[VIP专享]求实数a的值或取值范围专题练习

专题二 二次函数、方程与不等式一、单选题1．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞2．（2021·山西高三一模（理））已知,,+∈a b c R ，且4,4a ab ac >+=，则2232a b c a b c+++++的最小值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．23．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<4．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2021·浙江高三专题练习）已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(-∞，2)∪(3，+∞) B ．(-∞，1)∪(2，+∞) C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)7．（2021·全国高二单元测试）设x y z >>，n N ∈，且11nx y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．49．（2020·河南高二月考（文））函数2y = ）A ．2B ．4C ．6D ．810．（2021·全国高三专题练习（理））已知正数,a b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B．C ．4D．二、多选题11．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）下列说法正确的是（ ） A ．1x x+的最小值为2 B ．21x +的最小值为1 C ．()32x x -的最大值为2D ．2272x x ++最小值为2 12．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ )A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->-13．（2021·河北张家口市·高三一模）已知0,0a b >>，且281a b +=，则（ ） A．433a b ->B1b C ．22log log 6a b +-D ．221168a b +<14．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）若0a b >>，则（ ） A ．11a b b a+>+ B ．11a b b b a a+<<+ C ．114a b a b +≥+ D ．144b a a ab ++的最小值为2 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题15．（2021·全国高三专题练习）已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)1()02x a x b x---⋅-≥恒成立，则3b a +的最小值是_____. 16．（2021·天津高三一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则+a b 的最小值为___________.17．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若()2f a =，则实数a 所有可能的取值组成的集合为______．18．（2021·射阳县第二中学高二开学考试）若命题x R ∃∈，2410mx mx ++≤为假命题，则实数m 的取值范围是__________．19．（2021·江苏苏州市·苏州中学高二月考）已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．20．（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数,a b 满足2a b ab ++=，则3711a b +--的最小值是________．21．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知1,0x y ，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________．22．（2021·江苏高三专题练习）设,a b 为正实数，且11410a b a b+++=，则4a b +的最大值与最小值之差为_______.23．（2020·上海高一专题练习）对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 24．（2020·上海高一专题练习）若1,(0,0,,a bx y a b x y+=>>为正常数且a b ，则实数x y +的取值范围_________.25．（2021·吴县中学高一月考）已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.26．（2021·苏州市第五中学校高一月考）正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =___________.27．（2021·浙江衢州市·高一月考）已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为___________.28．（2021·浙江高三月考）设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________.29．（2021·安徽滁州市·高一期末）已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________.四、解答题30．（2021·安徽高三二模（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=. （1）证明：1113ab bc ac++≥. （23≥.31．（2021·吉林吉林市·高二三模（文））已知函数()41,f x x x x R =-+-∈ （1）解不等式：()5f x ≤（2）记()f x 的最小值为M ，若正实数,a b 满足a b M +=，试求：1121a b +++的最小值32．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知0x >，0y >，4xy x y a =++． （1）当12a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求41x y x y+++的最小值． 33．（2020·泰州市第二中学高一期中）设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =，且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2，解不等式210bx cx ++>； （2）若0,1,1a b a c <=-=-，解关于x 的不等式()0f x >；（3）若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ，且(1)(3)f f ≤-，求22453||ab a u a-=-的取值范围. 34．（2020·泰州市第二中学高一期中）（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值；（2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 35．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知(),0a b ∈+∞,，1a b +=，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()1212233b ay a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =- 则12y a b=+的最小值为3+.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，求1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数123,,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=.求证：2222312122334112n n a a a a a a a a a a a a ++++≥++++. 36．（2020·上海高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2满足2212x x +＝11，求k 的值．37．（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<038．（2021·浙江高二期末）设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．39．（2021·全国高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．40．（2021·安徽芜湖市·高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.41．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x++=>；（2）2)y x R =∈；（3）226(1)1x x y x x ++=>-.42．（2020·上海高一专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1（1）求证：11(1)(1)9ab ++≥；（2）求证：4418a b +≥；（3）求证 (a +1a )(b +1b )≥254. 43．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数2()21f x kx kx =+-.（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数k 的值；（2）若方程()0f x =在[]12，有解，求实数k 的取值范围. 44．（2020·河南高二月考（文））已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 五、双空题45．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知a ，b R +∈，且2284a b +=，则2+a b的最大值为______；4122a b ++的最小值为______．。

专题9.6 一元一次不等式（组）中的含参问题专项训练（60道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共60题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对一元一次不等式（组）中的含参问题的理解！ 一、单选题（共30小题）1．（2022·山东济宁·七年级期末）已知关于x 的不等式(1−a )x <2的解集为x <21−a ，则a 的取值范围为（ ） A ．a >0B ．a >1C ．a <0D ．a <12．（2022·四川乐山·七年级期末）若关于x 的不等式组{2x−43≤x −1a −x >0的整数解恰有5个，则a 取值范围为（ ）A ．2<a ≤3B ．2≤a <3C ．3<a ≤4D ．3≤a <43．（2022·河南新乡·七年级期末）若关于x 的一元一次不等式组{8−x3<x A <0的解集为2<x <5，则多项式A可以是( ) A ．x −5B ．2x −5C ．x −10D ．3x −124．（2022·云南临沧·八年级期末）若整数a 使关于x 的不等式组{x−12≤6+x34x −a >x +1 ，有且只有19个整数解，且使关于y 的方程2y+a+31+y+10y+1=1的解为非正数，则a 的值是（ ）A ．−13或−12B ．−13C ．−12D ．−12或−115．（2022·重庆秀山·七年级期末）关于x 的方程k ﹣2x ＝3（k ﹣2）的解为非负数，且关于x 的不等式组{x −2(x −1)≤32k+x 3≥x有解，符合条件的整数k 的值的和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．（2022·重庆涪陵·七年级期末）若关于x 的一元一次不等式组{−5−x ≤13(x −a)3x +1>4x +2有解，则符合条件的所有正整数a 的和为（ ） A ．50B ．55C ．66D ．707．（2022·福建漳州·七年级期末）若不等式组{x −4<0x ≥m有解，则m 的取值范围为（ ）A ．m <4B ．m >4C ．m ≤4D ．m ≥48．（2022·广东广州·七年级期末）若不等式组{x +9<5x +1x >m的解集为x >2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤2B ．m <2C ．m ≥2D ．m >29．（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期中）若关于x 的一元一次不等式组{x −14(4a −2)≤123x−12<x +3的解集是x ≤a ，且关于y 的方程2y −a −3=0有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ）个 A ．5B ．4C ．3D ．210．（2022·广东云浮·七年级期末）若关于x 的一元一次不等式组{x −4<0x +m ≥6有解，则m 的取值范围为（ ）A ．m >−2B ．m ≤2C ．m >2D ．m <−211．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）若实数m 使关于x 的不等式组{3−2+x3≤x+322x−m2≤−1有解且至多有3个整数解，且使关于y 的方程2y =4y−m 3+2的解为非负整数解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．15B ．11C ．10D ．612．（2022·山东烟台·七年级期末）已知关于x 的不等式{x −m <0，5−2x ≤1 的整数解共有2个，则m 的取值范围为（ ） A ．m >3B ．m ≤4C ．3<m <4D ．3<m ≤413．（2022·福建·泉州市城东中学七年级期中）若关于x 的方程4(2−x )+x =ax 的解为正整数，且关于x的不等式组{x−16+2>2x a −x ≤0有解，则满足条件的所有整数a 的值有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．414．（2022·重庆荣昌·七年级期末）若关于x 的方程ax+32−2x−13=1的解为正数，且a 使得关于y 的不等式组{y +3＞13y −a ＜1 恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a 的值的和是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．315．（2022·江苏镇江·七年级期末）关于x 的不等式组{x ≤−1x >m的整数解只有2个，则m 的取值范围为（ ）A ．m >−3B ．m <−2C ．−3≤m <−2D ．−3<m ≤−216．（2022·黑龙江佳木斯·七年级期末）已知不等式组{x +a >1,2x −b <2解集为−2<x <3，则(a −b )2022的值为（ ） A ．1B ．2022C ．−1D ．−202217．（2022·重庆丰都·七年级期末）若关于x 的不等式组{x−24<x−133x −m ≤3−x恰有2个整数解，且关于x 、y 的方程组{mx +y =43x −y =0也有整数解，则所有符合条件的整数m 的乘积为（ ）A ．−6B ．−2C ．2D ．018．（2022·重庆·七年级期末）若关于x 的不等式组{x−24<x−134x −m ≤4−x恰有2个整数解，且关于x ，y 的方程组{mx +y =43x −y =0 也有整数解，则所有符合条件的整数m 的和为（ ）A ．−2B ．−3C ．−6D ．−7 19．（2022·重庆铜梁·七年级期末）若a 使关于x 的不等式组{4(x +2)≥x +a −23x +3≥2有三个整数解，且使关于y的方程2y +a =5y+62有正数解，则符合题意的整数a 的和为（ ） A ．12B ．9C ．5D ．320．（2022·浙江舟山·八年级期末）对于任意实数p 、q ，定义一种运算：p @q ＝pq ＋pq ，例如2@3＝23＋2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x 的不等式组{2@x <4x@2≥m 有3个整数解，则m 的取值范围为是 ( )A ．8≤m <5B ．8<m ≤5C ．8≤m ≤5D ．8<m <521．（2022·重庆九龙坡·七年级期末）整数a 使得关于x ，y 的二元一次方程组{ax −y =113x −y =1的解为正整数（x ，y 均为正整数），且使得关于x 的不等式组{14(2x +8)≥7x −a <2无解，则所有满足条件的a 的和为（ ）A ．9B ．16C ．17D ．3022．（2022·四川资阳·七年级期末）若关于x 的一元一次不等式组{2(x +1)<x +3x −a ≤a +5的解集是x <1，且a 为非正整数，则满足条件的a 的取值有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．423．（2022·重庆江北·七年级期末）已知关于x 的不等式组{x >a,x ≤5至少有三个整数解，关于y 的方程y −3a =12的解为正数，则满足条件的所有整数a 的值之和为（ ） A ．−7B ．−3C ．0D ．324．（2022·重庆巴南·七年级期末）若关于x 的不等式组{2x −1>7x −a ≤0无解，且关于x 的方程ax ＝3x +2的解为整数，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A ．12B ．7C ．3D ．125．（2022·重庆·七年级期末）若关于x 的一元一次不等式组{x −m ≥02x +1<3无解，关于y 的一元一次方程2(y −3)+m =0的解为非负数，则满足所有条件的整数m 的和为（ ） A ．14B ．15C ．20D ．2126．（2022·重庆北碚·七年级期末）若关于x 的不等式组{x +2(x −1)≤−52k+x3≤x 无解，且关于y 的一元一次方程2(y +1)+3k =11的解为非负数，则符合条件的所有整数k 的和是（ ） A ．2B ．3C ．5D ．627．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）已知关于x ，y 的方程组{x −3y =4−t x +y =3t，其中−3≤t ≤1，若M =x −y ，则M 的最小值为（ ） A ．−2B ．−1C ．2D ．328．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如果整数m 使得关于x 的不等式组{x −m >0 x−43−x ≥−4有解，且使得关于x ，y 的二元一次方程组{mx +y =52x +y =1的解为整数（x ，y 均为整数），则符合条件的所有整数m 的个数为（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个29．（2022·重庆忠县·七年级期末）若整数a 使关于x 的不等式组{x+13≤2x+59x−a2>x−a+13至少有1个整数解，且使关于x ，y 的方程组{ax +2y =−4x +y =4的解为正整数，那么所有满足条件的a 值之和为( )A ．﹣17B ．﹣16C ．﹣14D ．﹣1230．（2022·重庆綦江·七年级期末）如果关于x 、y 的方程组{3x +2y =m +12x +y =m −1中x >y ，且关于x 的不等式组{x−12<1+x 35x +2≥x +m有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题（共15小题）31．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）若不等式组{x >a x −2<3无解，则a 的取值范围为________．32．（2022·湖北孝感·七年级期末）若关于x 的不等式组{2(x −1)>4x −a >0 的解集为x >3，那么a 的取值范围是_____．33．（2022·湖南永州·八年级期末）若关于x 的不等式组{2x −b ≥0x +a ≤0的解集为3≤x ≤4，则关于x 的不等式ax +b＜0的解集为 _____．34．（2022·北京平谷·七年级期末）若x <a 的解集中的最大整数解为2，则a 的取值范围是_________．35．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学七年级阶段练习）若关于x 的不等式组，{3−2x4<x−132x −m ≤2−x 3有且只有两个整数解，m =2n ，则整数n 的值为______．36．（2022·河南·鹿邑县基础教育研究室七年级期末）已知关于x 的不等式组{2x −m ≥0x −n <0的整数解是−1，0，1，2，若m 、n 为整数，则n −m 的值为______．37．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）关于 x 的不等式组{2x−13<2−1+x >a恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为_________．38．（2022·湖北·广水市杨寨镇中心中学七年级阶段练习）不等式组{2x +4≤012x +m >0 的整数解的和为5，则m的取值范围为_______39．（2022·河南南阳·七年级期末）如果不等式组{x <4x <3a +1的解集为x <3a +1，则a 的取值范围为______．40．（2022·江西宜春·七年级期末）若整数a 使关于x 的不等式组{x−12≤11+x 34x −a >x +1，有且只有45个整数解，则a 的值为 _____．41．（2022·四川雅安·八年级期末）已知关于x ，y 的方程组{2x +y =−4m +5x +2y =m +4的解满足x ＋y ≤5，且2m ﹣n＜1．若m 只有三个整数解，则n 的取值范围为________．42．（2022·黑龙江·大庆外国语学校八年级期中）关于x 的不等式组{2x −5<0x −a >0无整数解，则a 的取值范围为_____．43．（2022·全国·河南省淮滨县第一中学七年级期末）已知不等式组{3x +a <2x,−13x <53x +2, 有解但没有整数解，则a 的取值范围为________．44．（2022·福建·平潭第一中学七年级期末）已知关于x 的不等式组{3x +m <0x >−5的所有整数解的和为﹣9，m 的取值范围为_________45．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x 的不等式组{x +2>0x −a ≤0的整数解共有4个，则a 的最小值为__________．三、解答题（共15小题）46．（2022·四川宜宾·七年级期中）已知关于x 的不等式组{2x +4>03x −k <6．(1)当k 为何值时，该不等式组的解集为−2<x <2？ (2)若该不等式组只有4个正整数解，求k 的取值范围．47．（2022·四川宜宾·七年级期中）已知关于x 的不等式组{2x +4>03x −k <6．(1)当k 为何值时，该不等式组的解集为−2<x <2？ (2)若该不等式组只有4个正整数解，求k 的取值范围．48．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）若关于x 的不等式组{x −a >−b,x +a ≤2b +1的解集为1<x ≤3，求a b 的值．49．（2022·江苏徐州·七年级期末）已知关于x 、y 的方程组{2x +y =5m −1x +2y =4m +1（m 为常数）(1)若x +y =1，求m 的值；(2)若−3≤x −y ≤5，求m 的取值范围．50．（2022·全国·七年级）定义新运算为：对于任意实数a 、b 都有a ⊕b =(a −b )b −1，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2=(1−2)×2−1=−3． (1)求2⊕3的值．(2)若x ⊕2<7，求x 的取值范围．(3)若不等式组{x ⊕1≤22x ⊕3>a恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．51．（2022·全国·七年级）新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．(1)在方程①2x −1=0，②13x +1=0，③x −(3x +1)=−5中，不等式组{−x +3>x −43x −1>−x +2的关联方程是_____；（填序号）(2)若不等式组{x −2<11+x >−3x +6 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可）(3)若方程6−x =2x,7+x =3(x +13)都是关于x 的不等式组{x <2x −m x −2≤m的关联方程，直接写出m 的取值范围．52．（2022·河南周口·七年级期末）已知关于x 的不等式组{2x −m >13x −2m <−1（1）如果不等式组的解集为6<x <7，求m 的值； （2）如果不等式组无解，求m 的取值范围；53．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x ﹣6＝0的解为x ＝3，不等式组{x −1>0x <4的解集为1＜x ＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x ﹣6＝0为不等式组{x −1>0x <4的关联方程．（1）在方程①3x ﹣3＝0；②23x +1＝0；③x ﹣（3x +1）＝﹣9中，不等式组{2x −8<0−4x −3<x +2的关联方程是 ．（填序号）（2）若不等式组{x −12<32x −3>−x +5 的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ． （写出一个即可）（3）若方程2x −1=x +2，x +5=2(x +12)都是关于x 的不等式组{x +3>2a x ≤a +8的关联方程，且关于y 的不等式组{y −4<02y +1>a −2y恰好有两个奇数解，求a 的取值范围．54．（2022·河南省淮滨县第一中学七年级单元测试）已知，关于x 的不等式组{x +1>m x −1≤n有解．(1)若上不等式的解集与{1−2x <53x−12≤4 的解集相同，求m +n 的值； (2)若上不等式有4个整数解 ①若m =−1，求n 的取值范围；②若n =2m ，则m 的取值范围为______．55．（2022·广东江门·七年级期末）已知方程组{x −y =1+3a x +y =−7−a中x 为负数，y 为非正数．（1）求a 的取值范围；（2）在a 的取值范围中，当a 为何整数时，不等式2ax +3x >2a +3的解集为x <1 56．（2022·北京·人大附中西山学校七年级期末）若关于x 的不等式组{2x −a <1x −5b >3的解集为−1<x <1，则a +5b 的值为________．57．（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期中）已知方程组{x +y =−7−a x −y =1+3a的解x 为非正数，y 为负数．（1）求a 的取值范围： （2）化简|a −3|+|a +3|；（3）在a 的取值范围内，当a 取何整数时，不等式2ax +x >2a +1的解为x <1?58．（2022·福建·龙海二中一模）已知对于任意实数a ，b ，定义min{a,b}的含义为：当a ≥b 时，min{a,b}=b ；当a <b 时，min{a,b}=a.例如：min{1,−2}=−2，min{−3,−3}=−3． (1)若min{−2k +5,−1)=−1，求k 的取值范围；(2)解不等式组：{x +1≥x−321−3(x −1)>8−x设不等式组的最大整数解为m ，求min{m,−2.5}的值．59．（2022·甘肃白银·八年级期中）已知关于x ，y 的不等式组{x +k ≤5−2x4(x −34)≥x −1, （1）若该不等式组的解为23≤x ≤3，求k 的值；（2）若该不等式组的解中整数只有1和2，求k 的取值范围．60．（2022·江苏·扬州市江都区华君外国语学校七年级阶段练习）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的伴随方程，这个根在数轴上对应的点该不等式组的伴随点． （1）在方程①23x +1=0，②x −(3x +1)=−5，③3x −1=0中，不等式组{−x +2＞x −5，5x −1＞x +2 的伴随方程是 ；（填序号）（2）如图，M 、N 都是关于x 的不等式组{x <2x −m x −5≤m的伴随点，求m 的取值范围．（3）不等式组{−x >−2x +12x ≤m +2的伴随方程的根有且只有2个整数，求m 的取值范围．。

