一轮复习尖子生拔高训练-立体几何专练(含详细答案)

高考理科数学第一轮《立体几何》专题测试题&参考答案测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2021·浙江高考]已知彼此垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n 知足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B.m∥nC．n⊥l D.m⊥n答案C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.2．[2021·济南调研]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．28＋6 5 B.40C.403D.30＋65答案C解析由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4,5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，而且高为4，所以棱锥的体积为：13×12×5×4×4＝403.3．[2021·云师大附中月考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.12 B.13 C ．22D.23答案 D解析 由题意知该几何体为如图放置的正四面体，其棱长为2，故其表面积为12×2×2×sin π3×4＝23，故选D.4．[2021·山东实验中学一诊]已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2 3 B.3 C.433D.233答案 C解析由三视图知该几何体是四棱锥，其直观图如图所示，四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SO⊥AB，垂足为O，所以SO⊥底面ABCD，SO＝3，所以四棱锥的体积为13×2×2×3＝433，故选C.5．[2021·广西梧州模拟]若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则此几何体的表面积是()A．(4＋2)π B.6π＋22πC．6π＋2π D.(8＋2)π答案C解析圆柱的侧面积为S1＝2π×1×2＝4π，半球的表面积为S2＝2π×12＝2π，圆锥的侧面积为S3＝π×1×2＝2π，所以几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝6π＋2π，故选C.6．[2021·安徽师大期末]某个长方体被一个平面所截，取得的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4 B.2 2C．4 2 D.8答案D解析按照三视图还原可知该几何体为长、宽、高别离为3,2,2的长方体，被一个平面截去一部份剩余23，如图所示，所以该几何体的体积为(3×2×2)×23＝8，故选D.7．[2021·吉林长春质检]某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部份为半圆，则该几何体的体积是()A ．4＋32πB.6＋3π C ．6＋32πD.12＋32π答案 C解析 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为V ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12π·12＋12×2×2×3＝6＋3π2，故选C.8．[2021·河南百校联盟质监]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.112B.132C ．6D.7答案 C解析 几何体如图，为每一个正方体中去掉两个全等的三棱柱，体积为23－12×1×1×1×4＝6，选C.9．[2021·河北唐山模拟]在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝4，E ，F ，H别离是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P －ABCD 所得截面面积为( )A ．2 6 B.4 6 C ．5 6 D.23＋46 答案 C解析 由过E ，F ，H 的平面交直线CD 于N 点，可得N 点为CD 的中点，即CN ＝2；由过E ，F ，H 的平面交直线PA 于M 点，可得M 为PA 的四等分点，所以PM ＝1，所以过E ，F ，H 的平面截四棱锥P －ABCD 所得截面为五边形MEFNH ，所以其面积等于三角形MEH 与矩形EFNH 的面积之和，而S △MEH ＝12×22×3＝6，S △EFNH ＝22×23＝46，所以所求的面积为56，故应选C.10．[2021·全国卷Ⅲ]在封锁的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π3答案 B解析 由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部份面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.11．[2021·云师大附中月考]棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有极点均在球O 的球面上，E ，F ，G 别离为AB ，AD ，AA 1的中点，则平面EFG 截球O 所得圆的半径为( )A. 2B.153 C.263D.3答案 B解析 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球球心O 为对角线AC 1的中点，球半径R ＝3，球心O 到平面EFG 的距离为233，所以小圆半径r ＝R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝153，故选B.12．[2021·河北武邑期末]已知边长为23的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，现沿对角线BD 折起，使得二面角A －BD －C 为120°，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．20π B.24π C ．28π D.32π答案 C解析 如图别离取BD ，AC 的中点M ，N ，连MN ，则容易算得AM ＝CM ＝3，MN ＝32，MD ＝3，CN ＝332，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，HN ＝x ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝x 2＋274，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x 2＋3，解之得x ＝12，则R 2＝14＋274＝7，所以球的表面积S ＝4πR 2＝28π，故应选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2021·江苏联考]将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．答案33π 解析 圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，圆锥的高为3，圆锥的体积为13π×12×3＝33π.14．[2021·河南郑州一中期末]我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．答案 1.6解析 由图可得π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋3×1×(5.4－x )＝12.6⇒x ＝1.6.15．[2021·江苏联考]在下列四个图所表示的正方体中，能够取得AB ⊥CD 的是________．答案 ①②解析 对于①，通过平移AB 到右边的平面，可知AB ⊥CD ，所以①中AB ⊥CD ；对于②，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD 垂直AB 所在的平面，由线面垂直定理取得②中AB ⊥CD ；对于③，可知AB 与CD 所成的角为60°；对于④，通过平移CD 到下底面，可知AB 与CD 不垂直．故答案为①②.16．[2021·长春质检]若是一个棱锥底面为正多边形，且极点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥．已知正四棱锥P －ABCD 内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________．答案 43 解析 由球的几何性质可设四棱锥高为h ，从而V P －ABCD ＝23h [1－(h －1)2]＝23(－h 3＋2h 2)，有V ′P －ABCD ＝23(－3h 2＋4h )＝23h (－3h ＋4)，可知当h ＝43时，体积V P －ABCD 最大．三、解答题(共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)17．[2021·西安八校联考](本小题满分10分)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DC ＝12DD 1，过A 1、B 、C 1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D 1，E 、F 别离为A 1B 、BC 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)求平面A 1BC 1与平面ABCD 的夹角θ的余弦值．解 (1)证明：∵在△A 1BC 1中，E 、F 别离为A 1B 、BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1. ∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ∥A 1C 1，∴EF ∥AC .(2分)∵EF ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .(4分)(2)以D 为坐标轴原点，以DA 、DC 、DD 1方向别离为x ，y ，z 轴，成立空间直角坐标系，不妨设AD ＝DC ＝12DD 1＝1， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)，C 1B →＝(1,0，－2)，(5分)∵DD 1⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,2)，(6分)设平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧ n ·A 1B →＝0，n ·C 1B →＝0，即⎩⎨⎧b －2c ＝0，a －2c ＝0，取a ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，(8分) ∴cos θ＝|cos 〈n ，DD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DD 1→·n |DD 1→||n |＝13. ∴平面A 1BC 1与平面ABCD 的夹角θ的余弦值为13.(10分)18．[2021·江西南昌模拟](本小题满分12分)如图所示，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(4分)(2)在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα，其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角的大小．(7分)证明：∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SCBB1C1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα.(12分)19．[2021·长春质检](本小题满分12分)已知等腰梯形ABCD如图1所示，其中AB∥CD，E，F别离为AB和CD的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点，现将梯形ABCD按EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图2所示，N是线段CD上一动点，且CN＝λND.(1)当λ＝12时，求证：MN ∥平面ADFE ； (2)当λ＝1时，求二面角M －NA －F 的余弦值．解 (1)证明：过点M 作MP ⊥EF 于点P ，过点N 作NQ ⊥FD 于点Q ，连接PQ .由题意，平面EFCB ⊥平面EFDA ，所以MP ⊥平面EFDA ，且MP ＝BE ＋CF 2＝2，(2分) 因为CF ⊥EF ，DF ⊥EF ，所以EF ⊥平面CFD ，所以NQ ⊥EF ，由NQ ⊥FD ，所以NQ ⊥平面EFDA ，又CN ＝12ND ，所以NQ ＝23CF ＝2，(4分) 即MP ∥NQ ，MP ＝NQ ，则MN ∥PQ ，由MN ⊄平面ADFE ，PQ ⊂平面ADFE ，所以MN ∥平面ADFE .(6分)(2)以F 为坐标原点，FE 方向为x 轴，FD 方向为y 轴，FC 方向为z 轴，成立如图所示坐标系．由题意，M (1,0,2)，A (2,1,0)，F (0,0,0)，C (0,0,3)，D (0,3,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32. 设平面AMN 与平面FAN 的法向量别离为n 1，n 2，平面AMN 的法向量为平面ABCD 的法向量，即n 1＝(1,1,1)，(8分)在平面FAN 中，FA →＝(2,1,0)，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32，即n 2＝(1，－2,2)，(10分) 则cos θ＝39，所以二面角M －NA －F 的余弦值为39.(12分) 20．[2021·沈阳质检](本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD,2AD ＝BC ＝2a (a >0), AD ∥BC ，PD ＝3a ，∠DAB ＝θ.(1)若θ＝60°，AB ＝2a ，Q 为PB 的中点，求证：DQ ⊥PC ；(2)若θ＝90°，AB ＝a ，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小．(若非特殊角，求出所成角余弦即可)解 (1)证明：连接BD ，△ABD 中，AD ＝a ，AB ＝2a ，∠DAB ＝60°，由余弦定理：BD 2＝DA 2＋AB 2－2DA ·AB cos60°，解得BD ＝3a ，所以△ABD 为直角三角形，BD ⊥AD ，因为AD ∥BC ，所以BC ⊥BD ，(1分)又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ，(2分)因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ，(3分)BC ⊂平面PBC ，所以平面PBD ⊥平面PBC ，(4分)又因为PD ＝BD ＝3a ，Q 为PB 中点，所以DQ ⊥PB .因为平面PBD ∩平面PBC ＝PB ，所以DQ ⊥平面PBC ，(5分)PC ⊂平面PBC ，所以DQ ⊥PC .(6分)(2)由θ＝90°，AB ＝a ，可得BD ＝CD ＝2a .取BC 中点M ，可证得ABMD 为矩形．(7分)以D 为坐标原点别离以DA ，DM ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，成立空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，DM ⊥平面PAD ，所以DM →是平面PAD 的法向量，DM →＝(0，a,0)．(9分)设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，P (0,0，3a )，B (a ，a,0)，C (－a ，a,0)，所以PB →＝(a ，a ，－3a )，BC →＝(－2a,0,0)，⎩⎨⎧ n ·PB →＝0，n ·BC →＝0，令z ＝1，可得⎩⎨⎧ax ＋ay －3a ＝0，－2ax ＝0，解得n ＝(0，3，1)，(10分) 所以cos θ＝DM →·n |DM →||n |＝3a 2a ＝32.(11分)所以平面PAD 与平面PBC 所成二面角为π6.(12分)21．[2021·贵阳月考](本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC＝12PA ，BD ＝3，E 在PC 边上． (1)求证：平面PDA ⊥平面PDB ；(2)当E 是PC 边上的中点时，求异面直线AP 与BE 所成角的余弦值；(3)若二面角E －BD －C 的大小为30°，求DE 的长．解 (1)证明：因为底面ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝1，又BD ＝3，AB ＝2，知足AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD .又因为PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAD .(3分)∵BD ⊂平面PDB ，∴平面PDA ⊥平面PDB .(4分)(2)以D 为原点成立如图所示空间直角坐标系．则D (0,0,0)，P (0,0，3)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)， ∵E 是PC 边上的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32， 则AP →＝(－1,0，3)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，32，(6分) ∴cos 〈AP →，BE →〉＝|A P →·BE →||AP →||BE →|＝277.(8分) (3)由C ，E ，P 三点共线，得DE →＝λDP →＋(1－λ)DC →，且0≤λ≤1，从而有DE →＝(λ－1，3(1－λ)，3λ)，DB →＝(0，3，0)．设平面EDB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·DE →＝0及n ·DB →＝0，可取n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，0，1－λλ. 又平面CBD 的法向量可取m ＝(0,0,1)，(10分)二面角E －BD －C 的大小为30°，∴cos30°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·m |n ||m |＝32， ∴λ＝14，∴DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，334，34，∴|DE |＝394.(12分)22．[2021·河北一模](本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC 中，SC ⊥平面ABC ，SC ＝3，AC ⊥BC ，CE ＝2EB ＝2，AC ＝32，CD ＝ED . (1)求证：DE ⊥平面SCD ；(2)求二面角A －SD －C 的余弦值；(3)求点A 到平面SCD 的距离．解 (1)证明：以C 为原点，CA ，CB ，CS 所在直线别离为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系，如图，则C (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，S (0,0,3)，E (0,2,0)，D (1,1,0)， 因为DE →＝(－1,1,0)，CD →＝(1,1,0)，CS →＝(0,0,3)，所以DE →·CD →＝－1＋1＋0＝0，DE →·CS →＝0＋0＋0＝0，即DE ⊥CD ，DE ⊥CS .(2分)因为CD ∩CS ＝C ，所以DE ⊥平面SCD .(4分)(2)由(1)可知DE →＝(－1,1,0)为平面SCD 的一个法向量．设平面SAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，而AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0， AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，3，则⎩⎨⎧ n ·AD →＝0，n ·AS →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋y ＝0，－32x ＋3z ＝0. 不妨设x ＝2，可得n ＝(2,1,1)．(6分)易知二面角A －SD －C 为锐角，因此有|cos 〈DE →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋1＋02·6＝36， 即二面角A －SD －C 的余弦值为36.(8分)(3)AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，3，作AH ⊥平面SCD ，垂足为H ， 设AH →＝xAC →＋yAD →＋zAS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x －12y －32z ，y ，3z ，且x ＋y ＋z ＝1.(10分)由AH →⊥CD →，AH →⊥CS →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －12y －32z ＋y ＝0，9z ＝0，x ＋y ＋z ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝34，z ＝0.所以AH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0，(11分)|AH →|＝324，32即点A到平面SCD的距离为4.(12分)。

