第十八届华杯赛决赛

第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A（小学高年级组）（时间2013年3月23日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。

）1.2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（）。

A．5 B．6 C．7 D．82.2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份。

已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。

A．16 B．18 C．20 D．223.一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一。

8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟。

A．22 B．20 C．17 D．164.一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒, 若取出一粒黑子, 则余下的黑子数与白子数之比为9:7, 若放回黑子, 再取出一粒白子, 则余下的黑子数与白子数之比为7:5, 那么盒子里原有的黑子数比白子数多（）个。

A．5 B．6 C．7 D．85. 右图ABCD 是平行四边形, M 是DC 的中点, E 和F 分别位于AB 和AD上, 且EF 平行于BD 。

若三角形MDF 的面积等于5平方厘米, 则三角形CEB 的面积等于（ ）平方厘米。

A ．5B ．10C ．15D ．206. 水池A 和B 同为长3米, 宽2米, 深1.2米的长方体。

1号阀门用来向A 池注水, 18分钟可将无水的A 池注满; 2号阀门用来从A 池向B 池放水, 24分钟可将A 池中满池水放入B 池。

若同时打开1号和2号阀门, 那么当A 池水深0.4米时, B 池有（ ）立方米的水。

A ．0.9B ．1.8C ．3.6D ．7.2二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7. 小明、小华、小刚三人分363张卡片, 他们决定按年龄比来分。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛考前必读zhanglongjun【杯赛宗旨】教育广大青少年从小学习和弘扬华罗庚教授的爱国主义思想、刻苦学习的品质、热爱学习的精神；激发广大中小学生学习数学的兴趣，开发智力，普及数学科学。

【比赛时间】初赛：2013年3月23日（星期六）决赛：2013年4月20日（星期六）【命题原则】普及性、趣味性和新颖性。

普及性：要求试题要面向小学和初一绝大多数学生，使他们用相应阶段的知识就可以给出试题的解答。

趣味性：要求试题能启迪同学的数学兴趣，有益于提高应用数学知识去解决实际问题的能力，在潜移默化中理解数学的重要作用。

新颖性：要求试题中数学的内核是基础的知识，但是内容或形式上要有所创新。

【命题范围】一、小学中年级组（三、四年级）1、数。

整数的四则运算、运算定律、简便计算，等差数列求和，整除概念，数的整除特征，带余除法，平均数，整数的奇偶性质，小数的意义、性质和加减法，分数的初步认识(不要求运算) ，数位，十进制表示法。

2、几何。

基本图形，图形的拼组(分、合、移、补)，图形的变换，折叠与展开, 角的概念和度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算，轴对称现象、画对称轴。

3、应用题。

植树问题, 年龄问题, 鸡兔同笼, 盈亏问题, 行程问题。

4、几何计数(数图形)。

加法原理，乘法原理，抽屉原理，找规律，归纳，统计，数字谜。

5、生活数学。

钟表，时间，人民币，位置与方向，长度、质量的单位。

二、小学高年级组（五、六年级）1、数。

整数、分数、小数概念和性质，四则运算，速算，数列(等比、等差)，取整运算，新运算，数字谜, 数阵图。

2、数论。

约数，倍数，质数，合数，质因数分解，最大公约数，最小公倍数，互质，奇偶，整除带余除法，抽屉原理。

3、应用题。

植树、和差、倍数、盈亏、鸡兔同笼、平均、归一、还原、年龄、行程、钟表、工程、溶液等问题，简易方程。

4、平面几何。

简单平面图形（点、直线、线段、圆、圆弧、角、三角形、四边形、多边形），对称，勾股定理，图形的度量。

第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题A （小学高年级组）（时间2019年4月20日10：00～11：30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1．计算: 19×0.125+281×81-12.5=________. 解析：原式=（19+281-100）×0.125=200×0.125=252．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2019年12月21日是冬至, 那么2019年的元旦是________九的第________天.解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2019年的元旦是二九的第3天.3．某些整数分别被119977553，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是92725232，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________.解析：设整数为A, 分别被119977553，，，除后, 所得的商分别为A A A A 911795735，，，; )1(911921911)1(7972179)1(5752157)1(3532135-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。

所以A-1=315，A=316。

4．如右图, 在边长为12厘米的正方形ABCD 中, 以AB 为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB . 则三角形PAC 的面积等于________平方厘米.解析:过P 点做PE ⊥AB,由于三角形PAB 为等腰三角形，所以AE=EB=6cm 。

根据勾股定理：PE 2=102-62=64=82，所以PE=8cm 。

S △PAB=12×8÷2=48cm 2，S △PCB=12×6÷2=36cm 2，S △PAC=48+36-12×12÷2=12 cm 2。

2013年18届华杯赛七年级试题(A B卷)卷初赛决赛综合版第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A （初一组）（时间2013年3月23日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。

）1． 下列的结论中, 正确的有（ ）个:① 两个正数的和一定是正数； ② 两个正数的差可以是正数；③ 两个负数的和一定是负数； ④ 两个负数的差可以是负数。

A ．1B ．2C ．3D ．42． 从—6，—4，—3，—2，—1，3，6中任取两个数相乘, 所得积中的最大值记为a , 最小值记为b , 那么b a 的值为（ ）。

