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盈亏问题
例一：机器人等等给一些小机器人分易拉罐，如果每个小机器人分4个就少9个；如果每个小机器人分3个正好分完，问：有多少个小机器人？
例二：机器人等等给几位小朋友分硬币，如果每位小朋友分 10个硬币，就多出19个硬币；如果每位小朋友分12个硬币，就多出3个硬币，那么一共有多少位小朋友？机器人等等一共有多少个硬币？
例三：艾迪和薇儿举办演唱会，将门票分给几位观众，如果没人发10张，还差28张；如果每人发7张，还差7张，请问有几位观众？有几张门票？
例四：一些工人帮艾迪搬石头，如果每个工人搬4块石头，还剩17块；如果每个工人搬6块，则少5块石头，一共有多少个工人？要搬的石头共有多少块？
例五：昊昊过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；如果每人出7元，就多出了4元，那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少元？
例六：艾迪和薇儿分别给两堆游客安排房间，如果每间房住4名同学，就会有7个人没地方住；
（1）如果每间房住5名同学，就会空出3个床位，这队学生一共有多少人？
（2）如果每间房住5名同学，最后2个房间就正好空着没有同学住了，这对学生一共有多少人？
例七：军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以各住一个房间；现在每间住10人，可以空出多少个房间？
例八：几个服务员端盘子，如果每人端5个盘子，还剩下3个盘子没人端；如果其中两人端4个盘子，其余每人端6个盘子，就恰好能把所有的盘子都端完，一共有几个服务员？一共要端多少个盘子？。
盈亏问题解题思路详解（附盈亏问题公式）解题思路：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者每份所得物品数量的差，再求两次分配中的总差额，用前一个差去除后一个差，就得到分配者的人数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数。
一般解法：（盈数+亏数）÷两次每份分配之差=份数、（大盈-小盈）÷两次分配之差=份数、（大亏--小亏）÷两次分配之差=份数，再求总数量。
每次分的数量*份数+盈=总数量或。
每次分的数量*份数-亏=总数量。
物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出。
其它(高级)：盈亏临界点——交易所股票交易量的基数点，超过这一点就会实现盈利，反之则亏损。
盈亏临界点计算的基本模型设以P代表利润，V代表销量，SP代表单价、VC代表单位变动成本，FC代表固定成本，BE代表盈亏临界点，根据利润计算公式可求得盈亏临界点的基本模型为：盈亏临界点的计算，可以采用实物和金额两种计算形式：1．按实物单位计算：其中，单位产设某产品单位售价为10元，单位变动成本为6元，相关固定成本为8000元，则盈亏临界点的销售量(实物单位)=8000÷(10－6)=2000（件）。
品贡献毛益=单位产品销售收入－单位变动成本2．按金额综合计算：盈亏临界点的销售量（用金额表现）=固定成本÷贡献毛益率其中，贡献毛益率=贡献毛益/销售收入附盈亏问题公式：（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
第9讲盈亏问题一、基础知识1、盈亏问题就是把一定的总数，分配给一定的对象，由于每份数分法不同，导致分后结果有盈（多）有亏（少）的一种典型应用题。
解题关键：解决盈亏问题，往往先用结果的相差数除以每份的相差数，求出对象的数量，进一步求出分配的总数。
所以在讲解时，不要刻意区分这三类基本题型，而应引导学生牢牢抓住两种分法上总的相差数和每次相差数2、盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意1.条件转换 2.关系互换二、典型例题模块一、盈亏基本例题例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？例2、猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．例3、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?板块二、条件关系转换型盈亏问题例4、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？例5、甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？例6、王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？例7、学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？例8、幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．随堂练习：1、一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结果共用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？