2020年中考数学必考经典题(江苏版)专题05不等式(组)的解法与应用问题

一. 选择题1.【无锡市滨湖中学】用配方法解方程x2－2x＝2,原方程可变形为（）A．(x＋1)2＝3 B．(x－1)2＝3 C．(x＋2)2＝7 D．(x－2)2＝72.【无锡市滨湖中学】如果关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是( ) A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠13.【无锡市滨湖中学】若一个三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2－10x＋21＝0的解,则第三边的长为 ( )A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定∴三角形的第三边为3或7,4.【江阴市青阳片】一元二次方程x2－6x－3＝0的两根为x1、x2，则 x1＋x2的值为（）A．－3 B．6 C．3 D．3 2 -5.【江阴市青阳片】已知两圆的半径是方程2x7x120-+=两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外离D.外切6.【江阴市青阳片】若关于x的方程(m－2) x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A．m<3 B．m<3且m≠2 C．m≤3 D．m≤3且m≠27.【靖江市】下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是A．x2＋1＝0 B．x2－2x－2＝0 C．9x2－6x＋1＝0 D．x2－x＋2＝08.【南京市高淳区】方程 2()(20)x 2x -+-=的解是（ ▲ ）．A ．2B ．－2，1C ．－1D ． 2，1考点：因式分解法解一元二次方程.9.【无锡市塔影中学】若关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0没有实数根，则实数m 的取值范围是………（ ）A ．m ＜－4B ．m ＞－4C ．m ＜4D ．m ＞410.【无锡市塔影中学】已知方程x 2－5x ＋4＝0的两根分别为⊙O 1与⊙O 2的半径，且O 1O 2＝3，那么这两个圆的位置关系是（）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离11.【无锡市惠山北片】方程的解为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=3 D．x=﹣312.【扬州市邗江区】某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=4813.【泰州市姜堰区】方程x2=2 x的解是A. x=2B. x 1=2-，x 2=0C. x 1=2，x 2=0D. x=0二.填空题1.【无锡市滨湖中学】已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋1＝0两实数根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝___________．2.【无锡市滨湖中学】某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了1640张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为___________．3.【兴化市茅山中心校】已知实数m 是关于x 的方程2310x x --=的一根，则代数式2262m m -+值为 ．4.【江阴市青阳片】某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，设商场这两个月销售额的的平均增长率为x ，则可列方程为_________________5.【靖江市】设a 、b 是方程2x x 20140+-=的两个不等的根，则a 2+2a+b 的值为 ▲ ．试题分析：∵a 、b 是方程2x x 20140+-=的两个不等的根，∴2a a 2014,a b 1+=+=- . ∴()22a 2a b a a a b 201412013++=+++=+-=.考点：1.一元二次方程的根；2. 一元二次方程根与系数的关系；3.求代数式的值；4.整体思想的应用.6.【南京市高淳区】某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意，可列方程为 ．7.【南京市高淳区】二次函数2y ax bx c =++ (a≠0)中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … －32 －1－120 12 1 32 … y…－54－2 －94－2－5474…则2ax bx c 0++=的解为 ▲ ．8.【无锡市塔影中学】关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋||a －1＝0的一个根是0，则实数a 的值是 .9.【扬州市邗江区】方程2x 9x 180-+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 .10.【扬州市邗江区】已知关于x 的一元二次方程2kx 4x 10++=有两个实数根，则k 的取值范围是 .11。

中考一轮复习专题：方程（组）与不等式（组）的综合【复习目标】会灵活运用一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式解决实际问题、综合性问题【典型例题】例1.用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？例2.南京某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往青奥会赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如下表：出发地甲地乙地目的地A馆800元/台700元/台B馆500元/台600元/台（1）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；（2）在上述方案中，哪一种方案总运费最小，最小值是多少？例3.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？例4.春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润例5.如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米. （1）用含a 的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的83，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价1y （元）、2y （元）与修建面积)(2m x 之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？提优拓展：1.已知关于x 的不等式组{3x −6≤0−m +4x >−3的整数解个数不少于3个，但不多于5个，且关于y 的分式方程 y 5−y −1=m y−5的解为整数，则符合条件的所有整数m 的和为（ ）A ．﹣24B ．﹣19C ．﹣16D ．﹣102.若关于x 的方程 a x+1+1=x+a x−1 的解为负数，且关于x 的不等式组{−12(x −a )>0x −1≥2x−13无解．则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33.已知关于x ，y 的二元一次方程组{x +3y =4−a x −y =3a，给出下列结论中正确的是（ ） ①当这个方程组的解x ，y 的值互为相反数时，a ＝﹣2；①当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝4+2a 的解；①无论a 取什么实数，x +2y 的值始终不变；①若用x 表示y ，则y =−x 2+32； A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①① 4.阅读探究：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A 的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组{x +y =72xy =3，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，①b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，①x 1＝ ，x 2＝ ，∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ．（3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？5我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：将.0.7化为分数形式由于.0.7 =0.777…，设x=0.777…①则10x=7.777…②②﹣①得9x=7，解得x=97，于是得.0.7 =97．同理可得.0.3 =93 =31，.1.4 =1+ .0.4=1+94=913根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）.0.5 = ，.5.8 = ；（2）将..0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）..0.315= ，..2.018= ；（注：..0.315=0.315315…，..2.018=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较.0.9与1的大小： .0.9 1（填“＞”、“＜”或“=”）②若已知..0.285714=72，则..3.714285= ．（注：..0.285714=0.285714285714…）参考答案例1 30例2（1）方案一：甲运往A 4台，往B 13台，乙运往A 14台，往B 1台方案二：甲运往A 3台，往B 14台，乙运往A 15台，往 B 0台（2）方案二运费最少，为19900例3 （1）A 16元，B 4元 （2）两种方案：方案一 购买A12件 B 20件；方案二购买购买A13件 B 22件例4 （1）甲 30 ，乙 70（2）甲购进80件，乙购进20件，最大利润为1200元例5 （1）（40-2a ）（60-2a ）（2）60×40-（40-2a ）（60-2a ）=83×60×40 解得a 1= 5，a 2 =45（舍） （3）通道宽为2米时，总造价最低，为105920元提优拓展1、B2、A3、C4、（1）2，23 （2）不存在 （3）当（m+n ）2 -8mn ≥0时，矩形B 存在 5、（1）95，953 （2）9923 （3）11155，55111 （4）① = ②726。

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题05 不等式（组）的解法与应用问题【方法指导】1.不等式性质：不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．2. 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．3.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．4. 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．5.不等式（组）的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．6.一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【题型剖析】【类型1】不等式的性质【例1】（2019•昆山市二模）若x y <，则下列结论正确的是( )A ．1133x y ->-B ．22x y >C ．11x y ->-D ．22x y <【分析】根据不等式的性质，可得答案．【解析】A 、不等式的两边都乘以13-，不等号的方向改变，故A 符合题意； B 、不等式的两边乘以2，不等号的方向不变，故B 不符合题意；C 、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故C 不符合题意；D 、当01y <<，1x <-时，22x y >，故D 不符合题意；故选：A ．【方法小结】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．【变式1-1】（2019•滨湖区一模）若m n >，则下列各式中一定成立的是( )A ．22m n ->-B ．55m n -<-C ．22m n ->-D ．44m n <【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得．【解析】m n >，22m n ∴->-，55m n ->-，22m n -<-，44m n >，故选：A ．【变式1-2】（2019•无锡模拟）下列不等式变形正确的是( )A ．由a b >，得22a b -<-B ．由a b >，得||||a b >C ．由a b >，得22a b -<-D ．由a b >，得22a b >【分析】根据不等式的性质进行分析判断．【解析】A 、在不等式a b >的两边同时减去2，不等式仍成立，即22a b ->-，故本选项错误； B 、当0a b >>时，不等式||||a b >成立，故本选项错误；C 、在不等式a b >的两边同时乘以2-，不等式的符号方向改变，即22a b -<-成立，故本选项正确；D 、当0a b >>时，不等式22a b >成立，故本选项错误；故选：C ．【变式1-3】（2018•无锡模拟）已知实数a 、b ，若a b >，则下列结论正确的是( )A ．55a b -<-B ．22a b +<+C ．33a b ->-D ．33a b >【分析】根据①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．【解析】A 、若a b >，则55a b ->-，故原题计算错误；B 、若a b >，则22a b +>+，故原题计算错误；C 、若a b >，则33a b -<-，故原题计算错误； D 、若a b >，则33a b >，故原题计算正确；故选：D ．【类型2】解一元一次不等式（组）【例2】（2019•建湖县二模）解不等式221123xx +-+，并把它的解集在数轴上表示出来：【分析】先去分母，然后去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可，再用数轴表示解集．【解析】去分母得3(2)2(21)6x x +-+，去括号得63426x x +-+，移项得34266x x --+-，合并得2x --，系数化为1得，2x ，用数轴表示为：【方法小结】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．【变式2-1】（2019•扬州一模）解不等式：122123x x-+-．【分析】（1）先化简二次根式、代入三角函数值、计算负整数指数幂、去绝对值符号，再去括号，计算加减可得；（2）根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．【解析】（1）原式33324(31)=-⨯+--333431=-+-+35=+；（2）去分母，得：3(12)62(2)x x--+，去括号，得：36624x x--+，移项，得：62436x x---+，合并同类项，得：87x-，系数化为1，得：78x-．【变式2-2】（2019•姑苏区校级二模）解不等式组3811223x xx x-<⎧⎪++⎨⎪⎩【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】解不等式38x x-<，得：4x<，解不等式11223x x++，得：1x，则不等式组的解集为14x<．【变式2-3】（2019•玄武区二模）如图，在数轴上点A、B、C分别表示1-、23x-+、1x+，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧．（1）求x的取值范围；（2）当2AB BC=时，x的值为1．【分析】（1）根据点A在点B的左侧，点C在点B的右侧以及数轴上右边的数大于左边的数列出不等式组，求解即可；（2）根据2AB BC =列出方程，解方程即可．【解析】（1）由题意得：231123x x x -+>-⎧⎨+>-+⎩①②， 解不等式①得：2x <，解不等式②得：23x >． 则不等式组的解集为：223x <<． 即x 的取值范围是223x <<； （2）2AB BC =，2312(123)x x x ∴-++=++-，解得1x =．故答案为1．【类型3】：不等式（组）的整数解【例3】（2019•天宁区校级二模）已知关于x 的不等式组5210x x a --⎧⎨->⎩有3个整数解，则a 的取值范围是 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．【解析】解不等式521x --，得：3x ，解不等式0x a ->，得：x a >，不等式组有3个整数解，01a ∴<，故答案为：01a <．