A ．32- B ．43- C ．-1 D ．323．将••••⨯352323.0342.0乘积化为小数, 小数点后第2014位数字是（ ）。

A ．0B ．7C ．9D ．14．如果a 、b 、c 都是大于21-的负数, 那么下列式子成立的是（ ）。

A ．a+c-b<0B ．a 2-b 2-c 2>0C ．abc>81-D ．∣abc ∣81>5．在方格的每个格中填上数字1,2,3,4中的一个, 要求每行、每列和每条对角线上所填的数字各不相同。

右图中已经填好了3个数字，请完成填数, 那么两个阴影方格中所填数的乘积最小值为（ ）。

A ．5B ．4C ．3D ．26．满足不等式m 3n 532<<的有序整数对（m ，n ）的个数是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7． 如果x=3，y=1时, 代数式ax+by 的值等于9, 那么x=-3，y=-1时代数式ax+by+9的值等于________．8．一个水池有甲、乙、丙三个进水口和一个出水口。

同时打开出水口和其中的两个进水口, 注满整个水池分别需要6小时、5小时和4小时；同时打开出水口和三个进水口, 注满整个水池需要3小时。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛团体赛 口试（周春荔执笔整理）（上半场）1. （共答题1）汉字“华、杯、赛、成、就、少、年、梦、想”分别代表1～9中不同的数码, 使得算式18=⨯华杯赛成+就+少年+梦+想成立, 那么华杯赛代表的三位数的最大值是多少?【答案】 972 【解答】华杯赛是个被18整除的三位数, 最大为990, 但出现两个9和0, 不合要求. 考虑次大的972. 而972÷18＝54. 填法是97218.165834=++⨯++ 所以 华杯赛代表的三位数的最大值是972.2. （群答题1）甲、乙两个花瓶中都放有玫瑰和百合两种花,总计32支. 甲瓶中有三分之一是玫瑰花, 乙瓶中有七分之一是百合花. 问乙瓶中共放有多少支花?【答案】答: 14.【解答】 两瓶有花共32支, 乙瓶花的支数为7的倍数, 只能是7, 14, 21, 28支. 因此甲瓶花的数目对应为25, 18, 11, 5. 而甲瓶花的支数为3的倍数, 只能是18支, 因此乙瓶共有花14支.3. （必答题A1）左下图是一个等腰梯形, 上底和两腰的长度都是2, 下底长度是4; 右下图是一个正六角星形, 面积和等腰梯形的面积相等. 问: 正六角星形的周长是多少?【答案】12【解答】图a中的等腰梯形和图b中的正六角星形面积相等, 都由12个边长为1的正三角形组成, 即可求得正六角星形的周长为12.图a图b4.（必答题A2）将1, 2, 3, 4分别填入下面的方格中, 使得等式□+ 2×□+ 3×□+ 4×□= 22成立, 那么第一个方格填的数与第四个方格填的数之积是多少?【答案】6【解答】设填的数依次是,,,.a b c d由于+++=,23422a b c d又+++=,a b c d10相减得2312.++=b c d因此3 6.22b dc ++= 若,1,3bd =, 33,522b d +=. 因此c 为奇数, 这不可能. 因此只能,2,4.bd = 易知4,d ≠所以只能2,4,d b ==因此, 1,c = 此时只能 3.a = 事实上324314222.+⨯+⨯+⨯=所以3,4,1, 2.a b c d ==== 因此 32 6.a d ⨯=⨯=另解. 已知:23422a b c d +++=.首先, d ≠3, d ≠4. 若d =3, 则1032=++c b a , 但1132≥++c b a , 不合要求. 若d =4, 则,632=++c b a 但,1034332=++≥++c b a 不合要求.若d =1, 则,1832=++c b a 此时, b =3. 当a=2, c =4时, 2320a b c ++=. 当a =4, c =2时, 1632=++c b a , 都不合要求.所以, d =2. 1432=++c b a . 根据奇偶性, 只有a=1, c =3和a=3, c=1两种可能. 当a=1, c =3时, ,1898132=++=++c b a 不合要求; 当a=3, c =1时, 1438332=++=++c b a , 符合要求. 即a =3, d=2. .623=⨯=⨯d a5. （必答题A3）右图的三角形ABC 中, D 、E 分别是所在边的中点, BC = 6 MN , 三角形GMN 的面积等于3平方厘米. 求三角形ABC 的面积.【答案】54平方厘米.【解答】连接AG , 因为D 、E 分别是所在边的中点, 易知△BCG 的面积＝△BAG 的面积＝△ACG 面积,而△BCG 的面积=6×3=18平方厘米,所以三角形ABC 的面积=18×3=54平方厘米.6. （必答题A4）100以内仅能分解为两个不同质数之积的自然数共有多少个?【答案】30【解答】50以内的的质数2, 3, 5, 7, …, 43, 47共15个, 设分解质因数后为,().a b a b ⨯< 若2,a = 则b 可取由3到47这14个质数; 若 3,a = 则b 可取由5到31这9个质数; 若 5,a = 则b 可取由7到19这5个质数; 若 7,a = 则b 可取由11, 13这2个质数. 