概率统计- 第5章 大数定律与中心极限定理复习要点

概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理课前导读概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。

数学中研究大量的工具是极限。

因此这一章学习概率论中的极限定理。

第一节大数定律随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。

意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。

大数定律解释了这一结论。

首先介绍切比雪夫不等式。

一、切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。

切比雪夫不等式：对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。

进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。

当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。

二、依概率收敛随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。

不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。

只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。

依概率收敛的定义：定理2：三、大数定律三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。

注意这三个大数定律的条件有何异同。

定理3 切比雪夫大数定律：若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。

定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）：辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。

伯努利大数定律：伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。

伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。

第五章 大数定律和中心极限定理一、内容提要（一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。

(){}()(){}().1,22εεεεX D X E X P X D X E X P -≤-≤≥-2. 切贝谢夫不等式的意义（1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){}ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。

（2）不足之处为要计算(){}ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。

另外，利用本不等式估值时精确性也不够。

（3）当X 的方差D (X )越小时，(){}ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。

（二）依概率收敛如果对于任何ε＞0，事件{}ε a X n -的概率当n →∞时，趋于1，即{}1lim =-∞→ε a X P n n ，则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。

（三）大数定律 1. 大数定律的内容（1）大数定律的一般提法若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=∞→ε n i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。

（2）切贝谢夫大数定律设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即()().,,,2,1, n i C X D i =≤则对于任意的ε＞0，恒有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑∑==∞→ε n i ni i i n X E n X n P 。

大数定律与中心极限定理总结大数定律与中心极限定理是概率论与数理统计中的两个重要定理，用于描述随机变量序列的性质。

下面我将分别对这两个定理进行总结，并给出相关的参考内容。

一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，描述了随机变量序列的极限性质。

大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种。

1. 弱大数定律弱大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值收敛于某个常数，那么这个序列就满足弱大数定律。

弱大数定律的代表是辛钦大数定律。

具体来说，如果一个随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中Xi是相互独立、同样分布的随机变量序列，它们的均值为μ，方差为σ^2。

那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1这意味着当样本数量趋向于无穷大时，样本均值的概率逼近于1，即样本均值趋近于总体均值μ。

2. 强大数定律强大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值以概率1收敛于某个常数，那么这个序列就满足强大数定律。

强大数定律的代表是伯努利大数定律和切比雪夫大数定律。

伯努利大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中每个随机变量取值为0或1，概率为p或1-p，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - p| ≤ ε ) = 1切比雪夫大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其具有相同的均值μ和方差σ^2，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1以上的大数定律说明了随机变量序列的均值具有稳定的性质，当样本数量足够大时，样本均值可以准确地反映总体均值。

二、中心极限定理中心极限定理是概率论与数理统计中的一个基本定理，描述了独立随机变量和的分布的极限性质。

大数定律与中心极限定理知识点整理大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们在统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。

下面将对它们的主要知识点进行整理。

一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是关于随机变量序列均值的收敛性的一个法则。

它表明，当独立同分布的随机变量不断增加时，其均值将会趋近于理论期望。

具体来说，大数定律包含以下几个重要概念：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers）弱大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值以概率1收敛于理论期望。

这个定律要求序列中的随机变量具有有限的方差和独立同分布的性质。

2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers）强大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值几乎处处收敛于理论期望。

