2020高考数学(文)二轮复习：46分大题保分练(二)

46分大题保分练(一)(建议用时：40分钟)17．(12分)(20xx·石家庄模拟)已知△ABC 的面积为33、且内角A 、B 、C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A 、求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点、求线段BD 长的最小值．[解] (1)∵△ABC 的三个内角A 、B 、C 依次成等差数列、∴B ＝60°. 设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 、由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sinB 可得ac ＝12.∵sin C ＝3sin A 、∴由正弦定理知c ＝3a 、∴a ＝2、c ＝6. △ABC 中、b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28、∴b ＝27. 即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线、∴BD →＝12(BC →＋BA →)、∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos∠ABC )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9、当且仅当a ＝c 时取“＝”、∴|BD →|≥3、即线段BD 长的最小值为3.18．(12分)(20xx·武汉模拟)如图、已知三棱锥P ­ABC 中、PC ⊥AB 、△ABC 是边长为2的正三角形、PB ＝4、∠PBC ＝60°.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)设F 为棱PA 的中点、在AB 上取点E 、使得AE ＝2EB 、求三棱锥F ­ACE 与四棱锥C ­PBEF 的体积之比．[解] (1)在△PBC 中、∠PBC ＝60°、BC ＝2、PB ＝4、 由余弦定理可得PC ＝23、 ∴PC 2＋BC 2＝PB 2、∴PC ⊥BC 、又PC ⊥AB 、AB ∩BC ＝B 、∴PC ⊥平面ABC 、 ∵PC ⊂平面PAC 、∴平面PAC ⊥平面ABC .(2)设三棱锥F ­ACE 的高为h 1、三棱锥P ­ABC 的高为h 、。

2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题二1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A 解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C. 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称 答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36 答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4 答案 C解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。

46分大题保分练(一)(建议用时：40分钟)前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮每一次开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一段时间复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜高考。

17．(12分)(2019·石家庄模拟)已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．[解] (1)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝60°. 设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12.∵sin C ＝3sin A ，∴由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6. △ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27. 即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD →＝12(BC →＋BA →)，∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos ∠ABC )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，∴|BD →|≥3，即线段BD 长的最小值为3.18．(12分)(2019·武汉模拟)如图，已知三棱锥P -ABC 中，PC ⊥AB ，△ABC 是边长为2的正三角形，PB ＝4，∠PBC ＝60°.(1)证明：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)设F 为棱P A 的中点，在AB 上取点E ，使得AE ＝2EB ，求三棱锥F -ACE 与四棱锥C -PBEF 的体积之比．[解] (1)在△PBC 中，∠PBC ＝60°，BC ＝2，PB ＝4， 由余弦定理可得PC ＝23， ∴PC 2＋BC 2＝PB 2，∴PC ⊥BC ，又PC ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，∴PC ⊥平面ABC ，∵PC ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面ABC .(2)设三棱锥F -ACE 的高为h 1，三棱锥P -ABC 的高为h ， 则V F -ACE＝13×S △ACE ×h 1 ＝13×S △ABC ×23×h ×12 ＝13×S △ABC ×h ×13 ＝13×V P -ABC .∴三棱锥F -ACE 与四棱锥C -PBEF 的体积之比为1∶2.19．(12分)(2019·昆明模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期一天)，此商店每天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该食品100天的销售量如下表：(2)视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？[解](1)平均每天销售的份数为15×10＋16×20＋17×30＋18×20＋19×10＋20×10100＝17.3.