2、有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张．问：共有多少个小朋友？3、有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?4、幼儿园老师给小朋友分糖果．若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？5、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问第二组有多少人？6、“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？7、四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?8、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？9、学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？10、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？巩固练习：1、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。
盈亏问题的总结和拓展一．盈亏问题常见考点架构图（复习）：两个出题点：份数总数（原形）小熙老师去麦当劳买汉堡分给大班和小班的同学吃，大小班人数相同。
如果大班每人吃4个，就会剩4个；如果小班每人吃5个，就会少6个。
问大小班有多少名同学？老师买了几个汉堡？（变形）超级变变变(⊙＿⊙)注：有些书或者讲义上把盈亏问题分为三类：二．盈亏问题难题选讲（需要转点弯，注意了哦^_^）题型1：出现三种分法ABC三种卡片。
A卡片每张1元，C卡片每张2元。
如果全买A可以比全买B多8张，全买B可以比全买C多6张。
那么B有多少张？思考题：小熙老师带大家去动物园给猴子分香焦，如果每只猴分5条，就会多出59条；每只猴10条，那么有1只只能分到4条，有三只分不到。
如果每只5条，再給每只分几条，才使剩的香焦最少？题型2：2个盈亏问题的交叉o(∩_∩)o有奶糖和水果糖两种。
如果每人4个奶糖3个水果糖，那么奶糖多4个，水果糖少2个；如果每人5个奶糖2个水果糖，那么奶糖少6个，这时水果糖是多还是少？并求出多多少个或者少多少个？思考题：学而思讲义第九讲例5。
（提示：2次袋子数不一样哦！！！）题型3：人数不同，但是不知道具体多多少人体育课老师给同学们分球球~，如果每人5个球，会多出10个；如果人数变为三倍，每人分2个球，那么就会少8个球，问原来班上有多少名同学？思考题：体育课老师给同学们分球球~，如果每人5个球，会多出10个；如果人数变为三倍少5人，每人分2个球，那么就会少8个球，问原来班上有多少名同学？三：盈亏数不确定的盈亏问题题型1：一个盈亏问题，一个条件盈亏数不确定5个，就有8个星球没人炸；如果每人炸7个，最后一名同学炸的星球数会少于三个。
问小熙老师带了多少同学去炸星球？思考题：小熙老师开飞机带大家去炸星球，如果每个同学炸55个，就有8个星球没人炸；如果每人炸57个，最后一名同学至少炸一个，但不超过57个。
问小熙老师最多带了多少同学去炸星球？题型2：多个盈亏问题，多个条件盈亏数不确定48本书分给2组小朋友，已知第二组比第一组多5人。
小学奥数盈亏问题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]小学奥数之盈亏问题与比较法（一）人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友多少粒糖果分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。
例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。
仿照例1的解法即可。
解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意1.条件转换 2.关系互换板块一、直接计算型盈亏问题【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差541-=（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：729÷=（人）．共+=（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员919有砖：49743⨯+=（块）．【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【解析】“多8元”与“多4元”两者相差844-=（元），每个人要多出871-=（元），因此就知道，共有414⨯-=（元）．÷=（人），蛋糕价钱是84824【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是927-=（个），两次分配之差是11101-=（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：717⨯+=÷=（只），老猴子有710979（个）桃子.【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？