2020-2021七年级数学上专题《整式及其加减》(北师大版)+详细解析

龙文教育----- 您值得信赖的专业化个性化辅导学校第三章整式及其加减知识点一、字母表示数1、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；○1 加法交换律a＋b＝b＋a加法结合律a＋b＋c＝a＋（b＋c）○2乘法交换律ab＝ba乘法结合律（ab）c＝a（bc）乘法分配律a（b＋c）＝ab＋ac用字母表示计算公式：○1 长方形的周长2（a＋b）,面积ab（a、b分别为长、宽）○2正方形的周长4a，面积a2（a表示边长）○3长方体的体积abc，表面积2ab＋2bc＋2ac（a、b、c分别为长、宽、高）○4正方体的体积a3,表面积6a2（a表示棱长）○5圆的周长2πr,面积πr2（r为半径）○6三角形的面积1 ×ah（a表示底边长，h表示底边上的高）22、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。

4、注意书写格式的规范：(1)表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“·”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2)数和字母相乘时，数字应写在字母前面；(3)带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；(4)除法运算写成分数形式，分数线具“÷”号和“括号”的双重作用。

(5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。

典型例题：例题1.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m 千克，再从中截取5 米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（）米m A、nmnB 、55mC 、55mD、( n －5)例题2.用代数式表示“ 2a与3 的差”为（）A．2a－3 B．3－2a C．2（a－3）D．2（3－a）例题3.如图1―3―1，轴上点A 所表示的是实数a，则到原点的距离是（）A、a B．－a C．±a D．－|a|11 1 例题 4.已知 a=20x+20， b=20x+19，c=20x+21，那么代数式 a 2+b 2+c 2－ab －bc －ac 的值为（ ） A 、4B 、3C 、2D 、1练习：1、温度由 t ℃下降 3℃后是 ℃.2、飞机每小时飞行 a 千米，火车每小时行驶 b 千米，飞机的速度是火车速度的 倍.3、无论 a 取什么数，下列算式中有意义的是（ ） A.1a - 1B. 1aC.1a - 1 2D.12 a - 14、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为 a ，排数比每排同学数的 3 倍还多 2，那么全班同学数为（ ）A. a · 3a + 2B. a (3a + 2)C. a + 3a + 2D. 3a (a + 2)5、轮船在 A 、B 两地间航行，水流速度为 m 千米／时，船在静水中的速度为 n 千米／时，则轮船逆流航行的速度为 千米／时6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 x 元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降价 40%，丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是（ ）（A ）甲（B ）乙（C ）丙（D ）乙或丙7、下列说法中：① -a 一定是负数；②| a | 一定是正数；③若 abc > 0 ，则 a 、b 、c 三个有理数中负因数的个数是 0 或 2，其中正确的序号是 8、设三个连续整数的中间一个数是 n ,则它们三个数的和是 9、设三个连续奇数的中间一个数是 x ,则它们三个数的和是 10、设 n 为自然数，则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被 5 整除的数为 ；被 4 除余 3 的数为二、代数式1、代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。

第七讲：整式的加减1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并； 2. 掌握同类项的有关应用； 3. 掌握化简求值的常见题型．同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 要点诠释：（1）判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． （3）一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．【例1】判别下列各题中的两个项是不是同类项：(1)324b a -与235a b ；(2)2213x y z -与2213xy z -；(3)8-与21；(4)c b a 326-与28ca (5)q p 23与2qp -【例2】填空（1）如果23k x y x y -与是同类项，那么k = .（2）如果3423x ya b a b -与是同类项，那么x = . y = .（3）如果123237x y a b a b +-与是同类项，那么x = . y = .（4）已知73y x nm -与n m y x 113321+-是同类项，求=+n m 2 .合并同类项1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； (2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．【例1】合并同类项：（1）52342322--++-x x x x （2）222265256a b ab b a -++-（3）526245222+++-+-xy y x xy xy yx （4）5253432222+++--xy y x xy y x（5）b a b a b a 2222132+- （6）322223b ab b a ab b a a +-++-（7）13243222--+--+x x x x x x （8） 32313125433xy x y xy x ---+【例2】合并同类项：（1） ()()()()323214151213x x x x -+----- （2）()()()()b a a b a b b a 24222222-+---+-（3）()()()()()2223243b a a b a b b a b a -------+-要点一、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 要点二、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．【例1】化简：()()=+--b a b a ； ()()=---d c b a ；()()=-++-d c b a ； ()()=----d c b a ； ()()=---a b b a 222 ； ()()=+-+d c b a 32 ；【例2】合并同类项：（1）()()()z y x y z x z y x +--+-+---322 （2）()()][a a a a a a 31452233222-+-----【例3】在各式的括号中填上适当的项，使等式成立． （1） 2345()()x y z t +-+=-=+2()x =-23()x y =+-； （2）23452()2()x y z t x x -+-=+=-23()45()x y z t =--=--．化简求值要求：先化简，后求值【例1】当1,2a b ==-时，求多项式3232399111552424ab a b ab a b ab a b --+---的值．【例2】若243(32)0a b b +++=，求多项式222(23)3(23)8(23)7(23)a b a b a b a b +-+++-+的值．【例3】()()][mn m mn m m mn 2532222+-----，其中1=m ，2-=n 。