【方法小结】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式3-1】（2019•建邺区校级二模）若关于x 的不等式组21312x x m+⎧+>-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是7-，则m 的取值范围是 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为7-，知不等式组的整数解为4-、3-或4-、3-、2-、1-、0、1、2，据此求解可得．【解析】解不等式21312x ++>-，得： 4.5x >-， 不等式组的整数解的和为7-，∴不等式组的整数解为4-、3-或4-、3-、2-、1-、0、1、2，则32m -<-或23m <，故答案为：32m -<-或23m <．【变式3-2】（2019•南召县二模）已知关于x 的不等式组0321x a x -⎧⎨--⎩的整数解共有5个，则a 的取值范围是 ．【分析】将a 看做已知数，求出不等式组的解集，根据解集中整数解有5个，即可确定出a 的范围．【解析】不等式组解得：2a x ，不等式组的整数解有5个为2，1，0，1-，2-，32a ∴-<-．故答案为：32a -<-．【变式3-3】（2018•海门市模拟）关于x 的不等式组010x m x -<⎧⎨+>⎩恰有3个整数解，则实数m 的取值范围为 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m 的取值范围．【解析】解不等式0x m -<，得：x m <，解不等式10x +>，得：1x >-，不等式组有3个整数解，∴不等式组的3个整数解为0、1、2，则23m <，故答案为：23m <．【类型4】：不等式的应用【例4】（2019•姑苏区校级二模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，若要保证获利不低于1000元，则甲商品最多能购进多少件？【分析】（1）设甲、乙两种商品每件的进价分别是x元、y元，根据“购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元”列方程组求解可得；（2）设购进甲商品m件，乙商品(60)m-件，根据“获利不低于1000元”列不等式求解可得．【解析】（1）设甲、乙两种商品每件的进价分别是x元、y元，根据题意，得：250270x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得1030xy=⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元，30元；（2）设购进甲商品m件，乙商品(60)m-件，根据题意，得：(2010)(5030)(60)1000m m-+--，解得20m，答：甲商品最多能购进20件．【方法小结】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．【变式4-1】（2019•高邮市二模）某校举办园博会知识竞赛，打算购买A、B两种奖品．如果购买A奖品10件、B奖品5件，共需120元；如果购买A奖品5件、B奖品10件，共需90元．（1）A，B两种奖品每件各多少元？（2）若购买A、B奖品共100件，总费用不超过600元，则A奖品最多购买多少件？【分析】（1）设A奖品的每件x元，B奖品每件y元，根据“如果购买A奖品10件、B奖品5件，共需120元；如果购买A奖品5件、B奖品10件，共需90元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A奖品购买m件，则B奖品购买(100)m-件，根据总价=单价⨯数量结合总费用不超过600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解析】（1）设A奖品的每件x元，B奖品每件y元，依题意，得：105120 51090x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：104xy=⎧⎨=⎩．答：A奖品的每件10元，B奖品每件4元．（2）设A奖品购买m件，则B奖品购买(100)m-件，依题意，得：104(100)600m m+-，解得：1003m ．m为整数，m∴的最大值为33．答：A奖品最多购买33件．【方法小结】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式4-2】（2019•镇江一模）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，全部销售完后一共获利2800元，进价和售价如下表：（1）该店购进甲、乙两种口罩各多少袋？（2）该店再次以原价购进甲、乙两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若这次购进的两种口罩均销售完毕，且本次销售一共获利不少于3680元，那么乙种口罩每袋最多让利多少元？【分析】（1）分别根据旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2800元，得出等式组成方程求出即可；（2）根据甲种口罩袋数是第一次的2倍，要使第二次销售活动获利不少于3680元，得出不等式求出即可．【解答】解；（1）设网店购进甲种口罩x袋，乙种口罩y袋，根据题意得出：20258000(2620)(3525)2800 x yx y+=⎧⎨-+-=⎩，解得：200160xy=⎧⎨=⎩，答：甲种口罩200袋，乙种口罩160袋；（2）设乙种口罩每袋售价z元，根据题意得出：160(25)2200(2620)3680z-+⨯⨯-，解得：33z，∴最多让利35332=-=元答：乙种口罩每袋售价为每袋最多让利2元．【类型5】：不等式组的应用【例5】（2019•昆山市二模）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．（1）求每个篮球和每个足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共50个，用于此次购球的总资金不低于5400元，且不超过5500元，求本次购球方案．【分析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，根据“购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进篮球m个，则购进足球(50)m-个，根据总价=单价⨯数量结合于此次购球的总资金不低于5400元且不超过5500元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购球方案．【解析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，依题意，得：2320 32540x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：100120xy=⎧⎨=⎩．答：每个篮球的售价为100元，每个足球的售价为120元．（2）设购进篮球m个，则购进足球(50)m-个，依题意，得：100120(50)5400 100120(50)5500m mm m+-⎧⎨+-⎩，解得：2530m，∴共有6种购球方案．方案一：购买篮球25个、足球25个；方案二：购买篮球26个、足球24个；方案三：购买篮球27个、足球23个；方案四：购买篮球28个、足球22个；方案五：购买篮球29个、足球21个；方案六：购买篮球30个、足球20个．【方法小结】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【变式5-1】（2019•常熟市二模）为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元．（1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？（2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个，其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球，并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，求该学校共有几种购买方案？【分析】（1）设每个甲种型号排球的价格是x 元，每个乙种型号排球的价格是y 元，根据“一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种型号排球m 个，则购买乙种型号排球(26)m -个，根据甲种型号排球的个数多于乙种型号排球且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为整数，即可得出购买方案的个数．【解析】（1）设每个甲种型号排球的价格是x 元，每个乙种型号排球的价格是y 元，依题意，得：14065780x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：8060x y =⎧⎨=⎩． 答：每个甲种型号排球的价格是80元，每个乙种型号排球的价格是60元．（2）设购买甲种型号排球m 个，则购买乙种型号排球(26)m -个，依题意，得：268060(26)1900m m m m >-⎧⎨+-⎩， 解得：1317m <．又m 为整数，m ∴的值为14，15，16，17．答：该学校共有4种购买方案．【方法小结】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【变式5-2】（2019•太仓市模拟）某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？【分析】（1）设新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元，根据题意列出方程就可以求出结论；（2）设建m 个地上停车位，则建(50)m -个地下停车位，根据题意建立不等式组就可以求出结论【解析】（1）设新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元，根据题意，得0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：0.10.5x y =⎧⎨=⎩． 答：新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需0.5万元．（2）设建(m m 为整数）个地上停车位，则建(50)m -个地下停车位，根据题意，得：120.10.5(50)13m m <+-，解得：3032.5m <． m 为整数，30m ∴=，31，32，共有3种建造方案．①建30个地上停车位，20个地下停车位；②建31个地上停车位，19个地下停车位；③建32个地上停车位，18个地下停车位．【方法小结】本题考查了二元一次方程组的运用及解法，一元一次不等式及不等式组的运用及解法．在解答中要注意实际问题中未知数的取值范围的运用．【变式5-3】（2018•海州区一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a 的值．（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）根据数量=总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅(520)x+张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润=单件（单套）利润⨯销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解析】（1）根据题意得：600160110a a=-，解得：150a=，经检验，a是原分式方程的解．答：表中a的值为150．（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅(520)x+张，根据题意得：520200x x++，解得：30x．设销售利润为y元，根据题意得：111[5001504(150110)](270150)[70(150110)](5204)222245600y x x x xx=--⨯-⨯+-⨯+--⨯+-⨯=+．2450k=>，∴当30x=时，y取最大值，最大值为7950．答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．【方法小结】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质解决最值问题．【达标检测】一．选择题（共8小题）1．（2019•镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）【解析】由x+2＞a得x＞a﹣2，A．由数轴知x＞﹣3，则a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得x＞﹣2，与数轴不符；B．由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x﹣6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C．由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x﹣6＜0，解得x，与数轴不符；D．由数轴知x＞﹣2，则a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得x＞﹣6，与数轴不符；故选：B．2．（2019•宿迁）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】x﹣1≤2，解得：x≤3，则不等式x﹣1≤2的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．3．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，则15an＝2160，得到an＝144．所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．整理，得ax+4an+8n﹣8x＜720．∵an＝144．∴将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．∵n＞x，∴a＞8．∴a至少为9．故选：B．4．（2018•无锡）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．6≤m≤9 B．6＜m＜9 C．6＜m≤9 D．6≤m＜9【答案】D【解析】∵3x+m≥0，∴x，∵不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，∴﹣32．∴6≤m＜9，故选：D．5．（2018•宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．D．a2＜b2【答案】D【解析】A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；C、在不等式a＜b的两边同时乘以，不等号的方向改变，即，故本选项错误；D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；故选：D．6．（2019•恩施州）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（）A．1＜a≤2 B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2【答案】A【解析】解①得：x≥﹣1，解②得：x＜a，∵不等式组的整数解有3个，∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，则1＜a≤2，故选：A．7．（2019•西藏）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书有______本，共有______人．（）A．27本，7人B．24本，6人C．21本，5人D．18本，4人【答案】C【解析】设有x名同学，则就有（3x+6）本书，由题意，得：0≤3x+6﹣5（x﹣1）＜3，解得：4＜x≤5.5，∵x为非负整数，∴x＝5．∴书的数量为：3×5+6＝21．故选：C．8．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解不等式2x﹣6+m＜0，得：x，解不等式4x﹣m＞0，得：x，∵不等式组有解，∴，解得m＜4，如果m＝2，则不等式组的解集为x＜2，整数解为x＝1，有1个；如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；如果m＝﹣1，则不等式组的解集为x，整数解为x＝0，1，2，3，有4个．故选：C．二．填空题（共6小题）9．（2019•淮安）不等式组的解集是．【答案】x＞2．【解析】根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．”得原不等式组的解集为：x＞2．故答案为：x＞2．10．（2019•泰州）不等式组的解集为．【答案】x＜﹣3．【解析】等式组的解集为x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．11．（2018•扬州）不等式组的解集为．【答案】﹣3＜x．【解析】解不等式3x+1≥5x，得：x，解不等式2，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x，故答案为：﹣3＜x．