第三章 振动学基础

第九章振动学基础1、教学目标和基本要求：理解什么是简谐振动，理解描述简揩振动的几种方法。

掌握简揩振动的基本规律。

理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成。

2、教学内容：§ 9-1 简谐运动的规律§ 9-2 简谐振动的描述§ 9-3 简谐振动的合成§9-1 简谐振动的规律一、简谐振动1、振动的定义所谓振动是指物理量在某一个数值附近来回往复的变化。

2、常见的振动绝大多数物理量都能实现振动。

最常见的是力学量和电磁学量的振动。

如位置、速度、加速度的振动，力、动量和能量等力学量的振动，统称为机械振动；如电流、电压、电功率、电磁场等电磁学量的振动，统称为电磁震荡。

机械振动比较直观，易于理解，在大学物理中我们主要讨论机械振动。

3、振动分类：受迫振动；自由振动4、简谐振动什么是简谐振动？如果一个物体对于平衡位置的位移按余弦函数的规律随时间变化，我们说物体的运动是简谐振动。

常见简谐振动模型：简谐振动是最简单、最基本的振动，例如弹簧振子的无阻尼振动就是简谐振动。

如图所示，一个轻质弹簧的一端固定，另一端结一个可以在水平光滑面上自由运动的物体，若所有的摩擦都可以忽略，这就是一个无阻尼的弹簧振子。

在弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置O，以O为原点设立Ox坐标轴。

如果移动物体到x=A处然后释放，则物体会在Ox坐标轴上O点两侧作往复运动。

把物体当作质点来讨论，可以证明物体对于平衡位置的位移(如果选取平衡点为坐标轴的原点，也可以称为位置)x将按余弦函数的规律随时间t变化，因此，物体的这种振动就是简谐振动。

物体受力：F kx=-加速度：/ka F m xm==-其中k和m为正常数，设2kmω= 2a x ω=-由22d d x a t =，得222d 0d xx tω+=，解出：cos()x A t ωϕ=+ d sin()d xA t tωωϕ==-+v 222d cos()d xa A t tωωϕ==-+5、简谐振动的能量 以弹簧振子为例0Acos t x ω=+Φ（）2202222220022202A sin t ,,111sin t sin t 22211cos t 2212k p k p kv x k m mE mv m A kA E mx kA E E E kA ωωωωωωωω==-+Φ====+Φ=+Φ==+Φ∴=+= （）（）（）（）可见弹簧振子的机械能不随时间改变，即其能量守恒。

这是由于无阻尼自由振动的弹簧振子是一个孤立系统，在振动过程中没有外力对它做功的缘故。

上面的结果还表明弹簧振子的总能量和振幅的平方成正比，这一点对其它的简谐振动系统也是正确的。

这意味着振幅不仅描述简谐振动的运动范围，而且还反映振动系统能量的大小。

把动能和势能的表达式改写为 2222p 11cos ()=[1+cos ()]24E kA t kA t ωϕωϕ=++2222k 11sin ()=[1-cos ()]24E kA t kA t ωϕωϕ=++ 可见弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振，见上图。