专题03整式及其加减1.代数式（1）用运算符号把 连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或一个 也叫代数式.其中，运算符号指的是加、减、乘、除、乘方以及以后将要学习的开方等运算符号，不包含≠、＝、＜、≥等表示数量关系的符号.（2）代数值的概念：用数值代替代数式里的 ，按照代数式的 计算出的结果叫做代数式的值。

注意：求代数式的值一般按照先代入、后计算的方法，同时字母的取值必须保证代数式有意义；字母的取值不同，代数式的值一般也不同.2.同类项和合并同类项（1）同类项：所含 ，并且相同字母的 也分别相同的项，叫做同类项.注意：常数项也是同类项，从定义来看，同类项有两个标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也分别相同.（2）合并同类项；把多项式中的 叫做合并同类项.合并同类项的法则是：系数相加的结果作为结果的系数；字母和字母的指数不变.3.去括号的法则 (),()a b c a b c a b c a b c +-=+---=-+（1）括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号 ；（2）括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号 .注意：当括号前面有因数时，不要把因数只与括号里的第一项相乘，而应与每项都相乘；去括号时，当括号前面是负号时，容易出现只改变第一项的符号，其余各项符号不改变“的错误.遇到多重括号时，要根据题目的结构特点，灵活去括号.4. 整式加减的运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先________，然后再________.5.探索规律的一般方法（1）首先根据已有的信息归纳出一个较为简单的 ，然后运用 加以验证，如果规律不符合，再另行归纳，直至验证吻合.（2）用八个字归纳：观察、猜想、归纳、验证.考点一：用字母表示数例1（2020安徽模拟）2019年我省财政收入比2018年增长8.9％，2020年比2019年增长了9.5％.若2018年和2020我省财政收入分别为a亿元和b亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式是( )A.b=a（1+8.9％+9.5％）B.b=a（1+8.9％⨯9.5％）C.b=a（1+8.9％）（1+9.5％）D.b=a（1+8.9％）2(1+9.5％）分析：根据2018年我省财政收入和2019年我省财政收入比2018年增长8.9％，求出2019年我省财政收入，再根据2020年比2019年增长了9.5％，2020我省财政收入为b亿元，即可得出a、b之间的关系式．解：∵2013年我省财政收入分别为a亿元，2019年我省财政收入比2018年增长8.9％，∴2019年我省财政收入为a（1+8.9％）亿元，∵2020年比2014年增长了9.5％，2015我省财政收入为b亿元，∴2020年我省财政收入为b = a（1+8.9％）（1+9.5％）．故选C．点评：本题考查了列代数式，关键是根据题意求出2019年我省财政收入，是一道基础题．考点2：代数式求值例2（2020潍坊）若m2+2m=1，则4m2+8m－3的值是（）A．4 B. 3 C. 2 D. 1分析：把代数式4m2+8m－3变形为4（m2+2m）－3，再把m2+2m=1代入计算即可求出值，解：∵m2+2m=1，∴4m2+8m－3=4（m2+2m）－3=4×1－3=1.故选：D点评：此题考查了求代数式的值，以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式4m2+8m－3变形为4（m2+2m）－3.考点3：同类项例3（2020广东期末）如果3x m y与-5x3y n是同类项，那么m+n=______．分析：根据同类项的定义列出方程，求出m，n的值即可．解：根据题意得：m=3，n =1，解得m+n =4，故答案为：4．点评：此题考查同类项，关键是根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．考点4：去括号法则例4（2020武汉一模）计算：3a-（2 a - b）=________．分析：先去括号，然后合并同类项即可解答此题．解：3a-（2 a - b）=3a -2 a +b= a +b．故答案为：a +b．点评：此题考查了去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．考点5：整式的加减例5（2020长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步：A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步：C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步：A同学此时手中有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学.请你确定，B同学手中剩余的扑克牌的张数为分析：本题是加减法的综合运用，设每人有x张扑克牌，解答时依题意列出算式，求出答案.解：设每人有x张扑克牌，B同学从A同学手中拿来二张扑克牌，又从C同学手中拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x－2）张牌，那么给A同学后B同学手中手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3－（x－2）=x+2+5=7故答案为：7.点评：本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键是根据题中所给的数量关系，建立数学模型，根据运算提示，找出相应的等量关系.考点六、探索数字变化规律例7（2020安徽）观察以下等式：第1个等式：121(1)2311⨯+=-，第2个等式：321(1)2422⨯+=-，第3个等式：521(1)2533⨯+=-，第4个等式：721(1)2644⨯+=-.第5个等式：921(1)2 755⨯+=-.…安装以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式_______：（2）写出你猜想的第n个等式_______：分析：（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出地6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值进而得到左右相等即可.