高考数学一轮复习提高题专题复习立体几何多选题练习题含答案一、立体几何多选题1．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）A ．AM 与DB ''10 B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A BCD ''''-的截面面积为92C ．四面体A C BD ''的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=''为AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，2221543x y =++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，10cos ,10||||58AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>===''⨯，故正确.B ：若N 为CC '的中点，连接MN ，则有//MN AD '，如下图示，∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''====322， ∴梯形的面积为132932222S =⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，∴118848323V =-⨯⨯⨯=，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323S π=⨯⨯⨯⨯=，∴若其内切圆半径为r ，则有188333r ⨯⋅=，即33r =，所以内切球的表面积为2443r ππ=.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22A M C '-，若(,,0)P x y ，则232(,,0),(0,22,2),(,,2)22AM AC AP x y '=-=-=-，∴15cos ||||512AM AC MAC AM AC '⋅'∠==='⨯222cos ||||43AP AC PAC AP AC x y '⋅'∠=='++⨯22215543x y =++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB 【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.2．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AC =11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是（ ） A ．111122A D AB AC AA =+- B ．三棱锥11D AB C -3C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC DD ．ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 【答案】ABD 【分析】A ．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B ．根据1111D ABC A DB C V V --=，然后计算出对应三棱锥的高AD 和底面积11DB C S，由此求解出三棱锥的体积；C ．先假设1AB BC ⊥，然后推出矛盾；取AB 中点E ，根据四点共面判断1AB //平面11AC D 是否成立；D ．将问题转化为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断. 【详解】A ．()11111111222A D A A AD AD AA AB AC AA AB AC AA =+=-=+-=+-，故正确； B ．1111D AB C A DB C V V --=，因为D 为BC 中点且AB AC =，所以AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥且1BB BC B =，所以AD ⊥平面11DB C ，又因为363AD BD BC ===，11111122DB C S BB B C =⨯⨯=， 所以1111111162333226D AB C A DB C DB C V V AD S --==⨯⨯=⋅⋅=，故正确；C ．假设1AB BC ⊥成立，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB BC ⊥且111BB AB B =，所以BC ⊥平面1ABB ，所以BC AB ⊥，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以1AB BC ⊥不成立；取AB 中点E ，连接11,,ED EA AB ，如下图所示：因为,D E 为,BC AB 中点，所以//DE AC ，且11//AC A C ，所以11//DE AC ，所以11,,,D E A C 四点共面，又因为1A E 与1AB 相交，所以1AB //平面11AC D 显然不成立，故错误；D ．“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”，根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.3．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S SS ⋅=； B ．3333A B C D S S S S <++；C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222111sin sin sin 1αβγ++=；D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则22cos α+2222cos cos 1βγ+=．【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅，12BCOS BC O O '=⋅， 22221124DS BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=，故A 正确．对B ：当1a b c ===时，33318B C D S S S ===，则33338B C D S S S ++=，而332333328A S ⎛⎫=⨯⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，222AM x y z =++，(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=，所以D 正确．对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=，由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.4．如图所示，正三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置，使得二面角A '-DE -B 为60°，则下列选项中正确的是（ ）A ．点A '到平面BCED 的距离为3B ．直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58C ．A 'D ⊥BDD ．四棱锥A '-BCED 237【答案】ABD 【分析】作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H 的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】如图所示，作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N . 则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN , 又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC , 在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED , ∵二面角A'-DE -B 为60°，∴∠A'EF =60°，∵正三角形ABC 中，AB =8,∴AN =43∴A'M 3,∴A'H =A'M sin60°=3，故A 正确； 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4, ∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角， DN =DA'=4,A'N =A'M 3,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确；A'D =DB =4,22121627A N BN +=+=',∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,若O 在平面BCED 上方，入图①所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()()22222433x x R +=-+=,解得23x =-,舍去；故O 在平面BCED 下方，如图②所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P , 则HP =x ,易得()()22222433x x R +=++=, 解得23x =, ∴244371699R ⨯=+=,2373R ∴=,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.5．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -55【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故2252OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则52R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为35435V R ππ==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.6．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π 【答案】BD 【分析】对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是43π． 【详解】对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥， 如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 选项正确．对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ， 由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，体积是43π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.7．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26角形，底面ABCD 为矩形，23CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ，(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以632)2Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，632(23,22QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,23,0)22PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则360260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===， 所以cos θ=，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为1132BACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=， 所以C不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD=，所以2222222a a⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x，所以22362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 面积的最小值为62【答案】BCD 【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.平面1BFD E平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16232⨯⨯=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。

【一专三练】 专题03 立体几何大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）如图，已知四棱锥P ABCE -中，1AB =，2BC =，BE =，PA ⊥平面ABCE ，平面PAB ⊥平面PBC(1)证明：AB BC ⊥；(2)若PA =，且AC AE =，G 为PCE V 的重心．求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值．2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC V 的重心，E ，F 分别在棱BC ，CD 上，平面//ABD 平面EFG .(1)求DFCF的值；(2)若AB ⊥平面BCD ，DC CB ⊥，且3AB BC CD ===，求平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小.因为G 为ABC V 的重心，所以因为平面//ABD 平面EFG ，平面DCH FG =，所以//FG DH ，所以23CF CG CD CH ==， 所以 DF CF （2）因为AB ⊥平面BCD ，BC 由(1)同理可得//EF BD ，则CF CE CD CB =所以()(),(),(),3000320,1,01,1,0A F E G ,,,,,所以 (1,2,2)GF =- ， (1,0,0)GE =- 设平面EFG 的法向量为(,,)m a b c = ，则3．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，点P ，Q 在侧棱SD 上，E 是侧棱SC 的中点．(1)若SQ QP PD ==，证明：BE ∥平面PAC ；(2)倍，从下面两个条件中选一个，求二面角P AC D --的大小．①SD ⊥平面PAC ；②P 为SD 的中点．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．在SCP V 中，点E 是SC 的中点，点又因为PC ⊂平面PAC ，且QE 在BQD V 中，点O 是线段BD 又因为OP ⊂平面PAC ，且QB 又因为BQ EQ Q ⋂=，且BQ ，BEQ 设1OC =，则2CD =，SC =所以(1,0,0)C ，(1,0,0)A -，(0,1,0)D 因为SD ⊥平面PAC ，所以平面显然平面DAC 的一个法向量为设1OC =，则2CD =，SC =所以(1,0,0)C ，(1,0,0)A -，D 则131,,22AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,CP ⎛=- ⎝4．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的菱形，AB BC ==，点D 为棱AC 上的动点（不与A 、C 重合），平面1B BD 与棱11A C 交于点E .(1)求证1BB DE //；(2)若平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=，判断是否存在点D 使得平面11A ABB 与平面1B BDE 所成的锐二面角为π3，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）先证明1//BB 平面11ACC A ，再由线面平行的性质定理证明1BB DE //；（2）假设D 点存在，建立空间直角坐标系，利用法向量解决二面角问题，判断D 点坐标是否有解.【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊂/平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，∴1//BB 平面11ACC A ，又∵1BB ⊂平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，∴1BB DE //；（2）连接1A C ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，∴1A AC △是等边三角形，又∵O 为AC 中点，∴1A O AC ⊥，∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，∴1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，∴1A O OB ⊥，又∵AB BC =，∴BO AC ⊥，以点O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在点D ，满足题意，设()()0,,022D a a -≤≤，5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，12BC B C ==，π3ABC ∠=，侧面11BB A A 是菱形，1π3B BA ∠=．(1)求1BC 与底面ABCD 所成角的正切值；(2)点,E F 分别在1B A 和1B C 上，11EF A C ∥，过点,,B E F 的平面与1B D 交于G 点，确定G 点位置，使得平面BEF ⊥平面11B C DA ．∵侧面11BB A A 为菱形，1π3B BA ∠=，∴1ABB V 为等边三角形，11AB BB ==，1MB AB ⊥∵1AB =，2BC =，π3ABC ∠=，由余弦定理知∴222BC AB AC =+，∴AC AB ⊥．在1AB C V 中，11AB =，12B C =，有211B C AB =6．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）如图所示，在三棱锥A BCD -中，满足BC CD ==，点M 在CD 上，且5DM MC =，ABD △为边长为6的等边三角形，E 为BD 的中点，F 为AE 的三等分点，且2AF FE =.(1)求证：//FM 面ABC ；(2)若二面角A BD C --的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值.∵6BD =，∴116BN BD ==，NE ∵12AF FE =，∴12BN AF NE FE ==，则FN AB ∥，又FN ⊄面ABC ，∴FN ∥面ABC ，∵1BN CM ==，∴NM BC ∥.7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在多面体PABCFE 中，PA ⊥平面ABC ，////PA CF BE ，且24PA CF BE ==,D 为PA 的中点，连接BD ，PC ，点M ，N 满足2,2DM MB PN NC == .(1)证明：//MN 平面PEF ；(2)若224PA AB BC ===，cos PEF ∠PC 与平面PEF 所成角的正弦值．所以P (0，2，4)，E (0，0，1)，()2,0,1EF = ，()0,2,3EP = ，设平面不妨取x =1，则y =3，z =－2，即2sin cos ,PC n PC n θ⋅===8．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为菱形，E 为棱1CC 的中点，1AB C V 为等边三角形．(1)求证：111AB B C ⊥；(2)若,4,3AC BC AC BC ⊥==，求平面11AA B B 和平面1AB E 夹角的余弦值．）B ，与1AB 相交于点F ，连接11AA B B 为菱形，所以F 为1AB 的中点，且为等边三角形，所以1CF AB ⊥，F =，BF 、CF 在面A 1BC 内，所以由（1）可知1AB BC ⊥，又AC BC ⊥所以BC ⊥平面1AB C ，OB 1、OC 在面因为OG BC ∥，所以OG ⊥平面AB 因为1AB C V 为等边三角形，所以B 以O 为坐标原点，1,,OG OC OB的方向分别为空间直角坐标系，9．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图1是直角梯形ABCD ，//AB CD ，∠D ＝90°，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且∠BCE ＝60°，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =(1)求证：平面1BC E ⊥平面ABED ．(2)在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．10．（2023·河北石家庄·统考一模）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形且垂直于侧面SAB ，O 为AB 的中点，2SA SB AB ===，AD =(1)证明：BD⊥平面SOC；(2)侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为15，若存在，求SESD的值；若不存在，说明理由．∵2SA SB AB ===，SAB ∴V 为等边三角形，O 为AB 的中点，112OB AB ∴==，2SO SB OB =-(0,3,0)S ,(1,0,2)C ,(1,0,2)D -(1,3,2)SD =-- ,(2,0,0)AB = ，11．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A B BA 和侧面11A ACC 均为正方形，D 为棱BC 的中点．(1)证明：平面1ADC ⊥平面1B BCC ；(2)若直线1AC 与平面11B BCC 所成角为30°，求平面11A B BA 与平面1ADC 夹角的余弦值．以A 为原点，以AB，AC ，1AA 直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0D ，(10,2,C 设(),,m x y z =是平面1ADC 的一个法向量，则10,0,AD m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,220,x y y z +=⎧⎨+=⎩取12．（2023·福建厦门·统考二模）如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，A 1D ⊥BD 1．(1)证明：四边形ADD1A 1为正方形；(2)若直线BD 1与平面ABCD CD ＝2AB ，求平面ABD 1与平面BCD 1的夹角的大小．，设1,AB a DD b ==，则()()10,,,,0,0B a b D b ，所以()1,,BD b a b =--，设ABCD 的一个法向量为()1,0,0m =，直线BD 1与平面ABCD 所成的角为θ，13．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，直角梯形ABCD 中，//,,22AB DC AB BC AB BC CD ⊥===，直角梯形ABCD 绕BC 旋转一周形成一个圆台．(1)求圆台的表面积和体积；(2)若直角梯形ABCD 绕BC 逆时针旋转角(0)θθ>到11A BCD ，且直线1A D 与平面ABCD，求角θ的最小值．则()1,0,2D ，()12cos ,2sin ,0A θθ，即又平面ABCD 的一个法向量(0,1,0n =则1sin cos ,A D nα=u u u r r(|12cosθ-=-两边平方并结合22sin cos 1θθ+=，1θ1cos θ14．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在Rt PAB V 中，PA AB ⊥，且4PA =，2AB =，将PAB V 绕直角边PA 旋转2π3到PAC △处，得到圆锥的一部分，点D 是底面圆弧BC (不含端点)上的一个动点．(1)是否存在点D ，使得BC PD ⊥？若存在，求出CAD ∠的大小；若不存在，请说明理由；(2)当四棱锥P ABDC -体积最大时，求平面PCD 与平面PBD 夹角的余弦值．则()()(0,0,0,0,0,4,0,A P B15．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是线段AC ，1AA 的中点，BCA BAC ∠=∠．(1)求证：平面BEF ⊥平面11ACC A ；(2)若cos ACB ∠=A BF E --1AA AC 的值．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据线面垂直的判定可得BE ⊥平面11ACC A ，再由面面垂直判定定理得证；（2）设()0AF t t =>，则12AA t =，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角余弦值解出t 即可得解.【详解】（1）因为BCA BAC ∠=∠，所以AB BC =，而E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥．因为1A A ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以1A A BE ⊥．又1A A AC A =I ，,1A A AC ⊂平面11ACC A ，所以BE ⊥平面11ACC A ．因为BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面11ACC A ．设()0AF t t =>，则12AA t =，所以()2,0,0EB = ，(0,EF = 设平面BEF 的法向量为(n =则00n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11120x y tz =⎧⎨-+=⎩16．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 是边长为2的正三角形，侧面11BCC B 为菱形，已知160BB C ∠=，1AB a =．(1)当a =时，求三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)设点P 为侧棱1BB 上一动点，当3a =时，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值的取值范围．因为11BCC B 为菱形，且1BB C ∠又有ABC V 为正三角形且边长为且13AO B O ==，16AB =，所以所以1B O AO ⊥，因为又BC ⋂则133,0,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0B -，133,2,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，133,1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，()3,1,0AC =- 33AC ⎛=-17．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，四棱台1111ABCD A B C D -的下底面和上底面分别是边4和2的正方形，侧棱1CC 上点E 满足1113CE C C =.(1)证明：直线1//AB 平面1AD E ；(2)若1CC ⊥平面ABCD ，且13CC =，求直线1BB 与平面1AD E 所成角的正弦值.则()()()()(110,4,0,0,2,3,4,4,0,2,0,3,0,0,2B B A D E 所以()()()110,2,3,2,4,3,4,4,2BB AD AE =-=--=-- 设平面1AD E 的法向量(),,n x y z =r ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得取()1,2,2n =--r，146213n BB ⋅-== 18．（2023·湖南·模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11ACC A ，侧面11ACC A 为菱形2AC =，160A AC ∠=︒，底面ABC 为等腰三角形，AB BC =，O 是AC 的中点．(1)证明：1OA AB ⊥；(2)若二面角11A OB C --的余弦值为，求三棱柱111ABC A B C -的体积．则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()0,0,B t ，C19．（2023·山东聊城·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD V 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面CDM ⊥平面PAB ；(2)若AD BC ∥，2AD BC =，2AB =，直线PB 与平面MCD ，求三棱锥P MCD -的体积．）N ，连接PN ，因为PAD V 为等边三角形，所以⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD ABCD ，所以PN AB ⊥，AB ，PN PD P = ，,PN PD ⊂平面））可知，PN AB ⊥且PD AB ⊥，PN AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，为坐标原点，分别以,AB AD 所在直线为2AD a =，则可得)()()0,0,0,2,0,0,0,,3,0,a B P a a M ⎛20．（2023·湖南郴州·统考三模）如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAC ⊥底面,,ABC AC BC PAC ⊥V 是边长为2的正三角形，4,,=BC E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线l .(1)证明：直线l ⊥平面PAC .(2)若Q 在直线l 上且BAQ ∠为锐角，当P AEFQ P ABC V V --=时，求二面角A PQ B --的余弦值.则()1,0,3P ，()()()2,0,0,0,4,0,2,6,0A B Q ()()1,0,3,0,6,0PA AQ =-= ，()()1,4,3,2,2,0PB BQ =-= 令平面PAQ 的法向量为(n x =r 21．（2023·湖南岳阳·统考二模）在ABC V 中，45,3ACB BC ∠== ，过点A 作AD BC ⊥，交线段BC 于点D （如图1），沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠= （如图2），点,E M 分别为棱,BC AC 的中点.(1)求证：CD ME ⊥；(2)在①图1中4tan23B =-，②图1中2133AD AB AC =+ ，③图2中三棱锥A BCD -的体积最大.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.问题：已知__________，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN BM ⊥，并求平面BMN 与平面CBN 的夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.()()()(0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,D B C A 则()1,1,1BM =- .设()0,,0N a ，则1,1,02EN a ⎛=-- ⎝ 0EN BM EN BM ⊥∴⋅= ，，即⎛- ⎝()()()(D B C A0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,22．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥A ABC '-中，D ，E ，P 分别在棱AC ，AB ，BC 上，且D 为AC 中点，2AD AE A D A E ''====，AP DE ⊥于F .(1)证明：平面AA P '⊥平面A DE ¢；(2)当1BE =，5BC =，二面角A DE P '--的余弦值为35时，求直线A B '与平面A DE ¢所成角的正弦值.（2）因为1BE =，5BC =，所以AB 所以90BAC ∠=︒，22222DE =+=由（1）知A FP ∠'为二面角A DE '--所以3cos 5A FP ∠='，4sin 5A FP ∠='以点F 为原点，,,FE FP Fz 分别为,x23．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，2AB BC ==，111AA B B BC ∠=∠.(1)证明：1BB AC ⊥；(2)若1BB BC ⊥，且满足：______，______（待选条件）.从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角11B B D C --的正弦值.①三棱柱111ABC A B C -的体积为②直线1AB 与平面11BCC B ③二面角1A BB C --的大小为60°；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）通过证明AC ⊥平面1BDB 来证得1AC BB ⊥.法三：如图所示，建立空间直角坐标系，设平面1BDB 的一个法向量为(m = 300x m BB =⎧⎧⋅=⎪⎪ 方案二：选择①②；解析：过点A 作AO BC ⊥于点O方案三：选择②③；∵1BB ⊥平面ABC ，∴1BB AB ⊥，BB ∴ABC ∠为二面角1A BB C --的平面角，即AO BC ⊥O 24．（2023·浙江·校联考三模）如图，四面体ABCD 中，90B A D B A C C A D ∠=∠=∠= ，AC AD =，AB 与面BCD 的所成角为45 ．(1)若四面体ABCD ，求AC 的长；(2)设点M 在面BCD 中，45ABM ∠= ，30ACM ∠= ，过M 作CD 的平行线，分别交,BC BD 于点,H F ，求面AFH 与面ACD 所成夹角的余弦值．设AC a =，AB b =，则22AE a =，BC 则由AE AB AO BE ⋅=⋅得：22b a =，1136A BCD B ACD ACD V V S AB AC --∴==⋅=⨯V （2）设2AC =，由（1）得：1AB =延长CM 交于点G ，连接AG ，Rt BGM V ∽Rt BED △，BM BDBG ∴=又3BD =，33BG =，2BE =方法一：//HF CD ，H ∴为BC 中点，以A 为坐标原点，,,AC AD AB正方向为则()0,0,0A ，()0,0,1B ，21,0,22H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，F ⎛ ⎝210,,22AF ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21,0,22AH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，AB设平面AFH 的法向量(),,n x y z =，则2102221AF n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨，令1x =，解得：AFH ∴V 在平面ACD 的投影为ATK V ，设平面AFH 与平面ACD 所成的二面角为25．（2023·广东江门·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，点E 在PC 上，且//AP 平面BOE .(1)求PEEC的值；(2)若OP ⊥平面ABCD ，OE PC ⊥，2AB =，60BAD ∠= ，求直线OE 与平面PBC 所成角的正弦值.。