若 11a ≥, 1111121100,a b ⨯≥⨯=> 不满足要求.所以满足题设条件的数有14 + 9 + 5 + 2 = 30 (个).7. （必答题A5）梯形 ABCD 中, 腰 AD =10 厘米, 梯形的面积为 70 平方厘米. 则由腰 BC 的中点 M到直线 AD 的距离为多少厘米?【答案】7【解答】过M 作AD 的平行线交AB 于E , 交DC 于F . 由于M 为BC 中点, 相当于△MBE 绕点M 旋转180到△MCF 的位置. 自M 作AB 的垂线, 垂足为H .所以,平行四边形ADFE 的面积 = 梯形ABCD 的面积=70平方厘米.又平行四边形ADFE 的面积 =10AD MH MH ⨯=⨯= 70,所以 7MH =厘米.另解. 连接DM 交AB 的延长线于P ,相当于将△MDC 绕点M 旋转180到△MPB 的位置. 点D , M , P 在一条直线上, 且M 是DP 的中点.△ADP 的面积 = 梯形ABCD 的面积 = 70.连接AM , 自M 作AD 的垂线, 垂足为H . 则△AMD 的面积 =12⨯△ADP 的面积 = 35, 所以 135,2AD MH ⨯⨯= 即11035,2MH ⨯⨯= 所以MH = 7（厘米）.8. （必答题A6）某植物园计划在如图所示的 A, B, C, D, E五个地块栽种四种不同颜色的郁金香, 每个地块内的郁金香必须同色. 相邻的（有公共边界的）地块的郁金香不能同色,不相邻的地块可以同色.问共有多少种不同的栽种方案?【答案】72【解答】按A , B , C , D , E 的顺序, 分别有4, 3, 2, 2, 2种颜色可选, 所以不同颜色的着色方案共有4 × 3 × 2 × 2 × 2 = 96 (种).注意到其中包含了只栽种三种颜色的郁金香（例如上图中D 与A 同色, 而E 与B 同色）的方法4×3×2×1=24 (种),因此满足题设要求的不同的栽种方案为962472-=（种）.9. （必答题A7）如图所示, 已知△ABC , △ACD ,△ADE , △AEF 都是等腰直角三角形, 若它们的总面积是30平方厘米, 求AB + AD + AF 的长.【答案】14厘米【解答】根据条件容易判定, BAF 共线, 所以 围成的多边形是五边形BCDEF . 作111,,.CC AD DD AF EE AF ⊥⊥⊥设三角形△ABC 面积为,x 则△ACD 的面积为2,x △ADE 的面积为4,x △AEF 的面积为8x . 因此它们的总面积为15x . 由1530,x = 解得 2.x = 而2122AB =, 所以AB =2, AD = 4,. AF = 8, 所以AB + AD + AF = 14厘米.10. （必答题A8）黑板上写有数字1到9. 请你擦掉其中几个数字, 使得剩下的数字的两两乘积中, 个位出现由0到9这十个数字. 你从黑板上最多能擦掉几个数字?【答案】 3【解答】在黑板上应剩下数5. 数1和9可以只由乘积37⨯和19⨯得到, 这意味着, 所有奇数应留下. 还必须有一个偶数, 就是说黑板上剩下的数不少于六个.容易检验, 六个数1, 2, 3, 5, 7, 9 两两的乘积的末位出现由0到9的所有数字. 因此, 从黑板上最多能擦掉3个数字.11.（群答题2）有大、中、小三张圆形纸板, 每次取其中的两个盖在桌面上.如果所有的情况中盖住桌面的最大面积为25, 最小面积为10, 那么大圆纸板的面积为多少?【答案】15【解答】易知,大圆纸板与中圆纸板不重合时盖住的面积最大, 等于25, 是大、中两个圆纸板面积之和, 中圆纸板与小圆纸板完全重合时盖住的面积最小, 此时盖-=.住的面积为中圆纸板的面积, 为10.所以最大的圆纸板面积为25101512.（群答题3）甲乙两人分别在一圆形跑道上的一条直径的两端点, 同时顺时针沿跑道行走, 10分钟后, 甲追及乙. 问至少再过多少时间甲再次追及乙?【答案】20分钟.【解答】因为10分钟的时间甲比乙多走半圈, 再过20分钟甲比乙又多走1圈, 即可追及乙.13.（共答2, 动手操作, 演示）你能用总面积为6的六张不全相等的正方形纸片将111⨯⨯的立方体完全裱糊起来吗? 如果能, 请你演示裱糊的方法; 如果不能, 请说明理由.【答案】能【解答】用六张面积都为1的纸片, 显然可以将111⨯⨯的立方体完全裱糊起来.现在要用总面积为6的六张不全相等的正方形纸片来裱糊111⨯⨯的立方体, 即至少用总面积为6的两种不同大小的正方形纸片来裱糊111⨯⨯的立方体, 考虑到1111=+++++,6222222可以引进相应的例子: 连接111⨯⨯的立方体各界面正方形的两条对角线, 剪出两张边长等于界面正方形的对角线长的大正方形（面积为2）纸片. 其中一张像图a) 那样裱糊在上界面和相邻的每个界面的四分之一（正方形的顶点安放在四个相邻界面的中心）. 另一张面积为2的正方形裱糊在下界面以及它每个的侧面的四分之一. 四个剩余的部分的每一个, 可以裱糊面积为12的正方形, 如图b) 所示.14. （必答题B1）在100至200之间有三个连续的自然数, 其中最小的能被3整除, 中间的能被5整除, 最大的能被7整除. 