而是关于x的表达式x＋1,故不是对数函数．由此可知只有(5)是对数函数．【答案】(5)规律方法判断一个函数是否为对数函数时,要紧扣对数函数解析式的三个特征,三者缺一不可．指出下列函数哪些是对数函数． (1)y ＝log a (x ＋7)； (2)y ＝4log 3x ； (3)y ＝2log a x ＋1； (4)y ＝log 0.2x .解：根据对数函数的定义进行判断．(1)(2)(3)均不是对数函数,它们都是由对数函数经过某种变换而得到的．只有(4)是对数函数．类型二 求对数函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域： (1)y ＝log a (9－x 2)(a >0,a ≠1)；【思路探究】 函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,使函数有意义的条件可能有多个,对每一个条件都不能漏掉．【解】 (1)由9－x 2>0,得－3<x <3,∴函数y ＝log a (9－x 2)(a >0,a ≠1)的定义域是{x |－3<x <3}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <2.∴函数y ＝log (x ＋1)(16－4x )的定义域是{x |－1<x <0或0<x <2}．规律方法 (1)与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑真数大于0,底数大于0且不等于1；其次若有偶次根号,则根号下的式子要大于或等于0；若有分母,则分母不能为0.(2)与对数函数有关的值域问题,要先考虑定义域对值域的影响,再由单调性求解．(1)函数f (x )＝1x －1＋lg(10－x )的定义域为( D ) A ．R B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞) C ．[1,10]D ．(1,10)解析：由题意可得 x －1>0，10－x >0，解得1<x <10,故定义域为{x |1<x <10}．(2)已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1),若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围．解：因为f (x )的定义域为R ,所以关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1>0的解集为R ,结合二次函数的图像可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，22－4·a ·1<0，解得a >1.类型三 对数函数的值域与最值【例3】 (1)求函数y ＝log 2(x 2－2x －3)的值域；(2)设x ≥0,y ≥0且x ＋2y ＝12,求式子log 2(8xy ＋4y 2＋1)的最大值和最小值．【思路探究】 (1)本题是复合函数,先求函数的定义域以及真数的范围,再求函数的值域；(2)欲求函数的最值,先求真数的最值,将真数的x ,y 统一,并注意自变量的取值范围．【解】 (1)定义域：x 2－2x －3>0,即x >3或x <－1, ∴y ＝log 2(x 2－2x －3)的定义域为(－∞,－1)∪(3,＋∞)． 令u ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4,∴u >0, ∴y ＝log 2u 的值域为R . (2)∵x ＋2y ＝12,∴2y ＝12－x .设P ＝8xy ＋4y 2＋1＝4x (12－x )＋(12－x )2＋1＝－3x 2＋x ＋54＝－3(x －16)2＋43.又∵x ≥0,y ≥0,x ＋2y ＝12,∴12－x ＝2y ≥0,即x ≤12,∴0≤x ≤12,在此范围内,P 的最大值为43,此时x ＝16.P 的最小值为1,此时x ＝12.又∵y ＝log 2x 是增函数,因此式子log 2(8xy ＋4y 2＋1)的最小值是0,最大值是log 243.规律方法 (1)考查复合函数值域的求法,先求定义域,再确定真数的范围,最后根据对数运算求出值域．(2)关键是真数的范围,特别注意的是隐含的自变量的取值范围．求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(x ＋3)； (2)y ＝log 2(3－x 2)；(3)y ＝log a (x 2－4x ＋7)(a >0且a ≠1)． 解：(1)令t ＝x ＋3,则y ＝log 2t . ∵t >0,∴y ∈R ,∴此函数的值域为R . (2)令t ＝3－x 2,则0<t ≤3,∴y ≤log 23,∴此函数的值域为(－∞,log 23]． (3)令t ＝x 2－4x ＋7＝(x －2)2＋3≥3.当a >1时,y ≥log a 3,∴此函数的值域为[log a 3,＋∞)； 当0<a <1时,y ≤log a 3,∴此函数的值域为(－∞,log a 3]．类型四 求反函数【例4】 求下列函数的反函数．【思路探究】 根据指数函数y ＝a x (a >0,a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0,a ≠1)互为反函数进行求解．【解】 (1)对数函数y ＝log 4x ,它的底数是4, 它的反函数是指数函数y ＝4x .规律方法 要寻求函数y ＝f (x )的反函数,可以先把x 和y 换位,写成x ＝f (y ),再把y 解出来写成y ＝g (x )的形式,如果这种表达式是唯一确定的,就得到了f (x )的反函数g (x )．求下列函数的反函数： (1)y ＝log 2x ； (2)y ＝(13)x ；(3)y ＝5x ＋1.解：(1)由y ＝log 2x ,得y ∈R ,x ＝2y , 所以f －1(x )＝2x ,x ∈R .类型五 互为反函数图像间的关系【例5】 若点A (1,2)既在函数f (x )＝ax ＋b 的图像上,又在f (x )的反函数的图像上,求a ,b的值．【思路探究】 可由A 关于y ＝x 的对称点A ′(2,1)也在f (x )上,建立a ,b 的方程组求解． 【解析】 依题意可得f (1)＝2,f －1(1)＝2,即f (2)＝1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝7.即a ＝－3,b ＝7.规律方法 1.互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称是反函数的重要性质,由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y ＝x 对称,所以若点(a ,b )在函数y ＝f －1(x )图像上,则点(b ,a )必在其反函数y ＝f (x )图像上．