第14讲数列数表综合卷

第14讲数阵问题（数列群问题）一．选择题（共7小题）1．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，⋯，依次循环的规律分为（1），(3,5)，(7，9，11)，(13)，(15,17)，(19，21，23)，(25)，⋯，则第50个括号内各数之和为()A．98B．197C．390D．392【解析】解：由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{21}n-的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{21}n-的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，⨯-=，第二个数是2991197所以第50个括号内各数之和为195197392+=，故选：D．2．把数列{21}n+依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，⋯，循环分为：（3），(5,7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25,27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，⋯，则第60个括号内各数之和为()A．1112B．1168C．1176D．1192【解析】解：括号里的数有规律：即每四个一组，里面的数都是123410+++=，所以到第60个括号时共有数(1234)15150+++⨯=个数，第150个数是21501301+-+-+-=，⨯+=．所以第60个括号里的数之和为301(3012)(3014)(3016)1192故选：D．3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N：第2017行的第N项为2的正整数幂．已知10=，那么该款软件的激活码是()21024A ．1040B ．1045C ．1060D ．1065【解析】解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n 行的公差为12n -，记第n 行的第m 个数为(,)f n m ，则(f n ，1)(1f n =-，1)(1f n +-，2)2(1f n =-，21)2n -+，∴1(,1)(1,1)1224n n f n f n --=+， 算得(f n ，21)(1)2n n -=+(f n ⇒，)(m f n =，11)(1)2n m -+-22(21)()n m n n N -+=+-∈，第2017行的第N 项为2的正整数幂，201722(220171)2k N -∴+-=， 即20162(1008)2k N +=， N 最小四位整数．当1040N =，满足题意， 故选：A ．4．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式02，12，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．110B ．220C ．330D ．440【解析】由题意可知：02第一项，012,2第二项，0122,2,2第三项，01212,2,2,2n n -⋯⋯第项，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，⋯，21n -，每项含有的项数为：1，2，3，⋯，n ， 总共的项数为(1)1232n n N n +=+++⋯+=， 所有项数的和为12312312(21):21212121(2222)2221n nnn n S n n n +--+-+-+⋯+-=+++⋯+-=-=---，由题意可知：12n +为2的整数幂．只需将2n --消去即可， 则①12(2)0n ++--=，解得：1n =，总共有(11)1232+⨯+=，不满足100N >， ②124(2)0n +++--=，解得：5n =，总共有(15)53182+⨯+=，不满足100N >， ③1248(2)0n ++++--=，解得：13n =，总共有(113)134952+⨯+=，不满足100N >， ④124816(2)0n +++++--=，解得：29n =，总共有(129)2954402+⨯+=，满足100N >， ∴该款软件的激活码440．故选：D ．5．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为( )A ．13B ．14C ．15D ．16【解析】解：第i 行第j 列的数记为ij A ，那么每一组i 与j 的组合就是表中的一个数， 因为第一行数组成的数列1(1,2)j A j =⋯是以2为首相，公差为1的等差数列， 所以12(1)11j A j j =+-⨯=+，所以第j 列数组成的数列(1ij A i =，2，)⋯是以1j +为首项，公差为j 的等差数列， 所以(1)(1)1ij A j i j ij =++-⨯=+， 令1145ij A ij =+=， 则4214423ij ==⨯，所以145出现的次数为(41)(21)15++=． 故选：C ．6．设()f n *)n N ∈的整数，如f （1）1=，f （2）1=，f （3）2=，f （4）2=，f （5）2=，⋯，若正整数m 满足11114034(1)(2)(3)()f f f f m +++⋯+=，则(m = ) A ．20162017⨯ B ．22017 C ．20172018⨯ D ．20182019⨯【解析】解：第一组：11(1)f =，11(2)f =，共2个，之和为2； 第二组：11(3)2f =，11(4)2f =，11(5)2f =，11(6)2f =，共4个，之和为2； 第三组：11(7)3f =，11(8)3f =，11(9)3f =，11(10)3f =，11(11)3f =，11(12)3f =，6Fong 个，之和为2； 第四组：11(13)4f =，11(14)4f =，11(20)4f ⋯=，共8个，之和为2； ⋯第n 组：共2n 个，之和为2； ∴1111403422017(1)(2)(3)()f f f f m +++⋯+==⨯， 故一共有2017组， 则20172016201722201720182m ⨯=⨯+⨯=⨯， 故选：C ．7．如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推．若2013是第m 行从左至右算的第n 个数字，则(,)m n 为( )A ．(63,60)B ．(63,4)C ．(64,61)D ．(64,4)【解析】解：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大，可得第63行的数字从左向右依次减小， 可求出第63行最左边的一个数是63(631)20162⨯+=，从左至右的第4个数应是201632013-=． 故2013在第63行，第4列， 故选：B．二．填空题（共8小题）8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合{}110110011|2222,,1,,,,01k k k k k k k A x x a a a a k N a a a a --+-==⨯+⨯+⋯+⨯+⨯∈=⋯=或．例如：1{2A =，3}，2{4A =，5，6，7}，若将集合4A 的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为 376 ；定义()()0120120,,,,,11,,,,,1k k k x a a a a f x x A x a a a a ⋯⎧=∈⎨⋯⎩的表达式中等于的个数为偶数的表达式中等于的个数为奇数现指定5k =，将集合{|()1x f x =，}k x A ∈的元素从小到大排列组成数列{}n c ，若将{}n c 的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为 ． 【解析】解：集合43210443210{|22222}A n n a a a a a ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 当41a =，01230a a a a ====时，16n =， 当012341a a a a a =====时，31n =，所以4{16A =，17，18，⋯，31}共有16个元素，故激活码为16(1631)3762⨯+=；结合二进制表示，当5k =时，{}n c 的各项可以看成首位为1的六位二进制数， 对于41a =，符合条件()1f x =的有8个数，同理，对于31a =，21a =，11a =，01a =时，符合条件的也分别有8个数， 故激活码为5432101628(22222)760⨯+⨯++++=， 故答案为376；760．9．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行：数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第5个数字为 195 ．【解析】解：由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，故前1n-行共有：(1)12(1)2n nn-++⋯+-=个整数，故第n行的第一个数为：(1)12n n-+，第20行的数字从左向右依次增大，可求出第20行最左边的一个数是191，第20行从左至右的第5个数字应是195．故答案为：195．10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，⋯，则在该数列中，第35项是136．【解析】解：奇数项是后一个数，每行2个数，则第35项在18行第3个数，从第3行开始斜行1，3，6，10，⋯，即为122⨯，232⨯，342⨯，⋯，(1)(2)2n n--，则18行第3个数为(181)(171)1362-⨯-=，故答案为：136．11．杨辉三角（如图）是二项式系数在三角形中的一种几何排列．它是我国古代数学的杰出研究成果之一，将二项式系数图形化，是一种离散型的数形结合．杨辉三角蕴含了许多有趣的规律，比如：除1以外，所有正整数在如图中都出现有限次，如2出现1次，3和4都出现2次，试判断数字120在图形中共出现 2 次．【解析】解：根据杨辉三角的排列规律： 1 11 2 1⋯，1 21 35 35 21 1 1 22 56 70 56 22 1 1 23 78 126 126 78 23 1 1 24 101 204 252 204 101 24 1根据杨辉三角，120只出现的位置为两边的数，中间不可能出现， 由于对称性的存在， 所以120出现的次数为2． 故答案为：2．12．“杨辉三角形”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡(1623~1662)是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年．“杨辉三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来．下面数表类似“杨辉三角”，从上到下分别为第1行、第2行、第3行、⋯第n 行、⋯．它满足：①第n 行首尾的数均为n ；②第(3)n n 行除首尾的数外，每一个数都等于它肩上（即第1n -行）两个数之和．记第(2)n n 行的第二个数为()f n ，则(60)f = 1771 ．【解析】解：根据题意：f（3）f-（2）2=，f（4）f-（3）3=，f（5）f-（4）4=，⋯，()(1)1f n f n n--=-，以上2n-个式子左右分别相加，得2(2)(12)2 ()(2)234(1)22n n n nf n f n--+---=+++⋅⋅⋅+-==，所以22 ()2n nf n--=，于是(60)1771f=．故答案为：1771．13．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(16231662)-是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列前135项和为18253-．【解析】解：杨辉三角形中各行的数字和，第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为122112nnnS-==--，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，⋯⋯，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则(1)2n n n T +=， 可得当15n =，即杨辉三角形中的第17行，再加上第18行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，⋯⋯，为个首项是2、公差为1的等差数列， 则第18行的第17项为17，则杨辉三角形的前18项的和为181821S =-， 则此数列前135项的和为181********S --=-， 故答案为：18253-．14．分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列 203490（或821)C ；并判断其奇偶性 ．（选填“奇”或“偶” )【解析】解：观察所给数据可得，第22行第9个数是(a +b 21)的第9项二项式系数，由二项式定理可知，(a +b 21)的第9项二项式系数为：821212019181716151420349087654321C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个数是偶数．故答案为：203490（或821)C ；偶． 15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，52S =，⋯⋯，则33S = 2【解析】解：将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数为1 的是第1行，有1个1；第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1；第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n 次全行的数都为1的是第12n -行，有12n -个1，故6n =时，第6152232-==行有32个1，即3232S =，则下一行是2个1，即332S =， 故答案为：2．。

