恒成立问题中参数范围的求法之我见

专题——求参数取值范围一般方法概念与用法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。

题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。

这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。

就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。

题型以及解题方法一，分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m a x a f x≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m i n a f x ≤，转化为函数求最值。

例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

解：根据题意得：21a x x +->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >例2．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

导数恒成立问题求参数范围好嘞，今天咱们聊聊“导数恒成立问题求参数范围”这个话题，别看这个名字听上去高大上，其实说白了就是要搞清楚，什么情况下一个函数的导数总是成立。

先来个简单的背景介绍，导数嘛，就是数学里用来描述一个函数变化速度的工具，像车速表一样。

你要是开车，看看速度表，啊，今天我开得挺快，这就是导数在起作用。

好了，咱们举个简单的例子，想象你有个函数，它的样子就像是弯弯曲曲的山路。

你走这条路的时候，有时候上下起伏，有时候平平的。

如果这条路一直都是上坡或者下坡，那导数就恒成立了。

反过来，如果你遇到的路况不一样，比如突然出现个大坑，那导数就不再恒成立了，懂了吗？再来点具体的，假设有个函数，像是f(x) = ax² + bx + c。

这个函数的导数就是f'(x) = 2ax + b。

如果我说这个导数恒成立，那么就意味着不管你给我什么x，这个导数都必须有意义，也就是说，不会变成无穷大，或者不连续。

这里的参数a、b、c就成了关键角色，像是我们生活中的小伙伴，得看他们的表现。

现在，你可能会问，怎么才能搞清楚这参数的范围呢？我们得先了解什么是“恒成立”。

就像你每天吃饭，不管怎样都得吃，不可能今天想吃米饭，明天又想吃饺子，哈哈，没门儿！所以对于我们的函数，如果它的导数在某个范围内都是稳定的，那我们就得找出这个范围。

这些参数就像是调味料，放多了味道会太重，放少了又不够。

这时候我们可以考虑导数的零点，特别是2ax + b = 0的时候，咱们可以解出x的值。

想象一下，如果有个b恰好是0，那这个函数就像是一个平稳的湖面，没有波澜，真是太好啦！但是，若是a也为0，那这个函数直接就成了常数函数，导数自然也成了0。

这样一来，大家都快乐，哈哈。

不过，若是a大于0或者小于0，那我们就得小心了。

因为这时候函数的形状会随着x的变化而变化。

我们不想一会儿上天，一会儿入地，对吧？所以参数a就像是把握方向的舵，得仔细考虑。

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a≥ ;若a≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.解:根据题意得,x+−2>1在x∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x在x∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a−)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令 =t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为< ,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可.∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且c a mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

不等式恒成立问题的求参策略山东省莱西一中北校 赵贞才 （266600）含有参数的不等式恒成立问题是同学们常见的一类题，这类题涵盖范围广。

不少同学面对此类题，不知从何下手 。

其实这类题，规律性较强，有法可循。

本文结合实例探讨一下解题策略。

1. 分离参数法如果能把不等式中的参数与主元分离开来，则可以通过求函数最值来简化问题。

如：max )()(x f t x f t >⇔>恒成立，min )()(x f t x f t <⇔<恒成立例1：已知 3421lg )(ax f x x ∙++= 若x ∈(-∞,1］时，f (x )有意义，求a的范围.分析：原题等价于不等式03421>∙++ax x 对x ∈(-∞,1］恒成立，分离参数，得()()xxa 2141-->，令 ()()xxx g 2141)(--= ，x ∈(-∞,1］，显然g(x)为增函数，故只须43)1()(max -==>g x g a 即可。

例2：已知函数x x x f 2cos 34sin 2)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx① 求)(x f 的最大值和最小值；② 若不等式 2|)(|<-m x f ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立，求实数m 的取值范围.分析：（1）2)(,3)(min max ==x f x f2)(2)(2|)(|)2(+<<-⇔<-x f m x f m x f41<<∴m2. 分类讨论法：按所给不等式中参数的本质属性划分不同种类进行讨论，特别应注意分类要“不重不漏”。

例3：已知3)(2++=ax x x f 当[]2,2-∈x 时a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围？2)(2)(min max +<<-∴x f m x f解：法一 原不等式恒成立，即]2,2[3)1(2-∈--≥-x x a x 在时恒成立，为了分离常数，必须对1-x 的符号进行分类讨论。

