18初中数学竞赛专题培训(26)：含参数的一元二次方程的整数根问题

一元二次方程的整数根问题一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。

方程形式：通常形式使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

变小形式解题方法：公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式十字二者乘法解法因式分解法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法求解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边水解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）求解这两个一元一次方程，它们的求解就是原方程的求解.十字相乘法公式公式法（可解全部一元二次方程）求根公式去求出方程的木配方法（可以求解全部一元二次方程）开方法（可以求解部分一元二次方程）均值代换法（可以求解部分一元二次方程）设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。

再求出x1, x2。

简单解法1．看看与否能够用因式分解法求解（因式分解的数学分析中，先考量加公因式法，再考虑平方公式法，最后考量十字相加法）2．看是否可以直接开方解3．采用公式法解4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）如果要参加竞赛，可按如下顺序：a.因式分解；b.韦达定理；c.判别式； d.公式法；e.配方法；f.开平方；g.求根公式；h.表示法。

学科：数学专题：一元二次方程整数根重难点易错点辨析在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。

题一题面：关于x的方程()2-+--=的根都是整数，求符合条件的a的整数值.1210a x x a金题精讲题一题面：已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：已知，关于x的一元二次方程22--+-+=2(23)41480x m x m m⑴若0m>，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若1240<<的整数，且方程有两个整数根，求m的值．m判别式，整数根题二题面：已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数.判别式，整数根讲义参考答案重难点易错点辨析题一答案：当1a =时，1x =；当1a ≠时，122111x x a ==---，（分离常数）， a ∵为整数 1023a =-∴，，，综上，a 的整数值为10123-，，，，金题精讲题一答案：(1)52k <；(2)k =2. 满分冲刺题一答案：⑴证明：[]22=2(23)4(4148)84m m m m ∆----+=+∵0m >， ∴840m +>.∴方程有两个不相等的实数根．⑵(23)x m -±且m 为整数．又∵1240m <<，∴252181.m <+<∴5．21m +∵为奇数，7∴24m =．题二答案：（1）证明：△=(m +3)2-4(m +1)=m 2+6m +9-4m -4 =m 2+2m +5 =(m +1)2+4 ∵(m +1)2≥0∴(m +1)2+4≥0∴无论m 取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根（2）解关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0得x = 要使原方程的根是整数根，必须使得(m +1)2+4是完全平方数 设(m +1)2+4=a 2则(a +m -1)(a -m -1)=4∵a +m -1与a -m -1的奇偶性相同可得{1=212a m a m +---=或{1=212a m a m +----=- 解得{=21a m =-或{21a m =-=- 将1m =-代入x =得1220x x =-=，符合题意； ∴当1m =-时，原方程的根是整数.。