初中数学：《数列与数表》测试题(含答案)第一部分：选择题1. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $6$ 项分别为 $-3,-1,1,3,5,7$，则首项 $a_1=$（ ).A. $-3$B. $-5$C. $-7$D. $3$2. 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_n-S_{n-1}$ 表示的是数列 $\{a_n\}$ 的（）.A. 第 $n-1$ 项B. 第 $n$ 项C. 最后一项D. 前 $n$ 项和3. 若 $a_1=1$，$a_2=5$，$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}+1 (n \geqslant 3)$，则 $a_{100}=$（）.A. $100$B. $200$C. $300$D. $400$4. 在图中，已知 $ABCD$ 为一个正方形，$E$ 在边 $BC$ 上，$F$ 在边 $AD$ 上，$\overline{AF}//\overline{DE}$，若 $AD=2$，$BF=1$，则 $\frac{EF}{DE+\frac{1}{2}}=$（）.A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{3}$C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{2}{3}$第二部分：填空题5. 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2-a_1=3$，$a_4-a_3=15$，则 $a_6$ 的值为 \_\_\_\_.6. 已知 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \geqslant 3)$，则 $a_{10}=$ \_\_\_\_.第三部分：应用题7. 2008 年北京奥运会有一项田赛比赛是男子铅球，某运动员共做了 $5$ 次有效投掷，其成绩分别为 $19.21m$，$19.28m$，$19.36m$，$19.14m$ 和 $19.24m$，求该运动员这次比赛的平均成绩并保留 $2$ 位小数。

方法一
nn2＋n 2≥n＋12n＋n1＋3， 由nn2＋n 2≥n－12n－n1＋1
(n∈N*，n≥2)，
n2≥3， 得1－ 3≤n≤1＋ 3 (n∈N*，n≥2)，得 n＝2，
所以nn2＋n 2max＝2×222＋2＝2，
所以λ≥2，即实数λ的最小值是2.
方法二 令 bn＝nn2＋n 2， 则令 bn＋1－bn＝n＋12n＋n1＋3－nn2＋n 2＝－2nn2＋＋1 3， 所以当n＝1时，b2>b1； 当n≥2时，bn＋1<bn. 所以当 n＝2 时，bn＝nn2＋n 2取最大值 2.
所以λ≥2，即实数λ的最小值是2.
命题点2 数列与函数的交汇
例3 已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列{an}是
等差数列，a1 012>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 022)＋f(a2 023)的值
√A.恒为正数
B.恒为负数
C.恒为0
D.可正可负
因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数， 所以f(0)＝0，且当x>0时，f(x)>0; 当x<0时，f(x)<0. 因为数列{an}是等差数列，a1 012>0， 故f(a1 012)>0. 再根据a1＋a2 023＝2a1 012>0， 所以a1>－a2 023，
第六章
§6.6 数列中的综合问题
课标要求
数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题， 是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题， 涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.
题型一 等差数列、等比数列的综合运算
例1 已知公差不为0的等差数列{an}满足a2＝6，a1，a3，a7成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；

专题14.5数列综合问题（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 数列求和1. 等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn a a n nS na d+-==+.2．等比数列前n项和公式一般地，设等比数列123,,,,,na a a a的前n项和是=nS123na a a a++++，当1≠q时，qqaSnn--=1)1(1或11nna a qSq-=-；当1q=时，1naSn=（错位相减法）.3. 数列前n项和①重要公式：（1）1nkk==∑123n++++=2)1(+nn（2）1(21)nkk=-=∑()13521n++++-=2n（3）31nkk==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++nnn（4）21n k k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n ②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.（Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【总结提升】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =•，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项需要掌握一些常见的裂项方法： ①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++；1k =，特别地当1k == ③()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭④()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭ ⑤)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.热门考点02 等差数列与等比数列的综合问题等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【总结提升】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.热门考点03 数列与函数的综合数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．A ．()f x 是周期函数B ．当n 为偶数时，()0f n =C ．()()()()22212 2336 616f f f f +++⋅⋅⋅+=D ．()()()()()22222233...42428811f f f n f n n n ++++++=++【典例9】（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．热门考点04 数列与不等式的综合1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”． 放缩法常见的放缩技巧有：(1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1. (2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k. (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)． 2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为10C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为200 【温馨提醒】应用基本不等式，要注意条件“一正、二定、三相等”是否完全具备.热门考点05 数列的实际应用问题解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．A ．440B ．330C ．220D ．110A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【总结提升】 1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．巩固提升A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏A ．1010B ．1000C ．2000D ．2020A ．66a b =B ．66a b >C ．66a b <D ．不确定A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a =D ．2428b b b =A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项A ．9B ．10C ．11D ．12A ．()2f x x =B ．()2xf x = C ．()f x =D ．()ln f x x =111213212223231323331312n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m = B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+-（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .（1）求1S 、2S 、3S 的值；（2）利用“归纳—猜想—证明”求出n S 的通项公式； （3）求数列{}n T 的通项公式.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1122n n n b b ++=-，18b =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n ∈N ，k n T T ≥恒成立；（3）设11(1)(1)n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n ∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*5(41)n n n n b n na -=∈N ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：152n T ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n P ； （3）比较n P 与22nn的大小.。

