人教版初中七年级数学上册《绝对值》重点知识

初中数学七年级上册《绝对值》知识简要与举例1.绝对值的概念是代数的重要概念之一，它是学习代数后续内容的基础.同时，利用绝对值的概念，能使我们进一步认识已学过的概念.例如，我们可以把任何一个有理数看成是由符号与绝对值两部分组成；又如，互为相反数的两个数，其实质是绝对值相等而符号相反的两个数.像－6和6，它们的符号相反，而其绝对值|－6|=|6|=6.2.理解绝对值的意义，应注意以下三点：(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0.(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.(3)学习了绝对值的几何意义后，数轴的概念、画法、利用数轴比较数的大小、相反数以及绝对值，借助数轴，这些知识便都联系到一起了.3.用正负数可以表示具有相反意义的量.但在实际生产和生活中，有时不考虑方向性.如：计算汽车的耗油量时，知道行驶单位路程的耗油量，只需求出汽车行驶的总路程，便可求出耗油量，与行驶的方向无关而汽车所走的路程就只需用正数表示，因此，引出绝对值的概念.4.绝对值的三种表达方法.（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.（2）用数学式子法：设a为任意有理数，则(3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.［例1］判断题(2)|－0.01|＜0.( )(3)－（－4）＜|－4|.( )(4)|a|=a.( )(5)当a≤0时，|a|+a=0.( )答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√.说明：在有理数的大小比较中，如果含有绝对值或相反数时，可先化简，然后再进行比较.［例2］填空题（5）______________与它的绝对值互为相反数；（6）如果|a|=|－7|，那么a=________.说明：如果两个数相等或互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；反之，如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.［例3］a为何值时，下列各式成立?(1)|a|=a；（2）|a|=－a；（3）|a|≥a；（4）|a|＜a；（5）|a|=5；（6）|a|=－5.解：（1）a≥0；（2）a≤0；（3）a为任意有理数时，都使|a|≥a成立；（4）a为任意有理数时，|a|＜a都不成立；（5）a=±5；（6）a为任意有理数时，|a|=－5都不成立.说明：本题解决的关键是牢固掌握绝对值的非负性，即|a|≥0.另外，（3）、（4）小题还要准确理解有理数大小的比较法则.［例4］比较大小：［例5］把下列各数按照从大到小的顺序用“＞”连接起来：说明：学了绝对值的概念之后，比较两有理数大小的基本方法，我们便有了两种：(1)数轴法；(2)绝对值法.在这小节的后一部分，介绍了利用绝对值比较两个负数的大小的办法.这既可巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步.利用绝对值来比较两有理数大小的方法是我们常用的方法之一.前面提到绝对值的概念是代数中重要的概念之一，我们应该很好地掌握它.［例6］（1）若a＞3,则|a－3|=________;（2）若a=3,则|a－3|=________;（3）若a＜3,则|a－3|=________.分析：要想正确地化简|a－3|的结果.关键是确定a－3的符号.当a＞3时，a －3＞0,即a－3为正，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3;当a=3时，a －3=0,所以|a－3|=|0|=0;当a＜3时，a－3＜0,即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|=－(a－3).解：（1）a＞3时，|a－3|=a－3;（2）a=3时，|a－3|=0;（3）a＜3时，|a－3|=－(a－3)说明：由本题的解法说明，化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性.否则会出现错误，如|a－3|=a－3(×).。

1 / 2绝对值【知识梳理】1、什么叫绝对值？在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2、绝对值的特点有哪些？（1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4 , |＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2,|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0．容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5．若用a 表示一个数，当a 是正数时可以表示成a ＞0，当a 是负数时可以表示成a ＜0，这样，上面的绝对值的特点可用用符号语言可表示为：(1) 如果a ＞0，那么|a|＝a ； (2) 如果a ＜0，那么|a|＝－a ； (3) 如果a ＝0，那么|a|＝0。

3、绝对值在本节课中的应用――比较两个负数的大小由于绝对值是表示数的点到原点的距离，则离原点越远的点表示的数的绝对值越大．负数的绝对值越大，表示这个数的点就越靠左边，因此，两个负数比较，绝对值大的反而小．【重点难点】重点：（1）绝对值的概念； （2）化简；（3）用绝对值比较两个负数的大小。

