泊松流、指数分布、爱尔朗分布

交通流理论离散型分布在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布。

1、泊松分布适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。

基本公式：()!Kt K t P e k λλ-=式中：K P —在计数间隔t 内到达k 辆车的概率；λ—平均到车率；t —每个计数间隔持续的时间；e —自然对数的底，可取2.718280。

若令m t λ=—在计数间隔t 内到达的平均车辆数，则m 又称为泊松分布的参数。

则有递推公式：0m P e -=，11k K m P P k +=+；分布的均值M 和方差D 都等于t λ。

2、二项分布适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。

基本公式：()(1)k k n k k n t t P C n n λλ-=-式中各参数代表意义同上。

通常记t P nλ=，则二项分布可写成：(1)k k n k k n P C P P -=-，式中：01P <<，n,p 称为分布的参数。

递推公式为：111k k n k P P P k P+-=∙∙+-，分布的均值M 和方差D 分别是：n (1)M nP D P P ==-，。

显然M D >，这是二项分布与泊松分布的显著区别，它表征二项分布到达的均匀程度高于泊松分布。

如果通过观测数据计算出样本均值m 和方差s 2，则可分别代替M 和D ，用下面两式求出P 和n 的估计值：222n m s m P m m s -==-，，其中m 和s 2可按下面两式计算：221111s ()1N N i i i i m m N N χχ====--∑∑，式中：N —观测的计数间隔数；i χ—第i 个计数间隔内的车辆到达数。

连续型分布车流到达的统计规律除了可用计数分布来描述外，还可以用车头时距分布来描述，这种分布属于连续型分布。

1、负指数分布适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计数的泊松分布相对应。

第八章 排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。

在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。

由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。

对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。

若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。

因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。

排队论是优化理论的重要分支。

排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。

第一节 排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。

1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。

包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。

顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。

如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。

（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。

（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。

这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。

（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。

在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统 图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。

泊松分布和指数分布⼀、先摆出泊松分布表达式：P (x =k ;λ)=λkk !e−λ泊松分布的意义： ⾸先，泊松分布的描述对象是“离散随机变量”; 泊松分布是描述特定时间或者空间中事件的分布情况。

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位⾯积)内随机事件的平均发⽣率。

泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发⽣的次数。

1.⼀本书⾥，印刷错误的字的个数： 其中参数λ由⼆项分布的期望np 决定，λ=np ，表⽰该时间(空间)段内的事件发⽣的频率。

这个例⼦中，表⽰⼀般情况下，书内(空间)的出错的频率(期望)，n 代表所有的字数，p 代表印刷错误的概率，k 表⽰印刷错的字数。

刚好这个例⼦包含了，当n 很⼤，p 很⼩的时候，⼆项分布的极限是泊松分布。

因为这个例⼦同样可以⽤⼆项分布的⾓度来解释：每印刷⼀个字，表⽰⼀次伯努利实验（n 代表所有的字数，p 代表印刷错误的概率，k 表⽰印刷错的字数。

当n 继续变⼤，为连续变量的时候，⼆项分布的极限⼜成了正态分布（正态分布是所有分布趋于极限⼤样本的分布）。

2.⼀段时间内的次品率；3.某医院平均每⼩时出⽣的婴⼉数；4.某⽹站每分钟的访问次数； 注意这⾥的λ为⼀段时间内的期望，如果待研究的时间段变化了，λ也要跟着变。

⽐如医院平均每⼩时出⽣的婴⼉数的参数为λ，则“医院平均每两个⼩时出⽣的婴⼉数”的参数为2λ，则每两个⼩时医院出⾝的婴⼉个数为k 的概率为：P (x =k ;λ)=(2λ)kk !e −2λ泊松分布的柱状图类似正太分布的形状，在 k = λ 的时候概率最⼤。

⼆、指数分布概率密度函数：f (x )=1θe −x /θ,x >0分布函数：P (X ≤x )=F (x )=1−e −x /θ,x ≥0其中θ>0为常数，则称X 服从参数θ的指数分布。

指数分布的意义： ⾸先，指数分布的描述对象是“连续型随机变量”； 指数分布是泊松过程的事件间隔的分布：泊松分布表⽰的是事件发⽣的次数，“次数”这个是离散变量，所以泊松分布是离散随机变量的分布；指数分布是两件事情发⽣的平均间隔时间，“时间”是连续变量，所以指数分布是⼀种连续随机变量的分布。

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。

其在实际中的应用。

关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。

它是一种“定性”类型的概念。

为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。

称这种变数为随机变数。

本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。

定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。

它是一个普通的函数。

成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。

更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。

称它的分布为离散型分布。

【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。

称这种随机变数的分布为退化分布。

一个退化分布可以用一个常数a 来确定。

（2）X 可能取的值只有两个。

确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。

如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。

因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。

特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。

爱尔朗分布（Erlang Distribution ）在概率与统计相关学科中，爱尔朗分布（Erlang Distribution ）是一种连续型概率分布。

Erlang 分布的译名较多，如爱尔兰分布，埃朗分布，埃尔朗分布，爱尔朗分布，厄朗分布等等；此外在不同学科间，Erlang 分布的习惯译法也可能不同。

该分布与指数分布一样多用来表示独立随机事件发生的时间间隔。

相比于指数分布，爱尔朗分布能更好地对现实数据进行拟合（更适用于多个串行过程，或无记忆性假设不显著的情况下）。

除非退化为指数分布，爱尔朗分布不具有无记忆性（或马尔可夫性质），因此对其进行分析相对困难一些。

一般通过将爱尔朗过程分解为多个指数过程的技巧来对爱尔朗分布进行分析。

遵循爱尔朗分布的随机变量可以被分解多个同参数指数分布随机变量之和，该性质使得爱尔朗分布被广泛用于排队论中。

参数与公式爱尔朗分布有两个参数，阶数（stage ）k 和均值μ（也有用来代替的）。

具有阶数k 的爱尔朗过程被称为k 阶爱尔朗（k-stage Erlang ），对应的随机变量可被视为k 个同参数指数分布随机变量之和。

依据上下文环境不同，均值参数μ可以指整个爱尔朗分布的均值μ0也可以指每个指数分布的均值μi 。

两者的关系是：[编辑]与其他概率分布的关系爱尔朗分布是一种Phase-Type 分布。

它是亚指数分布的一个特例（各阶指数过程均值都相等的k 阶亚指数分布即为k 阶爱尔朗分布）；而指数分布则是爱尔朗分布的一个特例（阶数k= 1的爱尔朗分布即为指数分布）。

[编辑]Speical Erlang“Speical Erlang”分布 是亚指数分布的一个别名。

需要注意的是，Special Erlang 并非爱尔朗分布（Erlang ）的特例。

正好相反，爱尔朗（Erlang ）分布是Special Erlang 的一个特例。

爱尔朗分布模型：设V 1，V 2，…，V k 相互独立，V i ～E(0 ，k μ)，则，T=V 1+V 2+…+V k 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>-=-.0,0,0,)!1()()(1t t k kt k t f k k μμ称T 服从k 阶爱尔朗分布。