写出这样的三个连续自然数.【答案】159, 160, 161【解答】找中间的那个数, 它能被5整除, 被3除余1, 被7除余6. 先找被5整除被3除余1的最小数是10, 然后每次加[3, 5]=15, 看是否能被7除余6, 找到位于100~200之间的只有10+150=160, 所以这三个数为159、160和161.15. （必答题B2）边长分别为6厘米和8厘米的两张正方形纸板, 放在一个边长为10厘米的大正方形内, 大正方形内未被两张小正方形纸板盖住的部分的面积的最小值是多少平方厘米?【答案】16【解答】易知 2226810+=, 即边长分别为6厘米和8厘米的两张纸板的面积之和恰等于边长为10厘米的大正方形的面积. 只有当两个纸板放在大正方形内重叠的部分面积最小时, 其覆盖的总面积才最大, 这时未被覆盖的总面积为最小. 两个正方形纸板分别在图中的EFGD 与PBMN 的位置时, （两个正方形纸板重叠部分为正方形FHNQ ）, 未被覆盖的APQE 与MCGH 的总面积为最小.易知未被覆盖的APQE 与MCGH 的总面积恰等于正方形FHNQ 的面积. 正方形FHNQ 的边长为6 + 8 – 10 = 4厘米, 所以正方形图a) 图 b)FHNQ 的面积为16平方厘米. 也就是大正方形内未被小正方形纸板盖住的部分的面积的最小值是16平方厘米.16. （必答题B3）自然数n 是两个质数的乘积, 它的包含1但不包含n 的所有因数的和等于100. 那么n =?【答案】194【解答】设,n pq =其中p 和q 是不同的质数.根据条件1100,p q ++=因此99.p q += 所以数p 和q 之一是偶数. 设p 是偶质数2, 则2,p =而97.q =即297194.n =⨯=17. （必答题 B4）如图, 三角形ACB 中, 90,ACB ∠= AC =1cm, AB =2cm. 以B 为中心, 将三角形ACB 顺时针旋转, 使得点A 落在边CB 延长线上的A 1点, 此时点C 落在点C 1的位置.设在旋转中边AC 扫过的面积为S , 以B 为中心1为半径的半圆面积为T , 求S 与T 之比.【答案】5:6.【解答】易知1130.ABD A BD ∠=∠=曲边三角形111AC D 的面积= 曲边三角形ACD 的面积.所以边AC 变到A 1C 1所扫过的面积为S =()()2222150524(21)36012BC πππ⨯-⨯=--5.12π= 以B 为中心1为半径的半圆面积T 211.22ππ=⋅= 所以 525.126S T ππ=⨯= 即:5:6.S T = 18. （必答题B5） 非零的自然数n 是25的倍数, 它的数字和也是25的倍数. 那么n 最小是多少?【答案】4975【解答】一个非零的自然数是25的倍数, 这个自然数的末两位数字只可能是00, 25, 50, 75. 而这个自然数的数字和也是25的倍数, 最小数字和为25, 末两位为75时数字和为12, 前面的数字和只能是13, 最少占两位. 即所求的是个4位数75.ab 而13a b +=, a 最小取4, 此时9b =, 所求的自然数最小是4975.19. （必答题B6）如图所示, 6个完全相同的小长方体恰好拼成一个体积等于384立方厘米的长方体, 那么, 一个小长方体所有棱长的总和是多少厘米?【答案】28【解答】设小长方体的长为4k 厘米, 则可知小长方体的宽是2k 厘米, 高是k 厘米, 立即得到: 体积等于384立方厘米的长方体的长和宽相等, 均为4k 厘米, 高是3k 厘米, 体积为33443483848k k k k k ,⨯⨯==⇒=故k = 2. 所以, 1个小长方体所有棱长的总和是564)248(=⨯++（厘米）.20. （必答题B7）能够在图中的小圆圈中填入由0到9的所有整数, 使得有三个圆圈的六条线段上的数之和都等于同一个值吗? 请说明理由.【答案】不能【解答】假设, 这是可能的. 设在线段端点的数的和等于A , 在线段中点放的数的和等于B . 而沿每条线段三数的和等于S . 显然, A+B = 0+1+…+9 = 45. 每个端点恰属于三条线段, 而所有中点是不同的. 所以, 顺着全部六条线段的和加在一起, 我们得到 36.A B S += 由此26()645.A S A B S =-+=-但这不可能, 因为2A 是偶数, 而645S -是奇数.得到的矛盾证明了, 要求的放置是不可能的.21. （必答题B8） 有三块长方形钢化玻璃板, 尺寸如图所示.想用这三块玻璃板作侧面, 水泥地平面为底面, 粘合成一个临时的盛水容器, 三块玻璃板不许剪裁和弯曲, 只允许在边缘处粘合, 问容器最多可容多少立方分米的水?【答案】48【解答】根据两边之和大于第三边的要求, 易知这个容器的底面只能是边长为3,4, 5和边长为4, 5, 8的三角形两种情况:（1）底面三角形边长为3, 4, 5. 侧面取最短的高为8;容积为1348482⨯⨯⨯=; （2）底面三角形边长为4, 5, 8., 设引向长为8的边的高为,h 则底面三角形面积18,2h =⨯⨯ 侧面取最短的高为3. 容积11(8)384348.22h =⨯⨯⨯<⨯⨯⨯=所以容器最多可容48立方分米的水.（下半场）22.