根号的估算思想_估算

2．用估算法确定无理数的大小
（1）在按四舍五入法求近似值时，一定要比要求精确的数位多考查一位，这一点往往易出错．
（2）“精确到”与“误差小于”意义不同．如精确到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．在本章中误差小于1 m就是估算到个位，误差小于10 m就是估算到十位．
用估算法比较含根号的数的大小，一般可采取下列方法：
（1）先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；
（2）当符号相同时，把不含根号的数平方，和含根号的数的被开方数比较．本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；
（3）若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小．
5．估算的实际应用
例1. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间
B．3与4之间
C．4与5之间
D．5与6之间
【答案】B
【解析】∵一个正方形的面积是15，∴该正方形的边长为 ，∵9＜15＜16，∴3＜ ＜4．
例2. 若n= -6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（ ）
A．4＜n＜5
B．3＜n＜4
C．在11-12之间
D．在12-13之间
1.【答案】B
【解析】∵ ≈3.16，∴ 的整数部分是3．
2.【答案】C
【解析】∵5＜ ＜6∴3＜ −2＜4
3.【答案】C
【解析】∵121＜138＜144，∴11＜ ＜12
课外拓展
中国古代数学的发展
在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。

根号估算的方法根号是数学中一种非常常见的数学符号，用来表示平方根。

在日常生活中，我们经常需要对一些数值进行估算，而根号估算就是一种简单而常用的方法。

在本文中，我们将介绍根号估算的方法以及其应用。

根号估算的基本原理是利用根号的近似值来对一个数进行估算。

根号的近似值可以通过一些常见的数学方法和技巧来获得。

下面我们将介绍几种常用的根号估算方法。

1. 简化法：对于一个数的平方根，如果该数的个位数是1、4、5、6、9中的一个，那么它的平方根的个位数只可能是1、2、5、6、9中的一个。

例如，根号16约等于4，根号25约等于5。

这种方法适用于对整数的平方根进行估算。

2. 近似法：对于一个非整数的平方根，我们可以通过近似法来估算。

首先，找到该数的两个完全平方数之间的数字，然后将其平均值作为该数的估算值。

例如，要估算根号8的值，我们可以找到两个完全平方数4和9，它们的平均值为6.5，因此根号8约等于6.5。

这种方法适用于对非整数的平方根进行估算。

3. 分解法：对于一个较大的数，我们可以通过分解法来估算其平方根。

首先，将该数分解成两个较小的数的乘积，然后对这两个数进行根号估算。

例如，要估算根号80的值，我们可以将80分解成8和10的乘积，它们的平方根分别约等于2.8和3.2，因此根号80约等于2.8乘以3.2，即8.96。

这种方法适用于对较大数的平方根进行估算。

根号估算方法在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在购物时，我们经常需要估算商品的价格折扣，而根号估算可以帮助我们快速而准确地估算出商品的实际价格。

此外，在科学研究和工程设计中，根号估算也经常用于对实验数据和物理量进行估算和分析。

根号估算的优点是简单易用，不需要复杂的计算过程和专业的数学知识。

然而，它也有一定的局限性。

根号估算只能提供一个数的近似值，并不能给出其精确的数值。

因此，在需要高精度计算的情况下，我们仍然需要借助计算器或计算软件来进行准确计算。

在使用根号估算的过程中，我们应该注意估算结果的精度和误差。

根号的解读根号是数学运算中一个重要的概念，它也被称作平凡根或索引。

根号的应用涉及到几何图形、分析几何、近似估算、实际问题、科学计算等众多领域，今天，我们就来解读一下根号的概念、定义、运算、特性以及实际应用。

一、根号概念根号表示一个数字或式子的根，即所求数等于式子或方程的解。

根号是一个符号，表示求解式子或方程的过程。

它是由一个带有指数的算式组成的，表明某一数的多少次方根。

例如：$sqrt{x^2+1}$示$x^2+1$的平方根；$sqrt[3]{27}$表示27的立方根。

二、根号定义一个正数的平方根是指该正数的一个正数，它的平方等于该正数。

即：如果$y$是$x$的平方根，则有：$y^2=x$。

一个正数的$m$次根（$m$为自然数）是指该正数的一个正数，它的$m$次方等于该正数。

即：如果$y$是$x$的$m$次根，则有：$y^m=x$。

以上定义也可以表示为：$x$的$m$次根是使$x=y^m$成立的正数$y$。

三、根号运算（1）平方根若干个正数的乘积的平方根，等于他们分别求平方根后各自的乘积。

例如：$sqrt{9times 16}=sqrt{9}timessqrt{16}$，即$sqrt{144}=3times4=12$（2）立方根若干个正数的乘积的立方根，等于他们分别求立方根后各自的乘积。

