lingo-TSP问题

TSP 问题及LINGO 求解技巧巡回旅行商问题(Traveling Salesman Problem ，TSP)，也称为货郎担问题。

最早可以追溯到1759年Euler 提出的骑士旅行问题。

1948年，由美国兰德公司推动，TSP 成为近代组合优化领域的一个典型难题。

它已经被证明属于NP 难题。

用图论描述TSP ，给出一个图(,)G V E =，每边e E ∈上有非负权值()w e ,寻找G 的Hamilton 圈C ，使得C 的总权()()()W C w e e E C =∑∈最小. 几十年来，出现了很多近似优化算法。

如近邻法、贪心算法、最近插入法、最远插入法、模拟退火算法以及遗传算法。

这里我们介绍利用LINGO 软件进行求解的方法。

问题1设有一个售货员从10个城市中的某一个城市出发，去其它9个城市推销产品。

10个城市相互距离如下表。

要求每个城市到达一次仅一次后，回到原出发城市。

问他应如何选择旅行路线，使总路程最短。

我们采用线性规划的方法求解设城市之间距离用矩阵d 来表示，ij d 表示城市i 与城市j 之间的距离。

设0--1矩阵X 用来表示经过的各城市之间的路线。

设01,ij i j x i j i j ⎧=⎨⎩若城市不到城市若城市到城市且在前考虑每个城市后只有一个城市，则：11,nij j j ix =≠=∑1,,i n =… 考虑每个城市前只有一个城市，则：11,nij i i jx =≠=∑1,,j n =…； 但仅以上约束条件不能避免在一次遍历中产生多于一个互不连通回路。

为此我们引入额外变量i u (1,,i n =…），附加以下充分约束条件：1,i j ij u u nx n -+≤-1i j n <≠≤；该约束的解释：如i 与j 不会构成回路，若构成回路，有：1ij x =，1ji x =，则：1i j u u -≤-，1j i u u -≤-，从而有：02≤-，导致矛盾。

旅行售货员(TSP)，Hamilton回路的lingo程序方法一model:sets:city / 1..6/: u;! 定义6个城市;link( city, city):dist, ! 距离矩阵;x; !决策变量;endsetsn = @size( city);data: !距离矩阵;dist =0 2 100 4 100 22 0 8 100 4 100100 8 0 5 8 74 1005 06 100100 4 8 6 0 42 100 7 100 4 0 ;!这里可改为你要解决的问题的数据;enddata!目标函数;min = @sum( link: dist * x);@FOR( city( K):!进入城市K;@sum( city( I)| I #ne# K: x( I, K)) = 1;!离开城市K;@sum( city( J)| J #ne# K: x( K, J)) = 1;);!保证不出现子圈;@for(city(I)|I #gt# 1:@for( city( J)| J#gt#1 #and# I #ne# J:u(I)-u(J)+n*x(I,J)<=n-1););!限制u的范围以加速模型的求解，保证所加限制并不排除掉TSP问题的最优解;@for(city(I) : u(I)<=n-1 );@for( link: @bin( x));!定义X为0\1变量;end部分结果有：Global optimal solution found.Objective value: 26.00000Objective bound: 26.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 179V ariable V alue Reduced CostN 6.000000 0.000000U( 1) 5.000000 0.000000U( 2) 0.000000 0.000000U( 3) 3.000000 0.000000U( 4) 5.000000 0.000000U( 5) 1.000000 0.000000U( 6) 2.000000 0.000000注意，这里有两个u(1)=U(4)=5说明：（1）红色部分语句1）保证不会有某一边来回的情况假如有某(i,j)来回，则x(i,j)=x(j,i)=1,对这两个x(i,j)=x(j,i)=1分别用一次上述for语句，得到：u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1u(j)-u(i)+n*x(j,i)<=n-1将这两个不等式两边相加，则得到矛盾2n<=2(n-1)2）保证不出现子圈假如有某个子圈i->j->k->i产生，那么一定同时会有一个不包含起点1的子圈产生，所以不妨设子圈i->j->k->i不包含起点1，则有x(i,j)=x(j,k)=x(k,i)=1,但x(j,i)=x(k,j)=x(i,k)=0,对上述3个x(i,j)=x(j,k)=x(k,i)=1分别用三次上面的for语句得到：u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1u(j)-u(k)+n*x(j,k)<=n-1u(k)-u(i)+n*x(k,i)<=n-1将三个不等式相加，得到矛盾3n<=3(n-1)，所以可不能产生子圈。