第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试（提升）第I 卷（选择题）一、单选题(每题5分，8题共40分)1．（2022·全国·专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵24(10)m ∆--<＝ ，解得14m >， 又∵14m >，∵140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件,故选:A. 2．（2022·四川成都）下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．()10y x x x=+≠ B ．222y x x -=+C ．()230y x x x =+≥D ．2211y x x =++【答案】D【解析】A.当0x <时，()()1122⎛⎫=--+≤--⋅=- ⎪--⎝⎭y x x x x ，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，112y x x x x=+≥⋅=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立；故错误；B. ()2222111y x x x =-+=-+≥，故错误； C. ())223023123=+≥=+=+≥y x x x xx x ，故错误；D. 22221121211y x x x x +≥+⋅=++2211x x ++0x =时，等号成立，故正确故选：D3．（2022·安徽·合肥已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）A 322+B ．324C 322+D ．328+【答案】A【解析】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∵211212324442444444m n m n m n m n x y m n n m n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 322324422==， 当且仅当244m n n m=，即22m =21n =时，等号成立， 故选：A.4．（2021·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．若2x >，则函数11y x x =+-的最小值为3 B ．若0x >，0y >，315x y +=，则54x y +的最小值为5C ．若0x >，0y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1D ．若1x >，0y >，2x y +=，则12y+的最小值为322+【答案】D【解析】选项A ：1111121?13111y x x x x x x =+=-++-=---，当且仅当()211x -=时可以取等号， 但题设条件中2x >，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若0x >，0y >，315x y+=，则()1311512151219415545419192?555x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝512x y y x =时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：32230xy x y xy xy xy -=+⇒+-当且仅当x y =时取等号，()0xy t t =，2230t t +-，解得31t -，即01xy ，故xy 的最大值为1，故C 错误； 选项D ：2x y +=，()11x y -+=，()()()21211212·11232?3221111x x y y x y x y x y x y x y --⎛⎫⎡⎤+=+-+=++++=+ ⎪⎣⎦----⎝⎭ 当且仅当22y x =又因为2x y +=，故222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即121x y+-最小值可取到322+， 故D 正确． 故选：D ．5．（2022·北京·101）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q+==，3300010Q Q =+ ，3300022306010Q Q ≥⋅⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立.所以f （Q ）的最小值是60.故选：B.6．（2022·山西现代双语学校南校）已知关于x 的不等式()()()2233100,0a m x b m x a b +--->>>的解集为1(,1)(,)2-∞-+∞，则下列结论错误的是（ ）A ．21a b +=B ．ab 的最大值为18C ．12a b+的最小值为4D ．11a b+的最小值为322+【答案】C【解析】由题意，不等式()()223310a m x b m x +--->的解集为(]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，可得230a m +>，且方程()()223310a m x b m x +---=的两根为1-和12，所以131223111223b m a m a m -⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-⨯=-⎪+⎩，所以232a m +=，31b m -=-，所以21a b +=，所以A 正确；因为0a >，0b >，所以2122a b ab +=≥18ab ≤，当且仅当122a b ==时取等号，所以ab 的最大值为18，所以B 正确； 由121244()(2)44448b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅+=， 当且仅当4b a a b =时，即122a b ==时取等号，所以12a b+的最小值为8，所以C 错误； 由()111122233232b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭ 当且仅当2b aa b=时，即2b a 时，等号成立， 所以11a b+的最小值为322+D 正确． 故选：C ．7．（2022·广东深圳·高一期末）设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b < B ．b aa b> C ．11a b a>- D ．2ab b >【答案】D【解析】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误； 因为0a b <<，所以0ab >，则10ab>， 所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，∵1a a b a >=，1b b b a =>，即b aa b<，故B 错误； ∵由()()()11a a b b a b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a -<-，即11a b a<-，故C 错误； 由0a b <<可得，2ab b >，故D 正确. 故选：D.8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（ ） A ．0a > B ．不等式20ax cx b ++>的解集为{|2727}x x < C ．0a b c ++< D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,2727x x x --<∴<+所以选项B正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误； 不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误. 故选：B二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。

集合中含参取值范围一．选择题（共8小题）1．集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或±12．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．3．设A=[﹣2，4），B={x|x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，2]C．[0，3]D．[0，3）4．设集合A={x，y|y=}，B={x，y|y=k（x﹣b）+1}，若对任意0≤k≤1都有A∩B≠∅，则实数b的取值范围是（）A．B．C． D．5．已知集合A={1，2}，B={x|mx﹣1=0}，若A∩B=B，则符合条件的实数m的值组成的集合为（）A．{1，}B．{﹣1，}C．{1，0，}D．{1，﹣}6．已知集合A={x|0＜x＜1}，B={x|0＜x＜c}，若A∪B=B，则实数c的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．（0，1 D．（1，+∞）7．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，∞）D．[1，+∞）8．集合M={1，2（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．﹣2 B．﹣2或4 C．﹣2或﹣3 D．﹣2或5二．填空题（共10小题）9．不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是．10．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是．11．已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．12．已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，若A∪B=A，则m的取值范围是．13．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是．14．已知函数，A={x|t≤x≤t+1}，B={x||f（x）|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是．15．设f（x）=x2+ax+bcosx，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a，b 的值分别为．16．已知，B={（x，y）|y=kx+3}，并且A∩B=∅，则实数k的值是．17．设集合，B={x|x2﹣3ax﹣10a2≤0，a＞0}，满足A∩B=A的正实数a 的取值范围是．18．已知集合S={x|kx2+1＞kx}，若S=R，则实数k的取值范围．三．解答题（共16小题）19．设集合A={x|x2+4a=（a+4）x，a∈R}，B={x|x2+4=5x}．（1）若A∩B=A，求实数a的值；（2）求A∪B，A∩B．20．已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=∅，求a的范围．21．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．22．A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+a2﹣1=0}，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．23．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．24．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．25．设A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+2=0}，B⊆A．（1）写出集合A的所有子集；（2）若B非空，求a的值．26．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2+ax﹣6＜0}，C={x|x2﹣2x﹣15＜0}（1）若A∪B=B，求a的取值范围；（2）是否存在a的值使得A∪B=B∩C，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．27．已知集合A={x|（x+1）（x﹣5）≤0}，集合B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若集合A∩B中有且只有3个整数，求实数m的取值范围．28．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）当m=3时，求集合A∩B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．29．已知集合A={（x，y）|y=﹣x2+mx﹣1}，B={（x，y）|x+y=3，0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，求实数m的取值范围．30．设集合A={x|﹣2≤x≤4}，B={x|m﹣3≤x≤m}．（1）若A∩B={x|2≤x≤4}，求实数m的值；（2）若A⊆（∁R B），求实数m的取值范围．31．已知集合A={x∈R|mx2﹣2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：（Ⅰ）A=∅；（Ⅱ）A恰有两个子集；（Ⅲ）A∩（，2）≠∅32．设x、y为实数，集合A={（x，y）|y2﹣x﹣1=0}，B={（x，y）|16x2+8x﹣2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b使（A∪B）∩C=∅？33．已知A={x|a≤x≤2a+3}，B={x|x2+5x﹣6＞0}．（Ⅰ）若A∩B={x|1＜x≤3}，求a的值；（Ⅱ）若A∪B=B，求a的取值范围．34．已知集合A={x|x2﹣2ax+4a2﹣3=0}，集合B={x|x2﹣x﹣2=0}，集合C={x|x2+2x﹣8=0}（1）是否存在实数a，使A∩B=A∪B？若存在，试求a的值，若不存在，说明理由；（2）若A∩B≠∅，A∩C=∅，求a的值．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，又∵B⊆A，当a=0，ax=1无解，故B=∅，满足条件若B≠∅，则B={﹣1}，或Q={1}，即a=﹣1，或a=1故满足条件的实数a∈{0，1，﹣1}故选D．2．解：由题意，，由A∪B=A得B⊆A又B={x|x2﹣2ax+a+2≤0}当B是空集时，符合题意，此时有△=4a2﹣4a﹣8＜0解得﹣1＜a＜2 当B不是空集时，有解得2≤a≤综上知，实数a的取值范围是故选D3．解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B⊆A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，即解得：0≤a＜3故选 D4．解：∵集合A={（x，y）|y=}，B={（x，y）|y=k（x﹣b）+1}，当0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，作图如下：集合A中的曲线为以（0，0）为圆心，2为半径的上半圆，B中的点的集合为过（b，1）斜率为k的直线上的点，由图知，当k=0时，显然A∩B≠∅，当k=1，y=（x﹣b）+1经过点B（2，0）时，b=3；当k=1，直线y=（x﹣b）+1与曲线y=相切与点A时，由圆心（0，0）到该直线的距离d==2得：b=1﹣2或b=1+2（舍）．∵0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，∴实数b的取值范围为：1﹣2≤b≤3．故选C．5．解：∵A∩B=B∴B⊆A当m=0时，B=∅满足要求；当B≠∅时，m+1=0或2m﹣1=0m=﹣1或∴综上，m∈{1，0，}．故选C．6．解：若A∪B=B，则A⊆B，∵A={x|0＜x＜1}，B={x|0＜x＜c}，∴c≥1．故选A．7．解：∵集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，且A∪B=R，∴a≤1，故选B．8．解：∵M={1，2，（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，∴（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=3或（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=10即m2+5m+6=0解得m=﹣2或﹣3当m=﹣2时（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=3，满足条件当m=﹣3时（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=10，满足条件故选C二．填空题（共10小题）9．解：根据题意，x+a＞0的解集为x＞﹣a，若这个不等式组的解集是空集，则ax＞﹣1，即ax+1＞0的解集为{x|x≤﹣a}的子集，分析可得，当a≤﹣1，成立；故答案为a≤﹣1．10．解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M，∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]，故答案为[，1]．11．解：∵集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则有0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．12．解：据题意得B⊆A，故有﹣2≤m+1＜2m﹣1≤7，转化为不等式组，解得2＜m≤4，故m的取值范围是的取值范围是（2，4]，故答案为（2，4]．13．解：∵B={x|1＜x＜2}，∴∁R B={x|x≥2或x≤1}，要使A∪（∁R B）=R，则a≥2．故答案为：{a|a≥2}．14．解：∵要解|f（x）|≥1，需要分类来看，当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤﹣1∴x≥2或x≤0或x=1∵x≥0∴x≥2或x=1或x=0．当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1∴﹣2≤x≤0或x或x∵x＜0∴﹣2≤x＜0或x综上可知B={x|﹣2≤x≤0或x或x≥2或x=1}∵集合A∩B只含有一个元素，∴t＞0且t+1＜2∴0＜t＜1故答案为：0＜t＜115．解：∵f（x）=x2+ax，∴f（f（x））=f（x）2+af（x）=（x2+ax）2+a•（x2+ax）=x4+2ax3+（a2+a）x2+a2x 当a=0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={0，﹣a}．若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，﹣a}，则f（f（﹣a））=0且除0，﹣a外f（f（x））=0无实根，即x2+ax+a=0无实根即a2﹣4a＜0，即0＜a＜4综上满足条件的所有实数a的取值范围为0≤a＜4故答案为：0≤a＜4，b=0．16．解：由题意A集合是一条直线y=﹣3x﹣2去掉一个点（﹣1，1）后所有点的集合，B集合是直线y=kx+3所有点的集合，∵A∩B=∅，∴两直线的位置关系是平行，或者是直线y=kx+3过点（﹣1，1），若两直线平行，则有k=﹣3，若直线y=kx+3过点（﹣1，1），则有1=﹣k+3，得k=2综上，实数k的值是2或﹣3故答案为2或﹣317．解：集合={x|﹣2≤x≤2}．B={x|x2﹣3ax﹣10a2≤0，a＞0}={x|（x+2a）（x﹣5a）≤0，a＞0}={x|﹣2a≤x≤5a}．因为A∩B=A，所以A⊆B，即，所以，即a≥1．所以正实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．18．解：要使若S=R，需kx2+1＞kx恒成立，即kx2 ﹣kx+1＞0 恒成立．当k=0时，不等式即1＞0，显然成立；当k≠0时，由△=k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4，故答案为：[0，4）．三．解答题（共16小题）19．解：A={x|x=4或x=a}，B={x|x=1或x=4}（1）因为A∩B=A 所以A⊆B，由此得a=1 或a=4（2）若a=1，则A=B={1，4}所以A∪B={1，4}，A∩B={1，4}若a=4，则A={4}所以A∪B={1，4}，A∩B={4}若a≠1，4则A={4，a}所以A∪B={1，4，a}，A∩B={4}20．解：当A=φ时即2a＞a+3，a＞3，此时满足A∩B=∅当A≠∅时，2a≤a+3，即a≤3时有2a≥﹣1且a+3≤5解之﹣≤a≤2，此时A∩B=φ综合知，当a＞3或﹣≤a≤2时，A∩B=∅21．解：（Ⅰ）由于M⊆N，则，解得a∈Φ（4分）（Ⅱ）①当N=Φ时，即a+1＞2a﹣1，有a＜2．（6分）②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，综合①②得a的取值范围为a≤3．（10分）22．解：A═{x|x2+4x=0}={0，﹣4}，∵A∩B=B，∴B⊆A．方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣1=0的判别式△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣1）=﹣8a+8．①若B=∅时，△=﹣8a+8＜0，得a＞1；②若B={0}，则，解得a=1；③B={﹣4}时，则，此时方程组无解．④B={0，﹣4}，，此时a无解．综上所述实数a≥1．23．解：（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…（2分）所以A∩B={x|2≤x＜3}…（4分）（2）因为B∪C=C，所以B⊆C…（6分）所以a﹣1≤2，即a≤3…（8分）24．解：由已知得A={1，2}，B={x|（x﹣1）（x﹣a+1）=0}，由A∪B=A，知B⊆A由题意知B≠∅，当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意．当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意所以a=2或a=3，由A∩C=C得C⊆A当C是空集时，△=m2﹣8＜0即﹣2＜m＜2；当C为单元素集合时，△=0，求得m=±2，此时C={}或C={﹣}，此时不满足题意，舍去；当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3；综上m的取值集合为{m|m=3或﹣2＜m＜2}．25．解：（1）由题可知：A={1，2}，所以集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{1，2}；（2）因为B非空集合，①当集合B中只有一个元素时，由判别式等于0可得，a2﹣8=0可知，此时B={x|x2﹣ax+2=0}={x|=0}，故B={}或{}，不满足B⊆A，不符合题意．②当集合B中有两个元素时，A=B，比较方程的系数可得a=3，综上可知：a=3．26．解：（1）∵集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2+ax﹣6＜0}，C={x|x2﹣2x﹣15＜0}∴A={x|﹣1＜x＜3}，C={x|﹣3＜x＜5}，由A∪B=B知A⊆B，令f（x）=x2+ax﹣6，则得﹣5≤a≤﹣1（2）假设存在a的值使A∪B=B∩C，由A∪B=B∩C⊆B知A⊆B，又B⊆A∪B=B∩C知B⊆C，∴A⊆B⊆C．由（1）知若A⊆B，则a∈[﹣5，1]当B⊆C时，△=a2+24＞0，∴B≠φ∴得≤a≤﹣1，故存在a∈[﹣，﹣1]满足条件．27．解：（1）因为A={x|（x+1）（x﹣5）≤0}={x|﹣1≤x≤5}，因为m＞0，所以B≠∅．所以要使A⊆B，则有，即，即m≥4，所以实数m的取值范围[4，+∞）．（2）因为A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}．则集合B的区间长度为1+m﹣（1﹣m）=2m．所以集合A∩B中有且只有3个整数，则有2m＜4，即m＜2．此时1+m＜3．①若2≤1+m＜3，要使集合A∩B中有且只有3个整数，此时三个整数为0，1，2，所以满足﹣1＜1﹣m≤0，即，解得，所以此时1≤m＜2．②若1≤1+m＜2，要使集合A∩B中有且只有3个整数，此时三个整数为﹣1，0，1，所以满足1﹣m≤﹣1，即，解得，所以m无解．综上实数m的取值范围[1，2）．28．解：（1）当m=3时，B={x|4≤x≤5}（3分）则A∩B={x|4≤x≤5}（6分）（2）①当B为空集时，得m+1＞2m﹣1，则m＜2（9分）当B不为空集时，m+1≤2m﹣1，得m≥2由B⊆A可得m+1≥﹣2且2m﹣1≤5（12分）得2≤m≤3（13分）故实数m的取值范围为m≤3（14分）29．解：由题意，得x2﹣（m+1）x+4=0在[0，3]上有且仅有一解①△=0时方程有相等实根且在[0，3]上，即∴m=3②△＞0时，只有一根在[0，3]上，两根之积为4＞0，则32﹣（m+1）×3+4＜0，∴m＞所以，m的取值范围是m=3或m＞．30．解：（1）因为A={x|﹣2≤x≤4}，B={x|m﹣3≤x≤m}．所以若A∩B={x|2≤x≤4}，则，即，所以m=5．…6分（2）因为B={x|m﹣3≤x≤m}，所以∁R B={x|x＞m或x＜m﹣3}，要使A⊆（∁R B），则m﹣3＞4或m＜﹣2，即m＞7或m＜﹣2．即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）…12分．31．解：（Ⅰ）若A=∅，则关于x的方程mx2﹣2x+1=0 没有实数解，则m≠0，且△=4﹣4m＜0，所以m＞1；（3分）（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2﹣2x+1=0 恰有一个实数解，讨论：①当m=0时，x=，满足题意；②当m≠0时，△=4﹣4m，所以m=1．综上所述，m的集合为{0，1}．（3分）（Ⅲ）若A∩（，2）≠∅，则关于x的方程mx2=2x﹣1在区间（，2）内有解，这等价于当x∈（，2）时，求值域：m=﹣=1﹣（﹣1）2∴m∈（0，1]（5分）32．解：若（A∪B）∩C=∅，则（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．即方程组①与②都无解，由①得k2x2+（2kb﹣1）x+b2﹣1=0，若k=0，则方程为x=1﹣b2，有解，不满足条件，若k≠0，则判别式△=（2kb﹣1）2﹣4k2（b2﹣1）＜0，即1﹣4kb+4k2＜0，∴b＞，∵k，b是自然数，∴b＞1，由②得16x2+8x﹣2（kx+b）+5=0，即16x2+（8﹣2k）x+5﹣2b=0，判别式△=（8﹣2k）2﹣4×16（5﹣2b）＜0，即k2﹣8k+32b﹣64＜0，即b＜=≤=，∵b是自然数，∴b=2，此时k=1，故存在b=2，k=1使得使（A∪B）∩C=∅．33．解：∵A={x|a≤x≤2a+3}，B={x|x2+5x﹣6＞0}=[x|x＜﹣6，或x＞1}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅰ）依题意A∩B={x|1＜x≤3}可得，∴a=0．﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由A∪B=B得A⊆B．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）①当A=∅时满足题意，此时，a＞2a+3，解得a＜﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当A≠∅时，有，解得a＞1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上，a的取值范围为：a＜﹣3 或a＞1，即（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）34．解：（1）若A∩B=A∪B，则A=B，∵B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A={﹣1，2}，即﹣1和2是方程x2﹣2ax+4a2﹣3=0的两个根，∴，∴．满足△＞0，∴a存在．（2）若A∩B≠∅，A∩C=∅，则可知集合A中无﹣4，2．至少有一个元素﹣1．当A={﹣1}时，当A={﹣1，x}，x≠2时，．。

