第12讲代数式

第12讲角及余角、补角、对顶角（9大考点）考点考向一、角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．二、角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA . 4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。

第12讲一元一次方程的实际应用（二）知识导航1．列一元一次方程解决行程问题；2．列一元一次方程解决工程问题；3．列一元一次方程解决调配与配套问题；4．列一元一次方程解决利润问题．【板块一】行程问题方法技巧1．行程问题有相遇问题，追及问题，顺流（风）、逆流（风）问题，上坡、下坡问题等．在运动形式上分直线运动及曲线运动．2．相遇问题是相向而行，相遇时的总路程＝两运动物体的路程和．3．追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追．4．顺流（风）、逆流（风）和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同．题型一一般行程问题【例1】一列匀速前进的火车，从它进入320米长隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，求这列火车的长为多少米？【练1】某人骑自行车由甲地驶向乙地，如果每小时比原来的速度快6公里，便可以早到5分钟；如果每小时比原来的速度慢5公里，便要迟到6分钟．求甲、乙两地的距离为多少公里？题型二相遇问题【例2】小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进．已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米．求A，B两地间的路程．【练2】A，B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72km，甲车出发25min后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自按原来速度继续行驶，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？题型三追及问题【例3】A，B两地相距480km，一列慢车从A地出发，每小时行走50km，一列快车从B地出发，每小时走70km．⑴两车同时出发，相向而行，出发后多少小时相遇？⑵若两车同时出发，同向而行，慢车在快车前面，相遇前经过多少小时两车相距200km?相遇后经过多少小时两车相距200km?【练3】甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．⑴求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）⑵若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？题型四 流水问题与上、下坡问题【例4】某船从A 地顺流而下到达B 地，然后逆流返回，到达A ，B 两地之间的C 地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时．A ，C 两地之间的路程为10千米，求A ，B 两地之间的路程.【练4】如图所示，折线AC －CB 是一条公路的示意图，AC ＝8km ．甲骑摩托车从A 地沿这条公路到B 地，速度为40km /h ，乙骑自行车从C 地到B 地，速度为10km /h ，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟．求这条公路的长．针对练习11、 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（ ）A . 0.5小时B . 1小时C . 1.2小时D . 1.5小时2、我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载:“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”.如果设良马x 日追上驽马，那么根据题意，可列方程为 .3、已知A 、B 两地相距350千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行.若甲车速度为110千米/ 时，乙车速度为90千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t ＝ 小时.4、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相 同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内 可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生. (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，紧急情况时学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在5分钟通过这4道门安全撤离，假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生.问：建造的4道门是否符合安全规定？请说明理由.ACB5、为赴台湾考察学习，小颖的爸爸在元旦节的早晨7点自驾一辆小轿车(平均速度为60千米/时)从家里出发赶往距家45千米的重庆江北机场，此时，距规定到达机场的时间仅剩90分钟. 7点30分时小颖发现爸爸忘了带身份证，急忙通知爸爸返同，同时她乘坐出租车以40千米/时的平均速度直奔机场(打电话和上出租车的时间忽略不计)，与此同时，爸爸接到通知后继续往机场方向行驶了5分钟后返同，结果不到30分钟就遇上了小颖(拿身份证的时间忽略不计)，并立即赶赴机场，请问：（1）设小颖从7点30分出发经过x小时与爸爸相遇，则与爸爸相遇时小颖行驶千米，爸爸返回千米(均用含x的代数式表示)；（2）小颖的爸爸能否在规定的时间内赶到机场？6.有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上返回C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5 km，水流速度为每小时2.5 km，A、C两地间的距离为10km.如果乙船由A地经过B地再到达C地共用了4h，问:乙船从B到到达C地时，甲船距离B地有多远？【板块二】工程问题方法技巧1、基本量之间的关系：工作量＝工作效率╳工作时间.2、当总工作量未给出具体数量时，常把总工作量当作整体1.常用的相等关系为：总工作量＝各部分工作量的和.题型一有具体数量作为工作量【例5】某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m.求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.【练5】有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及粉刷，同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面.（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；（2）张师傅现有36个这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟去，需要几天完成？题型二没有具体数量作为工作量【例6】检修一处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合做完成，问乙中途离开了几天？【练6】一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨.问：（1）乙车每次所运货物是甲车每次所运货物量的几倍？(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这次货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费20元计算）题型三牛吃草问题（总工作量发生变化）【例7】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？【练7】山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则 20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？针对练习21、完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是( )A. 2.8B. 3C. 6D. 122、为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要 .3、某农民在农贸市场卖鸡，甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好卖完，则该农民一共卖了只鸡.4、刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成.现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣 4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣.再绣多少天可以完成这件作品？5、甲、乙两个施工队在六安(六盘水一安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设 5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离.若设甲队每天铺设x米，则乙队每天铺设(x—100)米.(1)依题意列出一元一次方程；(2)求出甲、乙两个施工队每天各铺设多少米.6、—棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机，采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时.(1)一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？(2)—个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值.【板块三】调配及配套问题方法技巧1.调配问题的相等关系往往通过题目中的一句关键的语气呈现.2．产品配套问题的相等关系要抓住成套产品的两个部件之间固有的倍数关系．题型一调配问题【例8】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有14人，在乙处植树的有6人，现调70人去支援．(1)若要使在甲处植树的人数与在乙处植树的人数相等，应调往甲处人．(2)若要使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？(3)通过适当的调配支援人数，使在甲处植树的人数恰好是在乙处植树人数的n倍（n是大于1的正整数，不包括1．）则符合条件的n的值共有个．【练8】某工厂生产一批桌椅，甲车间有29人生产桌子，乙车间有17人生产椅子，现要赶工期，总公司调20人去支援，使甲车间的人数为乙车间人数的2倍，应调往甲、乙车间各多少人？题型二配套问题【例9】某儿童三轮车厂有95名工人，每人每天能生产车身9个或车轮30个．要使每天生产的车身和车轮恰好配套（一个车身配三个车轮），应安排生产车身和车轮各多少人？【练9】某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？针对练习31．食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输，为提高质量，做进一步研究，某饮料加工在厂需生产A，B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添剂3克，饮料加工厂生产了A，B两种饮料各多少瓶？2．某服装厂加工车间有工人54人，每人每天可以加工上衣8件或裤子10条（一件上衣配一条裤子），应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？3．甲仓库和乙仓库分别存放着某种机器20台和6台．现在准备调运给A厂10台，B厂16台，已知从甲库调运一台机器到A厂的运费为400元，到B厂的运费为800无；从乙库调运一台机器到A厂的运费为300元，到B厂的运费为500元，如果总运费用了16000元．求：从甲库调给A厂，乙库调给B厂各为多少台机器？4．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件。