12．（2019•丹东）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为．【答案】3．【解析】解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，解不等式a﹣x＞﹣1，得：x＜a+1，∵不等式组的解集为2＜x＜4，∴a+1＝4，即a＝3，故答案为：3．13．（2019•莱芜区）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②③【解析】①[﹣1.2]＝﹣2，故①正确；②[a﹣1]＝[a]﹣1，故②正确；③[2a]＜[2a]+1，故③正确；④当a＝2时，a2＝2[a]＝2；当a时，a2＝2[a]＝2；原题说法是错误的．故答案为：①②③．14．（2019•玉林）设01，则m，则m的取值范围是．【答案】﹣1＜m＜1【解析】m，∵01，∴﹣20，∴﹣1≤11，即﹣1＜m＜1．故答案为：﹣1＜m＜1三．解答题（共8小题）15．（2019•南通）解不等式x＞1，并在数轴上表示解集．【答案】x＞4，【解析】4x﹣1﹣3x＞3，4x﹣3x＞3+1，x＞4，将不等式的解集表示在数轴上如下：16．（2019•常州）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1＜x≤2，【解析】解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，解不等式3x﹣8≤﹣x，得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：17．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．【答案】﹣3、﹣2、﹣1．【解析】解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，解不等式x﹣4，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．18．（2019•盐城）解不等式组：【答案】x＞1．【解析】解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≥﹣2，∴不等式组的解集是x＞1．19．（2018•无锡）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件．厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场．商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？【答案】当A商场购进这种商品400件且销量至少是332件时，他们的获利能达到9600元．【解析】设A商场售出该商品x件．①当A商城的采购量小于400件且完全销售完时，有（100﹣75）x≥9600，解得：x≥384，∴当购进的商品完全销售完时，商城对这种商品的销量至少要384件；②当A商城的采购量小于400件且没有销售完时，有100x﹣399×75≥9600，解得：x≥395.25，∵x为正整数，∴x≥396．∴当购进的商品少于400件且未全部销售完时，商城对这种商品的销量至少要396件；③当A商城的采购量等于400件时，有100x﹣400×75+65（400﹣x）+400×5≥9600，解得：x≥331，∵x为正整数，∴x≥332，∴当A商城的采购量等于400件时，商城对这种商品的销量至少要332件；④当A商城的采购量大于400件时，销售量必须大于332件，才能保证获利达到9600元．答：当A商场购进这种商品400件且销量至少是332件时，他们的获利能达到9600元．20．（2018•南通）小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次 2 1 55第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1) A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；(2) 当a＝8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，根据题意可得：，解得：，答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；（2）设第三次购买商品A种a件，则购买B种商品（12﹣a）件，根据题意可得：a≥2（12﹣a），得：8≤a≤12，∵m＝20a+15（12﹣a）＝5a+180∴当a＝8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．21．（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？【答案】该社区最多能种植乙种花卉30m2．【解析】（1）设该社区种植甲种花卉1m2需x元，种植乙种花卉1m2需y元，依题意，得：，解得：．答：该社区种植甲种花卉1m2需80元，种植乙种花卉1m2需90元．（2）设该社区种植乙种花卉mm2，则种植甲种花卉（75﹣m）m2，依题意，得：80（75﹣m）+90m≤6300，解得：m≤30．答：该社区最多能种植乙种花卉30m2．22．（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？【答案】改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．【解析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，依题意，得：，解得：．答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，依题意，得：，。

专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点类型知识串讲（一）二次函数与一元二次方程的关系a>0(示意图)a<0(示意图)一元二次方程根的情况有两个不相等的实数根b2-4ac>0b2-4ac=0有两个相等的实数根无实数根b2-4ac<0（二）利用函数图像解不等式考点训练考点1：求抛物线与x轴的交点典例1：（2022秋·九年级单元测试）已知函数y=x2―6x+5的部分图象（如图），满足y<0的x的取值范围是____．【答案】1<x<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由y=x2―6x+5，当x=0时，x2―6x+5=0解得：x1=1,x2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当y<0时，x的取值范围是1<x<5，故答案为：1<x<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2―2x―3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P是二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB．（1）点C的坐标为__________．（2）点P的坐标为__________．【答案】(0,―3)(4,5)【分析】（1）因为与y轴交于点C，所以横坐标为0，代入后即可得到纵坐标；（2）先让纵坐标为0，求出点A，B的横坐标，进而求出直线BC的表达式，再依据S△APC=S△APB，求出直线AP的表达式，再联立方程组，得到点P的坐标，注意两个答案排除一个．【详解】（1）∵y=x2―2x―3与y轴交于点C∴当x=0时，y=―3∴C(0,―3)故填：(0,―3)．（2）∵因为y=x2―2x―3与x轴交于点A，B∴当y=0时，x2―2x―3=0∴x1=3，x2=―1∴A(―1,0),B(3,0)∵C(0,―3),B(3,0),设直线BC为y=kx+b∴b=―3 3k+b=0∴b=―3 k=1∴直线BC为y=x―3∵S△APC=S△APB∴AP∥BC∴设直线AP为y=x+m ∵A(―1,0)∴直线AP为y=x+1∵解方程组y=x2―2x―3y=x+1得，x=―1y=0或x=4y=5∴P(―1,0)（舍去）,P(4,5)故填：(4,5)．【点睛】本题考查了二次函数与两坐标轴交点坐标的求法，待定系数法，利用坐标求三角形面积等，解题时要应用数形结合思想．【变式2】（2022秋·九年级单元测试）抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是____．【答案】(3,0)，(―2,0)【分析】令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到答案；【详解】解：令y=0，则：(x―3)(x+2)=0解得：x1=3，x2=―2∴抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是(3,0)，(―2,0)；故答案为：(3,0)，(―2,0)．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，解题的关键在于能够熟知二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)与x轴交点的横坐标是令y=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的解．【变式3】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为_____．【答案】6【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为y=x2―9，令x2―9=0，求其解即可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得答案．【详解】解：将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后其解析式为y=x2―9，当x2―9=0时，解得：x1=―3，x2=3，∴抛物线y=x2―9与x轴的交点为―3，0，3，0，∴抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．考点2：求抛物线与y轴的交点典例2：（2023·上海·一模）抛物线y=―x2―3x+3与y轴交点的坐标为____．【答案】(0,3)【分析】把x=0代入抛物线y=―x2―3x+3，即得抛物线y=―x2―3x+3与y轴的交点．【详解】解：∵当x=0时，抛物线y=―x2―3x+3与y轴相交，∴把x=0代入y=―x2―3x+3，求得y=3，∴抛物线y=―x2+3x―3与y轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．【变式1】（2023·上海·一模）抛物线y=(x+1)2―2与y轴的交点坐标是_________．【答案】(0,―1)【分析】求出x=0时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：当x=0时，y=(x+1)2―2=1―2=―1，所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,―1)，故答案为：(0,―1)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．【变式2】（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2+b，若AB长为4，则图中CD的长为______．故答案为：(0,3)；(2,―1)【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图像与性质，明确抛物线与y轴的交点的横坐标为0与将抛物线的一般式化为顶点式是解题的关键．考点3：由函数值求自变量x的值【答案】―2+22或5【答案】4【分析】先求得点C的坐标，然后由标代入函数解析式求得m【详解】解：当x＝0时，【答案】2【分析】根据题意，将y=4分别代入进而即可求得BC的长．【详解】解：∵x≥0，则y y【答案】x1=―3，x2=1【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．【详解】解：由图象可知，关于x的方程ax2―bx―c=0的解，就是抛物线y=ax2（a≠0）与直线y=bx+ c（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，即x1=―3，x2=1．故答案为：x1=―3，x2=1．【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．【变式2】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）设一元二次方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根分别为α、β且α<β，则α、β满足_____．【答案】α<―1且β>3【分析】方程的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标，然后画出导致图象可确定正确选项．【详解】方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标，而抛物线y=(x+1)(x―3)与x轴的交点坐标为―1，0和3，0，如图，典例5：（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A (―3,―6)，B(1,―2)，则关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为__________．【答案】―3<x<1【答案】―1<x<4/4>x>―【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得【详解】解：由图象知，当―1故答案为：―1<x<4．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键．（1）二次函数y=ax2+bx+（2）不等式ax2+bx+c≥0的解集是)【答案】(―1,―43【分析】（1）根据抛物线的对称轴和抛物线过点范围即可．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=―1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴与x轴的另一个交点坐标为(―5,0)，∴y>0时，x的取值范围为：―5<x<3，故答案为：―5<x<3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．考点6：利用不等式求自变量、函数值的范围【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结论．【详解】解：∵y=x2+2x―3=(x+1)2―4，∴该抛物线的对称轴为直线x=―1，当x=―3时，y=9―6―3=0，当x=―1时，最小值为y=―4，当y=1时，y=1+2―3=0，∴―4≤y<0，故答案为：―4≤y<0．【点睛】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．考点7：抛物线与x轴的交点问题【答案】49【分析】过点C作CD⊥x轴于点=4，设点A的坐标为(m,0)，则式和顶点式，即可求解．【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与AB=3，∴AD=BD=12∵AC=5，∴CD=AC2―AD2=4，设点A的坐标为(m,0)，则B(m同步过关一、单选题1．（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A．k≥3B．k＜3C．k≤3且k≠2D．k＜2【答案】C【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，∴k―2≠0△=22―4(k―2)=12―4k⩾0，解得：k≤3且k≠2．故选C．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y=x2-x-12与y轴的交点坐标为（）A．-3，0B．6，0C．0，-12D．2，16【答案】C【分析】图象与y轴相交则x=0，代入得到y的值，即可解答．【详解】解：由图象与y轴相交则x=0，代入得：y=-12，∴与y轴交点坐标是0，-12；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．3．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期末）抛物线y=x2+x―2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，－2）C．（-2，0）D．（－2，0）、（1，0）【答案】B【分析】令x＝0，求出y的值即可．【详解】解：令x＝0，则y＝−2，∴抛物线y＝x2＋x−2与y轴的交点坐标是（0，−2）．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．4．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（ ）A．x1＝﹣2，x2＝5B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5D．