(2)当购进17份时，利润为17×4×70100＋(16×4－8)×20100＋(15×4－16)×10100＝47.6＋11.2＋4.4＝63.2(元)．当购进18份时，利润为18×4×40100＋(17×4－8)×30100＋(16×4－16)×20100＋(15×4－24)×10100＝28.8＋18＋9.6＋3.6＝60(元)．63．2＞60，可见，当购进17份时，利润更大．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α＋2y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0<r <2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围．[解] (1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0. 令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1，∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12ty ＝32t(t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1＞0，t 2＞0，∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|1－x |－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤1的解集；(2)若函数f (x )的最大值为m ，正实数p ，q 满足p ＋2q ＝m ，求2p ＋2＋1q 的最小值．[解] (1)不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，1－x ＋x ＋3≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜1，1－x －x －3≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1－x －3≤1， 解得x ≥－32， ∴f (x )≤1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－32. (2)法一：∵|1－x |－|x ＋3|≤|1－x ＋x ＋3|＝4， ∴m ＝4，p ＋2q ＝4，∴(p ＋2)＋2q ＝6，2p ＋2＋1q ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2p ＋2＋1q (p ＋2＋2q )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4＋4q p ＋2＋p ＋2q ≥16⎝⎛⎭⎪⎪⎫4＋24q p ＋2·p ＋2q ＝43， 当且仅当p ＋2＝2q ＝3，即⎩⎨⎧p ＝1q ＝32时，取“＝”，∴2p ＋2＋1q的最小值为43. 法二：∵|1－x |－|x ＋3|≤|1－x ＋x ＋3|＝4， ∴m ＝4，p ＋2q ＝4，∴p ＝4－2q ，q ∈(0,2)， 2p ＋2＋1q ＝26－2q ＋1q ＝2q ＋6－2q (6－2q )q ＝33q －q 2＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫q －322＋94， ∵q ∈(0,2)，∴当q ＝32时，2p ＋2＋1q 取得最小值43.。

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案) 数 学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数=534ii +- （A ） （B ）1i -1i -+（C ） （D ）1i +1i --【解析】复数，选C.i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435【答案】C（2）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选 B.yx z 23-=223z x y -=223z x y -=)2,0(C 223zx y -=y x z 23-=423-=-=y x z 【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选 C.2,2330==-=n S 3,83322==-+=n S 4,2633823==-+=n S 26=S 【答案】C（4） 已知，则a ，b ，c 的大小关系为120.2512,(),2log 22a b c -===（A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选 A.122.02.022)21(<==-b a b <<114log 2log 2log 25255<===c a b c <<【答案】A（5）设xR ，则“x>”是“2x2+x-1>0”的∈12 （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.0122>-+x x 21>x 1-<x 21>x 0122>-+x x【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） cos 2y x =，xR ∈（B ） xy 2log =，xR 且x ≠0∈（C ） 2x xe e y --=，xR ∈ （D ）31y x =+，xR ∈【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.x y 2log =0>x x x y 22log log ==)2,1( 【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()sin f x x ω=ω4π)0,43(πω（A ） （B ）1 C ） （D ）21353【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选 D.4π)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω 【答案】D（8）在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足=，=(1-)， R 。