2023届新高考数学二轮复习：专题（导数解答题之零点题）提分练习【总结】1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．【典型例题】例1．（2023秋ꞏ内蒙古包头ꞏ高三统考期末）已知函数()()ln 11f x x a x =--+. (1)若()f x 存在极值，求a 的取值范围；(2)当2a =时，讨论函数()()sin g x f x x =+的零点情况.例2．（2023春ꞏ全国ꞏ高三竞赛）已知函数()()1e cos ,0,2xf x x x π-=+∈．设()f x '为()f x 的导函数．(1)证明：()f x '有且仅有一个极值点；(2)判断()f x 的所有零点之和与2π的大小关系，并说明理由．例3．（2023秋ꞏ重庆ꞏ高三统考学业考试）已知函数2()ln ,R f x x x a x a =--∈.(1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,0)处的切线方程； (2)当02e a <<时，讨论函数()f x 的零点个数.例4．（2023秋ꞏ山东日照ꞏ高三校联考期末）已知函数()sin e ()x f x x a f x π-='-，是()f x 的导函数．(1)若()0f x ≥在(π,π)-上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若(π)0f '=，判断关于x 的方程()1f x =-在*[(21)π(22)π],(N )k k k ++∈，内实数解的个数，并说明理由．例5．（2023秋ꞏ江西赣州ꞏ高三统考期末）已知函数()e x f x =，()22g x x x a =-++．(1)讨论函数()()()h x f x g x =⋅的单调性；(2)若函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象仅有一个交点M ，求证：曲线()y f x =与()y g x =在点M 处有相同的切线，且1,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．例6．（2023春ꞏ广东江门ꞏ高三校联考开学考试）已知函数21()e 2xf x x ax =+，()f x '为其导函数.(1)若2a =-，求()f x '的单调区间；(2)若关于x 的方程()x f x e =有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围.例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知2x =是函数2()e x f x ax =-的极值点.(1)求a ；(2)证明：()f x 有两个零点，且其中一个零点02,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；(3)证明：()f x 的所有零点都大于1ln 22-.例8．（2023秋ꞏ安徽阜阳ꞏ高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知函数1()e xf x x=+． (1)求()f x 的导函数()f x '的单调区间；(2)若方程()f x ax =（R a ∈）有三个实数根123 ,,x x x ，且12301x x x <<<<，求实数 a 的取值范围．例9．（2023春ꞏ江苏南京ꞏ高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数()e xf x =和()ln g x ax x =-，a ∈R(1)求()y f x =在0x =处的切线方程；(2)若当()1,x ∈+∞时，()ln g x x x a <+恒成立，求a 的取值范围； (3)若()()h x f x ax =-与()y g x =有相同的最小值． ①求出a ；②证明：存在实数b ，使得()h x b =和()g x b =共有三个不同的根1x 、2x 、()3123x x x x <<，且1x 、2x 、3x 依次成等差数列．【过关测试】1．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三统考期末）已知函数()ln(1)2axf x x x =+-+． (1)若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围； (2)讨论()f x 的零点个数．2．（2023秋ꞏ河南驻马店ꞏ高三统考期末）已知函数()21ln 12f x x x x x =---. (1)求()f x 的单调区间； (2)若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个不同的零点，求a 的取值范围.3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.4．（2023秋ꞏ河南信阳ꞏ高三信阳高中校考期末）已知函数()()212ln ,e (0)x b f x x x a x g x xx -=--=->，其中0,,e a b ⎤>∈⎥⎦是自然对数的底数. (1)若()f x 在区间()1,+∞上单调递增，求a 的取值范围；(2)设函数()()()()()2f xg x f x g xh x +--=，证明：存在唯一的正实数a ，使得()h x 恰好有两个零点.5．（2023秋ꞏ内蒙古呼和浩特ꞏ高三统考期末）已知函数()e 2xx x a f x a =-+.(1)当12a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.6．（2023秋ꞏ河北衡水ꞏ高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数()e sin xf x x ax =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (1)若1a =-，求()f x 的最小值；(2)若()f x 有且只有两个零点，求实数a 的取值范围.7．（2023ꞏ辽宁ꞏ辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数()e cos xf x x =．(1)求()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值；(2)令函数()1()e xaf x F x x =-，当πa >时，证明：()F x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有两个零点．8．（2023秋ꞏ江苏南通ꞏ高三统考期末）已知函数()ln f x a x =，()()1e xg x x =-，其中a 为实数.(1)若函数()f x ，()g x 的图象在1x =处的切线重合，求a 的值；(2)若e a >，设函数()()()h x f x g x =-的极值点为0x .求证：①函数()h x 有两个零点1x ，2x （12x x <）；②01231x x x -->.9．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数()()2sin ln 1f x x x x =-+-. (1)当10-<≤x 时，求()f x 的最小值；(2)设()()g x f x x =+，(]1,2πx ∈-，证明：()g x 有且仅有3个零点.（1.414≈，πln 1 1.544⎛⎫-≈- ⎪⎝⎭.）10．（2023春ꞏ云南ꞏ高三校联考开学考试）已知函数()(01)x f x a ax a a =->≠且． (1)当e a =时，求函数()f x 的极值；(2)讨论()f x 在区间(0,1)上的水平切线的条数．11．（2023秋ꞏ广西南宁ꞏ高三南宁二中校考期末）已知函数()()()22ln 11af x x x =+-+有两个不同的零点x 1，x 2.(1)当112x -<<-时，求证：()12ln 11x x +>-+；(2)求实数a 的取值范围；12．（2023秋ꞏ湖北武汉ꞏ高三统考期末）已知函数()xf x a =与()log a g x x =（0a >，且1a ≠）(1)求()g x 在()()1,1g 处的切线方程；(2)若1a >，()()()h x f x g x =-恰有两个零点，求a 的取值范围13．（2023秋ꞏ浙江ꞏ高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知函数()e x f x ax =-，()2g x x a =-+(1)当1a =时，求函数()()y f x g x =-的最小值；(2)设01a <<，证明：曲线()y f x =与曲线()y g x =有两条公切线.14．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数()ln f x a x x =-1e a ⎛⎫> ⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数）.(1)若12,x x （120x x <<）是函数()y f x =的两个零点，证明：12112ln x x x x <-； (2)当2a =时，若对于0k ∀>，曲线C ：2y m kx =-与曲线()y f x =都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()e 1xf x a x a =--∈R .(1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若关于x 的方程()ln e 0f x x +-=在()1,+∞无实数解，求实数a 的取值范围.16．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2()eln (R),()eln x f x ax x a g x x x=+∈=-. (1)讨论函数()()2F x f x =在()0,∞+上的单调性；(2)若函数()f x 的图象与()g x 的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围.17．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()ln f x a x x =-（e 是自然对数的底数）． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当2a =时，若对于0k ∀>，曲线C ：2y m kx =-与曲线()y f x =都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围．参考答案【总结】1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．【典型例题】例1．（2023秋ꞏ内蒙古包头ꞏ高三统考期末）已知函数()()ln 11f x x a x =--+. (1)若()f x 存在极值，求a 的取值范围；(2)当2a =时，讨论函数()()sin g x f x x =+的零点情况. 【答案解析】（1）因为()()ln 11f x x a x =--+，所以()()11(0)f x a x x'=-->， 当10a -≤，即1a ≤时，()0f x ¢>，则()f x 为单调递增函数，不可能有极值，舍去； 当10a ->，即1a >时，令()0f x '=，解得11x a =-， 当101x a <<-时，()0f x ¢>；当11x a >-时，()0f x '<；所以()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减， 所以()f x 在11x a =-取得极大值，符合题意； 综上：1a >，故实数a 的取值范围为()1,+∞.（2）当2a =时，()ln 1sin (0)g x x x x x =-++>，则()11cos g x x x'=-+， 令()()11cos 0h x x x x =-+>，则()21sin h x x x'=--， （i ）当(]0,πx ∈时，()0h x '<，则()h x 单调递减，即()g x '单调递减， 注意到()cos101g '=>，()120ππg '=-<， 所以存在唯一的()01,πx ∈使()00g x '=，且当00x x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当0πx x <≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，注意到22211121sin 0e e e g ⎛⎫=--++< ⎪⎝⎭，()1sin10g =>，2ln πln e 2π1<=<-，则()πln ππ10g =-+<，所以()g x 在21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,π上各有一个零点；（ii ）当(]π,2πx ∈时，sin 0x ≤，故()ln 1g x x x ≤-+， 令()()ln 1π2πx x x x ϕ=-+<≤，则()110x xϕ'=-<， 所以()x ϕ在(]π,2π上单调递减，故()()πln ππ10x ϕϕ<=-+<， 所以()()0g x x ϕ≤<，故()g x 在(]π,2π上无零点； （iii ）当()2π,x ∈+∞时，sin 1x ≤，则()ln 2g x x x ≤-+， 令()()ln 22πm x x x x =-+>，则()110m x x=-<'，所以()m x 在()2π,+∞上单调递减， 又3ln 2πln e 32π2<=<-，故()()2πln 2π2π20m x m <=-+<， 所以()()0g x m x ≤<，故()g x 在()2π,+∞上无零点；综上：()g x 在21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,π上各有一个零点，共有两个零点.例2．（2023春ꞏ全国ꞏ高三竞赛）已知函数()()1e cos ,0,2xf x x x π-=+∈．设()f x '为()f x 的导函数．(1)证明：()f x '有且仅有一个极值点；(2)判断()f x 的所有零点之和与2π的大小关系，并说明理由．【答案解析】（1）证明：因为()()1e cos ,0,2πx f x x x -=+∈，所以()1e sin x f x x --'=- 设()()1e sin xg x f x x -==--'，()0,2πx ∈，所以()()111e cos e 1e cos xx x g x x x ---=--'=，其中1e 0x ->恒成立，令()11e cos x h x x -=-，()0,2πx ∈，则()111πecos e sin sin 4x x x h x x x x ---⎛⎫=-+='- ⎪⎝⎭，因为()0,2πx ∈，所以ππ7π,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当5π,2π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，函数()h x 单调递增；又()π1104π01e 0,1e 1e 0422h h --⎛⎫=->=->-> ⎪⎝⎭，5ππ044h h ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7π1147π1e 1e 0422h -⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭，()7π2π04h h ⎛⎫<< ⎪⎝⎭所以05π7π,44x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()01001e cos 0x h x x -=-= ，即010e cos xx -=，故对于()()1e x g x h x -'=有()00g x '=，当()00,x x ∈时，()00g x '>，函数()f x '单调递增，当()0,2πx x ∈时，()00g x '<，函数()f x '单调递减，所以0x 是函数()f x '的极大值点，()f x '无极小值点，故()f x '有且仅有一个极值点. （2）()f x 的所有零点之和大于2π，理由如下：函数()()1e cos ,0,2xf x x x π-=+∈，其导函数()1e sin x f x x --'=-，05π7π,44x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得当()00,x x ∈时，()f x '单调递增，当()0,2πx x ∈时，函数()f x '单调递减，又010ecos x x -=，所以()()0100000π0e 0,e sin cos sin 4xf f x x x x x -⎛⎫=-<=--=--=+' ⎝'⎪⎭，因为057π,π44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0π3π,2π42x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00f x '>，又()12π2πe0f -'=-<， 故()100,x x ∃∈，使得()10f x '=，()20,2πx x ∃∈，使得()20f x '=，于是可得：当()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()12,x x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()2,2πx x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又()3π11π23ππe0,e 102f f --⎛''⎭<⎫=-=-+> ⎪⎝，故13ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()π11π2πe 0,πe 102f f --⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以存在π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0f α=，所以()()1π0f x f <<，又3π123πe 02f -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()23π02f x f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，则存在3ππ,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0f β=，又()12π2πe10f -=+>，所以函数()f x 在区间()2,2πx x ∈上无零点；故函数在()0,2πx ∈上有两个零点,αβ，且π3ππ22αβ<<<<， 由()()0f f αβ==可得：11e cos 0,e cos 0αβαβ--+=+=，所以11cos e ,cos e αβαβ--=-=-， 又111111e e e e αβαβαβαβ----<⇒->-⇒>⇒-<-， 所以()cos cos cos 2παββ<=-， 根据π3ππ22αβ<<<<，可得：ππ2α<<，π2ππ2β<-<，并且函数cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以2παβ>-，即2παβ+>，故()f x 的两个零点之和大于2π.例3．（2023秋ꞏ重庆ꞏ高三统考学业考试）已知函数2()ln ,R f x x x a x a =--∈.(1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,0)处的切线方程； (2)当02e a <<时，讨论函数()f x 的零点个数.【答案解析】（1）因为1a =，所以()2()ln 0f x x x x x =-->，令()()ln 0x x x x ϕ=->，则()111x x x xϕ-'=-=， 令()0x ϕ'>，得1x >；令()0x ϕ'<，得01x <<； 所以()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()11ln10x ϕϕ≥=->，即ln 0x x ->恒成立， 所以2()ln f x x x x =-+，则1()21f x x x'=-+， 所以切线的斜率为()12k f '==，又切点为(1,0)，所以切线方程为()21y x =-，即22y x =-.（2）令()0f x =，则2ln x x a x =-，该式等价于2ln x x a x =-或2ln x x a x =-+，当2ln x x a x =-时，有2ln x a x x =--，令()()20m x x x x =->，()ln n x a x =-，则2ln x x a x =-的解的个数即为()m x 与()n x 的交点个数，易知()m x 开口向上，对称轴为12x =， 所以()m x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()()010m m ==，而ln y x =在()0,∞+上单调递增，02e a <<，所以()ln n x a x =-在()0,∞+上单调递减，且()10n =，作出()m x 与()n x 的图像，如图，所以()m x 与()n x 的交点只有一个，且为()1,0，故2ln x x a x =-只有一个解；当2ln x x a x =-+时，因为当1x =时，该式不成立，所以2ln x a xx=+，令()()20ln x x h x x x+=>，则2(12)ln (1)()(ln )x x x h x x +-+'=， 令()()(12)ln (1)0s x x x x x =+-+>，则1()2ln 1s x x x'=++， 令()()12ln 10g x x x x=++>，则()221x g x x -'=，令()0g x '>，得12x >；令()0g x '<，得102x <<；所以()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 112ln 2132ln 2022g x g ⎛⎫==++=-> ⎪⎝⎭，故()()0s x g x '=>，所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10,e e 02ss =-<=>，所以存在0x ∈，使得()00s x =，则()s x 在0(0,)x 上()0s x <，在0(,)x +∞上()0s x >， 所以()()2()ln s x h x x '=在()0,1上()0h x '<，在()01,x 上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>，所以() h x 在()0,1上单调递减，在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上调递增， 因为()00s x =，所以000(12)ln (1)0x x x +-+=，即000121ln 1x x x +=+， 所以()()()2200000000min0012ln 112x x x h x h x x x x x x x ++===+⋅=++，因为22y x x =+在()0,∞+上单调递增，0x ，所以20022e 2e 2x x +>⨯+>，故()()02e h x h x ≥>， 又因为02e a <<，所以方程()a h x =无解，即方程2ln x a x x=+无解，故2ln x x a x =-+无解；综上：当02e a <<时，2ln x x a x =-与2ln x x a x =-+只有一个解，即()f x 只有一个零点. 例4．（2023秋ꞏ山东日照ꞏ高三校联考期末）已知函数()sin e ()x f x x a f x π-='-，是()f x 的导函数．(1)若()0f x ≥在(π,π)-上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若(π)0f '=，判断关于x 的方程()1f x =-在*[(21)π(22)π],(N )k k k ++∈，内实数解的个数，并说明理由．【答案解析】（1）由题意()0f x ≥在(π,π)-上恒成立，得π()sin e 0x f x x a --≥= ，即πe e sin x a x ≤恒成立，令()e sin x m x x =，则()()e sin cos xm x x x '=+ ，当(π,π)x ∈-时，π3π5π(,)444x +∈-，令()()e sin cos 0xm x x x '=+>π04x +>，则π(0,π)4x +∈，得π3π44x -≤<，令()()e sin cos 0xm x x x '=+<π04x +<，π3π(,0)44x +∈-或π5π(π,)44x +∈得 ππ4x -<<-或3ππ4x <<， 所以()()e sin cos xm x x x '=+在π(π,)4--和(3π,π)4为减函数，在π3π(,)44-上为增函数，()π(π)=0m m =- ，ππ()()44ππ(e sin()44m ---=-=，故π()4min ()m x -=，故π(π4e a -≤，即5π()4a -≤，综上 ，实数a 的取值范围5π()4(,e ]2--∞ .（2）由题意()sin e ()cos e x x f x x a f x x a π-π-'=-=+，， ()π10,1f a a '=-+=∴= ,由()1f x =-，得πsin e 10x x --+= ， 令()πsin e1xs x x -=-+ ，()πcos e x s x x -'=+ 令()πcos e x x x g -=+，π()sin e x g x x -'=--,令ππ()sin e ()cos e ,x x h x x h x x --'=--=-+()h x '在[]*(21)π,(22)π,N k k k ++∈上单调递减,注意到2ππ2π((21)π)1e 0,((22)π))1e 0k k h k h k ---''+=+>+=-+<, ∴存在()()021π,22()πx k k ∈++,使0()0h x '=， 且当()021πk x x +≤<时，()0h x '> ，()g x ' 单调递增, 当()02π2x x k <≤+时，()0h x '<，()g x '单调递减,且2ππ2π((21)π)e 0,((22)π)e 0k k g k g k ---''+=-<+=-< ,π2π23((21e 02k g k --'+=-> ,所以()g x '在3(21)π,(22k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和3(2)π,(22)π2k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上各有一个零点，设为12,x x ，且当()1[21π,)x k x ∈+时，()s x '单调递减；12(,)x x x ∈时，()s x '单调递增， 当()2(,22π]x x k ∈+时，()s x '单调递减 且()()()()2ππ2π211ππe0,221e 0k k s k s k ---''+=-+<+=+> ，∴当()121πk x x +≤≤时，()()()21π0x s k s +''<< ， 当()222πx x k <≤+ 时，()()()22π0x s k s +''>>， 故()s x '在12(,)x x 上有唯一的零点，设为3x ，且当()321πk x x +<< ，时，()0s x '< ，()s x 在()321π)(,k x +上单调递减； 当()322πx x k <<+ 时，()0s x '>，()s x 在()3,22π()x k +上单调递增． 注意到2ππ2π((21)π)e 10,((22)π)e 10k k s k s k ---+=-+>+=-+> ，π2π23((2)π)e 02k s k --+=-< ，所以：()s x 在3((21)π,(2)π)2k k ++和3((22)π)2k k ++上各有一个零点，设为45,x x ，所以()s x 共两个零点，故方程()1f x =-()1f x =-在*[(21)π(22)π],(N )k k k ++∈，内实数解的个数为2. 例5．（2023秋ꞏ江西赣州ꞏ高三统考期末）已知函数()e xf x =，()22g x x x a =-++．(1)讨论函数()()()h x f x g x =⋅的单调性；(2)若函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象仅有一个交点M ，求证：曲线()y f x =与()y g x =在点M 处有相同的切线，且1,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【答案解析】（1）()()2e 2x h x x x a =-++定义域为R ，所以()()2e 2x h x a x '=+-，①当20a +≤即2a ≤-时，()0h x '≤恒成立， 函数()h x 在(),x ∈-∞+∞上为单调递减函数．②当20a +>即2a >-时，令()0h x '>得：x <<，令()0h x '<得：x <x >所以，函数()h x 在(x ∈上单调递增，在(,x ∈-∞和)x ∈+∞上单调递减综上所述，当2a ≤-时，函数()h x 在(),x ∈-∞+∞上为单调递减；当2a >-时，()h x 在(x ∈上单调递增，在(,x ∈-∞和)x ∈+∞上单调递减；（2）构造()()()2e 2x F xf xg x x x a =-=+--，所以()22e xF x x '=+-．记()()m x F x '=，()20e xm x '=+>恒成立，即()m x 在(),x ∈-∞+∞上单调递增．而()00210e m =-=-<，1102m ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以存在唯一的010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m x =，即000e 22xx +-=，由()e x f x =，()22g x x x a =-++可得()e xf x '=，()22g x x '=-+，所以()00e xf x '=，()0022g x x '=-+，所以()()00f x g x ''=，即曲线()y f x =与()y g x =在点M 处有相同的切线．又因为当()0,x x ∈-∞时，()0F x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>， 故()F x 在()0,x x ∈-∞上单调递减，在()0,x x ∈+∞上单调递增， 故()F x 在0x x =上取得极小值，也是最小值， 即()()min 0F x F x =，由于函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象仅有一个交点M ，所以()00F x =，即0200e 20x x x a +--=，故()02220000e 24222x a x x x x x =+-=-+=--，010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2022a x =--在010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，综上，曲线()y f x =与()y g x =在点M 处有相同的切线，且1,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．例6．（2023春ꞏ广东江门ꞏ高三校联考开学考试）已知函数21()e 2xf x x ax =+，()f x '为其导函数.(1)若2a =-，求()f x '的单调区间；(2)若关于x 的方程()x f x e =有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围.【答案解析】（1）函数2()e x f x x x =-，x ∈R ，则()()1e 2xf x x x =+-'， 令()()()1e 2x h x f x x x ==+-'，则()()2e 2x h x x +'=-，设()()2e 2xm x x =+-，则()()3e 0x m x x +'==，得3x =-，故(),3x ∈-∞-时，()0m x '<，函数()m x 即()h x '单调递减，()3,x ∈-+∞时，()0m x '>，函数()m x 即()h x '单调递增，所以min 31()(3)20e h x h =-=--<'，又x →-∞时，()h x '→-∞，又(0)0h '=， 所以(),0x ∈-∞时，()0h x '<，函数()f x '单调递减，()0,x ∈+∞时，()0h x '>，函数()f x '单调递增，故()f x '的单调减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+；（2）关于x 的方程21e =e 2x x x ax +有两个不相等的实根，即函数()21e e 2x xg x x ax =-+，在x ∈R 上有两个零点，又()()()1e e e x x xg x x ax x a =+-+=+'，①当0a ≥时，()0g x '=，得0x =，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以()()min 01g x g ==-，又x →-∞时，()g x →+∞，()22e 20g a =+>，则函数()g x 在x ∈R上有两个零点；②当0a <时，()0g x '=，得0x =，()ln x a =-，（i ）当1a =-时，()ln 0a -=，此时()0g x '≥恒成立，函数()g x 单调递增，在x ∈R 上不可能有两个零点，不符合题意；（ii ）当10a -<<时，()ln 0a -<，则当()(),ln x a ∈-∞-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()()ln ,0x a ∈-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以()()()()()()2211ln ln ln ln 11022g a a a a a a a a ⎡⎤-=--++-=--+<⎣⎦，()01g =-，故函数()g x 在区间(),0x ∈-∞无零点，在()0,x ∈+∞不可能存在两个零点，故不符合题意；（iii ）当1a <-时，()ln 0a ->，则当(),0x ∈-∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()()0,ln x a ∈-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()()ln ,x a ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，又()01g =-，故函数()g x 在区间()(),ln x a ∈-∞-无零点，在()()ln ,x a ∈-+∞不可能存在两个零点，故不符合题意； 综上，实数a 的取值范围[)0,∞+.例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知2x =是函数2()e x f x ax =-的极值点.(1)求a ；(2)证明：()f x 有两个零点，且其中一个零点02,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；(3)证明：()f x 的所有零点都大于1ln 22-.【答案解析】（1）2()e x f x ax =-，则()e 2x f x ax '=-， 因为2x =是函数()f x 的极值点，所以(2)0f '=，即2e 40a -=，解得2e 4a =.当2e 4a =时，2e ()e 2xf x x '=-，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以2x =是函数()f x 的极小值点，故2e 4a =； （2）由(1)知，22e ()e 4xf x x =-，令()0f x =，则22e e 4xx =，作e xy =和22e 4y x =函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有2个交点，且一个交点分布在(,0)-∞上，另一个分布在(0,)+∞上， 所以方程()0f x =有2个解，即函数()y f x =有2个零点. 易知2是函数()f x 的一个零点，设另一个零点为0x ，又(0)10=>f ，2222e e 2e 2()e ()e 10e 4ef ---=--=-<，所以2(0)()0e f f -<，又函数()f x 在定义域上连续，由零点的存在性定理，知02(,0)ex ∈-；（3）由(1)知，22e ()e 4xf x x =-，当0x =时，(0)1f =， 当0x ≠时，令()0f x =，则22e 14x x -=， 设22e (0)()x h x x x -=≠，则()0h x >，23e (2)()x x x h x --='，令()00h x x '>⇒<或2x >，令()002h x x '<⇒<<，所以函数()h x 在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增，在(0,2)上单调递减， 又1(2)0,(2)4h h ->=，2ln 221-<-<-，得111ln 222-<<-- 所以213132,0()1ln 222ln 22-<-<-<<--，又332e >16e 4⇒>，所以当1ln 22x =-时，1322ln 2223322221e e (ln 22)11()11ln 224(()e e ln 22ln 22h ----=<=<<---， 作出函数()y h x =和14y =的图象，如图所示，由图可知，两函数图象的交点的的横坐标都大于1ln 22-，故函数()f x 的所有零点都大于1ln 22-.例8．（2023秋ꞏ安徽阜阳ꞏ高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知函数1()e xf x x=+． (1)求()f x 的导函数()f x '的单调区间；(2)若方程()f x ax =（R a ∈）有三个实数根123 ,,x x x ，且12301x x x <<<<，求实数 a 的取值范围．【答案解析】（1）函数f (x )的定义域为()()()21,00,,e xf x x '-∞⋃+∞=-记()()g x f x '=，则()3332e 2e x x x g x x x '+=+=． 当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞上单调递增，当(),0x ∈-∞时，记()()()32e 2,3e xx x x x x x ϕϕ'=+=+，所以(),3x ∈-∞-时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减；()3,0x ∈-时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增，()x ϕ的极小值为()333332e e 332e 0ϕ⎛⎫-=-> ⎪-⎝=⎭，即有()0x ϕ>， 因此()0g x '<， g (x )在(,0)-∞上单调递减，所以函数()f x '在()0,+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减.（2）令()()()()211e ,e xx F x f x ax ax F x f x a a x x'=-=+-=-=--' 方程()f x ax =（R a ∈）有三个实数根等价于F (x )有三个零点123,,x x x ，12301x x x <<<<，当0a ≤时，因为0x >，则()0F x >，此时F (x )在()0,+∞无零点； 当0a >时，由（1）知()F x '在()0,+∞上单调递增，显然1()402F a '=--<，21(ln(e ))e e 10(ln(e ))F a a '+=->->+， 因此存在00x >，使得()00F x '=，()00,x x ∈，()()0,F x F x '<单调递减，()0,x x ∈+∞，()()0,F F x x '>单调递增，①若e 1a =+，则()1e 10F a =+-=，不符合题意；②若0e 1a <<+，()1e 10F a =+->，当01x ≥时，(0,1)x ∈，()0F x >，()F x 在()0,1上无零点，当01x <时，()()1,,0x F x ∈+∞>，()F x 在()1,+∞上无零点，不符合题意， ③若e 1a >+，则()1e 10F a =+-<，()1e 10F a '=--<，于是01x >， 而当01x <<时，1e e x <<，0a ax -<-<，但1x的取值集合是(1,)+∞， 因此存在(0,1)t ∈，使得()0F t >，当1x >时，令2()e x h x x =-，()e 2x h x x '=-，令()()e 2x u x h x x '==-，则()e 2e 20x u x '=->->，即()h x '在(1,)+∞上单调递增，()(1)e 20h x h ''>=->， ()h x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)e 10h x h >=->，因此当1x >时，2e x x >，有()2211e xF x ax x ax x ax x x=+->+->-，因为当x a ≥时，二次函数2x ax -的值域是[0,)+∞，于是得当x a ≥时，()0F x >，因此存在2301x x <<<，使得()()230F x F x ==，此时当0x <时，()e 10xF x a a '<-<-<，即函数F (x )在(,0)-∞上单调递减， 由()11111e 10,e 1e e 0a a F a F a a ---⎛⎫-=-+>-=-+<-< ⎪⎝⎭因此存在10x <，使得()10F x =，从而当e 1a >+时，F (x )有三个零点123,,x x x ，且12301x x x <<<<， 所以实数a 的取值范围是()e 1,++∞．例9．（2023春ꞏ江苏南京ꞏ高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数()e xf x =和()ln g x ax x =-，a ∈R(1)求()y f x =在0x =处的切线方程；(2)若当()1,x ∈+∞时，()ln g x x x a <+恒成立，求a 的取值范围； (3)若()()h x f x ax =-与()y g x =有相同的最小值． ①求出a ；②证明：存在实数b ，使得()h x b =和()g x b =共有三个不同的根1x 、2x 、()3123x x x x <<，且1x 、2x 、3x 依次成等差数列．【答案解析】（1）因为()e x f x =，则()e x f x '=，所以，()()001f f '==，所以，()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+. （2）当()1,x ∈+∞时，不等式()ln g x x x a <+等价于()1ln 01a x x x -->+． 设()()1ln 1a x p x x x -=-+，则()()()()2222111211x a x a p x x x x x +-+'=-=++，且()10p =. 对于函数()2211y x a x =+-+，()()241442a a a ∆=--=-.（ⅰ）当2a ≤且()1,x ∈+∞时，()22211210x a x x x +-+≥-+>，故()0p x '>，则()p x 在()1,+∞上单调递增，因此()()10p x p >=； （ⅱ）当2a >时，令()0p x '=得11x a =-21x a =-由122110x x x x =⎧⎨>>⎩得101x <<，21x >，故当()21,x x ∈时，()0p x '<，()p x 在()21,x 单调递减，因此()()210p x p <=，不合乎题意.综上，a 的取值范围是(],2-∞．（3）①()e xh x ax =-的定义域为R ，而()e x h x a '=-，若0a ≤，则()0h x '>，此时()h x 无最小值，故0a >. 函数()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而()11ax g x a x x-'=-=. 当ln x a <时，()0h x '<，故()h x 在(),ln a -∞上为减函数， 当ln x a >时，()0h x '>，故()h x 在()ln ,a +∞上为增函数， 故()()min ln ln h x h a a a a ==-. 当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数， 当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数， 故()min 111ln 1ln g x g a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭.因为()e xh x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故1n ln l a a a a =-+，整理得到1ln 1a a a-=+，其中0a >， 设()1ln 1a s a a a -=-+，其中0a >，则()()()222211011a s a a a a a --'=-=<++， 故()s a 为()0,∞+上的减函数，而()10s =，故()0s a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =. 综上，1a =.②由①可得()e xh x x =-和()ln g x x x =-的最小值为1ln11+=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e x S x x b =--，()e 1xS x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>， 故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数， 所以()()min 010S x S b ==-<， 而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即方程e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=， 当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>， 故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 所以()()min 110T x T b ==-<， 而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由①讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个解， 当1b <时，由①讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无根，故若存在直线y b =与曲线()y h x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x t x x x =+-，其中0x >，故()1e 2xt x x'=+-， 设()e 1x r x x =--，其中0x >，则()e 10xr x '=->，故()r x 在()0,∞+上为增函数，故()()00r x r >=即e 1x x >+， 所以()11210t x x x'>+-≥->，所以()t x 在()0,∞+上为增函数， 而()1e 20t =->，31e 333122e 3e 30e e e t ⎛⎫=--<--< ⎪⎝⎭，故()t x 在()0,∞+上有且只有一个零点2x ，且2311e x <<， 当20x x <<时，()0t x <，即e ln x x x x -<-，即()()h x g x <， 当2x x >时，()0t x >，即e ln x x x x ->-，即()()h x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y h x =、()y g x =有三个不同的交点， 故()()221b h x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的根1x 、()2120x x x <<， 此时ln x x b -=有两个不同的根2x 、()32301x x x <<<，故11e xx b -=，22e x x b -=，33ln 0x x b --=，22ln 0x x b --=，所以33ln x b x -=，即33e x bx -=，即()33e 0x bx b b ----=，故3x b -为方程e x x b -=的解，同理2x b -也为方程e x x b -=的解，又11e x x b -=可化为11e xx b =+，即()11ln 0x x b -+=，即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理2x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1223,,x x x b x b =--，而1b >，故2312x x bx x b =-⎧⎨=-⎩，即1322x x x +=.【过关测试】1．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三统考期末）已知函数()ln(1)2axf x x x =+-+． (1)若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围； (2)讨论()f x 的零点个数．【答案解析】（1）()f x 的定义域是(1,)-+∞，22212(42)(1)()1(2)(1)(2)a x a x f x x x x x +'-+=-=++++． ①当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(1,)-+∞上单调递增， 又因为(0)0f =，所以当0x ≥时，()(0)0f x f ≥=，满足题意； ②当2a >时，令22()(42)(1)(42)(42)g x x a x x a x a =+-+=+-+-， 由()0g x =，得1(2)0x a =-<，2(2)0x a -=>． 当()20,x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，所以()f x 在()20,x 上单调递减， 所以()()200f x f <=，不满足题意． 综上所述，2a ≤．（2）①当2a ≤时，由（1）可得()f x 在(1,)-+∞上单调递增，且(0)0f =，所以()f x 在(1,)-+∞上存在1个零点；②当2a >时，由（1）可得()0g x =必有两根1x ，2x ，又因为(1)10g -=>，(0)420g a =-<所以1(1,0)x ∈-，2(0,)x ∈+∞．x ()11,x -1x()12,x x2x()2,x +∞()f x '＋－＋()f x单调递增 极大值()1f x 单调递减 极小值()2f x 单调递增当()12,x x x ∈时，因为(0)0f =，所以()f x 在()12,x x 上存在1个零点， 且()()100f x f >=，()()200f x f <=； 当()11,x x ∈-时，因为()()e 12ee 1ln e 0e 1e l---------=-=<++a aa a aaa a f ，1e 10--<-<a ，而()f x 在1(0,)x 单调递增，且1()0f x '=，而(e 1)0a g -->，故11e 1ax --<-<，所以()f x 在()11,x -上存在1个零点； 当()2,x x ∈+∞时，因为()()e 12e 1ln e 0e 1e 1a a a a a a af --=-=>++， e 10a ->，而()f x 在2(,)x +∞单调递增，且2()0f x '=，而(e 1)0ag ->， 所以2e 1ax ->，所以()f x 在()2,x +∞上存在1个零点．从而()f x 在()1,-+∞上存在3个零点．综上所述，当2a ≤时，()f x 存在1个零点；当2a >时，()f x 存在3个零点．2．（2023秋ꞏ河南驻马店ꞏ高三统考期末）已知函数()21ln 12f x x x x x =---. (1)求()f x 的单调区间； (2)若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案解析】（1）由题意可得()ln f x x x '=-， 设()()ln h x f x x x '==-，则()111xh x x x-'=-=由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >则()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x '在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)10f x f ''≤=-<，故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间（2）由题意可得21(2)1(1)(1)()2a x a x a x a x g x x a x x x-+-+-+--'=+-+==， ()g x 的定义域是(0,)+∞，①当10a -<，即1a >时，1x >时()0g x '>，01x <<时()0g x '<， 则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 因为0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--<，解得52a <，故152a <<；②当10a -=，即1a =时，由21()102g x x x =--=，解得x 1=因为0x >，所以1x =()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意； ③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，得01x a <<-或1x >， 由()0g x '<，得11a x -<<，则()g x 在(0,1)a -和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0,g x x <→+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--=或21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=， 若(1)0g =，解得52a =，不符合题意， 若(1)0g a -=，设1(0,1)t a =-∈，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=， 01t <<时，ln 0t t <，221111(1)0222t t t ---=-+-<，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故01a <<不符合题意；④当11a -=，即0a =时，()0g x '≥恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而()g x 最多有1个零点，则0a =不符合题意；⑤当11a ->，即a<0时，由()0g x '>，得01x <<或1x a >-，由()0g x '<，得11x a <<-， 则()g x 在(0,1)和(1),a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0g x x <→+∞，时，()g x ∞→+ 所以()g x 要有两个零点，则(1)0g =或(1)0g a -=，若1(1)2102g a =+--=，解得52a =，不符合题意，若21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=． 设1(1,)t a =-∈+∞，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，由（1）知21ln 12y t t t t =---在(1,)+∞上单调递减，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解， 即(1)0g a -=无解，故a<0不符合题意．综上，a 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭．3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围. 【答案解析】（1）由()1e e e 1log e e ea g a =⇒++=⇒=， 所以()1e x f x x -=+，()11e xf x -'=-，令()01f x x '=⇒=，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>， 所以()f x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增， 所以()f x 的极小值为()12f =；（2）()()1log 1x a f x g x a x --=--，令()1log 1x a F x a x -=--（0x >）， ()F x 存在唯—的零点，()11111ln ln ln ln x x F x a a xa a x a x a --⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭， 令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，()()11ln ln x x a x a a ϕ-'=+， 令()10ln x x aϕ'=⇒=-， 当10ln x a<<-时，()0x ϕ'<； 当1ln x a>-时，()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增， 所以()11ln min11ln ln ax a a a ϕϕ--⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，。