x1＝2，x2＝5∵抛物线与y轴的交点为（∴当y＝3时x的值为0∴当函数值y＜3时，0＜故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴和与【详解】当x=0时，y=2×(0―1)×(0―m―3)=2m+6，∵函数图像与y轴的交点坐标是（0，2m+6）.∵该函数图象与y轴交点在x轴上方，∴2m+6>0，∴m>―3.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图像与与坐标轴的交点是解答本题的关键.13．（2023秋·安徽淮北·九年级阶段练习）已知函数与x轴交点是（m，0），（n，0），则的值是（）A．2013B．2014C．2015D．2023【答案】B【详解】试题分析：∵抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），∴,且m,n是一元二次方程的两个根∴．故选B考点：抛物线与x轴的交点点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义14．（2023·山东临沂·统考模拟预测）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（ ）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大二、填空题16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(―4,―1)、B(0,2)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是______．【答案】―4<x<0【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】由图象可知，当―4<x<0时，抛物线在直线的上方，∴关于x的不等式ax2+b+c>kx+m的解集是―4<x<0，故答案为：―4<x<0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．17．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如果二次函数y=mx2―2mx―3m的图象与y轴的交点为(0,3)，那么m=______________．【答案】-1【分析】把(0,3)代入函数解析式即可求出m的值．【详解】解：把(0,3)代入y=mx2―2mx―3m得，3=―3m，解得m=―1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是把点的坐标代入求未知系数的值．18．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是________．【答案】m＜9【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，可知b2﹣4ac＞0，从而可以求得m的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，∴Δ=b2―4ac=（﹣6）2﹣4m＞0，解得：m＜9，故答案为：m＜9．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数与x轴的交点个数和判别式的关系．抛物线与x轴交点个数由Δ决定：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．（2022秋·九年级单元测试）如果抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限，那么k的值可以是______．（只需写一个）【答案】k=2（答案不唯一）【分析】抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限，可得抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，可得4+k≥0,从而可得答案.【详解】解：∵抛物线y=(x―2)2+k的开口向上，又不经过第三象限，∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，而当x=0时，y=4+k,∴4+k≥0,解得：k≥―4,所以当k=2时，符合题意，故答案为：k=2（答案不唯一）【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线与y轴的交点的位置与图象的关系”是解本题的关键. 20．（2023秋·九年级单元测试）二次函数y=x2+x―2与x轴交于点________，与y轴交于点________．（填点的坐标）【答案】(―2, 0)(1, 0),(0, ―2)【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2＋x−2＝0可得到二次函数图象与x轴的交点坐标，然后计算自变量为0时的函数值可确定二次函数图象与y轴的交点坐标．【详解】当y＝0时，x2＋x−2＝0，解得x1＝−2，x2＝1，则二次函数图象与x轴的交点坐标为（−2，0），（1，0）；当x＝0时，y＝x2＋x−2＝−2，则二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，−2）．故答案为（−2，0），（1，0）；（0，−2）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题是解决本题的关键．21．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）若抛物线y=x2―2x+k―1与x轴有交点，则k的取值范围是令y=0，则x2+4x―12=0，解得，x1=―6，x2=2，∵图象与x轴的一个交点坐标是(2,0)，∴它与x轴的另一个交点坐标是(―6,0)，故答案为：(―6,0)．【点睛】本题考查了求解二次函数交点坐标，正确理解交点坐标的特征是解题关键，另外，此题还可以运用韦达定理求解．三、解答题26．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的根；（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；（3）若方程ax2+bx+c=k无实数根，写出k的取值范围．【答案】（1）x1=0，x2=2；（2）x<0或x>2；（3）k>2【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c=0的根，即为抛物线与x轴交点的横坐标，∴x1=0，x2=2．（2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0或x>2．（3）由图象可知，k>2时，方程ax2+bx+c=k无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．（1）求a的值和该抛物线顶点（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】（1）a=1，P【分析】（1）把C（5,4（2）根据原点坐标(0，【详解】（1）把C（5,42-5x＋4=(x―29．（2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线y=x2与直线y=―x+2交于A、B两点．(1)求交点A、B的坐标；(2)直接写出不等式x2≤―x+2的解集．【答案】(1)A―2，4，B1，1(2)―2≤x≤1【分析】（1）将抛物线y=x2与直线y=―x+2联立解方程组y=x2y=―x+2即可得到A、B的坐标；（2）直接观察图象，抛物线在直线下方的符合题意，即可得到答案．【详解】（1）解：解方程组y=x2y=―x+2得：x1=―2y1=4，x2=1y2=1，∴A―2，4，B1，1；（2）解：由图象观察可得：不等式x2≤―x+2的解集为：―2≤x≤1．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，函数图象的性质，解题的关键是列出方程组y=x2y=―x+2，解方程组得到点A、B的坐标．30．（2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x +m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=―x―4交于点A、B，其中点B坐标为(0,―4)，点C坐标为2，0(1)求此抛物线的函数解析式．（3）由图象可得，当―1【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．32．（2022秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学校考期中）在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程分过程，请按要求完成下列各小题（1）自变量x的取值范围是全体实数，与（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值③当x=―2时，函数取得最小值0④当x<―2或x>0时，y随x的增大而减小；当（4）在同一坐标系中作出函数y=x解__________________.（保留1位小数，误差不超过【答案】（1）1.5，（2）画图见解析；（2）描点：(―1，0.5)，(0,0),(1,1.5),(2,4),再用平滑的曲线连接各点补全图像如下：（3）由函数的图像可得：该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x=―1,故①错误；该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值，说法正确，故②正确；当x=―2或x=0时，函数取得最小值0，故③正确；当x<―2或―1＜x＜0，y随x的增大而减小，当-2＜x＜―1或x＞0时，y随x的增大而增大，故④错误；综上：正确的有：②③．故答案为：②③．（4）∵函数y=x+1,令y=0,则x=―1,令x=0,则y=1,∴函数y=x+1过(―1,0),(0,1),画出函数图像如图示：x2+x|=x+1时，由图像可得：当|12x≈―0.3或x≈1.4.故答案为：x≈―0.3或x≈1.4.【点睛】本题考查的是探究绝对值函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，同时考查描点法画函数图像，利用函数图像求解方程的近似解，掌握以上知识是解题的关键．33．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点。

数学试卷 第1页（共8页） 数学试卷 第2页（共8页）绝密★启用前2020年江苏省连云港市初中学业水平考试数 学一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是，符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1.3的绝对值是（ ） A .3-B .3CD .132.下图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是 （ ）ABCD3.下列计算正确的是（ ） A .235x y xy += B .2(1)(2)2x x x x +-=-- C .236a a a ⋅=D .22(2)4a a -=-4.“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分.评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ） A .中位数B .众数C .平均数D .方差 5.不等式组21312x x -≤⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示为（ ）AB C D6.如图，将矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的A '处.若24DBC ︒∠=，则'∠A EB 等于（ ）A .66︒B .60︒C .57︒D .48︒7.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点.则点O 是下列哪个三角形的外心 （ ）A .AED △B .ABD △C .BCD △D .ACD △8.快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶.图中折线表示快、慢两车之间路程()km y 与它们的行驶时间(h)x 之间的函数关系.小欣同学结合图像得出如下结论： ①快车途中停留了0.5 h ； ②快车速度比慢车速度多20 km/h ； ③图中340a =； ④快车先到达目的地. 其中正确的是（ ）A .①③B .②③C .②④D .①④二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9.我市某天的最高气温是4℃，最低气温是1-℃，则这天的日温差是________℃. 10.“我的连云港”APP 是全市统一的城市综合移动应用服务端.一年来，实名注册用户超过1 600 000人.数据“1 600 000”用科学记数法表示为________.11.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M 、N的坐标分别的-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效---------------- 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共8页） 数学试卷 第4页（共8页）为(3,9)、(12,9)，则顶点A 的坐标为________.12.按照如图所示的计算程序，若2x =，则输出的结果是________.13.加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为________min .14.用一个圆心角为90︒，半径为20 cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________cm .15.如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五形12345B B B B B ，且ABD △，直线l 经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 夹角 =________︒.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________.三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区内．．．．．．．．作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分6分）计算120201(1)5-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 18.（本题满分6分）解方程组245,1.x y x y +=⎧⎨=-⎩19.（本题满分6分）化简2233121a a aa a a ++÷--+. 20.（本题满分8分）在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表.测试成绩统计表等级 频数（人数）频率优秀 30a良好 b0.45 合格 24 0.20 不合格120.10 合计 c1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中a =________，b =________，c =________； （2）补全条形统计图；（3）若该校有2 400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？的数学试卷 第5页（共8页） 数学试卷 第6页（共8页）21.（本题满分10分）从2021年起，江苏省高考采用“312++”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.22.（本题满分10分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于M 、N . （1）求证：四边形BNDM 菱形；（2）若24BD =，10MN =，求菱形BNDM 的周长.23.（本题满分10分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物资，A 种防疫物资每箱15000元，B 种防疫物资每箱12000元.若购买B 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A 、B 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）.24.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)my x x=＞的图像经过点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点.（1）m =________，点C 坐标为________；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作DE y ∥轴，交反比例函数图像于点E ，求ODE △面积的最大值.25.