TSP问题的概述旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一。

假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。

路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

TSP问题的由来TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。

TSP由美国RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线形规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。

TSP在中国的研究同样的问题，在中国还有另一个描述方法：一个邮递员从邮局出发，到所辖街道投邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍所辖的每条街道至少一次，那么他应该如何选择投递路线，使所走的路程最短？这个描述之所以称为中国邮递员问题（Chinese Postman Problem CPP）因为是我国学者管梅古教授于1962年提出的这个问题并且给出了一个解法。

人工智能上的旅行商问题，以下给出的是算法，只是理解算法之用。

for detail contact me QQ: 413309082/****************算法总框架*****************************/int i;gs.search_init(adaptee.list_place.getSelectedIndex(),adaptee.list_fun.get SelectedIndex());do{ i=gs.search_step(); }while(i==0);/***************searchinit**************************/public void search_init(int startindex,int strategy){this.strategy = strategy;AStar.graph= G;G.setSize(AStar.len);start.index = startindex;Vertex s =new Vertex();s.index = start.index;s.parent = -1;n =null;s.value =f(s.index); //s的估价函数值G.add(s);start.parentpos = -1;start.value = s.value;open.add(start);step=0;}/***************searchstep**************************/public int search_step(){Open m ;Vertex old_m;int i,j;int f;int parentpos;if(open.next==null)return -1;//查找失败//扩展的步骤数增加step++;//Open 表非空//Open 表中移出第一个n = open.removeFirst();//n放入 CLOSE 中 ,返回放入的位置parentpos=close.Add(n.index, n.parentpos);if(n.index == start.index&&step!=1) //结束状态return 1;//扩展n结点i=n.index;for(j=0;j<len;j++){if(i!=j&&value[j]!=-1) //对于所有n的后继结点 m(j){if(j==start.index&&isAll(n)) //所有城市已访问过，且回到出发城市{f=f(j); //计算此时的f值old_m=G.getVertex(j);if(old_m!=null)if(old_m.value>f||old_m.value==0)G.add(j,i,f); //j(m) i(n),G中添加j(m),父节点为i(n),估价函数值为f G.addSub(i,j); //i(n)的后继中添加j(m)m= new Open(j,parentpos,f); //Open表中添加m(j)open.add(m);continue;}if(!isExist(n,j)) //m(j)不在n(i)的祖先中(不扩张n的祖先结点){f=f(j); //计算f值//取得旧的m(j) 中value最小的,G中的节电保存了从出发城市到此地最小估价函数old_m=G.getVertex(j);// m(j)不再G中,m(j) 也就不在Close中if(old_m==null){//j(m) i(n),G中添加j(m),父节点为i(n),估价函数值为fG.add(j,i,f);//n(i) 添加后继 m(j)G.addSub(i,j);//加入Open表m=new Open(j,parentpos,f);open.add(m); //m添加入 Open 表中}else //m(j)在G中,表示Close 表中有m(j) 结点{if(old_m.value > f) //新值比较小，采用新值{//更新G中的估价函数值，以及相关指针old_m.value = f;old_m.parent = i;//添加相关从Close中删除的代码,不删除亦可}G.addSub(i,j); //n(i) 添加后继 m(j)//从Close 中删除，移入Open表中，实际上Close表中仍然保留m = new Open(j,parentpos,f);open.add(m);}}}}//本次没查找到解，请继续return 0;}A*算法实现的旅行商问题人工智能上的旅行商问题，以下给出的是算法，只是理解算法之用。