专题三 函数的概念、图像和性质一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递减，则不等式(24)3f x -<的解集为（ ）A ．(4,6)B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(3,5)2．（2021·北京石景山区·高三一模）已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．[0,1]C ．[1,0]-D ．(1,0)-3．（2021·天津南开区·高三一模）函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()21xf x x=-B ．()221xf x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-4．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭5．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．当m =0时，函数m y x =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的增函数6．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知函数()f x ，()g x 满足()()()()xx f x g x ef xg x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．（2021·天津高三月考）函数241x y x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020·上海高一专题练习）单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x x f k f ⋅+--<恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1-B ．(),1-∞C ．(0,1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣9．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭（ ）A ．()6063,e+∞B ．()20210,eC ．()2021,e+∞ D ．()60630,e10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()22cos sin e ex xx x f x --=+，则函数()f x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））设函数()ln 31ln 31f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增B ．是奇函数，且在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．是偶函数，且在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递增D ．是奇函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减12．（2021·全国高三月考（理））已知函数()12cos 122x xf xx -=⋅+，则()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2021·全国高三月考（文））已知奇函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠，且有()()33f x f x =，()11f =，当120x x >>时，()()()121233120f x f x x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，则不等式()29f x x x≥的解集为（ ） A ．(][),33,-∞-+∞ B ．[)(]3,00,3- C ．(][),11,-∞-+∞D ．[)(]1,00,1-14．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()11f =．若1x ∀，()2,x ∀∈-∞+∞，当12x x <时，()()122144f x x f x x ->-，则不等式()()4ln 455ln 45f x x ->--⎡⎤⎣⎦的解集为（ ）A ．5e ,4+⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．55e ,44+⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．55e ,44+⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．（2021·全国高三月考（文））若函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，则b a -（ ）A ．有最大值，但无最小值B ．既有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值16．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞上单调递减，()20f =，则()()10+<f x f x 的解集为（ ） A ．()()2,10,1--⋃ B ．()()1,01,2- C ．()1,2- D ．()2,1-17．（2021·全国）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对任意的1x ，()212[5,1]x x x ∈--≠，都有()()21210f x f x x x ->-；②(1)y f x =+是奇函数；③(1)=-y f x 为偶函数.则（ ）A ．(2021)(22)(3)f f f >>B ．(22)(3)(2021)f f f >>C ．(3)(22)(2021)f f f >>D ．(22)(2021)(3)f f f >>18．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()f x 定义域为R ，满足()()2f x f x =-，且对任意121x x ≤<均有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦成立，则满足()()2130f x f x ---≥的x 的取值范围是（ ）A ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．（2021·全国高三专题练习（理））函数1010y =的图象可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．20．（2021·山东青岛市·高三一模）已知()y f x =为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．221．（2021·全国高三专题练习（文））设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4-D ．()()8,40,4--⋃22．（2021·全国高三专题练习（文））函数ln ||()||x f x x =的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．23．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2二、多选题24．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()coshxf x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x ＝e e 2x x -+，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh x ＝e e 2x x--．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为（ ）A ．cosh(x ﹣y )＝cosh x cosh y ﹣sinh x sinh yB ．y ＝sinh x cosh x 是偶函数C ．(cosh x )′＝sinh xD ．若△P AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数m ＝025．（2021·全国高三专题练习）已知函数232(1)()1x x f x x ++=+，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象的对称中心是（0，1）B ．函数()f x 在R 上是增函数C ．函数()f x 是奇函数D ．方程(21)(2)2f x f x -+=的解为14x =26．（2021·全国高三专题练习）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：1,()0,c x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为,(),c a x QD x b x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中a ，b R ∈且a b ），以下对()D x 说法正确的是（ ）A ．当a b >时，()D x 的值域为[],b a ；当a b <时，()D x 的值域为[],a bB ．任意非零有理数均是()D x 的周期，但任何无理数均不是()D x 的周期C ．()D x 为偶函数D ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性27．（2021·浙江高一开学考试）已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中正确的有（ ） A ．1yg f x 为偶函数B ．()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数C ．()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称D ．1yf g x 为偶函数28．（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，()f x 与g()x 不表示同一函数．．．．．．．的是（ ） A ．()1f x x ，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，0()(1)g x x =+D ．()f x x =，2()g x =29．（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题30．（2021·浙江高一期末）设,a b ∈R，已知函数3,1(),1x f x bx x x ≤=⎨+>⎪⎩，若()f x 是在R 上的增函数，则b 的取值范围是_________.31．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知可导函数()f x 的定义域为(0,)+∞，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式()24x x f >的解集是________．32．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()12()12f x f x f x +-=--，若(1)2f =+，则(2025)f =______．33．（2021·全国高三专题练习）设f (x )是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈(-1，1]时，22,10()1x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，其中m ∈R .若f (116)=f (32)，则m 的值是___________.34．（2021·全国高三专题练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(2020)(2021)f f +=__________． 35．（2020·上海高一专题练习）设R a ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．为_________. 36．（2021·上海高一）设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．四、解答题37．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.38．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）设函数e ()e x x af x a+=-（e 为常数，e ＝2.718 28…，a ∈R ）.（1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值； （2）若1a =-.①判断并证明函数f (x )的单调性；②若存在[]22x ∈-，，使得f (x 2＋2mx )+f (2－m )=0成立，求实数m 的取值范围. 39．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()2af x x x=+． （1）判断()f x 的奇偶性，并给出理由； （2）当16a =时，①用定义证明函数()f x 在区间[)2,+∞上是单调增函数；②若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()42f x m m <-成立，求实数m 的取值范围．40．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.41．（2021·湖北高二月考）已知函数ln ()xf x x=． （1）判断()f x 的单调性，并比较20222021与20212022的大小； （2）若函数2()(1)(()1)2ag x x x f x =-+-，其中1a e ≤<，判断()g x 的零点的个数，并说明理由．42．（2021·浙江高一期末）设函数()()()212,xxk f x k x R k Z -=+-⋅∈∈（1）若()k f x 是偶函数，求k 的值（2）若存在]2[1x ∈，，使得()()014f x mf x +<成立，求实数m 的取值范围； （3）设函数()()()0224g x f x f x λ=-+若()g x 在[)1,x ∈+∞有零点，求实数λ的取值范围．43．（2021·安徽高一开学考试）已知函数()21,0,0x ax x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩且()()013f f +-=.（1）求实数a 的值；（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()()()2121bf b x b f x +-+≥恒成立，求正数b的取值范围.44．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的值域（1）34x y x +=-； （2）25243y x x =-+；（3）y x =；（4）22436x x y x x ++=+-；（5）4y =；（6）y x =+（7）y =；（8）y =（9）312x y x +=-； （10）2211()212x x y x x -+=>-. 45．（2020·上海高一专题练习）根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立46．（2020·上海高一专题练习）()f x =为奇函数，则a 的取值范围 47．（2020·上海高一专题练习）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,1,1a b ，0a b +≠，有()()0f a f b a b+>+成立； （1）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式11()21f x f x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭； 48．（2020·上海高一专题练习）已知二次函数2()(1)f x ax a x a =+-+.（1）函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）关于x 的不等式()2f x x≥在[]1,2x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）函数21(1)()()a x g x f x x--=+在(2,3)上是增函数，求实数a 的取值范围. 49．（2021·上海高一）设函数2()(3)3f x mx m x =+--（1）若对任意[]1,3x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围 （2）若存在[]1,3x ∈，不等式()0f x >成立，求实数m 的取值范围50．（2021·山东德州市·高一期末）已知函数()y f x =的图象与()()log 0,1a g x x a a =>≠的图象关于x 轴对称，且()g x 的图象过点()4,2. （1）若()()315f x f x ->-+成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意[]1,4x ∈，不等式()204x f x g m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. 51．（2021·四川高一开学考试）设函数()223,f x x ax a =-+∈R ．（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最小值()g a 的表达式；（2）求函数()g a 的最大值．五、双空题52．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且()01f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2021f =________．()411n i f i -==∑_____________．。