（本题满分12分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3m 的筒车O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.（1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？ （2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是O 的切线，且与直线AB 交于点M ，8m MO =.求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上.（参考数据：11cos 43sin 4715︒︒=≈，11sin16cos7440︒︒=≈，3sin 22cos688︒︒=≈）是的毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------数学试卷 第7页（共8页） 数学试卷 第8页（共8页）26.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线2113:222L y x x =--的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C .抛物线2L 与1L 是“共根抛物线”，其顶点为P .（1）若抛物线2L 经过点(2,12)-，求2L 对应的函数表达式； （2）当BP CP -的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线1L 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若DPQ 与ABC △相似，求其“共根抛物线”2L 的顶点P 的坐标.27.（本题满分12分）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F .若2BE =，6PF =，AEP △的面积为1S ，CFP △的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点.设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上）过点P 作//EF AD ，HG//AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H .设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21S S ＞），求PBD △的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分.请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、 BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、 AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD △的面积为3S ，PAC △的面积为4S .根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）.2020年江苏省连云港市初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】B【解析】3的绝对值是3．故选：B . 【考点】绝对值的定义 2.【答案】D【解析】从物体正面观察可得，左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体．故答案为D . 【考点】三视图的知识 3.【答案】B【解析】A 、2x 与3y 不是同类项不能合并运算，故错误；B 、多项式乘以多项式，运算正确；C 、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，235a a a ⋅=，故错误；D 、完全平方公式，22(2)44a a a -=-+，故错误.故选：B .【考点】合并同类项，同底数幂相乘，多项式乘以多项式，完全平方公式 4.【答案】A【解析】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．故选：A . 【考点】中位数的定义 5.【答案】C 【解析】解：21312x x -≤⎧⎨+>⎩①②，解不等式得2x ≤，解不等式得1x ＞，故不等式的解集为12x ＜≤，在数轴上表示如图：，故选C ．【考点】不等式组的求解 6.【答案】C【解析】 四边形ABCD 是矩形，90ABC ︒∴=△，,9066ABD DBC ︒︒∴=∠=△， 将矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的A '处，1332EBA ABD '︒∴==△△，9057A EB EBA '︒'︒∴∠=-=△，故选C ．【考点】矩形内的角度求解 7.【答案】 D【解析】因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O 到,,,,A B C D E 的距离中，只有OA OC OD ==．故选：D ．【考点】三角形外心的性质 8.【答案】B【解析】当 2 h t =时，表示两车相遇，2-2.5时表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度88080 km /h 3.6 2.5-=-，设另一车的速度为x ,依题意得()280360x +=,解得100 km / h x =，故快车途中停留了3.62 1.6 h -=，①错误；快车速度比慢车速度多20km/h ，②正确； 5 h t =时，慢车行驶的路程为(50.5)80360 km -⨯=，即得到目的地，比快车先到，故①错误；5 h t =时，快车行驶的路程为(5 1.6)100340 km -⨯=，故两车相距340 m ，故②正确；故选B ．【考点】一次函数的应用 二、 9.【答案】5【解析】解：根据题意得：415--=（）．故答案为：5. 【考点】有理数减法 10.【答案】61.610⨯【解析】1 600 000用科学记数法表示应为：61.610⨯，故答案为：61.610⨯． 【考点】科学记数法的表示方法 11.【答案】()15,3【解析】解：设正方形的边长为a ，则由题设条件可知：3123a =-，解得：3a =.∴点A 的横坐标为：12315+=，点A 的纵坐标为：9323-⨯=，故点A 的坐标为(15,3)．故答案为：(15,3)．【考点】平面直角坐标系 12.【答案】26-【解析】解：当2x =时，2210=10260x --=＞，故执行“否”，返回重新计算，当6x =时，2210=106260x --=-＜，执行“是”，输出结果：26-．故答案为：26-．【考点】代数式求值、有理数的混合运算 13.【答案】3.75【解析】解：20.2 1.52y x x =-+- 的对称轴为 1.53.75(min)22(0.2)b x a =-=-=⨯-，故：最佳加工时间为3.75 min ，故答案为：3.75． 【考点】二次函数性质的应用 14.【答案】5的【解析】设这个圆锥的底面圆的半径为 cm R ，由题意，9020=2180R ππ⨯，解得： 5 cm R =．故答案为：5.【考点】圆锥的侧面展开图 15.【答案】48【解析】 多边形123456A A A A A A 是正六边形，多边形12345B B B B B 是正五边形,123234234180(62)180(52)120,10865A A A A A AB B B ︒︒︒︒⨯-⨯-∴∠=∠==∠==.3434A A B B ∥，34234108B MA B B B ︒∴∠=∠=，3318010872B MA ︒︒︒∴∠=-=，22123234333603601201207248A NB A A A A A A A MB α∠=∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，故答案为：48.【考点】正多边形内角的求法，平行线的性质定理 16.【答案】2【解析】如图， 点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，C ∴点的运动轨迹是以()1,0F 为圆心、半径为1的圆，过F 点作AH DE ⊥，交F 于点'C ， 直线DE 的解析式为334y x =-，令0x =，得3y =-，故()03E -，，令0y =,得4x =,故()4,0D ，3OE ∴=，4OD =，5DE ==，∴设FH 的解析式为43y x b =-+，把()1,0F 代入43y x b =-+得4 03b =-+，解得43b =，FH ∴的解析式为4433y x =-+，联立3344433y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得52253625x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故5236,2525H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，95FH ∴==，94C H 155'∴=-=，故此时CDE △面积114'52225=DE C H=⨯⨯⨯=，故答案为：2．【考点】圆的综合问题 三、17.【答案】解：原式1542=+-=．【解析】先根据乘方运算、负整数指数幂、开方运算进行化简，再计算加减即可．具体解题过程参照答案． 【考点】运算 18.【答案】解：2451x y x y +=⎧⎨=-⎩①②，将②代入①中得2(1)45y y -+=．解得32y =．将32y =代入②，得12x =-．所以原方程组的解为1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】根据题意选择用代入法解答即可．具体解题过程参照答案． 【考点】二元一次方程组 19.【答案】解：原式23(3)1(1)a a a a a ++=÷-- 23(1)1(3)a a a a a +-=⋅-+， 1aa-=． 【解析】首先把分子分母分解因式，把除法变为乘法，然后再约分后相乘即可．具体解题过程参照答案． 【考点】分式的乘除法 20.【答案】（1）0.25 54 120（2）如下图：（3）测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生()24000.250.451680=⨯+=（人）．答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有1680人． 【解析】（1）依据频率=频数总数，先用不合格的人数除以不合格的频率即可得到总频数（人数）c ，再依次求出a 、b .样本的总频数（人数）=120.1=120c ÷（人），其中：“优秀”等次的频率30==0.25120a ，“良好”等次的频数=1200.45=54b ⨯（人）．故答案为：0.25，54，120； （2）根据（1）良好人数即可补全条形统计图.（3）全校2400名乘以“优秀”和“良好”两个等级的频率和即可得到结论．具体解题过程参照答案． 【考点】频率统计表，条形统计图 21.【答案】（1）13（2）列出树状图如图所示：由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，所以，P （选化学、生物）21126==．答：小明同学选化学、生物的概率是16． 【解析】（1）小丽在“2”中已经选择了地理，还需要从剩下三科中进行选择一科生物，根据概率公式计算即可．（2）小明在“1”中已经选择了物理，可直接根据画树状图判断在4科中选择化学，生物可能情况有2种，再根据一共有12种情况，通过概率公式求出答案即可． 【考点】等可能概率事件22.【答案】（1）AD BC ∥，CBD ADB ∴∠=∠．MN 是对角线BD 的垂直平分线，OB OD ∴=，的MB MD =．在BON △和DOM △中，CBD ADB OB ODBON DOM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BON DOM ASA ∴△≌△，MD NB ∴=，∴四边形BNDM 为平行四边形．又MB MD = ，∴四边形BNDM 为菱形．（2） 四边形BNDM 为菱形，24BD =，10MN =．1190,12,522BOM OB BD OM MN ︒∴∠=====．在Rt BOM △中，13BM ===．∴菱形BNDM 周长441352BM ==⨯=．【解析】（1）先证明BON DOM ≌△△，得到四边形BNDM 为平行四边形，再根据菱形定义证明即可. 具体解题过程参照答案．（2）先根据菱形性质求出OB OM 、、再根据勾股定理求出BM ，问题得解．具体解题过程参照答案． 【考点】菱形判定与性质定理23.【答案】（1）设乙公司有x 人，则甲公司有(30)x -人，由题意得1000007140000306 x x⨯=-，解得180x =．经检验，180x =是原方程的解．30150x ∴-=．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A 种防疫物资m 箱，购买B 种防疫物资n 箱，由题意得1500012000100000140000 m n +=+，整理得4165m n =-．又因为10n ≥，且m 、n 为正整数，所以810m n =⎧⎨=⎩，415m n =⎧⎨=⎩．答：有2种购买方案：购买8箱A 种防疫物资、10箱B 种防疫物资，或购买4箱A 种防疫物资、15箱B 种防疫物资．【解析】（1）设乙公司有x 人，则甲公司有(30)x -人，根据对话，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论，具体解题过程参照答案．（2）设购买A 种防疫物资m 箱，购买B 种防疫物资n 箱，根据甲公司共捐款100 000元，公司共捐款140 000元．列出方程，求解出4165m n =-，根据整数解，约束出m n 、的值，即可得出方案．具体解题过程参照答案．【考点】分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题 24.【答案】（1）6(2,0)（2）设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+．将34,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)C 代入得34220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解的3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．所以直线AB 对应的函数表达式为3342y x =-．因为点D 在线段AB 上，可设33,(04)42D a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜≤，因为//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ．所以6,E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以221633333273(1)2428488ODE S a a a a a a ⎛⎫=⋅⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭△．所以当1a =时，ODE △面积的最大值为278． 【解析】（1）把点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数(0)my x x=＞，得：324m =，解得：6m =，A 点横坐标为：4，B 点横坐标为0，故C 点横坐标为：4022+=，故答案为：6，(2,0). （2）由AC 两点坐标求出直线AB 的解析式为3342y x =-，设D 坐标为33,(04)42D a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜≤，则6,E a a ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到2327(1)88ODE S a =--+△，即可解答.具体解题过程参照答案．【考点】函数与几何综合25.【答案】（1）如图1，由题意得，筒车每秒旋转53606056︒︒⨯÷=．连接OA ，在Rt ACO △中，2.211cos 315OC AOC OA ∠===，所以43AOC ︒∠=．所以1804327.45-=（秒）．答：盛水筒P 首次到达最高点所需时间为27.4秒．（2）如图2，盛水筒P 浮出水面3.4秒后，此时 3.4517AOP ︒︒∠=⨯=．所以431760POC AOC AOP ︒︒︒∠=∠+∠=+=．过点P 作PD OC ⊥，垂足为D ，在Rt POD △中，1cos603 1.52OD OP ︒=⋅=⨯=．2.2 1.50.7-=．答：此时盛水筒P 距离水面的高度0.7m ． （3）如图3，因为点P 在O 上，且MN 与O 相切，所以当P 在直线MN 上时，此时P是切点．连接OP ，所以OP MN ⊥．在Rt OPM △中，3cos 8OP POM OM ∠==，所以68POM ︒∠=．在Rt OCM △中， 2.211cos 840OC COM OM ∠===，所以74COM ︒∠=．所以180180687438POH POM COM ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=．