例如：$sqrt[3]{8times 27}=sqrt[3]{8}timessqrt[3]{27}$，即$sqrt[3]{216}=2times3=6$（3）多次根若一个正数的$m$次根，是他的$n$次根的$k$次根，则称$m$为$n$的$k$次方表示：$m=n^k$例如：$sqrt[4]{256}=sqrt[4]{sqrt[3]{8}}$，即$4=3^2$四、根号特性（1）正数的根号等于该正数的对根，即$sqrt{x}=sqrt{y}$当且仅当 $x=y$;（2）平方根的取值范围为$[0,+infty)$，立方根的取值范围为$[0,+infty)$；（3）两个正数的乘积的根号，等于他们分别求根号后各自的乘积；（4）根号是一种折衷手段，它可以减少解题过程中的复杂性，便于计算。

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理1、立方根的概念，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。

一般地，如果一个数x的立方等于a，即3x a注意：每一个数a有且只有一个立方根，记为3a，读作“三次根号a”。

2、立方根的性质（1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。

注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。

3、开立方求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，其中a 叫做被开方数。

注意：（1）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成；（2）开平方时，被开方数a 是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0； （3）()33a a = ，33a a = 。

4、估算（1）用估算法确定无理数的大小对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”逐级夹逼，首先确定其正数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。

（2）用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小时，一般至少有一个是无理数。

在比较大小时，通常先通过分析，估算出无理数的大致范围，在进行具体的比较。

注意：（1）0a b a b >≥⇔> ；（2）33a b a b >⇔> 。

考点一：立方根的概念 例1、﹣8的立方根是（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．﹣例、﹣64的立方根是（ ）A ．8B ．4C ．﹣4D ．﹣8例3、若是一个正整数，满足条件的最小正整数n= ．例4、计算的结果是 ．例5、已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求m﹣n的平方根．例6、已知一个正数x的平方根是3a+2与2﹣5a．（1）求a的值；（2）求这个数x的立方根．考点二：实数大小比较例1、下列四个数中，最大的一个数是（）A．2 B．C．0 D．﹣2例2、下面实数比较大小正确的是（）A．3＞7 B．C．0＜﹣2 D．22＜3例3、在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（）A．﹣3 B．0C．D．﹣1例4、比较大小：﹣3．例5、先比较大小，再计算．（1）比较大小：与3，1.5与；（2）依据上述结论，比较大小：2与；（3）根据（2）的结论，计算：|﹣|﹣|﹣2|．考点三：估算无理数的大小例1、估计的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间例2、估计+1的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间例3、判断2﹣1之值介于下列哪两个整数之间？（）A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7例4、若a、b分别是、的整数部分，则a+b的平方根是．实战演练➢课堂狙击1．下列叙述中，不正确的是（）A．绝对值最小的实数是零B．算术平方根最小的实数是零C．平方最小的实数是零D．立方根最小的实数是零2．的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．23．在实数，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（）A．B．﹣2 C．0 D．34．下列实数中，﹣（﹣π），|﹣3|，3中，最大的是（）A．B．﹣（﹣π）C．|﹣3| D．35．已知a、b为两个连续整数，且a＜﹣＜b，则a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．86．把表示成幂的形式是．7．的立方根是．8．比较大小：1（填“＜”或“＞”或“=”）．9．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是．10．若n＜＜n+1，且n是正整数，则n=．11．已知：2x+3y﹣2的平方根为±3，3x﹣y+3的立方根为﹣2，求的平方根．12．已知实数x、y满足，求2x﹣的立方根．13．设A=+，B=+，试比较A，B的大小．➢课后反击1.下列说法正确的是（）A．9的倒数是﹣B．9的相反数是﹣9C．9的立方根是3 D．9的平方根是32. 设a是小于1的正数，且，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定3. 给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（）A．0 B．C．π D．﹣14. ﹣2的值在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间5. 若a2=64，则=．6. 已知x+2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为．7. 比较大小：4﹣1（填“＞”、“=”或“＜”）8．比较大小：．9．已知x的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且，求x+y的值．10．如果A=是a +3b 的算术平方根，B=的1﹣a 2的立方根．试求：A ﹣B 的平方根．11．已知，比较a ，b 的大小．12．已知m ，n 分别表的整数部分和小数部分，则2m +n= ．1．【2016•博野】比较大小：﹣﹣（填“＞“或“＜“）2．【2010•温州】（1）用“＜”、“＞”或“=”填空： ＜， ＜ （2）由以上可知：①|1﹣|= ﹣1 ．②||=﹣．（3）计算：|1﹣|+||+||+…+||（结果保留根号）1、立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即3x a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根重点回顾直击中考（也叫做三次方根）。