专题19：双变量问题1．已知函数2()1(0)f x lnx ax x a =--++>．（Ⅰ）若()f x 是定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()522f x f x ln +>-．【解析】（Ⅰ）2()1f x lnx ax x =--++，∴221()ax x f x x-+'=-令2()21(0)g x ax x x =-+>则△18a=-0a >，∴对称轴104x a=>①当18a 时，△0 ，()0g x ，()0f x '∴ ，故()f x 在(0,)+∞单调递减．②当108a <<时，△0>，方程2210ax x -+=有两个不相等的正根1x ，2x 不妨设12x x <，则当(0x ∈，12)()x x +∞时，()0f x '<，当1(x x ∈，2))x 时，()0f x '>，这时()f x 不是单调函数．综上，a 的取值范围是18a ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1(0,)8a ∈，()f x 有极小值点1x 和极大值2x ，且1212x x a+=，1212x x a=，2212111222()()2f x f x lnx ax x lnx ax x +=--+--++12121211()(1)(1)()222lnx lnx x x x x =-+----+++121211()()3(2)324ln x x x x ln a a=-+++=++，令11()(2)3,(0,]48g a ln a a a =++∈，则当1(0,)8a ∈时，221141()044a g x aa a -'=-=<，g ∴（a ）在1(0,8单调递减，所以1()(5228g a g ln >=-，故12()()522f x f x ln +>-．2．已知函数21()(0)2f x x x alnx a =-+>（1）若1a =，求()f x 的图象在(1，f （1）)处的切线方程；（2）若()f x 在定义域上是单调函数，求a 的取值范围；（3）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：12322()()4ln f x f x ++>-．【解析】（1）11,(1)2a f ==-，函数21()(0)2f x x x alnx a =-+>，可得1()1f x x x'=-+，f '∴（1）1=，∴切线方程为2230x y --=；（2）()1a f x x x'=-+依题意有()0f x ' 或()0f x ' 在(0,)+∞上恒成立，即2a x x -+或2a x x -+ 在(0,)+∞上恒成立，显然2a x x -+不可能恒成立，2a x x ∴-+ ，解得14a ；（3）由()1a f x x x'=-+，()0f x '=得20x x a -+=，即1x ，2x 是()0f x '=的两根，121x x ∴+=-，12x x a =，222121112221212121211111()()()()122222f x f x x x alnx x x alnx x x x x x x alnx x a alna a alna +=-++-+=+-+-+=--+=--+，由已知14a <，∴112244a lna ln ln ->->=-，∴2222ln alna aln >->-，∴12322()()4ln f x f x ++>-．3．设函数241()(0)f x lnx ax a a x=-+>．（1）若()f x 在定义域上为单调函数，求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，求12()()f x f x +的最小值．【解析】（1）221()(0,0)x ax f x x a x-+'=->>设2()21g x x ax =-+．①△280a =-，即0a < 时，()0g x 恒成立，()0f x ∴' ，()f x ∴在(0,)+∞上为减函数；②△0>，即a >时，()0g x =在(0,)+∞上有两相异实根，()f x ∴在(0,)+∞上不是单调函数，不合题意，综上，0a < ；（2）由（1）知，1x ，2x 为2210x ax -+=的两根，122a x x +=，1212x x =222121122441211()()2814a f x f x ln x ax ln x ax ln lna a x a x ∴+=-++-+=-++．设h （a ）22814a ln lna =-++，则h '（a ）(4)(4)2a a a+-=，h ∴（a）在4)上单调递减，在(4,)+∞上单调递增，h ∴（a ）min h =（4）5152ln =-，12()()f x f x ∴+的最小值为5152ln -．4．已知函数21()2(2f x lnx x ax a =+-为常数）．（1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12||1x x - ，求12|()()|f x f x -的取值范围．【解析】（1）21()2(0)2f x lnx x ax x =+->，222()x ax f x x a x x-+∴'=+-=，设2()2g x x ax =-+，(0,)x ∈+∞，()f x 是定义域上的单调函数，函数()g x 的图象为开口向上的抛物线，()0f x ∴' 在定义域上恒成立，即()0g x 在(0,)+∞上恒成立．又二次函数图象的对称轴为2a x =，且图象过定点(0,2)，∴02a 或20280aa ⎧>⎪⎨⎪-⎩，解得：a ∴实数a 的取值范围为(-∞，；（2）由（1）知()f x 的两个极值点1x ，2x 满足220x ax -+=，所以122x x =，12x x a +=，不妨设120x x <<<，则()f x 在1(x ，2)x 上是减函数，12()()f x f x ∴>，12|()()|f x f x ∴-12()()f x f x =-22111222112(2)22lnx x ax lnx x ax =+--+-22112121221()()()22x x x x x x x ln x =--+-+2212121()22x x x ln x =-+222222122222x lnx ln x =--+，令22t x =，则2t >，又12222||1x x x x -=- ，即22220x x --22x < ，2224t x ∴<= ．设12()222(24)2h t t lnt ln t t=--+< ，则22(2)()02t h t t-'=>，()h t ∴在(2，4]上单调递增，h （2）0=，h （4）3222ln =-，()(0h t ∴∈，322]2ln -，即12|()()|(0f x f x -∈，322]2ln -，所以12|()()|f x f x -的取值范围为)(0，322]2ln -．5．已知函数2()1(1)f x x aln x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <．证明：1221()()f x f x x x >．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，求导：222()211a x x af x x x x-+-'=-=--，1x <，令2()22g x x x a =-+-，则△44(2)()48a a =---=-，当480a - 时，即12a ，则2220x x a -+- 恒成立，则()f x 在(,1)-∞上单调减函数，当480a ->时，即12a <，则2220x x a -+-=的两个根为112x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当1(x x ∈，1)，()0f x '>，函数()f x 单调递增，不符合题意，综上可知：函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围1[2，)+∞；（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则()0f x '=，在1x <上有两个不等的实根，即2220x x a -+-=，在1x <有两个不等式的实根，1x ，2x ，由102a <<，则121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，且11(0,2x ∈，21(2x ∈，1)，则211112*********()1(1)(1)(1)2(1)(1)2(1)f x x aln x x x x x ln x x x ln x x x x -+--++-===-++-，同理可得：22221()(1)2(1)f x x x ln x x =-++-，则1221112221()()()2(1)2(1)f x f x x x x ln x x ln x x x -=-+---，22222212(1)2(1)x x lnx x ln x =-+---，令()212(1)2(1)g x x x lnx xln x =-+---，1(2x ∈，1)，求导，22()2[(1)]1xg x ln x x x x '=--++-，1(2x ∈，1)，由1(2x ∈，1)，则2201xx x+>-，则()0g x '>，则()g x 在1(2x ∈，1)，上单调递增，则1()()02g x g >=，则1221()()0f x f x x x ->，∴1221()()f x f x x x >成立．6．已知函数()f x lnx =．（1）若曲线()()1ag x f x x=+-在点(2，g （2）)处的切线与直线210x y +-=平行，求实数a 的值．（2）若(1)()()1b x h x f x x -=-+在定义域上是增函数，求实数b 的取值范围．（3）设m 、*n R ∈，且m n ≠，求证：||2m n lnm lnn m n --<+．【解析】（1）()1a g x lnx x=+-，21()a g x xx '=-（2分）g()x 在点(2，g （2）)处的切线与直线210x y +-=平行，∴11(2)4242a g a '=-=-⇒=（4分）（2）证：由(1)()1b x h x lnx x -=-+得：2221(1)(1)2(1)1()(1)(1)b x b x x b x h x x x x x +--+-+'=-=++()h x 在定义域上是增函数，()0h x ∴'>在(0,)+∞上恒成立22(1)10x b x ∴+-+>，即2212x x b x++<恒成立（6分）2211112222x x x x x ++=+++= 当且仅当11,222x x x ==时，等号成立2b ∴ ，即b 的取值范围是(-∞，2]（8分）（3）证：不妨设0m n >>，则1m n>要证||2m n lnm lnn m n--<+，即证2m n lnm lnn m n--<+，即2(1)1mm n lnm n n-<+（10分）设2(1)()(1)1x h x lnx x x -=->+由（2）知h()x 在(1,)+∞上递增，h∴()x h>（1）0=故2(1)01m m n ln m n n-->+，∴||2m n lnm lnn m n --<+成立（12分）7．已知函数()x lnx ϕ=．（1）若曲线()()1a g x x xϕ=+-在点(2，g （2）)处的切线与直线310x y +-=平行，求a 的值；（2）求证函数2(1)()()1x f x x x ϕ-=-+在(0,)+∞上为单调增函数；（3）设m ，n R +∈，且m n ≠，求证：||2m n lnm lnn m n--<+．【解析】（1）()()11(0)a a g x x lnx x xxφ=+-=+->，21()(0)ag x x x x '=->，曲线()()1a g x x xφ=+-在点(2，g （2）)处的切线与直线310x y +-=平行，∴1(2)324ag '=-=-，解得14a =；（2）证明：2(1)2(1)()()(0)11x x f x x lnx x x x φ--=-==->++，∴22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)x x x f x x x x x +---'=-=++ ，∴函数2(1)()()1x f x x x φ-=-+在(0,)+∞上为单调增函数；（3）不妨设0m n >>，则1m n>，要证||2m n lnm lnn m n--<+，即证2m n lnm lnn m n--<+，只需证121m m ln n n m n-<+，即证2(1)1m m n ln m n n->+，只需证2(1)01m m n ln m n n-->+，设2(1)()(1)1x h x lnx x x -=->+，由（2）得，()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，1x >，()h x h ∴>（1）0=，即2(1)01m m n ln m n n-->+，即2m n lnm lnn m n--<+．∴不等式||2m n lnm lnnm n --<+成立．8．已知函数2()1ax bf x x +=+在点(1-，(1))f -处的切线方程为30x y ++=．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设()g x lnx =，求证：()()g x f x 在[1x ∈，)+∞上恒成立；（Ⅲ）已知0a b <<，求证：222lnb lna a b a a b ->-+．【解析】（Ⅰ）将1x =-代入切线方程得2y =-∴(1)211b af --==-+，化简得4b a -=-222(1)()2()(1)a x ax b xf x x +-+'=+22()2(1)1442a b a b bf +-'-====-解得：2a =，2b =-．∴222()1x f x x -=+．（Ⅱ）由已知得2221x lnx x -+ 在[1，)+∞上恒成立化简2(1)22x lnx x +- 即2220x lnx lnx x +-+ 在[1，)+∞上恒成立设2()22h x x lnx lnx x =+-+，1()22h x xlnx x x'=++-1x ∴120,2xlnx x x+ ，即()0h x ' ()h x ∴在[1，)+∞上单调递增，()h x h （1）0=()()g x f x ∴ 在[1x ∈，)+∞上恒成立（Ⅲ）0a b<<∴1ba>，由（Ⅱ）知有222()1b b a ln ba a->+整理得222lnb lna a b aa b ->-+∴当0a b <<时，222lnb lna ab a a b ->-+．9．已知函数()(f x lnx mx m =+为常数）．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当322m -时，设21()()2g x f x x =+的两个极值点1x ，212()x x x <恰为2()2h x lnx ax x =--的零点，求1212()()2x x y x x h +'=-的最小值．【解析】（1）11()mx f x m xx+'=+=，0x >，当0m <时，由10mx +>，解得1x m<-，即当10x m<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；由10mx +<解得1x m>-，即当1x m>-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0m =时，1()0f x x'=>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，10mx +>，故()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增．所以当0m <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m-，单调递减区间为1(,)m-+∞；当0m 时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．（2）由21()2g x lnx mx x =++得211()x mx g x m x x x ++'=++=，由已知210x mx ++=有两个互异实根1x ，2x ，由根与系数的关系得12x x m +=-，121x x =，因为1x ，212()x x x <是()h x 的两个零点，故21111()20h x lnx x ax =--=①22222()20h x lnx x ax =--=②由②-①得：222212112()()0x ln x x a x x x ----=，解得2121212()x lnx a x x x x =-+-，因为2()2h x x a x '=--，得1212124()222x x x x h a x x ++'=--+，将2121212()x ln x a x x x x =-+-代入得：21212121122124()2[()]22x lnx x x x x h x x x x x x ++'=---++-22122121221122111221112(1)2()422[][2]1x x lnx x x x x x ln ln x x x x x x x x x x x x x x --=-+=--=---+-+-+，所以21221122111()(2[2]21x x x x x y x x h ln x x x -+'=-=-+，设211x t x =>，因为22221212129()22x x x x x x m +=++= ，所以221252x x + ，所以221212122152x x x x x x x x +=+ ，所以152t t + ，所以2t ．构造1()21t F t lnt t -=-+，得22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++，则1()21t F t lnt t -=-+在[2，)+∞上是增函数，所以2()(2)23min F x F ln ==-，即1212()(2x x y x x h +'=-的最小值为4223ln -．10．已知函数()()f x lnx mx m R =-∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当m 时，设2()2()g x f x x =+的两个极值点1x ，212()x x x <恰为2()h x lnx cx bx =--的零点，求1212()()2x x y x x h +=-'的最小值．【解析】()I 函数()f x lnx mx =-，∴11()mx f x m x x -'=-=，0x >；当0m >时，由10mx ->解得1x m <，即当10x m <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；由10mx -<解得1x m >，即当1x m >时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0m =时，1()0f x x'=>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，10mx ->，故()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；∴当0m >时，()f x 的单调递增区间为1(0,m ，单调递减区间为1(m，)+∞；当0m 时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；⋯（5分）22()()2()22II g x f x x lnx mx x =+=-+，则22(1)()x mx g x x-+'=，()g x '∴的两根1x ，2x 即为方程210x mx -+=的两根；又m ，∴△240m =->，12x x m +=，121x x =；⋯（7分）又1x ，2x 为2()h x lnx cx bx =--的零点，21110lnx cx bx ∴--=，22220lnx cx bx --=，两式相减得11212122()()()0x ln c x x x x b x x x --+--=，得121212()x lnx b c x x x x =-+-，而1()2h x cx b x'=--，1212122()[()]y x x c x x b x x ∴=--+-+1212121212122()[()()]x ln x x x c x x c x x x x x x =--+-+++-11212111222212()21x x x x x x ln ln x x x x x x --=-=-++，⋯（10分）令12(01)x t t x =<<，由2212()x x m +=得22212122x x x x m ++=，因为121x x =，两边同时除以12x x ，得212t m t++=，m ，故152t t + ，解得12t 或2t ，102t ∴< ；⋯（12分）设1()21t G t lnt t -=-+，2(1)()0(1)t G t t t --'∴=<+，则()y G t =在(0，1]2上是减函数，12()(223min G t G ln ∴==-+，即1212()(2x x y x x h +'=-的最小值为223ln -+．⋯（14分）。