所以需要的时间为387.65=（秒）．答：从最高点开始运动，7.6秒后盛水筒P 恰好在直线MN 上．【解析】（1）先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度，再利用三角函数确定43AOC ︒∠=，最后再计算出所求时间即可.具体解题过程参照答案．（2）先根据时间和速度计算出AOP ∠，进而得出POC ∠，最后利用三角函数计算出OD ，从而得到盛水筒P 距离水面的高度.具体解题过程参照答案．（3）先确定当P 在直线MN 上时，此时P 是切点，再利用三角函数得到68POM ︒∠=，74COM ︒∠=，从而计算出38POH ︒∠=，最后再计算出时间即可．具体解题过程参照答案．【考点】切线的性质，锐角三角函数，旋转 26．【答案】解：（1）当0y =时，2132022x x --=，解得11x =-，24x =．()()()1,04,00,2A B C ∴--、、．由题意得，设2L 对应的函数表达式为(1)(4)y a x x =+-，又2L 经过点(2,12)-，12(21)(24)a =+-∴-，2a = ，2L ∴对应的函数表达式为22(1)(4)268y x x x x =+-=--．（2）12L L 、与x 轴交点均为(1,0)A -、(4,0)B ，12L L ∴、的对称轴都是直线32x =． 点P 在直线32x =上．BP AP ∴=．如图1，当A 、C 、P 三点共线时，BP CP -的值最大，此时点P 为直线AC 与直线32x =的交点．由(1,0)A -、(0,2)C -可求得，直线AC 对应的函数表达式为22y x =--．∴点3,52P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）由题意可得，5AB =，CB =CA =ABC △中，222AB BC AC =+，故90,2ACB CB CA ︒∠==．由22131325222228y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，得顶点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为2L 的顶点P 在直线32x =上，点Q 在1L 上，PDQ ∴∠不可能是直角．第一种情况：当90DPQ ︒∠=时， 如图2，当QDP ABC △∽△时，则得12QP AC DP BC ==．设213,222Q x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2313,2222P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2213251392228228DP x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=----=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32QP x =-.由12QP DP =得213923228x x x -=-+，解得12113,22x x ==．32x = 时，点Q 与点P 重合，不符合题意，∴舍去，此时339,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 如图3，当DQP ABC △∽△时，则得12DP AC QP BC ==．设213,222Q x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2313,2222P x x ⎛⎫--⎪⎝⎭．2213251392228228DP x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=----=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32QP x =-．由12DP QP =得239324x x x -=-+，解得1253,22x x ==（舍），此时321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．第二种情况：当90DQP ︒∠=时， 如图4，当PDQ ABC △∽△时，则得12PQ AC DQ BC ==．过Q 作QM PD ⊥交对称轴于点M ，QDM PDQ △∽△．12QM PQ DM DQ ∴==．由图2可知3391139,,,2828M Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，8,4MD MQ == ．QD ∴=QD PD DM DQ =，代入得10PD =． 点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴点355,28P ⎛⎫⎪⎝⎭． 如图5，当DPQ ABC △∽△时，则12DQ AC PQ BC ==．过Q 作QM PD ⊥交对称轴于点M ，QDM PDQ △∽△，则2QM PQ DM DQ ==．由图3可知321,28M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，521,28Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12MD =，1MQ =，QD ∴=QD PD DM DQ =，代入得52PD =． 点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴点35,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，1339,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或2321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或435,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线2L 经过抛物线1L 与x 轴交点，故根据抛物线1L 可求AB 两点坐标进而由交点式设2L 为(1)(4)y a x x =+-，将点(2,12)-代入，即可求出解．具体解题过程参照答案．（2）由抛物线对称性可知PA PB =，BP CP AP CP ∴-=-，根据三角形两边之差小于第三边可知当当A 、C 、P 三点共线时，BP CP -的值最大，而P 点在对称轴为32x =上，由此求出点P 坐标．具体解题过程参照答案．（3）根据点ABC 坐标可证明ABC △为直角三角形，DPQ 与ABC △相似，分两种情况讨论：当90DPQ ︒∠=、90DQP ︒∠=时，分别利用对应边成比例求解即可．具体解题过程参照答案．【考点】二次函数的综合题，根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答。

第5讲 不等式与不等式组 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）一、单选题1．（2022·镇江）如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．a +b <0B ．b −a <0C ．2a >2bD ．a +2<b +22．（2021·南通）若关于x 的不等式组 {2x +3>12x −a ≤0 恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．7<a <8B ．7<a ≤8C ．7≤a <8D ．7≤a ≤83．（2021·大丰模拟）如果不等式 3x −m ≤0 有3个正整数解，那么 m 的取值不可以是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．124．（2021·姑苏模拟）对于不等式组 {x ≥0x +1<5 ，下列说法正确的是（ ） A ．此不等式组的解集是 −4≤x <4 B ．此不等式组有4个整数解C ．此不等式组的正整数解为1，2，3，4D ．此不等式组无解5．（2021·靖江模拟）下列说法不正确的是（ ）A ．若a <b ，则ax 2<bx 2B ．若a >b ，则−4a <−4bC ．若a >b ，则1−a <1−bD ．若a >b ，则a +x >b +x6．（2021·武进模拟）如图，数轴上点 M 、 N 对应的数分别为 m 、 n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m >nB ．m +n <0C ．−2m >−2nD ．mn <07．（2021·泗洪模拟）某单位为某中学捐赠了一批新桌椅.学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（ ） A ．80B ．120C ．160D ．2008．（2021·靖江模拟）若 a >b ，则下列各式中一定成立的是（ ）.A ．a −2>b −2B ．a −5<b −5C ．−2a >−2bD ．4a <4b9．（2021·秦淮模拟）已知a ＜b ，下列式子不成立．．．的是（ ） A ．a ＋2021＜b ＋2021 B ．a －2021＜b －2021C ．－2021a ＜－2021bD ．a2021 ＜b 202110．（2020·连云港）不等式组 {2x −1≤3x +1>2 的解集在数轴上表示为（ ）. A ．B ．C ．D ．二、填空题11．（2022·常州）如图，数轴上的点A 、B 分别表示实数a 、b ，则1a 1b.（填“>”、“=”或“<”）12．（2022·泰州）一次函数y =ax +2的图象经过点(1，0).当y>0时，x 的取值范围是 .13．（2022九下·沭阳模拟）若关于x 的不等式组{x −m <04−2x <0有2整数解，则m 的取值范围是14．（2022·沭阳模拟）若不等式mx >3m ，两边同除以m ，得x >3，则m 的取值范围为 . 15．（2021·扬州）在平面直角坐标系中，若点 P(1−m,5−2m) 在第二象限，则整数m 的值为 .16．（2021·泰州模拟）已知 m 是负整数，关于 x 的一元二次方程 x 2−2mx −4=0 的两根是x 1 、 x 2 ，若 x 1+x 2>x 1x 2 ，则 m 的值等于 .17．（2021·盐都模拟）某工厂计划m 天生产2160个零件，若安排15名工人每人每天加工a 个零件（a为整数）恰好完成.实际开工x 天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，则a 的值至少为 .18．（2021·扬州模拟）若关于x 的一元一次不等式组 {2x −1>3x +2x <m的解集是x ＜﹣3，则m 的取值范围是 .19．（2021·滨海模拟）某日上午，甲、乙两车先后从A 地出发沿同一条公路匀速前往B 地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s （千米）随行驶时间t （小时）变化的图象.乙车9点出发，若要在当天12点至13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v （单位∶千米/小时）的范围是 .20．（2020·高邮模拟）已知关于x的不等式（2a﹣b）x＞a﹣2b的解是x>52，则关于x的不等式ax+b＜0的解为.三、计算题21．解不等式组：{2x−13≥14x−5<3x+2.22．（2020·扬州）解不等式组{x+5≤03x−12≥2x+1，并写出它的最大负整数解.23．（2020·苏州模拟）解不等式组{3x−8<x 1+x2≤1+2x324．（2020·连云模拟）解不等式组：{3x+2>xx+23>43x25．（2020·浦口模拟）解不等式组{3(x−1)<5x+1x−12≥2x−4，并写出它的所有非负整数解.四、综合题26．（2020·苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a(m)，宽为b(m).（1）当a=20时，求b的值；（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围.27．（2020·南京）已知反比例函数y=k x的图象经过点(−2，−1)（1）求k的值（2）完成下面的解答解不等式组{2−x>1①kx>1②解：解不等式①，得.根据函数y=k x的图象，得不等式②得解集.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集.28．（2020·扬州模拟）2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同.（1）求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？（2）该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数的17 23，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，求商场共有几种进货方案？29．（2020·无锡模拟）“壮丽70载，奋进新时代”.值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元.（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的35，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元.①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m （件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？30．（2020·无锡模拟）某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%.（1）求今年A型车每辆售价多少元？（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？今年A、B两种型号车的进价和售价如下表：答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得：a ＜0＜b ，且 |a| ＜ |b| ，∴a +b >0 ，故A 选项的结论不成立； b −a >0 ，故B 选项的结论不成立； 2a <2b ，故C 选项的结论不成立； a +2<b +2 ，故D 选项的结论成立. 故答案为：D.【分析】由数轴可得a<0<b 且|a|<|b|，据此判断.2．【答案】C【解析】【解答】解：解不等式 2x +3>12 ，得： x >92，解不等式 x −a ≤0 ，得： x ≤a ， ∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7， ∴7≤a <8 ， 故答案为：C.【分析】先求出不等式组的解集，由不等式组只有3个整数解，即可确定a 的范围.3．【答案】D【解析】【解答】解：解 3x −m ⩽0 得 x ⩽m 3 ，∵ 不等式 3x −m ⩽0 有3个正整数解， ∴ 不等式的正整数解为1、2、3，∴3⩽m3<4 ，解得： 9⩽m <12 ， ∴m 的取值不可以是12. 故答案为：D.【分析】求解不等式可得x≤m 3，结合不等式有3个正整数解可得3≤m3<4，求解可得m 的范围，据此判断.4．【答案】B【解析】【解答】解： {x ≥0①x +1<5②，解①得x≥0， 解②得x ＜4，所以不等式组的解集为0≤x ＜4，所以不等式组的正整数解为0，1，2，3.故答案为：B.【分析】求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了取其公共部分可得不等式组的解集，进而找出解集范围内的正整数，据此判断.5．【答案】A【解析】【解答】解：A、若a<b，则ax2<bx2，x=0时不成立，此选项错误，符合题意；B、若a>b，则−4a<−4b，此选项正确，不符合题意；C、若a>b，则1−a<1−b，此选项正确，不符合题意；D、若a>b，则a+x>b+x，此选项正确，不符合题意.故答案为：A.【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：由图易知：m＜n，故A选项错误；∵原点位置不确定，∴B、D选项错误，∵m＜n，∴由不等式性质易得：﹣2m＞﹣2n，故C选项正确，故答案为：C.【分析】利用数轴上左边的数小于右边的数，可对A作出判断；原点位置不确定，可对B，D作出判断；利用不等式的性质3，可对C作出判断.7．【答案】B【解析】【解答】解：设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需x 2人，由题意得：2x+x2≤300，解得：x≤120；∴最多可搬桌椅的套数为120套，故答案为：B.【分析】设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需x2人，由“规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子”可得不等式，求解即可. 8．【答案】A【解析】【解答】解：∵a>b，∴a−2>b−2，a−5>b−5，故A符合题意；B不符合题意；∵a>b，∴−2a<−2b，4a>4b，故C，D不符合题意；故答案为：A.【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可. 9．【答案】C【解析】【解答】A. ∵a＜b，∴a＋2021＜b＋2021，故A正确，成立；B. ∵a＜b，∴a－2021＜b－2021，故B正确，成立；C. ∵a＜b，∴－2021a >－2021b，故C错误，不成立；D. ∵a＜b，∴a 2021＜b 2021故D正确，成立，故答案为：C.