数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.Lingo软件是常用的优化问题的求解软件。

参考答案:正确2.0-1规划是整数规划。

参考答案:正确3.求解整数规划一定能得到最优解。

参考答案:错误4.整数规划是指规划问题中的全部变量限制为整数。

参考答案:错误5.所有决策变量均要求为整数的整数规划称为纯整数规划。

参考答案:正确6.整数规划与线性规划不同之处在于增加了整数约束。

参考答案:正确7.分枝定界法是整数规划的常见算法。

参考答案:正确8.原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划也一定有最优解。

参考答案:错误9.整数规划最优解常可以按照实数最优解简单取整而获得。

参考答案:错误10.与线性规划连续的可行域不同，整数规划的可行域是离散的。

参考答案:正确11.整数规划由于限制变量是整数，增加了求解难度，但整数解是有限个，所以有时候可以采用枚举法。

参考答案:正确12.非线性规划已经有一般的适合所有问题的成熟的解法。

参考答案:错误13.非线性规划的局部最优解和全局最优解等价。

参考答案:错误14.多目标规划的目标函数多于1个。

参考答案:正确15.非线性规划是指规划模型的目标函数或者约束条件中至少有一个为非线性表达式。

参考答案:正确16.多目标规划的解法包括分枝定界法，单纯形法。

参考答案:错误17.根据地球上任意两点的经纬度就可以计算这两点间的距离。

参考答案:正确18.如果可能，把非线性规划转换为线性规划是非常好的一个思路，原因是线性规划有比较成熟的算法。

参考答案:正确19.Lingo软件求解非线性规划的结果都是全部最优解。

参考答案:错误20.求解多目标规划的线性加权和法，在确定权系数之前，一般要对目标函数值做统一量纲处理，其目的是避免出现大数吃小数、权系数失去其作用的问题。

参考答案:正确21.哥尼斯堡七桥问题由欧拉证明了是可以走通的。

参考答案:错误22.“健康中国2030”规划纲要其中一项主要指标是将我国人均预期寿命提升至79岁左右。

一、问题描述TSP ，即Traveling Saleman Problem ，也就是旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP 问题，是最基本的路线问题。

TSP 的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。

TSP 问题指一个旅行商，n 个城市。

旅行商要从这一个出发地出发，择一条路径（哈密顿回路），对n 个城市中的每一个城市进行一次且仅一次的访问，最后回到出发地.其目标是得到所有可行路径之中的最小路径，或旅行时间最短，或旅行费用最少等。

如图1，图2所示，为一个5个城市的TSP 问题描述（仅画出两种方案），显然图1和图2的路线都满足遍及所有城市的要求，但是图2的路线长度要远小于图1的路线长度，而解TSP 问题的目的就是求出遍及所有城市的长度最短的路线方案。

该问题的模型可以表示为下述0/1整数规划模型：2 4 1 图13 5 1 24 35 图2{}(,j)A {:(,)}{j:(,)}{(,):,}min(1)..1(2)1(3)||12|U |||2(4)0,1ij ij i ij i i j A ij i j A ij i j A i U j U ij c x st x j Vx i Vx U V x ∈∈∈∈∈∈=∈=∈≤-≤≤-∈∑∑∑∑n ：所要访问的城市数目。

V ：所有访问的城市集。

.U ：所有访问的城市集的真子集，即V U ⊂。

A ：连接任意两个点的弧组成的集合。

()j i ：所要访问的第()j i 个城市，即V j i ∈,。

ij c ：相邻两个城市间距离。

如果 j i =，则0=ij c 。

()⎩⎨⎧=其他城市城市后紧接着访问如果访问01,j i j i X二、总结和展望禁忌搜索算法是对人类思维过程本身的一种模拟，其特点是采用了禁忌技术，它通过对一些局部最优解的禁忌达到接纳一部分较差解，从而跳出局部搜索的目的。

Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。

由于LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。

LINGO 主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。

LINGO的最新版本为，但解密版通常为和版本，本书就以为参照而编写。

1．LINGO编写格式LINGO模型以MODEL开始，以END结束。

中间为语句，分为四大部分（SECTION）：（1）集合部分（SETS）：这部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束。

这部分的作用在于定义必要的变量，便于后面进行编程进行大规模计算，就象C语言在在程序的第一部分定义变量和数组一样。

在LINGO中称为集合（SET）及其元素（MEMBER或ELEMENT，类似于数组的下标）和属性（A TTRIBUTE，类似于数组）。

LINGO中的集合有两类：一类是原始集合（PRIMITIVE SETS），其定义的格式为：SETNAME/member list（or 1..n）/：attribute,attribute,etc。