【解析】由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差：701060-=（本），-=（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：752相差60本的学生有：60230⨯+=）．÷=（人）．练习本有：30570220⨯+=（本）（或30710220【例 2】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下201010-=个，所以大猴比小猴多10只．【巩固】 学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？【解析】 “差9本”和“差2本”两者相差927-=（本），每个人要多发1091-=（本），因此就知道，共有老师717÷=（人），书有710961⨯-=（本）．【巩固】 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？【解析】 由题意知：两次的分配结果相差：241212-=（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：963-=（块），多少人相差12块呢？1234÷=（人），糖果数是：641212⨯-=（块）（或942412⨯-=）．【巩固】 王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【解析】 本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7把变成买5把，少买了752-=（把），而钱的差额为：11030140+=（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了707110380⨯-=（元）.【巩固】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【解析】 本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差10020120+=（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费202505000⨯=（元）．这样比实际多得50004400600-=（元）．就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以上分析，可得损坏了202504400100205⨯-÷+=（）（）（个）．【例 3】 某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【解析】 由已知条件每间5人 少14个床位每间7人 多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(75)2-=人，一共要多出(144)18+=个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．解：(414)(75)=9+÷-(间)591459⨯+=(人)，或79459⨯-=(人)【巩固】 学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【解析】 如果30间都是小宿舍，那么只能住430120⨯=（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间多住642-=（人），所以大宿舍有168120224-÷=（）（间）．（这是一个鸡兔同笼，放在这里做对比）【巩固】 智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.【巩固】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？【解析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）．板块二、条件关系转换型盈亏问题【例 4】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是⨯+=（条）鱼．÷=（只），猫妈妈有810888 -=（条），由盈亏问题公式得，有小猫：81811101【巩固】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？【解析】第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：÷=（人），有小玩具9327⨯=（个）．-=（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：919431【巩固】学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？【解析】第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是422-=（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：66233⨯=（个）.