探索规律（基础）知识讲解【学习目标】1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】类型一、数式规律1．按某种规律在横线上填上适当的数：（1）1，3，5，7，9，11，，………；（2）3，6，12，24，48，96，，………；（3）1，4，9，16，25，36，，………；（4）0，3，8，15，24，35，，………；（5）2，-2，2，-2，2，-2，，……….【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2.【解析】+=；解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：11213⨯=；（2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：962192(3) 这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：2=；749+=；(4) 这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：351348（5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7个数为：2．【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数＋固定数值×（n -1）.（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q （q ≠0），则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数×1n q-.(3) 一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n 个数为：2n 或3n . （4）此数列满足：差值呈固定值2增长，第n 个数为21n -. （5）此数列中的第n 个数可表示为1(1)2n +-⨯.举一反三：【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数： (1) －5，－2，1，4， ； (2) 2，5，10，17， ，37； (3) 1，8，27，64， ，216 ．【答案】（1） 7 （2）， 26 （3） 125【变式2】（德州）一组数1，1，2，x ，5，y …满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为（ ） A ．8 B ．9 C ．13D ．15【答案】A ．解：∵每个数都等于它前面的两个数之和， ∴x =1+2=3， ∴y =x +5=3+5=8，即这组数中y 表示的数为8．2.（丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是 ．【思路点拨】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案． 【答案】﹣．【解析】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.举一反三：【变式】根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，… ．对于正整数n（n≥4），猜想：1+2+ … +（n-1）+n+（n-l）+ … +2+1=．【答案】n2类型二、图表规律3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:（1）填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.【答案与解析】解：（1）三角形个数 1 2 3 4 5火柴棒根数 3 5 7 9 11 （2）搭n个这样的三角形需要2n+1 根火柴棒【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.举一反三：【变式】观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．n【答案】314．（泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A.135 B．170 C．209 D．252【答案】C．【解析】解：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．举一反三：【变式】观察下列有序整数对：（1，1）．（1，2），（2，1）．（1，3），（2，2），（3，1）（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是【答案】（5,6）5．如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“♣”，共个．【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第503♣．【答案】503【解析】解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4＝503．所以共有503个♣．【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．举一反三：【变式】观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…【答案】五角星提示：6个一循环．。

第12讲 全等三角形的综合本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．模块一：全等三角形判定的综合知识精讲全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．例题解析例1.已知：AE ＝ED ，BD ＝AB ，试说明：CA ＝CD ．【难度】★【解析】在△ABE 与△DBE 中，AE ED AB BD BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE DBE SSS ∴∆≅∆，AEB DEB ∴∠=∠， AEC DEC ∴∠=∠．在△ACE 与△DCE 中，AE ED AEC DEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEC DEC SAS ∴∆≅，CA CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例2.如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，试说明：AE ＝DE ．【难度】★【解析】在△ABC 和△DCB 中，AB DC AC DB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DCB （S.S.S ）， ∴∠ABC=∠DCB ．在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABC DCB BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （S.A.S ）， ∴AE=DE （全等三角形的对应边相等）．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例3.已知：AB ∥CD ，OE ＝OF ，试说明：AB ＝CD ．【难度】★【解析】//AB CD ，A D B C ∴∠=∠∠=∠，．(..)A D B CA D AOE DOF AOE DOF OE OF AOE DOF A A S AO DO∴∠=∠∠=∠∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=，在和中，，(..)AO DO AOB DOC A DB C AOB DOC A A S =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆在和中，AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．例4.如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB =CD ，AB ∥CD ．试说明：BD 平分EF ．【难度】★★【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A=∠C ．在△AGB 和△CGD 中，A C AGB CGD AB CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔAGB ≌ΔCGD(AAS)， ∴BG=DG ．∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠BEG=∠DFG=90°．在△BGE 和△DGF 中，BGE DGF BEG DGF BG DG ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔBGE ≌ΔDGF (A .A .S )， ∴GE=GF ， 即BD 平分EF ．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．例5.如图，已知AD =AE ，AB =AC ．试说明：BF =FC ．【难度】★★【解析】ABE ACD ∆∆在和中，AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆， B C ∴∠=∠．BD AB AD CE AC AE BD CE =-=-∴=，，．BDF CEF ∆∆在和中，DFB EFC B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)BDF CEF A A S ∴∆≅∆ ， .BF CF ∴= 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．例6．（2018·山东济南市·七年级期中）如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠ ∴EAF BAD ∠=∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．例7．（2020·山东东营市·七年级期中）如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：ABE CBD ≅△△；（2）证明：∠1=∠3．【分析】（1）先根据角的和差可得ABE CBD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据三角形全等的性质可得A C ∠=∠，再根据对顶角相等可得AFB CFE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证．【详解】（1）12∠=∠，12CBE CBE ∴∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE △和CBD 中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CBD SAS ∴≅；（2）由（1）已证：ABE CBD ≅△△，A C ∴∠=∠，由对顶角相等得：AFB CFE ∠=∠，又11803180A AFB C CFE ∠=︒-∠-∠⎧⎨∠=︒-∠-∠⎩， 13∠∠∴=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．例8．（2020·山东济南市·七年级期末）已知Rt △ABC 和Rt △DBE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，DB ＝EB ， CE 所在的直线交AD 于点F ．(1)如图1，若点D 在△ABC 外，点B 在AB 边上，求证：AD ＝CE ，AD ⊥CE ．(2)若将图1中的△DBE 绕点B 顺时针旋转，使点B 在△ABC 内部，如图2，求证：AD ＝CE ，AD ⊥CE ．(3)若将图1中的△DBE 绕点B 逆时针旋转，使点D 、E 都在△ABC 外部，如图3，请直出AD和CE 的数量和位置关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD CE =，AD CE ⊥【分析】（1）证明ABD CBE ≌，根据全等三角形的性质得到AD CE =，BAD BCE ∠=∠，根据垂直的定义证明即可；（2）证明ABD CBE ∠=∠，同（1）的方法证明；（3）证明ABD CBE ∠=∠，同（2）的方法证明结论．【详解】（1）证明：在ABD △和CBE △中，90DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABD ∠=︒，90ADB BAD ∴∠+∠=︒，90ADB BCE ∴∠+∠=︒，90CFD ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥；（2）证明：ABC DBE ∠=∠，ABC ABE DBE ABE ∴∠-∠=∠-∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABC ∠=︒，90BOC BAE ∴∠+∠=︒，BOC AOF ∠=∠，90BAD AOF ∴∠+∠=︒，90AFO ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥；（3）AD CE =，AD CE ⊥；理由如下：ABC DBE ∠=∠，ABC ABE DBE ABE ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABC ∠=︒，90BOC BAE ∴∠+∠=︒，BOC AOF ∠=∠，90BAD AOF ∴∠+∠=︒，90AFO ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例9．（2020·山东枣庄市·七年级期末）如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是ts ．（1）在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；（2）在运动过程中，当BPD CQP ≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ ≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上；（2）1t ＝；（3）不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得3BP CQ t ＝＝，则83CP t -＝，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，CP CQ ＝，∴833t t -＝， 解得，43t =， 则当43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上； （2）∵D 为AB 的中点，10AB AC ＝＝，∴5BD ＝，∵BPD CQP ≌，∴BD CP ＝，∴835t -＝，解得，1t ＝， 则当BPD CQP ≌时，1t ＝； （3）不存在，∵BPD CPQ △≌△，∴BD CQ BP CP ＝，＝，则35383t t t -＝，＝ 解得，53t =，43t =， ∴不存在某一时刻t ，使BPD CPQ △≌△．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．模块二：添加辅助线构造全等三角形知识精讲1、 倍长中线法；2、 添加平行线构造全等三角形；3、 截长补短构造全等的三角形；4、 图形的运动构造全等三角形．例题解析例1．（2018·江西吉安市·七年级期中）如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，连接AD ，并延长到点E 使DE=AD ，再连接CE. 若AC=10，AB=6，求中线AD 的取值范围.【答案】2＜AD ＜8.【分析】先证△ABD ≌△ECD(SAS),证得4＜AE ＜16，由此即可求得AD 的取值范围.【详解】∵D 是BC 边的中点，∴BD=CD.又∠ADB 与∠EDC 是对顶角，∴∠ADB=∠EDC.在△ABD 和△ECD 中，ADB EDC BD CD,AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ECD(SAS),∴CE=AB=6.在△ACE 中，AE ＞AC-CE,且AE ＜AC+CE,∴4＜AE ＜16，即4＜2AD ＜16，∴2＜AD ＜8.【点睛】此题考查三角形的中线的性质，根据全等证得中线的2倍线段AE 的取值范围是解题的关键.例2．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD 为△ABC 的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC 的取值范围.解：延长AD 到E,使DE = AD,连接BE.因为AD 为△ABC 的中线，所以BD=CD ．在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________).因为AB+BE>AE(_____________________)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>_______cm.【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD.在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).所以BE=AC(全等三角形的性质).因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>8cm.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.例3．（2020·辽宁锦州市·）在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由；（2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由．【答案】（1）全等，见解析；（2）全等，见解析【分析】（1）首先根据同角的余角证明∠DAC ＝∠BCE ，再利用AAS 定理证明△DAC ≌△ECB ；（2）首先根据同角的余角证明∠DAC ＝∠BCE ，进而利用HL 定理证明△ACD ≌△CBE ．【详解】（1）如图1，全等，理由：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠DAC+∠DCA ＝∠BCE+∠DCA ，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△DAC 与△ECB 中，∵90DAC BCE ADC CEB AC BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△ECB （AAS ）；（2）如图2，全等，理由：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN ，∴∠DAC+∠ACD ＝∠ACD+∠BCE ，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ACD 与△CBE 中，∵DAC ECB ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题．4．（2020·辽宁丹东市·七年级期末）已知：如图1，在ABC ∆和ADE ∆中，C E ∠=∠，CAE DAB ∠=∠，BC DE =．（1）请说明ABC ADE ∆∆≌．（2）如图2，连接CE 和BD ，DE ，AD 与BC 分别交于点M 和N ，56DMB ∠=︒，求ACE ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若CN EM =，请直接写出CBA ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA =6°．【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD ，结合已知条件，用AAS 可判定△ABC ≌△ADE ；(2)由(1)中△ABC ≌△ADE 可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB 可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE ，可得∠ACE =∠AEC=1(18056)622︒-︒=︒； (3) 连接AM ，先证NCA MEA ≅(SAS),得到AM=AN,EAM CAN ∠=∠,进而可得EAC MAN ∠=∠,由(2)可知=56EAC MAN ︒∠=∠,根据等腰三角形内角和可得ANM ∠= 1(18056)622︒︒︒-=，由三角形外角定理可得CBA ANM DAB ∠=∠-∠=62︒-56︒= 6︒.【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB ，∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD ，即∠CAB =∠EAD ，在△ABC 和△ADE 中，C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （AAS ），（2）∵△ABC ≌△ADE ，∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，∵∠EDA +∠MND+∠DMB =180︒，∠CBA +∠ANB +∠DAB =180︒，又∵ ∠MND=∠ANB ，∴ ∠DAB=∠DMB=56︒，∴∠CAE =∠DAB=56︒，∵AC=AE ，∴∠ACE =∠AEC=1(18056)622︒︒︒-=， ∴∠ACE =62︒，（3）∠CBA=6︒，如图所示，连接AM ，NCA MEA ∠=∠,CN=EM,CA=EA,∴NCA MEA ≅(SAS),∴AM=AN,EAM CAN ∠=∠,∴EAM CAM ∠-∠=CAN CAM ∠-∠即EAC MAN ∠=∠,由(2)可得：=56EAC MAN ︒∠=∠,∴ANM ∠=1(18056)622︒︒︒-=, ∠CAE =∠DAB=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠=62︒-56︒= 6︒.【点睛】本题综合考查了三角形的相关定理与证明，较为综合，熟练掌握三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键.例5．（2020·山东济南市·七年级期中）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ， BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．6．（2018·四川达州市·七年级期末）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，E 为BD 上的一点，EG AD ，分别交AB 和CA 的延长线于点F ，G ，AFG G ∠=∠.（1）试说明ABD ACD ∆≅∆；（2）若40B ∠=︒，求G ∠和FAG ∠的大小.【答案】（1）见解析（2）50°，80°【分析】（1）根据题意利用角边角判断定理，证明ABD ACD ∆≅∆即可.（2）若40B ∠=︒，再证明50G AFG ∠=∠=︒，即可计算FAG ∠的度数.【详解】（1）∵AD EG ，∴AFG BAD ∠=∠，G DAC ∠=∠，又∵G AFG ∠=∠，∴DAC DAB ∠=∠，又∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，又∵AD DA =，∴ABD ACD ∆≅∆.（2）∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，又∵AD EG ，∴90FEB ∠=︒，又∵40B ∠=︒，∴50EFB ∠=︒，又∵EFB AFG ∠=∠，∴50G AFG ∠=∠=︒，∴80FAG ∠=︒.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理. 例7．（2019·全国七年级单元测试）在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。