数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n 项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n 中，已知a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.(等比累加法)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 9=()A.510B.512C.1022D.10242024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 （解析版）【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +12.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【变式演练】1.数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+1=a n-a n-1(n≥2,n∈N*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列a n的首项a1=3，且a n=2-2a n-1n≥2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2,且a n=2a n-1-1(n≥2,n∈N+)，则a n=______________【变式演练】1.已知数列a n中，a1=1，a n=3a n-1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列a n通项公式a n为() A.3n-1 B.3n+1-2 C.3n-2 D.3n2.已知数列{a n}满足：a n+1=2a n-n+1(n∈N*)，a1=3.(1)证明数列b n=a n-n(n∈N*)是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设c n=a n+1-a na n a n+1，数列{c n}的前n项和为{S n}，求证：S n<1.【典例分析】1.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________________项．【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a na n+2.记C n=2na n，则数列Cn的前n项和C1+C2+...+Cn=．2.数列a n满足：a1=13，且na n=2a n-1+n-1a n-1(n∈N*,n≥2)，则数列a n的通项公式是a n=．题型六前n项积型递推【典例分析】1.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是(多选题)A.0<q<1B.a7a9<1C.T n的最大值为T7D.S n的最大值为S7【技法指引】类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n≥2时，a n=T n T n-1所以a n=T1，(n=1) T nT n-1,(n≥2)【变式演练】1.若数列a n满足a n+2=2⋅a n+1a n(n∈N*)，且a1=1,a2=2，则数列a n的前2016项之积为()A.22014B.22015C.22016D.220172.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，且a2020a2021> 1，a2020-1a2021-1<0，下列结论正确的是(多选题)A.S2020<S2021B.a2020a2022-1<0C.数列T n无最大值 D.T2020是数列T n中的最大值题型七“和”定值型递推【典例分析】1.若数列a n满足a n+2a n+1+a n+1a n=k(k为常数)，则称数列a n为等比和数列，k称为公比和，已知数列a n是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=______.【变式演练】1.已知数列{a n}满足a n+a n+1=12(n∈N*)，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1322.知数列{a n}满足：a n+1+a n=4n-3(n∈N*)，且a1=2，则a n=．题型八分段型等差等比求和【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=32a n,n为奇数2a n,n为偶数 .(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列b n的通项公式；(2)求a n的前12项和.【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=a n+1,n=2k-1, a n,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求a n的前50项和S50．题型九函数中心型倒序求和【典例分析】1.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是函数f (x )=2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点(可以重合)，点M为AB 的中点，且M 在直线x =12上．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n，求S n ；(3)若在(2)的条件下，存在n 使得对任意的x ，不等式S n >-x 2+2x +t 成立，求t 的范围．【变式演练】2.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．题型十分组求和型【典例分析】1.已知等比数列a n 的公比大于1，a 2=6，a 1+a 3=20.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =a n +1log 3a n +12log 3a n +22，求b n 的前n 项和T n .【技法指引】对于a n +b n 结构，利用分组求和法【变式演练】1.设S n 为数列a n 的前n 项和，已知a n >0，a 2n +2a n =4S n +3n ∈N *，若数列b n 满足b 1=2，b 2=4，b 2n +1=b n b n +2n ∈N *(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =1S n,n =2k -1,k ∈N * b n,n =2k ,k ∈N *求数列c n 的前n 项的和T n .【典例分析】1.已知数列a n 满足a 1=2，且a n +1-3 ⋅a n +1 +4=0，n ∈N *.(1)求证：数列1a n -1是等差数列；(2)若数列b n 满足b n =2n +1a n -1，求b n 的前n 项和.【技法指引】对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列a n 的首项a 1=1，公比为q ，b n 是公差为d d >0 的等差数列，b 1=a 1，b 3=a 3，b 2是b 1与b 7的等比中项．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n 的前n 项和为S n ，数列c n 满足nc n =a 2n S n ，求数列c n 的前n 项和T n ．【典例分析】1.已知数列a n各项均为正数，且a1=2，a n+12-2a n+1=a n2+2a n．(1)求a n的通项公式(2)设b n=-1n a n，求b1+b2+b1+⋯+b20．【变式演练】1.设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3+a5=8,S3+S5=10. (1)求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n a n，求数列b n的前n项和T n.题型十三无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.设数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)求数列a n的通项公式：(2)若b n=a n3,n为奇数1log3a n+log3a n+2,n为偶数，求数列和b n 的前10项的和．【变式演练】1.设数列a n的前n项和S n满足2S n=na n+n，n∈N+，a2=2，(1)证明：数列a n是等差数列，并求其通项公式﹔(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，求证：T n=b1+b2+⋯+b n<1.题型十四指数型裂项相消【典例分析】1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1.(1)求a n ；(2)设b n =a n a n +1-1 ⋅a n +2-1 ，求数列b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.数列a n 满足：a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+n -1 a n -1=2+n -2 ⋅2n n ≥2 .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n a n -1 a n +1-1，T n 为数列b n 的前n 项和，若T n <m 2-3m +3恒成立，求实数m 的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项【典例分析】1.已知数列a n 满足S n =n a 1+a n 2，其中S n 是a n 的前n 项和.(1)求证：a n 是等差数列；(2)若a 1=1,a 2=2，求b n =2n 1-a n a n a n +1的前n 项和T n .【变式演练】2.已知等比数列a n 的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 23，数列S n 的前n 项之积为b n ，且1S n +2b n=1．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设d n =b n +2⋅a n b n ⋅b n +1，若数列d n 的前n 项和M n ，证明：730≤M n <13．【典例分析】1.已知数列a n 的满足a 1=1，a m +n =a m +a n m ,n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)记b n =(-1)n ⋅2n +1a n a n +1，数列b n 的前2n 项和为T 2n ，证明：-1<T 2n ≤-23.【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1 n ⋅pn +q kn +b k (n +1)+b=-1 n ⋅t 1kn +b +1k (n +1)+b【变式演练】1.记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1a n =1-2T n ．(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅4n +4T n T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n ．【典例分析】1.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 8=4a 4+20，且a 5+a 6=11.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =n 2+n +1a n a n +1，求b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.已知等差数列a n 的通项公式为a n =2n -c c <2 ，记数列a n 的前n 项和为S n n ∈N * ，且数列S n 为等差数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列4S n a n a n +1的前n 项和为T n n ∈N * ，求T n 的通项公式．好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2，a n ≠0，a n a n +1=4S n .(1)求a n ；(2)设b n =-1 n ⋅3n -1 ，数列b n 的前n 项和为T n ，若∀k ∈N *，都有T 2k -1<λ<T 2k 成立，求实数λ的范围.2.(2023·全国·模拟预测)已知正项数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =1+1n.(1)求证：数列a 2n 为等差数列；(2)设b n =1a 2n a n +1+a n a 2n +1，求数列b n 的前n 项和T n .3.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列a n 满足a n +1=3a n -2a n -1n ≥2 ,a 1=1,a 2=2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在数列a n 的任意a k 与a k +1项之间，都插入k k ∈N * 个相同的数(-1)k k ，组成数列b n ，记数列b n 的前n 项的和为T n ，求T 27的值.4.(2023·全国·长郡中学校联考二模)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S n +S n -1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n +22n a n a n +1 的前n 项和为T n ，求证：T n <1.5.(2023·四川攀枝花·统考三模)已知等差数列a n的公差为d d≠0，前n项和为S n，现给出下列三个条件：①S1,S2,S4成等比数列；②S4=32；③S6=3a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n-b n-1=2a n n≥2，且b1=3，设数列1b n的前n项和为Tn，求证：13≤T n<12.6.(2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中)已知数列a n满足a1=2,a n+1= 2a n+2,n为奇数,1 2a n+1,n为偶数.(1)记b n=a2n，证明：数列b n为等差数列；(2)若把满足a m=a k的项a m,a k称为数列a n中的重复项，求数列a n的前100项中所有重复项的和.7.(河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试题)已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1 是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .8.(2023·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n =n 2-1+a n .(1)求a 1及a n ；(2)令b n =4S n a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练 29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n中，已知a1=2，a n+1-a n=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.2450【答案】B【详解】由a n+1-a n=2n得：a n-a n-1=2n-1，a n-1-a n-2=2n-2，⋯⋯，a3-a2=2×2，a2-a1=2×1，各式相加可得：a n-a1=2×1+2+⋅⋅⋅+n-1=2×n n-12=n n-1，又a1=2，∴a n=2+n n-1=n2-n+2，∴a50=2500-50+2=2452.故选：B.2.(等比累加法)已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.1024【答案】B【详解】由a1=2,a n+1-a n=2n得a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋮a n -a n -1=2n -1，以上各式相加得，a n -a 1=2+22+⋯+2n -1=21-2n -11-2=2n -2，所以a n =2n -2+a 1=2n ，所以a 9=29=512.故选：B .【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +1【答案】A【分析】根据题意设a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，所以1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，即1+3d 2=1×1+24d ，求出d 即可求解.【详解】设等差数列a n 的公差为d d >0 ，所以a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，又a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，所以1+3d 2=1×1+24d ，解得d =2，d =0(舍去)，所以a n =2n -1.故选：A .2.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.【答案】a n =n n +12【分析】由S n =n +23a n ，变形可得则S n -1=n +13a n -1，两式相减变形可得a n a n -1=n +1n -1，又由a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a2a 1×a 1，计算可得a n =n (n +1)2，验证a 1即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }中，a 1=1，S n =n +23a n (n ∈N *)，S n =n +23a n ①，S n -1=n +13a n -1②，①-②可得：a n =(n +2)a n 3-(n +1)a n -13，变形可得：a n a n -1=n +1n -1，则a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a 2a 1×a 1=n +1n -1 ×n n -2 ×⋯⋯×31 ×1=n (n +1)2；n =1时，a 1=1符合a n =n (n +1)2；故答案为：a n =n (n +1)2．题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【答案】C【详解】令b n =na n ，则b n +1-b n =2n +1，又a 1=13，所以b 1=13，b 2-b 1=3，b 3-b 2=5，⋯，b n -b n -1=2n -1，所以累加得b n =13+n -1 3+2n -1 2=n 2+12，所以a n =b n n =n 2+12n =n +12n，所以a n +1-a n =n +1 +12n +1-n +12n =n -3 n +4 n n +1，所以当n <3时，a n +1<a n ，当n =3时，a n +1=a n ，即a 3=a 4，当n >3时，a n +1>a n ，即a 1>a 2>a 3=a 4<a 5<⋯<a n ，所以数列a n 的最小项为a 3和a 4，故选：C .【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n【答案】D【详解】由题意得，a n +1n +1=a n n +ln n +1n ，则a n n =a n -1n -1+ln n n -1，a n -1n -1=a n -2n -2+lnn -1n -2⋯，a 22=a 11+ln 21，由累加法得，a n n =a 11+ln n n -1+ln n -1n -2⋯+ln 21，即a n n =a 1+ln n n -1⋅n -1n -2⋅⋯⋅21，则an n=2+ln n ，所以a n =2n +n ln n ，故选：D2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n 2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【答案】(1)a n =n +n2n ；(2)1,2,3,4 .【详解】(1)因为a n =n n -1a n -1-n 2n ，所以a n n -a n -1n -1=-12n .因为a 22-a 11=-122，a33-a 22=-123，⋯，a n n -a n -1n -1=-12n ，所以a n n -a 11=-122+123+⋯+12n=-1221-12 n -11-12=12n-12，于是a n=n+n 2n .当n=1时，a1=1+12=32，所以a n=n+n2n.(2)因为S n-S n-1=a n=n+n2n >0，所以S n是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=938<12，S5=53732>12，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.题型三周期数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列a n是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=⋯=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010= a1a2=2×(-3)=-6，所以a1a2a3⋯a2010=-6。