难点：绝对值的化简；用绝对值比较两个负数的大小。

【典例解析】例1 、已知｜x ｜＝5，求x 的值。

解：因为｜x ｜＝5，所以x ＝5或x ＝－5。

﹡拓展：｜x －3|＝5，求x 的值.解：因为｜x －3|＝5所以x －3＝5或x －3=－5，则x=8或x=－2 例2、绝对值小于5的整数有哪些？解：有4+，4-，3+，3-，2+，2-，1+，1-，0。

例3、 比较87-和76-的大小． 分析 比较两个负数的大小，应先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来判断它们的大小．解 564987|87|==-，564876|76|==-， 56485649>，所以87-<76- 【过关试题】1、下列说法中正确的有（ ）① 互为相反数的两个数的绝对值相等；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④一个数的绝对值相反数一定是负数。

七年级数学上册《绝对值》知识点整理绝对值是学习数学的基础知识之一，它在七年级数学上册中也是一项重要的内容。

本文将对七年级数学上册《绝对值》知识点进行整理，以帮助同学们更好地掌握这一概念。

一、什么是绝对值绝对值是一个数与零之间的距离，用两个竖线表示，例如|3|，表示距离零点的距离为3。

二、绝对值的性质1. 非负性：任何数的绝对值都是非负数，即对任意实数a，|a| ≥ 0。

2. 零绝对值：若a为实数，且|a| = 0，则a = 0。

3. 正数绝对值：若a为正数，则|a| = a。

4. 负数绝对值：若a为负数，则|a| = -a。

三、计算绝对值的方法1. 若a ≥ 0，则|a| = a。

2. 若a < 0，则|a| = -a。

四、绝对值的运算性质1. 绝对值的加法：|a + b| ≤ |a| + |b|，即两个数的绝对值之和大于等于这两个数的和的绝对值。

2. 绝对值的乘法：|a · b| = |a| · |b|，即两个数的绝对值之积等于这两个数的绝对值的积。

五、绝对值的应用绝对值在数学中具有广泛的应用，下面介绍其中两个典型的应用：1. 距离的计算：通过计算绝对值，可以求出两个数之间的距离。

例如，若有两个点A和B，坐标分别为A(2, 3)和B(-1, 4)，则点A和点B 之间的距离可以表示为|2 - (-1)| + |3 - 4| = 3。

2. 不等式的解集：在解不等式时，可以利用绝对值进行求解。

例如，若有不等式|2x - 5| < 3，则可以拆解成2x - 5 < 3和2x - 5 > -3两个不等式求解，得到x ∈ (1, 4)。

六、绝对值的图像表示在坐标平面上，绝对值函数y = |x|的图像是以原点为中心的一条“V”字形线段，斜率为正且对称于x轴。

当x < 0时，y = -x；当x ≥ 0时，y = x。

七、绝对值的扩展除了一元绝对值外，还存在多元绝对值。

七年级数学上册《绝对值》知识点整理绝对值绝对值是数学中的一个重要概念，用来表示一个数与零的距离。

在七年级数学上册中，我们学习了关于绝对值的基本性质和应用。

本文将对这些知识点进行整理和总结。

一、绝对值的定义与表示方法绝对值的定义：对于任意实数a，假设a≥0，那么a的绝对值就是a；假设a＜0，那么a的绝对值就是-a。

绝对值的表示方法：用两个竖线将数值括起来，例如|3|，表示数3的绝对值。

二、绝对值的基本性质1. 非负性：对于任意实数a，|a|≥0，即绝对值大于等于零。

2. 自身性：对于任意实数a，如果a≥0，则|a|=a；如果a＜0，则|a|=-a。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。

4. 相反数性：对于任意实数a，有|a|=|-a|。

5. 乘法性：对于任意实数a和b，有|a·b|=|a|·|b|。

三、绝对值的应用1. 求绝对值问题：通过绝对值的定义和基本性质，可以求解带有绝对值的方程和不等式，例如：(1) |2x-1|=5，可以拆分为2x-1=5或2x-1=-5，进而解得x=3或x=-2。

(2) |3x+4|＜7，可以拆分为-7＜3x+4＜7，再解出不等式，得到-11/3＜x＜1。

2. 表示范围问题：绝对值也常用来表示数的范围。

(1) 对于所有实数x，当|x-5|＜3时，x的取值范围是(2, 8)。

(2) 对于所有实数x和y，当|y|≤2时，表示平面上所有与原点距离不超过2的点的集合。

3. 复数的模问题：在复数的表示中，绝对值被称为复数的模。

复数的模定义为复数与原点之间的距离，例如，对于复数z=a+bi，其模表示为|z|=√(a²+b²)。

通过绝对值的性质，可以进行复数的模运算，例如：(1) |(2+3i)·(4-5i)| = |2+3i|·|4-5i| = √(2²+3²)·√(4²+(-5)²) = √4(2²+3²+4²+(-5)²) = 9。