含参数的一元二次方程的整数根问题本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0有两个不相等的正整数根.解法1首先，m2-1丰0, m z 土1 .△ =36(m> 0,所以m^ 3 .用求根公式可得6 12盟1 =--------- ，盟2 = ------------- ；，ni -1 m +1由于X1 , X2是正整数，所以m-仁1 , 2 , 3 , 6, m+1=1 , 2, 3 , 4 , 6 , 12 ,解得m=2 .这时X1 =6 , X2=4 .解法2首先，m2-1丰0 , m z±设两个不相等的正整数根为X1 ,沁,则由根与系数的关系知6(3m -1) 一-饥m - I m - 1所以m2-仁2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36, 72 ,即m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 , 10 , 13 , 19 , 25 , 37 , 73,只有m2=4 , 9 , 25才有可能，即m=± 2，土3，土5 .经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程a2x2-（3a 2-8a）x + 2a2-13a + 15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值.分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来.解因为a工0,所以(3a2 -8a) ± 7(3a2 - 8a)2 -4a a(2a a - 13a + 15)(3J - 8a) + + 2a)2? ”所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3 , 5.例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数.令△ =(m1)2_4m = n2,其中n是非负整数，于是2 2m -6m+1= n ,所以(m-3)2-n2=8 ,(m-3 + n )(m-3-n) = 8.由于m-3 + n >m-3-n ,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3 + n与m-3-n同奇偶，所以（舍去）■所Klm = 6,这时方程的两个根为£-说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决•例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值•解当a=0时，原方程变成-6x-2=0 ,无整数解•当a工0寸，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式A=4(a-3) 2-4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数•令9-4a=n 2，则n是正奇数，且详3（否则“0）,所1如由求根公式得-2(a - 3) ± 2n _ 3 ±n亠一］---2a4(3 ±n)1+ 9-n所以要使X1为整数，而n为正奇数，只能n=1 ,从而a=2 .要使X2为整数，即n-3 | 4, n 可取1 , 5, 7,从而a=2 , -4 , -10 .综上所述,a的值为2, -4 , -10 .说明本题是前面两种方法的综合” •既要用判别式是平方数，又要用直接求根.有时候，往往是几种方法一同使用.例5已知关于x的方程x2+ (a-6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为x i》x,由韦达定理得从上面两式中消去a得x i X2+x i+X2= 6,所以(X i+ 1)(X2 + 1)=7 ,= 6, Xj = -2,--8>所以a=x 1X2=0 或16 .说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X1 , X2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的例6求所有有理数r,使得方程rx2+(r+1)x + (r-1)=0的所有根是整数•分析首先对r=0和r工0进行讨论.r=0时，是关于x的一次方程；r工时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r消去.解当r=0时，原方程为x-仁0 ,所以x=1 .当r工0寸，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x i, X2,且x i>X2 ,贝U消去r得X1X2-X1-X2 = 2,所以(X i-1)(X2-1)=3 .ax 2 + 2(2a-1)x + 4(a-3)=0至少有一个整数根，求a 的值.解将原方程变形为(x + 2)2a= 2(x + 6).显然x + 2丰0于是2(^ + 6) a = ----------- + Cx+2)a由于a 是正整数，所以a > 1，即所以 x 2+2x- 8 < 0 ,(x + 4)(x-2) W 0 ,所以^! = 4, I ^! = 0, 心=2;= -1;所以 =-* 或1.综上所述，当心・$ 0, 1咏 方程的所有根都是整数.例7已知a 是正整数, 且使得关于x 的一元二次方程所以-4 W x W 2(X2)产当x=-4 , -3 , -1 , 0, 1 , 2 时，得 a 的值为1 , 6, 10, 3,”，1*所以咼妁值为1* 3, 6, 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4 , 2;当a=3 , 6,10时,方程只有一个整数根•有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解•例8已知方程x2+bx+c=0 与x2+cx + b=0各有两个整数根刘,和盟1，5!3,且盟1起2〉°*勒岂〉0*X2Cl)求证：X2<CQ J显;<0, Qi：⑵求证：b-1 W c W b1±(3)求b, c的所有可能的值.解⑴由X1X2> 0知，刘与X2同号.若X1> 0,则X2> 0 ,所以t)<CL与t> =盟；盟；〉。