2020年高考数学第二轮复习卷二说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 球的表面积公式 S ＝2π4R 其中R 表示球的半径 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ） 球的体积公式 3π34R V =其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1．设全集U ＝R ，}2|{>=x x M ，}21|{<=xx N ，那么下列关系中正确的是（ ） A ．M ＝N B ．M N ≠⊂ C ．N M ≠⊂ D ．φ=N M I2．（理）已知i z i 32)33(-=+⋅那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（文）要从其中有50个红球的1000个球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（ ）A ．5个B ．10个C ．20个D ．45个 3．如果函数xa y -=（a ＞0，1≠a ）是增函数，那么函数11log )(+=x x f a的图像大致是（ ）4．若实数x ，y 满足等式3)2(22=+-y x ，那么xy的最大值是（ ） A ．33 B ．23 C ．3 D ．21 5．以平行六面体相邻两个面上互相异面的两条面对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面的体积的（ ）A ．61 B ．41 C ．31 D ．51 6．已知奇函数f （x ）在（-∞，0）为减函数，且f （2）＝0，则不等式（x -1）f （x -1）＞0的解集为（ ）A ．{x |-3＜x ＜-1}B ．{x |-3＜x ＜1或x ＞2}C ．{x |-3＜x ＜0或x ＞3}D ．{x |-1＜x ＜1或1＜x ＜3} 7．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为225，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．函数f （x ）与xx g )21()(=的图像关于直线y ＝x 对称，则f （4x -2x ）的单调递增区间为（ ） A ．（-∞，2） B ．（0，2） C ．（2，4） D ．（2，＋∞）9．在长方体ABCD -1111D C B A 中，C B 1和D C 1与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线C B 1和DC 1所成的角的余弦值为（ ）A ．63 B ．62C ．36 D ．46 10．（理）一批零件有5个合格品和2个次品，安装机器时，从这批零件中任意取出一个，若每次取出的次品不再放回，且取得合格品之前取出的次品数为ξ ，则E ξ 等于（ ）A ．212 B ．75 C ．215D ．31（文）曲线在53123+-=x x y 在1=x 处的切线的倾斜角为（ ）A ．4π3B ．3πC ．4πD ．6π11．已知函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线6π-=x 对称，则函数y ＝a sin2x -cos2x 的图象关于下列各点中对称的是（ ） A ．（3π-，0） B ．（6π-，0） C ．（6π，0） D ．（12π，0）12．甲、乙、丙、丁与小强一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁只赛了1盘，则小强已经赛了（ ）A ．4盘B ．3盘C ．2盘D ．1盘题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13．已知集合P ＝{（x ，y ）|y ＝m }，Q ＝{（x ，y ）|y ＝1+xa ，a ＞0，a ≠1}，如果P I Q 有且只有一个元素，那么实数m 的取值范围是________．14．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是________．15．设α ，β 表示平面，a ，b 表示不在α 内也不在β 内的两条直线，给出下列四个论断：①a ∥b ；②α ∥β；③a ⊥β ；④b ⊥β ，若以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，可以构造一些命题，写出你认为正确的一个命题________．16．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知正项等比数列{n a }满足条件：①12154321=++++a a a a a ；②251111154321=++++a a a a a ，求{n a }的通项公式n a ．18．（12分）设a ＞0，函数f （x ）＝3x -ax 在[1，＋∞）上是单调函数．（1）求实数a 的取值范围；（2）设0x ≥1，f （x ）≥1，且f （f （0x ））＝0x ，求证：f （0x ）＝0x ．注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分． 19甲．（12分）如图．已知斜三棱柱ABC -111C B A 的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π，且侧面11A ABB 垂直于底面AB C ．（1）求证：点1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点；（2）求二面角C -1AB -B 的大小；（3）判断C B 1与A C 1是否垂直，并证明你的结论．19乙．（12分）如图，以正四棱锥V -ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O -xyz ，其中Ox∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．（1）求cos （，）；（2）记面BCV 为α ，面DCV 为β ，若∠BED 是二面角α-VC -β 的平面角，求∠BE D ．20．（12分）学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤浇开水每吨开水费为S 元，用电炉烧开水每吨开水费为P 元． 52.05++=y x S ，y y P -+=76202.10．其中x 为每吨煤的价格，y 为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉烧水，否则就用电炉烧水．（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少?21．（12分）已知函数f （x ）＝3log （ax ＋b ）图象过点A （2，1）和B （5，2）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）记)(3x f n a =，*N ∈n ，是否存在正数k ，使得)11)(11(22aa ++…12)11(+≥+n k a n 对一切*N ∈n 均成立，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由．22．