高考一轮复习练习卷立体几何初步一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求。

1. 一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为（ ）A.一个圆锥B.一个圆锥和一个圆柱C.两个圆锥D.一个圆锥和一个圆台2.如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，AD =4，AB =5，由A 在表面到达C 1的最短行程为（ ）A.12B.√74C.√80D.3√103.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D.5πa 2 4.已知三棱锥S −ABC 中，底面ABC 为边长2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，AB 与面SBC 所成角的正弦值为（ ）A.√34B.√54C.√74D.34 二、选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分。

在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求。

全部选对得7分，部分选对得DC 1B 1BD 1A3人，有选错的得0分。

5.已知已知m，n是两条不同直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（）A.α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.m，n垂直于同一平面，则m与n平行C.α，β不平行，则α内不存在与β平行的直线D.m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，√2，a，且长为a的棱与长为√2的棱异面，则a的取值可以是（）A.32B.2 C.1 D.75三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

7.一个棱柱有10个顶点，且所有侧棱张之和为100，则其侧棱长为8.四面体S−ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成角等于9.设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：（1）α∥βα∥γ}⇒β∥γ；（2）α⊥βm∥α}⇒m∥β；（3）m⊥αm∥β}⇒α⊥β；（4）m∥nn⊂α}⇒α⊥β；其中假命题有10.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B '到x'轴的距离为，该直观图的面积为四、解答题：本大题共2小题，共16分。

专题训练07立体几何【原卷版】一、单选题1．设123l l l 、、为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：①存在()123i i A l i ∈=，，，使得123A A A △是直角三角形；②存在()123i i A l i ∈=，，，使得123A A A △是等边三角形；③三条直线上存在四点()1234i i A l i ∈=，，，，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．32．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，,,E F G 分别是侧棱111,,AA BB CC 上的点，且AE CG BF >>，设直线,CA CB 与平面EFG 所成的角分别为,αβ，平面EFG 与底面ABC 所成的锐二面角为θ，则（）A ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+≤+B ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+<+C ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+>+D ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+≥+A ．存在唯一的点F ，使得AF +B ．若AE CF ⊥，则点F 的轨迹长为A ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为622-B ．勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是()2π3-的长度为2π3．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2A ．三棱锥1A ABC -外接球的体积为2827B ．异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值为C ．当点M 在棱1BB 上运动时，MD MA +D ．N 是ABCD 所在平面上一动点，若N 8．如图，正方体ABCD A B C D -中，顶点A．BC∥平面αB．平面1A AC⊥平面αAB与α所成角比直线AAC．直线1D．正方体的棱长为22三、填空题9．祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家．祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的计算原理——祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．请同学们用祖暅原理解决如下问题：如题图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，再注人水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度为________．10．所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，这两个平行的面称为上下底面，它们之间的距离称为拟柱体的高．生产实际中，我们经常看到黄沙、碎石、灰肥等堆积成上下底面平行，且都是矩形的形状，这种近似于棱台的形体就是一种特殊的拟柱体（如图所示），已知其高为h，上底面、下底面和中截面（经过高的中点且平行于底面的截面）面积分别为1S，2S和0S，请你用1S，2S，0S，h表示出这种拟柱体的体积V＝______．11．已知正方体1ABCD A B -Q 为线段11B D 的中点.则下列结论中正确序号为①MN CP ⊥；②//AQ 平面（1）在图中作出截面EFGHL （写出作图过程）；（2）求该截面面积.14．查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为7032'︒，钝角为10928'︒）的原因．15．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑，我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆1234,,,I I I I 与圆柱1OO 底面相切于,,,A B C D 四点，且圆1I 与22,I I 与33,I I 与44,I I 与1I 分别外切，线段1A A 为圆柱1OO 的母线.点M 为线段11AO 中点，点N 在线段1CO 上，且12CN NO =.已知圆柱1OO ，底面半径为12,4AA=.（1）求证：//AM 平面BDN ；（2）线段1AA 上是否存在一点E ，使得OE ⊥平面?BDN 若存在，请求出AE 的长，若不存在，请说明理由；（3）求二面角2114I A I I --的余弦值；（4）如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱23O O ，它与飞船推进舱共轴，即123,,,O O O O 共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形RST 为以RS 为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS 为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即124O O =，且232O O RS ==，7PS =.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线1A P 与平面PQRS 所成角的正弦值的最大值.（1）设∠O 1AO =θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y 最小．19．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =3π，∠B 1BD 11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===（1）求证：直线AC ⊥平面BDB （2）求直线A 1B 1与平面ACC五、双空题22．如图，在矩形ABCD 中，AB =与BD 交于点O ，现将AEH △，BEF △个空间图形，使A 与D 重合，B 与C24．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图①是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图②中的实线图形，高为6，则2a=__________专题训练07立体几何【解析版】至于③，如图所示．为方便书写，称三条两两垂直的棱所公共顶点为共垂点．假设A 是共垂点，那么由AD AB AD AC ⊥⊥，，AB AC A ⋂=，、⊂AB AC 面ABC ，得AD ⊥面ABC ，即3l ⊥面ABC ，进而1l ⊥面ABC ，2l ⊥面ABC ，从而ABC 三边的长就是三条直线的距离4、5、6，又由于2224541366+=≠=，所以ABC 不是直角三角形，这与AB AC ⊥矛盾，假设不成立；同理可知，D 是共垂点时也矛盾；假设C 是共垂点，那么由,BC CA BC CD ⊥⊥，CA CD C = ，CA CD ⊂、面CAD ，得BC ⊥面CAD ，而13//l l ，1l ⊄面CAD ，3l ⊂面CAD ，故1//l 面CAD ，故1BC l ⊥，又12//l l ，故2BC l ⊥，从而BC 为l 1与l 2的距离，于是//BC EF ，同理//CD FG ，又BC CD ⊥，故EF FG ⊥，矛盾，假设不成立；同理可知，B 是共垂点时也矛盾；综上，不存在四点A （i ＝1，2，3，4），使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．故选：C ．.【点睛】本题考查命题真假的判断解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，,,E F G 分别是侧棱111,,AA BB CC 上的点，且AE CG BF >>，设直线,CA CB 与平面EFG 所成的角分别为,αβ，平面EFG 与底面ABC 所成的锐二面角为θ，则（）A ．sin sin sin ,cos cos θαβθ<+≤B ．sin sin sin ,cos cos θαβθ≥+<C ．sin sin sin ,cos cos θαβθ<+>D ．sin sin sin ,cos cos θαβθ≥+≥【答案】B【分析】先在图中作出直线CA 与平面【详解】延长EF ，AB 交于M ，延长EG ，AC 交于N ，延长FG ，BC 交于D ，易得在平面ABC 和平面EFG 上，则D 在直线MN 上，即M ，N ，D 三点共线，由外角定理可得3CDN π∠=.AP ⊥面EFG ，垂足为P ，过A 作AQ MN ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PN EFG 所成的角α，二、多选题3．如图，圆柱1OO 的底面半径和母线长均为3,AB 是底面直径，点C 在圆O 上且OC AB ⊥，点E 在母线,2BD BE =上，点F 是上底面的一个动点，则（）A ．存在唯一的点F ，使得AF +B ．若AE CF ⊥，则点F 的轨迹长为C ．若AF FE ⊥，则四面体ACEFD ．若AF FE ⊥，则点F 的轨迹长为【答案】ACD【详解】关于D 点的对称点为E '，22EF AF FE AE AB BE '''=+≥=+=213,FE +≥当且仅当,,A F E '三点共线时取等号，故存在唯一的点F ，使得213AF FE +=，故11,,OC AB OO OC OO AB ⊥⊥⊥，以O对于A ，如图①，因为平面//α平面以//EM AC ，则1EM BE AC AB==-同理可得//GH AC ，22(1GH =L FM GM =++42GH HE +=对于B ，如图①，由A 可知HE 因为四边形11AB CD 为正方形，所以A ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为622-B ．勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是()2π3-的长度为2π3．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2由正四面体的棱长为2，则CG 1333FG BG ==，23BF BG =22133AF AG FG =-=-=由勾股定理得：22OF BF +=图中取正四面体ABCD 中心为其中BO 即为正四面体外接球半径设勒洛四面体内切球半径为r ，则B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：所以3232GH=-+=故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于故选：ABD【点睛】勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为A ．三棱锥1A ABC -外接球的体积为2827B ．异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值为C ．当点M 在棱1BB 上运动时，MD MA +D ．N 是ABCD 所在平面上一动点，若N 【答案】ACD【分析】A 选项，求出△ABC 的外接圆半径，进而求出三棱锥将平面11ABB A 与平面11B BDD 沿着公共边连接1A D ，与1BB 的交点即为MD MA +其中12AA =，22AD AB BD =+=+由勾股定理得：()214223A D =++=因为1A A ⊥平面ABCD ，故点N 到直线又因为BC ⊂平面ABCD ，A ．BC ∥平面αC ．直线1AB 与α所成角比直线AA 【答案】BD【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】因为B ，C 到α的距离分别为所以BC 不可能与平面α平行，因此选项【点睛】关键点睛：利用点到面距离的性质是解题的关键.【答案】3 34 2r【分析】根据祖暅原理，当圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等时，球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，由这个原理求球体和水接触的部分水的体积，再转化为圆锥求高【详解】如图，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，根据祖暅原理，半球的体积等于圆柱的如图2，设球体和水接触的上部分为V 大半球，没和水接触的下部分为上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积已知球体半径为r ，ABC 为等边三角形，22OB OD r ==，2222211ππ232222r r r r V V V r r r ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=⋅-++⋅⋅= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦小半球圆柱圆台4π3V V V r =-=球小半球大半球设图2中轴截面为梯形AFGC (1π3V V V ⎡⎢=-=⎢⎢⎣'水圆台大半球容器中水的深度为，底面圆的半径为【答案】()102146S S S h ++⨯【分析】利用台体的体积减去若干棱锥的体积来求得拟柱体的体积【详解】根据拟柱体的定义，任一拟柱体都可看作是过某棱台的若干顶点，截去()0n n ≥个正立小棱锥后余的凸多面体所以1//MN BC ，而CP 在面BCC 所以MN CP ⊥，正确；③如下图，(1,,1)P m ，11(,,1)22Q ，(0,0,0)D 所以32m DP DQ +⋅= ，且2||DP m =+ 23cos 6(2)m PDQ m +∠=+22696(2)m m m ++=+令267()2m f m m +=+(01)m ≤≤，则()f m '所以，存在()0f m '=，则(0,)m 上f④由△1APC 周长为11C P AP AC ++，而将11ABB A 与1111B A D C 展开成一个平面，如下图示：当1,,A P C 共线时，1C P AP +最小为5，所以周长的最小值为53+，正确.故答案为：①④【点睛】关键点点睛：②③构建空间直角坐标系，利用向量法判断线面关系、求线线角余弦值关于参数的表达式，进而应用导数判断最值.四、解答题12．棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=︒，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒．（1）证明：1BD AA ⊥；（2）求二面角1D A A C --的平面角的余弦值；则，，，，（Ⅰ）由于，则的法向量设⊥平面则得到 (6)（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1设，则得……………………9分设，则设得到……………………10分又因为平面DA1C1则·即点P在C1CK*s^5#u的延长线上且使C1C=CP……………………12分法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直K*s^5#u的性质定理知，A1O ⊥平面ABCD，又底面为菱形，所以AC⊥BD（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°∴AO=AA1·cos60°=1所以O是ACK*s^5#u的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE则∠DEO为二面角D—AA1—CK*s^5#u的平面角……………………6分在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=，DE=∴cos∠DEO=B1AB DC B CC1CP【答案】理由见解析.【分析】蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积一定的情况下，为了节约空间，蜜蜂建造蜂房时，首先希望蜂房既对称而又有规律，而正多边形正好符合这一要求，我们知道并非任意的正多边形都能铺满平面的，那么能铺满整个平面的正多边形又有哪些呢？谁最佳呢？这也就是我们要回答问题：为什么蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为7032'︒，钝角为10928'︒）？因为蜜蜂建造蜂房时需要使用材料在空间(体积)一定的情况下，这种形状容积最大.用正六边形才能蜂腊的用料最小容积，只影响蜂房的表面积，但会影响到制造蜂房所用的材料；蜂房的底能够无间隙地粘合在一起【详解】数学模型I ：能铺满平面的正多边形有哪些？在周长数学模型I 的求解：把图4的表面分成六份，把其中之一摊平下来，得出图7的形状边AP .以AP 为腰，32为高作等腰三角形.问题:怎样切才能使所作出的图形的面积最小假定被切去的三角形的高是x .从矩形中所切去的面积等于长度是21x +，因此PP '的长度等于()232114+-=+x 因而三角形APP '的面积等于23144+x .问题再变而为求（1）求证：//AM 平面BDN ；（2）线段1AA 上是否存在一点E ，使得OE ⊥平面?BDN 若存在，请求出（3）求二面角2114I A I I --的余弦值；（4）如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图圆柱23O O ，它与飞船推进舱共轴，即123,,,O O O O 共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS 为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为232O O RS ==，7PS =.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出所以4tan 41MM MAM AM ''∠==='，tan 所以MAM NON ''∠=∠,所以AM ∥ON 如图2，又因为AM ⊄平面BDN ，ON （2）以O 为原点，分别以,,OA OB OO →→则2(0,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(3O B D N --所以28(0,4,0),(,2,)33DB DN →→==-,OE →则048103320OE DB t t OE DN ⎧⋅=⎪⇒-+=⇒=⎨⎪⋅=⎩ （3）设内切圆半径为r ，由题意可知【点睛】方法点睛：本题考查线线垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+=设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++= 所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦ ()222n l m ππ=--()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数.【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键．18．如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥1O ABCDEF -和2O ABCDEF -构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为1600mm ，底面中心为O ，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点2O 与天花板的距离为1300mm ，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y ．（1）设∠O 1AO =θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y 最小．（1）求证：直线AC ⊥平面BDB （2）求直线A 1B 1与平面ACC 【答案】（1）证明见解析；（2B ∆）连接因为BC BA =，11B BA B BC ∠=∠所以11B BC B BA ∆≅∆，故1B A 又因为O 为菱形对角线交点，即是线段又四边形ABCD 为菱形，故AC倍结果不变）BP=62221PO BG PG=+=，7，(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(23,0,3)A B C P --(3,1,0)AB = (0,2,0)AC = (23,1,3)AP =-设平面ACP 的法向量为(,,)m x y z =，则202330y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，所以3(,0,1)2m = ，。

