浙江省黄岩中学高中数学《3.1两角和与差的三角函数测试》练习题 新人教版必修4

两角和与差的三角函数值1、，则（）ABCD2、）．AD3、已知则的值是ABCD4、，均为锐角，则（）ACD5、）A6、（1（2）求的值．7、sinα=tan tan、αβαβ+,αββ= cosα（1）求的值；（28、.9、，求.10、，求角的值.sin βcos βαβ-参考答案1、【答案】D2、【答案】A3、【答案】B4、【答案】C5、【答案】D6、【答案】（1（2试题分析：（1（2）利用两角和的余弦公式可求得的值. 详解：（1）（2）由题意得【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题.7、【答案】（12）12试题分析：详解：(1)利用题意可知(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12. 试题解析： （1cos α4πα<<()βαβα=+-()()()sin sin sin cos cos sin ββααβααβαα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦（28、试题分析：由已知条件结合两角和的正切公式可求出，结合二倍角的正弦公式、分子分母同时除以，代入即可求出最后结果. ，解得，所以【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查二倍角公式，考查了两角和的正切公式.本题的难点是对所求式子进行变形整理. 9、试题分析：利用万能公式得再利用平方关系求，最后根据两角差余弦公式求结果. 详解：tan 3α=-2cos αtan 3α=-tan 3α=-sin ,cos ,ααcos()αβ-1tan 22α=【点睛】本题考查万能公式、同角三角函数平方关系、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 10、试题分析：求得的值，由此求得角的值.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式，属于中档题.(,0,αβ∈sin(αβ-cos cos()cos()cos()cos sin()sin ββαβααβααβα∴=-=--=-+-123=⨯+()sin αβ-αβ-。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知，，那么的值为________ ．【答案】【解析】因为=，所以===．【考点】角的配凑；两角差的正切公式2.在中，已知．（1）求角的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）运用正余弦的二倍角公式将化简得到，结合，进而得到的值，从中可确定的值；（2）先由角的大小及的值，结合正弦定理得到，进而由三角形的内角和定理算出，再由两角和差公式算出的值，最后由三角形的面积计算公式即可求得的面积．试题解析：（1）因为，所以因为，所以，从而所以 6分（2）因为，，根据正弦定理得所以因为，所以所以△的面积 12分．【考点】1．正、余弦的二倍角公式；2．正弦定理；3．三角形的面积计算公式．3.在中，角的对边分别为，（1）若，求的值；（2）设，当取最大值时求的值。

【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A的值．试题解析：解：∵∴∴，即B= （3分）（1）由即∴（5分）当时，＜＜,C＜A＜B=与三角形内角和定理矛盾，应舍去，∴（7分）（2）（10分）∵A∈（0，），∴∈，）即∈，1]当=，即A=时，（12分）【考点】1．二倍角的余弦；2．两角和与差的正弦函数；3．余弦定理．4.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据两角和的公式，,故选A.【考点】两角和的正弦公式5.在中，，，则（）A．或B．C．D．【答案】D【解析】依据题意,,,为锐角，,,故选D.【考点】三角函数的求值6.如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以【考点】两角和与差正弦，切化弦7. Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是_________.【答案】【解析】。