一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有整数根的非负整数m 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设n 是正整数，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根，则n ＝____．3．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有整数根，则负整数k 的值为____．4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0只有正整数根，试求非负整数a 的值．【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为______．10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为____．11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有____组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为____．13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y的方程y2＋2ay＋b＝0的两个实数根为y1，y2，且满足x1·y1－x2·y2＝2 008.求b的最小值．一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为(C) A．0B．1C．2D．32．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝__3或4__．【解析】一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0，则n≤4.又∵n是正整数，∴n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根．所以n＝3或4.3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为__－2__．【解析】根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)＝4(2－k)≥0，解得k≤2且k≠1，x＝1±2－kk－1.因为原方程有整数根，则2－k＝4时，即k＝－2时，x有整数根．4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根，∴20－8k>0.∴k<5 2.(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k为1或2，∴x＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0只有正整数根，试求非负整数a的值．解：依题意知，关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0一定有实根，∴Δ≥0，即4－4a ≥0.解得a ≤1.∵a 是非负整数，∴a ＝1或a ＝0.当a ＝1时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＋1＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝1.∵1是正整数，∴a ＝1符合题意；当a ＝0时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＝0，解这个方程得x 2＝2，x 1＝0，∵0不是正整数，∴a ＝0不符合题意，故舍去．即所求的非负整数a ＝1.【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .解：将原方程化为x 2＋x ＋10－k (k －1)＝0.∵Δ＝1－4[10－k (k －1)]＝(2k －1)2－40，∴设(2k －1)2－40＝m 2(m ＞0)，则(2k －1)2－m 2＝40，∴(2k －1＋m )·(2k －1－m )＝40，∵2k －1＋m 与2k －1－m 均为整数，而40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，考虑到2k －1＋m 与2k －1－m 奇偶性相同，且2k －1＋m ＞2k －1－m ，故有⎩⎨⎧2k －1＋m ＝20，2k －1－m ＝2，或⎩⎨⎧2k －1＋m ＝10，2k －1－m ＝4，分别解得⎩⎨⎧k ＝6，m ＝9，或⎩⎨⎧k ＝4，m ＝3.分别代入原方程，得x ＝－1＋92＝4或x ＝－1＋32＝1，故当k ＝6时，正整数根为4，当k ＝4时，正整数根为1.7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．解：将原方程中的x 视作已知数，a 视作元，整理成一个关于a 的一元一次方程，即a (x ＋2)2＝2(x ＋6)．∵x ＋2≠0，∴a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2.又∵a 为正整数，∴2（x ＋6）（x ＋2）2≥1，解得－4≤x ≤2.把x ＝－4，－3－1，0，1，2代入到a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2中，得a ＝1，6，10，3，149，1.∴正整数a 的值为1，3，6，10.【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( D )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组【解析】 ∵x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )，∴(x －3)2＋(y －3)2＋(x ＋y )2＝18.则符合条件的整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为__2__013__．【解析】 先消去c ，再配方算.6a 2＋a ＋b 2－16b ＝2⇒6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1122＋(b －8)2＝66＋124. 观察易知上式中a ≤3，故a ＝1，2，3，经试算，a ＝1，2时，b 均不是整数；当a ＝3时，b ＝5，11，于是有(a ，b ，c )＝(3，5，13)，(3，11，61)，故abc max ＝3×11×61＝2 013.10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为__10__．【解析】 因为(b －a 1)(b －a 2)(b －a 3)(b －a 4)(b －a 5)＝2 009，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是五个不同的整数，所以b －a 1，b －a 2，b －a 3，b －a 4，b －a 5也是五个不同的整数．又因为2 009＝1×()－1×7×()－7×41，所以b －a 1＋b －a 2＋b －a 3＋b －a 4＋b －a 5＝41.由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9，可得b ＝10.11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有__3__组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 【解析】 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .再由题中关系式得x 31＋x 32＝()x 1＋x 2⎣⎡⎦⎤()x 1＋x 22－3x 1x 2＝()x 1＋x 22－2x 1x 2＝x 1＋x 2，即－a ()a 2－3b ＝a 2－2b ＝－a .(1)若a ＝0，则b ＝0.(2)若a ≠0，则a 2－3b ＝1，a 2－2b ＋a ＝0，于是a ＋b ＝－1，()1＋b 2－3b －1＝0，b ()b －1＝0.所以b ＝0或b ＝1，即有如下三组a ，b 的值满足条件⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1，则与之对应的两根x 1，x 2为⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝0，或⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝1，或⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝1，共三组． 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为__x ＝1__．【解析】 x 3＋4x 2－3x －2＝0∵原方程可化为2＝x (x 2＋4x －3)，∴2是x 的倍数，∵x 为正整数，∴x ＝1或2，当x ＝1时，x 2＋4x －3＝2；当x ＝2时，x 2＋4x －3＝9≠2舍去．∴x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为x ＝1.13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y 的方程y 2＋2ay ＋b ＝0的两个实数根为y 1，y 2，且满足x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008.求b 的最小值．解：由韦达定理，得x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝b ；y 1＋y 2＝－2a ，y 1·y 2＝b . 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2a ＝－（x 1＋x 2）＝（－x 1）＋（－x 2），y 1·y 2＝b ＝（－x 1）·（－x 2）， 解得⎩⎨⎧y 1＝－x 1，y 2＝－x 2，或⎩⎨⎧y 1＝－x 2，y 2＝－x 1.把y 1，y 2的值分别代入x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008得x 1·(－x 1)－x 2·(－x 2)＝2 008或x 1·(－x 2)－x 2·(－x 1)＝2 008(不成立)．即x 22－x 21＝2 008，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝2 008因为x 1＋x 2＝2a >0，x 1·x 2＝b >0，所以x 1>0，x 2>0.于是有2a ·4a 2－4b ＝2 008，即a ·a 2－b ＝502＝1×502＝2×251.因为a ，b 都是正整数，所以⎩⎨⎧a ＝1，a 2－b ＝5022，或⎩⎨⎧a ＝502，a 2－b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝2，a 2－b ＝2512，或⎩⎨⎧a ＝251，a 2－b ＝4. 分别解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1－5022，或⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1， 或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4－2512，或⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4. 经检验只有⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1，⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4符合题意．所以b 的最小值为b 最小值＝2512－4＝62 997.。