专题03利用函数的单调性求参数取值范围一、单选题1．已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()232f x x x a '=+-，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x ¢³在R 上恒成立，所以4120a ∆=+≤即13a ≤-，故选：A.2．若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【解析】由ln 1a y x a x y x'=+⇒=+，因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立，即10a x +≥在[)1,+∞上恒成立，因为[)1,x ∞∈+，所以由100a x a a x x +≥⇒+≥⇒≥-，因为[)1,x ∞∈+，所以(,x -∈-∞-，于是有1a ≥-，故选：D3．若函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．（-1，1）B ．[)1,+∞C ．（-1，+∞）D ．（-1，0）【解析】()sin f x a x '=-，由题意得：()sin 0f x a x '=-≥，即sin a x ≥在(),-∞+∞上恒成立，因为[]sin 1,1y x =∈-，所以1a ≥恒成立，故实数a 的取值范围是[)1,+∞.故选：B4．若函数()2sin f x bx x =+在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增，则实数b 的取值范围是（）A ．0b ≥B ．0b >C ．b ≥D ．b >【解析】由题意()2cos 0f x b x '=+≥在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上恒成立，2cos b x ≥-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2cos y x =-是增函数，max 0y =（π2x =时取得），所以0b ≥．故选：A ．5．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)-+∞D ．(8,)-+∞【解析】由2()ln 2f x x ax =+-可得：1()2f x ax x'=+.因为函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以()0f x '>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即212a x >-在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解.设()21,1124,g x x x ⎛⎫∈-⎝=⎪⎭，由()30g x x -'=>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()g x 在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以()()114g g x g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.所以184a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭.故选：D 6．已知函数32()132x ax f x ax =+++存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(,0)(4,)-∞+∞ D ．(,0][4,)-∞+∞ 【解析】由题意，函数32()132x ax f x ax =+++，可得2()f x x ax a '=++，因为函数()f x 存在三个单调区间，可得()'f x 有两个不相等的实数根，则满足240a a ∆=->，解得0a <或4a >，即实数a 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ .故选：C.7．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．13a <£B ．4a ≥C ．23a -≤≤D ．14a <≤【解析】函数()219ln 2f x x x =-，()0x >.则()299x f x x x x-'=-=，因为()f x 在区间[1]a a -,上单调递减，则()0f x '≤在区间[1]a a -,上恒成立，即290x -≤，所以03x <≤在区间[1]a a -,上恒成立，所以103a a ->⎧⎨≤⎩，解得13a <£，故选：A.8．已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-【解析】因为函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()cos 2sin 0f x a x x '=-≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2tan a x ≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2tan y x =在π(,0)2-上单调递增知，max π2tan()24y =-=-，所以2a ≥-，故选：C9．若()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(],1-∞-C ．5,4⎛⎤-∞ ⎝⎦D ．[)1,+∞【解析】由1sin 2()()cos 24x f x a x x =--+，得1cos 2()sin 22xf x a x '=---，因为()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数，所以1cos 2()sin 022x f x a x '=---≤在R 上恒成立，即221cos2sin cos sin 1sin sin 22x a x x x x x ≤++=+=-+=215(sin )24x --+在R 上恒成立，由于1sin 1x -≤≤，所以215(1124a ---+=-≤．故选：B.10．若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在区间7,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,09⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],0-∞【解析】函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-()()1cos 23sin cos 412x a x x a x =+-+-()()()()2'sin 23cos sin 41cos sin 3cos sin 40f x x a x x a x x a x x a ∴=-+++-=-++++≤，对7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈恒成立.πcos sin sin 4x x x ⎛⎫ ⎪⎝++⎭ ，∴当7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈时，0cos sin 1x ≤+≤.令()()23401g t t at a t =-++≤≤，欲使()0g t ≤恒成立，只需满足231t a t ≤+，当01t ≤≤时，恒成立，即2min31t a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭，设[]311,4t m +=∈，13m t -=，222112203199999t m m m t m m -+==+-≥=+，当199m m =时，等号成立，即0a ≤.故选：D 11．若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-，且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A .二、多选题12．若函数21()9ln 2f x x x =-，在区间[]1,1m m -+上单调，则实数m 的取值范围可以是（）A ．4m =B ．2m ≤C ．12m <≤D ．03m <≤【解析】定义域为()0,∞+，299()x f x x x x'-=-=；由()0f x '≥得函数()f x 的增区间为[)3,+∞；由()0f x '≤得函数()f x 的减区间为(]0,3；因为()f x 在区间[]1,1m m -+上单调，所以1013m m ->⎧⎨+≤⎩或13m -≥解得12m <≤或4m ≥；结合选项可得A,C 正确.故选：AC.三、填空题13．若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【解析】()'2f x x a =-+，由于函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，所以()'20f x x a =-+=有两个不相等的实数根，所以0a >.故答案为：()0,∞+14．已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>，若()f x 的单调递减区间是(0,4)，则实数k 的值为________.【解析】由322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>，得'2()36(1)f x kx k x =+-，因为()f x 的单调递减区间是(0,4)，所以'()0f x <的解集为(0,4)，所以4x =是方程236(1)0kx k x +-=的一个根，所以126(1)0k k +-=，解得13k =15．若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增，则实数m 的取值范围为________.【解析】由()2sin x f x e mx x =+-，得()'2cos xf x e mx x =+-，若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增，则()'2cos 0xf x e mx x =+-在[)0,∞+上恒成立，令()2cos xg x e mx x =+-，0x，则()'2sin x g x e m x =++，再令()2sin xh x e m x =++，0x，则()'cos x h x e x =+，因为0x ，所以01x e e = ，所以()'cos 0xh x e x =+在[)0,∞+上恒成立，则()h x 在[)0,∞+上单调递增，故()min ()012h x h m ==+；当120m +时，得12m - ，此时()()'0g x h x = ，则()g x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00g x g =，此时符合()'2cos 0x f x e mx x =+- 在[)0,∞+上恒成立；当120m +<时，得12m <-，()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，故[)00,x x ∈时，()0h x <，即()'0g x <，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()'0g x >，故()g x 在[)00,x 上单调递减，则当[)00,x x ∈时，()()00g x g =，此时()'2cos 0x f x e mx x =+- ，不合题意；综上，实数m 的取值范围为12m - .16．已知函数1()2ln f x x x x=--，21()(1)2x g x x e ax =--，R a ∈.对于任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，必有()()()()12120f x f x g x g x ->-，则a 的取值范围是___________.【解析】()f x 定义城为(0,)+∞.22212(1)()10x f x x x x-'=+-=≥.故()f x 在(1,)+∞内单调递增.对于任意12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()120f x f x -<.故()()120g x g x -<，()()12g x g x <，()g x 在(1,)+∞内单调递增.故()()0x xg x xe ax a e x '=-=-≥在(1,)+∞恒成立，即x a e ≤恒成立，可知a e ≤.∴a 的取值范围为(,]e -∞.17．已知函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调，则k 的取值范围是______.【解析】22()341f x x kx '=-+，因为函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调，所以223410x kx -+=必有解，当223410x kx -+=只有一个解时，22()3410f x x kx '=-+≥得出函数()f x 在R 上单调递增，与题干矛盾，故223410x kx -+=必有两个不等实根则()2044310k ∆>⇒--⨯⨯>，解得k <或k >18．若实数()0,2a ∈，()0,2b ∈，则函数()232211432f x a x b x x =+-在区间()1,+∞单调递增的概率为___________.【解析】由题意222()40f x a x b x ¢=+-³在(1,)+∞上恒成立，二次函数的对称轴是2202bx a=-<，因此()'f x 在(1,)+∞上单调递增，所以22(1)40f a b ¢=+-³，易知满足02,02a b <<<<的点(,)a b 据区域为图中正方形OABC ，面积为224⨯=，又满足2240a b +-³的(,)a b 在正方形OABC 在圆224x y +=外部的部分，面积为214244p p -´=-，所以概率为44P π-=．19．若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.【解析】 函数()324132x af x x x =-++，'2()4f x x ax ∴=-+，若函数()f x 在区间(1,4)上不单调，则()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，由240x ax -+=得4a x x =+，令4()g x x x =+，(1,4)x ∈，'2(2)(2)()x x g x x +-=，()g x ∴在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g ==，()411+51g ==，()444+54g ==，所以45a <<.故答案为：()45，.四、解答题20．已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值.【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞（2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <()f x 的单调递减区间为(，又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-1=，即3a =.21．已知函数()ln af x x x=-.(1)若3a =-，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围.【解析】(1)当3a =-时，3()ln (0)f x x x x =+>，则'22133()x f x x x x-=-=，令'()0f x =，得3x =，x ，'()f x 和()f x 的变化情况如下表x(0,3)3(3,)+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增所以当3x =时，()f x 取得极小值(3)ln 31f =+，无极大值(2)由()ln a f x x x =-（0x >），得()'221a x a f x x x x+=+=（0x >），当0a ≥时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，当0a <时，由'()0f x =，得x a =-，x ，'()f x 和()f x 的变化情况如下表x (0,)a -a-(,)a -+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增因为()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以a e -≤，得0e a -≤<，综上，a 的取值范围为[,)e -+∞22．已知a R ∈，函数2()()e (xf x x ax x R =-+∈，e 为自然对数的底数）．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围；【解析】(1)当2a =时，2()(2)e x f x x x =-+，2()(2)e x f x x '=--令()0f x '>，得220x -<，∴x <()f x ∴的单调递增区间是(；(2)2()[(2)]e x f x x a x a '=-+-+，若()f x 在(1,1)-内单调递增，即当11x -<<时，()0f x '，即2(2)0x a x a -+-+对(1,1)x ∈-恒成立，即111a x x +-+ 对(1,1)x ∈-恒成立，令111y x x =+-+，则2110(1)y x '=+>+，111y x x ∴=+-+在(1,1)-上单调递增，1311112y ∴<+-=+，32a ∴ ，当32a =时，当且仅当0x =时，()0f x '=，a ∴的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．23．已知函数1()xxf x ax e +=-．(1)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，求实数a ，b 的值；(2)若函数()f x 在区间(0,2)上存在．．单调增区间，求实数a 的取值范围；(3)若()f x 在区间(0,2)上存在极大值，求实数a 的取值范围（直接写出结果）．【解析】(1)因为1(1)()x x x xf x a a e e'-+=-=+，所以(0)f a '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，所以切线斜率为1，即1a =，(0)1f b =-=，所以1,1a b ==-．(2)因为函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间，所以()0x xf x a e='+>在(0,2)上有解，即只需()'f x 在(0,2)上的最大值大于0即可．令1()(),()x x x xh x f x a h x e e-==+=''，当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '>为增函数，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x '<为减函数，所以，当1x =时，()h x 取最大值1a e +，故只需10a e +>，即1a e >-．所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．(3)212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 24．1.已知函数()()31R f x x ax a =--∈.(1)若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的单调递减区间是)-，求实数a 的值；(3)若函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，求实数a 的取值范围.【解析】(1)易知()23f x x a '=-.因为()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥恒成立，即23a x ≤恒成立，故()2min30a x≤=.经检验，当0a =时，符合题意，故实数a 的取值范围是(],0-∞.(2)由（1），得()23f x x a '=-.因为()f x 的单调递减区间是()1,1-，所以不等式230x a -<的解集为()1,1-，所以-1和1是方程230x a -=的两个实根，所以3a =.(3)由（1），得()23f x x a '=-.因为函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，所以()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立，即23a x ≥在()1,1x ∈-上恒成立.又函数23y x =在()1,1-上的值域为[)0,3，所以3a ≥.故实数a 的取值范围是[)3,+∞.25．已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的最值（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，则()()2211121()21x x x x f x x x x x+---'=-+=-=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以当1x =时，()f x 有最大值0，无最小值；（2）21()2f x a x a x-'=+，因为函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数，所以21()20f x a x a x=-+≤'在区间[1,)+∞上恒成立，令()212g x a x a x =-+，则()22120g x a x'=--<，所以()g x 在区间[1,)+∞上递减，所以()()2max 121g x g a a ==-++，则2210a a -++≤，即2210≥--a a ，即()()2110a a +-≥，解得12a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围1(,[1,)2-∞-⋃+∞.26．已知函数()22f x x a x x =⋅-+.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；（2）若()22f x x a x x =⋅-+在区间[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()22·21||()1f x x x x x x =+=--，则2()341'=-+f x x x ，所以()(252,2)f f '==，所以，所求切线方程为25(2)y x -=-，即580x y --=.（2）设()()2201g x x x a x =+≤≤-，则()2(1)0g x x '=-≤，所以()g x 在[]0,1上单调递减，从而()()()10g g x g ≤≤，即()1a g x a ≤≤-.（i ）当1a ≥时，()10g x a ≥≥-，则()22()f x x x x a -=+，则2()34f x x x a '=-+，若()f x 在[]0,1上单调递增，则2()340f x x x a '=-+≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，即234a x x ≥-+.因为2224343(33x x x -+=--+，所以当23x =时，2434()3max x x +=-，所以43a ≥，又1a ≥，此时a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（ii ）当0a ≤时，()0g x ≤，则()2()2f x x x x a =-+-，则2()34f x x x a '=-+-，若()f x 在[]0,1上单调递增，则2()340f x x x a '=-+-≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，即234a x x ≤-+.因为2224343(33x x x -+=--+，所以当0x =时，2min 340()x x +=-，所以0a ≤，此时a 的取值范围为(,0]-∞.（iii ）当01a <<时，则存在唯一的()00,1x ∈，使得()00g x =.当()100,x x ∈时，()10g x >，即存在()010,1x x ∈，且10x x <，使得()()10g x g x >，从而()()1100x g x x g x >，即()()10f x f x >，这与“()f x 在[]0,1上为增函数”矛盾，此时不合题意.综上，实数a 的取值范围(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭27．已知函数()ln f x ax x =-，()e 2ax g x x =+，其中a ∈R ．(1)当2a =时，求函数()f x 的极值；(2)若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当2a =时，()2ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞，则1()2f x x'=-，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以()f x 在12x =处取得极小值，且11ln 22f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值．(2)由题意知，1()f x a x'=-，()e 2ax g x a '=+．当0a >时，()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，而()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故必存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上单调递增；当0a =时，1()0f x x '=-<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在(0,)+∞上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；当0a <时，1()0f x a x '=-<，即()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在12,ln a a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在12ln ,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上有相同的单调性，则有12ln 0a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得2a <-．综上可知，a 的取值范围为(,2)(0,)-∞-+∞ ．。