质量检测(五)测试内容：立体几何 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析：法一：∵体积为12，而高为1，故底面积为12，选C.法二：选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A ；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．答案：C2．已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A.2a 2B.32a 2 C.62a 2D.6a 2解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.故选D.答案：D3．已知直线a 、b 和平面α，下列推理错误的是( )A.⎭⎬⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b B.⎭⎬⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α C.⎭⎬⎫a ⊥b b ⊥α⇒a ∥α或a ⊂α D.⎭⎬⎫a ∥αb ⊂α⇒a ∥b 解析：对于D 项，可能a ∥b ，或a ，b 异面． 答案：D4．(2011年安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为2×12(2＋4)×4＝24，四个侧面的面积为4(4＋2＋217)＝24＋817，所以几何体的表面积为48＋817，故选C.答案：C5．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →等于( )A.12a ＋12b ＋14cB.14a ＋14b ＋12cC.14a ＋12b ＋14cD.12a ＋14b ＋14c解析：本题主要考查空间向量的三角形法则或平行四边形法则． OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12AD → ＝OA →＋12×12(AB →＋AC →) ＝OA →＋14AB →＋14AC →＝OA →＋14(OB →－OA →)＋14(OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c ，故选D. 答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，AB 的中点，则EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°解析：如图，∵EF ∥A 1B ，∴EF ，A 1B 与对角面BDD 1B 1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A 1B ＝ 2.连接A 1C 1，交D 1B 1于点M ，连接BM ，则有A 1M ⊥面BDD 1B 1，∠A 1BM 为A 1B 与面BDD 1B 1所成的角．Rt △A 1BM 中，A 1B ＝2，A 1M ＝22，故∠A 1BM ＝30°.∴EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是30°.答案：A7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为() A．1 B．2C．3 D．4解析：S表＝4πR2＝6π，∴R＝62，设正四棱柱底面边长为x，则(22x)2＋1＝R2，∴x＝1，∴V正四棱柱＝2.故选B.答案：B8．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：AB∥l，AB⊄β，∴AB∥β，C成立∵m∥α，m∥β，∴m平行于α与β的交线l∴AB∥m成立，AC⊥m成立∵AC未必在α内，∴AC⊥β不一定成立，故选D.答案：D9.如图，已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB ＝60°，AD ＝AA 1＝1，F 为棱AA 1的中点，则点D 到平面BFD 1的距离为A.12 B.22 C.2D ．1解析：连接DF ，BD ，设点D 到平面BFD 1的距离为h ，由VD －BFD 1＝VB －DFD 1，即13·S △BFD 1·h ＝13·S △DFD 1·AB ·sin 60°，得13×12×2×32×h ＝13×12×1×1×32，h ＝22.答案：B10．(2011年辽宁)如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析：⎭⎬⎫SD ⊥平面ABCD ，∴SD ⊥AC又正方形中AC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ⇒AC ⊥面SBD ∵SB ⊂面SBD ，∴AC ⊥SB ，A 正确． ∵AB ∥CD ，∴AB ∥平面SCD ，B 正确． 可证AC ⊥平面SBD ，令AC ∩BD ＝O ，连SO ， ∴∠ASO 是SA 与平面SBD 所成角， ∠CSO 是SC 与平面SBD 所成角． 又△SAC 是等腰三角形，O 是中点， ∴∠ASO ＝∠CSO ，∴C 正确． 答案：D11．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足P A →·PB →＝0，PB →·PC →＝0，PC →·P A →＝0，则三棱锥P －ABC 的侧面积的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．72解析：依题意P A 、PB 、PC 两两垂直，以P A 、PB 、PC 为棱构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，∴P A 2＋PB 2＋PC 2＝4R 2＝36，S 侧＝12(P A ·PB＋PB ·PC ＋PC ·P A )≤12(P A 2＋PB 22＋PB 2＋PC 22＋PC 2＋P A22)＝18.答案：B12．(2012年江西)如图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为解析：当12≤x <1时，截面只与CD 和CB 相交，设交点分别为E 1，E 2，则下面部分即为三棱锥C －EE 1E 2.此时CE ＝1－x ，EE 1⊥CE ，∠ECE 1＝∠ECE 2＝60°，则EE 1＝EE 2＝3(1－x )，CE 1＝CE 2＝2(1－x )，则E 1E 2＝22(1－x )，此时V (x )＝13(1－x )×12×22(1－x )×[3(1－x )]2－[2(1－x )]2＝23(1－x )3.当0<x <12时，截面与SD ，DA ，AB ，BS 均相交，依次记为F ，G ，H ，M ，此时V (x )＝V EFM －CDB ＋V FDG －MBH ，V EFM －CDB ＝V S －BCD －V S －EFM .∵SE ＝x ，则EF ＝EM ＝3x ，SF ＝SM ＝2x ，∴FM ＝22x ，V S －EFM ＝13×12×22x ×(3x )2－(2x )2·x ＝23x 3，又V S －BCD ＝13×12×1×1×22＝212，故V EFM －CDB ＝212－23x 3.而MF 綊HG ，设AC 与BD 交于点O ，AC 与GH 交于点O 1，过M 作MP ⊥BD 于P ，过F 作FQ ⊥BD 于Q ，可得三棱柱MPH －FQG 为直三棱柱，此时HP ＝MP ＝22－2x ，GH ＝22x ，则V MPH －FQG ＝12×(22－2x )2×22x ＝22x (1－2x )2，又V M －BPH ＝V F －DQG ＝13×12(22－2x )2×(22－2x )＝224(1－2x )3，故V FDG －MBH ＝22x (1－2x )2＋2×224(1－2x )3＝212(1－2x )2·(1＋4x )， 则此时V (x )＝212－23x 3＋212(1－2x )2(1＋4x )＝26(6x 3－6x 2＋1)． 故有V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧26(6x 3－6x 2＋1)， 0<x <12，23(1－x )3， 12≤x <1.V ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(3x 2－2x )， 0<x <12，2(－x 2＋2x －1)， 12≤x <1，故V ′(x )在(0，13)上为减函数，在(13，12)和(12，1)上为增函数，故选A. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.解析：由题可知c －a ＝(0,0,1－x )，所以(c －a )·(2b )＝(0,0,1－x )·2(1,2,1)＝2(1－x )＝－2，从而解得x ＝2. 答案：214．(2011年天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由三视图可知，该几何体为下面是长方体，上面是圆锥的组合体，长方体的体积V 1＝3×2×1＝6.圆锥的体积V 2＝13π×12×3＝π∴该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝6＋π. 答案：6＋π15．(2012年上海)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是________．解析：根据图形的变化，利用四面体的性质和体积公式．当BA ＝BD ＝CA ＝CD ＝a ，且EF 为AD 和BC 的公垂线段，F 为AD 的中点时，该几何体体积V 最大，V max ＝13S △AED ·BC ＝13×12AD ·EF ·BC ＝2c 3a 2－c 2－1.答案：23c a 2－c 2－116．(2012年河北质检)三棱锥P －ABC 的两侧面P AB ，PBC 都是边长为2a 的正三角形，AC ＝3a ，则二面角A －PB －C 的大小为________．解析：取PB 的中点M ，连接AM ，CM ，则AM ⊥PB ，CM ⊥PB ，∠AMC 是二面角A －PB －C 的平面角．由已知易知AM ＝CM ＝3a ，所以△AMC 是正三角形，所以∠AMC ＝60°.答案：60°三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2013届武汉市高三11月调研)如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 交于点O ，E 为侧棱SC 上的一点．(1)若E 为SC 的中点，求证：SA ∥平面BDE ； (2)求证：平面BDE ⊥平面SAC . 证明：(1)如图，连接OE .∵O 是AC 的中点，E 是SC 的中点，∴OE ∥SA ，又∵SA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴SA ∥平面BDE . (2)由已知，得SB ＝SD ， O 是BD 的中点，∴BD ⊥SO .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC . ∵SO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面SAC .∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面SAC .18．(2012年湖南)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解：法一：(1)证明：如图(1)，连接AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE . 因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE . (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BFPB ，所以P A ＝BF ， 由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3，于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.法二：(1)证明：如图(2)，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD →，P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量， 而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以 |cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|. 由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025·16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ·16＋h 2. 解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19．(2012年北京西城区期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．解：证明：(1)由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°，得BA 、BC 、BB 1两两垂直．以BC 、BA 、BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .设BA ＝2，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,0)，A 1(0,2,1)， 所以AD →＝(1，－2,0)，AC 1→＝(2，－2,1)，A 1B →＝(0，－2，－1)． 设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AC 1→＝0.所以⎩⎨⎧x －2y ＝0，2x －2y ＋z ＝0.取y ＝1，得n ＝(2,1，－2)．∵A 1B →·n ＝0，∴A 1B →⊥n ， ∵A 1B ⊄平面ADC 1， ∴A 1B ∥平面ADC 1.(2)易知平面ADC 的一个法向量为ν＝(0,0,1)， 由(1)知平面ADC 1的一个法向量为n ＝(2,1，－2)， 所以cos 〈n ，ν〉＝n·ν|n |·|ν|＝－23， 因为二面角C 1－AD －C 是锐二面角， 所以二面角C 1－AD －C 的余弦值为23. (3)假设存在满足条件的点E .因为点E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2,1)，B 1(0,0,1)，故可设E (0，λ，1)，其中0≤λ≤2. 所以AE →＝(0，λ，－2,1)，DC 1→＝(1,0,1)． 因为AE 与DC 1成60°角，所以|cos 〈AE →，DC 1→〉|＝|AE →·DC 1→|AE →|·|DC 1→||＝12，即|1(λ－2)2－1·2|＝12，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．所以当点E 为线段A 1B 1的中点时，AE 与DC 1成60°角．20．(2012年浙江)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．解：(1)证明：因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线，所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)法一：连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得 AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC .在直角△P AC 中，AC ＝23，P A ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M (－32，－32，6)，N (－32，32，6)，Q (33，0，263)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量， 由AM →＝(32，－32，6)，AN →＝(32，32，6) 知⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋6z ＝0，取z ＝－1，得m ＝(22，0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM →＝(－536，－32，63)，QN →＝(－536，32，63)， 知⎩⎪⎨⎪⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0，取z ＝5，得n ＝(22，0,5)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ＝3AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD . 所以PB ＝PC ＝PD . 所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ， 取线段MN 的中点E ，连接AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ， 所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝23，P A ＝26，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝332.在直角△P AC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝22，QC ＝2，PQ ＝4. 在△PBC 中，cos ∠BPC ＝PB 2＋PC 2－BC 22PB ·PC ＝56，得MQ ＝PM 2＋PQ 2－2PM ·PQ cos ∠BPC ＝ 5. 在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ ＝5，MN ＝3， 得QE ＝MQ 2－ME 2＝112.在△AEQ 中，AE ＝332，QE ＝112，AQ ＝22，得cos ∠AEQ ＝AE 2＋QE 2－AQ 22AE ·QE＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.21．(2012年天津)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．解：法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B (－12，12，0)，P (0,0,2)． (1)证明：易得PC →＝(0,1，－2)， AD →＝(2,0,0)，于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD . (2)PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)． 可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306.(3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE →＝(12，－12，h )． 由CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2·5＝310＋20h2， 所以，310＋20h 2＝cos 30°＝32， 解得h ＝1010，即AE ＝1010. 法二：(1)证明：由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AD ，又由AD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，故AD ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以PC ⊥AD .(2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH . 由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得PC ⊥平面ADH ，因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角． 在Rt △P AC 中，P A ＝2，AC ＝1，由此得AH ＝25. 由(1)知AD ⊥AH .故在Rt △DAH 中，DH ＝AD 2＋AH 2＝2305.因此sin ∠AHD ＝AD DH ＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306.(3)如图，因为∠ADC <45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF .故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角．由于BF ∥CD ，故∠AFB ＝∠ADC . 在Rt △DAC 中，CD ＝5，sin ∠ADC ＝15，故sin ∠AFB ＝15. 在△AFB 中，由BF sin ∠F AB ＝ABsin ∠AFB，AB ＝12，sin ∠F AB ＝sin 135°＝22， 可得BF ＝52.由余弦定理，BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB ·AF ·cos ∠F AB ， 可得AF ＝12. 设AE ＝h . 在Rt △EAF 中， EF ＝AE 2＋AF 2 ＝h 2＋14.在Rt △BAE 中，BE＝AE 2＋AB 2＝h 2＋12.在△EBF 中，因为EF <BE ，从而∠EBF ＝30°，由余弦定理得cos 30°＝BE 2＋BF 2－EF 22BE ·BF.可解得h ＝1010. 所以AE ＝1010.22．(2012年安徽)平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC ＝2，BB 1＝4，AB ＝AC ＝2，A 1B 1＝A 1C 1＝ 5.现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A ，A 1B ，A 1C ，得到如图2所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA 1⊥BC ； (2)求AA 1的长；(3)求二面角A －BC －A 1的余弦值．解：法一：(向量法)(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD .由BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1. 因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1， 所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1.又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.故以D 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D 1－xyz . 由题设，可得A 1D 1＝2，AD ＝1.由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，于是AD ∥A 1D 1. 所以A (0，－1,4)，B (1,0,4)，A 1(0,2,0)，C (－1,0,4)，D (0,0,4)．故AA 1→＝(0,3，－4)，BC →＝(－2,0,0)，AA 1→·BC →＝0，因此AA 1→⊥BC →，即AA 1⊥BC .(2)因为AA 1→＝(0,3，－4)，所以|AA 1→|＝5，即AA 1＝5. (3)连接A 1D .由BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，可知BC ⊥平面A 1AD ，BC ⊥A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．因为DA →＝(0，－1,0)，DA 1→＝(0,2，－4)， 所以cos 〈DA →，DA 1→〉＝－21×22＋(－4)2＝－55，即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55.(或用法向量求解)法二：(综合法)(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD ，A 1D .由条件可知，BC ⊥AD ，B 1C 1⊥A 1D 1.由上可得AD ⊥面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥面BB 1C 1C ， 因此AD ∥A 1D 1，即AD ，A 1D 1确定平面AD 1A 1D . 又因为DD 1∥BB 1，BB 1⊥BC .所以DD 1⊥BC .又考虑到AD ⊥BC ，所以BC ⊥平面AD 1A 1D ，故BC ⊥AA 1. (2)延长A 1D 1到G 点，使GD 1＝AD .连接AG .21 / 21 因为AD 綊GD 1，所以AG 綊DD 1綊BB 1.由于BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AG ⊥A 1G . 由条件可知，A 1G ＝A 1D 1＋D 1G ＝3，AG ＝4，所以AA 1＝5.(3)因为BC ⊥平面AD 1A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．在Rt △A 1DD 1中，DD 1＝4，A 1D 1＝2，解得sin ∠D 1DA 1＝55，cos ∠ADA 1＝cos(π2＋∠D 1DA 1)＝－55，即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55.。