“恒成立”条件下参数范围的求解策略下面就数学中常见的恒成立条件下参数范围的求解问题作一总结。

1.分离参数法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两侧，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解。

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若f（a）≥g（x）恒成立，只须求出g（x）max，则f（a）≥g（x）max，然后解不等式求出参数a的取值范围;若f（a）≤g（x）恒成立，只须求出g（x）min，则f（a）≤g（x）min，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

2.变换主元法（适用于一次函数型）在给出的含有两个变量的不等式中，我们习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程比较繁琐.如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。

例对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x、p，并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。

解：原不等式可化为（x-1）p+x2-2x+1>0，令f（p）=（x-1）p+x2-2x+1>0，则原问题等价于f（p）>0在p∈[-2，2]上恒成立。

方法一：x-10或x-1>0f（-2）>0x3。

方法二：f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x1或x3。

评注：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。

思路探寻思路探寻式恒成立问题中参数的取值范围时，可将“数”与“形”结合起来，根据代数式的几何意义画出几何图形，借助图形来讨论不等式成立的条件，从而达到解题的目的.在研究图形时，要关注一些极端情形，以及临界的情形，如相交、相切等.例4.设x ∈[-4,0]，若不等式x (-4-x )<43x +1-a 恒成立，求a 的取值范围.解：设y 1=x (-4-x )，则(x +2)2+y 21=4(y 1≥0)，该式可表示是如图所示的上半圆.设y 2=43x +1-a ，其图象为直线.由图可知，要使不等式恒成立，需使半圆始终在直线的下方，即使圆心(-2,0)到直线4x -3y +3-3a =0的距离d =|-8+3-3a|5>2，且1-a >0，可得a <-5，即a 的取值范围为()-∞,-5.我们将y 1=x (-4-x )看作上半圆，将y 2=43x +1-a 看作一条直线，将问题转化为求使半圆恒在直线下方时的a 的取值范围.根据图形找出临界情形：圆与直线相切，求得此时a 的取值范围，即可解题.借助图象分析问题，不仅可以使解题变得更加简单，还会使解题思路更加明朗.四、分类讨论在求不等式恒成立问题中参数的取值范围时，经常要用到分类讨论法对参数进行分类讨论.在解题时，要首先明确参数对不等式的影响，确定分类的标准；然后分几类情况对问题进行讨论，求得每种情况下的结果；最后汇总所得的结果.例5.当x ∈[2,8]时，不等式log 2a -1x >-1恒成立，求a 的取值范围.解：（1）当2a 2-1>1时，由题意知12a 2-1<x 恒成立，即12a 2-1<x min ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1<2，解得a ∈(-∞,-1)⋃(1,+∞)；（2）当0<2a 2-1<1时，由题意知12a 2-1>x 恒成立，即12a 2-1>x max ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1>8，解得a ∈(-34,-)⋃(34)；故a∈(-∞,-1)⋃(-34,-)⋃(34)⋃(1,+∞).根据对数函数的性质，可知需分2a 2-1>1和0<2a 2-1<1两种情况进行讨论，才能求得参数a 的取值范围.在进行分类讨论时，要有明确的讨论思路，逐层逐级进行讨论，避免出现遗漏或重复讨论某种情况.五、利用判别式在求二次不等式恒成立问题中参数的取值范围时，可把问题化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，用判别式法求解.一般地，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 恒大于0⇔ìíîa >0,Δ<0,f (x )=ax 2+bx +c 恒小于0⇔{a <0,Δ<0.据此建立关于参数的不等式，解该不等式即可求得参数的取值范围.例6.若不等式2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.解：因为4x 2+6x +3=(2x +32)2+34>0在R 上恒成立，所以2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3⇔f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m >0；要使得f (x )恒大于0，需使Δ=(6-2m )2-8(3-m )<0，解得1<m <3，故实数m 的取值范围为m ∈(1,3).由于4x 2+6x +3>0在R 上恒成立，于是原问题可转化为一元二次函数f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m 在R 恒大于0的问题，由二次函数的图象可知当a >0时，Δ<0，用判别式法即可解题.虽然由恒成立的不等式求参数的取值范围问题较为复杂，但是同学们只要熟练掌握上述五种求解思路，明确其适用条件，根据解题需求选用合适的方法、思路进行求解，就能有效地提升解题的效率.本文系2021年度云南省教育科学规划单位资助课题“基于深度学习的高中数学课堂教学策略研究”（课题批准号:BE21028）阶段性研究成果.（作者单位：云南省曲靖市民族中学）53。