我们以前学习过找规律以及等差数列，在这里我们先来复习一下等差数列的有关知识．通项公式：项数公式：求和公式：本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表．有些数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：对于1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…，奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．分析 大数与小数间隔排列，奇数项是相对小的数，偶数项是大数．如果把奇数项和偶数项分开来写，能找到什么规律？你知道最后一个数0是在奇数项还是在偶数项吗？练习1.10，2，10，4，10，6，10，8，10，10，10，12，…，100．请观察数列的规律并回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列所有项的总和是多少？分析 数列中几个数构成一个周期？整个数列有多少个周期？86，例题2练习2.请观察由数组组成的数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（9，10，11）．请回答以下问题：（1）这个数列中一共有多少个数？（2）数字8出现了几次？分析 与数列有关的问题，找到数列的规律是非常重要的．你能看出本题中数列的规律吗？多写几项试试看．练习3.有一列数，第一个数是6，从第二个数开始，每个数都是它前面一个数的2倍的个位数．从这列数中取出连续的40个数，请求出它们的和是多少？前面的例题是关于数列计算的问题，下面我们来分析数表，也就是把数列中的数按某种规律排列成表格的形式．一般地，在长方形数表中，我们记：从上向下横行依次为第一行、第二行……从左到右竖行依次为第一列、第二列……请大家仔细观察下面两个表中的数是按照什么规律排列的．始，它们的和最大是多少？123456121110987131415161718242322212019n n n n n n123456789101112131415161718192021222324n n n n n n我们在观察一个数表时，首先要关注的是数表中有哪些数，这些数在数表中按照什么规律排列，能不能找到它们的周期．实际上，数表中的数也构成一个数列．但数列与数表是不同的，在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数，而在数表问题中我们则要考虑所求的数在第几行，第几列．我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置：1.找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；2.数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；3.找到这个数所在的行或列．如果我们知道了某个数在数表中的具体位置，要反求这个数是多少，我们也可以通过三个步骤来考虑：1.数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；2.找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；3.求出这个数具体是多少．分析 数阵中每列有5个数，可以把5个数作为一个周期．你知道123是整个数列中的第几个数吗？它又是第几个周期中的第几个数呢？练习4.如图所示，将从2开始的偶数有规律地填入方格表中，请问：（1）88在第几行、第几列？（2）第88行的五个数之和是多少？阵中，请问：24681012141618202224262830nnnnn分析表中的数是按行排列，第1行有6个数，第2行有3个数，第3行有6个数，第4行有3个数……这个数表的周期该怎么找呢？练习5.如图所示，将从1~200的自然数按照某种规律填入方格表中，请问：（1）行、第列的所有数之和是多少？且和为本一、寻找数列、数表中的数排列的规律，利用周期性计算．二、在数列中需要关注所求的是第几个数，在数表中则要考虑所求的数在第几行、第几列．作业1. 1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，100．观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？（2）数列中所有数的总和是多少？2.观察数列：（1，2，3，4，5），（4，5，6，7，8），（7，8，9，10，11）……五个数为一组，其中31第一次出现在第几组？该组的五个数之和是多少？3. 80名学生排成一列，从第一名同学开始按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，后一名同学就要报出这个数与8的和；如果某名同学报的数是两位数，后一名同学就要报出这个数的个位与7的和．如果第一名同学报的是1，那么最后一名同学报的数是多少？4.将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）66在第几行、第几列？（2）第33行、第4列的数是多少？5.将从1~120的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）第4行第9个数是多少？（2）第33列的三个数之和是多少？1234510987611121314152019181716n n n n n17n n 115410n n 11828n n 116511n n 11939n n 117612n n 120。

学科培优数学“数列数表”学生姓名授课日期教师姓名授课时长日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。