高考数学一轮复习提高题专题复习立体几何多选题练习题附解析一、立体几何多选题1．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（ ）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．1BD ⊥平面11AC B C ．球O 的表面积为36πD ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确； 对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =，1A B =，1BD =，由勾股定理知111A D B A ⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误； 对于C ，设正方体边长为a，则11AC =，内切球半径为2a，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则11123233O A AC a ='=⨯=，又12OA a =，∴球心O 到面11A C B 的距离6a ==，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴=，又截面圆的面积2246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积214644S ππ==⨯，故C 错误；对于D ，由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.2．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 3C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB【答案】AD 【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.3．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，所以，截面圆的半径2r =≥=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.4．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）A ．11EB AD ⊥B ．二面角11E A B A --的大小为4π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为313a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知14DA A π∠=，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为316a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A DA B A =，则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=，所以选项B 正确；选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅，连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短，即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.5．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(2QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,2PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则360260n AQ x z nAC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===， 所以cos 3θ=，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=， 所以C不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD=，所以222222a a⎛++-=++ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以222362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为234243x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.6．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||10A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ，则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确； 对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=时，函数()f λ取得最大值()312313f λ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC.故选：ABC.【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.7．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π【答案】BD【分析】对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断；对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可.【详解】如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =， 对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =，故22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1； 当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确．对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。

2025年高考数学一轮复习-立体几何中的动点及其轨迹问题-专项训练一、基本技能练1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹为()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 上的动点.PE ⊥A 1C 于E ，且PA ＝PE ，则点P 的轨迹是()A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分3.如图，圆锥的底面直径AB ＝2，母线VA ＝3，点C 在母线VB 上，且VC ＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A.13B.7C.433D.3324.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点轨迹的面积为()A.4πB.2πC.πD.π25.已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，2，则PM →·PN →的取值范围为()A.－12，0 B.－34，0C.－12，1 D.－34，16.点P 为棱长是25的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点M 为B 1C 1的中点，若满足DP ⊥BM ，则动点P 的轨迹的长度为()A.πB.2πC.4πD.25π7.已知正三棱锥P －ABC 的六条棱长均为6，S 是△ABC 及其内部的点构成的集合.设集合T ＝{Q ∈S |PQ ≤5}，则T 表示的区域的面积为()A.3π4 B.πC.2πD.3π8.如图，三角形PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD ＝∠CPB ，则点P 在平面α内的轨迹是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分9.已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB ′，AC 上的动点，点T 在平面BCC ′B ′内，则MT ＋NT 的最小值是()A.2 B.233C.62 D.110.如图，长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝BC ＝2，AA ′＝3，上底面A ′B ′C ′D ′的中心为O ′，当点E 在线段CC ′上从C 移动到C ′时，点O ′在平面BDE 上的射影G 的轨迹长度为()A.2π3B.3π3C.π3D.3π611.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可).12.如图，P 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1表面上的动点，且AP ＝2，则动点P 的轨迹的长度为________.二、创新拓展练13.在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，P 是底面ABCD 所在平面内一动点，设PD 1，PE 与底面ABCD 所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)，若θ1＝θ2，则三棱锥P －BB 1C 1体积的最小值是()A.92B.52C.32D.5414.(多选)如图，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为A 1D 1的中点，F 为CC 1上的一个动点，设由点A ，E ，F 构成的平面为α，则()A.平面α截正方体的截面可能是三角形B.当点F 与点C 1重合时，平面α截正方体的截面面积为26C.当点D 到平面α的距离的最大值为263D.当F 为CC 1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形15.已知面积为23的菱形ABCD 如图①所示，其中AC ＝2，E 是线段AD 的中点.现沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，此时二面角S －AC －B 的大小为120°，连接SB ，得到三棱锥S －ABC 如图②所示，则三棱锥S －ABC 的体积为________；若点F 在三棱锥的表面运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹长度为________.16.如图，三棱锥S－ABC的所有棱长均为1，SH⊥底面ABC，点M，N在直线SH上，且MN＝33，若动点P在底面ABC内，且△PMN的面积为212，则动点P的轨迹长度为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离，所以在平面BB1C1C中，点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等，由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.2.答案A解析由题意知，△A1AP≌△A1EP，则点P 为在线段AE 的中垂面上运动，从而与底面ABCD 的交线为线段.3.答案B 解析在圆锥侧面的展开图中，AA ′＝2π，所以∠AVA ′＝AA ′︵VA ＝23，所以∠AVB ＝12∠AVA ′＝π3，由余弦定理得AC 2＝VA 2＋VC 2－2VA ·VC ·cos ∠AVB ＝32＋12－2×3×1×12＝7，所以AC ＝7.所以这只蚂蚁爬行的最短距离是7，故选B.4.答案D 解析易知DD 1⊥平面ABCD ，∠MDN ＝90°，取线段MN 的中点P ，则DP ＝12MN ＝1，所以点P 的轨迹是以D 为球心，1为半径的18球面，故S ＝18×4π×12＝π2.5.答案B 解析根据题意，以D 为坐标原点，DA →为x 轴正方向，DC →为y 轴正方向，DD 1→为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设长方体外接球球心为O ，则DB 1为外接球的一条直径，设O 为DB 1的中点，不妨设M 与D 重合，N 与B 1重合.则外接球的直径长为12＋12＋（2）2＝2，所以半径r ＝1，所以PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝(PO →＋OM →)·(PO →－OM →)＝|PO →|2－|OM →|2＝|PO →|2－1，由P 在长方体表面上运动，所以|PO →|∈12，1，即|PO →|2∈14，1，所以|PO →|2－1∈－34，0，即PM →·PN →∈－34，0.6.答案C 解析根据题意知，该正方体的内切球半径为r ＝5，如图，取BB 1的中点N ，连接CN ，则CN ⊥BM ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CN 为DP 在平面B 1C 1CB 中的射影，∴点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为25，∴O 到过D ，C ，N 的平面的距离为1，∴截面圆的半径为（5）2－1＝2，∴点P 的轨迹的长度为2π×2＝4π.7.答案B 解析设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为△ABC 的中心，且BO ＝23×6×32＝23，故PO ＝36－12＝2 6.因为PQ ＝5，故OQ ＝1，故Q 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而△ABC 内切圆的圆心为O ，半径为2×34×363×6＝3>1，故Q 的轨迹圆在△ABC 内部，故其面积为π.8.答案A 解析由条件易得AD ∥BC ，且∠APD ＝∠CPB ，AD ＝4，BC ＝8，可得tan ∠APD ＝AD PA ＝CB PB ＝tan ∠CPB ，即PB P A ＝CB AD＝2，在平面P AB 内以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系(图略)，则A (－3，0)，B (3，0)，设P (x ，y )，则有PB PA ＝（x －3）2＋y 2（x ＋3）2＋y 2＝2，整理可得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0(x ≠0).由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为圆的一部分，故答案选A.9.答案B 解析A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB ′的对称点为M ′，记d 为直线EB ′与AC 之间的距离，则MT ＋NT ＝M ′T ＋NT ≥M ′N ≥d ，由B ′E ∥D ′C ，d 为E 到平面ACD ′的距离，因为V D ′－ACE ＝13×1×S △ACE ＝13×1×1＝13，而V D ′－ACE ＝V E －ACD ′＝13×d ×34×(2)2＝36d ＝13，故d ＝233.10.答案B 解析如图，以CA ，CC ′分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则有C (0，0)，O (1，0)，O ′(1，3)，设G (x ，y )，由O ′G ⊥OG ，可得y x －1·y －3x －1＝－1，＋(x －1)2＝34，所以点O ′在平面BDE 上的射影G 的轨迹是以F半径为32的OG ︵.因为tan ∠GOF ＝O ′C ′OO ′＝33，所以O ′G ＝O ′O ·sin ∠GOF ＝32，所以△O ′GF 是等边三角形，即∠GFO ＝2π3，所以圆弧OG 的长l ＝2π3×32＝3π3.11.答案DM ⊥PC (或BM ⊥PC )解析连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC ，所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，有PC ⊥平面MBD ，PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD .12.答案3π2解析由已知AC ＝AB 1＝AD 1＝2，在平面BC 1，平面A 1C 1中，BP ＝A 1P ＝DP ＝1，所以动点P 的轨迹是在平面BC 1，平面A 1C 1，平面DC 1内分别以B ，D ，A 1为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度和为π2×3＝3π2.二、创新拓展练13.答案C 解析以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体的棱长为3，则3，0，32D 1(0，0，3)，设P (x ，y ，0)(x ≥0，y ≥0)，则PE →3－x ，－y ，32，PD 1→＝(－x ，－y ，3).因为θ1＝θ2，平面ABCD 的一个法向量z ＝(0，0，1)，所以|PE →·z ||PE →|·|z |＝|PD 1→·z ||PD 1→|·|z |，得32（3－x ）2＋y 2＋94＝3x 2＋y 2＋9，整理得x 2＋y 2－8x ＋12＝0，即(x －4)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则动点P 的轨迹为圆的一部分，所以点P 到平面BB 1C 1的最小距离为1，所以三棱锥P －BB 1C 1体积的最小值是13×12×3×3×1＝32.14.答案BCD 解析如图，建立空间直角坐标系，延长AE 与z 轴交于点P ，连接PF 并延长与y 轴交于点M ，则平面α由平面AEF 扩展为平面APM .由此模型可知A 错误.当点F 与点C 1重合时，截面是一个边长为5的菱形，该菱形的两条对角线长度分别AC 1＝22＋22＋22＝23和22＋22＝22，则此时截面的面积为12×23×22＝2 6.当F 为CC 1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形，B ，D 正确.D (0，0，0)，A (2，0，0)，P (0，0，4)，设点M 的坐标为(0，t ，0)(t ∈[2，4])，DA →＝(2，0，0)，AM →＝(－2，t ，0)，PA →＝(2，0，－4)，则可知点P 到直线AM 的距离为d ＝|P A →|2－|PA →·AM →|AM →||2＝20t 2＋644＋t 2，S △APM ＝12t 2＋4·d ＝5t 2＋16.S △P AD ＝12×2×4＝4，设点D 到平面α的距离为h ，利用等体积法V D －APM ＝V M －P AD ，即13·S △APM ·h ＝13·S △P AD ·t ，可得h ＝4t 5t 2＋16，则h ＝45＋16t 2，由h ＝45＋16t 2在t ∈[2，4]上单调递增，所以当t ＝4时，h 取到最大值为263.故选BCD.15.答案323＋32解析依题意，12AC ·BD ＝BD ＝23，点S 到平面ABC 的距离为3sin 60°＝32，△ABC 的面积为12×23＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为13×3×32＝32.如图，取AC 边上靠近点A 的四等分点G ，取BA 的中点为H ，连接EH ，EG ，GH ，故点F 的轨迹长度即为△EHG 的周长，又EG ＝GH ＝32，EH ＝12SB ＝32，故点F 的轨迹长度为3＋32.16.答案6π12解析设P 到直线MN 的距离为d ，由题易得d ＝66，易知H 为△ABC 的中心，又MN ⊥平面ABC ，当点P 在平面ABC 内时，其轨迹是以H 为圆心，66.∵△ABC 内切圆的半径为36，∴圆H 的一部分位于△ABC 外，结合题意得，点P 的轨迹为圆H 位于底面△ABC 内的三段相等的圆弧(利用正三角形的性质判断出圆H 有一部分在△ABC 外，才能正确得到点P 的轨迹)，如图，过点H 作HO ⊥AC ，垂足为O ，则HO ＝36，记圆H 与线段OC 的交点为K ，连接HK ，可得HK ＝66，∴cos∠OHK＝OHHK＝3666＝22，∴∠OHK＝π4，∴点P的轨迹长度为圆H周长的14(利用圆及正三角形的对称性分析求解)，∴点P的轨迹长度为14×2π×66＝6π12.。