（群答题4）几位游客上午10: 30进入公园, 沿大道从东门步行走向西门, 在公园大道某处的路标上写着: 距东门2220m , 距西门660m. 然后游客们走到西门出园时间是11: 20. 求游客行走的平均速度是多少（千米/小时）?【答案】3.456【解答】游客行程=2220+660米=2.88千米. 游客共行走了50分钟=56小时, 所以, 游客行走的平均速度为52.88 2.88653.4566÷=⨯÷=（千米/小时）.23.（群答题5）能够在图中的圆圈内填入10个数, 使得任意黑三角形顶点的三数之和都等于2012, 而任何白三角形的顶点的三数之和都等于2013吗? 请说明理由.【答案】不能【解答】假设放置了所求的10个数. 设放置在中间六边形的顶点的数为a, b, c, d, e, f, 在它中心的数为p, 则根据条件, 在三个黑三角形顶点的所有数的和为:332012a b c d e f p++++++=⨯. ①同时, 在三个白三角形顶点的所有数的和为:332013a b c d e f p ++++++=⨯. ② 比较①、②得 3201232013,⨯=⨯ 即20122013.=矛盾.另解. 假设放置了所求的10个数. 设放置在中间六边形的顶点的数为a , b , c , d , e , f , 在它中心的数为p , 则根据条件, 任意黑三角形顶点的三数之和都等于2012, 而任何白三角形的顶点的三数之和都等于2013, 易知1,f b =+ 1,d f =+ 1.b d =+三式相加得:3,f d b b f d ++=+++即0=3. 矛盾.24. （共答题3）用一个31角的模版和铅笔为工具,你能在纸上画出一个13的角吗? 说明理由.【答案】能【解答】因为1803311754052713.⨯-⨯=-=画一直线AOB , 取O 为坐标原点. 以射线OA 为角的一边, 在顺时针方向作∠131AOC =, 接着再作16个31的角122334151631.C OC C OC C OC C OC ∠=∠=∠==∠= 得1613.BOC ∠=25. （抢答题1）将九个数码1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分成两组, 写成甲、乙两个多位数, 使得甲数恰为乙数的两倍. 请写出三组不同的答案, 每组答案中有一个数的千位是5.【答案】（15384, 7692）, （15846, 7923）, （15864, 7932）【解答】（1）两个多位数必一个是五位数, 一个是四位数. 且五位数万位是1.（2）已知5在千位上, 若5在四位数的千位, 乘以2之后, 得五位数的万位与千位是10或11（百位进上1时）, 由于九个数字中没有0, 且不能重复, 所以5不能出现在四位数的千位. 因此5只能出现在五位数的千位, 这时四位数的千位必为7, 需百位乘2后进一, 得五位数是15abc. 四位数的百位只能是9或8或6.当四位数百位是9时, 有两组解：（15846, 7923）; （15864, 7932）,当四位数百位是8时, 无解;当四位数百位是6时, 有一组解：（15384, 7692）.思维链接. 建议有兴趣的读者可以独立思考解答下面的问题:将九个数码1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分成两组, 写成甲、乙两个多位数, 使得甲数恰为乙数的两倍. 请写出各种不同的答案.答案为:(18546, 9273); (18654, 9327); (15846, 7923), (15864, 7932),(15384, 7692); (14658, 7329), (14586, 7293), (14538, 7269);(13458, 6729), (13854, 6927), (13584, 6792).提示：（1）分得的必一个五位数, 一个是四位数, 并且五位数万位是1.（2）5不能在四位数的各个位中, 也不能是五位数的个位.（3）5在五位数的十位或百位, 靠四位数的26, 27, 28, 29乘2后产生五位数十位或百位的5. 5在五位数的千位, 靠79×2=158产生千位的5.（4）四位数的个位或（百位）乘2不进位.按上述要求, 试填即得.26. （抢答题2）将1至2013这2013个自然数依次写下来, 得一多位数123456789101112…201120122013.这个多位数除以9的余数是几?【答案】3【解答】 一个自然数除以9的余数等于这个自然数的各个数位上的数字之和除以9的余数.将0至1999这2000个数分成如下1000组:（0, 1999）, （1, 1998）, （2, 1997）, …, （998, 1001）, （999, 1000）, 以上每组两数之和都是1999, 且两数相加没有进位, 这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和是:（1+9+9+9）×1000=28000.2000~2013这14个自然数各位数字和为28+45+10=83,所以这个多位数除以9的余数就是 (28000+83) 除以9的余数, 得3.27. （抢答题3）如图所示的圆内接正六边形ABCDEF的面积是18平方厘米. 以AB , BD , DE , EA 为直径向外作四个半圆. 