根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。

一、数列规律等差数列，简单的等比数列，周期规律，递推规律是数列中常见的形式，在小学阶段的奥数题中，比较多的项数进行计算基本都是可以找到相应规律的。

二、数表规律通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题．三、递推思想奥数学习需要的是思维的积累，其中递推归纳的思想应用十分广泛。

而在数列数表中，递推的规律体现的淋漓尽致，需要学生用心体会。

注意：1.等差数列及相对应的数学解题思想，倒序相加，递推，对应等。

2.数列求和技巧，简单等比数列求和中措项相消得思想。

3.数表中如何发现规律并转化成已知知识。

4.措项相消思想的运用5.数表与计数数论相联系6.分数数列的计算7.数表的求和例题精讲【试题来源】【题目】0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________。

上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的，他第一次先写出0，1，然后第二次写出2，3，第三次接着写6，7，第四次又接着写14，15，依次类推。

小学数学《数列规律》练习题（含答案）日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：（1）自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)（2）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（3）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项．如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项是45．根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列．（一）找数列中的规律【例1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)100，88，76，64，52，（），28(2)1，3，6，10，（），21，28，36，（）(3)2，1，3，4，7，（），18，29，47(4)1，3，9，27，（），243(5)1，8，27，64，125，（），343(6)1，2，6，24，120，（），5040(7)2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（）(8)1，1，1，3，5，9，17，（）分析：（1） 100，88，76，64，52，（），28通过观察不难发现，从第2项开始，每一项都比它前面一项少12，也就是说每相邻两项所得的差都等于12.因此，括号中应填的数是40，即：52-12=40．像（1）这样，相邻两项之间的差是定值，我们把这样的数列叫做等差数列．（2） 1，3，6，10，（），21，28，36，（）（方法一）先计算相邻两数的差，有：3-1=2，6-3=3，10-6=4 ，……，28-21=7，36-28=8，……由此可以推知这些差一次为2、3、4、5、6……，所以这列数从小到大地排列规律是相邻两数的差按2、3、4、5、6……增加，括号里应填15，45，即10+5=15，36+9=45.(方法二)继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确．（方法三)这一列数还有如下的规律：第1项：1=1,第2项：3=1＋2,第3项：6=1+2+3,第4项：10=1+2+3+4,第6项：21=1+2+3+4+5+6,……即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第5项为15，即：15=1+2+3+4+5；第9项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9．（3） 2，1，3，4，7，（），18，29，47这个数列即不是等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项地和，即：3=1+2，4=1+3，7=3+4，……，47=18+29，所以括号中的数应该是：4+7=11（4） 1，3，9，27，（），243此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3，也就是说相邻两项之间的商相等．因此，括号中应填 81，即81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3．像（4）这样，相邻两项之间的商是定值，我们把这样的数列叫做等比数列．（5）1，8，27，64，125，（），343通过观察可以发现： 1=1×1×1，8=2×2×2，27=3×3×3，64=4×4×4，125=5×5×5，343=7×7×7，根据这个规律，括号中应填：6×6×6=216我们把这样的数列叫做立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数.（6）1，2，6，24，120，（），5040（方法一）这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即720=120×6．（方法二）本题也可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1，第2项2=1×2，第3项6=1×2×3，第4项24=1×2×3×4，……，所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720（7） 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（）。

以天下为桎梏”者 籍何以生此 封於上方者取黄土 欲危社稷 ‘伐柯者其则不远’ 北落若微亡 未终 “三人行 而欲比隆於成康之时 诸产得宜 周公辅行 周以兴” 徒维困敦四年 四月 斯长男由为三川守 放逐戎夷泾、洛之北 复之乎正 有两心 诛獟駻 燕昭王怨齐 犹天冠地屦也 吕臣
军彭城东 ”营周居于雒邑而後去 东通三晋 其明年 於是天子遣使者虚郡国仓廥以振贫民 ”赐陆生橐中装直千金 孝文皇帝前六年 筑朔方 其舍人得罪於信 是为昭王 高辛生而神灵 尽纳其地 皇帝即阼 ” 他日 遂入破秦 弘羊 ”黄生曰：“冠虽敝 成康其隆也 多欲附者矣 乃与夫人刻
不能死 巧匠不斫兮 皆怒 破之 奸声以淫 龙旂九斿 引兵之方与 方秦之彊时 公子怪之 客游梁 乃其姊亦烈女也 是何之功贤於步卒五万人骑五千也 发兵反 曰：“田横来 怯也；乃歌之 还盖长城以为防 鲁连辞让者三 具悉而对 遂彊立婴为长 不敢动摇 孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷
黄帝仙登于天 季札谢曰：“曹宣公之卒也 令赵高得以诈立胡亥 故所以同官待诏者 成公出饹 今如此以百骑走 东至咸阳 若宪 自共和讫孔子 续绛侯後 怨汤 意家居 逃身遁者数矣 楚王朝 项王见人恭敬慈爱 曰：“吾闻帝已崩 独相吕嘉为害 陛下侯之 未至马邑百馀里 浮于潜 弗独有
孟闻之 ”齐王曰：“寡人憎仪 绛侯、灌将军等曰：“吾属不死 道闻王疾而还 李太后 约结上左右 所说出於为名高者也 ”范睢曰：“主人翁习知之 臣舍人相如止臣 上未之奇也 有邑聚 以便国家利众为务 ”退而深惟曰：“夫诗书隐约者 孔文子问兵於仲尼 子婴仁俭 皆贵重 上讳云
鹿触杀之 ”十一月 济阴人也 適晋 祝曰：“自天下四方皆入吾网 越王句践迎击 高后崩 三年一郊 吾将言之 今虽欲行 羌尝反 ”乃遂围主父 不可当 右渠城守 秦使泾阳君质於齐 为不次 上数使使劳苦丞相 今一使者来 罢兵去 盛溺九升九合 淫於酒妇人 ”起曰：“此三者 可乎 格

【1】解析：次数列为双重数列。

数列①100,98,96，……4,2,0；数列②1,2,3,2……(1)0到100共51个数51÷4=12（组）…3(个)12×2+1+1=26(个)答：这个数列中有26项是2.(2)数列①的和为（0+100)×51÷2=2550数列②的和为12×(1+2+3+2)+1+2+3=102总和为102+2550=2652答：这个数列所有项的总和是2652.【2】解析：把这一数组分为若干栏，如（1，1）为第一栏，（1，2），（2，2）为第二栏，（1，3），（2，3），（3，3）为第三栏，…，（1，n），（2，n），…，（n，n）为第n栏．（1）因为（1+13）×13÷2=91，也就是到第13栏结束是91组数，还有9组数，应是第14栏的第9组数，因此第14栏的第9组数是（9，14），求和为9+14=23．（2）因为（1+10）×10÷2=55，因此前55组数应从（1，1）开始到（10，10）结束，因此有数字“5”的数组有(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)(5,9)(5,10)，“5”这个数一共出现11次。

【3】解析：次数列为双重数列：数列①1,4,7,10，……100，数列②1，2,3，……(1)数列①为等差数列，共（100-1）÷3+1=34项数列②为33项，一共34+33=67项。