立方根与估算1、定义“若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.2、立方根的性质：正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.3、平方根与立方根的区别与联系：联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不同正数a的平方根表示为±a，a的立方根表示为3a.(4)被开方数的取值范围不同±a中的被开方数a是非负数；3a中的被开方数可以是任何数.一、类比学习立方根1、立方根的表示，高次方根的表示及意义2、练习：求下列各数的立方根（1）64 （2）-8 （3） 4 （4）610 （5）-1 （6）-3 （7）2783、正数，0，负数的立方根情况是什么样呢？4、对立方根与平方根的被开方数的取值有什么要求吗？5、应用（1）计算()23527---（2）求各式中X 的值02783=+x ()0343.013=--x ()161814=+x二、探究立方根的性质 1、=-38=-38 =-3a有何发现？2、=33)8( =33)27(=-33)8( =-33)27( =33)(a=332 =333=-33)2( =-33)3( =33a3、如果正方形面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的16倍呢？它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的m 倍呢？有何发现？三、巩固训练（一）、知识点1、一般，若一个数x 的平方等于a ，即2x a ，那么 就叫做 的平方根。

求根号近似值的方法求根号近似值的方法根号作为数学中常见的符号之一，常常出现在各种公式和问题中。

然而，由于根号是一种无理数，因此为了计算和处理方便往往需要对其进行近似。

本文将从几个方面介绍一些求根号近似值的方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近而求出根号近似值的方法。

其基本思想是，在函数的某个初始点处，通过计算函数在该点的导数和函数值，确定该点处的切线，该切线与x轴的交点即为一个更接近根号的点。

然后再在该点处重复上述过程，直到达到一定的精度为止。

具体而言，设$f(x)=x^2-a$，则对于根号$a$，有$f(\sqrt{a})=0$。

根据导数的定义，可得$f'(x)=2x$。

因此，在第$i$次迭代中，将当前点的切线方程与x轴求交，能得到一个新的迭代点$x_{i+1}$：$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}=x_i-\frac{x_i^2-a}{2x_i}=\frac{x_i}{2}+\frac{a}{2x_i}$$重复上述过程，直到满足精度要求为止。

二、二分法二分法是一种简单且有效的求根号近似值的方法。

其基本思想是，根据实数的有理数近似性，将根号所在的区间不断缩小，直到满足精度要求为止。

具体而言，设$a>0$，则$x=\sqrt{a}$满足不等式$0<x<max\{1,a\}$。

可以将该区间等分，设左右端点为$l_0=0$，$r_0=max\{1,a\}$，则取出中点$c_0=\frac{l_0+r_0}{2}$。

若$f(c_0)^2<a$，则根号在区间$[c_0,r_0]$中，否则根号在区间$[l_0,c_0]$中。

取出新的区间左右端点$l_1$和$r_1$，重复以上步骤，直到满足精度要求为止。

三、泰勒展开法泰勒展开法是一种将根号表达为一个无穷级数的方法，通过截断该级数求出一个近似值。

根据泰勒公式，对于函数$f(x)=\sqrt{x}$在点$x_0$处展开得：$$\sqrt{x}=\sqrt{x_0}+\frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x-x_0)-\frac{1}{8x_0\sqrt{x_0}}(x-x_0)^2+\frac{1}{16x_0\sqrt{x_0}^3}(x-x_0)^3-...$$显然，只需要取到一定的项数就可以得到一个逼近根号的值。

求根号近似值的方法根号是数学中常见的一个符号，表示一个数的平方根。

在实际生活中，我们经常需要求根号的近似值，比如计算房屋面积、计算圆的面积等等。

那么，如何求根号的近似值呢？下面就介绍几种常见的方法。

一、二分法二分法是一种简单粗暴的方法，它的基本思想是：不断将待求值的区间缩小，直到求出一个满足要求的近似值为止。

具体步骤如下： 1.确定待求值的区间[a,b]，其中a为根号的下限，b为根号的上限，一般情况下，a=0，b为待求的数。

2.计算区间的中点c=(a+b)/2。

3.计算c的平方，如果c^2等于待求的数，则c就是所求的近似值；如果c^2小于待求的数，则将a更新为c，进入第2步；如果c^2大于待求的数，则将b更新为c，进入第2步。

4.重复步骤2和步骤3，直到求出满足要求的近似值为止。

二分法的优点是简单易懂，缺点是速度比较慢，特别是在求精度较高的近似值时，需要进行多次迭代，效率比较低。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种比较高效的方法，它的基本思想是：在待求值的某个点上，通过求函数的切线来逼近函数的零点。

具体步骤如下：1.确定待求值的初始点x0。

2.计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)。

3.计算函数f(x)在x0处的函数值f(x0)。

4.计算切线的截距b=f(x0)-f'(x0)*x0。

5.计算切线与x轴的交点x1=b/f'(x0)。

6.将x1作为新的初始点，重复步骤2到步骤5，直到求出满足要求的近似值为止。

牛顿迭代法的优点是速度快，精度高，缺点是需要计算函数的导数，如果导数计算复杂或者不存在，该方法就无法使用。

三、二次逼近法二次逼近法是一种比较精确的方法，它的基本思想是：在待求值的某个点上，通过构造一个二次函数来逼近原函数。

具体步骤如下：1.确定待求值的初始点x0。

2.计算函数f(x)在x0处的函数值f(x0)和导数f'(x0)。

3.构造一个二次函数g(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+(x-x0)^2/2f''(x0)，其中f''(x0)为函数f(x)在x0处的二阶导数。