问四个月牙形（阴影）面积的和等于多少?【答案】12平方厘米【解答】连接BOE , 知 三角形DBE 为直角三角形. BE右上两个月牙形面积之和等于三角形DBE 的面积, 同理, BE 左下两个月牙形面积之和等于三角形ABE 的面积, 因此, 四个月牙形（阴影）面积的和等于长方形ABDE 的面积. 而容易看出, 长方形ABDE 的面积等于六边形ABCDEF 的面积的2,3等于12平方厘米. 所以四个月牙形（阴影）面积的和等于12平方厘米.28. （抢答题4）今有2013张纸牌, 上面分别写有从1到2013的数字, 问能否将这些纸牌分成三堆, 使各堆牌上的数之和的比为3:2:1吗? 说明理由.【答案】不能【解答】因为2013张牌的数字之和为201310072013220131102320124321⨯=⨯+=++++++ , 如果能分成题中要求的三堆牌, 等于将和数10072013⨯分成相等的6份, 每份都是整数. 也就是10072013⨯应被6整除. 但10072013⨯不被6整除, 矛盾！所以题设的分法是不可能的.29. （抢答题5）棱长为4的立方体支架每条棱上每隔单位长有一个分点与顶点一起共计标出44个点（如图）. .至少过这些点中的两个点的不同的直线共有多少条?【答案】838【解答】暂时不考察通过立方体的棱的12条直线. 则a) 通过立方体每个顶点（8个之一）, 引 93431⨯+= 条直线（图a ）. b) 通过每个“非顶点”（它们是12336⨯=个之一）引113639⨯+=条直线（图b ）.因为提到的每条直线计算了两次, 所以直线的总数等于1(8313639)12838.2⨯⨯+⨯+= 另解. 对给出的44个点, 每个点可与其余43个点连接直线, 确定每条直线要2个点, 每条直线对这两个点重复计数了一次, 因此连接的直线总数为44439462⨯=条. 其中在每条棱上的5个点两两连结的直线都是同一条, 多计数了54192⨯-=条, 12条棱上多计数了129108⨯=条. 所以过题设的44个点可确定的不同的直线共计946108838-=条.30. （抢答题6）千位与个位都是偶数码且不被1000整除的四位数共有多少个?【答案】1996【解答】四位数的千位数码依条件可以是2, 4, 6, 8中的任一个, 百位和十位数码可以是十个数码中的任一个, 而个位数码如果不考虑“不被1000整除”的条件, 可以从0, 2, 4, 6, 8这五个数字中任选一个.因此, 千位与个位都是偶数码的四位数共有4101052000⋅⋅⋅=个, 因为其中只有2000, 4000, 6000, 8000被1000整除, 所以千位与个位都是偶数码且不被1000整除的四位数共有200041996-=个.31. （抢答题7）如图, 写有不同的非0自然数的14张卡片数字朝下, 自小到大排成一行. 这些数的和等于170. 去掉最左和最右的两张, 剩下卡片上的数之和等于150.问原来左数第三张卡片写的是什么数?图a 图b【答案】8【解答】去掉最左和最右的两张纸片, 剩下数的和等于150. 表明卡片最小与最大数的和等于20. 因此, 可能是1+19, 2+18, 3+17, 4+16, 5+15, …….-+=<与共14张卡片不如果是4+16及它以后的情形, 卡片数最多为16411314.符. 若是3+17的情况, 而3到17这15个数之和为3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=150,其中14个数不可能等于170.若是2+18的情况, 而2到18共17个数之和等于170. 去掉3个数, 14张卡片之和小于170, 与题设不符.所以只能是1+19的情况., 而由1到19共19个数之和等于190. 去掉和为20的5个数, 才能等于170. 只能去掉2, 3, 4, 5, 6这5个数. 因此原来左数第三张卡片写的是8.数.而在每个顶点写上该顶点所在的三个界面上的数的乘积. 那么八个顶点上写的数之和能是2013吗?如果能, 最初六个界面上写的数之和是多少? 如果不能, 请说明理由.【答案】能, 6个界面上写的数之和是75.【解答】设在立方体相对界面写的正整数分别是:上界面和下界面分别为a 和 b ;左界面和右界面分别为c 和d ;前界面和后界面分别为e 和f .则在各顶点写的数之和为acf adf ace ade bcf bce bdf bde +++++++()()()201331161a b c d e f =+++==⨯⨯,所以在各界面上写的数的和是()()()3116175.a b c d e f +++++=++=33. （共答题4）在纸板上画有一个平行四边形ABCD , P 为形内一点.请用圆规、（无刻度）直尺、铅笔为工具, 画出一个边长分别等于P A 、PB 、PC 和PD 的四边形, 使得该四边形的面积恰是平行四边形面积的一半.【解答】作法如下: 平移PBC ∆到.P AD '∆或平移PAB ∆到P DC '∆即可.易知,△PBC 的面积+△P AD 的面积 = △P AB 的面积+△PCD 的面积 = 12⨯平行四边形ABCD 的面积. 所以平移PBC ∆到P AD '∆（或平移PAB ∆到P DC '∆）即可实现题设要求的作图.。

