第35讲第一章高等数学(二十)

大一高等数学第1章知识点数学是一门抽象而精确的学科，数学的发展贯穿着人类文明的进程。

在大学的数学课程中，高等数学是一门非常重要的基础课程。

大一的高等数学第1章是初学者接触高等数学的起点，它涵盖了一些基本的数学概念和运算规则。

本文将对大一高等数学第1章的知识点进行探讨，让我们一起开始吧。

1. 实数与复数在大一高等数学中，我们首先要了解实数和复数的概念。

实数是我们日常生活中常用的数，包括整数、有理数和无理数。

而复数则是实数的扩展，由实部和虚部构成，可以用一个复数平面来表示。

通过复数，我们可以更加灵活地描述数学问题。

2. 函数函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的关系。

在大一高等数学中，我们学习了函数的定义、函数的性质以及常见函数的图像与性质等知识。

函数是数学中的一种工具，它能够帮助我们解决许多实际问题，比如物理、经济等领域的建模和分析。

3. 极限极限是数学中的重要概念，它描述了一系列数的趋势。

在大一高等数学中，我们学习了函数极限的定义、性质以及计算方法。

通过极限，我们可以更好地理解数列和函数的性质，解决一些复杂的数学问题。

4. 导数与微分导数是函数研究中的重要工具，它描述了函数在某一点的变化率。

在大一高等数学中，我们学习了导数的定义、性质以及常见函数的导数计算方法。

微分则是导数的应用，通过微分，我们可以解决一些实际问题，比如最值问题和曲线的切线问题等。

5. 微分中值定理微分中值定理是微积分中的一组重要定理，它描述了函数在某一区间内的性质。

在大一高等数学中，我们学习了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理等。

通过微分中值定理，我们可以探讨函数的极值、零点、导数的性质等，更进一步地研究函数的行为。

6. 不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分中的两个重要概念，它们描述了一条曲线下的面积和变化量。

在大一高等数学中，我们学习了不定积分的定义、性质以及基本的积分计算方法。

定积分则是不定积分的应用，通过定积分，我们可以解决一些面积、物理工作和平均值等问题。

第⼀一讲极限与连续分为如下部分：1.定义2.性质3.⽆无穷⼩小4.⽆无穷⼤大5.函数极限的计算6.数列列极限的计算7.应⽤用!定义（极限定义——四句句话）⼀一.⼀一共有25种定义（6x4+1）6:x的六种趋向⽅方式，分为局部性质与渐进性质（注意对于x不不等于x0）4:f的四种趋向⽅方式，有三种是⽆无穷的情况（注意：任取M，与⽆无界定义相区别）（宇哥基础笔记）1:数列列定义（注意n为⾃自然数，只有渐进性质）函数极限定义注意两点：1.x趋向于x0，x不不等于x02.若f在x0的去⼼心邻域⽆无定义，则极限不不存在，反之，极限存在，则推在x0的去⼼心邻域处处有定义数列列极限的定义也注意两点：1.xn的极限与其前有限项⽆无关（类似于⽆无穷级数的收敛性与前n项⽆无关）2.xn的极限为a互推xn的任意的⼦子列列的极限也为a，特别的，xn的极限为a互推xn的奇数项与偶数项的极限均为a（注意：要涵盖xn的所有项）⼆二.有关定义的考法（17宇哥强化笔记）1.定X，N以及那个什什么（打不不出来）（主要是利利⽤用极限语⾔言来证明极限）⽅方法是：从有关f的不不等式推导出有关x的不不等式，从⽽而来定，若f的式⼦子复杂，可通过适当的放缩。

2.定e（原谅我不不能打出来）来讨论f（x）的范围Note1.注意例例题中有个结论 f极限为a可以推出f的绝对值极限为a的绝对值（利利⽤用极限的定义与中学知识来证，同理理数列列极限也是）2.e要取正整数，不不能取变量量。