（14分）（理）已知椭圆C 的方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0），双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线为1l 、2l ，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥1l ，又l 与2l 交于P 点，设l 与椭圆C 的两交点从左到右依次为B 、A （如图所示）．求：||||PA PB 的最大值及取得最大值时椭圆C 的率心率e 的值．（文）中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆，率心率22=e ，此椭圆与直线03233=+-y x 交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆方程；（2）若M 是椭圆上任意一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，求21MF F ∠的取值范围；参考答案1．C 2．（理）C （文）A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．D 10．（理）D （文）A 11．B 12．C 13．)1(∞+， 14．42515．①②④⇒③或①②③⇒④ 16．24或69 17．解析：设等比数列的公比为q ，由已知条件，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++②．①2511112123333322333323q a q a a a q a q q a q a a q a q a①÷②得：2512123=a ，所以 5113=a ．①×②，得5511122=++++q q q q ，即 056)1()1(2=-+++q q q q ．71=+q q 或81-=+qq ．（舍去） 由 71=+qq 得：0172=+-q q 2537±=q∴ 3)2537(511-±=⋅n n a 18．解析：（1）任取1x 、∈2x [1，＋∞]且1x ＜2x ，则))(()()()()(2121221213123212a x x x x x x ax x ax x x f x f -++-+---=-． ∵ 211x x <≤，∴ 3212122>++x x x x ．显然，不存在一个常数a ，使得a x x x x -++212122恒为负数．∵ f （x ）有确定的单调性， ∴ 必存在一个常数a ，使a x x x x -++212122恒为正数，即a x x x x >++212122．∴ a ≤3，这时有f （2x ）＞f （1x ）． ∴ f （x ）在[1，＋∞)上是增函数，故a 的取值范围是（0，3]．（2）设f （0x ）＝u ，则f （u ）＝0x ，于是⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03030x au u u ax x ，则00330)()(x u u x a u x -=---， 即 0)1)((20200=-+++-a u u x x u x ． ∵ 10≥x ，1≥u ， 32020≥++u u x x ，又∵ 30≤<a ，∴ 012020>-+++a u u x x ． ∴ 00=-u x ，即0x u =，故00)(x x f =．19．解析：（甲）（1）如图，在平面1BA 内，过1B 作D B 1⊥AB 于D ， ∵ 侧面1BA ⊥平面ABC ，∴ D B 1⊥平面ABC ，BA B 1∠是1BB 与平面ABC 所成的角，∴ BA B 1∠＝60°． ∵ 四边形11A ABB 是菱形， ∴ △1ABB 为正三角形，∴ D 是AB 的中点，即1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点． （2）连结CD ，∵ △ABC 为正三角形，又∵ 平面B A 1⊥平面ABC ，平面B A 1I 平面ABC ＝AB ，∴ CD ⊥平面B A 1，在平面B A 1内，过D 作DE ⊥1AB 于E ，连结CE ，则CE ⊥1AB ， ∴ ∠CED 为二面角C -1AB -B 的平面角．在Rt △CED 中，360sin 2==οCD ，连结1BA 于O ，则3=BO ，2321==BO DE ， ∴ 2tan ==∠DECDCED ． ∴ 所求二面角C -1AB -B 的大小为arctan2． （3）答：A C C B 11⊥，连结1BC ， ∵ 11CC BB 是菱形 ∴ C B BC 11⊥∴ CD ⊥平面B A 1，AB D B ⊥1， ∴ C B 1⊥AB ， ∴ C B 1⊥平面1ABC ， ∴ C B 1⊥A C 1．（乙）（1）依题意，B （a ，a ，0），C （-a ，a ，0），D （-a ，-a ，0），E ，，，)222(ha a - ∴ 23(a -=，2a -，)2h，2(a =，23a ，)2h ， ∴ 42322)232()223(22h a h h a a a a +-=+-+-=⋅⋅⋅⋅． 222221021)2()2(23(||h a h a a +=+-+-=．222221021)2()2()23(||h a h a a DE +=++=． 由向量的数量积公式，有BE cos(，DE 222222222210610211021423|h a h a h h a h a ++-=+++-=⋅⋅． （2）∵ ∠BED 是二面角α -VC -β 的平面角，∴ CV BE ⊥，即有0=⋅CV BE 又由 C （-a ，a ，0），V （0，0，h ），得=CV （a ，-a ，h ），且23(a BE -=，2a -，)2h， ∴ 0223222=++-=⋅h a a CV BE ．即 a h 2=． 此时有 BE cos(，)DE 31)2(10)2(610622222222-=++-=++-=a a a a h a h a ． BED (=∠，）31arccos π)31arccos(-=-=． 20．解析：（1）由题意，得5x ＋0.2y ＋5＝10.2y ＋20y -76， 即 )760(17642≤<--+=y y y x（2）由S ≤P ，得153)176(2151764)76(22+---=+-+--≤y y y x ． ∵ 7660≤≤y ．∴ 4760≤-≤y ． ∴ 当176=-y 时，153max =x ，此时75=y ． 答：每吨煤的最高价为153元．21．解析：（1）由已知，得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==12b a ，．∴ )12(log )(3-=x x f （2）123)12(log 3-==-n a n n ．*N ∈n设存在正数k ，使得⋅++)11)(11(21a a …12)11(+≥+⋅n k a n 对一切*N ∈n 均成立，则⋅+++≤)11)(11(12121a a n k …)11(n a +⋅．