2024《代数式》说课稿范文今天我说课的内容是《代数式》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。

一、说教材1、《代数式》是人教版初中数学九年级上册第二章的内容。

它是在学生已经学习了整式的基本概念和运算规则的基础上进行教学的，是初中数学中的基础知识点，而且代数式在解决实际问题中有着广泛的应用。

2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解代数式的含义、组成和性质，掌握代数式的基本运算法则。

②能力目标：在代数式的运算和应用中，培养学生分析、推理和解决问题的能力。

③情感目标：在代数式的学习中，培养学生主动探究的兴趣和积极参与的态度。

3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解代数式的含义和组成，掌握代数式的基本运算法则。

难点是：能够正确运用代数式解决实际问题。

二、说教法学法为了培养学生的主动学习能力和解决问题的能力，我采用了以下的教法和学法：教法：启发式教学法、情景教学法学法：探究学习法、合作学习法三、说教学准备在教学过程中，我准备了多媒体教具和实物教具，以直观呈现教学素材，增加学生的参与度和理解度，提高教学效果。

同时，我还准备了一些实际问题，以让学生运用代数式解决实际问题，提升他们的实际运用能力。

四、说教学过程新课标强调学生的主体性，为了激发学生的学习兴趣和积极性，我设计了如下的教学环节。

环节一、导入新课我会通过一个生活中的实际问题引入新课，比如给学生一个方程式的例子：“如果一个长方形的长度是2x米，宽度是3米，求它的面积。

”让学生思考如何求解这个问题，从而引发他们对代数式的兴趣和好奇心。

环节二、引入代数式的定义和组成在学生对代数式存在一定了解的基础上，我会以幻灯片和实物教具的形式，介绍代数式的定义和组成要素，如字母、数字、运算符等。

通过举例、让学生观察和思考的方式，让他们深入理解代数式的含义和构成。

环节三、探究代数式的性质和运算法则通过一些例题的引导，我会让学生自己总结代数式的性质和运算法则，同时利用小组合作学习的方式，让学生们互相交流和讨论，促进他们的思维发展和合作能力的培养。