3.由极限来推出的f的范围，只是陈述事实，⽽而不不是取值范围。

4.即使给我整个世界，我也只在你的身边"性质及其考法三⼤大性质——唯⼀一性，局部有界性，局部保号性1.唯⼀一性——极限存在必唯⼀一，所以极限存在可以推左极限等于右极限Note：⼀一般分左右极限的情况1.分段点 2.e的∞ 3.arctan∞2.局部有界性（注意局部包括局部性质与渐进性质）定义（会证会⽤用）（利利⽤用了了中学知识，绝对值的不不等式）Note：该定义只是有界的充分⾮非必要条件，即函数有界不不⼀一定极限存在，如sinx关于函数f（x）的有界性的判定⽅方法：1.理理论法（中学知识）：连续初等函数在闭区间内必有界2.计算法（⼤大学知识）：函数在开区间内连续，再加上端点的极限存在，则可以推出该函数在区间内有界3.四则运算：当极限不不存在时，拆！（⚠）（有限个）有界+有界=有界（有限个）有界x有界=有界Note：初等函数在闭定义区间内连续有界（初等函数在定义区间内连续，在闭定义区间内连续，必有界）3.局部保号性（此处的局部也是包括局部和渐进性质）定义（会证会⽤用）拓拓展：脱帽法（没有=号）带帽法（有等号，尤其极限A必须有等号，如x分之1在x趋于∞）Note：1.极限的运算法则：能不不能拆，拆了了再说。

大一高等数学第一章知识点回顾在大一学习高等数学的过程中，我们首先会接触到高等数学的第一章内容。

这一章主要讲述了数列和极限的基本概念与性质。

通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和掌握数学的基础，为以后深入学习和应用数学打下坚实的基础。

1. 数列数列是由一列按特定顺序排列的数所组成的序列。

数列可分为等差数列和等比数列两类。

等差数列中，每一项与它前一项的差值为常数，而等比数列中，每一项与它前一项的比值为常数。

例子：在数列1，4，7，10，13，...中，每一项与它前一项的差值为3，所以这是一个等差数列。

2. 数列的性质在学习数列时，我们需要了解一些基本的性质。

首先是数列的极限。

数列的极限是指数列随着项数的增加，逐渐趋向于一个固定的值。

如果一个数列存在极限，则称其为收敛数列，否则称为发散数列。

当数列的极限存在时，它的极限值唯一确定。

另外，数列中还有一些重要的性质，如上确界和下确界的概念。

上确界是指数列中所有元素的上界中的最小值，而下确界则是指数列中所有元素的下界中的最大值。

3. 极限极限是数列中一个非常重要的概念。

在学习极限时，我们会遇到一些基本的概念和计算方法，如数列极限的定义、数列极限的运算法则等。

通过学习这些内容，我们可以更好地理解数列的变化趋势和数学规律。

在实际的计算过程中，我们可以使用一些特定的方法来计算数列的极限，如夹逼准则、单调有界准则等。

这些方法能够帮助我们更准确地确定数列的极限值。

4. 函数函数是数学中另一个重要的概念。

在高等数学中，我们会学习一些基本的函数，如幂函数、指数函数、对数函数等。

对于不同的函数，我们需要了解它们的定义域、值域、单调性等性质。

此外，我们还需要学习函数的运算法则，包括函数的加减乘除以及复合等运算。

总结起来，大一高等数学第一章主要包含了数列和极限的概念与性质的学习。

通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和掌握数学的基础概念，为以后的学习和问题解决打下扎实的基础。

第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。

高等数学第一章总结高等数学第一章总结高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要课程之一。

第一章主要介绍了函数概念、极限与连续等内容。

下面将对第一章的内容进行总结。

函数是高等数学的基础概念之一。

函数是一种量与量之间的对应关系，常表示为y = f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量，f表示函数的规则。