专题突破练5利用导数求参数的值或范围1.(2021·广东惠州期中)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若x>1时,f(x)>0,求实数a的取值范围..2.(2021·辽宁大连联考)已知f(x)=x+a ln x+1e x(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a<0时,若不等式f(x)≥x a在区间(1,+∞)上恒成立,求实数a的最小值.3.(2021·江苏六校联合第四次适应性考试)已知函数f(x)=ln2(x+1)-x 2x+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)若不等式1+1nn+a≤e对任意n∈N*恒成立,求实数a的取值范围.4.(2021·广东七校联考)已知函数f(x)=ln x-ax.(1)若函数f(x)在定义域上的最大值为1,求实数a的值;(2)设函数h(x)=(x-2)e x+f(x),当a=1时,h(x)≤b对任意的x∈12,1恒成立,求满足条件的实数b的最小整数值.5.(2021·江苏泰州二模)已知函数f(x)=1e x +ax,g(x)=ln x+1x.(1)当x>0,a≤0时,求证:f(x)<g(x);(2)当x>0时,若f(x)>g(x+1),求实数a的取值范围.6.(2021·浙江湖州期末)已知函数f(x)=a ln x+1x+2x-x2.(1)若0<a<2,试讨论函数f(x)的单调性;(2)若存在实数a∈[1,+∞),使得f(x)+f'(x)≤2对于任意的x≥m恒成立,求实数m的取值范围.专题突破练5利用导数求参数的值或范围1.解(1)当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4x+4,所以f'(x)=ln x+1x -3,所以f'(1)=11+ln 1-3=-2,又f(1)=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.(2)令g(x)=f'(x)=ln x+1x +1-a,则g'(x)=1x−1x2=x-1x2.当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,f'(1)=2-a.①当a≤2时,f'(1)≥0,故f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,且f(1)=0.所以f(x)>0,符合题意;②当a>2时,因为f'(1)=2-a<0,f'(e a)=a+1e a +1-a=1e a+1>0,且f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以∃x0∈(1,e a),使得f'(x0)=0,所以当x∈(1,x0)时,f(x)单调递减,而f(1)=0,所以f(x0)<0,不符合题意.综上,实数a的取值范围是(-∞,2].2.解(1)f'(x)=1+ax −1e x,依题意f'(x)=1+ax−1e x≥0在区间[1,2]上恒成立,即a≥xe x-x(x∈[1,2])恒成立.令g(x)=xe x-x,则当x∈[1,2]时,g'(x)=1-xe x-1<0,所以g (x )在区间[1,2]上单调递减,因此g (x )max =g (1)=1-ee .故实数a 的取值范围是1-e e,+∞.(2)不等式f (x )≥x a 即x+a ln x+1e x ≥x a , 所以x+1e x ≥x a -a ln x ,即x+1e x ≥x a -ln x a . 因此-ln e -x +e -x ≥x a -ln x a (*).令h (x )=x-ln x ,则(*)式即为h (e -x )≥h (x a ). 由于h'(x )=1-1x =x -1x ,所以当x>1时,h'(x )>0,当0<x<1时,h'(x )<0,所以h (x )在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.又因为x>1,且a<0,所以0<e -x <1e <1,0<x a <1,因此e -x ≤x a ,两边取自然对数得-x ≤a ln x ,又x>1,所以ln x>0,于是a ≥-xlnx . 令p (x )=-xlnx ,则p'(x )=-lnx+1(lnx )2,由p'(x )=0得x=e,所以当1<x<e 时,p'(x )>0,当x>e时,p'(x )<0,所以p (x )在区间(1,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减.故p (x )在x=e 处取得极大值亦即最大值,且p (e)=-e, 故-e ≤a<0,即实数a 的最小值为-e .3.解 (1)f (x )的定义域为(-1,+∞),f'(x )=2ln (x+1)x+1−x 2+2x(x+1)2=2(x+1)ln (x+1)-x 2-2x(x+1)2.令g (x )=2(x+1)ln(x+1)-x 2-2x ,x ∈(-1,+∞),则g'(x )=2ln(x+1)-2x ,令h (x )=2ln(x+1)-2x ,x ∈(-1,+∞),则h'(x )=2x+1-2,当-1<x<0时,h'(x )>0,当x>0时,h'(x )<0,所以h (x )在区间(-1,0)上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减,又h (0)=0,故h (x )≤0,即当x>-1时,g'(x )≤0,所以g (x )在区间(-1,+∞)上单调递减,于是当-1<x<0时,g (x )>g (0)=0,当x>0时,g (x )<g (0)=0,所以当-1<x<0时,f'(x )>0,当x>0时,f'(x )<0,所以f (x )的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞).(2)不等式1+1n n+a≤e(n ∈N *)等价于(n+a )ln1+1n ≤1,又1+1n >1,所以ln 1+1n >0,故a ≤1ln (1+1n )-n 对∀n ∈N *恒成立.设φ(x)=1ln(x+1)−1x,x∈(0,1],则φ'(x)=(x+1)ln2(x+1)-x2x2(x+1)ln2(x+1)=f(x)x2ln2(x+1),又f(x)≤f(0)=0,故当x∈(0,1]时,φ'(x)<0,所以φ(x)在区间(0,1]上单调递减,于是φ(x)≥φ(1)=1ln2-1,故a≤1ln2-1,所以实数a的取值范围为-∞,1ln2-1.4.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a.当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,不存在最大值.当a>0时,令f'(x)=1x-a=0得x=1a,且x∈0,1a时,f'(x)>0,当x∈1a,+∞时,f'(x)<0,所以f(x)max=f(x)极大值=f(1a)=-ln a-1.依题意-ln a-1=1,解得a=1e2.(2)由题意,h(x)=(x-2)e x+ln x-ax,当a=1时,h(x)≤b即(x-2)e x+ln x-x≤b.令g(x)=(x-2)e x+ln x-x,则g'(x)=e x(x-1)+1x -1=(1-x)·1-xexx.令h(x)=1-x e x,则h'(x)=-e x(x+1).当x∈12,1时,h'(x)<0,所以h(x)单调递减,而h(12)=1-√e2>0,h(1)=1-e<0,所以存在x0∈12,1,使得h(x0)=1-x0e x0=0.于是当x∈12,x0时,h(x)>0,又1-x>0,所以g'(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0,又1-x>0,所以g'(x)<0, 因此g(x)在x=x0处取得极大值亦即最大值,且g(x0)=(x0-2)e x0+ln x0-x0=1-2x0+1x0.由于x0∈12,1,所以x0+1x0∈2,52,因此g(x0)∈(-4,-3).又由上可知,b≥g(x0),所以实数b的最小整数值为-3.5.(1)证明因为g(x)=ln x+1x ,所以g'(x)=1x−1x2=x-1x2.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=1.所以当x=1时,函数g(x)取得最小值1.因为f (x )=1e x +ax ,所以f'(x )=-1e x +a ,由a ≤0得f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,则f (x )<f (0)=1,所以f (x )<g (x ).(2)解 令h (x )=f (x )-g (x+1)=1e x −1x+1+ax-ln(x+1).令F (x )=e x -x-1,x>0,则F'(x )=e x -1>0,则函数F (x )在区间(0,+∞)上单调递增, 所以e x -x-1>F (0)=0,即e x >x+1(x>0). 所以x>0时,1e x −1x+1<0.令φ(x )=ax-ln(x+1)(x>0),则φ'(x )=a-1x+1.当a ≤0时,φ'(x )<0,所以φ(x )在区间(0,+∞)上单调递减,则φ(x )<φ(0)=0,因此当x>0时,f (x )-g (x+1)=1e x −1x+1+ax-ln(x+1)<0,所以f (x )<g (x+1),不符合题意;当0<a<1时,由φ'(x )<0,得x ∈(0,1a -1),所以φ(x )在区间(0,1a -1)上单调递减,则φ(x )<φ(0)=0,因此当0<x<1a -1时,f (x )-g (x+1)=1e x −1x+1+ax-ln(x+1)<0,则f (x )<g (x+1),不符合题意;当a ≥1时,h'(x )=-1e x+1(x+1)2+a-1x+1>-1x+1+1(x+1)2+1-1x+1=x 2(x+1)2≥0,所以h (x )在区间(0,+∞)上单调递增,则h (x )>h (0)=0,即f (x )>g (x+1).综上可知,实数a 的取值范围为[1,+∞).6.解 (1)由题意可知,函数f (x )的定义域是(0,+∞).因为0<a<2,f'(x )=a (1x -1x 2)+2-2x=-(x -1)(2x 2-a )x 2=-2(x -1)(x+√a 2)(x -√a2)x 2,所以由f'(x )>0,得√a 2<x<1,由f'(x )<0,得x>1或0<x<√a2,故函数f (x )在区间(0,√a2)上单调递减,在区间(√a2,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.(2)f (x )+f'(x )≤2,即a ln x+2ax −ax 2-x 2≤0,所以存在a ∈[1,+∞),使得1x 2ln x+2x −1x 2≤1a ,即1x 2ln x+2x −1x 2≤1对于任意x ≥m 恒成立,即ln x+2x −1x 2-x 2≤0对任意x ≥m 恒成立.令g (x )=ln x+2x −1x 2-x 2,则g (x )≤0对任意x ≥m 恒成立.g'(x )=x 2-2x+2-2x 4x 3=-2x 4-x 2+2x -2x 3,设h(x)=2x4-x2+2x-2,则h'(x)=8x3-2(x-1).当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)在区间(0,1)上单调递增,又h(0)<0,h(1)>0,故存在唯一x0∈(0,1),使得h(x0)=0,当x∈(x0,1)时,h(x)>0,则g'(x)<0,则g(x)单调递减,故g(x)>g(1)=0,不符合题意,故m≥1.下面证明当x≥1时,g(x)≤0恒成立.因为h(x)=2x4-x2+2x-2=x2(2x2-1)+2(x-1)>0,所以g'(x)<0,即g(x)在区间[1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=0,综上,实数m的取值范围是[1,+∞).。