【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变；由不等式的性质并结合各选项可求解.10．【答案】C【解析】【解答】解{2x−1≤3①x+1>2②解不等式①得x≤2，解不等式②得x＞1故不等式的解集为1＜x≤2在数轴上表示如下：故答案为：C.【分析】先求出各不等式的解集，再找到其解集，即可在数轴上表示.11．【答案】>【解析】【解答】解：由图可得：1<a <b ， 由不等式的性质得：1a >1b，故答案为：>.【分析】根据A 、B 在数轴上的位置可得1<a<b ，然后根据不等式的性质，不等式的两边同时除以同一个正数，不等号方向不改变，据此即可得出答案.12．【答案】x<1【解析】【解答】解：把(1，0)代入一次函数y =ax +2，得a+2=0， 解得：a=-2， ∴y =−2x +2，当y>0时，即−2x +2>0， 解得：x<1. 故答案为：x<1.【分析】将（1，0）代入y=ax+2中可得a 的值，据此可得一次函数的解析式，然后令y>0，可得关于x 的一元一次不等式，求解即可.13．【答案】4<m≤5 【解析】【解答】解：{x −m <0①4−2x <0②解①得：x ＜m ， 解②得：x>2，则不等式组的解集是：2<x ＜m.不等式组有2个整数解，则整数解是3，4. 则4<m ≤5. 故答案为：4<m≤5.【分析】首先分别求出两个不等式的解集，据此可得不等式组的解集，然后根据不等式组只有2个整数解可得m 的范围.14．【答案】m >0【解析】【解答】解：若不等式mx>3m，两边同除以m，得x>3，则m>0.故答案为：m>0.【分析】根据不等式的性质：给不等式两边同时除以一个大于0的数，不等号方向不变进行解答. 15．【答案】2【解析】【解答】解：由题意得：{1−m<05−2m>0，解得：1<m<52，∴整数m的值为2，故答案为：2.【分析】根据第二象限点的坐标符号为负正，据此列出不等式组，求出解集即可. 16．【答案】－1【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2mx−4=0的两根是x1、x2∴x1+x2=2m，x1x2=−4∵x1+x2>x1x2∴2m>−4解得m>−2∵m是负整数∴m=−1故答案为：-1.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−b a=2m，x1x2=ca=-4，然后根据x1+x2>x1x2可得m的范围，结合m为负整数就可得到m的值.17．【答案】9【解析】【解答】解：∵某工厂计划m天生产2160个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成，∴15am=2160，∴am=144.∵实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，∴15ax+（15-3）（a+2）（m-x）＜2160，即ax+8m-8x＜144，∴ax+8m-8x＜am，∴8（m-x）＜a（m-x）.∵m＞x，∴a ＞8，∴a 至少为9.故答案为：9.【分析】根据15名工人的前期工作量＋12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答． 18．【答案】m ≥−3【解析】【解答】由不等数组 {2x −1>3x +2x <m 解得： {x <−3x <m， ∵原不等式组的解集为 x <−3 ，∴根据“同小取小”的原则，得 m ≥−3 ，故答案为： m ≥−3 .【分析】先求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而求出m 的范围.19．【答案】75≤v≤80【解析】【解答】解：根据图象可得，甲车的速度为60÷1=60（千米/时）.由题意，得 {v ≤4×603v ≥5×604解得75≤v≤80.故答案为：75≤v≤80.【分析】首先求出甲车的速度，然后求出甲车4小时、5小时行驶的距离，即乙车3小时、4小时的距离，然后根据4小时的速度≤v≤3小时的速度即可得到v 的范围.20．【答案】x ＞﹣8【解析】【解答】解：∵关于x 的不等式（2a ﹣b ）x ＞a ﹣2b 的解是 x >52， ∴2a ﹣b ＞0，x ＞a ﹣2b 2a ﹣b ∴2a ＞b ， a ﹣2b 2a ﹣b＝ 52 ∴2a ﹣4b ＝10a ﹣5b∴8a ＝b∴2a ＞8a∴a ＜0∵ax+b ＜0∴x＞﹣b a∵8a＝b∴x＞﹣8故答案为：x＞﹣8.【分析】先根据不等式（2a-b）x＞a-2b的解是x>52，得出2a-b＞0，并用含a和b的式子表示出不等式的解集；再得出a与b的数量关系，从而判断出a的正负，则不等式ax+b＜0可解.21．【答案】解：由题意知：{2x−13≥1①4x−5<3x+2②解不等式①：去分母得：2x−1≥3，移项得：2x≥4，系数化为1得：x≥2，解不等式②，得x<7，在数轴上表示不等式①、②的解集如图：∴不等式组的解集为2≤x<7.【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集.22．【答案】解：解不等式x＋5≤0，得x≤−5，解不等式3x−12≥2x+1，得：x≤−3，则不等式组的解集为x≤−5，所以不等式组的最大负整数解为−5.【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案.23．【答案】解：解不等式3x-8＜x，得：x＜4，解不等式1+x2≤1+2x3，得：x≥1，则不等式组的解集为1≤x＜4.【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集.24．【答案】解： {3x +2>x①x +23>43x②解不等式①得： x >−1 ，解不等式②得： x <2 ，所以不等式组的解集为： −1<x <2 .【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“大小小大中间找”确定不等式组的解集.25．【答案】解： {3（x −1）<5x +1①x−12≥2x −4② 解不等式 ①，得x>-2 .解不等式 ②，得 x ≤73. ∴原不等式组的解集是 −2<x ≤73. ∴原不等式组的非负整数解为0，1，2.【解析】【分析】分别解出两不等式的解集，然后根据“大小小大取中间”求其公共解，再找出解集范围内的整数解即可.26．【答案】（1）解：由题意，得 a +2b =50 ，当 a =20 时， 20+2b =50 .解得 b =15 .（2）解：∵18≤a ≤26 ， a =50−2b ，∴{50−2b ≥1850−2b ≤26解这个不等式组，得 12≤b ≤16 .答：矩形花园宽的取值范围为 12≤b ≤16 .【解析】【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b 的值；（2）由（1）可得a,b 之间的关系式，用含有b 的式子表示a,再结合 18≤a ≤26 ，列出关于b 的不等式组，接着不等式组即可求出b 的取值范围.27．【答案】（1）解：因为点 (−2，−1) 在反比例函数 y =k x的图像上， 所以点 (−2，−1) 的坐标满足 y =k x， 即 −1=k −2，解得 k =2 ； （2）x ＜1；0＜x ＜2；；0＜x ＜1【解析】【分析】（2）解：{2−x>1①kx>1②，解不等式①，得x<1；∵y=1时，x=2，∴根据函数y=k x的图象，得不等式②得解集0<x<2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为0<x<1.【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式①的解集；根据反比例函数的图象求出不等式②的解集，进而求出公共部分即可.28．【答案】（1）解：设甲种口罩进价x元/件，则乙种口罩进价为（40﹣x）元/件，90x=15040−xx=15，经检验x=15是原方程的解.∴40﹣x=25.答：甲，乙两种口罩分别是15元/件，25元/件；（2）解：设购进甲种口罩y件，则购进乙种口罩（480﹣y）件，则{y<1723(480−y)15y+25(480−y)≤10000，解得200≤y＜204.因为y是整数，甲种口罩的件数少于乙种口罩的件数，∴y取200，201，202，203，共有4种方案.【解析】【分析】（1）分别设出甲、乙两种口罩的进价，根据“用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同”列出方程，求解并检验即可得出答案；（2）设购进甲种口罩y件，则购进乙种口罩（480﹣y）件，根据“甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数的1723，药店决定此次进货的总资金不超过10000元”列出不等式组，解不等式组即可得出答案.29．【答案】（1）解：设甲种纪念文化衫每件的售价是x 元，乙种纪念文化衫每件的售价是y 元，由题意得：{x −y =152x +3y =255解得： {x =60y =45答：甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元.（2）解：①若购进甲种纪念文化衫m 件，则乙种纪念文化衫为（200﹣m ）件，由题意得：{50m +40(200−m)≤8780m >35(200−m) 解得：75＜m≤78∵m 为整数∴m 的值为：76，77，78.进货方案有三种，分别为：方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化衫为124件；方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件；方案三：购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件.②由题意得：W ＝（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m ）＝5m+1000∵5＞0∴W 随m 的增大而增大，且75＜m≤78∴当m ＝78时，W 最大，W 的最大值为：5×78+1000＝1390元.答：②当m ＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元.【解析】【分析】（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x 元，乙种纪念文化衫每件的售价是y 元，由题意，列二元一次方程组，求解即可；（2）①若购进甲种纪念文化衫m 件，则乙种纪念文化衫为（200−m ）件，由题意得一元一次不等式组，求解，并根据m 为整数，可求得m 的值，即可得进货方案；②用含m 的式子表示出W ，根据一次函数的性质可得答案.30．【答案】（1）解：设今年A 型车每辆售价为x 元，则去年A 型车每辆售价为（x−200）元， 根据题意得： 16000x−200=16000×(1+25%)x， 解得：x ＝1000，经检验，x ＝1000是原分式方程的解，答：今年A 型车每辆售价为1000元；（2）解：设购进A型车m辆，则购进B型车（50−m）辆，根据题意得：800m＋950（50−m）≤43000，解得：m≥30.销售利润为：（1000−800）m＋（1200−950）（50−m）＝−50m＋12500，∵−50＜0，∴当m＝30时，销售利润最多，50-30＝20（辆），答：当购进A型车30辆、购进B型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多.【解析】【分析】（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为（x−200）元，根据数量＝总价÷单价，结合今年6月份与去年同期相比销售数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（50−m）辆，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过4.3万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据销售利润＝单辆利润×购进数量即可得出销售利润关于m的函数关系式，利用一次函数的性质解决最值问题即可。

专题02方程与不等式的解法（1）一元一次方程的求解步骤去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并同类项：把方程化成的形式系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为（2）解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．（1）代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程适用类型：(1)方程组中有一个未知数的系数是1或－1；(2)一个方程的常数项为0（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加(或相减)，消去其中一个未知数，化为一元一次方程适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍4.分式方程的解法及注意事项（1）.解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）.解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．（3）解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．5.不等式（组）的解法及注意事项 （1）解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．（2）解一元一次不等式组解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．一．解答题（共16小题）1．（2022•淮安）解不等式组：{2(x −1)≥−43x−62＜x −1并写出它的正整数解． 2．（2022•徐州）（1）解方程：x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）解不等式组：{2x −1≥11+x 3＜x −1．3．（2022•镇江）（1）解方程：2x−2=1+xx−2+1； （2）解不等式组：{x −1＜2x 2(x −3)≤3−x． 4．（2022•盐城）解不等式组：{2x +1≥x +22x −1＜12(x +4)． 5．（2022•常州）解不等式组{5x −10≤0，x +3＞−2x，并把解集在数轴上表示出来．6．（2022•无锡）（1）解方程：x 2﹣2x ﹣5＝0；（2）解不等式组：{2(x +1)＞43x ≤x +5． 7．（2022•苏州）解方程：xx+1+3x =1． 8．（2022•扬州）解不等式组{x −2≤2x ，x −1＜1+2x 3，并求出它的所有整数解的和． 9．（2022•宿迁）解方程：2xx−2=1+1x−2．10．（2020•南京）解方程：x 2﹣2x ﹣3＝0．11．（2021•无锡）（1）解方程：2x （x ﹣2）＝1；（2）解不等式组：{13x −2＜2x +1，−2(x +2)＞x −1．12．（2021•镇江）（1）解方程：3x −2x−2=0；（2）解不等式组：{3x −1≥x +1x +4＜4x −2． 13．（2021•淮安）（1）计算：√9−（π﹣1）0﹣sin30°；（2）解不等式组：{4x −8≤0x+32＞3−x ． 14．（2021•泰州）（1）分解因式：x 3﹣9x ； （2）解方程：2x x−2+1=52−x ．15．（2021•徐州）（1）解方程：x 2﹣4x ﹣5＝0；（2）解不等式组：{2x −1≤3x +2＞3x +8． 16．（2021•常州）解方程组和不等式组：（1）{x +y =02x −y =3； （2）{3x +6＞0x −2＜−x ．一．解答题（共30小题）1．（2022•靖江市校级三模）（1）计算2sin60°+√12+|−5|−(x +√2)0；（2）解方程3−x x−4+14−x =1．2．（2022•江都区校级三模）（1）计算：|1−√2|+(π−3)0−2cos45°；（2）解不等式组：{1+x ＞−22x−13≤1． 3．（2022•仪征市校级模拟）（1）计算：20220+(13)−1+√4，（2）解方程组：{2x +y =23x −y =10． 4．（2022•江都区校级模拟）（1）解方程：（x +1）2﹣4＝0；（2）解不等式组：{3x −1≥x +1x +4＜4x −2． 5．（2022•高邮市校级模拟）（1）计算：（π﹣1.14）0+√8−4sin45°；（2）解方程组：{2x −y =4x −2y =−6． 6．（2022•广陵区校级三模）（1）计算：(4−π)0−|2−√3|−(14)−1+3tan30°；（2）解不等式组：{5−2(x −3)≤xx−12−1＞0．7．（2022•泉山区校级三模）（1）解方程：x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）解不等式组：{2(x −1)＜x +3，x +1＜2x −2.． 8．（2022•涟水县二模）（1）计算：√27−2cos30°+（π﹣1）0+|1−√3|；（2）解不等式组{x −1≤2−2x2x 3＞x−12．9．（2022•涟水县一模）（1）2﹣1﹣|1−√3|+tan60°； （2）解不等式组：{x +1≤4x −2x−12＜3． 10．（2022•扬州三模）（1）计算：（π﹣4）0−√16+（12）﹣2﹣tan45°； （2）解方程：x 2+√2x −1=0．