另一类是是导出集合（DERIVED SETS），即引用其它集合定义的集合，其定义的格式为：SETNAME（set1，set2，etc。

）：attribute，attribute，etc。

如果要在程序中使用数组，就必须在该部分进行定义，否则可不需要该部分。

（2）目标与约束：这部分定义了目标函数、约束条件等。

一般要用到LINGO的内部函数，可在后面的具体应用中体会其功能与用法。

求解优化问题时，该部分是必须的。

（3）数据部分（DATA）：这部分以“DATA：”开始，以“END DA TA”结束。

其作用在于对集合的属性（数组）输入必要的数值。

格式为：attribut=value_list。

该部分主要是方便数据的输入。

MODEL:SETS:city/A1..A5/:U;!U(i)=cicy No;links(city,city):distance,X;!x(i,j)=1 if we use link i,j;!the distance of the matrix; ENDSETSDATA: !distance matrix;!10000,the distance of impossible link;distance= 0 1 1 999 9991 0 9992 9991 999 02 999999 2 2 0 3999 999 999 3 0;ENDDATAn=@SIZE(city);!模型的大小;!minimize total distance of the links;MIN=@SUM(links:distance*X);!the entrance;!#要求求线路中最短的那个，而所有候选线路要满足的条件是;@FOR(city(k):!#对于线路中每一个城市;@SUM(city(i)|i#ne#k:x(i,k))=1;!#只有一条路指向这个城市;!it must be departed;@SUM(city(j)|j#ne#k:x(k,j))=1;!#从这个城市出发只有一条路可以离开（因为在环路中嘛）;@FOR(city(j)|j#gt#1 #and# j#ne#k:!#如果连接cityi和cityj，则cityj = cityi+1(啊，这个我查了好些资料才知道。

);U(j)>=U(k)+X(k,j)-(N-2)*(1-X(k,j))+(N-3)*X(j,k));! 呃，这个我好不容易看明白了。

后悔当时没认真听课，老师讲过。

貌似有点只可意会不可言传，+我qq 我跟你讲。

;);@FOR(links:@BIN(x)); !it makes the x's 0 or 1;@FOR(city(k)|k#gt#1:!这个也加qq讲吧。

TSP问题的动态规划解法第十七组：3103038028 郑少斌3103038029 王瑞锋3103038035 江飞鸿3103038043 韩鑫3103055004 唐万强1．TSP问题简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem,简称TSP, 亦称为货单郎问题）可以描述为：对于N 个城市，它们之间的距离已知，有一旅行商要从某一城市走遍所有的城市，且每一城市只能经过一次，最后回到出发的城市，问如何选择路线可使他走过的路径最短。

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

例如使用1GFLOPs次的计算机搜索TSP所需的时间如下表所示由上可知，对于这个问题采用穷举法进行解答是不现实的，这就要求我们采用其他的方法进行解答。

3．其他求解TSP问题的方法*贪心法a.所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b.下表表示用贪心法求解TSP的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

我们可以从城市C1出发，依次在每一行或列中选取元素最小的路径，且每个城市只能访问一次。

c. 按贪心法从C1出发所挑选的路径为 15432671C C C C C C C C →→→→→→→ L ＝2＋7＋3＋4＋4＋3＋10＝33不难看出，这种从局部最优原则出发的方法所得的结果的好坏，与城市间的距离的具体情况和从那个城市开始有关。

求解TSP问题算法综述一、本文概述本文旨在全面综述求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的各种算法。

TSP问题是一个经典的组合优化问题，自提出以来就引起了广泛的关注和研究。

该问题可以描述为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最短的可能路线，使得一个旅行商从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市。

本文将首先介绍TSP问题的基本定义、性质及其在实际应用中的重要性。

接着，我们将综述传统的精确算法，如动态规划、分支定界法等，以及它们在求解TSP问题中的优缺点。

然后，我们将重点介绍启发式算法和元启发式算法，包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法等，这些算法在求解大规模TSP问题时表现出良好的性能和效率。