《绝对值》学习指导学习目标：1、理解、掌握绝对值概念，体会绝对值的作用与意义；2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法.知识点：绝对值一、绝对值的概念一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a |.注：（1）这里的a可以是正数、负数和0.（2）由于绝对值表示的是数轴上a的点与原点的距离，距离是一个非负数，所以可知| a |≥0.二、绝对值的代数含义绝对值是分正数、负数和零三种情况来说明的。

也就是，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

即当a为有理数时，| a | =(0) 0(0)(0)a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩><.三、绝对值的几何意义一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离。

即若a是有理数，则| a |就是数轴上表示“a”的点与原点“0”的距离，如，数轴上到原点的长度为6的点有两个，即±6，这个长度6就是6和－6的绝对值。

数轴是中学代数中数形结合思想最简单也是最基本的表现形式，利用数轴强化绝对值概念，不但可以从几何直观上理解绝对值的意义，而且能渗透数形结合的思想方法。

四、绝对值的主要性质（1）正数及负数的绝对值都是正数，零的绝对值还是零。

即，任何一个数的绝对值都是非负数，也就是，若a为有理数，则| a |≥0；（2）任何两个互为相反数的绝对值总相等，即，若a为有理数，则| a | = |－a |；（3）任何一个有理数都不大于它的绝对值，即，若a为有理数，则a≤| a | .预习检测：1、一般地，数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的绝对值.记作.2、对于任意数a，若a＞0，则| a |= ；若a=0，则| a |= ；若a＜0，则| a |= .练习：1、写出下列各数的绝对值：6，-8，-3.9，52，112-，100，0.2、判断下列说法是否正确：（1）符号相反的数互为相反数；（2）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（4）当a≠0时，| a |总是大于0.3、判断下列说法是否正确：（1）| 5 |=| -5 |；（2）-| 5 |=| -5 |；（3）-5=| -5 |.4、比较下列各数的大小：（1）3和-5；（2）-3和-5；（3）-2.5和-| -2.25 |；（4）35-和34-.参考答案：1、6，8，3.9，52，112，100，0.2、（1）错；（2）错；（3）对；（4）对.3、（1）对；（2）错；（3）错.4、（1）3＞-5；（1）-3＞-5；（3）-2.5＜-| -2.25 |；（4）35-＞34-.。