第12讲图形的初步认识（二）（13大考点）考点考向一.角的概念（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．（5）比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．二.角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB．∠AOB∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．三.余角与补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．四.对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．五.平行：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．六.垂直：（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．考点精讲一．角的概念（共2小题）1．（2021秋•定海区期末）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一角的图形是（）A．B．C．D．2．（2021秋•上虞区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．二．钟面角（共1小题）3．（2021秋•余姚市期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是度，15分钟后时针与分针的夹角是度．三．方向角（共4小题）4．（2021秋•龙泉市期末）如图，点A在点O的南偏东20°方向上，且射线OA与OB的夹角是110°，则射线OB的方向是（）A．北偏东70°B．北偏东60°C．北偏东50°D．北偏东40°5．（2021秋•椒江区期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏西10°的方向上，同时货轮B 在它北偏东60°的方向上，则此时∠AOB的大小是（）A．140°B．130°C．120°D．100°6．（2021秋•台州期末）如图，点A在点O的东南方向，点B在点O的北偏东50°方向，则∠AOB＝°．7．（2021秋•定海区期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC 的方向是．四．度分秒的换算（共5小题）8．（2021秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于．9．（2021秋•柯桥区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（）A．27°40′B．57°40′C．58°20′D．62°20′10．（2021秋•椒江区期末）48°21′+67°9′＝°．11．（2021秋•柯桥区期末）把35°12'化为以度为单位，结果是．12．（2021秋•滨江区期末）若∠A＝36°18′，则90°﹣∠A＝．（结果用度表示）五．角的计算（共9小题）13．（2021秋•海曙区期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点B，若∠ABE＝45°，∠GBH＝30°，那么∠FBC的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°14．（2021秋•嘉兴期末）如图放置一副三角板，若∠BOC＝∠COD，则∠AOD的度数是．15．（2021秋•定海区期末）计算：35°49'+44°26'＝．16．（2021秋•江北区期末）如图，∠AOB＝∠COD＝120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是．17．（2021秋•温州期末）如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20°B．30°C．35°D．45°18．（2021秋•青田县期末）如图，∠COD是Rt∠，∠BOD＝35°，则∠AOC＝．19．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．20．（2021秋•新昌县期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．21．（2021秋•湖州期末）（1）如图1，点D是线段AC的中点，且AB＝BC，BC＝6，求线段BD的长；（2）如图2，已知OB平分∠AOD，∠BOC＝∠AOC，若∠AOD＝100°，求∠BOC的度数．六．余角和补角（共8小题）22．（2021秋•定海区期末）若一个角是53°，则它的补角是．23．（2021秋•东阳市期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝35°，则∠ACB 的度数为．24．（2021秋•衢江区期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（）A．B．C．D．25．（2021秋•金华期末）与25°角互余的角的度数是（）A．55°B．65°C．75°D．155°26．（2021秋•青田县期末）将一副尺子中的两个三角板按如图方式摆放，其中∠1＝∠2的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．427．（2021秋•嘉兴期末）已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④28．（2021秋•镇海区期末）已知∠A的余角比∠A的2倍少15°，则∠A＝度．29．（2021秋•义乌市期末）将一副三角尺按下列三种位置摆放，其中能使∠α和∠β相等的摆放方式是（）A． B．C． D．七．七巧板（共3小题）30．（2020秋•长兴县月考）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中h的值为（）A．6 B．4C．4+D．831．（2021秋•定海区校级月考）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①～⑦编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．32．（2022秋•鹿城区校级期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为（取1.4）．八．角的大小比较（共2小题）33．（2021秋•海曙区期末）已知∠1＝12.30°，∠2＝12°30′，比较这两个角的大小，结果为∠1 ∠2．34．（2021秋•杭州期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC＝∠AOB，则下列结论成立的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOBC．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC九．相交线（共2小题）35．（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（）A．100个B．135个C．190个D．200个36．（2020秋•奉化区校级期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a 为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个一十．对顶角、邻补角（共4小题）37．（2021秋•杭州期末）如图，直线AC、DE交于点B，则下列结论中一定成立的是（）A．∠ABE+∠DBC＝180°B．∠ABE＝∠DBCC．∠ABD＝∠ABE D．∠ABD＝2∠DBC38．（2021秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度39．（2021秋•新昌县期末）如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于．40．（2021秋•普陀区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝37°，求∠BOE的度数．（2）若∠BOD：∠BOC＝3：6，求∠AOE的度数．一十一．垂线（共4小题）41．（2021秋•新昌县期末）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（）A．20°B．70°C．80°D．90°42．（2021秋•东阳市期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝135°，∠BOD＝45°，则OE⊥AB．请说明理由（补全解答过程）．解：∵∠AOC＝∠BOD＝45°（）；∴∠AOE＝＝（°）；∴OE⊥AB（）．43．（2021秋•温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD．（1）写出图中所有与∠AOC互余的角．（2）当∠MON＝120°时，求∠BOD的度数．（2021秋•海曙区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD＝30°，则∠COE＝．44．一十二．垂线段最短（共2小题）45．（2021秋•湖州期末）如图，口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是．46．（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为．（各写出一对即可）一十三．点到直线的距离（共3小题）47．（2021秋•滨江区期末）如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则点B到直线AC的距离是线段的长．48．（2021秋•东阳市期末）如图，表示点A到BC距离的是（）A．AD的长度B．AE的长度C．BE的长度D．CE的长度49．（2021秋•上城区期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．7一、单选题1．（2021·浙江嵊州·七年级期末）下列图中是对顶角的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·浙江仙居·七年级期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ．若∠BOD ＝42°，则∠EOD 的度数为（ ）A ．96°B ．94°C ．104°D ．106°3．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知2A B ∠=∠，下列选项正确的是（ ）A ．若A ∠是锐角，则B 是钝角B ．若A ∠是钝角，则B 是锐角C ．若B 是锐角，则A ∠是锐角D ．若B 是锐角，则A ∠是钝角4．（2020·浙江浙江·七年级期中）比较16.30,1630160,.3'︒︒︒大小，正确的是（ ）A ．163016.3016.03'︒>︒>︒B ．16.30163016.03'︒>︒>︒C ．16.3016.031630'︒>︒>︒D ．无法比较5．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，点O 在直线AB 上，射线OC ，射线OD ，射线OE 在直线AB 同侧，若OC OD ⊥，OE 平分AOC ∠，则（ ）巩固提升A ．DOE BOC ∠=∠B ．3DOE BOD ∠=∠C ．DOC COE BOD AOE ∠-∠=∠+∠D ．DOC COE BOD AOE ∠+∠=∠+∠二、填空题 6．（2021·浙江仙居·七年级期末）如图，三角形ABC 中，AC ⊥BC ，则边AC 与边AB 的大小关系是________，依据是________．7．（2020·浙江杭州·模拟预测）1.471︒=︒_______分_________秒．8．（2021·浙江嵊州·七年级期末）已知25α∠=︒，则α∠的余角=_______________．三、解答题9．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级月考）如图，将∠AOB 绕点O 逆时针旋转θ角，得到∠A ′OB ′．（1）若∠AOB ＝90°，且∠A ′OB ＝32°，求∠AOB ′的度数．（2）若∠AOB ′＝160°，且∠A ′OB ：∠BOB ′＝2：3，求θ角的度数．10．（2020·浙江杭州·七年级期中）计算：1081856.5'︒-︒11．（2021·浙江浙江·七年级期中）已知：如图，直线AB CD 、相交于点O ，EO CD ⊥于O ．（1）若:2:7BOD BOC ∠∠=，求AOE ∠的度数；（2）在（1）的条件下，请你过点O 画直线MN AB ⊥，并在直线MN 上取一点F （点F 与O 不重合），然后直接写出EOF ∠的度数．12．（2021·浙江浙江·七年级期末）已知同一平面上以O 为端点有三条射线,,OA OB OC ；①若80,20AOB BOC ∠=︒∠=︒，求AOC ∠的度数；②若,AOB BOC αβ∠=∠∠=∠，（,αβ∠∠均为锐角），求AOC ∠的度数（用,αβ∠∠表示）．13．（2018·浙江镇海·七年级期末）已知O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠.（1）如图①，若30AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含α的代数式表示）；（3）在（1）问前提下COD ∠绕顶点O 顺时针旋转一周.①当旋转至图②的位置，写出AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系，并说明理由；②若旋转的速度为每秒10︒，几秒后30BOD ∠=︒？（直接写出答案）14．（2020·浙江·金华市南苑中学七年级月考）如果两个锐角的和等于90°，就称这两个角互为余角．类似可以定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠l=120°，∠2=30°，|∠1∠2|=90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）.（1）如图，0为直线AB 上一点，OC 丄AB 于点O ，OE⊥OD 于点O ，请写出图中所有互为垂角的角有_____________；（2）如果有一个角的互为垂角等于这个角的补角的45，求这个角的度数.15．（2017·浙江嵊州·七年级期末）点A，O，B依次在直线MN上，如图1，现将射线OA绕点O顺时针方向以每秒10°的速度旋转，同时射线OB绕着点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t秒（t≤12）．（1）在旋转过程中，当t=2时，求∠AOB的度数．（2）在旋转过程中，当∠AOB=105°时，求t的值．（3）在旋转过程中，当OA或OB是某一个角（小于180°）的角平分线时，求t的值．。