÷=（个）班，买来足球33266【巩固】一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？【解析】第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是541-=（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：919⨯=（粒）．÷=（人），有糖果9545【巩固】实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【解析】没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.【例 5】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【解析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信【例 6】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。
第九讲复杂盈亏问题例题1大家凑了一笔钱去超市采购．已知一包牛板筋3元钱，一袋酱牛肉8元钱．如果给每人买4包牛板筋、2袋酱牛肉，还能剩下8元钱．如果给每人买2包牛板筋、3袋酱牛肉，就会缺4元钱．请问共有多少人？练习1同学们凑了一笔钱去采购文具．已知一支铅笔6角钱，一块橡皮8角钱．如果给每人买4支铅笔、2块橡皮，还能剩下8角钱．如果给每人买2支铅笔、3块橡皮，就会剩下4元8角钱．那么共有几个同学？例题2划船时，每条船坐一样多的同学，正好把全部10条船都坐满；如果每条船都多坐2名同学，那么有2条船没人坐．请问：共有多少人？练习2老师给6名同学分西瓜，每人一样分的多，刚好分完，如果每人多吃3个瓜就有3个人没瓜吃．请问有多少个西瓜？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 虽然很多盈亏问题可以通过条件的简单转化，变为基本盈亏问题来解决，但学习盈亏问题的重点不在于那几种套路，而是要学会如何去“比较”，比较前后两种情形的“差额”．只有通过盈亏问题学会如何去“比较”，才是学到了真本事．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3甲和乙各带了相同数目的钱去买面包．甲买了9个小面包，剩下55元；乙买了12个大面包，剩下16元．已知大面包比小面包贵2元，那么大面包多少钱一个？练习3卡莉娅带了一些钱去买苹果，如果她买5千克小苹果，还会剩下32元；如果买6千克大苹果，就只能剩10元钱．已知小苹果比大苹果每千克便宜3元，请问：小苹果每千克多少元？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 在鸡兔同笼问题中，如果对象之间存在倍数关系或等量关系，我们往往会进行分组、配对．这种分组、配对的做法在盈亏问题中也是很管用的．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4幼儿园准备了很多梨和苹果，苹果总数是梨的2倍．每个小朋友分得3个苹果和2个梨后，最后还剩下10个苹果和2个梨．求一共准备了多少个梨？练习4学校准备了很多笔和本子准备奖励优秀学生，本子的数量是笔的3倍．给每位同学分3支笔和8本本子后，还剩下10支笔和55本本子．请问：学校准备了多少支笔？例题5一些小朋友参加绘画兴趣小组，老师给大家发专用的图画纸．如果每个人领取7张纸，那么老师还能剩下11张．如果一半的小朋友领取8张，另一半小朋友领取10张，最后就会差13张纸．请问：共有多少个小朋友？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 不论是有个别人的分配数量不同也好，还是两次分配了不同物品也好，解决的关键都是设法把这些问题变成基本的盈亏问题来解决．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6小强做一本习题集，原计划30天完成．按计划做了4天后，他打算加快速度，每天比原计划多做两题；这样做了10天后，他打算再次提速，每天又多做两题．最后正好提前6天做完了全部习题．那么这本书中共有多少道习题？课堂内外礼花礼花，或称礼花炮，从前叫它西洋烟火．随着科学技术的发展，烟火、焰火、礼花已形成一门学科．它不再仅仅为节日助兴，而且，广泛用于国防和国民经济之中，如：照明弹、曳光弹、烟幕弹、燃烧弹、教练-模仿弹、目标指示弹等等．生活中，在特定的时间（比如新年），享受胜利的时刻，又或者喜庆的日子，人们会燃放“礼花”，表达人们的祝福与喜悦．礼花源于焰火而焰火源于火药，我国是火药的故乡，火药是我国古代文明之佐证．早在一千三百多年前，著名医学家孙思邈，就在“丹经”中，详细记载了当时的火药的成分和性质．十四世纪才由印度、阿拉伯辗转传至欧洲，至此，西方人始知有火药之物．礼花，或称礼花炮，从前叫它西洋烟火．它是在清朝时由西欧返入．它的发展与化学工业、冶金工业密切相关．随着科学技术的发展，烟火、礼花已形成一门学科．它不再仅仅为节日助兴，而且，广泛用于国防和国民经济之中，如：照明弹、曳光弹、烟幕弹、燃烧弹、教练一模仿弹，目标指示弹等等，不胜枚举．它们除了军事用途之外，各种信号制品使用在铁路运输、空运、海运和内河运输上．各类烟幕剂还用来防止局部地区冰冻，研究大气中和各种装置中的气流，以及用来和害虫作斗争．此外，白色、黑色以及其它有色烟剂还广泛地使用在摄制影片上．