绝对值1． 掌握绝对值的概念与化简 2． 绝对值的几何意义3． 分类讨论思想在绝对值中的应用模块一 绝对值的意义及其化简1. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作a2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3. 绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩4. 绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④222a a a ==☞绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】13a =±【巩固】绝对值等于2的数有 个，是 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】2个，2±例题精讲重难点【巩固】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是 【难度】2星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】6个，5±、6±、7±☞绝对值化简【例2】 计算：3π-= ，若23x -=，则x = 【难度】1星 【解析】绝对值化简 【答案】3π-，5x =或1-【巩固】若220x x -+-=，则x 的取值范围是 【难度】2星 【解析】绝对值化简 【答案】2x ≤【巩固】已知：①52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵5a =，2b =∴5a =±，2b =±∵a b < ∴5a =-，2b =±【例3】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图所示，得0a b <<，01c <<∴0a b +<，10b -<，0a c -<，10c ->∴原式=()(1)()(1)a b b a c c -++-+---=11a b b a c c --+-+--+=2-【巩固】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵ 0x z <<，0xy > ∴0y <∵y z x >> ∴y z x ->>- ∴0x z +>，0y z +<，0x y -> ∴原式=()()()0x z y z x y x z y z x y +-+--=+---+=【巩固】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图，得0a <，0b >，0a b +<，0b a ->∴原式=()()2a b b a b a a a b b a b a b -++-+-+=--+-++=【例4】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解： ∵0a a +=、0c c -= ∴a a =-，c c =∵a 、b 、c 为非零实数，∴0a <，0c > ∵ab ab = ∴0ab > ∴0b < ∴0a b +<，0c b ->，0a c -<∴原式=()()()()b a b c b a c -++----=b a b c b a c b -++-+-+=【巩固】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++-- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵a a =- ∴0a ≤ ∵0b < ∴20a b +<，230a -<∴原式=22(2)42(2)24323a b a b a b b a -++-++++-=242222a b a b a b -+++++=42a b+模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例5】 若42a b -=-+，则_______a b +=【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：∵42a b -=-+ ∴420a b -++=∵40a -≥，20b +≥ ∴40a -=，20b += 则4a =，2b =-【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【难度】2星【解析】绝对值的非负性 【答案】解：∵30m +≥，702n -≥，210p -≥ ∴30m +=，702n -=，210p -= 则3m =-，72n =，12p = ∴3232p n m ++=-【例6】 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2(2)0a b -≥，10b +≥，且2(2)|1|1a b b b -++=+∴10b +≥ ∴2(2)11a b b b -++=+ 则2(2)0a b -= ∴2a b =∵30a b +-= ∴230b b +-= 则1b =，2a = ∴2ab =【巩固】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2()0a b +≥，50b +≥，且2()55a b b b +++=+∴50b +≥ ∴2()55a b b b +++=+ 则2()0a b += ∴a b =-∵210a b --= ∴210b b ---= ∴13b =-，13a = 则19ab =-模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例7】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥ ①当2x <-时，则20x +<，40x -<∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -< ∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x +-+=6③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x -综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -【巩固】化简12m m m +-+-的值 【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -<∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+ ③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m + ④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -【巩固】化简：121x x --++.【难度】4星 【解析】零点分段法【答案】解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =-∴零点有1x =-，1x =，3x =∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x -综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x --当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -模块四 绝对值的几何意义的拓展1. a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．2. a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例8】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=， 则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：⑴x 、原点、=；⑵1；⑶x 、3、4或2；⑷x 、2-、4-或0；⑸设2-、2、x 在数轴代表的点为A 、B 、P ，如图P B A 112则2x PA +=，2x PB -=,∴224x x PA PB AB ++-=+==【例9】 已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点有0m =，1m =，2m =设0、1、2、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、P 表示,如图PC B A①当点P 在点A 左侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PA AB BC ++=33PA + ∴当0PA =时，即点P 与点A 重合时，原式取得最小值为3 ∵点P 在点A 左侧 ∴原式3>PC B A②当点P 在线段AB 上时（不包含点B ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，原式取得最小值 ∵此时不包含点B ，∴原式2>P CB A③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，即当点P 与点B 重合时，原式取得最小值，最小值为2PC B A④当点P 在点C 及点C 右侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PC BC AB ++=33PC + ∴当0PC =时，即点P 与点C 重合时，原式取得最小值，最小值为3 综上所述，当点P 与点B 重合时，即1m =时，原式取得最小值为2【巩固】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令20m -=，40m -=，60m -=，80m -=则零点有2m =，4m =，6m =，8m =设2、4、6、8、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、D 、P ∴2468m m m m PA PB PC PD -+-+-+-=+++①当点P 在点A 左侧时，43241212PA PB PC PD PA AB BC CD PA +++=+++=+> ②当点P 在线段AB 上时，（不包含点B ），2288PA PB PC PD PB BC AD PB +++=++=+> ③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），8PA PB PC PD BC AD +++=+=④当点P 在线段CD 上时（不包含点D ），2288PA PB PC PD PC BC AD PC +++=++=+≥ 当点P 与点C 重合时，取等号⑤当点P 在点D 及点D 右侧时，43241212PA PB PC PD PD CD BC AB PD +++=+++=+≥ 综上所述，当点P 在线段BC 上时，即46m ≤≤时，原式取得最小值为8【例10】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：活动中心应该建在村庄C ，使各村到活动中心的路程之和最短【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？F EDCBPA7A6A5A4A3A2A1【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：长途汽车站应该设在点D，如果在点P 又建了一个工厂，那么此时长途汽车站应该设在DE 之间1．4x-的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若42x-=，则x=．【难度】2星【解析】绝对值的几何意义【答案】x、4、2或62．化简：212x x x-++-【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令10x-=，20x+=，0x=，∴零点为1x=、2x=-、0x=∴可分四段讨论：2x<-、20x-≤<、01x≤<、1x≥①当2x<-时，则10x-<，20x+<∴11x x-=-+，22x x+=--，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+----=-+--+=2x-②当20x-≤<时，则10x-<，20x+≥∴11x x-=-+，22x x+=+，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+++--=-++++=4课堂检测③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-=综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x -当20x -≤<时，212x x x -++-=4当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+当1x ≥时，212x x x -++-=2x3． 化简124x x --+-【难度】4星【解析】零点分段法 【答案】解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=--∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=-∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x -综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+ 当11x -≤<时，124x x --+-=5 当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+当34x ≤<时，124x x --+-=1当4x ≥时，124x x --+-=27x -1．通过本堂课你学会了 ．2．掌握的不太好的部分 ．3．老师点评：① ．② ． ③ ．1． 化简：2121x x x -++--【难度】3星【解析】零点分段法 【答案】解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x = 则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥ ①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -<∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x --②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2课后作业总结复习③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x ④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥ ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x +综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2 当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x +。

