由一道高考题浅谈用构造法求数列通项公式

用构造法求数列通项公式已知数列的递推公式，求其通项公式是数列中重要的题型之一，在近年的高考试卷中也经常出现此类题型，解决这个问题除验算—猜想—证明的方法外；利用公式的变形构造一个新数列来求解也是重要的手段，下面通过例题分析阐述常用的变形方法，供参考。

一、配凑构造例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3……)，求a n .解析：∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n )，整理得nS n+1=2(n+1)S n ,即11++n S n =2·n S n ，故数列{n S n }是以11S=a 1=1为首项，2为公比的等比数列，即nS n =2n-1,S n =n ·2n-1，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n ·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适合，故a n =(n+1)·2n-2n ∈N *.二、相除构造例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2);a 1=21,求通项a n .解析:当n ≥2时, a n =S n -S n-1=-2 S n S n-1,两边同除以S n S n-1得n S 1- 11-n S =2,又11S =11a =2, ∴数列{n S 1}是以2为首项,2为公差的等差数列,则nS 1=2+2(n-1)=2n, S n =n 21,由a 1=21,n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 21-)1(21-n =- )1(21-n n ,二式不能合并.三、平方构造例3 已知函数f(x)=42-x (x ≤-2).(1)求f -1(x),(2)若a 1=1,a n =-f -1(a n-1),求数列{a n }的通项公式.解析:(1)f -1(x)=- 42+x (x ≥0),(2)由a n =-f -1(a n-1),∴a n =421+-n a ,两边平方得a n 2-a n-12=4,∴数列{a n 2}是以a 12=1为首项,公差为4的等差数列,∴a n 2=1+(n-1)4=4n-3,又a n >0,∴a n =34-n .四、开方构造例4 已知函数f(x)=(x +2)2(x>0),设正项数列{a n }的首项a 1=2,前n 项和S n 满足S n =f(S n-1)(n ≥2且n ∈N *),求通项a n .解析:∵a n >0,∴S n >0,由S n =f(S n-1)=(1-n S +2)2两边开方得n S =1-n S +2,∴数列{n S }是以1S =1a =2为首项,公差d=2的等差数列,即n S =2+(n-1)2=2n,则S n =2n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-2,当n=1时,a 1=2也适合上式,故a n =4n-2(n ∈N *).五、待定系数法例5 已知数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=3a n -1(n ∈N *),求a n .解析:设a n+1+x=3(a n +x),则a n+1=3a n +2x,又a n+1=3a n -1,则2x=-1,即x=-21,故而a n+1-21=3(a n -21),则数列{a n -21}是以首项a 1-21=21,公比为3的等比数列,∴a n -21=21·3n-1,即a n =21·3n-1+21. 六、公式变形例6 已知正项数列{a n }的前项和S n 满足S n =21(a n +na 1)，求通项a n . 解析：由S 1=a 1=21(a 1+11a )得a 1=1，又a n =S n -S n-1(n ≥2)∴S n =21(a n +na 1)= 21(S n -S n-1+11--n n S S )可得S n +S n-1=11--n n S S ，即S n 2-S n-12=1,∴数列{S n 2}是首项为S 12=a 12=1,公差为1的等差数列.∴S n 2=1+(n-1)·1=n ，又S n >0，∴S n =n ,当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n -1-n ,当n=1时，a 1=1也适合，故通项a n =n -1-n .七、取倒数例7 已知数列{a n }中，a 1=2,a n =2211+--n n a a (n ≥2)，求通项a n .解析：由题意知a n ≠0，在a n =2211+--n n a a 两边同时取倒数得，n a 1=1122--+n n a a =11-n a +21,即n a 1-11-n a =21,∴数列{n a 1}是首项为11a ，公差为21的等差数列，∴n a 1=21+(n-1)21=2n , 则a n =n 2.。