它们的平衡点在系统机械能一半的地方处即2k 124E kA =处，能量的振幅亦为2k 124E kA =。

动能和势能谐振的频率均为位移振动频率的两倍，它们振动的相位相反，因而它们的总和即机械能守恒。

二、简谐振动的相关物理量1、振幅上式中的A 表示质点可能离开原点的最大距离，它给出了质点运动的范围。

这个量叫做振动的振幅。

由于振幅A 是一个常量，因而简谐振动的全部变化都反映在余弦函数的变化之中。

2、角频率、周期、频率上式中的ω叫角频率。

由上一个知识点我们知道，角频率是振动系统固有的特征量，由系统特征量确定。

余弦函数是周期函数，振动物体运动状态完全重复一次，称为物体进行了一次全振动。

物体进行一次全振动所需要的时间叫振动的周期，以T 表示。

从简谐振动方程我们看到周期一定满足如下公式（余弦函数周期性）2πTω=这就是周期与角频率的关系。

单位时间内物体全振动的次数叫做简谐振动的频率，用表示。

显然它是周期T 的倒数即，也可以使用角频率表示12πT ων==显然，ω，T 和ν这三个量中，只要有一个知道了，其余两个也就很容易得到。

所有变量均取国际单位。

3、相位和初相在简谐振动方程中余弦函数中的变量()t ωϕ+叫做振动的相位。

ϕ称为初相位。

简谐振动的状态仅随相位的变化而变化，因而相位是描述简谐振动的状态的物理量。

相位是一个非常重要的概念，大家要注意两点：相位与时间一一对应，相位不同是指时间先后不同。

相位是以角度的方式初相便于我们讨论振动的细节。

上式对时间求导，可得d dtφω=故角频率表示相位变化的速率，是描述简谐振动状态变化快慢的物理量。

ω是一个常量，表示相位是匀速变化的。

它们的相位差（简称相差）为2121()()t t ϕωϕωϕϕϕ∆=+-+=-相差描述同一时刻两个振动的状态差。

从上式可以看出，两个连续进行的同频率的简谐振动在任意时刻的相差都等于其初相差而与时间无关。

由这个相差的值可以分析它们的步调是否相同。

4、例题【例2】一匀质细杆的长度为l ，质量为m ，可绕其一端的轴O 在铅垂面内自由转动，如图所示。

求杆作微小振动时的周期。

【解】细杆所受的合外力矩是重力矩。

如图所示，在细杆偏离平衡位置为θ角时(设逆时针方向为正方向)，杆受重力矩为其中负号表示重力矩的方向与角位移的方向相反。

对于微振，θ很小，可以认为，所以其中可见杆受到的力矩为正比回复力矩，故杆的振动为简谐振动。

细杆绕O 轴转动的转动惯量为则细杆微小振动的周期为即例1若简谐运动方程为()()m π25.0π20cos 10.0+=t x ，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度．分析：可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果． 解（1） 将()()m π25.0π20cos 10.0+=t x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A ＝0.10m ， 角频率1s π20-=ω， 初相ϕ＝0.25π， 则周期s 1.0/π2==ωT ， 频率Hz /1T =v ．（２）s 2=t 时的位移、速度、加速度分别为()m 1007.7π25.0π40cos 10.02-⨯=+=t x ()-1s m 44.4π25.0π40sin π2d /d ⋅-=+-==t x v()-22222s m 1079.2π25.0π40cos π40d /d ⋅⨯-=+-==t x a例2 如图所示系统（细线的质量和伸长可忽略不计），细线静止地处于铅直位置，重物位于O 点时为平衡位置。

若把重物从平衡位置O 略微移开后放手，重物就在平衡位置附近往复的运动。

这一振动系统叫做单摆。

求单摆小角度振动时的周期。

解5θ< ，sin θθ≈sin M mgl mgl θθ=-≈-22d d mgl J tθθ-=22d d gt lθθ=- 2glω=222d d tθωθ=-m m cos()t θθωϕ=+三、谐振子模型简谐振动和一般振动的关系：从振动的形式来看，有连续振动和非连续(脉冲)振动，有周期振动和非周期振动等等，其中最简单的是简谐振动。

简谐振动的规律简单而和谐，而且可以证明，一切复杂的振动都可以看作是多个简谐振动的合成（付里叶分解），因而讨论简谐振动也就是讨论所有振动的基础。

§9-2 简谐振动的描述一、数学解析法1、受回复力描述法F kx =-，平衡位置0x =2、简谐运动的动力学描述222d d xx tω=- 3、简谐运动的运动学描述cos()x A t ωϕ=+， sin()A t ωωϕ=-+v二、初始条件的应用初始位置0cos x A ϕ=， 初始速度sin A ωϕ=-0vA =00tan v x wϕ=-三、旋转矢量法1、定义简谐振动除了用谐振方程和谐振曲线来描述以外，还有一种很直观，很方便的描述方法，以O 为原点旋转矢量A的端点在x 轴上的投影点的运动为简谐运动。

称为旋转矢量表示法。

0cos x A ϕ=这与简谐振动定义式完全相同。

由此可知，旋转矢量的端点在x轴上的投影的运动就是简谐振动。

显然，一个旋转矢量与一个简谐振动相对应，其对应关系是：旋转矢量的长度就是振动的振幅，因而旋转矢量又称为振幅矢量；矢量的角位置就是振动的相位，矢量的初角位置就是振动的初相，矢量的角位移就是振动相位的变化；矢量的角速度就是振动的角频率，即相位变化的速率；矢量旋转的周期和频率就是振动的周期和频率。

我们在讨论一个简谐振动时，用上述方法作一个旋转矢量来帮助分析，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有利于问题的解决。

2、注意事项：逆时针方向为正。

3、例题例1一质点沿x轴作简谐振动，振幅为A，周期为T。

(1) 当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=A/2，质点向x轴正向方运动，求质点振动的初相；(2) 质点从x=0处运动到x=A/2处最少需要多少时间？解：(1) 当t=0时，质点的位移x0=A/2，故t=0时的矢量图中的旋转矢量应与x 轴构成600角，即与x的夹角为φ=π/3或φ=-π/3，见图(a)。

若φ=π/3，注意到矢量的转动方向是沿逆时针方向的，所以此时矢量端点M的投影正向x轴负方向运动，这不合题意；若φ=-π/3，此时矢量端点的投影正向x正方向运动，合题意。

故质点振动的初相应为φ=-π/3。

(2) 质点从位移为x=0处运动到x=A/2处的过程，在图(b)中即为质点从O点运动到a点的过程。

由于质点的运动不是匀速运动，所以运动时间在x轴上不能直接判断出来。

在矢量图中，质点从x=0处运动到x=A/2处的过程，旋转矢量是从Φ=-π/2处转动到Φ=-π/3处，转过了π/6的角度。

由于矢量的转动是匀角速转动，转动一周的时间是T，故转过π/6的时间应为T/12，这也就是质点从x=0处运动到x=A/2处所需要的最短的时间。

例2一质点作简谐振动的振动曲线如图，求质点的振动方程。

解：简谐振动的振动表达式：)cos(ϕω+=t A x由题图可知，m 1042-⨯=A ,当t=0时，将m 1022-⨯=x 代入简谐振动表达式，得：21cos =ϕ 由)sin(ϕωωυ+-=t A ,当t=0时，ϕωυsin A -= 由图可知，υ>0,即0sin <ϕ,故由21cos =ϕ,取3πϕ-= 又因:t=1s 时，,1022m x -⨯=将其入代简谐振动表达式，得213cos ,3cos 42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πωπω由t=1s 时,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3sin πωωυA <0知，03sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛-πω,取33ππω=-，即 s 32πω=质点作简谐振动的振动表达式为m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-332cos 1042ππ【例3】一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A =0.12m ，周期T =2s ，当t =0时，质点对平衡位置的位移x 0=0.06m ，此时刻质点向x 正向运动。