绝对值与相反数知识平台1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，•就是在数轴上该数所对应的点与原点的距离．2．绝对值的代数意义（1）正数的绝对值是它的本身．（2）负数的绝对值是它的相反数．（3）0的绝对值是0．思维点击掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值．掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答．理解绝对值的概念，利用绝对值比较两负数的大小．比较方法是先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来解答．掌握了绝对值的概念后，判断有理数的大小就不一定要依赖于比较数轴上的点的位置了．注意（1）任何一个数的绝对值均大于或等于0（即非负数）．（2）互为相反数的两数的绝对值相等；反之，当两数的绝对值相等时，•这两数可能相等，可能互为相反数．考点浏览☆考点1．给一个数，能求出它的绝对值．2．利用绝对值比较两个负数的大小．例1 （1）若一个数的绝对值为2，则这个数是_______；（2）绝对值不大于2的非负整数为_________．【解析】在数轴上离开原点的距离为2个单位长度的点为2，-2．而“不大于”意为“小于”或“等于”．答案是：（1）±2 （2）0，1，2．例2 计算：（1）|-47|-|-18|；（2）||÷|558|。

【解析】在运算中，有绝对值的必须先算绝对值．答案是：（1）原式＝4 7-18=2556；（2）原式＝34×845=215。

在线检测1．一个数的绝对值就是在数轴上表示___________．2．________的绝对值是它的本身，________的绝对值是它的相反数．3．112的相反数的绝对值为_________，112的绝对值的相反数为_________．4．绝对值等于5的数有______个，它们是____________．5．绝对值小于3的整数有__________．6．绝对值不大于3的整数有_________．7．绝对值不大于3的非负整数有_________．8．判断题：（1）│a│一定是正数．（）（2）只有两数相等时，它们的绝对值才相等．（）（3）互为相反数的两数的绝对值相等．（）（4）绝对值最小的有理数为零．（）（5）（-2）与（-2）互为相反数．（）（6）数轴上表示-5的点与原点的距离为5．（）9．计算（1）│-18││-6│；（2）│-36│-│-24│；（3）│-313│×│-34│；（4）││÷│-47│．10．把下列各数填入相应的集合里．-3，│-5│，│-13│，，0，││，34，-│-45│．整数集合：{ …}；正数集合：{ …}；负分数集合：{ …}．11．把-512，-│-4│，2，0，-213按从小到大的顺序排列．（一）（答案）1．略 2．正数，0 负数，0 3．112-1124．2 ±5 5．-2，-1，0，1，26．-3，-2，-1，0，1，2，3 7．0，1，2，38．（1）×（2）×（3）∨（4）∨（5）×（6）•∨9．（1）24 （2）12 （3）212（4）211610．略 11．-512<-│-4│<-213│<0<2。