总分第十八届华 罗 庚金杯少 年邀请赛决赛试题A （小学中年级组）（时间2013年4月20日10：00～11：30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1．计算: (2014×2014+2012)-2013×2013________.解析：(2014×2014+2012)-2013×2013=（2013+1）×（2013+1）+2013—1-2013×2013=2013×2013+2013+2013+1+2013-1-2013×2013=6039或用平方差公式。

(2014×2014+2012)-2013×2013=20142-20132+2012=2012+2013+2014=6039考试中最直接的方法，死算也OK 。

2．将长方形的纸片ABCD 按右图的方式折叠后压平, 使三角形DCF 落在三角形DEF 的位置, 顶点E 恰落在边AB 上. 已知∠1＝20°, 那么∠2是________度.解析：因为翻折，∠CFD=∠E FD=90°-22°=68°∠2=180°-68°-68°=44°3．亮亮上学, 若每分钟行40米, 则8 : 00准时到校; 若每分钟行50米, 则7 : 55到校. 亮亮的家与学校的距离是________米.解析：行程型盈亏问题。

每分钟行40米,刚好够分；若每分钟行50米，则少5×50=250米所以250÷（50-40）=25分钟，亮亮的家与学校的距离是25×40=1000米.法二：六年级可以用。

走同样路程，速度比与时间成反比，速度比为4:5，则时间比为5:4,8:00-7:55=5分钟，则若每分钟行40米,亮亮用时5÷（5-4）×5=25分钟，所以亮亮的家与学校的距离是25×40=1000米.4．第一次操作将图a 左下角的正方形分为四个小正方形, 见图b; 第二次操作再将图b 左下角的小正方形分为四个更小的正方形, 见图c; 这样继续下去, 当完成第五次操作时, 得到的图形中共有________个正方形.解析：找规律。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A）卷【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.计算:(2014×2014+2012)-2013×2013=________.2.将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平,使三角形DCF落在三角形DEF的位置,顶点E恰落在边AB上.已知∠1＝20°,那么∠2是________度.3.鸡兔同笼,共有40个头,兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只,那么兔有________只.4.第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形,见图b;第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形,见图c;这样继续下去,当完成第六次操作时,得到的图形中共有________个正方形.图a图b图c5.右面的加法竖式中,相同的汉字代表1至9中的相同数字,而不同的汉字代表不同的数字.则竖式中的“数学”所表示的两位数共有________个.6.大小两个正方体积木粘在一起,构成右图所示的立体图形,其中小积木的下底面的四个顶点,恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2,那么这个立体图形的表面积是________.7.某班学生人数大于20而小于30,其中女同学的人数是男同学的2倍.全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人.这个班有学生________名.8.见右图,图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积,那么阴影三角形的面积为________.二、简答题（每小题15分,共60分,要求写出简要过程）9.用4个数码4和一些加、减、乘、除号和小括号,写出值分别等于2、3、4、5、6的五个算式.10.右图是U,V,W,X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量.如果每辆车都有50升油,那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米?11.某商店卖出一支钢笔的利润是9元,一个小熊玩具的进价为2元.一次,商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销,共获利润1922元.问这次促销最多卖出了多少支钢笔?12.编号从1到10的10个白球排成一行,现按照如下方法涂红色:1）涂2个球;2）被涂色的2个球的编号之差大于2，求不同的涂色方法有多少种?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷参考答案【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.解析：【知识点】运算律，平方差公式原式6039201240272012)20132014()20132014(20122013201422=+=+-⨯+=+-=2.解析：【知识点】平面几何o 201=∠=∠CDF ，DCF ∠与CDF ∠互余，则o o o 702090=-=∠DFC ，o 70=∠=∠DFC DFE ，o o o o 4070701802=--=∠。

历届华杯赛决赛试题剖析华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学组)、填空 (每题 10 分，共 80 分)16 4014 9 40162008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 1、计算：2= 。

1 3 4014 3 60244答案： 212008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 2、林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟满并31搅拌均匀，第二次，林又喝了 1 ，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共3 喝了一杯纯牛奶总量的 (用分数表示 )。

2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 3、下图是小明用一些半径为圆、圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为答案： 642008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 4、悉尼与北京的时差是 3 小时，例如：悉尼时间 12:00 时，北京时间是 9:00，某日，当悉尼时间 9:15 时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马于北京时间 19:33分到达北京。

小马和小杨路途上时间之比为 7:6，那么小杨到达悉尼时，当地时间是 。

答案： 20:392008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 5、将六个自然数 14，20，33，117，143，175 分组，如果要求每组中的 任意两个数都到质，则至少需要将这些数分成 组。

答案： 32008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 6、对于大于零的分数，有如下 4 个结论： (1) 两个真分数的和是真分数； (2) 两个真分数的积是真分数；(3) 一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；(4) 一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。

其中正确结论的编号是 。

答案： (2)(3)1 3 7 1510232008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 7、记 A ＝ + + + +⋯ +，真题尝试 感 悟 心 得答案：65811 厘米、2 厘米、 4 厘米和 8 厘米的圆、半 平方厘米。