记⋅+++=)11)(11(121)(21a a n n F …)11(na +⋅，则)1(+n F ⋅+++=)11)(11(32121a a n …)11(n a +⋅)11(1++n a ． ∵1)1(2)1(21)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ．∴ )()1(n F n F >+，∴ F （n ）是随n 的增大而增大，∵ *N ∈n ，∴ 当1=n 时，332)1()(min ==F n F ． ∴ 332≤k ，即k 的最大值为332． 22．（理）解析：设C 的半焦距为c ，由对称性，不妨设1l ：y x a b -=，2l ：y ＝x ab= 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==)(c x ba y x aby ，，得)(2c ab c a P ，，故点P 在椭圆的右准线ca x 2=上．设点A 内分有向线段的比为λ，由定比分点坐标公式求出点A 的坐标为)11(2λλλλ+++⋅⋅c ab c a c ，， ∵ 点A 在椭圆C 上，将点A 的坐标代人椭圆方程化简，整理，有22242222)1()(λλλ+=++c a a a c ，两边同除以4a ，由ac e =得2222)1()(λλ+=+e e ， ∴ 2233)22()2(23]22)2[(222222422-=+---≤+-+--=--=⋅e e e e e e e λ 2)12(-=．当且仅当22222ee -=-即222-=e 时，12max -=λ 分别过A 、B 作椭圆C 的右准线的垂线，垂足分别为N 、M ． 设|PB|＝t|P A|，可得|BM|＝t|AN|， ∵e BM BF =||||，∴ e BF BM ||||=，同理，有eAF AN ||||=，∴ ||||AF t BF =．∴ ||)1(||||||AF t AF BF AB +=+=又∵ ||)1(||||||PA t PA PB AB -=-= ∴ ||)1(||)1(PA t AF t -=+，∴11||||+-=t t AP FA ，又∵ λ=||||AP FA （∵ A 为的内分点）， ∴λ=+-11t t ， 由12-≤λ，解不等式1211-≤+-t t ，得12+≤t ， ∴||||PA PB 的最大值为12+，此时椭圆C 的离心率22-=e ． （文）（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ．∵ 22==a c e ，21222=-a b a ，222b a =． ∴ 椭圆方程化简为 122222=+by b x ． ∵ 椭圆与直线相交，解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+②①3322203233122222222x y b y x y x b y b x由①代入②，代简得0238338322=-++b x x ． 根据韦达定理，设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+．，929893822121b x x x x又∵ OB OA ⊥，1-=⋅OB OA k k ，12211-=⋅x y x y ，02121=+y y x x ③ 由②得 34)(332)332)(332(21212121+++=++=x x x x x x y y 把④代入③，得034)(33222121=+++x x x x ，即 034)938(332)3298(22=+-+-b ．代简得 12=b ． ∴ 所求椭圆方程为 1222=+y x ．（2）在椭圆1222=+y x 中，2=a ，1==c b ，22222b c b a =+=， ∵ a MF MF 2||||21=+，||2||21MF a MF -= ||||24|||)|2(||||2||||||cos 212222221221222121MF MF cMF MF a MF MF F F MF MF MF F ⋅⋅-+-=-+=∠||||2)|(|2||||24])|[(|2||||244||4||221222122222122222MF MF a MF MF MF b a a MF MF MF c a MF a MF ⋅⋅-=+--=+-+-=其中：c a MF a +≤≤||2．当a MF =||2时，cos 21MF F ∠有最小值为0，此时，21MF F ∠有最大值为2π，当c a ||MF +=2时，即M 点与椭圆长轴左端点重合，21MF F ∠有最小值为0，故]2π0[21，∈∠MF F ．。

46分大题保分练(六)(建议用时：40分钟)17．(12分)(2019·抚顺模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列；(2)设b n ＝a 2na 2n －1－1，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝44－a n ，∴1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n －2－1a n －2＝4－a n 2a n －4－1a n －2＝2－a n 2a n －4＝－12. 又a 1＝1，∴1a 1－2＝－1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n －2＝－1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－n ＋12，∴a n ＝2－2n ＋1＝2n n ＋1，∴b n ＝a 2n a 2n －1－1＝4n2n ＋12(2n －1)2n －1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n2n ＋1.18．(12分)(2019·武汉模拟)在四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的菱形且中心为O 点，P 为AD 的中点，∠DAB ＝∠EAB ＝∠EAD ＝60°，且点E 在底面ABCD 上的正投影为AO 的中点．(1)求证：PE⊥AC；(2)求点C到平面EAB的距离．[解](1)如图，取AO的中点为H，连接EH，HP，则EH⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，所以EH⊥AC.因为P，H分别为AD，AO的中点，所以HP∥BD.又底面ABCD是边长为4的菱形，所以AC⊥DB，所以AC⊥HP.又HP∩HE＝H，所以AC⊥平面EPH，又PE⊂平面EPH，所以AC⊥PE.(2)由题意得AP＝2，AH＝3，HP＝1.设EH＝x，则在Rt△EHA和Rt△EHP中，有AE＝3＋x2，EP ＝1＋x 2，在△EAP 中，EA 2＋AP 2－2EA ·AP ·cos ∠EAP ＝EP 2，即(3＋x 2)2＋22－2×3＋x 2×2×cos 60°＝(1＋x 2)2，解得x ＝6，即EH ＝6，则AE ＝3.