公考速算技巧公考是许多人梦寐以求的机会，而在公考中，速算技巧的掌握是非常重要的。

通过运用一些简单而实用的速算技巧，可以在有限的时间内高效地解决数学运算问题，提高答题速度和准确性。

本文将介绍一些常用的公考速算技巧，帮助考生更好地应对数学题。

一、快速计算百分数在公考中，经常需要计算百分数。

如果直接进行计算，往往会耗费较多的时间。

而利用速算技巧可以帮助我们快速计算百分数。

1. 计算某数占另一个数的百分比时，可以先将两个数除以10，再进行相应的运算。

例如，计算75占300的百分比，可以先将75除以10得到7.5，再将300除以10得到30，最后计算7.5/30=0.25，即75占300的25%。

2. 计算百分数的增减时，可以利用近似数进行快速计算。

例如，计算120增加了25%后的结果，可以先将120的四分之一计算出来，即120/4=30，然后将30和120相加得到150，即120增加了25%后的结果是150。

二、快速计算乘法在公考中，乘法是一个常见的运算，而快速准确地计算乘法可以有效提高答题速度。

1. 乘法交换律：对于两个两位数相乘的计算，可以通过交换乘数的位置来简化计算。

例如，计算32*45时，可以将其改写为45*32，然后利用竖式乘法进行计算。

这样做可以减少计算过程中的进位和计算错误，提高准确性。

2. 乘法平方：对于两个相等的数相乘，可以直接计算其平方。

例如，计算12*12时，可以直接计算12的平方，即144。

三、快速计算除法除法是一个常见的运算，而快速准确地计算除法可以帮助我们在公考中更好地解决问题。

1. 除法转化：对于除法计算，可以将除数、被除数或商转化为更容易计算的形式。

例如，计算75/25时，可以将75除以25，得到3。

又如，计算375/5时，可以将375除以5，得到75。

2. 除法倍数：对于除法计算，如果除数或被除数是10的倍数，可以通过移动小数点的方式来快速计算。

例如，计算480/60时，可以将480的小数点向左移动一位，得到48，即480/60=48。

《第二章4 估算》讲解与例题1．用估算法估量一个无理数的范围在用夹逼法确信无理数的值时，往往要依照题目要求有目的地去估量到那一名．估算一个根号表示的无理数所采纳方式可归纳为“慢慢逼近”．【例1】估算43的大小(误差小于0.1)．分析：要求精准到小数点后一名．第一找出与它临近的两个完全平方数．解：∵36＜43＜49，∴6＜43＜7.∴43的整数部份是6.∵6.52＝42.25,6.62＝43.56，∴6.5＜43＜6.6.∴43≈6.5或43≈6.6.2．用估算法确信无理数的大小(1)在按四舍五入法求近似值时，必然要比要求精准的数位多考查一名，这一点往往易犯错．(2)“精准到”与“误差小于”意义不同．如精准到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．在本章中误差小于1 m确实是估算到个位，误差小于10 m确实是估算到十位．【例2】求3的近似值(精准到0.1)．解：∵1＜3＜4，∴1＜3＜2.又∵1.72＜3＜1.82，∴1.7＜3＜1.8.∵1.732＜3＜1.742，∴1.73＜3＜1.74.∴3≈1.7.3．用估算法确信无理数的整数部份和小数部份关键要先估算整数部份，只要整数部份估算出来了，小数部份随之就写出来了．一个无理数减去它的整数部份，剩下的确实是它的小数部份．【例3】已知a，b别离是6－13的整数部份与小数部份，那么它的整数部份是__________，小数部份是__________．解析：先考虑13的值的大致范围．因为9＜13＜16，因此3＜13＜4.因此13的值在3和4之间，故6－13的整数部份是2，用6－13减去它的整数部份2，剩下的确实是小数部份了，故小数部份是6－13－2＝4－13.答案：2 4－134．比较两个无理数的大小两个有理数的大小比较方式较多，比如将它们化为小数再比较，先对无理数求近似值，然后比较．固然，还有许多特殊的方式，比如平方式、作差法、估算法等．合理的选用特殊方式比较数的大小，会让运算变得简单．用估算法比较含根号的数的大小，一样可采取以下方式：(1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；(2)当符号相同时，把不含根号的数平方，和含根号的数的被开方数比较．本方式的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；(3)假设同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小．【例4】比较大小：(1)6－13与2＋12；(2)－275与－417；(3)76与67.分析：比较数的大小的方式有许多，如作差法、估算法等．要注意选择适当方式比较大小．解：(1)∵6－13＝26－26，2＋12＝32＋36，∴6－13－2＋12＝26－32－56＜0.∴6－13＜2＋12.(2)∵－275≈－16.58，－417≈－16.49，∴－275＜－417.(3)∵76＝49×6＝294，67＝36×7＝252，294＞252，∴76＞67.谈重点比较无理数的大小以上介绍了无理数大小比较的三种方式：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小．咱们要擅长根据不同题目的特点恰本地选择最正确方式.5．估算的实际应用在生产生活中，咱们常常碰到求距离、高度、长度、深度等一些线段长度的问题，在很多情形下取得的是无理数，依如实际需要，一样情形下只需取无理数的近似值就能够够了．要求无理数的近似值，第一需要用估算的方式确信无理数的大致范围，估算无理数常经常使用到“夹逼法”，即利用乘方与开方互为逆运算来确信无理数的近似值．【例5】校园里有旗杆高11 m，若是想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根直的铁丝，小强已测量固定点B到旗杆底部C的距离是8 m，小军已预备好一根长12.3 m的铁丝，你以为这一长度够用吗？解：由题意可知，AC＝11 m，BC＝8 m，∵旗杆AC垂直于地面，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝112＋82＝185.∵12.32＝151.29＜185，∴185＞151.29.因此这一长度不够用．点评：通过题目表达，构建直角三角形，要结合生活实际，分析解决问题．。