辅导教案学员姓名：学科教师：周乔乔年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题分组分解法教学内容分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的．如何将多项式am an bm bn+++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn+++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n+=+,()bm bn b m n+=+分组分解法知识结构知识精讲内容分析而：()()()()a m n b m n m n a b +++=++．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【例1】 因式分解：（1）2a ab ac bc -+-；（2）ax by bx ay --+． 【难度】★【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()x y a b +-．【解析】（1）原式()()()()a a b c a b a c a b =-+-=+-；（2）原式()()()()a x y b x y x y a b =+-+=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例2】 分解因式：32x bx ax ab +++．【难度】★【答案】2()()x b x a ++．【解析】原式2()()x x b a x b =+++2()()x b x a =++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例3】 分解因式：32acx bcx adx bd +++．【难度】★【答案】2()()ax b cx d ++．【解析】原式2()()cx ax b d ax b =+++2()()ax b cx d =++．例题解析【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例4】 分解因式：22abx bxy axy y +--．【难度】★【答案】()()ax y bx y +-．【解析】原式()()bx ax y y ax y =+-+()()ax y bx y =+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例5】 分解因式：2105ax ay by bx -+-．【难度】★【答案】(2)(5)a b x y --．【解析】原式2(5)(5)a x y b x y =---(2)(5)a b x y =--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【例6】 因式分解：26694k mn km kn -+-．【难度】★【答案】(32)(23)k n k m -+．【解析】原式3(23)2(23)k k m n k m =+-+(32)(23)k n k m =-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例7】 分解因式：222332154810ac cx ax c +--．【难度】★【答案】22(23)(165)c x a c --．【解析】原式222216(23)5(23)a c x c c x =---22(23)(165)c x a c =--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【例8】 分解因式：2222ac bd ad bc +--．【难度】★★【答案】()()()c d c d a b -+-．【解析】原式2222()()a c d b d c =-+-22()()c d a b =-- ()()()c d c d a b =-+-．【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．【例9】 分解因式：221x ax x ax a +++--．【难度】★★【答案】2(1)(1)a x x ++-．【解析】原式2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+2(1)(1)a x x =++-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例10】 分解因式：4321x x x ++-．【难度】★★【答案】322(1)(1)(1)(1)x x x x x ++=+-+．【解析】原式3(1)(1)x x x =+++3(1)(1)x x =++（未学过立方和的分解到这一步就可以） 22(1)(1)x x x +-+【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例11】 分解因式：22221a b a b --+．【难度】★★【答案】(1)(1)(1)(1)a a b b -+-+．【解析】原式22222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b a b a a b b =---=--=-+-+【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．【例12】 分解因式：22222a b a b ab ---．【难度】★★【答案】()()ab a b ab a b --++．【解析】原式2222222(2)()()()a b a b ab a b a b ab a b ab a b =-++=-+=--++【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【例13】 分解因式：2421193n n m m x x y y +-+． 【难度】★★【答案】2211()(1)33n m n m x y x y +-+． 【解析】原式2422222211()93111()()()33311()(1)33n m n m n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y x y x y =-++=+-++=+-+ 【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意对字母指数的准确理解．【例14】 分解因式：()()x x z y y z +-+．【难度】★★【答案】()()x y x y z -++．【解析】原式2222()()()x xz y yz x y z x y x y x y z =+--=-+-=-++．【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，当不能直接分解时，要利用乘法公式展开后再进行分组．【例15】 分解因式：()()2221ab x x a b +++． 【难度】★★【答案】()()ax b bx a ++．【解析】原式222()()()()abx ab a x b x ax bx a b a bx ax b bx a =+++=+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意先拆再重新分组．【例16】 因式分解：()()2232x x x x ++-+． 【难度】★★★【答案】2(2)(1)(1)x x x x +-+-【解析】原式222222()3()2[()2][()1](2)(1)(1)x x x x x x x x x x x x =+-++=+-+-=+-+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及十字相乘方法的运用能力，注意先拆再重新分组．【例17】 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．【难度】★★★【答案】7、9、11．【解析】设三个连续奇数最小的为21(0)k k +≥且k 为整数，则由题意可得：222(21)(23)(25)251k k k +++++=，即222441412942025251k k k k k k ++++++++=．整理，得：23180k k +-=，即(6)(3)0k k +-=． ∵0k ≥，∴3k =． ∴这三个连续奇数为7、9、11．【点评】如何设三个连续奇数是难点，然后完全平方公式的分解化为一元二次方程即可，再利用因式分解的思路求出方程的解．【例18】 已知：111201*********a xb xc x =+=+=+，，， 求：222a b c ab bc ac ++---的值．【难度】★★★【答案】3．【解析】由222a b c ab bc ac ++---，可得：2222222221(222222)21[()()()]2a b c ab bc ac a b c ab bc ac a b b c a c ++---=++---=-+-+- 把已知代入，可得：222a b c ab bc ac ++---=1(141)32⨯++=． 【点评】主要利用系数乘以2后得到的三组完全平方公式，此类题目具有一般性．【例19】 已知三条线段长分别为a 、b 、c 其中a b c <<，且满足2222a c b ac +<+．证明：以a 、b 、c为三边能构成三角形．【难度】★★★【答案】见【解析】．【解析】∵2222a c ac b +-<，即22()a c b -<．∴c a b -<，∴c a b <+，又c 最大，可得以a 、b 、c 为三边能构成三角形．【点评】考查学生对于构成三角形的条件判定，以及运用因式分解求解不等式的能力．【例20】 求方程x y xy -=的整数解．【难度】★★★【答案】12120202x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，．【解析】由方程可得1(1)111y x y xy x y y x y y-=-===-+--，，所以， ∵x 、y 均为整数，∴11y -=±，∴12120202x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 【点评】本题综合性较强，主要考查利用因式分解求解方程以及如何去求整数解，注意对方法的总结．【习题1】 因式分解：（1）33ac bc a b +++；（2）1xy x y --+、【难度】★【答案】（1）()(3)a b c ++；（2）(1)(1)x y --．【解析】（1）原式()3()()(3)c a b a b a b c =+++=++；（2）原式(1)(1)(1)(1)x y y x y =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题2】 分解因式：432x x x x +++．【难度】★【答案】2(1)(1)x x x ++．【解析】原式32(1)(1)(1)(1)x x x x x x x =+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题3】 分解因式：222a ab ac bc +--．【难度】★【答案】()(2)a c a b -+．【解析】原式()2()()(2)a a c b a c a c a b =-+-=-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题4】 分解因式：ax ay bx cy cx by -++--【难度】★【答案】()()a b c x y +--．【解析】原式()()()()()a x y b x y c y x a b c x y =-+-+-=+--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【习题5】 分解因式：27321x y xy x -+-．【难度】★随堂检测【答案】(7)(3)x y x +-．【解析】原式7(3)(3)(7)(3)x x y x x y x =---=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【习题6】 分解因式：2226923ax a xy xy ay -+-．【难度】★【答案】(3)(23)ax y x ay +-．【解析】原式3(23)(23)(3)(23)ax x ay y x ay ax y x ay =-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题7】 分解因式：222221x y z x z y z --+．【难度】★【答案】22(1)(1)y z x z --．【解析】原式22222(1)(1)(1)(1)x z y z y z y z x z =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题8】 分解因式：3254222x x x x x --++-．【难度】★★【答案】24(2)(1)x x x -+-．【解析】原式2424(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x x =---+-=-+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意不要漏项．【习题9】 因式分解：2224x xy y ++-．【难度】★★【答案】(2)(2)x y x y +-++．【解析】原式2()4(2)(2)x y x y x y =+-=+-++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题10】 分解因式：2293x x y y ---．【难度】★★【答案】(3)(31)x y x y +--．【解析】原式229(3)(3)(3)(3)(3)(31)x y x y x y x y x y x y x y =--+=+--+=+--．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题11】 228224x y xy ---．【难度】★★【答案】2(2)(2)x y x y --++．【解析】原式22[4()]2(2)(2)x y x y x y =-+=--++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用，第一步先提取公因式很重要．【习题12】 分解因式：226269x xy x y y --++【难度】★★【答案】(3)(32)x y x y ---．【解析】原式222(69)2(3)(3)2(3)(3)(32)x xy y x y x y x y x y x y =-+--=---=---【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题13】 分解因式：2212x x y ---+．【难度】★★【答案】(1)(1)y x y x --++．【解析】原式2222(12)(1)(1)(1)x x y y x y x y x =-+++=-+=--++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题14】 分解因式：222223a ab b a b ++---．【难度】★★【答案】(3)(1)a b a b +-++．【解析】原式2()2()3(3)(1)a b a b a b a b =+-+-=+-++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题15】 分解因式：()()126x x x ---．【难度】★★【答案】2(2)(3)x x +-．【解析】原式3222326(3)2(3)(2)(3)x x x x x x x x =-+-=-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．【习题16】 分解因式：()()()()2222a b a c c d b d +++-+-+．【难度】★★【答案】2()()a d a b c d -+++．【解析】原式2222()()()()()()()()()(2)()(2)()(2222)2()()a b b d a c c d a b b d a b b d a c c d a c c d a d a b d a d a c d a d a b c d a d a b c d =+-+++-+=+--+++++--+++=-+++-++=-+++=-+++【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意先拆再重新分组，分解一定要彻底．【习题17】 已知：22102510x xy y ++-=，化简：3225x x y x ++．【难度】★★【答案】0或22x ．【解析】由22102510x xy y ++-=，可得：2(5)10x y +-=，∴51x y +=±．∵32225(51)x x y x x x y ++=++，∴3225x x y x ++的值为0或22x ．【点评】本题主要考查利用因式分解求解方程，以及利用整体代入进行求值的思想．【习题18】 把多项式()242211a a a a a +++++分解因式，所得的结果为（ ）A ．()221a a +-B ．()221a a -+C ．()221a a ++D ．()221a a -- 【难度】★★★【答案】C【解析】()2423242222222222112221(21)221()2()1(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+++++=++++=++【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．【习题19】 因式分解：222816x x y y -+-．【难度】★★★【答案】(4)(42)x y x y -+-．【解析】原式2222211816(1)(14)(114)(114)(4)(42)x x y y x y x y x y x y x y =-+-+-=---=-+---+=-+-【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．【习题20】 因式分解：22243x y x y -++-．【难度】★★★【答案】(3)(1)x y x y -++-．【解析】原式222221(44)(1)(2)(12)(12)(3)(1)x x y y x y x y x y x y x y =++--+=+--=+-+++-=-++-【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．【习题21】 已知：221a b +=，221c d +=，且0ac bd +=，求ab cd +的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】由222222222()202ac bd a c abcd b d abcd a c b d +=++==--，得， 代入2222222222222()2ab cd a b abcd c d a b a c b d c d +=++=--+2222222222()()()()a b c d b c b c a d =---=--，再把221a b +=，221c d +=代入，可得：22222222222()()(11)()()b c a d a d a d a d --=--+-=--，∴2222()()ab cd a d +=--，∴2222()()0ab cd a d ++-=，可得0ab cd +=．【点评】本题综合性较强，主要考查学生如何通过代数式等式，利用完全平方公式和因式分解以及非负性求解代数式的值．【作业1】 因式分解：课后作业（1）a ax b bx --+；（2）2xy y yz xz --+．【难度】★ 【答案】（1）()(1)a b x --；（2）()()x y y z -+．【解析】（1）原式()()()(1)a b x a b a b x =---=--；（2）原式()()()()y x y z y x x y y z =---=-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业2】 分解因式：4333x x y xz yz +++．【难度】★【答案】33()()x z x y ++．【解析】原式3333()()()()x x y z x y x z x y =+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业3】 分解因式：325153x x x --+．【难度】★【答案】2(51)(3)x x --．【解析】原式225(3)(3)(51)(3)x x x x x =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业4】 分解因式：251539a m am abm bm -+-．【难度】★【答案】(53)(3)m a b a +-．【解析】原式5(3)3(3)(53)(3)am a bm a m a b a =-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业5】 分解因式：54321x x x x x +++++．【难度】★★【答案】42(1)(1)x x x +++．【解析】原式4242(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x =+++++=+++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业6】 分解因式：22ax bx bx ax a b -+-+-．【难度】★★【答案】2()(1)a b x x --+．【解析】原式22()()()()(1)x a b x b a a b a b x x =-+-+-=--+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业7】 分解因式：21ax x a ++-．【难度】★★【答案】(1)(1)x ax a +-+．【解析】原式2(1)(1)(1)(1)a x x x ax a =-++=+-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业8】 分解因式：()22112a b b b --+-．【难度】★★【答案】2(1)(1)a b --．【解析】原式222(1)(1)(1)(1)a b b a b =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力．【作业9】 分解因式：3223a a b ab b --+．【难度】★★★【答案】2()()a b a b -+．【解析】原式22()()a a b b a b =---()()()a b a b a b =-+-2()()a b a b =-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力，注意分解要彻底．【作业10】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【难度】★★★【答案】5．【解析】由22224613044690a b a b a a b b +--+=-++-+=，得， 即22(2)(3)0a b -+-=，∴23a b ==，． ∴5a b +=．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．。