3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式一、选择题： 1．sin12π25cos 6π11－cos 12π11sin 6π5的值是( ) A ．－22B ．22 C ．－sin12πD ．sin 12π2．若sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=0，则sin （α+2β）+sin （α－2β）等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．±1二、解答题 3．已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值．4．已知非零常数a 、b 满足5πsin 5πcos 5πcos 5πsinb a b a -+=tan 15π8，求a b ．5．已知０＜α＜4π，sin （4π－α）=135，求)4πcos(2cos αα+的值．6．已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=43，求βαtan tan 的值．7．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角且lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2．试判断此三角形的形状特征．8．化简︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ．9． 求值：（1）sin75°； （2）sin13°cos17°+cos13°sin17°．10． 求sin 18π7cos 9π2－sin 9πsin 9π2的值．11． 在足球比赛中，甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进（如下图），试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大？（设乙方球门两个端点分别为A 、B ）12． 已知2π＜α＜β＜4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值．13． 证明sin （α+β）sin （α－β）=sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°+ sin80°·sin40°的值．14． 化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］· 80sin 22．15． 已知函数y =sin x +cos x +2sin x cos x +2， （1）若x ∈R ，求函数的最大值和最小值； （2）若x ∈［0，2π］，求函数的最大值和最小值．参考答案1．B 2． C3．解：∵4π＜α＜4π3，∴2π＜4π+α＜π． 又cos （4π+α）=－53，∴sin （4π+α）=54．∵0＜β＜4π， ∴4π3＜4π3+β＜π． 又sin （4π3+β）=135， ∴cos （4π3+β）=－1312， ∴sin （α+β）=－sin ［π+（α+β）］=－sin ［（4π+α）+（4π3+β）］=－［sin （4π+α）cos （4π3+β）+cos （4π+α）sin （4π3+β）］=－［54×（－1312）－53×135］=6563． 4．分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出a b ，用15π8、5π的三角函数表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可．解：由于5πsin 5πcos 5πcos 5πsin 5πsin 5πcos 5πcos 5πsina b a b b a b a -+=-+，则15π8tan 5πsin 5πcos 5πcos 5πsin =-+a b a b ． 整理，有)5π15π8cos()5π15π8sin(5πsin 15π8sin 5πcos 15π8cos 5πsin 15π8cos 5πcos 15π8sin--=+-=a b =tan 3π=3． 5．分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧．解题过程中，需要注意到（4π+α）+（4π－α）=2π，并且（4π+α）－（4π－α）=2α．解：cos （4π+α）=cos ［2π－（4π－α）］=sin （4π－α）=135，又由于０＜α＜4π，则0＜4π－α＜4π，4π＜4π+α＜2π．所以cos （4π－α）=1312)135(1)4π(sin 122=-=--α，sin 1312)135(1)4π(cos 1)4π(22=-=+-=+αα．因此)4πcos()]4π()4πcos[()4πcos(2cos αααα+--+=+a =)4πcos()4πsin()4πsin()4πcos()4πcos(ααααα+-++-+=132413513513121312135=⋅+⋅． 6．分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）．本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化．欲求βαtan tan 的值，需化切为弦，即βαβαβαsin cos cos sin tan tan =，可再求sin αcos β、cos αsin β的值． 解：∵sin （α+β）=32，∴sin αcos β+cos αsin β=32． ① ∵sin （α－β）=43，∴sin αcos β－cos αsin β=43．②由（①+②）÷（①－②）得βαtan tan =－17． 7．分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法．可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A 、B 、C 的关系及大小，据此判明形状特征．解：由于lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2， 可得lgsin A =lg2+lgsin B +lgcos C ， 即lgsin A =lg2sin B cos C ， sin A =2sin B cos C ．根据内角和定理，A +B +C =π， ∴A =π－（B +C ）． ∴sin （B +C ）=2sin B cos C ， 即sin B cos C +cos B sin C =2sin B cos C ． 移项化为sin C cos B －sin B cos C =0，即sin （B －C ）=0． ∴在△ABC 中，C =B ． ∴△ABC 为等腰三角形．8．分析：这道题要观察出7°+8°=15°，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式．解：︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(=︒︒-︒︒+︒︒︒︒+︒︒-︒︒8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin=︒︒15cos 15sin=2－3．9．解：（1）原式=sin （30°+45°）= sin30°cos45°+cos30°sin45°=21·22+23·22=462+． （2）原式= sin （13°+17°）=sin30°=21． 10．解：观察分析这些角的联系，会发现9π=2π－18π7． sin18π7cos 9π2－sin 9πsin 9π2 =sin 18π7cos 9π2－sin （2π－18π7）sin 9π2 =sin18π7cos 9π2－cos 18π7sin 9π2 =sin （18π7－9π2） =sin 6π =21． 11．解：设边锋为C ，C 到足球门AB 所在的直线的距离为CO =x ，OB =b ，OA =a （a ＞b＞0，a 、b 为定值），∠ACO =α，∠BCO =β，∠ACB =α－β＝γ（0＜γ＜2π），则tan α=x a ，tan β=x b （x ＞0，xab＞0）．所以tan γ=tan （α－β）=x ab x b a xab x b x a +-=+-=+-21tan tan 1tan tan βαβα≤abb a 2-． 当且仅当x =x ab ，即x =ab 时，上述等式成立．又0＜γ＜2π，tan γ为增函数，所以当x =ab 时，tan γ达到最大，从而∠ACB 达到最大值arctan abba 2-．所以边锋C 距球门AB 所在的直线距离为ab 时，射门可以命中球门的可能性最大．12．解：此题考查“变角”的技巧．由分析可知2α=（α－β）+（α+β）． 由于2π＜α＜β＜4π3，可得到π＜α+β＜2π，0＜α－β＜4π． ∴cos （α+β）=－54，sin （α－β）=135． ∴sin2α=sin ［（α+β）+（α－β）］=sin （α+β）cos （α－β）+cos （α+β）sin （α－β） =（－53）·1312+（－54）·135=－6556． 13．证明：sin （α+β）sin （α－β）=（sin αcos β+cos αsin β）（sin αcos β－cos αsin β） =sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β=sin 2α（1－sin 2β）－（1－sin 2α）sin 2β =sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β+sin 2αsin 2β =sin 2α－sin 2β，所以左边=右边，原题得证．计算sin 220°+sin80°·sin40°，需要先观察角之间的关系．经观察可知80°=60°+ 20°，40°=60°－20°，所以sin 220°+sin80°·sin40°=sin 220°+sin （60°+20°）·sin （60°－20°） =sin 220°+sin 260°－sin 220° =sin 260° =43． 分析：此题目要灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．14．解：原式=［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·︒80sin 22 =［2sin50°+sin10°（1+3︒︒10cos 10sin ）］·︒10cos 22=［2sin50°+sin10°（︒︒+︒10cos 10sin 310cos ）］·︒10cos 22=（2sin50°+2sin10°·︒︒10cos 50cos ）·2cos10°=22（sin50°cos10°+sin10°·cos50°） =22sin60°=6．15．解：（1）设t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，2］， 则t 2=1+2sin x cos x ． ∴2sin x cos x =t 2－1． ∴y =t 2+t +1=（t +21）2+43∈［43，3+2］ ∴y max =3+2，y min =43． （2）若x ∈［0，2π］，则t ∈［1，2］． ∴y ∈［3，3+2］， 即y max =3+2y min =3．。