设点C 到平面EAB 的距离为h ，由V 三棱锥E -ABC ＝V 三棱锥C -EAB，得13·S △ABC ·EH ＝13·S △EAB ·h ，又S △EAB ＝12AE ·AB ·sin ∠EAB ＝12×3×4×32＝33，S △ABC ＝12AB ·BC ·sin(π－∠DAB )＝12×4×4×32＝43，所以h ＝463，即点C 到平面EAB 的距离为463.19．(12分)(2019·贵阳模拟)某部门经统计，客户对不同款型理财产品的最满意度百分比和对应的理财总销售量(单位：万元)如下表(最满意度百分比越高时总销售量越高)：元)．这些数据的散点图如图所示．(1)在5份A 款型理财产品的客户满意度调查资料中只有一份是最满意的，从这5份资料中任取2份，求含有最满意客户资料的概率；(2)我们约定：相关系数的绝对值在0.3以下是无线性相关，在0.3以上(含0.3)至0.75是一般线性相关，在0.75以上(含0.75)是较强线性相关，y 与x 是否达到较强线性相关？若达到，请求出线性回归方程；若没有达到较强线性相关，则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款型产品退出理财销售)，请求在剔除“末位”款型后的线性回归方程(系数精确到0.1)．数据参考计算值：附：线性相关系数r ＝∑i ＝1x i y i －n x ·y∑10i ＝1x 2i －n x2∑ni ＝1y 2i －n y2，回归直线方程y ^＝a ^＋b^x 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x ·y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .[解] (1)在5份A 款型理财产品的客户资料中只有1份是最满意的，把最满意客户资料记为a ，其余客户资料记为b ，c ，d ，e .则任取2份资料的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个．含有a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个． 则含有最满意客户资料的概率为410＝25.(2)线性相关系数r ＝∑10i ＝1x i y i －10x ·y∑10i ＝1x 2i －10x2∑10i ＝1y 2i －10y2≈452.117×37.16≈0.72∈[0.3,0.75)．即y 与x 具有一般线性相关关系，没有达到较强线性相关关系． 由“末位”剔除制度可知，应剔除J 款型理财产品， 重新计算得x ′＝10×21.9－139＝2069≈22.89，y ′＝10×72.1－529＝6699≈74.33，∑9i ＝1x 2i －9x ′2＝288.9＋10×21.92－132－9×22.892≈200.43，∑9i ＝1x i y i －9x ′·y ′＝452.1＋10×21.9×72.1－13×52－9×22.89×74.33≈253.27.b ^＝∑9i ＝1x i y i －9x ′·y ′∑9i ＝1x 2i －9x ′2＝253.27200.43≈1.26≈1.3. a ^＝y ′－b ^x ′＝74.33－1.26×22.89≈45.5. 所求线性回归方程为y ^＝45.5＋1.3x .(注：若用b ^＝1.3计算出a ≈44.6，即y ^＝44.6＋1.3x 不扣分)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上．(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32ty ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积．[解] (1)由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1. (2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标系中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2,0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334. 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知不等式|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}． (1)求实数a 的值；(2)求12－at ＋4＋t 的最大值．[解] (1)|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}，即(1－a 2)x 2＋(2a ＋6)x ＋8≥0的解集为{x |x ≥－1}，当1－a 2≠0时，不符合题意，舍去．当1－a 2＝0，即a ＝±1时，x ＝－1为方程(2a ＋6)x ＋8＝0的一解，经检验a ＝－1不符合题意，舍去， a ＝1符合题意． 综上，a ＝1.(2)(12－t ＋4＋t )2＝16＋2(12－t )(4＋t )＝16＋2－t 2＋8t ＋48， 当t ＝82＝4时，(12－t ＋4＋t )2有最大值，为32. 又12－t ＋4＋t ≥0，所以12－t ＋4＋t 的最大值为4 2.。

46分大题保分练(四)(建议用时：40分钟)17．(12分)(2019·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (3sin B －cos C )＝(c －b )cos A .(1)求角A ；(2)若b ＝3，点D 在BC 边上，CD ＝2，∠ADC ＝π3，求△ABC 的面积． [解] 法一：(1)根据正弦定理，及a (3sin B －cos C )＝(c －b )cos A ， 得sin A (3sin B －cos C )＝(sin C －sin B )cos A ， 所以3sin A sin B ＋sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ， 即3sin A sin B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋C )． 又A ＋C ＝π－B ，所以sin(A ＋C )＝sin B ， 所以3sin A sin B ＋sin B cos A ＝sin B . 又0＜B ＜π，所以sin B ＞0，所以3sin A ＋cos A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12.又0＜A ＜π，所以π6＜A ＋π6＜7π6，所以A ＋π6＝5π6，解得A ＝2π3. (2)如图，在△ACD 中，AC ＝b ＝3，CD ＝2，∠ADC ＝π3，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，即3sin π3＝2sin ∠CAD ，所以sin ∠CAD ＝1，∠CAD ＝π2.