解：（１）∵（１）第６个等式：1121=2-866⨯（１＋）；（２）猜想的第n个等式：2121(1)22nn n n-⨯+=-+．证明：∵左边＝2122211()22n nn n n n-+-⨯==-+＝右边．∴等式成立．故答案为：1121=2-866⨯（１＋）；2121(1)22nn n n-⨯+=-+．点评：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．考点7：探索图形变化规律例7（2020焦作月考）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A．43 B．45 C．51 D．53分析：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“a n=2+2)6)(1(+-nn”，结合该规律即可得出结论．解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n=2+2)6)(1(+-nn．令n=8，则a8=2+2)68)(18(+-=51．故选C．点评：本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n=2+2)6)(1(+-nn”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，以此进一步发展符号感.2.通过对运算法则的探索和对算理的理解，进一步发展有理数的思考与表达能力.3.经过观察、分析、归纳与概括等探索过程，发现隐藏在事物之间的数量关系和变化规律，运用所学知识证明猜想或解决问题，培养推理能力.一、选择题1．（2020通辽）下列说法不正确的是（ ）A ．2a 是2个数a 的和B ．2a 是2个数a 的积C ．2a 是单项式D ．2a 是偶数2．(2020公安期中)下列各式﹣12mn ，m ，8，1a ，x 2+2x +6，25x y -，24x y π+，1y 中，整式有 A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个3.（2020重庆）已知a+b=4，则代数式122a b ++的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．-1 4．化简–16（x –0.5）的结果是（ ）A ．–16x –0.5B ．–16x +0.5C ．16x –8D ．–16x +85．（2020达州）如图，正方体的每条棱上放置相同数量的小球，设每条棱上的小球为ｍ，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）Ａ．12（m -1） Ｂ．4m+8（m -2） Ｃ．12（m -2）+8 Ｄ．12m -166. (2020湖北黄冈期中)与a ﹣b ﹣c 的值不相等的是（ ）A ．a ﹣（b ﹣c ）B ．a ﹣（b +c ）C ．（a ﹣b ）+（﹣c ）D ．（﹣b ）+（a ﹣c ）7．(2020荆州一模)某工厂现有工人a 人，若现有工人数比两年前减少了35%，则该工厂两年前工人数为（ ）A ．B ．(1+35%)aC ．D ．(1－35%)a8．(2020武汉新州区月考)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…，按照上述规律，第2020个单项式是（ ）A ．2020x 2020B ．4029x 2020C ．4040x 2020D ．4031x 2020 9.（2020西藏）观察下列两行数：1,3,5,7,9,11,13,15,17，…１,４,７,10,13,16,19,22，25，…探究发现：第１个相同的数是１，第２个相同的数是７，…若第ｎ个相同的数是103，则ｎ等于（ ） A ．18 B ．19 C ．20 D ．21135%a +135%a -10.（2020娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．189二、填空题11．比x 的15％大2的数是________．12.（2020黔西南州）若７a x b 2与-a 3b y 的和为单项式，则y x ＝_______．13．已知多项式x |m |+（m ﹣2）x ﹣10是二次三项式，m 为常数，则m 的值为 ．14.（2020湖南怀化模拟）合并同类项：4a 2+6a 2-a 2= .15.（2020绵阳）若多项式xy |m-n|+（n-2）x 2y 2+1是关于ｘ、ｙ的三次多项式，则mn=（ ）16．一个多项式减去3x 等于，则这个多项式为________．17.（2020黔西南州）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入ｘ的值为６２５，则第２０２０ 次输出的结果为________．18.（2020广西）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有８排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．三、解答题19．（2020鄂州月考）化简：（1）a 2﹣3a +8﹣3a 2+4a ﹣6；（2）a +（2a ﹣5b ）﹣2（a ﹣2b ）．21．（2020湖北天门期中）如果关于字母x 的二次多项式﹣3x 2+mx +nx 2﹣x +3的值与x 的取值无关，求2m ﹣3n 的值．2535x x --22.（2020武汉黄陂区期中）（1）一个两位正整数，a表示十位上的数字，b表示个位上的数字（a≠b，ab ≠0），则这个两位数用多项式表示为（含a、b的式子）；若把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数，则这两个两位数的和一定能被整除，这两个两位数的差一定能被整除（2）一个三位正整数F，各个数位上的数字互不相同且都不为0．若从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成6个不同的两位数．若这6个两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数F 为“友好数”，例如：132是“友好数”一个三位正整数P，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数P为“和平数”①直接判断123是不是“友好数”？②直接写出共有个“和平数”③通过列方程的方法求出既是“和平数”又是“友好数”的数．。