模块一：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式...n n n n a x a x a x a -1-110++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式．特别地，如果多项式的系数的和等于0，那么x -1是多项式的一个因式； 如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么x +1是多项式的一个因式．多项式性质：有理数pc q=的分子p 是常数项a 0的因数，分母q 是首项系数n a 的因数．例如：分解因式：x x 3-3+2． 观察可知，当x =1时，x x 3-3+2=0，则()x x x A 3-3+2=-1，其中A 为整式，即()x -1是多项式x x 3-3+2的一个因式．若要确定整式A ，则可用大除法．x x x x x x x x x x x x x x 2323222+-2-1+0⋅-3+2--3--2+2-2+2∴()()()()()()()x x x x x x x x x x 322-3+2=-1+-2=-1-1+2=-1+2． 模块二：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等．即，如果n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b -1-21-1-21-1-210-1-210+++++=+++++恒成立，那么n n a b =，n n a b -1-1=，…，a b 11=，a b 00=．待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解．（1）观察可知，当x =__________时，x x x 32+-5+3=0．可得_________是多项式x x x 32+-5+3的一个因式．因式分解：x x x 32+-5+3=________________．（2）观察可知，当x =_________时，x x x 32+2-5-6=0．可得________是多项式x x x 32+2-5-6的一个因式．因式分解：x x x 32+2-5-6=________________．（3）因式分解：x x x x x 5432++2+2++1．因式分解：（1）x x 34-31+15（2）x x x 323++-2因式分解：（1）()()()x a x a a x a 3222+2+1++2-1+-1（2）()()x a b c x ab bc ca x abc 32-+++++-（1）已知关于x 的多项式x x m 29+3+3因式分解以后有一个因式为x 3-1，试求m 的值，并将多项式因式分解．（2）若x x 2+2+5是x px q 42++的一个因式，求pq 的值．（1）已知多项式x xy ky x y 22-2++3-5+2能分解为两个一次因式的乘积，求k 的值．（2）当m 取何值时，多项式x xy y x y m 2212-10+2+11-5+可以分解成两个一次因式的积．因式分解：（1）x x x x 432++2-+3（2）x x x x 432+3+5+4+2因式分解：（1）3x x x 23-2+-2（2）x x x 323-5-11-3因式分解：x x x 42-6-7-6分解因式：()()()()l m x l m n x l m n x m n 32++3+2-+2--3-2+．已知关于x 的多项式x x m 22-5+3因式分解以后有一个因式为x 2-3，试求m 的值，并将多项式因式分解．因式分解：x x x 42-3-4-3．。