作业1.大家凑了一笔钱去买水果，已知香蕉每斤3元，桔子每斤2元．如果给每人买3斤香蕉4斤桔子，那么就会多出20元；如果给每人买5斤香蕉3斤桔子，那么就会缺12元．请问：一共带了多少元钱？2.胡老师分苹果给学生，开始平分给5人，后来平均给7人，开始每人比后来每人多分2个，求有多少个苹果？3.妈妈去买肉，如果买5斤瘦肉，会剩下6元钱；如果买4斤肥肉，会剩下21元2角．已知1斤瘦肉比1斤肥肉贵1元6角，那么瘦肉多少角钱一斤？4.春游时，老师给同学们准备了许多梨和苹果，其中梨的数量是苹果的4倍．他给每个同学分了1个苹果和3个梨，最后还剩下2个苹果和36个梨．那么共有多少个同学？5.同学们要种一批树苗，如果每人种6棵，那么还多40棵树苗没人种，如果一半的同学每人种7棵，另一半同学每人种9棵，最后还是会多4棵树苗没人种，请问：一共有多少名同学？第九讲 复杂盈亏问题1.例题1 答案：6．简答：每人买4包牛板筋、2袋酱牛肉，要花432828⨯+⨯=元，而每人想买2包牛板筋、3袋酱牛肉，每人花233830⨯+⨯=元，所以也就是每人花28元，能剩下8元，每人花30元，会缺少4元，那么一共有：()()8430286+÷-=人，共有3064176⨯-=元．2.例题2 答案：80．简答：画盈亏图比较，第二次相当于把两条船的人分到前8条船，每船有2828÷=⨯人，共10880=⨯人． 3.例题3 答案：7．简答：小面包比大面包每个便宜2角，甲买了9个小面包，如果都换成大面包的话，会多花2918⨯=元，那么就只能剩下551837-=元，所以每个大面包：()()37161297-÷-=元． 4.例题4 答案：14．详解：把2个苹果和1个梨打包成一个水果套餐，然后让小朋友每人拿两个套餐（即4个苹果2个梨）——这样的分配方案与题目中的分配方案比，梨的分配情况是相同的，因此最后一定会剩下2个梨，也就是说会剩下2个水果套餐（4个苹果，2个梨）．但题目条件中剩下的是10个苹果，原因是每个小朋友并没有拿到4个苹果，而是3个苹果，少拿了1个，因此多剩下了1046-=个苹果——这说明一共少拿了6个苹果，共有6个小朋友．因此一共准备了62214⨯+=个梨． 5.例题5 答案：12．详解：一半小朋友领取8张，一半领取10张，也就相当于每个小朋友都领取9张，所以共有：()()11139712+÷-=个小朋友．6.例题6 答案：300．简答：30天总共分成3个阶段：第一阶段历时4天，做题速度与计划相同；第二阶段历时10天，每天都比原计划多做2题，因此多做了20道题；最有阶段历时30410610---=天，每天比原计划多做4题，因此多做了40题．由此可得，在24天时间内，小强一共多做了204060+=道题．这60题其实就是原计划最后6天的任务，所以原计划每天做60610÷=道题，共有1030300⨯=题． 7.练习1 答案：10．简答：每人买4支铅笔、2块橡皮，用462840⨯+⨯=角，每人买2支铅笔、3块橡皮，用263836⨯+⨯=角，所以有()()488403610-÷-=人． 8.练习2 答案：18．简答：若分给六人，则每人分得()33633⨯÷-=个西瓜，则共有3618⨯=个西瓜． 9.练习3 答案：4．简答：如果买5千克大苹果，还能剩325317-⨯=元，所以大苹果每千克：()()1710657-÷-=元，所以小苹果每千克4元． 10. 练习4答案：85．简答：每人分3支笔和9本本子，那么最后应该剩下10支笔和30本本子．实际情况剩下了55本，多剩下553025-=本，原因是每人只拿了8本本子，少拿1本，由此可得一共25人，笔有2531085⨯+=支．11. 作业1答案：156．简答：每人买3斤香蕉4斤桔子，要332417⨯+⨯=元，每人买5斤香蕉3斤桔子，要352321⨯+⨯=元；所以共有()()201221178+÷-=人，共82112156⨯-=元． 12. 作业2答案：35． 简答：13. 作业3答案：88．简答：如果4斤肥肉全部换成瘦肉，就要多花64角钱，就会剩下21264148-=角；所以每斤瘦肉要()()148605488-÷-=角．14. 作业4答案：28．简答：因为梨的数量是苹果的4倍，如果每个同学分1个苹果和4个梨，那么最后应该会剩下2个苹果和8个梨；所以共有()()3684328-÷-=个同学． 15. 作业5答案：18．简答：一半人种7棵，一半人种9棵，相当于每人种了8棵，所以共有()()4048618-÷-=名同学．2？？？？2 ？2 ？2 ？2 ？黑框是相同部分，不同点是圆圈处，2人吃2×5=10个包子，那之后一人吃5个，所以有5×7=35个包子。
小学奥数盈亏问题公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-小学奥数之盈亏问题与比较法（一）人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友多少粒糖果分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。
例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。
仿照例1的解法即可。
解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
第九讲 盈亏问题盈亏问题是应用题模块的一个重点和难点之一，解决它有两大类思路，算数方法和方程方法。
相对来说，方程法更直观，学习方程工具后希望用方程把这里的题目再重新做一遍。
