理论力学(30-23) 6-3 刚体平面运动微分方程
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O R
பைடு நூலகம்
C
第4 章 质系动力学
第4 章 质系动力学
例3 第6章
解
O R
例3 第6章
F
解 第6章
例4
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
1. 圆柱体的运动微分方程 圆柱体作平面运动, 由刚体平面运动微 分方程得:
n aC
aτ C
C C* mg
ε
N
&& ma Cτ = m (R r ) = F mg sin & ma Cn = m (R r ) 2 = N mg cos J C ε = Fr
& rω = (R r )
&& ε = (R r ) / r
圆柱体在圆槽上作大幅摆 动的非线性运动微分方程
&& 1 m(R r ) = F 2
3 ( R r ) + gsin = 0 && 2
第4 章 质系动力学
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
2. 圆槽对圆柱体的约束力
&& ma Cτ = m( R r ) = F mg sin ma Cn = m( R r ) 2 = N mg cos &
均质杆AB长为l,质量为m,用 两 根 细 绳 悬 挂.求当把 B绳突然剪断时,杆AB的角加速 度和A绳中的张力.
第4 章 质系动力学
第4 章 质系动力学
例4 第6章
解
o TA x
例4 第6章
讨论
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
AB杆的动力学方程: mxc = mg TA && myc = 0 && && yC = 0
⑵ 既滑又滚:已知 vA 和?
第6章
vA
动量: = mvC = m( v A +eω ) p
动量矩参考质心 LB = LC + r BC × m vC
LB = J A me 2 ω + m ( R +e )( v A + eω ) = [ J A meR] ω + m( R + e )v A
1 ml 2 ε = 1 lT 12 2 A
y
ε
c
A
&&c y &&c x
B
mg
需补充方程后求解
ac = aA + art + a rn
arn = 0 (ω = 0)
&& x c = art = 1 lε 2 ar t = lε / 2
联立求解 3g ε= 2l
第4 章 质系动力学
TA = 1 mg 4
i i
= m?C × v A + J A?
vir = ? × ri
仅当A点为质心或定点(瞬心)时才有:
LA = J A ?
第4 章 质系动力学
问题都在 LA ≠ J Aω
第4 章 质系动力学
作业6 作业 6-7讨论 第6章
讨论
ω
C R B A
对瞬心的动量矩定理
例3 第6章
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
|
一般对C点列平面运动微分 方程.偏心情况能否直接 用对A点的动量矩定理求解?
dLA = M (Ae) + mv C × v A dt
O
y x
LA = L + rC × m v C C
( e) A是瞬心: dtA = M A
C A mg F x
dL
N
LA = J Aω = ( JC + mρ 2 )ω
dL dρ 2 但 d tA = J A ε + mω dt d LA ≠ JAε dt 第4 章 质系动力学
仅当动瞬心A到质心C 的距离保持不变时才有:
d LA = JAε dt
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
半径为r,质量为 m的均质圆柱体,在半径 为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 .在初始位置 = 0 ,由静止向下滚动.求: 1. 圆柱体的运动微分方程; 2. 圆槽对圆柱体的约束力; 3. 微振动周期.
质量为m,半径为 R的均质圆盘沿倾角为 α 的斜面上只滚不滑,如图所示.试求圆盘 的质心加速度和斜面对圆盘的约束力.不 计滚动摩阻.
y x
O C
自由度=1
A N
mg F x
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
取x为广义坐标
&& x = R &&
y x
&& = 2 g sin α x 3
F = 1 mg sinα 3
? LC = J C?