构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一：a n +1=nn +1⋅a n 左右同乘n +1 (n +1)a n +1=n ⋅a n ,构造b n =n ⋅a n ,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型二：a n +1=n +1n ⋅a n 左右同除n +1 a n +1n +1=a n n ,构造b n =a n n,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型三：a n +1=n +2n ⋅a n 左右同除n +2 n +1 a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1),构造b n =a n n (n +1),则b n +1=b n,b n 为常数数列.模型四：na n +1=2(n +1)a n 左右同除n n +1a n +1n +1=2a n n ,构造b n =an n,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型五：a n +1=n +2n ⋅S n ⇒S n +1-S n =n +2n ⋅S n ⇒S n +1=2n +2n ⋅S n 左右同除n +1 S n +1n +1=2S n n,构造b n =S nn ,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型六：a n +1=n +1n ⋅a n +n +1左右同除n +1 a n +1n +1=a n n +1,构造b n =a n n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型七：a n +1=2a n +2n +1左右同除2n +1a n +12n +1=a n 2n +1,构造b n =a n 2n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型八：a n -a n +1=a n a n +1左右同除a n a n +11a n +1-1a n =1,构造b n =1an ,则b n +1-b n =1,b n 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将n +1和a n +1,n 和a n 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=23,a n +1=nn +1⋅a n,求a n . 【解析】因为a n +1=nn +1a n,所以(n +1)a n +1=na n .令b n =na n ,则b n =b n +1,即b n 是常数数列,所以b n=b 1,即na n =1×a n =23,a n =23n.【经典例题2】已知数列a n 中,a n +1=nn +2a n且a 1=2,求数列a n 的通项公式.【解析】因为a n +1=nn +2a n,所以(n +2)a n +1=na n ,(n +1)(n +2)a n +1=n (n +1)a n .令b n =n (n +1)a n ,则b n +1=b n ,即b n 是常数数列,所以b n =b 1.因此n (n +1)a n =1×2×2,a n =4n (n +1).【经典例题3】已知数列a n 中,na n +1=2(n +1)a n +n (n +1)且a 1=1,求数列a n 的通项公式.【解析】na n +1=2(n +1)a n +n (n +1),等式两侧同除n (n +1),形成a n +1n +1=2a n n +1,令b n =an n,则b n +1=2b n +1,这又回到了构造一的形式,所以b n +1+1=2(b n +1),b n +1 是以2为首项,2为公比的等差数列,即b n +1=2×2n -1=2n , b n =2n -1,所以a nn=2n -1,a n =n (2n -1).【经典例题4】已知a 1=1,且na n +1=(n +2)a n +n ,求数列a n 的通项公式.【解析】等式两侧同除n (n +1)(n +2),得a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1)+1(n +1)(n +2),即a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)(n +2),a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)-1(n +2),另b n =a n n (n +1)，所以b n +1-b n =1(n +1)-1(n +2),接下来就是叠加法发挥作用的时候了b 2-b 1=12-13b 3-b 2=13-14b 4-b 3=14-15⋯⋯b n -b n -1=1n -1(n +1)叠加得b n -b 1=12-1(n +1),b 1=a 12=12,所以b n =1-1(n +1)=n n +1，即a n n (n +1)=nn +1，a n =n 2.【练习1】已知数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则a 10=()A.28B.128C.-28D.-128【答案】B【解析】数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则:1a n +1-1a n=3(常数)则：数列1a n 是以1a 1=1为首项,3为公差的等差数列。

用构造法求数列的通项公式摘要:数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法备受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容,作为常归的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解。

关键词:归纳猜想构造例1.(2006年福建高考题)在数列{an｝中,a1=1,an+1=2an+1,则an等于()a.2nb.2n+1c.2n-1d.2n-1解:an+1=2an+1,所以an+1+1=2an+2=2(an+1),所以■=2,又a1+1=2,{an+1｝是首项为2公比为2的等比数列an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1,所以选c.归纳小结若数列{an｝满足an+1=pan+q(p≠1,q为常数),则令an+1+?姿=p(an+?姿)来构造等比数列,并利用对应项相等求?姿的值,求通项公式.例2.在数列{an｝中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an= . 解:an+2-an+1=2(an+1-an),因为a2-a1=2,所以{an-an-1｝为首项为2公比也为2的等比数列,an-an+1=2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=■=2n-1.归纳小结:先构造{an-1-an｝等比数列,这是化归思想的具体应用,再用叠加法求出通项公式,当然本题也利用了等比数列求和公式。

例3.(必修5教材69页)已知数列{an｝中a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.解:因为an=2an+3an-2,所以an+an-1=3(an-1+an-2),又a1+a2=7,{an+an-1｝形成首项为7,公比为3的等比数列,则an+an-1=7×3n-2,①又an-3an-1=-(an-1-3an-2),a2-3a1=-13,{an-3an-1｝形成了一个首项为-13,公比为-1的等比数列,则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2,②①×3+②得4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,所以an=■×3n-1+■(-1)n-1.归纳小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。