1,估算的方法:逐步逼近法.我们估算(带有根号的)无理数的近似值,是用逼近的方法来实现的.这里要说明一下估算近似度的问题,题目中有“误差小于0.1”的要求.这到底是什么含义呢?它是指估算的结果与真实值的差小于0.1,因此“误差小于0.1”虽然不是精确到0.1,但是我们可以认为是估算到0.1(即十分位)的意思.例1,估算√44(误差小于0.1)解:(1) 确定整数数位上的数.因为6²<44<7²所以6<√44<7即:整数数位上的数上是6.(2) 确定十分位上的数因为6.6²=43.56,6.7²=44.89所以6.6²<44<6.7²即6.6<√44<6.7所以√44≈6.6(或6.7)2,估算的技巧我们在确定整数数位或小数数位上的数的时候，不是总能一下就找准确的，为了减少实验的次数，这里要特别观察数据特征，找到规律，以期更快找到各数位上的树。

下面举例说明。

例2，估算√13.6（误差小于0.1）解：以为3²<13.6<4²所以3<√13.6<4下面估算十分位上的数是从3.1开始好呢还是另有更好的办法呢？因为13.6与9和16的差距比较接近，所以从3.5开始估算为好：因为3.5²=12.253.6²=12.963.7²=13.69所以3.6²<13.6<3.7²即：3.6<√13.6<3.7√13.6≈3.6（或3.7）这样较快地找到了十分位上的数。

例3，估算√25.7（误差小于0.1）解：因为5²<25.7<6²所以5<√25.7<6此时我们估算十分位上的数，因为25.7与25更接近，而与36相差较大。

所以我们就从5.1开始估算。

因为 5.1²=26.015.0²=25.00所以5.0<√25.7<5.1√25.7≈5.0（或5.1）下面可根据上述方法与技巧估算：（1），√800（误差小于0.1）（2），√200000（误差小于1）。