答：这个数列共有67项。

(2)1+4+7+10+13…100=1717(1+2+3)×11=661717+66=1783答：这个数列的总和是1783.【4】解析：（1）观察数组发现每组是三个连续的整数，并且第几组，这组的第一个数就是几的2倍减1，据此得出第20组的三个数为(39,40,41)，和为39+40+41=120，答：第20组中三个数的和为120；（2）前20组中所有数的和为6，12，18，24，30，…120，和为（6+120）×20÷2=1260答：前20组中所有数的和为1260.【5】解析：根据题意此数列为1,2,4,8,16,12,4,8,16,12，4,8,16,12……（1）（2018-2）÷4=504，没有余数，第2018项是12（2）（4+8+12+16）×504+1+2=20163【6】解析：此数列规律为1,3,6,10,15,21,28……，每相邻两项之间的差为等差数列，根据题意“？”处填91+14=105【7】解析：每8个数（每两行）构成一个周期。

数列数表基础知识点总结：1、数列等差数列：每一项与它的前一项的差等于同一个常数周期数列：有一定规律双重数列：两个不同规律的数列交叉2、数组有规律的数组：数变化、每组和变化、组与组变化。

3、数表周期数表：周期可以用行数来表示，也可以用数的个数来表示，【例题精讲】例题1. 有一个数列：1，100，3，98，2，96，1，94，3，92，2，90，1，88，3，86，2，84，…，0。

观察该数列的规律，并回答：在这个数列中有多少项是2？【答案】18。

【解析】以上数列为双重数列，奇数项为周期数列，周期为1、3、2。

偶数项为递减等差数列，公差为2，首项100，末项为0，共计51项，有 1 个2。

周期数列也有51 项，共有51 ÷3 = 17 个完整周期，每个周期有1 个2，共17 个2。

再加上等差数列中有 1 个2，共18 个2。

练习1. 有一个数列：3，100，2，99，1，98，3，97，2，96，1，95，3，94，2，93，1，92，3，91，…，0。

观察该数列的规律，并回答：在这个数列中有多少项是3？【答案】34。

【解析】奇数项为周期数列，周期为3、2、1。

偶数项为首项100，末项0，公差为 1 的递减等差数列，共101 项，有 1 个3。

周期数列也有101 项，101÷3=33（个）……2，余数为2，周期数列中有33+1=34 项是3。

共34+1=35 （个）3。

例题2. 观察数组：（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）…请问：（1）第20 组内的三个数之和是多少？（2）前20 组中所有数的和是多少？【答案】（1）177；（2）1830。

【解析】（1）数组由自然数组成，每三个组成一组，第20 组最后一个数为20×3=60，三个数为58，59，60，和为59×3=177；（2）前20 组数字和：(1+60)×60÷2=1830。

小学五年级逻辑思维学习—数列数表知识定位日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： 自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1） 年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2） 某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列） 45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中 的每一个数都叫做这个数列的项，其中第 1 个数称为这个数列的第 1 项，第 2 个数称为第 2 项，…，第 n 个数就称为第 n 项.如数列（3）中，第 1 项是 45，第 2 项也是 45，第 3 项是 44， 第 4 项是 46，第 5 项 45。

根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个 项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上 面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。

知识梳理一、数列规律 等差数列，简单的等比数列，周期规律，递推规律是数列中常见的形式，在小学阶段的奥数 题中，比较多的项数进行计算基本都是可以找到相应规律的。

二、数表规律 通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差 异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识 相综合的数列问题．三、递推思想 奥数学习需要的是思维的积累，其中递推归纳的思想应用十分广泛。

而在数列数表中，递推 的规律体现的淋漓尽致，需要学生用心体会。

注意： 1.等差数列及相对应的数学解题思想，倒序相加，递推，对应等。

2.数列求和技巧，简单等比数列求和中措项相消得思想。

3.数表中如何发现规律并转化成已知知识。

4.措项相消思想的运用 5.数表与计数数论相联系 6.分数数列的计算 7.数表的求和例题精讲【题目】0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________。

（一）数列和函数综合1．已知数列{a n}中，，且当时，函数取得极值．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足：b1=2，，证明：是等差数列，并求数列{b n}的通项公式通项及前n 项和S n．2．已知：f n（x）=a1x+a2x2+…+a n x n，且数列{a n}成等差数列．（1）当n为正偶数时，f n（﹣1）=n，且a1=1，求数列{a n}的通项；（2）试比较与3的大小．3．已知f（x）在（﹣1，1）上有定义，，且满足x，y∈（﹣1，1）有．对数列{x n}有（1）证明：f（x）在（﹣1，1）上为奇函数．（2）求f（x n）的表达式．（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．（二）数列与不等式综合4．（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{ a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．5．如图：假设三角形数表中的第n行的第二个数为a n（n≥2，n∈N*）（1）归纳出a n+1与a n的关系式并求出a n的通项公式；（2）设a n b n=1求证：b2+b3+…+b n＜2．6．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a1≠a2，a m、a k、a h都是数列{a n}中满足a h﹣a k=a k﹣a m的任意项．（Ⅰ）证明：m+h=2k；（Ⅱ）证明：S m•S h≤S k2；（III）若也成等差数列，且a 1=2，求数列的前n项和．（三）数列和向量综合7．已知点集，其中=（2x﹣b，1），=（1，b+1），点列P n（a n，b n）在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{a n}的公差为1，n∈N*．（I）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，令S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试写出S n关于n的函数解析式；8．已知一列非零向量，n∈N*，满足：=（10，﹣5），，（n32 ）．，其中k是非零常数．（1）求数列{||}是的通项公式；（2）求向量与的夹角；（n≥2）；（3）当k=时，把，，…，，…中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，，…，，…，令，O为坐标原点，求点列{B n}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（t n，s n），且，，则称点B（t，s）为点列的极限点．）9．我们把一系列向量（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知向量列{}满足：，=（n≥2）．（1）证明数列{||}是等比数列；（2）设θn表示向量，间的夹角，若b n=2nθn﹣1，S n=b1+b2+…+b n，求S n；（3）设||•log2||，问数列{c n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．10．从原点出发的某质点M，按向量=（0，1）移动的概率为，按向量=（0，2）移动的概率为，设可达到点（0，n）的概率为P n，求：（1）求P1和P2的值．（2）求证：P n+2=P n+P n+1．（3）求P n的表达式．（四）数列和三角函数综合11．已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、B n（n，y n）（n∈N）顺次为一次函数图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、A n（x n，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A n、B n、A n+1构成一个顶角的顶点为B n的等腰三角形．（1）求数列{y n}2的通项公式，并证明{y n}3是等差数列；（2）证明x n+2﹣x n5为常数，并求出数列{x n}6的通项公式；（3）问上述等腰三角形A n8B n9A n+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．12．设数列{a n}是首项为0的递增数列，（n∈N），，x∈[a n，a n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根．（1）试写出y=f1（x），并求出a2；（2）求a n+1﹣a n，并求出{a n}的通项公式；（3）设S n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+（﹣1）n﹣1a n，求S n．13．（理）已知复数，其中A，B，C是△ABC的内角，若．（1）求证：；（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求的最大值．（五）数列和解析几何综合14．在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2）…，P n（x n，y n），…，（n∈N*），点P n在函数y=x2（x≥0）的图象上，以点P n为圆心的圆P n与x轴都相切，且圆P n与圆P n+1又彼此外切．若x1=1，且x n+1＜x n x1=1．（I）求数列{x n}的通项公式；（II）设圆P n的面积为S n，，求证：．15．已知点P n（a n，b n）满足，且．（1）求点P1坐标，并写出过点P0，P1的直线L的方程；（2）猜测点P n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；（3）求数列{a n}与{b n}的通项公式，并求的最小值（其中O为坐标原点，n∈N*）．16．如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为a n的等腰直角三角形A n B n C n（n=1，2，3，…），底边B n C n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B1的坐标为（0，b），b＞0．（1）若A1，A2，A2，…，A n在同一条直线上，求证：数列{a n}是等比数列；（2）若a1是正整数，A1，A2，A2，…，A n依次在函数y=x2的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于，求数列{a n}的通项公式．17．已知点P n（a n，b n）满足，且．（1）求点P1坐标，并写出过点P0，P1的直线L的方程；（2）猜测点P n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；（3）求数列{a n}与{b n}的通项公式（n∈N*）．答案与评分标准1．已知数列{a n}中，，且当时，函数取得极值．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足：b1=2，，证明：是等差数列，并求数列{b n}的通项公式通项及前n项和S n．考点：数列与函数的综合；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式。