【一专三练】 专题12 立体几何小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知直线,l m 和平面,αβ，若,l ααβ⊂⊥且m αβ=I ，则“l m ⊥”是“l β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由面面垂直的性质、线面垂直的定义结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】当l m ⊥时，由,l ααβ⊂⊥且m αβ=I ，得l β⊥；当l β⊥时，因为m αβ=I ，所以m β⊂，所以l m ⊥.即“l m ⊥”是“l β⊥”的充要条件.故选：C2．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥1P A BD -的体积为（ ）A ．18B ．16C ．15D ．14.3．（2023·广东广州·统考一模）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，4PB PC AB AC ====，2PA BC ==，则球O 的表面积为（ ）A ．316π15B ．79π15C ．158π5D ．79π5而,,AB AC A AB AC =⊂I 平面ABC ，因此在等腰ABC V 中，4,2AB AC BC ===，则215sin 1cos 4ABC ABC ∠=-∠=，故选：A4．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体A BCD -，12AM MC =u u u u r u u u u r，点N 为线段BC 的中点，则直线MN 与平面BCD 所成角的正切值是（ ）ABCD由题意可知：//MG AO 且MG 因为AO ⊥平面BCD ，所以则MNG ∠即为直线MN 与平面设正四面体的棱长为2，则所以222AO AN ON =-=5．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，π2ACB ∠=，11AC AA ==，2BC =，点M 是BC 的中点，点P 是线段1A B 上一动点，点Q在平面1AMC上移动，则P，Q两点之间距离的最小值为（）A B．12C．23D．16．（2023·湖南·校联考模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底-（如图），PA⊥平面面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马P ABCDAB BC上，当空间四边形PEFD的周长,1,2,3===，点E，F分别在,ABCD PA AB AD最小时，三棱锥P ADF-外接球的表面积为（）A．9πB．11πC．12πD．16πOO，则设三棱锥P ADF-外接球的半径为R，球心为O，连接17．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，6AB =，114A B =，12BB =，点,M N 分别为11A B ，11B C 的中点，则下列平面中与1BB 垂直的平面是（ ）A ．平面11AC DB ．平面DMNC ．平面ACNMD ．平面1AB C因为正四棱台1111ABCD A B C D -，所以因为6AB =，114A B =，12BB =所以111A B PB AB PB=，即11462PB PB =+所以6PB PA AB ===，即PAB V8．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）()3.14π≈A ．1895秒B ．1896秒C ．1985秒D ．2528秒9．（2023·广东湛江·统考一模）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm 和20cm ，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm 和60cm，则该花灯的体积为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．310．（2023·浙江·模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵111ABC A B C -中，1,2⊥=AC BC AA ，鳖臑111B A C B -的外接球，则阳马11B ACC A -体积的最大值为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．4二、多选题11．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则下列结论正确的是（ ）A ．113P AA D V -=B ．点P 在线段1BC 上C ．1BD ⊥平面11AC DD ．直线AP 与侧面11BCC B 所成角的正弦值的范围为⎫⎪⎪⎭则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B 01z ≤≤，所以()1,1,AP x z =-u u u r ，(11,BD =--u u u u r 因为1AP BD ⊥，所以11AP BD x ⋅=-u u u r u u u u r 所以1CP xB C =-u u u r u u u r，即1B ，C ，P 三点共线，故点12．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足111(01)B P B D λλ=≤≤u u u r u u u u r，则（ ）A ．若1λ=，则AP 与BD 所成角为4πB ．若AP BD ⊥，则12λ=C ．AP P 平面1BC D D ．1A C AP⊥对选项B ：如图建立空间直角坐标系，令(,1,1)AP λλ=--u u u r ，(1,1,0)DB =u u u r对选项C ：11D B BD ∥，11D B ⊄平面1BDC ， BD ⊂平面1BDC ，故11D B P 平面1BDC ，同理可得1AD P 平面1C BD ，1111AD B D D ⋂=，故面11AD B P 面1C BD ，AP ⊂平面11AD B ，AP P 平面1C BD ，正确；对选项D ：1(1,1,1)A C =--u u u r，1110AC AP λλ⋅=+--=u u u r u u u r ，1A C AP ⊥，正确．故选：BCD13．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且120ABC ∠=︒，则该圆台（ ）A B ．表面积为34π9C D ．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:24【答案】BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A ；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B ，C ；进而求得上底面14．（2023·江苏·统考一模）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 上的动点，满足11D F C E =，则（ ）A ．BF 与DE 垂直B ．BF 与DE 一定是异面直线C ．存在点E ，F ，使得三棱锥F A BE -的体积为154D ．当E ，F 分别是11B C ，11C D 的中点时，平面AEF 截正方体所得截面的周长为【答案】ACD【分析】设[]110,3C E D F a ==∈，利用坐标法可判断A ，利用特值法可判断B ，根据体积公式表示出三棱锥1F A BE -的体积可判断C ，作出截面结合条件可得周长判断D.【详解】如图建立空间直角坐标系，设[]110,3C E D F a ==∈，则()()()()0,0,0,3,3,0,,3,3,0,,3D B E a F a A ：由题可得()(3,3,3,,3,3BF a DE a =--=u u u r u u u r 所以BF DE ⊥u u u r u u u r，即BF DE ⊥，故A 正确；B ：当E ，F 为中点时，()3,3,0,DB FE =u u u r u u u r F ，E 四点共面，此时BF 与DE 不是异面直线，故C ：由[]110,3C ED F a ==∈，可得19A EF S =-△111⎛4因为1B MG BMA V :V ，所以1B M BM =可得1112B M MB ==，同理可得1D15．（2023·江苏·二模）已知A BCD -是棱长均为1的三棱锥，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成的角90oB ．直线BC 与平面ACD 所成的角为60oC ．点C 到平面ABDD ．能容纳三棱锥A BCD -所以,AE CD BE CD ⊥⊥，AE 又AB ⊂面ABE ，故AB CD ⊥B ：若F 为面ACD 中心，连接所以直线BC 与平面ACD 所成的角为3CF 16．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +的最小值为C ．三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C BP ∴的最小值为1BA D V 的高，对于B ，将1AA D △与矩形11111132B ACP A B CP B CP V V S AD --∴==⋅V 即三棱锥1B ACP -的体积不变，对于D ，设点B 到平面1AB C 的距离为11B AB C B ABC V V --=Q ，113AB C S d ∴⋅=V 得：233d =，17．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱AD ，AB ，BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点，则（ ）A ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒B ．存在点P ，使得1//C G 平面BEP C ．对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPD ．点1B 到直线1D F 的距离为4对于B ，当点P 与点1D 重合时，由题可知所以1111//,EG D C EG D C =，四边形又1C G ⊄平面BEP ，1DE ⊂平面又,,AE BF AB CB A CBF ==∠=∠90EBA CFB ∠+∠=o ，故CF ⊥又1,CF CC 相交，1,CF CC ⊂平面意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP 对于D ，由正方体的性质可得B 故选：BCD ．18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）如图，在已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，E ，M ，N ，P 分别是BC ，1BB ，1A D ，1AA 的中点，以下说法正确的是（ ）A ．若1BC =，1AA =，则1DP BC ^B ．//MN CDC ．//MN 平面1C DED ．若AB BC =，则平面11AA C C ⊥平面1A BD所以//MN 平面1C DE ，选项C 正确．若AB BC =，则四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥．又1CC BD ⊥，1AC CC C =I ，1,AC CC ⊂平面11ACC A ∴BD ⊥平面11ACC A ，BD ⊂平面1A BD ，∴平面1A BD ⊥平面11ACC A ，选项D 正确．故选：ACD.19．（2023·湖南·模拟预测）已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为E ，F 分别是PC ，AB 的中点，M 为棱PB 上异于P ，B 的一动点，则以下结论正确的是（ ）A ．异面直线EF 、PD 所成角的大小为3πB ．直线EF 与平面ABCDC ．EMF V +D ．存在点M 使得PB ⊥平面MEF设正方形ABCD 的中心为O ，连接OC ，PO ，则PO ⊥平面ABCD ，2OC OP ==，设OC 的中点为H ，连接EH ，FH ，则EH OP P ，且EH ⊥平面ABCD ，所以EFH ∠为直线EF 与平面ABCD 所成角，所以112EH PO ==，20．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且1PC '=，则下列结论正确的有（ ）A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为B ．保持PM 与BD '垂直时，点M 的运动轨迹长度为C ．若保持PM =M 的运动轨迹长度为4π3D ．当M 在D ¢点时，三棱锥B MAP '-的外接球表面积为99π4连接AP ，则AP 对于B ，因为DD ,DD BD D DD '=I 所以AC ⊥平面DD 所以AC ⊥BD '，同理可得由点P 在棱CC '上，且PC '=过点P 作PQ ⊥平面ADD '所以点M 在以Q 为圆心，点M 的运动轨迹长度为23对于D ，以D 为坐标原点，则()()(0,0,3,0,3,2,3,3,3M P B '(),,N x y z ，由22||||NM NP ==22222(3)(3)x y z x y ++-=+-解得：75,44x z y ===，21．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱1DD 上的动点（不含端点），则（ ）A ．过点M 有且仅有一条直线与AB ，11BC 都垂直B ．有且仅有一个点M 到AB ，11BC 的距离相等C ．过点M 有且仅有一条直线与1AC ，1BB 都相交D ．有且仅有一个点M 满足平面1MAC ⊥平面1MBB连接AC 、BD 交于点O ，连接11BDB D ，又因为M ∈面1BDB D 点G ，即：过点M 有且仅有一条直线与对于选项D ，设正方体的边长为则(2,0,0)A ，1(0,2,2)C ，(2,2,0)B ，设(0,0,)M m ，(02)m ≤≤，则(2,0,)MA m =-u u u r ，1(2,2,2)AC =-u u u u r ，设面1MAC 的一个法向量为11(,n x =u r 111020n MA x mz ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨u r u u u r u r u u u u r22．（2023·广东湛江·统考一模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A ．1//AB 平面1AEC B ．EF 与1BC 所成的角为30°C ．EF ⊥平面1B ACD ．平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为23．（2023·广东·统考一模）在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，若SD AD =，则（ ）A ．AC SD⊥B ．AC 与SB 所成角为60︒C ．BD 与平面SCD 所成角为45︒D ．BD 与平面SAB 【答案】ACD【分析】对于选项A ，利用线面垂直的判定定理得到AC ⊥平面SBD ，进而可判定选项A 正确；对于选项B ，由AC ⊥平面SBD ，知AC SB ⊥，故可选项B 错误；对于选项C 和D ，利用线面的定义，找出线面角，从而转化成平面角，在相应的三角形中进行求解，即可判断选项的正误.【详解】选项A ，因为SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以AC SD ⊥,因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又BD SD D ⋂=，,BD SD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，又SB ⊂面SBD ，所以AC SB ⊥，选项A 正确．选项B ，因为AC ⊥平面SBD ，又SB ⊂面SBD ，所以AC SB ⊥，故选项B 错误．选项C ，因为SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BC SD ⊥,故选：ACD24．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB BC ===，E ，F ，N 分别为AC ，1CC 和BC 的中点，D 为棱11A B 上的一动点，且11BF A B ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．BF DE⊥B ．三棱锥F DEN -的体积为定值C ．13FD AA ⋅=u u u r u u u rD ．异面直线1A C 与1B N 则()()(11,0,2,0,,2,0,A a B b B b -()()11,,1,,0BF A B a b a b a ⋅=-⋅=u u u r u u u u r 对于A ，()(112,0,2,0,A B -()1112,2,0,A D A B λλλλ==u u u u r u u u u r 则()112,0,2DE A E A D =-=-u u u r u u u r u u u u r ()(2,2,12BF DE ⋅=-⋅-u u u r u u u r25．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的为（ ）A ．三棱锥1M ACD -的体积为定值B ．直线DM 与平面11BCC B 所成角的最大值为π3C ．1AM A D⊥D ．点M 到平面1CD D 与到平面ACD 的距离之和为定值【答案】ACD【分析】根据正方体中的直线与平面的关系，判断选项正误.【详解】对于选项A ，点M 在线段1BC 上运动，而11//BC AD ，1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，点M 到平面1ACD 的距离为定值，三棱锥1M ACD -的体积为定值，A 正确；26．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为AB ，1CC 的中点，且MN 与正方体的内切球O （O 为球心）交于E ，F 两点，则下列说法正确的是（ ）A．线段EFB ．过O ，M ，N 三点的平面截正方体1AC 所得的截面面积为C ．三棱锥O DEF -D ．设P 为球O 上任意一点，则AP 与11A C 所成角的范围是π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BC【分析】过O ，M ，N 三点的截面为正六边形MGNHIJ ，球心O 为其中心，作出图形在正六边形中求出EF 判断A ，求出正六边形面积判断B ，由等体积法求出三棱锥体积判断C ，分析AP 与11A C 所成角的最大最小值判断D.【详解】过O ，M ，N 三点的截面为正六边形MGNHIJ ，球心O 为其中心，如图，三、填空题27．（2023·浙江·校联考三模）将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为_____________．【分析】根据正三棱锥的几何性质，确定其形成六面体的外接球球心的位置及半径的长，从而列式求得半径，即可得六面体外接球的体积.【详解】如图所示，记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥A BCD -和三棱锥A BCD-'设点A 在面BCD 上的投影为点O ，则A '、O 、A 三点共线．在三棱锥A BCD -和A BCD -'中，到几何体各顶点距离相等的点分别在AO 和A O '上若28．（2023·江苏南通·二模）已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m ，下边长为1m ，且下边距地面1 m ．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_______m 3．29．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以所以4,OP OA AD OA ===又因为23ADB π∠=，所以AB 1sin 23ABC S AB AC π=⨯⨯⨯△130．（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.【答案】2π3##23π【分析】由等体积法求得内切球1O 半径，再根据比例求得球2O 的半径，则问题可解．【详解】如图所示：依题意得144sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=V 底面ABC 的外接圆半径为12sin r =点P 到平面ABC 的距离为24d =146162。