一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么q p p q +的值是（ ）A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22127 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根.解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk k p k+的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则ba ab +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．38365 6．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．21-D ．21 8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（） A ．100 B ．400 C ．700 D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数.10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.11．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.。

含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。

知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。

含参数的一元二次方程的整数解问题数学思维的教育第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题数学思维的教育对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a^O) 的实根情况，可以用判别式A =b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质•本讲结合例题来讲解一些主要的方法.例1 m是什么整数时，方程(m2-l) x2-6 (3m-l) x+72=0有两个不相等的正整数根.解法1 首先，H M HO,皿工 + 1. A =36 (m-3)2 >0,所以m^3.用求根公式可得12m +1由于Xi, X2是正整数，所以m-l=l, 2, 3, 6, m+l=l, 2, 3, 4, 6, 12,解得m=2・这时Xi=6, X2=4・解法2首先，朋-1工0, m^± 1 •设两个不相等的正整数根为X1 , X2,则由根与系数的关系知72所以m-仁2, 3，4，6，8，9，12，18，24, 36，72，即卩m= 3, 4，5，7，9，10，13，19，25，37，73,只有m=4, 9, 25才有可能，即m=± 2, ±3,± 5.经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根.说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程2 2 2 2a x -(3a -8a)x + 2a -13a + 15=0 (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求 a的值.分析“至少有一个整数根”应分两种情况： 一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根， 一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它 的两个根解出来.解因为a z 0,所以- 3a) i3a )a-4?(2a a -13a + 15)-宓-8a) i (a a + 2a) = 2?所以所以只要a 是3或5的约数即可，即a=1, 3,5.例3设m 是不为零的整数，关于x 的二次 方程2mx-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m 的值.肿■ fl为'r 和一 Qd 十 2il) ” t2?="I解一个整系数的一元二次方程有有理根, 那么它的判别式一定是完全平方数•令2 2△ =(m-1) -4m= n ,其中n是非负整数，于是2 2m-6m+1= n,所以(m-3)2 - n2=8,(m-3 + n)(m-3-n) = 8.由于m-3 + n A m-3-n,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3+ n与m-3-n同奇偶，所以Jzu - 3+n = 4?zn - 3+n=- -2?［：n - 3-n = 2 s (t n ・ 3 - n = .L所以= D这时说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决.例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a -2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.解当a=0时，原方程变成-6x-2=0,无整数解.当a工0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式2△ = 4(a-3) -4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n2，则n是正奇数，冃详3(否I服=0).折加=啤.由求龍外弍舒编-9 ±h 3 + n所臥也亠_[ + - I +要使X1为整数，而n为正奇数，只能n=1, 从而a=2.要使X2为整数，即n-3 | 4, n可取1, 5, 7,从而a=2，-4, -10.综上所述，a的值为2, -4, -10.说明本题是前面两种方法的“综合"•既要用判别式是平方数，又要用直接求根.有时候, 往往是几种方法一同使用.例5已知关于x的方程2x + (a -6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为X1> X2，由韦达定理得从上面两式中消去a得X1X2+X1+X2 = 6,所以(X 1 + 1)(X 2+1)=7 ,臥以所以a=x i X2=0 或16.说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X i, X2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的.例6求所有有理数r，使得方程2rx +(r+1)x + (r -1)=0的所有根是整数.分析首先对r=0和r半0进行讨论.r=0时, 是关于x的一次方程；r工0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效•可用韦达定理，先把这个有理数r消去.解当r=0时，原方程为x-仁0,所以x=1.当r工0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为X i，X2，且X i>X2，则综匕祈述，当「= J ・队闻，方秽箭所有眾鄆杲琴敎例7已知a 是正整数，且使得关于 元二次方程2ax + 2(2a -1)X + 4(a -3)=0至少有一个整数根，求a 的值. 解将原方程变形为(X + 2)2a= 2(X + 6).显然x + 2工0,于是2(x * 6)由于a 是正整数，所以a > 1,即消去r 得X i X 2-x i -X 2 = 2,X 的一 所以（X 1-1）（X 2-Vi £ 一九祈以型十勺〔“卽所以X2+2X-8W 0,(x + 4)(x -2) < 0,所以-4W X< 2(X 丰-2).当X=-4, -3, -1, 0, 1, 2时，得a的值为1, 6, 10, 3, 14—.1-所以湖值为I, X 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4, 2;当a=3, 6, 10时，方程只有一个整数根.有时候，在关于X的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解.例8已知方程x2+bx+c=0与x2+cx + b=0各有两个整数根X1 , X21古》0* xjxj>0,(0 求iiL 冷弋比^3<u. n；Wg, Ej<o((2) 求证：b-1< c< b+ 1;(3) 求b, c的所有可能的值.解(1)由X1X2>0知，X1与X2同号.若X1>0, 则X2 > 0,这时b = Hi-丽丸吒0・A睫JS，所叽0,同舞可证)；K山(2)由⑴知，X i V0, X2v0,所以x i<-1, -1 .由韦达定理c-(b-1)=x 1X2 + X i + X2 + 1=(x1 + 1)(x2+1) >0, 所以c > b-1.同理有b -〔点-1) = + 1=(W1 +0 g；知)> D.所以c < b+1,所以b -1< c< b+1.⑶由⑵ 可知，b与c的关系有如下三种情况:(i)c=b + 1.由韦达定理知X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,所以(x 1 + 1)(x 2 + 1)=2 ,‘野十1 二-I, K| + 1 =解得X1 + X2=-5, XX=6,所以b=5, c=6.(ii)c=b •由韦达定理知X i X2=-(X i + X2),所以(X i + 1)(X 2+ 1)=1 ,所以X i=X2=-2,从而b=4, c=4.(iii)c=b-1.由韦达定理知-R； - Mj) -Xt • xi - It所以G；i L GJ解得狀；+衍=5 中；=&所以b",综上所述，共有三组解：(b , c)=(5 , 6), (4，4)，(6，5).。