孙儿华杯赛获奖记孙儿庞恺延在参加2013年4月第十八届华杯赛决赛时，没有想到获得了一等奖，真是难得。

我一直觉得恺延有获奖的实力，但没有估计到他能获得一等奖而且还是第一名。

2013年7月23日，庞恺延远征惠州市参加第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛，获得铜奖。

回顾他这些年的学习，数学一直是他的强项，虽然培养兴趣是前提，但努力是他最终获奖的原因。

一、启蒙2008年九月，孙儿庞恺延进入湛江十九小读书，开始他的启蒙阶段，如同一只饥饿的小羊闯进芳草嫩绿的草地，吸取着校园给他的各种知识营养。

奇怪的是，他的数学成绩一直名列前茅。

2011年12月，庞恺延第一次参加湛江市“才达斯杯”三年级数学邀请赛独占鳌头，荣获第一名，受到学校的表扬和父母的欣赏。

尝到了第一名的喜悦，但他还不知道自己在接触了奥数。

此后，他的数学成绩在年级里一直都是出类拔萃，他提出要到才达斯学校学习数学，家里都支持他的想法，这是良好的开端。

2012年寒假，思维活跃，反应灵敏的庞恺延，怀着好奇心和求知欲第一次参加才达斯学校学习，开始走进了奥数的世界，那时他才三年级。

二、步入奥校入了奥数的门后，庞恺延每周末晚上就去才达斯学校读书。

每一节课，辅导老师都会讲奥数的一个类型的题目，并且在一个多小时的授课结束后就当场考试。

庞恺延在课堂上认真听讲，仔细做笔记，如饥似渴地吸吮(shun)着数学的甘露，所以成绩进步很快。

庞恺延有一个亮点，打破沙锅问到底。

每当老师讲评试卷时，庞恺延都会对不理解的答案问老师“为什么”。

庞恺延很好胜，每次测试，总要跟分数排在他前面的同学比高低。

有一次，奥校考试前，庞恺延发高烧在医院打点滴，妈妈正想为他请假，但当医生为他拔了针头后，什么东西都没吃，便马上回校考试了。

平时，他爸爸妈妈经常激发他的学习热情，并耐心地告诉他，学习奥数对一个人思维和解题方法是会有很多帮助的。

在爸爸妈妈的不断鼓励下，他踏上了攻克奥数难题的征程，课后还看了很多关于数学思维训练的书籍，和爸爸、妈妈一探究数学难题。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学中年级组）一、填空题（每题10 分, 共80分）二、简答题（每题15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9.答案：192解答. 因为（长方形ABFE的面积-蔬菜大棚的面积）-（长方形EFCD的面积-鸡场的面积）= 96,又, 蔬菜大棚的面积=鸡场的面积, 所以长方形ABFE的面积-长方形EFCD的面积= 96 ……（5分）因为BF=3CF, 即长方形ABFE的面积=3×长方形EFCD的面积,所以3×长方形EFCD的面积-长方形EFCD的面积= 96,即2×长方形EFCD的面积= 96. ……（10分）因此,长方形ABCD的面积= 长方形ABFE的面积+长方形EFCD的面积= 3⨯长方形EFCD的面积+长方形EFCD的面积= 4⨯长方形EFCD的面积= 2×96 = 192.……（15分）解答.U 车行驶 (5020)100250÷⨯=（千米）, V 车行驶 (5025)100200÷⨯=（千米）, W 车行驶 (505)1001000÷⨯=（千米）, X 车行驶 (5010)100500÷⨯=（千米）.4辆车最多可行驶的路程总计是250+200+1000+500=1950（千米）. （说明：本题共5步, 每个式子做对得3分）. 11. 答案：990解答. 由甲是乙的2倍多10块, 是丙的3倍多18块, 是丁的5倍少55块, 得甲102-=⨯乙, 甲183-=⨯丙, 甲555+=⨯丁,即15×甲15030-=⨯乙, 10×甲18030-=⨯丙, 6×甲33030+=⨯丁. ……（5分） 三式相加得31303030⨯=⨯+⨯+⨯甲乙丙丁,即6130303030⨯=⨯+⨯+⨯+⨯甲甲乙丙丁. ①又甲 + 乙 + 丙 + 丁 = 2013,所以30303030⨯+⨯+⨯+⨯甲乙丙丁302013=⨯. ②……（10分）将 ② 代入 ① 得61302013303361.⨯=⨯=⨯⨯甲所以, 3033990.=⨯=甲 ……（15分）解答. 设被染色的每两个球中的小号码为k, 则k取值1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 另一个被染色的球的号码可能是3,4,,10.++……（3分）k k采用列举法：k=1时, (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), 共7种;k=2时, (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), 共6种;k=3时, (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), 共5种;k=4时, (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), 共4种;k=5时, (5, 8), (5, 9), (5, 10), 共3种;k=6时, (6, 9), (6, 10), 共2种;k=7时, (7, 10). 共1种.不同的染法数为1+2+3+4+5+6+7 = 28 (种). ……（15分）。