第五章 专题46 《三角函数》综合测试卷(B ）第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·湖北·3） A ．2sin15cos15︒︒ B ．22sin 15cos 15︒+︒ C ．22sin 151︒-D ．22cos 15sin 15︒-︒2.（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．23-C ．23D ．793．（2021·上海市光明中学高一期中）已知180360α<<，cos 2α的值等于（ ） A 1cos 2α+B 1cos 2α-C ．1cos 2α+D ．1cos 2α--4．（2021·上海市光明中学高一期中）已知cos100m ︒=，则tan50︒等于（ ） A 21m-B 21m-C 21m -D 21m -5．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知12cos(),cos()33αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（ ）A ．0B ．12-C ．12D ．0或±126．（2022·上海市向明中学高一期末）要得到函数2)4y x π+的图象，只需将函数2y x =的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 7．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ） A ．[π，2π）B ．9,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．139,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．917,88ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）定义:正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=.已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x +≥对任意的实数,2x x k k Z ππ∈⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．cos y x =B ．cos y x =C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan cos y x x =-10．（2022·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角α的始边为x 的正半轴，终边经过点(1,2)-，则下列式子正确的是（ ） A ．sin cos 1sin 7cos 9αααα+=--B ．5cos(5)πα-=C ．2232sin sin cos 3cos 5αααα+-=D ．若α为钝角，则223ππα<<11．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）已知函数())222sin cos 3sin cos f x x x x x =-，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有( ) A ．对任意的x ∈R ，都有()23f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，可以得到偶函数 C ．函数()y f x =在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数D ．“函数()y f x =取得最大值”的一个充分条件是“12x π=”12．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）将函数()sin f x x =的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到()g x 的图象，则（ ）A ．函数π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数B ．π6x =-是函数()g x 的一个零点C ．函数()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 的图象关于直线π12x =对称 第II 卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知函数π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若存在12,x x ∈R ，有()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为______．14．（2021·上海市光明中学高一期中）已知0πα<<，1sin cos 2αα+=，则cos α=____________.15．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）若()13f θ=，则tan θ的值为______；（2）若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______. 16．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=，则tan β的最大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·福建漳州·高一期末）已知,A B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限，记AOB α∠=且3sin 5α=. (1)求点B 的坐标；(2)求()()sin sin 24tan ππααπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-的值.18．（2022·上海市金汇高级中学高一期末）函数()3sin(2)6f x x π=+的部分图象如图所示．(1)写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；(2)求()f x 在区间[,]122ππ上的最大值和最小值．19．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知ππ(0,),(,0)22αβ∈∈-，32cos(),sin 5αββ-== (1)求α；(2)若角γ的终边落在点(1,2)P -，求cos()γα+的值.20．（2022·内蒙古·满洲里远方中学高一期末）已知函数()sin cos ()f x x x x R =-∈. (1)求函数()(π)y f x f x =⋅-的单调递增区间；(2)求函数2π()(2)4y f x f x =+-的值域.21．（2021·江苏苏州·高一期末）已知2sin 4sin22αα=-.(1)求()()()cos 1sin 223sin sin 2παπαπαπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值；(2)若()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan 6tan 10ββ+-=，求2αβ+的值.22．（2020·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）已知函数π3()6sin()62cos f x x x =-+．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．。

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。

专题3 集合的基本运算题组1 Venn图表达的集合关系及应用1.集合A＝，B＝，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A.7B.8C.15D.162.定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D3.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，求该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？(2)这三天售出的商品最少有多少种？题组2 并集的概念及运算4.设集合I ＝，A ⊆I ，若把满足M ∪A ＝I 的集合M 叫做集合A 的配集，则A ＝的配集有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 5.设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()R A B (⋃= ) A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >6.点集A ＝{(x ，y )|x <0}，B ＝{(x ，y )|y <0}，则A ∪B 中的元素不可能在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0)}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B 等于( )A.{x |－1<x <3}B.{x |－1<x <1}C.{x |1<x <2}D.{x |2<x <3}8.设集合S ＝{x ||x －2|＞3}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A.－3＜a ＜－1B.－3≤a ≤－1C.a ≤－3或a ≥－1D.a ＜－3或a ＞－19.已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x 2－6x ＋5>0}，是否存在实数a ，使得A ∪B ＝R ，若存在，求出a 的取值集合，若不存在，说明理由.题组3 交集的概念及运算10.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＝0，x ∈Z }，则A ∩B 等于( )A.{1}B.{2}C.{－1,2}D.{1,2,3}11.已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于()A.{0,1,2}B.{－1,0,1,2}C.{－1,0,2,3}D.{0,1,2,3}12.已知集合A＝{x∈R|≤0}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)<0}.若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.{1}∪[2，＋∞)D.(1，＋∞)13.已知方程x2＋mx－6＝0与x2＋nx＋2＝0的解集分别为A和B，且A∩B＝{2}，则m＋n＝________.14.已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}.(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.题组4 并集、交集的综合运算15.已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A.N⊆MB.M∪N＝MC.M∩N＝ND.M∩N＝{2}16.对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝3x，x∈R}，B ＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B等于()A.[0,2)B.(0,2]C.(－∞，0]∪(2，＋∞)D.(－∞，0)∪[2，＋∞)17.已知集合A＝{x|}，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.18.已知集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}.(1)若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求a，b的值；(2)若∅B A，求实数a，b的值.19.已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)当M∩N＝M时，求实数m的值.20.设集合P＝{x|x2－x－6＜0}，Q＝{x|2a≤x≤a＋3}.(1)若P∪Q＝P，求实数a的取值范围；(2)若P∩Q＝∅，求实数a的取值范围；(3)若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值.题组5 集合的交集、并集性质及应用21.已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则()A.A∩B＝AB.A∩B⊇AC.A∪B＝BD.A∩B⊆A22.已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A.0或B.0或3C.1或D.1或323.已知集合A＝{x|0<x<2}，集合B＝{x|－1<x<1}，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围为()A.{m|－2≤m≤1}B.C.D.24.已知集合A＝{a，b}，集合B满足A∪B＝{a，b}，则满足条件的集合B的个数有()A.4B.3C.2D.125.已知A＝{2,5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0}，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求p、q的值.题组6 补集的概念及运算26.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A等于()A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}27.若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x≤2}28.设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.29.已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}；(1)若∁U(∁U B)＝{0,1}，求实数a的值；(2)若∁U A＝{3,4}，求实数a的值.题组7 交并补集的综合问题30.已知全集U＝R，集合M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|x>1}，则下列说法正确的是()A.M∩N＝NB.M∩(∁U N)＝∅C.M∪N＝UD.M⊆(∁U N)31.若集合M＝{y|y＝x2，x∈Z}，N＝{x|x2－6x－27≥0，x∈R}，全集U＝R，则M∩(∁U N)的真子集的个数是()A.15B.7C.16D.832.关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围.33.已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y|y＝x2－x＋，0≤x≤3}.(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)当取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁R A)∩B.。

求实数a的取值范围的题同学们，今天咱们来聊一聊求实数a的取值范围这个有趣的事儿。

先给大家讲个小故事吧。

想象一下，咱们班要组织一次活动，这个活动呢，需要满足一些条件。

比如说，我们要分组，每组的人数必须是正整数。

如果我们设每组的人数为a，那这个a就不能是负数，也不能是小数或者分数，只能是像1、2、3这样的正整数，这就是一种a的取值范围。

那在数学里，有好多这样的情况呢。

就像有一次，我在做一道数学题。

题目说有一个长方形，它的长是5厘米，宽是a厘米，这个长方形的面积要大于10平方厘米。

那我们都知道长方形的面积等于长乘以宽，也就是5乘以a要大于10。

那我们可以这样想，5乘以2等于10，要让结果大于10，a就必须大于2。

所以这里a的取值范围就是大于2的所有实数。

就好像在一群数字小伙伴里，我们把大于2的那些数字都挑出来，它们就是满足这个长方形面积要求的a的取值。

再比如说，还有一道题是关于温度的。

有一个温度计，上面显示的温度是a摄氏度，这个温度要在0摄氏度到10摄氏度之间。

那这个时候，a的取值范围就是0到10之间的所有实数。

就像我们在数轴上看，从0这个点到10这个点之间的所有数字，就像一群小蚂蚁排着队在这个区间里，这些小蚂蚁代表的数字就是a可能的取值。

有时候呢，还会有更复杂一点的情况。

就像有个式子是2a + 3 < 9。

我们可以先把3移到右边，就变成2a < 9 - 3，也就是2a < 6。

然后再把2除过去，a就小于3了。

这就好比我们在分糖果，2个小朋友每人拿a颗糖，再加上3颗糖总共不能超过9颗糖，那每个小朋友能拿到的糖数a就必须小于3。

这样我们就求出了a的取值范围是小于3的所有实数。

同学们，求实数a的取值范围就像是在数字的世界里找小伙伴，我们要根据题目给的各种条件，像找宝藏一样把符合条件的那些数字找出来。

有时候条件很简单，有时候条件会有点复杂，但是只要我们认真思考，就像我们解决生活中的小问题一样，总能找到答案的。