J C = J A me
2
2
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
LB = LC + r BC × m vC
第6章
vA
v LB = J A me 2 + m ( R + e ) 2 A R
LC = L A rAC × mvC
LC = [ J A em ( R + e )]
mxC = ∑ X i & & myC = ∑Yi && JC = ∑ mC ( F ) && i
i =1 i =1 n i =1 n n
y' vir ri
C
x'
F1
ac
F2
刚体平面运 动微分方程
O
x
刚体相对质心的动量矩
LC = ∑ ri m vi r = ∑ mi ri 2ω = J C ω i
&& m l ( θ sin θ θ& 2 cosθ ) = YB mg 2
1 ml 2θ = Y l sin θ X l cos θ && B A 12 2 2
&& & m l (θ cosθ θ 2 sin θ ) = X A 2
O
第44 章 质系动力学 第 章 质系动力学
x
B
(c)
θ 0 = 0; && 将式(a)和(b)代入(c): θ = 3 g sin θ 2l θ&0 = 0 & dθ && θ = dθ 3g & dθ dt θ2 = (1 cosθ ) l 3 mg sin θ (3cosθ 2) XA = 4 θ = arccos 2 杆脱离墙的条件:X A = 0 3
第6章
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
刚体平面运动微分方程 第6章 把平面运动分解为跟随质心 质
y
Fn
作业: 6-16; 6-22; 6-26
第3节
刚体平面运动微分方程
参考题:6-15; 6-21
系 动 量 和 动 量 矩 定 理
的平动加围绕质心 的转动. 联合应用质心运动定理 和 对质心的动量矩定理
刚体平面运动微分方程:
&& m l ( θ sin θ θ& 2 cosθ ) = YB mg (b) 2
1 ml 2θ = Y l sin θ X l cos θ && B A 12 2 2
第4 章 质系动力学
& & m l (θ& cos θ θ 2 sinθ ) = X A 2
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
&& F = mg sin + m R r) ( & N = mg cos + m( R r ) 2
3. 微振动的周期
3 (R r ) + g sin = 0 && 2
sin ≈
T = 2π 3( R r ) 2g
&& +
2g =0 3(R r )
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
O C A N mg F x
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
F = 1 mg sin α , 3
v 圆盘在斜面上不打滑
的条件 F ≤ N ≥ 1 tan α 3
v 若圆盘将又滚又滑,
O C A N mg F x
则补充方程为 F = 'N 代入得:
&& x = g(sin α ′ cos α ) ′g && =2 cosα R x && && 能否用 && =R 求 ?
y 这时 &&A = 0
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
当突然把绳AB剪断时,如何补充运动学方程?
O
A
α l
B
y 这时 &&A ≠ 0
第4 章 质系动力学
�
&& mx = mg sin α F
N = mg cos α
第4 章 质系动力学
1 mR 2 = FR & & 2
第4 章 质系动力学
第4 章 质系动力学
例2 第6章
例2 第6章
解
y
例2 第6章
解
(a) (b) (c)
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
长为l 质量为m的均质细杆AB位于铅垂平面 内.开始时杆AB直立于墙面,受微小干扰 后B端由静止状态开始沿水平面滑动.求杆 在任意位置受到墙的约束反力(表示为θ 的 函数形式).不计摩擦.
y
A
θ
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
取θ 为广义坐标
பைடு நூலகம்
C
第4 章 质系动力学
第4 章 质系动力学
例3 第6章
解
O R
例3 第6章
F
解 第6章
例4
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
1. 圆柱体的运动微分方程 圆柱体作平面运动, 由刚体平面运动微 分方程得:
n aC
aτ C
C C* mg
ε
N
&& ma Cτ = m (R r ) = F mg sin & ma Cn = m (R r ) 2 = N mg cos J C ε = Fr
& rω = (R r )
&& ε = (R r ) / r
圆柱体在圆槽上作大幅摆 动的非线性运动微分方程
&& 1 m(R r ) = F 2
3 ( R r ) + gsin = 0 && 2
第4 章 质系动力学
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
2. 圆槽对圆柱体的约束力
&& ma Cτ = m( R r ) = F mg sin ma Cn = m( R r ) 2 = N mg cos &
均质杆AB长为l,质量为m,用 两 根 细 绳 悬 挂.求当把 B绳突然剪断时,杆AB的角加速 度和A绳中的张力.
第4 章 质系动力学
第4 章 质系动力学
例4 第6章
解
o TA x
例4 第6章
讨论
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
AB杆的动力学方程: mxc = mg TA && myc = 0 && && yC = 0
⑵ 既滑又滚:已知 vA 和?
第6章
vA
动量: = mvC = m( v A +eω ) p
动量矩参考质心 LB = LC + r BC × m vC
LB = J A me 2 ω + m ( R +e )( v A + eω ) = [ J A meR] ω + m( R + e )v A
1 ml 2 ε = 1 lT 12 2 A
y
ε
c
A
&&c y &&c x
B
mg
需补充方程后求解
ac = aA + art + a rn
arn = 0 (ω = 0)
&& x c = art = 1 lε 2 ar t = lε / 2
联立求解 3g ε= 2l
第4 章 质系动力学
TA = 1 mg 4
i i
= m?C × v A + J A?
vir = ? × ri
仅当A点为质心或定点(瞬心)时才有:
LA = J A ?