第九章立体几何与空间向量第1节简单几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1.如图是由哪个平面图形旋转得到的( A )解析:根据面动成体的原理即可解,一个直角三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥.一个直角梯形绕着直角腰旋转一周得到圆台.该几何体的上部分是圆锥,下部分是圆台,圆锥的轴截面是直角三角形,圆台的轴截面是直角梯形,所以这个几何图形是由直角三角形和直角梯形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到.故选A.2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4, AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( C )(A) (B)2 (C) (D)3解析:构建长方体的棱长分别为3,4,12.体对角线长为=13,外接球的半径为,故选C.3.用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为( B )(A)8 (B)(C)(D)解析:若以4作为圆柱的高、2作为底面圆的周长,则圆柱轴截面面积为;若以2作为圆柱的高、4作为底面圆的周长,则圆柱轴截面面积为,所以此圆柱轴截面面积为.故选B.4.正四棱锥S-ABCD的底面边长为4,高SE=8,则过点A,B,C,D,S的球的半径为( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由正四棱锥及其外接球的对称性,球心O在正四棱锥的高线SE上,球半径R=OS=OB,EB=BD=4.所以在直角三角形OEB中,由勾股定理得,(8-R)2+42=R2,解得R=5,故选C.5.三棱锥P-ABC中,△ABC是底面,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,且这四个顶点都在半径为2的球面上,PA=2PB,则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为( B )(A)16 (B)(C)(D)32解析:因为PA,PB,PC两两垂直,又因为三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上,所以以PA,PB,PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径.所以16=PA2+PB2+PC2,因为PA=2PB,则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC,因为5PB2+PC2=16,设PB=4cos α,PC=4sin α,则3PB+PC=cos α+4sin α=sin(α+φ)≤=. 可知其最大值为,选B.6.已知一个四面体其中五条棱的长分别为1,1,1,1,,则此四面体体积的最大值是( B )(A) (B) (C) (D)解析:设四面体为P-ABC,则设PC=X,AB=,其余的各边为1,那么取AB 的中点D,那么连接PD,因此可知,AB垂直于平面PCD,则棱锥的体积可以运用以PCD为底面,高为AD,BD的两个三棱锥体积的和来表示,因此只要求解底面积的最大值即可.由于PD=CD=,那么可知三角形PDC的面积越大,体积越大,可知S△PDC=××sin θ≤=,也就是当PD垂直于CD时,面积最大,因此可得四面体的体积的最大值为××=,选B.二、填空题7.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为.解析:因为圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,①若6π=2πr,r=3,所以圆柱的表面积为4π×6π+2×πr2=24π2+18π;②若4π=2πr,r=2,所以圆柱的表面积为4π×6π+2×πr2=24π2+8π.答案:24π2+8π或24π2+18π8.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.解析:设球的半径为r,则V圆柱=πr2×2r=2πr3,V圆锥=πr2×2r=,V球=πr3,所以V圆柱∶V圆锥∶V球=2πr3∶∶πr3=3∶1∶2.答案:3∶1∶29.将4个半径都是R的球体完全装入底面半径是2R的圆柱形桶中,则桶的最小高度是.解析:由题意知,小球要分两层放置且每层两个,令下层两小球的球心分别是A,B,上层两小球的球心分别是C,D.此时,圆柱底面的半径=两小球半径的和,恰好使小球相外切,且与圆柱母线相切.圆柱的高=上层小球的上方半径+AB与CD间的距离+下层小球的下方半径=2R+AB与CD间的距离.令AB,CD的中点分别为E,F.很明显,四面体ABCD每条棱的长都是2R,容易求出:EC=ED,FA=FB,由EC=ED,CF=DF,得EF⊥CD.由FA=FB,AE=BE,得EF⊥AB.所以EF是AB与CD间的距离,所以圆柱的高=2R+EF.由勾股定理,有CE2+AE2=AC2,CE2=EF2+CF2.两式相减,消去CE,得AE2=AC2-EF2-CF2,所以EF2=AC2-AE2-CF2=(2R)2-R2-R2=2R2,所以EF=R.所以圆柱的高=2r+R=(2+)R.答案:(2+)R10.一个圆锥有三条母线两两垂直,则它的侧面展开图的圆心角大小为.解析:设母线长为l,因圆锥有三条母线两两垂直,则这三条母线可以构成以它们为侧棱、以底面边长为l的正三角形的正三棱锥,故由正弦定理得,圆锥的底面直径2R=,解得R=,因此可知侧面展开图的圆心角大小为π.答案:π11.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°,半径为4的扇形,则这个圆锥的表面积是.解析:因为圆锥的侧面展开图是圆心角为180°,母线长等于4,半径为4的扇形,则这个圆锥的表面积是底面积加上侧面积,扇形面积加上底面面积的和为12π.答案:12π12.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5,从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是.解析:从长方体的一条对角线的一个端点A出发,沿表面运动到另一个端点B,有三种方案,如图是它们的三种部分侧面展开图,AB路程可能是:最短路程是.答案:三、解答题13.某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,求a+b的最大值.解:如图,把几何体放到长方体中,使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱,则长方体的体对角线A 1C=,则它的正视图投影长为A 1B=,侧视图投影长为A1D=a,俯视图投影长为A1C1=b,则a2+b2+()2=2·()2,即a2+b2=8,又≤,当且仅当“a=b=2”时等号成立.所以a+b≤4,即a+b的最大值为4.14.某几何体的三视图如图所示.(1)判断该几何体是什么几何体?(2)画出该几何体的直观图.解:(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体.(2)直观图如图所示.15.已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示.(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图;(2)求出侧视图的面积.解:(1)如图.(2)侧视图中V A===2,则S △VBC=×2×2=6.第2节简单几何体的表面积与体积一、选择题1.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( B )(A)16+2π(B)8+2π(C)16+π (D)8+π解析:由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成,因此V=1×2×4+π×12×2=8+2π.故选B.2.一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为( B )(A)πa2(B)3πa2(C)6πa2(D)πa2解析:由题可知该三棱锥为一个棱长a的正方体的一角,则该三棱锥与该正方体有相同的外接球,又正方体的对角线长为a,则球半径为a,则S=4πr2=4π(a)2=3πa2.故选B.3.一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为( A )(A)πa2(B)2πa2(C)πa2(D)πa2解析:如图,设O1,O2为棱柱两底面的中心,球心O为O1O2的中点.又直三棱柱的棱长为a,可知OO1=a,AO1=a,所以R2=OA2=O+A=,因此该直三棱柱外接球的表面积为S=4πR2=4π×=πa2,故选A.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A) (B)2 (C) (D)解析:由三视图可知,该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成,其体积为V=2×π×12×1=,选D.5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是( C )(A)5 (B)2 (C) (D)解析:由三视图知,该四棱锥的底面是直角梯形,上底长为2,下底长为3,高为,四棱锥的高为h=2,故该四棱锥的底面积S=(2+3)×=,所以该四棱锥的体积V=Sh=××2=.6.已知边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,现沿对角线BD折起,使得二面角A BD C为120°,此时点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为( C )(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π解析:如图,分别取BD,AC的中点M,N,连接MN,则容易算得AM=CM=3,MN=,MD=,CN=,由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上,设球心为O,半径为R,ON=x,则由题设可得解得x=,则R2=+=7,所以球面面积S=4πR2=28π,故选C.二、填空题7.一个圆柱的轴截面为正方形,则与它同底等高的圆锥的侧面积与该圆柱的侧面积的比为.解析:令正方形的边长为a,则圆柱的侧面积S1=2π××a=πa2,与它同底等高的圆锥的侧面积S2=πrl=π××a=,则与它同底等高的圆锥的侧面积与该圆柱的侧面积的比为.答案:8.球O与直三棱柱ABC-A1B1C1的各个面都相切,若三棱柱的表面积为27,△ABC的周长为6,则球的表面积为.解析:设内切球半径为r,那么直三棱柱的底面内切圆半径为r,棱柱的高为2r,由等面积法,则直三棱柱底面面积S 底=r×6=3r,由等体积法,V三棱柱=S底·2r=r·27,所以9r=6r2,解得r=.其表面积为4π×()2=3π.答案:3π9.已知母线长为6,底面半径为3的圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切,则球的体积是 .解析:取圆锥的轴截面,则截面是边长为6的正三角形,正三角形的内切圆的圆心即为球心,R=6××,所以R=,所以V=πR3=4π.答案:4π10.棱长为a的正方体ABCD A 1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F 分别是棱AA1,DD1的中点,则过E,F两点的直线被球O截得的线段长为.解析:设过E,F两点的直线与球O交于M,N,所以△OMN,△OEF均为等腰直角三角形,所以OM=ON=R=a,点O到EF的距离为棱长一半,所以|MN|=2= a.答案: a11.四棱锥P-ABCD的各顶点都在同一球面上,且矩形ABCD的各顶点都在同一个大圆上,球半径为R,则此四棱锥的体积的最大值为.解析:点P到平面ABCD的最大距离为R,设矩形ABCD的长宽分别为x,y,则x2+y2=4R2,四棱锥P ABCD的体积V=xyR≤×=R3,当且仅当x=y=R时,V max=R3.答案:R312.设正四面体ABCD的棱长为a,P是棱AB上的任意一点,且P到平面ACD,BCD的距离分别为d1,d2,则d1+d2= .解析:根据题意,由于正四面体ABCD的棱长为a,各个面的面积为a2,高为a,所以V=×a2×a=×a2×(d1+d2),所以d1+d2= a.答案: a三、解答题13.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点P,Q在正视图中所示位置,P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长.解:(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧=(2πa)·(a)=πa2,S圆柱侧=(2πa)·(2a)=4πa2,S圆柱底=πa2,所以S 表=πa2+4πa2+πa2=(+5)πa2.(2)沿P点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ===a,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径长为a.14.如图,四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求四面体NBCM的体积.(1)证明:由已知得AM=AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.所以AM=TN,又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)解:因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S △BCM=×4×=2.所以四面体NBCM的体积V N-BCM=×S△BCM×=.15.如图所示,在空间几何体ADE BCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,AD⊥DC,AB=AD=DE=2,EF=4,M是线段AE上的动点.(1)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;(2)在(1)的条件下,平面MDF将几何体ADE-BCF分成两部分,求空间几何体M-DEF与空间几何体ADM BCF的体积之比.解:(1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF.理由如下:连接CE交DF于点N,连接MN.因为M,N分别是AE,CE的中点,所以MN∥AC.又因为MN⊂平面MDF,AC⊄平面MDF,所以AC∥平面MDF.(2)将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF,如图所示,三棱柱ADE-B′CF的体积为V=S△ADE·CD=×2×2×4=8,则几何体ADE-BCF的体积=-=8-×(×2×2)×2=.因为三棱锥M-DEF的体积=×(×2×4)×1=,所以=-=,所以两几何体的体积之比为∶=1∶4.第3节空间图形的基本关系与公理一、选择题1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( C )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m∥α,m∥β,则α∥β(C)若m∥n,m⊥α,则n⊥α(D)若m∥α,α⊥β,则m⊥β解析:设直线a⊂α,b⊂α,a∩b=A,因为m⊥α,所以m⊥a,m⊥b.又n∥m,所以n⊥a,n⊥b,所以n⊥α.故选C.2.下列命题中,错误的是( D )(A)平行于同一平面的两个不同平面平行(B)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交(C)如果两个平面不垂直,那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直(D)若直线不平行于平面,则此直线与这个平面内的直线都不平行解析:当直线l在平面α内,即l⊂α时,直线l不平行于平面α,但平面α内存在直线与直线l平行,可知D选项错误,故选D.3.下列四个命题:①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是( D )(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)②和④解析:①显然错误,因为这两条直线相交才满足条件;②成立;③错误,这两条直线可能平行、相交,也可能异面;④成立,用反证法容易证明.故选D.4.若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( C )①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.(A)①③(B)②③(C)②④(D)①④解析:若α⊥β且直线m⊥α,则在平面β内,一定存在与直线m平行的直线,所以①错误;若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直,故②正确;若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确,故选C.5.设不在同一条直线上的A,B,C三点到平面α的距离相等,且A∉α,则( B )(A)α∥平面ABC(B)△ABC中至少有一条边平行于α(C)△ABC中至多有两条边平行于α(D)△ABC中只可能有一条边平行于α解析:因为A∉α,所以A,B,C均不在平面α内.当A,B,C三点在平面α的同侧时,α∥平面ABC,此时△ABC的三条边都平行于α,排除C,D;当A,B,C三点不在平面α的同侧时,易知△ABC中只有一条边平行于α,此时平面α和平面ABC相交,故选B.6.若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( B )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为l⊥m,m⊥α,所以l∥α或l⊂α.