本讲只讲算数解法。
一、 基本型盈亏问题基本概念：一定量的物体，按照某种标准进行分组，最后会产生一种结果；按照另一种标准进行分组，又会产生另一种结果。
基本特点：两个未知：总份数，总数。
两个一定：总份数不变，总数不变。
基本思路： 比较法：（1）总份数=总差÷每份差（2）再代到任一条件求总数。
基本题型：盈盈型：总份数=（较大余数‐较小余数）÷每份差；亏亏型：总份数=（较大不足数‐较小不足数）÷每份差；盈亏型：总份数=（余数+不足数）÷每份差。
如：小朋友分苹果，每人4本多10个；每人6本少8个，问多少人多少苹果？ 两个未知：人为份数，苹果为总数；两个一定：人数不变，苹果数不变。
（1） 人数=（10+8）÷（6‐4）=9（2） 苹果数=4×9+10=46（或6×9‐8=46）我们遇到的题目一定首先分清什么是份数，什么是总数，可以套一下人分苹果模型，人为份数，苹果为总数。
有变化的盈亏问题先把它转化成基本型盈亏。
例1：（2008春蕾杯小学数学邀请赛决赛）A、B买了相同张数的信纸。
A在每个信封里装1张信纸，最后用完所有信封还剩40张信纸；B在每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封。
他们都买了多少张信纸？分析与答：信封为份数，信纸为总数。
每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封，相当于如果把所有的信封用完还差3×40=120张信纸。
即：每个信封里装1张信纸，还剩40张信纸；每个信封里装3张信纸，120张信纸。
信封数=（40+120）÷（3‐1）=80信纸数=80×1+40=120注：很多同学的错误解法是 信封数=（40+40）÷（3‐1）=40一定注意第二个条件要把份数转化成总数再做题目。
超常123学案一：用绳子测游泳池水深，绳子两折时，多余60厘米；绳子三折时，还差40厘米，求绳子长和水深。
分析与答：水深为份数，绳长为总数。
注意两折时，实际上是绳长多60×2=120厘米三折时， 绳长少40×3=120厘米水深：（120+120）÷（3‐2）=240厘米绳长：2×240+120=600厘米二、 份数变化型盈亏问题基本型盈亏解决的是份数不变的题目，当份数变化时一定把它转化成对应的人数不变的情形。
例2：（2010走美）春节前夕，一个富翁向该帮帮众施舍一笔钱财。
一开始他准备给每人100元，结果剩下350元，他决定每人多给20元。
这时从其他地方闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元，原有多少名乞丐？分析与答：乞丐分钱，乞丐为份数，钱为总数。
人数增加5人，每人120元差550元，相当于人数不增加，每人120元，余下120×5‐550=50元即：每人100元，余350元；每人120元，余50元人数：（350‐50）÷（120‐100）=15超常123学案4：发奖金，如果每人发90元，余下900元；如果人数增加到2倍，奖金少了1800元。
问多少人？多少奖金？分析与答：人分奖金，人为份数，钱为总数。
如果人数增加到2倍，每人90元，相当于人数不变每人180元。
如果每人发90元，余下900元；如果每人180元，少了1800元。
人数：（900+1800）÷（180‐90）=30人奖金：30×90+900=3600元附：练习：人分球，每人5个多10个，人数增加到3倍，每人2个少8个，问多少人多少球？（18人，100个球）三、 盈亏问题在行程问题当中的应用：例3：小华从家到学校，他先用每分钟50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，他就要迟到8分钟；如果改用每分钟60米，会早到5分钟，求家到学校的距离。
分析与答：时间为份数，路程为总数。
先不看开始每分钟50米的速度走了2分钟，即50×2=100米分析CB段：每分钟走50米，迟到8分钟，走到规定时间，还差50×8=400米没走到（即走到D，路程比他走的多400米）；每分钟走60米，早到5分钟，走到规定时间，还能多走60×5=300米（即走到E，路程比他走的少300米）。
计划时间：（400+300）÷（60‐50）=70分钟CB路程：50×70+400=3900米家到学校距离AB：3900+100=4000米。
四、 分组标准不统一的盈亏问题：基本型盈亏解决的是分类标准统一的题目，当分类标准不统一时一定把它转化成对应的分类标准统一的情形。
统一的标准一般是“其余”超常123学案3：少先队去植树，每人挖5个坑，还有三个没人挖；如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。
有多少人，多少坑？分析与答：人为份数，坑为总数。
如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。
相当于每人挖6个差（4‐2）×2=4个坑。
即：每人挖5个坑，多3个；每人挖6个坑，差4个。
人数：（3+4）÷（6‐5）=7人坑总数：7×5+3=38个注：如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。
分类标准不统一，有人挖4个。
也有人挖6个。
统一成与“其余”一样，每人挖6个差（4‐2）×2=4个坑。
