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6.3哈夫曼树6.3.1基本术语1.路径和路径长度若在一棵中存在着一个结点序列k1 ,k2,…,kj，使得ki是k1+i 的双亲(1ji<≤)，则称此结点序列是从k1～kj的路径，因树中每个结点只有一个双亲结点，所以它也是这两个结点之间k 1～kj所经过的分支数称为这两点之间的路径长度，它等于路径上的结点数减1(实际就是边数)。
如在图5-19(a)所示的二叉树中，从树根结点L到叶子结点P的路径为结点序列L、M、S、P，路径长度为3。
(a) (b)(c) (d)图5-19 二叉排序树的删除2.结点的权和带权路径长度在许多应用中，常常将树中的结点赋上一个有着某种意义的实数，我们称此实数为该结点的权。
结点的带权路径长度规定为从树根结点到该结点之间的路径长度与该结点上权的乘积3.树的带权路径长度树的带权路径长度定义为树中所有叶子结点的带权路径长度这和，通常记为：2 WPL = ∑=n i i i lw 1其中n 表示叶子结点的数目，i w 和i l 分别表示叶子结点i k 的权值和根到i k 之间的路径长度 。
4.哈夫曼树哈夫曼(Huffman)树又称最优二叉树。
它是n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中，带权路径长度 WPL 最小的二叉树。
因为构造这种树的算法是最早由哈夫曼于1952年提出的，所以被称之为哈夫曼树。
例如，有四个叶子结点a 、b 、c 、d ，分别带权为9、4、5、2，由它们构成的三棵不同的二叉树（当然还有其它许多种）分别如图5-20(a)到图5-20(c)所示。
b ac a b cd d c a b d(a) (b) (c)图5-20 由四个叶子结点构成的三棵不同的带权二叉树 每一棵二叉树的带权路径长度WPL 分别为：(a) WPL = 9×2 + 4×2 + 5×2 + 2×2 = 40(b) WPL = 4×1 + 2×2 + 5×3 + 9×3 = 50(c) WPL = 9×1 + 5×2 + 4×3 + 2×3 = 37其中图5-20(c)树的WPL 最小，稍后便知，此树就是哈夫曼树。
一、基础知识题6.1设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1，求树T中的叶子数。
【解答】设度为m的树中度为0,1,2,…,m的结点数分别为n0, n1, n2,…, nm，结点总数为n，分枝数为B，则下面二式成立n= n0+n1+n2+…+nm (1)n=B+1= n1+2n2 +…+mnm+1 (2)由(1)和(2)得叶子结点数n0=1+即： n0=1+(1-1)*4+(2-1)*2+(3-1)*1+(4-1)*1=86.2一棵完全二叉树上有1001个结点，求叶子结点的个数。
【解答】因为在任意二叉树中度为2 的结点数n2和叶子结点数n0有如下关系：n2=n0-1,所以设二叉树的结点数为n, 度为1的结点数为n1，则n= n0+ n1+ n2n=2n0+n1-11002=2n0+n1由于在完全二叉树中，度为1的结点数n1至多为1，叶子数n0是整数。
本题中度为1的结点数n1只能是0，故叶子结点的个数n0为501.注：解本题时要使用以上公式，不要先判断完全二叉树高10，前9层是满二叉树，第10层都是叶子，……。
虽然解法也对，但步骤多且复杂，极易出错。
6.3 一棵124个叶结点的完全二叉树，最多有多少个结点。
【解答】由公式n=2n0+n1-1,当n1为1时，结点数达到最多248个。
6.4．一棵完全二叉树有500个结点，请问该完全二叉树有多少个叶子结点？有多少个度为1的结点？有多少个度为2的结点？如果完全二叉树有501个结点，结果如何？请写出推导过程。
【解答】由公式n=2n0+n1-1，带入具体数得，500=2n0+n1-1，叶子数是整数，度为1的结点数只能为1，故叶子数为250，度为2的结点数是249。
若完全二叉树有501个结点，则叶子数251，度为2的结点数是250，度为1的结点数为0。
6.5 某二叉树有20个叶子结点，有30个结点仅有一个孩子，则该二叉树的总结点数是多少。
第6章树和二叉树习题解答一、下面是有关二叉树的叙述，请判断正误（每小题1分，共10分）（√）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。
（×）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。
（√）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。
（×）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。
（×）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。
（应当是二叉排序树的特点）（×）6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。
（应2i-1）（×）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。
（×）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。