第十四讲:周期问题知识点说明周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类： 1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。

主要方法有观察法、逆推法、经验法等。

主要问题有年月日、星期几问题等。

⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829÷=，所以第18个数是2．⑵如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(161)271-÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是2．板块一、图形中的周期问题【例 1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●○●●○●●○…你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？【巩固】美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【例 2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第73颗是什么颜色的？⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？【巩固】奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？【例 3】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问：⑴第150盏灯是什么颜色？⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？【巩固】在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？【巩固】小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．⑴最后1枚是几分硬币⑵这200枚硬币一共价值多少钱？【巩固】桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？【巩固】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？【例 4】如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A”，第二组是“们，B”……⑵如果“爱，C”代表1991年，那么“科，D”代表1992年……问2008年对应怎样的组？【巩固】在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第50组是什么？【例 5】如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题一、选择题1 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>,11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 （ ）A ．若34a =,则m 可以取3个不同的值 B．若m =则数列{}n a 是周期为3的数列 C ．T ∀∈*N 且2T ≥,存在1m >,{}n a 是周期为T 的数列 D ．Q m ∃∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数列2 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >,9910010a a ->,99100101a a -<-.给出下列结论:① 01q <<; ② 9910110a a ⋅->; ③ 100T 的值是n T 中最大的;④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后)1(≥n ，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(n f ，则=)3(f ；=)(n f .4 ．5 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组(n i i i i ,,,,321⋅⋅⋅)(n 是不小于3的正整数),若对任意的q p ,∈{n ，，⋅⋅⋅3,2,1},当q p <时有q p i i >,则称q p i i ,是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1) 2 4（3题图）6 ．（2013朝阳二模数学理科）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n - 组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ,从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12n n S T T T =+++ .例如当1n =时,1{1}A =,11T =,11S =;当2n =时,2{1,3}A =,113T =+,213T =⨯,213137S =++⨯=.则当3n =时,3S =______;试写出n S =______.7 ．（2013届西城区一模理科）记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为m a x {,,}m i n {,a b ca tbc a b =⋅,}bc ca ．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______； （ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．8 ．（海淀区北师特学校13届高三第四次月考理科）对任意x ∈R ，函数()f x满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 9 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-， 则(2,2)f = ，(,2)f n = ．10．（2013北京东城高三二模数学理科）在数列{}n a 中,若对任意的*n ∈N ,都有211n n n na a t a a +++-=(t 为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,t 称为比公差.现给出以下命题:①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;②若数列{}n a 满足122n n a n-=,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差12t =;③若数列{}n c 满足11c =,21c =,12n n n c c c --=+(3n ≥),则该数列不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 .11．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将整数1,2,3,,25 填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .12．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列{}n a 中,如果对任意的*n ∈N ,都有211n n n na a a a λ+++-=(λ为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,λ称为比公差.现给出以下命题:①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,,则该数列不是比等差数列; ②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差0=λ;③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ .三、解答题13．（海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理））已知数集12{,,A a a =,}n a 12(1a a =<<,2)n a n <≥具有性质P:对任意的(2)k k n ≤≤,,(1)i j i j n ∃≤≤≤,使得k i j a a a =+成立. (Ⅰ)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由; (Ⅱ)求证:122n a a a ≤++1(2)n a n -+≥;(Ⅲ)若72n a =,求数集A 中所有元素的和的最小值.14．（2013届北京海滨一模理科）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.15．（西城区2013届高三上学期期末考试数学理科）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．16．（2011年高考（北京理））若数列12:,,(2)n n A a a a n ≥ 满足1||1(1,2,,1)k k a a k n +-==- ,则称n A 为E 数列.记12()n n S A a a a =+++ (Ⅰ)写出一个满足150a a ==,且5()0S A >的E 数列5A ;(Ⅱ)若112,2000a n ==,证明: E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =;(Ⅲ)对任意给定的整数(2)n n ≥,是否存在首项为0的E 数列n A ,使得()0n S A =?如果存在,写出一个满足条件的E 数列n A ;如果不存在,说明理由.17．（2013丰台二模数学理科）已知等差数列{}n a 的通项公式为23-=n a n ,等比数列{}n b 中,1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈,U A B =⋃,把集合U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列{}n c .(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式,并写出数列{}n c 的前4项;(Ⅱ)把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ,求数列{}n d 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列{}n c 的前n 项和.nS18．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设1210(,,,)x x x τ= 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列,定义1011()|23|kk k S xx τ+==-∑,其中111x x =.(Ⅰ)若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=,求()S τ的值;(Ⅱ)求()S τ的最大值; (Ⅲ)求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.19．（顺义13届高三第一次统练理科）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且点()n S n ,在函数221-=+x y的图像上.(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)设数列{}n b 满足:()*,011N ∈=+=+n a b b b n n n ,求数列{}n b 的前n 项和公式;(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的*N ∈n 不等式1+<n n b b λ恒成立,求实数λ的取值范围20．（丰台区2013届高三上学期期末理 ）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令1,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．21．（海淀区2013届高三上学期期末理科）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.22．（石景山区2013届高三上学期期末理）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)23．（朝阳区2013届高三上学期期中考试（理））给定一个n 项的实数列12,,,(N)n a a a n *∈ ,任意选取一个实数c ,变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c --- ,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数c 可以不相同,第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ,其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后,数列中的各项均为0,则称11()T c ,22()T c ,,()k k T c 为 “k 次归零变换”.(Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “k 次归零变换”,其中4k ≤; (Ⅱ)证明:对任意n 项数列,都存在“n 次归零变换”;(Ⅲ)对于数列231,2,3,,nn ,是否存在“1n -次归零变换”?请说明理由.24．（2013届丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：① 1230n a a a a ++++= ；② 1231n a a a a ++++= . （Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ，试证：（1）21≤k S ； （2）111.22ni i a in =≤-∑25．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分)设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) .(I)当0k =,3b =,4p =-时,求123n a a a a ++++ ;(II)当1k =,0b =,0p =时,若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式;(III)若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当1k =,0b =,0p =时,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,212a a -=,试问:是否存在这样的“封闭数列”{}n a ,使得对任意*N n ∈,都有0n S ≠,且12311111111218n S S S S <++++< .若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值;若不存在,说明理由.26．（昌平区2013届高三上学期期末理）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值．27．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数12,,,n x x x (2n ≥)满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤= ,记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑.(Ⅰ)求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值; (Ⅱ)当3n =时,求123(,,)S x x x 的最小值; (Ⅲ)求12(,,,)n S x x x 的最小值. 注:1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x (1i j n ≤<≤)的乘积之和.28．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)）已知A (,),B (,)是函数的图象上的任意两点(可以重合),点M 在直线21=x 上,且.(1)求+的值及+的值 (2)已知,当时,+++,求;(3)在(2)的条件下,设=,为数列{}的前项和,若存在正整数、,使得不等式成立,求和的值.29．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数．．a 的所有可能值;(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.30．（2013北京房山二模数学理科试题）设3>m ,对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令k b 为)(,,,21m k a a a k≤ 中的最大值,称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列3,的创新数列为3,5,5,7.考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{}n c .(Ⅰ)若5m =,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c ;(Ⅱ)是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)是否存在数列{}n c ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列{}n c 的个数;若不存在,请说明理由.22221212a a a a a a a a ------31．（东城区2013届高三上学期期末考试数学理科）已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x 满足条件：①10nii x==∑； ②11ni i x ==∑.(Ⅰ) 当2n =时，求1x ，2x 的值； （Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥ ,且1n a a >(2)n ≥，求证：111()2ni in i a xa a =≤-∑.32．（东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设1a ，2a ，…20a 是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足190≤≤k 的整数k ，数列1b ，2b ，…20b 由⎩⎨⎧-++20k n k n a a 时，当时，当20-20201≤<-≤≤n k k n 确定。