一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。

解形如02=++c bx ax 的整数根的四种思维方法形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。

因此成为近年来各种数学竞赛的热点。

下面就以竞赛试题为例，谈谈这类题的四种解题思维方法。

一、 利用因式分解构造不定方程解题当c bx ax ++2能够直接分解因式时，可以将原方程化为0))((2211=++n x m n x m 的形式，求出两根，消去两根中表示已知量的字母，得到关于两根的不定方程，通过解不定方程求解。

例1 （2000年全国初中联赛试题）设关于x 的二次方程-++-2222()86(k x k k 4)462=+-k x k 的两个根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

解：原方程可化为0)2)(2()462()2)(4(22=+-+-+--k k x k k x k k － 即 0)]2()2)][(2()4[(=++--+-k x k k x k因为是二次方程，所以 0)2)(4(≠--k k所以 241224214221---=-+-=---=---=k k k x k k k x ， 得 )11(1221242121-≠-≠+-=-+-=-x x x k x k ，， 消去k ，得023121=++x x x 即 2)3(21-=+x x由于21x x ，都是整数故 ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=+==+-=132231132212121x x x x x x解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧⎩⎨⎧-==-=-=425122212121x x x x x x 所以 31036，，=k 经检验31036，，=k 都满足题意。

通过上例可以看出，解这类题的思维方法是：第一步，若二次项系数是含字母的代数式时，要分它为0和不为0的两种情况讨论，当它不为0时，将方程化为0))((2211=++n x m n x m 的形式；第二步，求出方程的两根；第三步，消去表示已知量的字母，构造关于两根的不定方程；第四步，解不定方程，并检验。