估算知识点一:方根的估算估算是现实生活在中一种常用的解决问题的方法,很多情况下需要估算无理数的近似值,估算的一般步骤 （1）估算被开方数在哪两个平方数（立方数)之间 （2）确定无理数的整数（3）按要求估算,一般地，开平方估算到一位小数,开立方估算到整数 例1:估算下列数的大小）（精确到0.132733453（精确到1)知识点二：比较无理数的大小１．估算法:用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时,一般先采用分析的方法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较 例２:比较 的大小与4143-102.求差法b a b a >>-则若,0;b a b a <<-则若,0；b a b a ==-则若,03.平方法:当比较两个带根号的无理数的大小时，可用如下结论:若b a b a b a 33,0>>≥>则，若题型一：估算是现实生活中一种常用 的解决问题的方法,如有一片长方形小树林，长是宽的3倍,而对角线的长为21０米,若每棵树的占地面为1平方米，则这片小树林共有多少棵树?这片长方形小树林的长大约是多少米？(精确到1米）知识清单全练知识点一：方根的估算对方根进行估算,平方根一般精确到____＿＿______，立方根一般精确到___＿＿＿＿_____＿_基础闯关全练知识点一:方根的估算１. 0．0０057的算术平方根在 ( )A.0.05与０.0６之间B.0.02与0.03之间 Ｃ．0．03与0.04之间 D.0.２与0.3之间 2.估算结果的误差最小的是 ( )A.5.312≈ Ｂ.10300≈ C.1012343≈ D.01.06.0≈3.一个正方体的体积为28360立方厘米,则这个正方体的棱长估计为 （ )A.22厘米 B ．２7厘米 C.３0.5厘米 D.4０厘米 4.大于17-3且小于103的整数有＿___＿＿__＿＿＿＿个知识点二:比较无理数的大小 5.将757575，，三数按从小到大的顺序排列为______＿_＿_＿_______＿__ 6.比较大小51171+）（ 与109（2） 5.124与三年模拟全练 一：选择题1.将2,，，525这三个数用“>”连接正确的是（ )A.5252>> B ．5225>> C.2525>> D.2255>>2.一个正方形的面积是1２，估计它的边长大小在（ ）Ａ．2与３之间 B.3与4之间 C.４与５之间 D,5与6之间 3.估计6+1的值在( )A.２与３之间B.3与4之间 C ．4与５之间 D,５与6之间 二：填空题4.若m 是13的整数部分,其小数部分为n ，则ｎ的值为__＿_＿__＿＿＿5.比较大小:4＿＿＿＿23 五年中考全练１.a,b 是两个连续整数,若b a <<7,则a,b 的分别是__＿_________＿２.下列无理数中，在-2与-1之间是( ）A.5- B ．3- C.3 D,5 3.大于的整数是且小于52＿__________4.把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_______＿＿______二次根式知识点一:二次根式，最简二次根式的概念1.二次根式的定义：一般地，形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数2.最简二次根式:同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式(1)被开方数中不含分母;(2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式例1．在个中，最简二次根式有，，，_____21862知识点二:二次根式的性质 1.性质:（1){002≥≤-==a a a a a a（2))0,0(≥≥•=b a b a ab 积的算术平方根等于各因数算术平方根的积(３）)0,0(>≥=b a ba b a 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 2.化二次根式为最简二次根式的一般步骤:（1)把被开方数中的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数（2)被开方数是整数或是整式,先将它分解因式或因式,然后把开得尽方的因数或因式化到根号外面（３)化去分母中的根号或根号内的分母(4）约分 例2:化简3283知识点三:二次根式的运算1.在实数范围内,可以进行加,减,乘,除，乘方和开方的运算，并且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立2.二次根式的乘除运算公式)0,0(≥≥•=b a b a ab)0,0(>≥=b a ba b a 3.二次根式加减运算步骤：（1）把二次根式化成最简二次根式（2）找出同类二次根式（被开方数相同）,并合并 例３：计算下列各式 6332⨯ 12-31））（（121-2+练习:）（18-212 ）（）（5-62322+ 632-5520⨯+ 题型二：利用二次根式计算几何问题例2：如图，每个小正方形的边长为1,求∆AB Ｃ的面积和周长实数知识清单全练:知识点一:二次根式,最简二次根式的概念1.一般地,形如___＿____（a 》0）的式子叫做二次根式,ａ叫做___＿_____2.最简二次根式必须同时满足两个条件：（1）被开方数不能含_＿_______＿的因数或因式（2）被开方数的因数是＿_________＿，因式是_＿＿_________＿ 知识点二：二次根式的性质 3.二次根式的性质（1）()0_________2≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a（2）()()()0________0_________0________2<=>==a a a a a 或或（3）()0,0______≥≥=b a ab（4）()0,0_________>≥=b a ba知识点三：二次根式的运算4.二次根式的加减运算:先化成_____＿_＿_____二次根式，再合并___________二次根式5.二次根式的乘法运算：)0,0(__________≥≥=•b a b a ;)0,0________(>≥=b a ba基础闯关全练知识点一：二次根式，最简二次根式的概念 1.下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）)1(1)6()31()5(8)4(1-33-23122>--+x x x ）（）（ 2.下列二次根式中，最简二次根式是( ） A.23a Ｂ.31Ｃ.152 D ．143 3.使式子2-m 的意义的ｍ的最小整数值是__＿___＿_＿_____ 知识点二：二次根式的性质4.若______20的最小值是是整数，则正整数n n5.化简:530.22211-1321知识点三：二次根式的运算6.如果bab a b a ab =<+>）那么下面各式：（1,0,0(2)b b a ab a b b a -=÷=•)3(1其中正确的是____＿＿7.下列二次根式中,不能与合并的是（）2Ａ.21Ｂ.8 C.12 D.18 8．按如图所示的程序计算,若开始输入的ｎ值为2，则最后输出的结果是_＿______＿_______9.化简）（222-8+=＿＿＿_______10.计算1052-40⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 361-24÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-31227+18-2148+ ()()16-3-737+()()()2-551-5-22+。