与弱大数定律相比，强大数定律要求序列中的随机变量只需要具有独立性，而不需要具有方差的有限性。

二、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是关于随机变量和其样本均值之间关系的一个重要定理。

它表明，当样本量增加时，随机变量的分布将趋近于正态分布。

中心极限定理包含以下几个关键点：1. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。

2. 标准化后的样本均值的分布趋近于标准正态分布。

3. 样本量越大，越接近正态分布。

总结：大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中非常重要的概念。

大数定律研究随机变量序列均值的收敛性，而中心极限定理研究随机变量和其样本均值的分布趋近于正态分布的关系。

它们的应用广泛，对于统计学、经济学等领域的研究与实践具有重要意义。

第5章 大数定律和中心极限定理本章教学基本要求1.了解切比雪夫不等式，会用该不等式估算某些事件的概率.2.了解相关大数定律.3.了解相关中心极限定理，会用定理近似计算事件的概率.5.1大数定律一、主要知识归纳1.切比雪夫不等式：设随机变量X 具有均值u X E =)(，方差2)(σ=X D ，则对于任意正数ε，有不等式 22}{εσε≤≥-u X P 成立.2. 切比雪夫大数定理：设随机变量⋅⋅⋅,,21X X 相互独立，均具有有限方差，且有公共上界，即C X D i <)( )2,1( =i ，则对于任意0>ε，有1})(11{lim 11=<-∑∑==∞→εni i n i i n X E n X n P 成立.3.辛钦大数定理：设⋅⋅⋅,,21X X 相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望u X E k =)(),2,1(⋅⋅⋅=k .作前n 个变量的算术平均值∑=ni i X n 11，则对于任意0>ε，有1}1{lim 1=<-∑=∞→εu X n P ni i n 成立 4.伯努利大数定理：设X 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，)10(<<p p 是在一次试验中事件A 发生的概率，则对于任意正数ε，有0}{lim =≥-∞→εp nXP n 成立.二、基础练习1．设随机变量X 的数学期望u X E =)(，方差2)(σ=X D ，试利用切比雪夫不等式估计下列概率值：（1）}{σ≥-u X P （2）}3{σ≥-u X P .2．用切比雪夫不等式估计200个新生儿中,男孩多于80个且少于120个的概率(假定生男孩和女孩的概率均为0.5)3.设随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量，其分布函数为)0(arctan 1)(≠+=b bxa x F π，则辛钦大数定理对此序列（ ） A 适用 B 当常数a 、b 取适当数值时适用 C 不适用 D 无法判断5.2中心极限定理一、主要知识归纳：1.独立同分布中心极限定理:设随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立服从同一分布，且具有有限的均值与方差，则对任意实数x 有⎰∑∑∑∞--===∞→=<-xt ni i ni i ni in dt ex X D X E XP 2111221})()({lim π成立.2.棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理:设X ～),(p n B ，则对任意实数x ，有)(21})1({lim 22x dt ex p np np X P t xn Φ==<---∞-∞→⎰π成立.二、基础练习1.一加法器同时收到20个噪声电压k V )20,,2,1(⋅⋅⋅=k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间)10,0(上服从均匀分布.记∑==201k kVV ，求}105{>V P 的近似值.2.对于一个学生而言，来参加家长会的家人是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布. （1）求参加会议的家长人数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率.本章小结一 本章知识结构图二、综合练习1. 设随机变量X 的数学期望100)(=X E ，方差10)(=X D ，则由切比雪夫不等式有______}12080{≥<<X P .2.一颗骰子连续掷4次,点数总和为X .估计}1810{<<X P .3.生产灯泡的合格率为0.6,求10000个灯泡中合格数在5800~6200的概率.4.一大批种蛋中,良种蛋占80%.从中任取500枚,求其中良种蛋率未超过81%的概率.5.某商店负责供应某地区1000人商品,某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间个人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件).6.对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其数学期望是2，方差是1.69，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.7.设)50,,2,1( =i X i 是相互独立的随机变量,且它们都服从参数为03.0=λ的泊松分布.记5021X X X Z +++= ,利用中心极限定理计算}3{≥Z P8.设某种器件使用寿命(单位:小时)服从指数分布,其平均使用寿命为20小时,具体使用时是当以器件损坏后立即更换另一新器件,如此继续,已知每个器件进价为a 元,试求在年计划中应为此器件作多少元预算,才可以有95%的把握一年够用(假定一年有2000个工作小时).三、单元测试一、 填空题：（每小题5分，共20分）1．设随机变量X 与Y 相互独立，且1)(-=X E ，1)(=Y E ，2)(2=X E ，3)(2=Y E ，则由切比雪夫不等式有______}6{≥<+Y X P .2．设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是n 个相互独立同分布的随机变量，u X E i =)(，8)(=i X D ，),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，对于∑==ni inX X 1，则______}{≤≥-εu X P ，______}4{≥<-u X P . 3．设X ～)6.0,200(B ，当999.0}{≥≤k X P 时，则______≥k . 4．设随机变量10021,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立同分布，且1!1}{-==e k k X P i ，⋅⋅⋅=,2,1k ，则______}120{1001=<∑=i i X P .二、选择题：（每小题5分，共20分）1．设随机变量X ～),(2σu N ，则随σ的增大，概率}{σ<-u X P 是（ ） A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定2．设⋅⋅⋅,,21X X 为独立同分布序列，且i X ),2,1(⋅⋅⋅=i 服从参数为λ的指数分布，则（ ）其中dt ex Y t x2221)(-∞-⎰=π.A )(}{lim 1x Y x nnX p ni i n =≤-∑=+∞→λ B )(}{lim 1x Y x nnXp ni in =≤-∑=+∞→C )(}{lim 1x Y x nXp ni in =≤-∑=+∞→λλD )(}{lim 1x Y x n Xp ni in =≤-∑=+∞→λλ3．设随机变量921,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立同分布，1)(=i X E ，1)(=i X D ，)9,,2,1(⋅⋅⋅=i ，令∑==919i iXS ，则对任意0>ε，从切比雪夫不等式直接可得（ ）A 2911}1{εε-><-S P B 2991}9{εε-≥<-S PC 2911}9{εε-><-S P D 2911}191{εε-≥<-S P4．假设随机变量⋅⋅⋅,,21X X 相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律的是（ ）A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X XB ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++,,,2,121n X X X nC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,1,,21,21n X nX X D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,2,21n nX X X 三、计算题：（每小题12分，共60分）1．已知正常成人男性血液中，每一毫升含白细胞数平均为7300，均方差为700，试利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200至9400之间的概率.2．设各零件的重要都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5公斤，均方差为0.1公斤.问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少？3．一部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2毫米，均方差为0.05毫米.规定总长度为20±0.1毫米时产品合格，试求产品合格的概率.4．某工厂生产炭末电阻，在正常生产情况下，废品的概率为0.01，今取500个装成一盒，问废品不超过5个的概率是多少？5．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从木柱中随机取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？第6章 数理统计基础知识本章教学基本要求1.理解总体、样本、统计量等基本概念，了解经验分布函数。