第4 章 质系动力学
问题都在 LA ≠ J Aω
第4 章 质系动力学
作业6 作业 6-7讨论 第6章
讨论
ω
C R B A
对瞬心的动量矩定理
例3 第6章
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
|
一般对C点列平面运动微分 方程.偏心情况能否直接 用对A点的动量矩定理求解?
dLA = M (Ae) + mv C × v A dt
O
y x
LA = L + rC × m v C C
( e) A是瞬心: dtA = M A
C A mg F x
dL
N
LA = J Aω = ( JC + mρ 2 )ω
dL dρ 2 但 d tA = J A ε + mω dt d LA ≠ JAε dt 第4 章 质系动力学
仅当动瞬心A到质心C 的距离保持不变时才有:
d LA = JAε dt
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
半径为r,质量为 m的均质圆柱体,在半径 为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 .在初始位置 = 0 ,由静止向下滚动.求: 1. 圆柱体的运动微分方程; 2. 圆槽对圆柱体的约束力; 3. 微振动周期.
质量为m,半径为 R的均质圆盘沿倾角为 α 的斜面上只滚不滑,如图所示.试求圆盘 的质心加速度和斜面对圆盘的约束力.不 计滚动摩阻.
y x
O C
自由度=1
A N
mg F x
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
取x为广义坐标
&& x = R &&
y x
&& = 2 g sin α x 3
F = 1 mg sinα 3
? LC = J C?
J C = J A me
2
2
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
LB = LC + r BC × m vC
第6章
vA
v LB = J A me 2 + m ( R + e ) 2 A R
LC = L A rAC × mvC
LC = [ J A em ( R + e )]
mxC = ∑ X i & & myC = ∑Yi && JC = ∑ mC ( F ) && i
i =1 i =1 n i =1 n n
y' vir ri
C
x'
F1
ac
F2
刚体平面运 动微分方程
O
x
刚体相对质心的动量矩
LC = ∑ ri m vi r = ∑ mi ri 2ω = J C ω i
&& m l ( θ sin θ θ& 2 cosθ ) = YB mg 2
1 ml 2θ = Y l sin θ X l cos θ && B A 12 2 2
&& & m l (θ cosθ θ 2 sin θ ) = X A 2
O
第44 章 质系动力学 第 章 质系动力学
x
B
(c)
θ 0 = 0; && 将式(a)和(b)代入(c): θ = 3 g sin θ 2l θ&0 = 0 & dθ && θ = dθ 3g & dθ dt θ2 = (1 cosθ ) l 3 mg sin θ (3cosθ 2) XA = 4 θ = arccos 2 杆脱离墙的条件:X A = 0 3
第6章
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
刚体平面运动微分方程 第6章 把平面运动分解为跟随质心 质
y
Fn
作业: 6-16; 6-22; 6-26
第3节
刚体平面运动微分方程
参考题:6-15; 6-21
系 动 量 和 动 量 矩 定 理
的平动加围绕质心 的转动. 联合应用质心运动定理 和 对质心的动量矩定理
刚体平面运动微分方程:
&& m l ( θ sin θ θ& 2 cosθ ) = YB mg (b) 2
1 ml 2θ = Y l sin θ X l cos θ && B A 12 2 2
第4 章 质系动力学
& & m l (θ& cos θ θ 2 sinθ ) = X A 2
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
&& F = mg sin + m R r) ( & N = mg cos + m( R r ) 2
3. 微振动的周期
3 (R r ) + g sin = 0 && 2
sin ≈
T = 2π 3( R r ) 2g
&& +
2g =0 3(R r )
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
O C A N mg F x
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
F = 1 mg sin α , 3
v 圆盘在斜面上不打滑
的条件 F ≤ N ≥ 1 tan α 3
v 若圆盘将又滚又滑,
O C A N mg F x
则补充方程为 F = 'N 代入得:
&& x = g(sin α ′ cos α ) ′g && =2 cosα R x && && 能否用 && =R 求 ?
y 这时 &&A = 0
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
当突然把绳AB剪断时,如何补充运动学方程?
O
A
α l
B
y 这时 &&A ≠ 0
第4 章 质系动力学
�
&& mx = mg sin α F
N = mg cos α
第4 章 质系动力学
1 mR 2 = FR & & 2
第4 章 质系动力学
第4 章 质系动力学
例2 第6章
例2 第6章
解
y
例2 第6章
解
(a) (b) (c)
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
长为l 质量为m的均质细杆AB位于铅垂平面 内.开始时杆AB直立于墙面,受微小干扰 后B端由静止状态开始沿水平面滑动.求杆 在任意位置受到墙的约束反力(表示为θ 的 函数形式).不计摩擦.
y
A
θ
质 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
取θ 为广义坐标