七年级上册数学绝对值知识点总结绝对值是七年级数学中的一个基本概念，它在很多数学运算和实际应用中都有重要意义。

绝对值的引入可以帮助学生理解数轴、数与数之间的距离以及负数与正数的关系。

掌握绝对值的概念和性质是进一步学习代数、几何等数学领域的基础。

一、绝对值的定义1.绝对值的概念：绝对值表示一个数与零之间的距离。

每个实数都有一个绝对值，绝对值总是非负的。

2.数学表示：对于任何实数x，绝对值的表示为|x|。

如果x≥0，则|x|=x；如果x<0，则|x|=-x。

二、绝对值的几何意义1.数轴上的表示：在数轴上，任意一点与原点之间的距离就体现了该点的绝对值。

2.距离的计算：绝对值不仅可以用于表示数与零的距离，还可以表示两个数之间的距离。

对于任意两个实数a和b，a与b之间的距离可以表示为|a - b|。

三、绝对值的基本性质1.非负性：对于任何实数x，|x|≥0，表示绝对值永远是非负数。

2.自反性：|x|=0当且仅当x=0。

3.现实性：|x|的值与x的符号无关，只与数的大小有关。

4.乘法性质：|a * b| = |a| * |b|。

5.加法性质：|a + b| ≤ |a| + |b|（三角不等式）。

四、绝对值的运算1.加法运算：对于两个绝对值相加，一定要注意计算哪部分是负数，需要根据具体的数值来判断。

2.减法运算：|a - b|并不等于|a| - |b|，需要根据数的大小关系进行判断。

3.乘法和除法：两数的绝对值相乘或相除时，绝对值的乘法和除法性质仍然成立。

五、绝对值方程1.绝对值方程的定义：包含绝对值的方程，例如|x|=a，其中a为非负数。

2.求解绝对值方程的方法：根据定义，分情况讨论。

例如|x|=3可以分为x=3和x=-3两种情况。

3.抽象方程的解决：复杂的绝对值方程需要通过建立方程或不等式进行逐步求解。

六、绝对值不等式1.绝对值不等式的形式：一般形式为|x|<a、|x|>a。

2. |x|<a：对于这种不等式，解集为-x<a<x。

七年级数学上册《绝对值》知识点整理绝对值是数学中的一个重要概念，它在数学运算、方程与不等式的求解等方面起着重要的作用。

本文将对七年级数学上册中有关"绝对值"的知识点进行整理。

一、绝对值的定义及性质绝对值是一个数与零点之间的距离，通常用两个竖杠“| |”表示。

对于任意实数a，其绝对值记作|a|，其定义如下：1. 当a≥0时，|a|=a。

2. 当a<0时，|a|=-a。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下一些重要的性质：1. |a|≥0，绝对值不小于零。

2. |a|=0的充分必要条件是a=0。

3. 如果a和b是任意两个实数，则|ab|=|a|·|b|。

4. 如果a是任意一个实数，则|a|=|-a|。

根据性质4，我们可以将绝对值运算简化为先求出a的相反数，再取相反数的绝对值。

这对于简化绝对值运算是很有帮助的。

二、绝对值的运算规则在我们进行绝对值的运算时，需要了解以下几个重要的运算规则：1. 加减法规则：|a±b|≤|a|+|b|。

绝对值的加减可以化简为绝对值都为正号的情况，然后再进行运算。

2. 乘法规则：|ab|=|a|·|b|。

绝对值的乘法运算简化为各自数的绝对值相乘。

3. 整除规则：如果a能整除b，则|a|能整除|b|。

4. 互为倒数规则：如果a和b是互为倒数的两个数，则|a|=|b|。

根据以上的运算规则，我们可以更加方便地处理绝对值的运算。

三、绝对值的应用在数学课程中，我们经常会看到绝对值的应用，特别是在方程与不等式的求解过程中。

下面我们以一些例题来说明如何应用绝对值进行解答。

例1：求解方程|2x+3|=5。

解：根据绝对值的定义，我们可以列出等式：2x+3=5 或 2x+3=-5然后分别解得：2x=2 或 2x=-8x=1 或 x=-4所以方程的解为x=1或x=-4。

例2：求解不等式|3x-4|≥7。

解：根据绝对值的定义，我们可以列出不等式：3x-4≥7 或 -(3x-4)≥7然后分别解得：3x≥11 或 -3x≥11x≥11/3 或x≤-11/3所以不等式的解为x≥11/3或x≤-11/3。

《绝对值》知识全解
课标要求
理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值，理解绝对值的几何定义和代数定义。

知识结构
1．绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，它是一个数的几何特征，利用一个数的绝对值的几何意义可以直观地将数和点联系起来．更有利于研究它的性质．
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．任给一个有理数，求它的绝对值．
内容解析
教材首先通过实例提出决定一个数不仅是符号，还有它到原点的距离---绝对值，然后利用数轴提出绝对值的几何意义——数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，在数轴上研究不同类别的数的绝对值，归纳总结出绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．从而使学生学会求一个数的绝对值，了解有理数的绝对值的特征．
重点难点
本节的重点是正确理解绝对值的定义，能求一个数的绝对值．难点是正确理解一个数的绝对值的几何定义和代数定义．
教法导引
利用数轴引导学生观察绝对值的几何意义，总结绝对值的代数意义，通过数形结合，启发、诱导、讨论的方法学会找一个数的绝对值．
学法建议
联系生活实际，利用类推，归纳，相互讨论的方式来学习绝对值．。