从而∠ACD ＝π－π2－π3＝π6，∠ABC ＝π－π6－2π3＝π6， 所以AB ＝AC ＝ 3.故S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×3×sin 2π3＝334. 法二：(1)因为a (3sin B －cos C )＝(c －b )cos A ， 所以3a sin B ＝a cos C ＋(c －b )cos A ，由余弦定理，得3a sin B ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋(c －b )·b 2＋c 2－a 22bc ， 化简得23ac sin B ＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)， 所以23ac sin B ＝2bc －2bc cos A ， 即3a sin B ＝b －b cos A .由正弦定理，得3b sin A ＝b －b cos A . 所以3sin A ＝1－cos A ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12.又0＜A ＜π，所以π6＜A ＋π6＜7π6，所以A ＋π6＝5π6，A ＝2π3. (2)在△ACD 中，AC ＝b ＝3，CD ＝2，∠ADC ＝π3， 由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ， 即3＝AD 2＋4－2×AD ×2×12，解得AD ＝1， 从而AD 2＋AC 2＝CD 2，所以∠CAD ＝π2，所以∠ACD ＝π－π2－π3＝π6，∠ABC ＝π－π6－2π3＝π6， 所以AB ＝AC ＝ 3.故S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×3×sin 2π3＝334.18．(12分)如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，且A 1M ⊥B 1N .(1)求证：B 1N ⊥A 1C ；(2)求M 到平面A 1B 1C 的距离． [解] 法一：(1)如图，连接CM .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC . 所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM . 因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C . (2)连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N . 所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1NA 1B 1.因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x2.所以1x ＝x 22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C ＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74， 所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin ∠A 1CB 1＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M -A 1B 1C ＝V 三棱锥C -A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.法二：(1)同法一．(2)在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ， 所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1NA 1B 1.因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点， 所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2. 设AA 1＝x ，则A 1N ＝x2， 所以1x ＝x 22，解得x ＝2.如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于O .在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可得CM ⊥A 1B 1， 又CM ∩MD ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM . 因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ， 即线段MO 的长就是点M 到平面A 1B 1C 的距离． 由(1)可得CM ⊥MD ，又MD ＝2，所以由勾股定理，得CD ＝CM 2＋MD 2＝7.S △CMD ＝12·CD ·MO ＝12·CM ·MD ，即12×7×MO ＝12×3×2， 解得MO ＝2217，故点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.19．(12分)(2019·合肥模拟)“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段．某IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入y (单位：千元)的散点图：(1)由散点图知，可用回归模型y ＝b ln x ＋a 拟合y 与x 的关系，试根据有关数据建立y 关于x 的回归方程；(2)如果该IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为3 000元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税．附注：1.参考数据：∑10i ＝1x i ＝55，∑10i ＝1y i ＝155.5，∑10i ＝1(x i －x )2＝82.5，∑10i ＝1(x i －x )(y i－y )＝94.9，∑10i ＝1t i ＝15.1，∑10i ＝1(t i －t )2＝4.84，∑10i ＝1(t i －t )(y i －y )＝24.2，其中t i ＝ln x i ；取ln 11＝2.4，ln 36＝3.6.2．参考公式：回归方程v ＝bu ＋a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑ni ＝1(u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，a ^＝v －b ^ u . 