2．根据指数函数与对数函数图像的关系,利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题．(1)已知函数y ＝a x ＋b 的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a ＝3,b ＝1； 解析：由函数y ＝a x ＋b 的图像过点(1,4),得a ＋b ＝4；由反函数的图像过点(2,0)知原函数的图像必过点(0,2),得a 0＋b ＝2.因此a ＝3,b ＝1.(2)已知f (x )＝1－3x 1＋3x,则f －1⎝⎛⎭⎫45＝－2. 解析：本题的一般解法是先求f －1(x ),再把45代入求值．事实上,根据函数y ＝f (x )与y ＝f －1(x )之间的关系,求y ＝f －1⎝⎛⎭⎫45的值,就是求f (x )＝45时x 的值．解1－3x1＋3x ＝45,得3x ＝19,即x ＝－2,因此f －1⎝⎛⎭⎫45＝－2.——易错误区——忽略指数函数与对数函数的关系而致错【例6】 设方程2x ＋x －3＝0的根为a ,方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ,则a ＋b ＝________. 【错解】 0或6【正解】 3 将方程整理得2x ＝－x ＋3,log 2x ＝－x ＋3.如图可知,a 是指数函数y ＝2x 的图像与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标,b 是对数函数y ＝log 2x 的图像与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,所以它们的图像关于直线y ＝x 对称,由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称,于是A 、B 两点的坐标为A (a ,b ),B (b ,a )．则A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上,∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入),或a ＝－b ＋3(B 点坐标代入),故a ＋b ＝3.【错因分析】 利用数形结合思想得出A 与B 关于直线y ＝x 对称,而误认为a ＋b ＝0或a ＋b ＝6.【防范措施】 1.数形结合思想的应用意识解题时,数形结合思想是常用的数学思想方法,用数形结合分析问题,往往能起到事半功倍的效果,如本例,借助于数形结合分析,很容易得到A ,B 两点的对称关系．2．定义的理解与灵活应用解题时,对一些定义、关系的理解与灵活应用至关重要．如本例,正确理解指数函数与对数函数,两者互为反函数的关系是灵活解题的关键所在．方程2x ＋x ＝2,log 2x ＋x ＝2,2x ＝log 2(－x )的根分别为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系为b >a >c . 解析：在同一坐标系内画出y ＝2x ,y ＝log 2x ,y ＝2－x ,y ＝log 2(－x )的图像．所以b >a >c .一、选择题1．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3},集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域,则A ∩B ＝( D ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：本题考查了不等式解法,函数定义域求法,集合中的交集运算．由－3≤2x －1≤3知,－1≤x ≤2,要使函数y ＝lg(x －1)有意义,须x －1>0,即x >1,∴集合A ＝{x |－1≤x ≤2},B ＝{x |x >1},∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2},注意求交集时数形结合的运用．2．下列函数中是对数函数的是( A )解析：形如y ＝log a x (a >0,且a ≠1)的函数才是对数函数,只有A 是对数函数,故选A. 3．函数y ＝e x 的图像与函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称,则( C ) A ．f (x )＝lg x B ．f (x )＝log 2x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝x e解析：易知y ＝f (x )是y ＝e x 的反函数．∴f (x )＝ln x .故选C. 二、填空题4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2,则x ＝log 32.解析：当x ∈(－∞,1]时,f (x )∈(0,3]；当x ∈(1,＋∞)时,f (x )∈(－∞,－1)．∵f (x )＝2,∴3x ＝2⇒x ＝log 32.5．对数函数的图像过点P(9,2),则此对数函数的解析式为y＝log3x.解析：设对数函数为y＝log a x,∴2＝log a9,∴a＝3,∴解析式为y＝log3x.三、解答题6．说出下列各组函数之间是否互为反函数,并说明理由．解：(1),(3)组是,因为它们的定义域、值域互换,对应法则互逆,符合y＝a x与y＝log a x的关系．(2),(4)组不是,因为它们底数不同,不符合y＝a x与y＝log a x的关系．。

§3.5 对数函数问题导学一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系活动与探究1(1)下列函数是对数函数的是( )． A ．y ＝log 2(3x ) B ．y ＝log 2x 3C ．14log y x =D ．121log y x= (2)写出下列函数的反函数：①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；②y ＝ln x.迁移与应用1．若对数函数f (x )的图像经过点(16，－2)，那么f (x )的解析式为__________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )等于( )．A ．log 2xB ．12log x C ．12x D ．x 2(1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a 的值．(2)函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)；函数y ＝a x的反函数是y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)．