双基达标(限时20分钟)1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝()．A．sin(2α＋β) B．sin βC．cos(2α＋β) D．cos β解析原式＝cos[](α＋β)－α＝cos β，故选D.答案 D2．计算sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是()．A.32 B.12C．－32D．－12解析原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12，故选B.答案 B3．若α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为()．A.12B．1C.32D．2解析(1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)①∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan 34π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1，∴①式＝2，故选D.答案 D4．已知tan α＝2，tan β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．解析因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝3 4π.答案3π45．如果cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值是________．解析 由cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π知sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θcos π4－sin θsin π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－713＝－7226.答案 －72266．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β， 并用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值． 解 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β， ∴等式成立．于是，sin 220°＋sin 80°·sin 40° ＝sin 220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220° ＝sin 260°＝34.综合提高 (限时25分钟)7．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝ ( )．A ．0B ．0或2425 C.2425D ．0或－2425解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425.故选C. 答案 C8．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为 ( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析 由sin A sin B <cos A cos B ⇒cos A cos B －sin A sin B >0⇒cos(A ＋B )>0⇒cos C <0⇒C 是钝角，故选D.答案 D9．计算：sin 75°·sin 15°＝________. 解析 sin 75°sin 15°＝cos 15°cos 75° ＝cos(45°－30°)·cos(45°＋30°)＝(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)(cos 45°cos 30°－ sin 45°sin 30°)＝(cos 45°cos 30°)2－(sin 45°sin 30°)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22×322－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×122＝14.答案 1410．已知在锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，则tan Atan B ＝________. 解析 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇔tan Atan B ＝2.答案 211.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝ 1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.由此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(1)若sin x ＝45，求函数f (x )的值； (2)求函数f (x )的值域． 解 (1)∵sin x ＝45，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴cos x ＝－35，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝453＋35.(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x－π6≤5π6，12≤sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π6≤1，∴函数f(x)的值域为[1,2]．。