第一步：初步估算，先拿一个大概的整数作为估算。

第二步：算出差值。

这里说的差值是指被开根号数与初步估算值的平方的差。

第三步：最后估算结果=初步估算值+修正值。

其中的修正值=差值除以2倍初步估算值。

根号简介
根号是一个数学符号。

根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。

若aⁿ=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。

开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。

在实数范围内，偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负；奇次根号下可以为负数。

小学数学中的根号和平方的认识和计算根号与平方在小学数学中的认识和计算数学是一门重要的学科，在小学阶段，数学的学习和掌握对孩子们的思维能力和逻辑推理能力的培养起着非常重要的作用。

而其中涉及到的根号和平方的认识和计算则是数学学习的基础和关键。

本文将就小学数学中的根号和平方的认识和计算进行阐述与探讨。

1.根号的认识和计算根号是数学中一种特殊的符号，它的形式以√为标志。

根号的作用是对一个数进行开平方运算，即找出一个数的平方根。

在小学数学中，通常接触到的是平方根和立方根。

平方根指的是将一个数的平方等于该数的根号，具体表示为：√x = y，其中x为被开方数，y为平方根。

而立方根则是将一个数的立方等于该数的根号，具体表示为：³√x = y，其中x为被开方数，y为立方根。

计算根号通常可以利用计算器进行，因为计算器能够准确地计算复杂的数学运算。

但在小学阶段，为了培养学生的计算能力和思维能力，教师通常会要求学生进行手算。

手算的步骤通常是通过估算找到一个近似值，然后逐步逼近。

以√16为例，先找到√16约等于4，再进行逼近，可以得出√16的精确值为4。

在实际计算中，学生可以使用近似值进行简化，如√18可以近似为√16，再加上√2，从而更快地得到结果。

2.平方的认识和计算平方是数学中的一种基本运算，表示一个数乘以自己的结果。

平方运算以“²”为表示符号。

在小学数学中，平方的概念和计算常常用于解决面积和长度相关的问题。

例如，计算一个正方形的面积就需要将边长进行平方运算。

平方的计算非常简单，可以通过手算或计算器进行。

手算的步骤通常是先将被平方数进行下方的对齐，然后逐位相乘得到结果。

例如计算6²，可以进行如下的手算步骤：```plaintext6x 6-----36```通过上述操作，可以得到6²的结果为36。

当然，在实际计算中，学生可以利用简便的算术规则，如18²可以计算为10²+8²，从而更快地得到正确的结果。

估算根号的巧妙方法
根号虽然经常被用来计算数学问题，但它的具体概念却难以把握。

有时，特别是孩子，他们可能并不知道根号有哪些应用场景以及如何去估算它的值。

下文将介绍一些巧妙的方法来估算根号的大概值，为数学问题解决提供帮助。

首先，需要了解根号的概念：根号x代表一个数字，它的平方等于x，也就是说根号x乘以根号x等于x。

也就是说，在估算根号的值的时候，实际上也是估算它的平方根的值。

其次，可以使用换底公式进行估算。

换底公式是指：根号a乘以根号b等于根号ab。

所以，当想要估算根号x的值时，可以将x 分解成不同因数的乘积，再通过换底公式求出结果。

比如：根号50=根号5乘以根号10=根号2乘以根号5乘以根号5=5×2=10。

再比如：根号40＝根号4乘以根号10=2乘以2乘以根号10=2乘以2乘以2乘以5=4×5=20
还有一种方法是使用近似估算的方法。

它的基本原理就是：在整数的取值范围内，根号的值向下取整数，而更接近它的数值是它的近似估算值，也就是根号的值。

比如，根号50近似估算值为7，它的实际值为7.0710678118。

最后，可以使用余弦定理来估算根号的值。

余弦定理是指：三角形的两条直角边的平方和等于它的斜边的平方，也就是a+b=c。

因此，当我们要求根号a+b时，可以将其转化为求根号c，再利用
换底公式来估算。

以上就是几种估算根号的巧妙方法，帮助解决数学问题的答案。

根号看起来很难，但只要理解其概念，采取合适的方法，就可以很容易的估算准确的结果。

根号计算的知识点总结一、根号的概念根号是数学中的一种运算符号，用来表示一个数的平方根。

对于一个非负实数a，记为√a，其中√称为根号，a称为被开方数。

根号的定义如下：对于一个非负实数a，若存在一个非负实数b，使得b的平方等于a，则b称为a的平方根，记作√a=b。

根号运算是一个单调递增的函数，即当a<b时，√a<√b。

这是因为开平方根相当于求平方的逆运算，而平方函数是一个严格递增的函数。

根号的概念是几何中长度概念的数学抽象，可以用来表示线段的长度，面积的边长等。

在实际应用中，根号常常出现在物理、工程、金融等领域的问题中，需要我们灵活运用根号计算的知识。

二、根号的性质根号有一些常见的基本性质，如下：1. 非负性：对于任意的实数a，有√a≥0。

2. 倒数性：对任意正实数a，有√a的倒数等于√a的倒数。

3. 乘法性：对于任意的实数a和b，有√(a*b)=√a*√b。

4. 除法性：对于任意的实数a和b，有√(a/b)=√a/√b (b≠0)。

此外，根号还有分配律、吸收律等性质，这些性质在根号计算中是非常有用的，可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。