（应2i-1）（√）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。
（正确。
用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。
由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。
）即有后继链接的指针仅n-1个。
（√）10. 〖01年考研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。
最快方法：用叶子数＝[n/2]＝6，再求n2=n0-1=5二、填空（每空1分，共15分）1．由３个结点所构成的二叉树有5种形态。
2. 【计算机研2000】一棵深度为6的满二叉树有n1+n2=0+ n2= n0-1=31 个分支结点和26-1 =32个叶子。
注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。
3．一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为9。
（注：用⎣ log2(n) ⎦+1= ⎣ 8.xx ⎦+1=94.【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有700个结点，则共有350个叶子结点。
第6章广义表z6.1 广义表的基本概念z6.2 广义表的存储结构z6.3 广义表的操作算法16.1 广义表的基本概念广义表（列表）的概念-n( ≥0 )个表元素组成的有限序列，记作LS= ( a1, a1, a2, …, a n)LS是表名，a i是表元素，它可以是单个元素(称为原子) ，可以是表(称为子表) 。
n为表的长度。
n= 0 的广义表为空表。
n> 0时，表的第一个表元素称为广义表的表头(head)，除此之外，其它表元素组成的表称为广义表的表尾(tail)。
2广义表举例：（1）A=（）（2）B=（e）（3）C=（a, (b, c, d) )（4）D=（A，B，C）（5）E= (a , E）9任意一个非空广义表，均可分解为表头和表尾。
9对于一个非空广义表，其表头可能是原子，也可能是子表；而表尾一定是子表。
3广义表的基本操作：•结构的创建和销毁InitGList(&L); DestroyGList(&L); CreateGList(&L, S); CopyGList(&T, L);•状态函数GListLength(L); GListDepth(L);GListEmpty(L); GetHead(L); GetTail(L);•插入和删除操作InsertFirst_GL(&L, e);DeleteFirst_GL(&L, &e);•遍历Traverse_GL(L, Visit());66. 2 广义表的存储结构z由于广义表中的元素不是同一类型，因此难以用顺序结构表示，通常采用链接存储方法存储广义表，并称之为广义链表。
z由于广义表中有两种数据元素，原子或子表，因此，需要两种结构的结点：一种是表结点，一种是原子结点。
z下面介绍一种广义表的链式存储结构。
78扩展的线性链表表示法：-子表结点由三个域组成：标志域、表头指针域和指向下一个元素的指针域；-原子结点的三个域为：标志域、值域和指向下一个元素的指针域。
习题六一、用适当内容填空1．数据结构是指具有相同特征、相互关联的数据集合。
2．数据结构主要研究数据的逻辑结构、数据的存储结构，以及算法。
3．数据之间有四种逻辑结构，分别是集合、线性、树形和图形。
4．根据数据结构中数据元素之间前件与后件关系的复杂程度，将数据的逻辑结构分为线性结构和非线性结构。
5．在数据的存储结构中，不仅要存放各个数据元素，还要存放数据元素之间前后件关系信息。
数据的存储结构是逻辑结构在计算机存储器中的表示。
6．数据元素在计算机中通常有4种存储方式，即顺序、链式、索引和散列。
7．顺序存储结构是指在内存中开辟一块连续的单元用于存放数据，逻辑上相邻的结点在物理位置上也邻接，结点之间的逻辑关系由存储单元的相邻关系来体现。
8．在链式存储结构中，结点由两部分组成：一部分用于存放数据元素的值，称为数据域；另一部分用于存放前件或后件的存储地址，称为指针域。
链式存储结构是通过指针反映出数据元素之间的逻辑关系。
9．算法的设计基于数据的逻辑结构，而算法的实现依赖于数据的存储结构。
10．一个算法应该具有的基本特征有可行性、确定性、有穷性、输入性和输出性。
11．算法的复杂度有时间复杂度和空间复杂度。
12．栈是在表的同一端进行插入运算和删除运算的线性表。
将允许进行插入运算和删除运算的一端称为栈顶，另一端称为栈底。
栈遵循先进后出或后进先出的原则。
13．队列是在一端进行插入运算，而在另一端进行删除运算的线性表。
允许删除的一端称为队头，允许插入一端称为队尾。
队列遵循先进先出或后进后出的原则。
14．所谓循环队列是将队列的存储空间想象成一个首尾相连的环状空间。
15．判断循环队列为满的条件是(rear+1)%n = front 。
16．判断循环队列为空的条件是front = rear 。
17．树是一种常用的非线性结构，树结构中结点之间即具有分支关系又具有层次关系。
18．在树结构中，有且只有一个根结点，根结点有0 个前件，其他结点有 1 个前件。