例4：同学搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人各搬5块，这样最后剩下148块；如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样最后还剩下20块。
问有多少学生多少砖？分析与答：人数为份数，转数为总数。
有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人各搬5块，这样最后剩下148块。
分类标准不统一，统一标准找其余每人各搬5块。
即所有人都搬5块，那么搬7块的人每人能剩下7‐5=2块，12人可剩下12×2=24块；有20人每人各搬6块，可剩下20×（6‐5）=20块，这时共剩下24+20+148=192块。
本条件转化为：如果每人各搬5块，则剩下12×（7‐5）+20×（6‐5）+148=192块。
如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样最后还剩下20块。
分类标准不统一，统一标准找其余每人各搬10块。
即所有人都搬10块，那么搬8块得每人差10‐8=2块，30人差2×30=60块；那么搬9块得每人差10‐9=1块，8人差1×8=8块，这时共差60+8‐20=48块。
本条件转化为：如果每人各搬10块，差（10‐8）×30+（9‐8）×8‐20=48块。
如果每人各搬5块，剩192块；如果每人各搬10块，差48块。
人数：（192+48）÷（10‐5）=48人砖数：48×10‐48=432块五、 份数为多种事物的盈亏问题：基本型盈亏解决的是份数是同一种事物的题目，当份数不是同一种事物时一定把它转化成对应的份数是同一种事物的情形。
转化条件找题目中描述两种事物对应关系的关键条件。
超常学案4：（走美真题）幼儿园老师把一袋糖果分给小朋友，如果分给大班的小朋友，每人5粒缺6粒；人过分给小班的小朋友，每人4粒余4粒。
已知大班比小班少2个小朋友，这袋糖果共有多少粒？分析与答：人数为份数，糖果数为总数。
分大班：每人5粒缺6粒；分小班：每人4粒余4粒。
份数不是同一种，即大班小班人数不一样，要先转化成同一个班，转化依据是“大班比小班少2个小朋友”，方法一：把小班转化成大班：分小班：每人4粒余4粒，转化成分大班：每人4粒余4×2+4=12粒。
即：分小班：每人5粒，缺6粒；每人4粒余12粒。
大班人数：（12+6）÷（5‐4）=18人糖果总数5×18‐6=84粒方法二：当然本题也可以把分大班：每人5粒缺6粒的条件转化成分小班：每人5粒缺5×2+6=16粒，希望孩子们自己试试。
例5（2010年迎春杯四年级初赛）小红去买水果，如果买5千克苹果则少4元，如果买6千克梨则少3元，已知苹果比梨每500克贵5角5分，问小红带了多少钱？分析与答：苹果和梨的单价为份数，总钱数为总数。
买苹果：买5千克少4元；买梨：买6千克少3元。
份数为两种事物：苹果和梨，因此要转化为同一种，转化依据是“苹果比梨每500克贵5角5分”即：苹果比梨每千克贵1.1元。
方法一：把梨转化为苹果：买梨：买6千克少3元，用这些钱去买苹果，买6千克应该少1.1×6+3=9.6元。
买苹果：买5千克少4元；买6千克少9.6元。
苹果单价为（9.6‐4）÷（6‐5）=5.6元每千克总钱数：5.6×5‐4=24元。
方法二：把苹果转化成梨：买苹果：买5千克少4元，用这些钱去买梨，买5千克应多1.1×5‐4=1.5元，买梨：买5千克多1.5元；买6千克少3元。
梨的单价：（1.5+3）÷（6‐5）=4.5元每千克总钱数：4.5×6‐3=24元六、 同时分配多种事物的盈亏问题：基本型盈亏解决的是分配同一种事物的题目，当同时分配的事物不只一种时，把其中某一种的分配数量调整相同，再比较数量不同的那一种。
例6（全国奥赛竞赛试题）苹果和梨各有若干个，如果每5个苹果和3个梨装一袋，还多4个苹果，梨正好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12个。
苹果和梨各多少个？分析与答：同时分配两种事物：苹果和梨；每袋：5个苹果+3个梨，还多4个苹果；7个苹果+3个梨，还多12个梨。
盈亏问题的核心思路是比较法：两种分法梨数量相同无法比较，所以应比较苹果数量，每袋7个苹果+3个梨，还多12个梨，如果把全部梨分完还需要12÷4×7=28个苹果，每袋：5个苹果+3个梨，还多4个苹果；7个苹果+3个梨，还差28个苹果。
袋数为份数，苹果数为总量。
袋数：（28+4）÷（7‐5）=16袋梨数：16×3=48个苹果数：16×5+4=84个。
补充题（南京兴趣杯竞赛试题）有若干苹果和梨，如果1个苹果和3个梨放一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，如果按半个苹果配两个梨一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，苹果和梨各多少个？分析与答：如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨；如果0.5个苹果和2个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。
与上道题的不同之处在于苹果和梨的数量都不相同，选择把苹果的数量统一成一个（也可把梨的数量统一成6个，但是两个条件都要变，麻烦）即：如果1个苹果和4个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。