3.1.1 两角差的余弦公式 一、 选择题1．cos(－75°)的值是( )A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋242．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365 C.6365 D.33653．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( )A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465 4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 5．已知α，β均为锐角，且cos α＝2 55，cos β＝1010，则α－β等于( )A.π4 B ．－π4 C.π2 D ．－π26．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，7π4，则cos x 的值为( ) A.210 B.7 210 C.310 D.7 310二、填空题7．已知α是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－35，则cos α＝________.8．若a ＝(cos60°，sin60°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a ·b ＝________. 三、解答题9．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求角β的大小．10．已知函数f (x )＝－cos2x cos 5π4＋sin2x sin 9π4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π8<α<β<π2，f (α)＝2＋64，且f (β)＝6－24，求角2β－2α的大小．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式二、 选择题1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α；④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.其中恒成立的等式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2.1－tan15°1＋tan15°的值为( ) A. 3 B.33C ．1D ．－ 33．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝( ) A ．－210 B ．210 C ．－7210 D ．72104．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．45．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝34，则α＋β等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π46．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab二、填空题7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______.8．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.三、解答题9．求下列各式的值．(1)tan π12； (2)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°.10．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、两角差的余弦公式：cos(α－β)＝类型一、给角求值问题[典例] (1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°的值为( )A.12B.13C.32D.33(2)cos(－15°)的值为( ) A.2－64 B.6－24 C.6＋24 D ．－6＋24 (3)化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)．类型二、给值求值问题[典例] (1)若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角， sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2＝－255，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．类型三、给值求角问题[典例] 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，，则β＝________. 二、两角和与差的正弦、余弦公式1．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝ ，简记为C (α＋β)，其中α，β都是任意角．2．两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦：sin(α＋β)＝ ，简记为S (α＋β)，其中α，β都是任意角．(2)两角差的正弦： sin(α－β)＝ ，简记为S (α－β)，其中α，β都是任意角． 类型一、给角求值问题[典例] 求值：(1)cos 75°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.类型二、给值求值问题[典例] (1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．类型三、给值求角问题[典例] 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值．[活学活用]已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．三、两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝ ；tan(α-β)＝ 类型一、给角求值问题[典例] 求值：(1)tan75°；(2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.类型二、给值求值问题[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[活学活用]1．已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，sin α＝35，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－72．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________. 类型三、给值求角问题[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. (1)求tan (α－β)；(2)求α＋β的值．。

高一数学两角和与差的三角函数试题1.已知，，那么的值为________ ．【答案】【解析】因为=，所以===．【考点】角的配凑；两角差的正切公式2.如图在单位圆中，已知是坐标平面内的任意两个角，且，请写出两角差的余弦公式并加以证明.【答案】【解析】利用向量数量积两种表示形式，即列等量关系. 设则,,因为，又因为所以解：两角差的余弦公式为：6分证明：设则,,因为，又因为.所以. 14分【考点】利用向量数量积证明两角差的余弦公式3.已知且，，则【答案】【解析】因为，，，，故答案为【考点】和与差的三角函数，三角函数的同角公式。

点评：中档题，应用两角和与差的三角函数公式时，变角是常用技巧。

如等。

4.已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值.【答案】【解析】解：∵＜α＜，∴＜+α＜π．又cos（+α）=－∴sin（+α）=． 3分∵0＜β＜，∴＜+β＜π．又sin（+β）=，∴cos（+β）=－， 6 分∴sin（α+β）=－sin［π+（α+β）］=－sin［（+α）+（+β）］..10分=－［sin（+α）cos（+β）+cos（+α）sin（+β）］……12分=－［×（－）－×］=14分【考点】三角函数化简求值点评：本题中首先找到所求角与已知角的关系，将所求角用已知角表示出来，然后用整体代入的方法求解5.【答案】【解析】根据题意，由于cos(+=cos,故可知答案为。