故充分性不成立.若l∥α,m⊥α,一定有l⊥m.故必要性成立.选B.二、填空题7.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,点E在侧棱AA1上(不与A,A1重合),满足∠C1EB=90°,则异面直线BE与C1B1所成的角为,侧棱AA1的长的最小值为.解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CB⊥平面ABB1A1,所以∠CBE=90°,又C1B1∥BC,所以异面直线BE与C1B1所成的角为90°.连接BC1,设AA1=x,AE=m(m>0),则有BE2=1+m2,C1E2=(x-m)2+2,C1B2=1+x2,因为∠C1EB=90°,所以C1B2=C1E2+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+≥2,当且仅当m=,即m=1时,“=”成立.答案:90° 28.四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A1-BCD,使平面A1BD⊥平面BCD,给出下列结论:(1)A1C⊥BD;(2)∠BA1C=90°;(3)四面体A1-BCD的体积为.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填上) 解析:若A1C⊥BD,因为BD⊥CD,A1C∩CD=C,所以BD⊥平面A1CD,所以BD⊥A1D.而由A 1B=AB=1,A1D=AD=1,BD=,得A1B⊥A1D,与BD⊥A1D矛盾,故(1)错.因为CD⊥BD,平面BCD⊥平面A1BD,所以CD⊥平面A1BD,则CD⊥A1B.又A1B⊥A1D,A1D∩CD=D,所以A1B⊥平面A1CD,则A1B⊥A1C,故(2)正确.由(2)知==×·A1D·DC·A1B=,故(3)错.答案:(2)9.在正方体ABCD A 1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.解析:在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因为CD 与平面α不平行,所以它们相交,设α∩CD=Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交.由点P的任意性,知有无数条直线与A1D1,EF,CD都相交.答案:无数10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形.∠ACB =90°,AC=6,BC=CC 1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为.解析:连接A1B,将△A1BC1与△CBC1同时展开形成一个平面四边形A1BCC1,则此时对角线CP+PA1=A1C达到最小,在等腰直角三角形△BCC1中,BC1=2,∠CC1B=45°,在△A 1BC1中,A1B==2,A1C1=6,BC1=2,所以A1+B=A1B2,即∠A1C1B=90°.对于展开形成的四边形A1BCC1,如图,在△A 1C1C中,C1C=,A1C1=6,∠A1C1C=135°,由余弦定理有,CP+PA 1=A1C===5.答案:511. 如图,三棱锥A BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.解析:如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.因为M为AD的中点,所以MK∥AN,所以∠KMC为异面直线AN,CM所成的角.因为AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点,由勾股定理求得AN=DN=CM=2,所以MK=.在Rt△CKN中,CK==.在△CKM中,由余弦定理,得cos∠KMC===.答案:12.如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE 翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是.①BM是定值;②点M在某个球面上运动;③存在某个位置,使DE⊥A1C;④存在某个位置,使MB∥平面A1DE.解析:取DC中点F,连接MF,BF,MF∥A1D且MF=A1D,FB∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB 是定值,所以M是在以B为圆心,MB为半径的球上,可得①②正确;由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE,可得④正确;A1C在平面ABCD中的投影与AC重合,AC与DE不垂直,可得③不正确.答案:③三、解答题13.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解:如图所示,取AC的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EF∥CD.所以∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE=AD=,所以BE=.在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,所以EF=.在Rt△BAF中,AB=1,AF=,所以BF=.在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.证明:(1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面.即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,则R∈α且∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.15.在长方体ABCD A 1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.(1)过P点在空间内作一条直线l,使l∥直线BD,应该如何作图?并说明理由;(2)过P点在平面A1C1内作一条直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈(0°,90°],这样的直线有几条,应该如何作图?解:(1)连接B1D1,BD,在平面A1C1内过P点作直线l,使l∥直线B1D1,则l即为所求作的直线.因为直线B1D1∥直线BD,l∥直线B1D1,所以l∥直线BD.如图(1).(2)在平面A1C1内作直线m,使直线m与B1D1相交成α角,因为BD∥B1D1,所以直线m与直线BD也成α角,即直线m为所求作的直线,如图(2).由图(2)知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈(0,90°].当α=90°时,这样的直线m有且只有一条,当α≠90°时,这样的直线m 有两条.第4节直线、平面平行的判定与性质一、选择题1.若直线l∥平面α,直线a⊂平面α,则l与a的位置关系是( D )(A)l∥a (B)l与a异面(C)l与a相交 (D)l与a没有公共点解析:因为直线平行于平面,那么l与平面内的任何一条直线都没有公共点,因此l与a的位置关系是没有公共点,选D.2.下列条件能推出平面α∥平面β的是( D )(A)存在一条直线a,a∥α,a∥β(B)存在一条直线a,a⊂α,a∥β(C)存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α(D)存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α解析:因为根据面面平行的判定定理可知,如果存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则可以利用线线平行得到面面平行,选D.3.已知直线l,m,平面α,β,则下列命题中:①若α∥β,l⊂α,则l∥β②若α⊥β,l⊥α,则l∥β③若l∥α,m⊂α,则l∥m④若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥β,其中真命题有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:当两个平面平行时,一个平面上的线与另一个平面平行,故①正确;一条直线垂直于两个垂直平面中的一个平面,那么这条直线平行于或包含于另一个平面,故②不正确;④不正确;③中l,m的关系是不相交,故③不正确,故选B.4.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( B )(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④解析:对图①,构造AB所在的平面,即对角面,可以证明这个对角面与平面MNP平行,由线面平行的定义可得AB∥平面MNP;对图④,通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP;对于②,证MP中点为K,延长BA,KN则相交,所以BA与平面MNP相交,②错;对于③平面MNP与直线AB相交于点B,③错.故选B.5.类比平面几何中的定理“设a,b,c是三条直线,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,得出如下结论:①设a,b,c是空间的三条直线,若a⊥c,b⊥c,则a∥b;②设a,b是两条直线,α是平面,若a⊥α,b⊥α,则a∥b;③设α,β是两个平面,m是直线,若m⊥α,m⊥β,则α∥β;④设α,β,γ是三个平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确命题的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①错;②垂直于同一个平面的两条直线平行,正确;③垂直于同一条直线的两个平面平行,正确;④错;两个平面也可能相交.6.在空间中,下列命题正确的是( D )(A)平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β(B)若直线m与平面α内的一条直线平行,则m∥α(C)若平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β(D)若直线a与平面α内的无数条直线都垂直,则不能说一定有a⊥α解析:直线a与平面α内的任意直线都垂直,则有a⊥α,所以D正确.二、填空题7.点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF= .解析:取BC的中点D,连接ED与FD,因为E,F分别是SC和AB的中点,点D为BC的中点所以ED∥SB,FD∥AC,而SB⊥AC,SB=AC=2,则三角形EDF为等腰直角三角形,则ED=FD=1,即EF=.答案:8.正四棱锥S ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P 在这个棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为.解析:由题意知,点P的轨迹为如图所示的三角形EFG,其中G,F为其所在棱的中点,所以EF=BD=,GE=GF=SB=,所以轨迹的周长为+.答案:+9.将边长为2,一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD,点E,F分别为AC,BD的中点,则下列命题中正确的是.①EF∥AB;②EF⊥BD;③EF有最大值,无最小值;④当四面体ABCD的体积最大时,AC=;⑤AC垂直于截面BDE.解析:因为将边长为2,一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD 折成四面体ABCD,点E,F分别为AC,BD的中点,则可知EF⊥BD,当四面体ABCD的体积最大时,AC=,AC垂直于截面BDE成立.答案:②④⑤10.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.解析:因为平面α∥平面β,所以AB∥CD,①当P在两平面外时,==,所以=,所以BD=.②当P在两平面之间时,=,所以=,所以BD=24,所以BD的长为或24.答案:或2411.给出下列四个命题:①过平面外一点,作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条;②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行;③对确定的两条异面直线,过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行;④对两条异面的直线,都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等.其中正确的命题序号为.解析:①中,成90度角的时候,就只有一条,因此错误.②中是线面平行的性质定理,显然成立.③不正确.④中,利用等角定理,可知成立. 答案:②④12.侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过A 作截面AEF,则截面△AEF周长的最小值为.解析:沿着侧棱VA把正三棱锥V ABC展开在一个平面内,则设VA的另一边为VA′,则AA′即为截面△AEF周长的最小值,且∠AVA′=3×40=120°.△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6.答案:6三、解答题13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=4,AA1=2,点E 在棱C1D1上,且D1E=3.(1)试在棱CD上确定一点E1,使得直线EE1∥平面D1DB,并证明;(2)若动点F在底面ABCD内,且AF=2,请说明点F的轨迹,并探求EF 长度的最小值.解:(1)取CD的四等分点E1,使得DE1=3,则有EE1∥平面D1DB.证明如下:因为D1E∥DE1且D1E=DE1,所以四边形D1EE1D为平行四边形,则D1D∥EE1,因为DD1⊂平面D1DB,EE1⊄平面D1DB,所以EE1∥平面D1DB.(2)因为AF=2,所以点F在平面ABCD内的轨迹是以A为圆心,半径等于2的四分之一圆弧.因为EE1∥DD1,D1D⊥平面ABCD,所以E1E⊥平面ABCD,故EF==.所以当E1F的长度取最小值时,EF的长度最小,此时点F为线段AE1和四分之一圆弧的交点,即E1F=E1A-AF=5-2=3,所以EF==.即EF长度的最小值为.14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E是棱CD的中点,P是棱AA1的中点,(1)求证:PD∥平面AB1E;(2)求三棱锥B-AB1E的体积.(1)证明:取AB1中点Q,连接PQ,则PQ为中位线,PQ A1B1,而正方体ABCD-A1B1C1D1,E是棱CD的中点,故DE A1B1,所以PQ DE,所以四边形PQED为平行四边形.所以PD∥QE,而QE⊂平面AB1E,PD⊄平面AB1E,故PD∥平面AB1E.(2)解:正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABE,故BB1为高,BB1=2,因为CD∥AB,所以S△ABE=S△ABC=AB·BC=×2×2=2.故==BB1·S△ABC=.15.如图,在四面体PABC中,PA=PB,CA=CB,D,E,F,G分别是PA,AC,CB,BP的中点.(1)求证:D,E,F,G四点共面;(2)求证:PC⊥AB;(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形,且AB=2,PC=,求四面体PABC的体积.(1)证明:依题意DG∥AB,EF∥AB,所以DG∥EF,DG,EF共面,从而D,E,F,G四点共面.(2)证明:取AB中点为O,连接PO,CO.因为PA=PB,CA=CB,所以PO⊥AB,CO⊥AB,因为PO∩CO=O,所以AB⊥平面POC,PC⊂平面POC,所以AB⊥PC.(3)解:因为△ABC和△PAB是等腰直角三角形,所以PO=CO=AB=1,因为PC=,OP2+OC2=PC2,所以OP⊥OC,又PO⊥AB,且AB∩OC=O,所以PO⊥平面ABC,=PO·S△ABC=×1×2×1×=.第5节直线、平面垂直的判定与性质一、选择题1.已知直线l,m和平面α, 则下列命题正确的是( C )(A)若l∥m,m⊂α,则l∥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m(C)若l⊥α,m⊂α,则l⊥m(D)若l⊥m,l⊥α,则m∥α解析:A项中直线l与平面α可能平行,可能直线在平面内;B项中直线l,m平行或异面;C项中当直线垂直于平面时,直线垂直于平面内任意直线;D项中直线m与平面α平行或直线在平面内.2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,则四面体P ABC中共有直角三角形个数为( A )(A)4 (B) 3 (C) 2 (D) 1解析:因为PA⊥平面ABC,AB⊥BC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PB⊥CB,所以△ABC,△PBC, △ABP, △APC都是直角三角形,故选A.3.已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( C )(A)n⊥β (B)n∥β,或n⊂β(C)n∥α或n⊂α(D)n⊥α解析:由题意画出图形,容易判断选项.由于直线m⊥n,m⊥α,α⊥β,选项A,中线面可能相交,也可能垂直,选项B中,n与β还可能相交,错误,选项D中,直线不能垂直于平面,故结合图象不难得到选项为C.4.正方体的棱长为1,C,D,M分别为三条棱的中点,A,B是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是( B )(A)(B)(C)(D)解析:过M作AB的垂线MN交AB于N,连接CN.由于CM⊥AB,MN⊥AB,则AB⊥平面CMN,所以,M到面ABCD的距离h是直角三角形CMN的斜边CN上的高.由于BM=,CM=1,MN=,CN=,则结合=求得h=.故选B.。