三、根号的计算方法根号的计算方法主要包括完全平方数的开方、近似值的计算、无理数开方等几种情况。

1. 完全平方数的开方：对于一个完全平方数，其开方的结果是一个整数。

例如，√4=2，√9=3。

完全平方数的开方可以直接得到整数结果。

2. 近似值的计算：对于非完全平方数的开方，我们可以通过近似值的方法来计算。

比如，对于√2，可以通过不断逼近其近似值来计算。

如牛顿法、二分法等。

3. 无理数开方：对于无理数的开方，我们可以通过列方程、化简、化为分数、估算等方法来计算。

这是一种比较复杂的计算方法，需要我们有一定的数学功底和计算技巧。

根号的计算方法不仅包括开方，还包括了根号运算的加减乘除、化简分数、化简式、辗转相除等运算方法。

熟练掌握根号的计算方法对于数学学习和实际应用都非常重要。

小学综合算式专项测题运算中的根号运算根号运算是小学综合算式中的一种常见运算，也是数学中的重要概念之一。

在解题过程中，正确理解和运用根号运算是十分关键的。

下面我们将就小学综合算式专项测题中的根号运算进行详细的讲解。

一、根号运算的基本概念根号运算是求一个数的平方根，即找到一个数，它的平方等于被开方的数。

在数学符号中，根号运算一般用符号√表示。

例如，√25等于5，因为5的平方等于25。

二、根号运算的性质1. 非负数的平方根是唯一的。

例如，√9等于3，而不会等于-3，因为-3的平方也是9。

2. 负数没有实数平方根。

例如，√-16没有实数解，因为没有实数的平方等于-16。

3. 0的平方根是0。

即√0 = 0。

三、根号运算的运算规则1. 乘法公式：√(a*b) = √a * √b。

即两个数的乘积的平方根等于这两个数的平方根分别相乘。

例如，√(4*9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 6。

2. 除法公式：√(a/b) = √a / √b。

即一个数除以另一个数的平方根等于这两个数的平方根相除。

例如，√(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2。

3. 平方公式：√(a^2) = |a|。

即一个数的平方的平方根等于这个数的绝对值。

例如，√(4^2) = |4| = 4。

四、根号运算的简化在解答综合算式题目时，我们常常需要对根号运算进行简化，使计算更加方便。

以下是一些常见的简化方法：1. 分解因数法：将被开方的数分解为若干个平方数的乘积，再进行开方运算。

例如，√48可以分解为√(16*3)，然后再进行计算。

2. 化简法：利用根号运算的运算规则进行化简。

例如，√(12*9) =√12 * √9 = 2√3。

3. 估算法：通过估算被开方的数的大小，来确定答案的范围。

例如，√69约等于8，因为8的平方等于64，比69小，而9的平方等于81，比69大。

五、根号运算在小学综合算式中的应用根号运算在小学综合算式中经常出现，特别是在解题过程中需要求某个数的平方根。

√12开根号怎么算开根号是一种常见的数学运算方法，用来确定一个数的平方根。

在本文中，我们将学习如何计算√12。

首先，我们将介绍一种简单的方法来计算√12的近似值，然后我们将展示一个更精确的方法来计算√12的实际值。

方法一：近似值计算对于√12的近似值计算，我们可以利用一些基本知识和技巧来快速估算。

首先，我们知道√9等于3，而√16等于4。

根据这一信息，我们可以判断√12的值应该介于3和4之间。

考虑到√12的值应该更接近4而不是3，我们可以进一步估算√12的值为3.4左右。

虽然这只是一个近似值，但对于快速计算和估算来说是相当有效的。

方法二：精确值计算要计算√12的精确值，我们可以使用数学中的一些方法和技巧。

首先，我们可以将√12表示为√(4 * 3)，然后利用根号乘法法则，将其拆分为√4 * √3。

由于√4等于2，而√3是一个无理数，我们需要使用近似的方法来计算其值。

最常用的方法是使用牛顿迭代法或二分法来逼近√3的值。

最终，我们可以利用拆解得到的结果，计算出√12的实际值为大约3.464。

这个值相比于我们的近似值3.4更为精确，展示了精确计算√12的方法的有效性。

结论通过本文的介绍，我们学习了如何计算√12的近似值和精确值。

无论是为了快速估算还是精确计算，掌握计算√12的方法将有助于我们在数学问题中更准确地运用根号运算。

希望本文对您有所帮助！请注意，根号运算在数学中有广泛的应用，对于理解数学概念和解决实际问题具有重要意义。

因此，我们鼓励您继续学习和探索数学知识，以进一步提升自己的数学能力。