第十二讲 根与系数的关系（韦达定理） 运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。

【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，求代数式)2(22-+βαα的值.【例2】如果a 、b 满足05132=+-a a ，05132=+-b b ，求b a a b +的值.【例3】 若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，求ba 的值.【例4】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x .【例5】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。

1．将代数式262++x x 化成q p x ++2)(的形式为（ ）A ．11)3(2+-xB ．7)3(2--xC ．11)3(2--xD ．4)2(2++x 2．关于x 的方程0122=-++k kx x 的根的情况描述正确的是（ ）A ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根B ．k 为任何实数，方程都没有实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种3．已知关于x 的一元二次方程20x bx c -+=的两根分别为11x =，22x =-，则b 与c 的值分别为（ ）A ．1b =-，2c =B ． 1b =，2c =C ．1b =，2c =-D ．1b =-，2c =-4．已知关于x 的一元二次方程x 2+x +m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．25．如果关于x 的一元二次方程x 2+4x +a =0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．13D ．-136．已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为（ ）A ． ﹣3B ． 3C ． ﹣6D ． 67．若一元二次方程式2235990x x --=的两根为a 、b ，且a ＞b ，则2a -b 之值为何？（ ）A ．-57B ．63C ．179D ．1818．已知012=-+αα，012=-+ββ，，则βααβ++的值为( )A ．2B ．-2C ．-1D ． 09．关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是（ ）A ．2B ．6C ．2或6D ．710．设方程0232=+++m x x 有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=----m x m xD ．02412=++--m x m x11．已知a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，则a b b a += ． 12．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+= ．13． 已知x 、y 是正整数，并且23=++y x xy ，12022=+xy y x ， 求22y x +的值．14．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，求p 、q 的值．15．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，求实数m 的取值范围．16．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，求这个方程两根．17．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x 。