二、求与对数函数有关的函数的定义域活动与探究2求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(4－x )x －3；(2)y ＝log 0.1(4x －3).迁移与应用求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg(x ＋1)－3；(2)y ＝log 3x －1.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零．三、对数函数的图像活动与探究3作出函数f (x )＝|log 3x |的图像，并求出其值域和单调区间．迁移与应用函数f (x )＝log 41x的大致图像为( )．1．作函数的图像通常采用描点法和图像变换法，可灵活选用； 2．一般地，函数y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，函数y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于y 轴对称，函数y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称．四、对数函数单调性的应用活动与探究4(1)比较下列各组数的大小：①124log 5与log 1267；②12log 3与15log 3；③log a 2与log a 3.(2)若log a (1－2x )＞log a (1＋2x )，求实数x 的取值范围．迁移与应用1．设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a2．若log a 3＜1，求a 的取值范围．(1)比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性来比较；②底数不同，而真数相同时，常借助图像比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．④分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1比较，分类讨论．(2)解与对数有关的取值范围问题通常转化为不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．(3)解决与对数函数相关的问题时，要遵循“定义域优先”的原则，切勿忘记真数大于0这一条件．当堂检测1．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数是y ＝g (x )，则g (3)＝( )．A ．127B ．27C ．－1D ．12．若log 5x ＜－1，则x 的取值范围是( )．A ．x ＜15B ．0＜x ＜15C ．x ＞15 D ．x ＞53．下列不等式成立的是( )． A ．log 32＜log 23＜log 25 B ．log 32＜log 25＜log 23 C ．log 23＜log 32＜log 25 D ．log 23＜log 25＜log 324．函数y =__________．5．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域、值域以及单调区间： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|12log x |.答案：课前预习导学 【预习导引】1．y ＝log a x 底数 10 e预习交流1 提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．例如y ＝log 3x (x ＞0)，12log y x =(x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，212log y x =等都不是对数函数．2．反函数 互换 y ＝x3．(1)描点法 先画函数x ＝log 2y 的图像，再变换为y ＝log 2x 的图像． (2)(1,0) y 轴右边 x 轴上方 x 轴下方 (0，＋∞)4．(0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)预习交流2 提示：不论a (a ＞0，且a ≠1)取何值，总有log a 1＝0，因此对数函数图像过定点(1,0)，对于函数y ＝log a f (x )，若令f (x )＝1解得x ＝x 0，那么其图像经过定点(x 0,0)．预习交流3 提示：当a ＞1时，a 值越大，图像越靠近x 轴； 当0＜a ＜1时，a 值越大，图像越远离x 轴．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)根据指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 的关系直接写出函数的反函数．(1)C 解析：由对数函数的定义知，只有函数14log y x =是对数函数，其余选项中的函数均不是对数函数，故选C.(2)解：①指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，它的底数是12，它的反函数是对数函数12log y x =.②对数函数y ＝ln x ，它的底数是e ，它的反函数是指数函数y ＝e x.迁移与应用 1．()14log f x x = 解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，由已知得log a 16＝－2，因此a －2＝16，解得a ＝14，故()14log f x x =.2．B 解析：由题意，知f (x )＝log a x . ∵其图像过(a ，a )，∴a ＝log a a .∴a ＝12.∴()12log f x x =.活动与探究2 思路分析：(1)x 取值需使分母不等于零且真数为正实数； (2)x 取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，解得x ＜4，且x ≠3，所以函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.1(4x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34＜x ≤1.所以函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 迁移与应用 解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧lg(x ＋1)－3≠0，x ＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x >－1，∴x ＞－1，且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)要使函数有意义，应有log 3x －1≥0， 即log 3x ≥1，所以x ≥3， 即函数的定义域为{x |x ≥3}． 