【考点】两角和差公式点评：主要是考查了余弦的两角和差的公式的运算，属于基础题。

6.在锐角三角形ABC中，的值【答案】【解析】因为是在锐角三角形ABC中，故可知答案为【考点】两角和差的公式运用点评：解决的关键是根据两角差的正切公式，以及内角和定理和诱导公式得到，属于基础题。

7.的值是（）A．0B．1C．D．【答案】A【解析】根据题意可知，根据两角和的余弦公式可知，=，故选A.【考点】两角和差的三角公式点评：解决的关键是根据和角的余弦公式来求解，属于基础题。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为_____．【答案】【解析】【考点】1.两角和的余弦公式；2.特殊角的三角函数值.2.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．3.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。

因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。

用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。

(2)由三角形面积可得。

再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。

解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。

5.设的值等于____________.【答案】【解析】由题可知.【考点】两角差的正切公式.6.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.7.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.（1）求A；（2）设，为的面积，求+的最大值，并指出此时B的值.【答案】（1）（2）当时，+取得最大值3.【解析】（1）由结合条件，易求得可求出A的值；（2）由，由正弦定理，得出代入+化简可知时取得最大值3.试题解析：（1）由余弦定理，得，又∵，∴A=. （5分）（2）由（1）得,又由正弦定理及，得，∴+=，∴当时，+取得最大值3. （13分）【考点】主要考查正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式.8.已知向量，，且（1）求及（2）若-的最小值是，求的值。

3.1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．cos(－75°)的值是( )A.6－22 B.6＋22 C.6－24 D.6＋24答案：C解析：cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝22×⎝⎛⎭⎫－12＋22×32＝6－24. 2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365 C.6365 D.3365答案：A解析：∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( )A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465 答案：A解析：∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案：D解析：由题意，得cos A cos B －sin A sin B >0.即cos(A ＋B )>0，－cos C >0，cos C <0.又0<C <π，故π2<C <π，△ABC 为钝角三角形．5．已知α，β均为锐角，且cos α＝2 55，cos β＝1010，则α－β等于( )A.π4 B ．－π4 C.π2 D ．－π2 答案：B解析：因为α，β均为锐角，所以sin α＝55，sin β＝31010. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝22又∵sin α<sin β；∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.6．若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，7π4，则cos x 的值为( ) A.210 B.7 210 C.310 D.7 310答案：A解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，7π4，∴⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫7π4，2π.∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－35. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin π4＝22⎝⎛⎭⎫45－35＝210. 二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知α是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，则cos α＝________. 答案：－4＋3310解析：因为α是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35<0，所以α＋π3是第三象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝12cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－4＋3310.8．若a ＝(cos60°，sin60°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a ·b ＝________.答案：22解析：a ·b ＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22. 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求角β的大小．解：因为sin(π－α)＝437，所以sin α＝437.因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝3314.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.因为0<β<π2，所以β＝π3.10．已知函数f (x )＝－cos2x cos 5π4＋sin2x sin 9π4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π8<α<β<π2，f (α)＝2＋64，且f (β)＝6－24，求角2β－2α的大小．解：(1)因为f (x )＝－cos2x cos 5π4＋sin2x sin 9π4，所以f (x )＝cos2x cos π4＋sin2x sin π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (α)＝2＋64，且f (β)＝6－24，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝2＋64，cos ⎝⎛⎭⎫2β－π4＝6－24. 又π8<α<β<π2，所以2α－π4，2β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫2α－π4＝6－24，sin ⎝⎛⎭⎫2β－π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫2β－π4＝6＋24， 所以cos(2β－2α)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2β－π4－⎝⎛⎭⎫2α－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2β－π4cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2β－π4sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝6－24×6＋24＋6＋24×6－24＝12. 又π8<α<β<π2，所以0<2β－2α<3π4，所以2β－2α＝π3.。