11．（2022•丹徒区模拟）（1）解方程：2x−3−3x =0；（2）解不等式组：{4x −8≤0x+32＞3−x ．12．（2022•天宁区校级二模）解分式方程和不等式组：（1）1x−2+1−x 2−x=3； （2）{x+82＞3x −16−5x ≤1． 13．（2022秋•岳麓区校级月考）解不等式组：{3(x −1)＜5x +112x −1≤7−32x ． 14．（2022•宜兴市校级二模）（1）解方程：x 2﹣2x ﹣5＝0；（2）解不等式组：{3x −4＜52x−13＞x−22． 15．（2022•天宁区校级二模）解分式方程和不等式组：（1）1x−2+1−x 2−x=3； （2）{x+82＞3x −16−5x ≤1． 16．（2022•邳州市校级模拟）解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）（3x ﹣2）2＝x （3x ﹣2）．17．（2022•鼓楼区校级二模）（1）解方程：x 2﹣2x ﹣3＝0；（2）解不等式组：{2x +3≤1x −2＞4x +4． 18．（2022•泰州二模）（1）计算：(13)−1+√8+|−1|−4cos45°．（2）解不等式组{x +4＞−2x +1x 2−x−13≤1．19．（2022•鼓楼区校级三模）（1）解方程：2x+5=1x−3； （2）解不等式组：{−2x +3＞5①2x−13≥12x −23②． 20．（2022•淮安二模）（1）计算（﹣2）2+|−√3|+2sin60°−√12；（2）解不等式组{x −3(x −2)≤85−12x ＞2x ．21．（2022•淮安模拟）解不等式组{x +5＜03x−12≥2x +1并写出它的最大整数解． 22．（2022•高邮市模拟）若关于x 的不等式组{x−33≤x−223x −2(x −2)＜5+a 的解集恰好有3个整数解．求a 的取值范围．23．（2022•沭阳县模拟）计算与解方程：（1）3﹣1−√33tan30°+√8； （2）4x −x+22x =1．24．（2022•工业园区校级模拟）（1）计算：sin30°+（π﹣3.14）0+tan45°﹣（﹣1）2018；（2）解不等式组：{3x −1≥x +1x +4＜4x −2．25．（2022•淮阴区校级一模）（1）计算：3tan45°﹣（π﹣1）0+（12）﹣2； （2）解不等式组：{x−32＜x −12x +1≥5(x −1)． 26．（2022•淮阴区模拟）（1）计算：（√3−1）0+|﹣3|−√4；（2）解不等式组：{x+13＞x −1x −3(x −2)＜8． 27．（2022•丰县二模）（1）解方程：x 2﹣4x ﹣2＝0；（2）解不等式组：{3x −1≥x12(x +1)＜2． 28．（2022•常州一模）解方程和不等式组，（1）3x x−1−21−x =1；（2）{x +1＞03x −8≤−x并把解集在数轴上表示出来． 29．（2022•盐城一模）解不等式组：{5x 3−6＜−x 32x +3≥−3(x +1)．30．（2022•天宁区校级二模）解不等式组和方程（1）{x +1＞25+x ≥3(x −1)； （2）解方程x 2﹣2x ﹣5＝0．。

第二部分方程（组）与不等式（组）专题05 不等式（组）及不等式的应用核心考点一不等式的基本性质核心考点二一元一次不等式（组）的解法核心考点核心考点三含参不等式（组）问题核心考点四不等式的实际应用核心考点五方程与不等式结合的实际应用新题速递核心考点一不等式的基本性质例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项符合题意；数轴上的点分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）【答案】【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：，由不等式的性质得：，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．江苏淮安·中考真题）解不等式．解：去分母，得．……（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”）A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性质即可得．【详解】（1）去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得；（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．知识点：不等式及其基本性质1、定义：用不等号（>,≥,<,≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

2、基本性质性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即如果，那么性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果，，那么，性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果，，那么，性质4如果，那么性质5如果，，那么【变式1】．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．a，b，c不可能同时相等D．若，则【答案】B【分析】A.根据，则，根据，得出；B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；C.当时，可以使，，即可判断出答案；D.根据解析B可知，，即可判断．【详解】A.∵，∴，∵，∴，∴，故A错误；B.∵，即，∴，把代入得：，，解得：，故B正确；C.当时，可以使，，∴a，b，c可能同时相等，故C错误；D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．【变式2】（2022·江苏南通·一模）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x 的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（ ）A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13【答案】C【分析】根据不等式的性质，利用不等式的解集是得到，，然后把代入不等式中求解即可．【详解】解：∵不等式的解集是，∴（），，∴，不等式变形为，即，∵，∴．故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．解题的关键在于熟练掌握不等式的性质．【变式3】（2022·江苏宿迁·三模）若不等式，两边同除以m，得，则m的取值范围为__________．【答案】【分析】由不等式的基本性质知，据此可得答案．【详解】解：若不等式，两边同除以，得，则．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．【变式4】（2022·安徽·模拟预测）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，化简：|1﹣a|﹣a＝_____．【答案】【分析】根据不等式的基本性质得出1﹣a＜0，再由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．【详解】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为，∴1﹣a＜0，解得a＞1，即，∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了不等式的性质及绝对值的化简求值，解题的关键是掌握不等式的基本性质和绝对值的化简．【变式5】（2022·浙江杭州·一模）已知，，请比较M和N的大小．以下是小明的解答：∵，，∴．小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．【答案】有错；时，；时，；时，；【分析】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解．【详解】解：有错，正确解答如下．∵，，∴．∴当x>0时，2x>0，即，此时M>N；当x=0时，2x=0，即，此时M=N；当x<0时，2x<0，即，此时M<N．∴时，；时，；时，．【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键．核心考点二一元一次不等式（组）的解法例1（2022·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是（）A．B．C．D．【详解】解：，移项，合并同类项得：本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握中考真题）若在实数范围内有意义，则实数___________．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．中考真题）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．【答案】x≤1，图见解析【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示出来即可．【详解】解：解①得：x≤1，解②得：x<6，∴x≤1，解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．知识点：一元一次不等式及其解法定义含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。

2020年江苏省常州市中考数学经典试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线21 3.55y x =-+的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ） A ．3.5mB ．4 mC ．4.5 mD ．4.6 m2．不等式组201x x -<⎧⎨≥⎩的解集为（ ）A ．1≤x<2B ．x ≥1C ．x<2D ．无解3．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，若△A ′B ′ C ′与△ABC 关于y 轴对称，则点A 的对称点A ′的坐标为（ ） A ．（-4，2）B ．（-4，-2）C ．（4，-2）D ．（4，2）4．若不等式组211x a x a >-⎧⎨<+⎩无解，则a 的取值范围是（ ）A ．2a <B ．2a =C ．2a >D ．2a ≥5．将△ABC 的三个顶点的横坐标都乘-l ，纵坐标保持不变，则所得图形（ ） A ．与原图形关于x 轴对称 B ．与原图形关于k 轴对称 C ．与原图形关于原点对称 D ．向x 轴的负方向平移了一个单位 6．下列说法错误的是（ ） A ．不等式39x -<的解集是3x >- B ．不等式5x >的整数解有无数个 C ．不等式132x <的正整数解只有一个D ．—40 是不等式28x <-的一个解7．如图所示，把直线1l 沿箭头方向平移2.5 cm ，得直线2l , 则这两条直线之间的距离是（ ） A ．等于 2.5 cmB ．小于2.5 cmC ．大于2.5 cmD ． 以上都不对8．下列各选项中，右边图形与左边图形成轴对称的图形是（）A． B．C．D．9．中国足球队在训练时，教练安排了甲、乙两队进行一个对抗赛游戏. 要求甲队准确地将球传到如图所示的浅色区域，要求乙队准确地将球传到如图所示的深色区域. 下列对对抗赛哪一个队获胜的机会大的说法中，正确的是（）A．甲队，浅色区域面积大于深色区域面积B．乙队，浅色区域面积小于深色区域面积C．甲队，深色区域面积大于浅色区域面积D．乙队，深色区域面积小于浅色区域面积10．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（）A．3:4 B．2:3 C．3：5 D．1:211．9的算术平方根是（）A．±3 B． 3 C．－3 D．312．用计算器求0．35×15时，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．以上都不正确13．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（）A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对二、填空题14．人站在门缝往外看时,眼睛离门缝越近,看到的范围越大，这是因为．15．化简211222a a a ÷-的结果是 . 16．小明和小红两名同学进行射击比赛，小红射击20次，命中目标l6次，小明射击l5次， 命中目标l0次， 命中率高一些． 17．直接写出因式分解的结果：(1）=-222y y x ；（2）=+-3632a a ． 18．写出一个一无一次方程，使它的解为12x =-，这个方程是 .19． 有理数中，是整数而不是负数的是 ，是负有理数而不是分数的是 ．三、解答题20．如图，直角三角形纸片ABC ，∠Ｃ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，折叠△ABC 的一角，使点B 与点A 重合，展开得折痕DE ． （1）求证：△BED ∽△BCA ； （2）求BD 的长．21．如图，把四边形 ABCD 放大到原来的两倍.22．今有一机器人接到指令：在4×4的正方形（每个小正方形边长均为1）网格的格点．．上跳跃，每次跳跃的距离只能为1或2或2或5，机器人从A 点出发连续跳跃4次恰好跳回A 点，且跳跃的路线（A B C D A →→→→）所成的封闭图形为多边形．例如图①机器人跳跃四次的路线图形是四边形ABCD．仿照图①操作：(1）请你在网格图②中画出机器人跳跃的路线图形是直角梯形ABCD（只画一个图即可）；(2）请在网格图③中画出机器人跳跃的路线图形是面积为2的平行四边形ABCD（只画一个图即可）．23．已知一次函数物图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上?24．已知直角梯形ABCD如图所示，AD∥BC，AD=4，BC=6，AB=3．(1)请建立恰当的直角坐标系，并写出四个顶点的坐标；(2)若要使点A坐标为(-3，3)，该如何建立直角坐标系?25．下表是15位客年龄的人数分配表，因不小心被墨汁盖住了a、b、c三项人数，已知这群游客年龄的中位数是5岁．众数是6岁．年龄/ 岁34565565人数3a1b1c(1)(2)这样游客年龄的平均敦是多少岁？26．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BE=DE．已知AC=10cm，BD=8cm，求阴影部分的面积．27．如图所示的图案，此图案可由怎么样的基本图形通过平移得到?请你分析．28．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学共同调查了高峰时段宁波二环路十三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下.甲同学说：“二环路的车流量为每小时10000辆.”乙同学：“四环路比三环路每小时多2000辆.”丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍.”请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流晕各是多少.29．某市汽车站A到火车站F有四条不同的路线．如图所示，其中最短的路线是什么?(用字母表示)?30．浙江省的民营企业在市场经济的运作下，迅速壮大起来．从下面一个企业提供的数据之中，我们就能感觉到中国经济迅猛发展的趋势：1997年产值110万，l999年产值200万，2001年产值500万，2002年产值900万，2003年产值1700万．请你设计一张统计表，简明地表达这一段文字的信息．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．D4．Ｄ5．B6．C7．B8．C9．B10．A11．B12．B13．A二、填空题 14．眼睛离门缝越近，张角就越大，视野就越开阔15．1a -16．小红17．(1))1)(1(2-+x x y ；(2)2)1(3-a18．答案不唯一，如102x +=，210x += 19．正整数、零；负整数三、解答题 20．（1）由题意得：∠DEB=∠BCA=90°，∠B=∠B ，∴△BED ∽△BCA （2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB ＝2210AC BC += ，BE ＝21AB ＝5 ∵△BDE ～△BAC ，∴AB BD BC BE =，即1085BD= 解得BD ＝425 ∴BD 的长为425． 21．如图中四边形A 1B 1C 1D 1．22．(1） (2）解(1)解析式为y=2x+1；（2）点P(-l ，1)不在直线y=2x+1上 24． 略25．(1)a=4，b=5，c=1；(2)这群游客年龄的平均数是l2岁26．20cm 227．略28．设高峰时段三环路，的车流量为每小时x 辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时(2000x +)辆.根据题意，得3(2000)210000x x -+=⨯，解得11000x =， ∴200013000x +=辆.答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13 000辆.29．从A 经过线段BE 到F30．略A B C D 23．A B CD。