活动与探究3 思路分析：将函数f (x )化为分段函数，结合对数函数及图像变换可作出函数图像，然后通过图像求出值域和单调区间．解：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0<x <1，所以f (x )的图像在[1，＋∞)上与y ＝log 3x 的图像相同，在(0,1)上的图像与y ＝log 3x的图像关于x 轴对称，据此可画出其图像如下：从图像可知：函数f (x )的值域为[0，＋∞)，递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(0,1)．迁移与应用 D 解析：由于f (x )＝log 41x＝－log 4x ，其图像与y ＝log 4x 的图像关于x轴对称，故选D.活动与探究 4 思路分析：(1)①中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；②中同真不同底，可结合图像判断；③中底数中含有字母，需分类讨论．(2)对底数a 进行讨论，结合对数函数的单调性求解． 解：(1)①12log y x =在(0，＋∞)上递减，又因为45＜67，所以112246log >log 57.②因为在x ∈(1，＋∞)上，15log y x =的图像在12log y x =图像的上方，所以1125log 3<log 3.③当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，所以log a 2＜log a 3.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数， 所以log a 2＞log a 3.(2)当a ＞1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x >0，1＋2x >0，1－2x >1＋2x ，解得－12＜x ＜0；当0＜a ＜1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，1＋2x >0，1－2x <1＋2x ，解得0＜x ＜12.因此当a ＞1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 迁移与应用 1．A 解析：∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 2π＞log 23，即a ＞b .又∵b ＝12log 23＞12，c ＝12log 32＜12，∴b ＞c .∴a ＞b ＞c .2．解：当a ＞1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＞3.当0＜a ＜1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＜3.又∵0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.综上知，所求a 的取值范围是(0,1)∪(3，＋∞)． 【当堂检测】1．C 解析：依题意g (x )＝13log x ，所以g (3)＝13log 3＝－1.2．B 解析：由log 5x ＜－1可得log 5x ＜log 515，所以0＜x ＜15.3．A 解析：∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 25＞log 23＞log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32＜log 33＝1. ∴log 32＜log 23＜log 25.4．[0,1) 解析：∵由12log (1)x -≥0，得0＜1－x ≤1，∴0≤x ＜1.5．解：(1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位长度得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|12log x |＝122log ,01,log ,1,x x x x <≤⎧⎪⎨⎪>⎩其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．。

§4.1对数及其运算一、 对数的概念班级： 姓名： 小组： 一、学习目标1)理解对数的概念；2)能熟练地进行对数式与指数式的转化 ． 二、教学重点和教学难点 重点：对数的概念难点：对对数概念的理解 三、知识链接1．指数函数：()x f x a = （0,1a a >≠）,()b f b a N ==,()f b 0 2．运算性质：nm m n a a a +⋅=四．学习过程：阅读课本78P ，解答下面问题：1、对数的定义：一般地，如果a (0,1a a >≠)的b 次幂等于N,即N b a =,那么 数 叫做以a 为底N 的对数,记作: ．其中a 叫做对数的 ,N 叫做 ． 2、把下列指数式写成对数式①、63729= ②、1021024= ③、131644-=3、把下列对数式写成指数式 ①、2log 5129=； ②253log 1252=；③31log 2=；阅读课本79P ，解答下面问题： 4、特殊对数通常以 为底的对数叫常用对数，并把10log N 简记作 在科学技术中常使用以无理数 2.71828e =为底的对数，以 为底的对数称为自然对数，并把log e N 简记作 ．如：10log 5= ；log 8e = ．6、思考交流①、对数式log 1a = ； log a a = （0,1a a >≠ ）②、log a NaN =，为什么？③、零和负数有没有对数？阅读课本81P 例题4、82P 例题5，解答下一题 7、求下列各式的值①、5log 25 ②、lg1000 ③、91log 81④、lg 0.01⑤、0.4log 1 ⑥、17log 17⑦、35log 255⨯（）⑧ln1五、自测达标(A)1、下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫常用对数；④以e 为底的对数叫自然对数． 其中正确命题是 (A)2、求下列各式中的x①、3log 272x = ②、22log 3x =-③、log (32x += ④、12log 16x =(B)3、计算①、71log 57+ ②、lg9lg210+(B)4、设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值(C)5、已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，求12x -的值．六、作业 课本87P 习题3-4 A 组 1、3、4 七、小结与反思。