函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量取值的集合。

在实际问题中，函数可以用来描述各种关系，如物体的运动、电路中的电流等。

函数可以分为代数函数、初等函数、三角函数等不同类型。

极限是数列和函数在某一点（或正无穷大、负无穷大）趋于的值。

数列的极限是其无穷项的极限，即数列的趋势或估计值。

而函数的极限是其自变量无限接近某一点时的极限值。

极限的概念与数学证明相关，对于计算极限需要掌握一些极限定理和运算法则。

常见的极限运算法则有四则运算法则、复合函数极限的运算法则、三角函数的极限运算法则、常数的极限运算法则等。

连续是函数在一定区间上无间断的性质。

对于某一点x=a来说，如果在x=a处函数f(x)的极限存在且等于f(a)，则称函数在x=a处连续。

连续函数具有许多有用的性质，如介值定理、零点定理、最值定理等。

这些性质在实际问题中有广泛的应用，能够帮助我们解决实际问题。

在高等数学的学习过程中，我们还需要掌握一些重要的基本技巧和方法。

求导是一种重要的计算技巧，用于求函数的导数。

导数是函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。

求导的方法主要有基本求导法则和常见函数的导数运算法则。

导数在物理、工程和经济学等领域中有广泛的应用，如求速度、加速度、成本函数、效益函数等。

本章的内容比较基础，但为后续的学习打下了坚实的基础。

通过学习第一章的内容，我们了解了函数的概念和性质，掌握了求函数极限和连续的方法和技巧，熟悉了常见函数的导数运算法则。

这些知识和技能是我们进一步学习高等数学的基础，也是我们解决实际问题的必备工具。

高等数学第一章总结
高等数学是理工科学生必修的一门重要课程，它是建立在初等数学基础之上的
一门高等数学课程，包括微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程等内容。

第一章主要介绍了极限与连续的概念，这些概念是后续学习微积分的基础，对于理解数学的发展历程和思维方式也具有重要的意义。

首先，我们来谈谈极限的概念。

在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了
一个函数在某一点附近的表现，也可以理解为自变量无限接近某个值时，函数的取值趋于的一个确定的值。

极限的概念是微积分的基础，它在现实生活中也有着广泛的应用，比如在物理学、工程学等领域。

通过学习极限的概念，我们可以更好地理解函数的变化规律，为后续的微积分学习打下坚实的基础。

其次，连续的概念也是高等数学中的重要内容。

在数学中，连续是一种基本的
性质，它描述了函数图像的连贯性和平滑性。

一个函数在某一点连续意味着在这一点附近函数值的变化趋于连续，没有突变的现象。

通过学习连续的概念，我们可以更好地理解函数的性质，为后续的微积分学习提供基础。

总的来说，高等数学第一章主要介绍了极限与连续的概念，这些概念是微积分
学习的基础，也是数学发展的重要内容。

通过学习这些内容，我们可以更好地理解数学的发展历程和思维方式，也可以更好地应用数学知识解决实际问题。

因此，我们应该认真对待高等数学这门课程，努力学习，掌握其中的基本原理和方法，为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。

第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合常用数集：自然数集：整数集：有理数集：实数集：开区间：闭区间：半开区间：；；；；邻域：去心邻域：二、函数定义：都有唯一与之对应，记为。

三、函数的性质讨论函数：，讨论区间：1、有界性有界：若，使得，称在区间上有界无界：对，总，使得，则称在区间上无界上界、下界：若，使得，，称在区间上有上界；若，使得，，称在区间上有下界定理：若在区间上有界在区间上有上界也有下界。

2、单调性严格单调增（减）：若，且，恒有广义单调增（减）：若，恒有，3、奇偶性偶函数：奇函数：常见的奇函数：等常见的偶函数：等4、周期性周期函数：，对，有，且，则称为周期为的周期函数。

常见的周期函数：等【例1】（87二）是（）（A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数. （D）偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数设的定义域为，的定义域为，值域为，且，在定义域上有复合函数。

【例2】（88一二）已知，且，求并写出它的定义域.2、反函数将函数称为直接函数，函数称为反函数。

与的图形关于直线对称。

五、初等函数第二节数列和函数的极限一、数列极限的定义数列：，，称为整标函数。

其函数值：叫做数列（序列）。

数列的每一个数称为项，第项称为数列的一般项。

简记数列为数列极限：已给数列和常数，如果对于，都，使得对于，不等式恒成立，则称当时，以为极限，或收敛于，记为或。

反之，若无极限，说发散。

二、函数极限的定义（1）：设函数在内有定义，为一常数，若对于，都，使有，则称当时，以为极限，记为或。

单侧极限：左极限：。

右极限：定理：（2）：设函数在充分大时有定义，为一常数，若对于，都，使都有，则称当时，以为极限，记为或。

单侧极限：；定理：【例1】设（为常数），求的值，使得存在。

三、极限的性质性质1 （极限的唯一性）数列——若存在，则极限值是唯一的。

函数——若存在，则其极限值是唯一的。

性质2 （有界性）数列——如果收敛，则一定有界。