七年级数学上册第三章整式及其加减4 整式的加减课标解读素材（新版）北师大一、课标要求整式的加减一节主要内容包括合并同类项、去括号法则、整式加减的运算法则和求多项式的值等．《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对整式加减相关内容提出的教学要求是：1．掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算．2．会求整式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．二、课标解读1．整式的加减是学生进入第三学段后最先遇到的有关式子的运算，是由具体的数字运算发展到代数式运算的转折点．整式的加减运算是今后学习整式的乘除、分式的化简等涉及（代数）式运算的基础．由于整式中的字母可以表示任意有理数，因此整式的加减运算可以类比和应用有理数的运算与加法、乘法的运算律来学习，进一步体会“（有理）数”与“（整）式”运算的相通性．2．整式的加减法运算的实质是“合并同类项”，需要应用到去括号、加法和乘法的运算律等相关知识．因此，整式加减的学习通常从“同类项”的概念和“去括号”的法则开始．同类项是继单项式、多项式等概念后，另一个研究整式的加减运算需要学习的重要概念．判断两个单项式是否为同类项，关键要紧扣两个条件：一是含有相同的字母，二是相同字母的指数分别相同，它们缺一不可。

同时需要注意，常数项都是同类项．这些是判别同类项的基本要领．3．合并同类项是整式加减运算的基础，也是以后学习解方程、解不等式的基础．合并同类项的根据是加法的交换律、结合律及乘法的分配律．合并同类项的法则是类比有理数的加减法运算得到的，因此，合并同类项是有理数加减法运算的延伸与拓广，具有承上启下、由（有理）数运算过渡到（整）式运算的桥梁作用．4．去括号是数式运算重要的基础知识和基本方法，在今后代数式运算、分解因式、解方程（组）与不等式（组）等问题中经常用到．去括号的法则打破了有理数混合运算“有括号先算括号里面的”限制，使某些运算变得更加简便，如计算45-（-35+8），若先算括号里面的，则相对较为繁杂，而先去括号再进行加减运算则相对容易得出结果．去括号法则对七年级学生来说，在理解和应用上应该有一个逐步深入的思维过程，初次接触应该有一定的难度，是本节教学的重点与难点．5．用字母可以表示数或数量关系，也可以表示特定意义的公式或具有某些规律的数．用整式表示和分析实际问题中的数量关系，能使数量之间的关系更简明，更具有普遍意义．当整式中所含字母的取值确定后，可以求得此时整式的值，通常的做法是，先将整式化简，即先去括号、合并同类项，再将字母的值代入计算，这样可以化繁为简，使运算简便，这也说明，式的运算更具有一般性，数的运算是式的运算的特殊情形．6．同类项概念的产生源于生活中的归类思想．同类项概念及合并同类项法则的产生，都是因为数式运算的需要．由有理数概念与运算的学习，过渡到整式的相关概念与运算的学习，集中体现了由特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，学生通过本小节内容的学习，能够感受到数学知识、思想和方法的形成和发展过程，逐步增强自身的数学思维能力．。