第五章 大数定律及中心极限定理1. 概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机变量的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。

研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究，极限定理的内容非常广泛，比如大数定律、中心极限定理。

大数定律的客观背景：大量随机试验中，事件发生的频率稳定于某一常数，测量值的算术平均值具有稳定性。

2. 切比雪夫不等式方差描述随机变量的概率分布对期望的分散程度。

D （X ）=E （X 2）-[ E （X ）] 22017.10填解：设X 服从参数n=1000，p=0.5的二项分布，E （X ）=500，D （X ）=250 P ｛400<X <600｝=P ｛丨X -500丨<100｝≥1-2501002=3940 3. 贝努力大数定律设 m 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0 ，有贝努里大数定律表明，当重复试验次数n 充分大时，事件A 发生的频率nm与事件A 的概率p 有较大偏差的概率很小。

——概率是频率的稳定值设电站供电网有10000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。

试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800-7200的概率。

解：设X 表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10000，p=0.7的二项分布，于是有 E （X ）=np=10000×0.7=7000 D （X ）=npq=10000×0.7×0.3=2100 P ｛6800<X <7200｝=P ｛丨X -7000丨<200｝ ≥1-21002002≈0.95 可见，虽然有10000盏灯，但是只要有供应7000盏灯的电力就足够以相当大的概率保证够用。

事件发生的频率可以代替事件的概率。