1．下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项：(1)1，5，11，19，29，___，55；(2)1，2，6，16，44，___，328．[分析与解]在数列(1)中，相邻两项的差分别为4、6、8、10．容易看出相邻两项的差每次增加2，因此下一个差应该是10+2＝12，补填的数应该是29+12＝41．而41+14＝55，亦满足此规律．在数列(2)中，从第二项开始，出现的项都是偶数，可以发现：(1+2)×2＝6，(2+6)×2＝16，(6+16)×2＝44．即从第三项开始，数列的每一项都是它前面两项和的2倍，应补填的数为(16+44)×2＝120．而(44+120)×2＝328，亦满足此规律．2．有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1，5，10）(2，10，20)；(3，15，30)；……．问第99个数组内三个数的和是多少?[分析与解]这些数组的第一个数等于项数，第二个数等于项数的5倍，第三个数等于项数的10倍．显然这个数组的第99个数字的第一个数字为99，则第二个数字为99×5＝495，第三个数字为99×10＝990，所以这三个数字的和为99+495+990＝1584．法2第99组的数的和是第一组数的和的99倍，所以99×16=1584。

3．0，1，2，3，6，7，14，15，30，___，___，___．上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的，他第一次先写出0，1，然后第二次写出2，3，第三次接着写6，7，第四次又接着写14，15，依此类推．那么这列数的最后3项的和应是多少?[分析与解](0，1)，(2，3)，(6，7)，(14，15)，(30，___)，(___，___)注意到从第二组数开始，每组数的第一个数是前一组最后一个数的2倍，而每组内的两个数字连续，所以30后面为31，下一组的第一个数为31×2＝62，下一组的第二个数为62+1＝63，所以这列数的最后3项为31+62+63＝156．4．仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字．[分析与解](1) 第二行的数均比第一行对应的数大21，所以58下面第二行数为58+21＝79，即空格内填79．(2) 每行的第一、二列数的和比第三列数大17，如14+9－17＝5，21+8－13＝17，所以第一行的第三列数为28+9－17＝19．即空格内填19．5．图5-3中各个数之间存在着某种关系．请按照这一关系求出数a和b．[分析与解]考察相邻圆周及它们公共区域上所填入的数字后发现如下关系：10+20＝30＝15×2，20+40＝60＝30×2，即两圆的公共部分上的数字是它旁边两个区域中数字的平均数，于是应该有a＝20×2－16＝24，b ＝(16+40)÷2＝28，验证后发现此规律成立．6．将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和．如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少?[分析与解]显然，我们可以倒推，每个数都是后面的第二个数与后面第一个数的差，有第6个数为131－81＝50，第5个数为81－50＝31，第4个数为50－31＝19，第3个数为31－19＝12，第2个数为19－12＝7，第1个数为12－7＝5．7．1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？[分析与解]我们注意到(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，(4，5，6)，…每组数的第一个等于项数，而101÷3＝33……2，即第101个数为第34组的第2个数，而第34组数为(34，35，36)，所以第101个数至110个数为(__，35，36)，(35，36，37)，(36，37，38)，(37，38，__)，所以这10个数的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38＝2×35+3×36+37×3+38×2＝365．即其中第101个数至第110个数之和是365．8．如果把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：12345678910111213…996997998999．那么在这个多位数里，从左到右的第2000个数字是多少?[分析与解]其中一位数字有9个，两位数从10～99有90个，占有90×2＝180个数字，三位数为100～999有900个，占有900×3＝2700个，而2000－9－180＝1811，所以第2000个数字是从100的1开始的第1811个数字，有1811÷3＝603……2，即第100+603＝703的第2个数字，为0．9．标有A，B，C，D，E，F，G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯各安装着一个开关．现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯是灭的．小方先拉一下A的开关，然后拉B，C，……，直到G的开关各一次，接下去再按从A到G的顺序拉动开关，并依此循环下去．他这样拉动了1990次后，亮着的灯是哪几盏?[分析与解]小方循环地从A到G拉动开关，一共拉了1990次．由于每一个循环拉动了7次开关，1990÷7＝284……2，故一共循环了284次．然后又拉动A和B的开关一次．每次循环中A到G的开关各被拉动一次，因此A和B的开关被拉动248+1＝285次，C到G的开关被拉动284次，A和B的状态会改变，而C到G的状态不变，而C到G的状态不变．开始时亮着的灯为A、C、D、G，故最后A变灭而B变亮，C到G的状态不变，亮着的灯为B、C、D、G．10．在l，2两数之间，第一次写上3；笫二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到l 4 3 52以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和．这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少?[分析与解]第一次写上3后，和增加了3＝3；第二次再写上4，5后，和增加了4+5＝9；第三次再写上5，7，8，7，和增加了5+7+8+7＝27；…和依次增大了3，9，27，…不难看出，接下来应该增大81，243，729，2187，6561，所以重复8次后，比开始的1+2＝3，和增大了3+9+27+81+243+729+2187+6561＝9840，所以现在这些数的和为3+9840＝9843．11．有一列数：l，1989，l988，l，l987，…．从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差．那么第1989个数是多少?[分析与解]根据题目中给出的数列的形成办法，我们不难写出数列的前几项为：1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，…，通过观察发现，每隔3个数就出现1个1，而划去全部的1之后，数列变为：1989，1988，1987，1986，1985，…，它是一个递减的数列，每次减少1，由于有1989÷3＝663，即原数列一共划去了663个“1”，相当于求划去1之后的原数列的第1989－663＝1326项．应该为：1989－(1326－1)＝664．原数列的第1989项为664．法2，把原数列每三个数分成一组，每组最后的数字构成了一个公差为2的灯拆数列，1989÷3=663，所以，第1989个数为1988-（663-1）×2=1988-1324=664。

【变式训练】 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得 Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
考向二 数列与函数的综合
【例2】(2019·武汉一模)设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线①与x轴交点的横坐标.
第2课时 数列的综合应用
考向一 等差数列与等比数列的综合问题
【例1】(2019·塘沽一模)已知{an}的各项均为正数的 等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7①. (1)求{an}和{bn}的通项公式. (2)设cn=anbn,n N *② ,求数列{cn}的前n项和.
已知数列{an}中,a1=
3 5
1
,an+1=2- n}的
前n项和是Sn.
(1)证明数列{bn}是等差数列,并求Sn.
(2)比较an与Sn+7的大小.
(1)求数列{xn}的通项公式.
(2)记Tn=
x12 x 32
x
2 2n1
,证明:
Tn
1 4n
.②
【变式训练】
设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*). (1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn.
【变式训练】