3．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下：[解] (1)令t ＝ln x ，则y ＝bt ＋a .b ^＝∑10i ＝1 (t i －t )(y i －y )∑10i ＝1(t i －t )2＝24.24.84＝5，y ＝∑10i ＝1y i 10＝155.510＝15.55，t ＝∑10i ＝1t i10＝15.110＝1.51，a ^＝y －b ^t ＝15.55－5×1.51＝8， 所以y 关于t 的回归方程为y ＝5t ＋8.因为t ＝ln x ，所以y 关于x 的回归方程为y ＝5ln x ＋8. (2)由(1)得该IT 从业者36岁时月平均收入为 y ＝5ln 11＋8＝5×2.4＋8＝20(千元)． 旧个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为1 500×3%＋3 000×10%＋4 500×20%＋(20 000－3 500－9 000)×25%＝3 120(元)．新个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为3 000×3%＋(20 000－5 000－3 000－3 000)×10%＝990(元)．故根据新旧个税政策，该IT 从业者36岁时每个月少缴纳的个人所得税为3 120－990＝2 130(元)．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35ty ＝1＋45t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1. 所以点P 的直角坐标为(1,1)． (2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35ty ＝1＋45t代入x 22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0， 故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041. 依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22. 所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t y ＝1＋45t，消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0， 因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541. 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|ax －3|(a ＞0)． (1)当a ＝2时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值． [解] (1)当a ＝2时，不等式f (x )＞1即|x ＋1|－|2x －3|＞1.当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＋2x －3＞1，解得x ＞5，因为x ≤－1，所以此时原不等式无解；当－1＜x ≤32时，原不等式可化为x ＋1＋2x －3＞1， 解得x ＞1，所以1＜x ≤32；当x ＞32时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋3＞1，解得x ＜3，所以32＜x ＜3. 综上，原不等式的解集为{x |1＜x ＜3}． (2)法一：因为a ＞0，所以3a ＞0， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x －4，x ≤－1(a ＋1)x －2，－1＜x ≤3a.(1－a )x ＋4，x ＞3a因为a ＞0，所以f (－1)＝－a －3＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＝1＋3a ＞0.当0＜a ＜1时，f (x )的图象如图①所示，要使得y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(a －1)(a ＋1)＝－1，解得a ＝0，舍去；当a ＝1时，f (x )的图象如图②所示，所以y ＝f (x )的图象与x 轴不能围成三角形，不符合题意，舍去；当a ＞1时，f (x )的图象如图③所示，要使得y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(1－a )(a ＋1)＝－1，解得a ＝±2，因为a ＞1，所以a ＝ 2.综上，所求a 的值为 2.图① 图② 图③法二：因为a ＞0，所以3a ＞0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x －4，x ≤－1(a ＋1)x －2，－1＜x ≤3a.(1－a )x ＋4，x ＞3a若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形， 则(a －1)(a ＋1)＝－1或(a ＋1)(1－a )＝－1， 解得a ＝0(舍去)或a ＝2或a ＝－2(舍去)． 经检验，a ＝2符合题意， 所以所求a 的值为 2.。

基础保分强化训练(二)1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝1＋m i1－i 1＋i 1－i ＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m 2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13a 1＋a 132＝13×7a 1＋a 72，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A. 5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A. 6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.14 C.26 D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋62－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4答案 C解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫252＝－35. 13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB ＝sin ∠BDC sin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。