第12讲简单的代数式单元综合检测一、单选题1．下列各式符合代数式书写规范的是（）A ．18b ´B ．2b a -C ．114xD ．2m n÷【答案】B【分析】本题考查了代数式的书写规范等知识，依据代数式的书写规范逐项判断即可求解．【解析】解：A.数字与字母相乘，一般省略乘号或用“⋅”代替，应写为18b ，故原选项书写不规范，不合题意；B.2ba -书写规范，符合题意；C.单项式系数如果是带分数，一般写成假分数，应写为54x ，故原选项书写不规范，不合题意；D.两个字母相除，一般写成分数形式，故应写为2mn，故原选项书写不规范，不合题意．故选：B ．2.下列各式中，是一次式的是()A.3x+2y+5 B.6;C.y²+3x+2; D.x3【答案】A3．用a -表示的数一定是（）A ．负数B ．正数或负数C ．负整数D ．以上全不对【答案】D【分析】本题主要考查用字母可以表示数，既可以是正数，也可以是负数和0，带有负号的数不一定就是负数．【解析】解：A 、当a 为非正数时，则a -表示的数是非负数，故此选项不符合题意；B 、当0a =时，0a -=，即此时a -表示的数既不是负数，也不是正数，故此选项不符合题意；C 、当0a =时，0a -=，即此时a -表示的数既不是负数，也不是正数，故此选项不符合题意；故选D ．4.下列去括号正确的是（）A.a-(5b-c)=a-5b-c;B.a+(b-c-6d)=a+b-c+6d;C.m-3(p-q)=m-3p+q;D.x-[-(-x+y)]=y.【答案】D5.下列说法中正确的是（）A.在一次式中，常数项没有同类项；B.在一次式中，3x 与3y 是同类项；C.一次式与一次式的和一定是一次式；D.在一次式中，—2x 与2x-是同类项.【答案】D6．甲数是乙数的5倍少3，则下列说法正确的是（）①设乙数为x ，甲数为53x -②设甲数为x ，乙数为135x +③设甲数为x ，乙数为()135x +④设甲数为x ，乙数为()135x -A ．①③B ．①②C ．②④D ．①④【答案】A【分析】本题考查了列代数式，根据“甲数是乙数的5倍少3”，逐个进行判断即可．【解析】解：设乙数为x ，甲数为53x -，故①正确，符合题意；设甲数为x ，乙数为()135x +，故②④不正确，不符合题意；③正确，符合题意；综上：正确的有①③，故选：A ．7．代数式a b -的值为2，则代数式()8a b --+A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】C【分析】本题主要考查了代数式求值，将2a b -=整体代入，再计算即可．【解析】∵2a b -=，∴()8286a b --+=-+=．故选：C ．8.王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示.王老师捂住的一次式是()A.5m+11;B.-5m-11;C.35m—11;【答案】A9．张老师用长10a 的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为b a -，则另一边的长为（）A ．11a b -B ．4a b-C ．122-a bD ．6a b-【答案】D【分析】本题考查整式的加减，根据整式的加减运算求解即可，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则，是解题的关键．【解析】解：由题意得，另一边长是()1102a b a ⨯--，5a b a =-+，6a b =-，故选：D ．1a x =2，规定从第二个式子开始，每一个式子的2倍等于它前、后两个式子的和．例如：2132a a a =+，3242a a a =+，则下列说法正确的有（）（1）181920111a a a x ++=（2）123866a a a a x++++= （3）()()24610013599100a a a a a a a a x ++++-++++= A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B【分析】本题考查了数字的变化规律，根据所定义的运算，可求出3a ，4a ，5a ，分析存在的规律，再逐项进行分析即可判断求解，解题的关键是求得3a ，4a ，5a ，总结出存在的规律．【解析】解：1a x = ，23a x =，规定从第二个式子开始，每一个式子的2倍等于它前、后两个式子的和，2132a a a =+ ，∴35a x =，∵3242a a a =+，∴47a x =，∵4352a a a =+，∴59a x =，L ，∴()21n a n x =-，∴(1)181920353739111a a a x x x x ++=++=，故(1)正确；(2)()123835151351564a a a a x x x x x x ++++=++++=++++= ，故(2)错误；(3)()()24610013599a a a a a a a a ++++-++++()()()()375119199197x x x x x x x x =-+-+-++- ，2222x x x x =++++ ，250x =⨯，100x =，故(3)正确；综上所述，正确的有2个，故选：B ．二、填空题11．下列各式：0，101x -，F ＝ma ，m +2＞m ，2x 2﹣3x +11，B≠12，2263x y +，﹣y ，6π，其中代数式的有个．【答案】6【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．【解析】解：根据代数式的概念可得，题中的代数式有：0，101x -，2x 2﹣3x +11，2263x y +，﹣y ，6π，共6个，故答案为：6．【点睛】本题考查了代数式，注意：代数式中不含有“＞”，“＝”号．12．合并同类项：15410x x x +-=．【答案】9x【分析】根据合并同类项的运算法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变解答即可．本题考查了合并同类项的运算法则，熟练运用合并同类项的运算法则是解题的关键．【解析】解：∵()15410154109x x x x x +-=+-=，故答案为9x ．13.一次式x 512-中，一次项是,常数项是【答案】x 51-214.在横线上填入合适的一次式：2a+()=-a-2.【答案】-3a-215．如图，数轴上的两点,A B 分别表示有理数,a b ，化简：2a b b a +--=．【答案】3a b-【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的大小比较等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．根据数轴确定出绝对值内式子的符号，然后去绝对值化简即可得．【解析】解：根据数轴上点,A B 的位置可知：0a b <<，a b <，∴0a b +<，0b a ->，∴()a b a b a b +=-+=--，b a b a -=-，∴()22223a b b a a b b a a b b a a b +--=----=---+=-．故答案为：3a b -．16．若()5，则．【答案】7-【分析】由绝对值和偶次方的非负性可求出x ，y 的值，再代入计算可求解．本题主要考查绝对值及偶次方的非负性，代数式求值，求出x ，y 的值是解题的关键．【解析】解：∵()2350x y -++=，又∵()230x -≥，50y +≥，∴30x -=，5y =-，解得3x =，5y =-，∴()23257x y +=+⨯-=-．故答案为：7-．17.已知A=3a+b,B 比A 少2a-2b,C 比A 的2倍多2a+b,则B=；C=．【答案】a+3b;8a+3b18．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下图所示规律铺地面，则第n 个图形有块白色地砖．【答案】()42n +/()24n +【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．根据图示，第1个图形有白色地砖6块；第2个图形有白色地砖6410+=（块)；第3个图形有白色地砖64414++=（块)；．⋯．；第5个图形白色地砖的块数：64(51)22+⨯-=（块)；⋯⋯；第n 个图形白色地砖的块数：64(1)(42)n n +⨯-=+块．据此解答．【解析】解：第1个图形有白色地砖6块，第2个图形有白色地砖6410+=（块），第3个图形有白色地砖64414++=（块），第5个图形白色地砖的块数：64(51)22+⨯-=（块），第n 个图形白色地砖的块数：64(1)(42)n n +⨯-=+块，故答案为：(42)n +．三、解答题19．用代数式表示：(1)m 的3倍与n 的一半的和；(2)a 与b 两数差的平方减去它们和的平方．【答案】(1)132m n +；(2)()()22a b a b --+．【分析】本题考查列代数式，正确的翻译句子，是解题的关键．（1）根据描述，列出代数式即可；（2）根据描述，列出代数式即可．【解析】（1）解：m 的3倍与n 的一半的和，即：132m n +；（2）a 与b 两数差的平方减去它们和的平方，即：()()22a b a b --+．20．用含x 的代数式填空：①甲工程队每天可以完成x 平方米的小区绿化，10天可以完成平方米的绿化．②某工程队计划以每天x 米的速度完成1800米的隧道掘进任务，按计划完成任务需要天．③某工程队计划每天铺设排污管道x 米，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，则实际每天的工效为米．【答案】10x1800x1.25x /54x /54x 【分析】本题考查列代数式．①由甲工程队的工作效率乘以时间列式即可；②由工作总量除以工作效率列式即可；③由实际每天的工效=计划每天的工效()125%⨯+列式即可．【解析】解：①甲工程队10天可以完成10x 平方米的绿化；②完成任务需要1800x天；③实际每天的工效为()125% 1.25x x +=米．故答案为：10x ；1800x；1.25x ．21．指出并合并一次式74365m n m n +---+中的同类项．【答案】7m 和m -是同类项，4n 和6n -是同类项，3-和5是同类项，合并同类项得622m n -+【分析】本题考查了同类项，合并同类项等知识．熟练掌握同类项，合并同类项是解题的关键．根据同类项的定义判断同类项，然后合并同类项即可．【解析】解：由题意知，74365m n m n +---+中，7m 和m -是同类项，4n 和6n -是同类项，3-和5是同类项，∴74365m n m n +---+()()()74635m m n n =-+-+-+622m n =-+．22．计算：﹣5a ﹣2b+7a+9b 【答案】2a+7b【分析】根据合并同类项：系数相加，字母及字母的指数保持不变，可得答案．【解析】解：-5a-2b+7a+9b ＝(-5a+7a)+(-2b+9b)＝2a+7b ．【点睛】本题考查了合并同类项法则．同类项的字母及字母的指数保持不变，只把系数进行相加．23．化简：（1）(47)(32)x x ++-（2）3(2x ﹣5y )﹣4(3x ﹣5y )+5【答案】（1）75x +；（2）655x y -++【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可；【解析】（1）(47)(32)x x ++-，解：原式4732x x =++-，75x =+；（2）3(25)4(35)5x y x y ---+，解：原式61512205x y x y =--++，655x y =-++；【点睛】本题主要考查了去括号法则和合并同类项，准确计算是解题的关键．24．化简下列一次式：(1)7273m n m --+；(2)15213m m -+-【答案】(1)1072m n --(2)763m -【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则：字母和字母指数不变，只把系数相加减．（1）直接合并同类项即可；（2）直接合并同类项即可．【解析】（1）解：7273m n m --+()7372m n =+--1072m n =--；（2）解：15213m m -+-12513m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭763m =-．25．当2,3a b ==时，求下列各代数式的值：(1)()2a b +；(2)()()a b a b +-；(3)222a ab b ++．【答案】(1)10(2)5-(3)25【分析】（1）把a 与b 的值代入，先算括号内的，再算乘法即可求出值；（2）将a 与b 的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答；（3）将a 与b 的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答．【解析】（1）解：原式()22310=⨯+=．（2）解：原式()()23235=+⨯-=-．（3）解：原式222223325=+⨯⨯+=【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．设113242323A x x y x y ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)当1,13x y =-=时，求A 的值；(2)若33y x -=-，则A =________．【答案】(1)4(2)6-【分析】（1）原式去括号合并同类项得到最简结果，把x 、y 的值代入计算即可求出值．（2）根据化简的结果整体代入即可此题考查了一次式的加减-化简求值，以及整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．【解析】（1）113242323A x x y x y ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 143242323x x y x y=--+-+62x y=-+∴当1,13x y =-=时，原式16212243⎛⎫=-⨯-+⨯=+= ⎪⎝⎭；（2）由33y x -=-，得到()()()2323236A x y y x =-+=-=⨯-=-27．若36x y ax y ++-【答案】-3【分析】根据同类项与合并同类项定义，可知若36x y ax y ++-合并同类项后不含x 项，则3x －3x ＝0，计算即可得到答案.【解析】有题意可知，因为36x y ax y ++-合并同类项后不能含有x 的项，即3x －3x ＝0，所以a ＝-3，【点睛】本题考查同类项与合并同类项定义，解题的关键是掌握同类项与合并同类项定义.28.小亮准备完成题目“化简：(▲x+6y+8)一(6y+5x+2)”时，发现系数“▲”印刷不清楚.(1)小亮猜“▲”是3,请你化简：(3x+6y+8)—(6y+5x+2).(2)小亮的老师说：“你猜错了，我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数.”那么原题中的“▲”是几?【答案】(1)—2x+6.(2)5.29．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少．（可列方程求解）【答案】37【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的十位上数字为x ，则个位上的数字为()4x +，根据“把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110”，可列出关于x 的一元一次方程，解之可得出x 的值，再将其代入()104x x ++中，即可求出结论．【解析】解：设原两位数的十位上数字为x ，则个位上的数字为()4x +，根据题意得：()()104104110x x x x +++++=，解得：3x =，∴()()1041033437x x ++=⨯++=．答：原两位数是37．30．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m ，宽为n 的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为1l ，图3中两个阴影部分图形的周长的和为2l ，(1)用含m ，n 的式子表示图2阴影部分的周长1l (2)若1254l l =，求m ，n 满足的关系？【答案】(1)22m n +(2)23m n=【分析】本题考查整式加减的应用：（1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形ABCD 的周长，计算即可；（2）设小卡片的宽为x ，长为y ，则有2y x m +=，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解2l ，根据1254l l =，即可求m 、n 的关系式．【解析】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形ABCD 的周长，故()1222m n m n l =+=+；（2）设小长形卡片的宽为x ，长为y ，则2y x m +=，∴2y m x =-，所以两个阴影部分图形的周长的和为：()()2222m n y n x +-+-()()22222m n m x n x =+-++-222424m n m x n x =+-++-4n =，即2l 为4n ∵1254l l =，∴52244m n n +=⨯整理得：23m n =．。