本文还将探讨近年来新兴的机器学习算法在TSP问题求解中的应用，如深度学习、强化学习等。

我们将对各类算法进行总结和评价，分析它们在不同场景下的适用性和性能表现。

我们也将展望TSP问题求解算法的未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。

二、经典算法求解旅行商问题（TSP）的经典算法多种多样，每种算法都有其独特的优缺点和适用场景。

本节将对一些代表性的经典算法进行综述。

暴力穷举法（Brute-Force）：暴力穷举法是最简单直观的TSP求解算法。

其基本思想是生成所有可能的旅行路径，计算每条路径的总距离，然后选择最短的那条。

虽然这种方法在理论上可以找到最优解，但由于其时间复杂度为O(n!)，对于大规模问题来说计算量极大，因此并不实用。

动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来求解的优化方法。

对于TSP问题，DP算法可以将一个大循环中的多个子问题合并成一个子问题，从而减少重复计算。

然而，TSP的DP算法仍面临“维度灾难”的问题，即当城市数量增多时，所需存储空间和计算时间呈指数级增长。

TSP问题的动态规划解法第十七组：3103038028 郑少斌3103038029 王瑞锋3103038035 江飞鸿3103038043 韩鑫3103055004 唐万强1．TSP问题简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem,简称TSP, 亦称为货单郎问题）可以描述为：对于N 个城市，它们之间的距离已知，有一旅行商要从某一城市走遍所有的城市，且每一城市只能经过一次，最后回到出发的城市，问如何选择路线可使他走过的路径最短。

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

例如使用1GFLOPs 次的计算机搜索TSP 所需的时间如下表所示 城市数7152050100200加法量 3105.2⨯ 11105.6⨯ 18102.1⨯ 64105.1⨯ 157105⨯ 37410搜索时间s 5105.2-⨯1.8h350yy 48105⨯ y 14210y 35810由上可知，对于这个问题采用穷举法进行解答是不现实的，这就要求我们采用其他的方法进行解答。

3． 其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

基础题：1．目标规划问题最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A 型和B 型节能灯具的订货合同，合同中没有对这两种灯具的各自数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。

根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min ，可利用的包装时间为36000min 。

生产完成和包装一套A 型节能灯具各需要2min ；生产完成和包装完成一套B 型节能灯具各需要1min 和3min 。

每套A 型节能灯成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B 型节能灯成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。

厂长首先要求必须按合同完成订货任务，并且即不要有足量，也不要有超量。

其次要求满意销售额达到或者尽量接近275000元。

最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但过量尽量地小。

同时注意到增加生产时间要比包装时间困难得多。

试为该节能灯具厂制定生产计划。

解：将题中数据列表如下：根据问题的实际情况，首先分析确定问题的目标级优先级。

第一优先级目标：恰好完成生产和包装完成节能灯具16000套，赋予优先因子p1；第二优先级目标：完成或者尽量接近销售额为275000元，赋予优先因子p2； 第三优先级目标：生产和包装时间的增加量尽量地小，赋予优先因子p3； 然后建立相应的目标约束。

在此，假设决策变量12,x x 分别表示A 型，B 型节能灯具的数量。

（1） 关于生产数量的目标约束。

用1d -和1d +分别表示未达到和超额完成订货指标16000套的偏差量，因此目标约束为1111211min ,..16000z d d s t x x d d -+-+=+++-=要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小（2） 关于销售额的目标约束。

用2d -和2d +分别表示未达到和超额完成满意销售指标275000元的偏差值。

因此目标约束为221222min ,..1520-275000.z d s t x x d d --+=++=要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，(另外：d +要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小) （3） 关于生产和包装时间的目标约束。

图论与网络流问题的LINGO 求解技巧我们介绍使用LINGO 求解图论与网络问题中的一些典型问题。

如最短路问题、最大流问题、关键路径问题、最优树问题，以及TSP 问题。

这里主要介绍使用LINGO 求解的方法，重在应用和解决问题。

1 最短路问题的Lingo 求解设图共有个节点，其赋权图的邻接矩阵为n n n w ×.ij w p =表示节点i 到j 的权值为.当为有向图时，p ji w w ij =；当为无向图时，和ij w ji w 分别由图得到，通常不一样。

当，表示节点i 与节点0ij w =j 不连通。

令0ii w =。

假设图的所有权值 0ij w ≥现求节点a 到节点b 的最短路，其线性规划模型为：模型一、决策变量：设1ij i j x i j ⎧=⎨⎩节点与节点连通节点与节点不连通目标函数为寻找一条节点到节点的通路，使其上权值和最小，故目标函数为：a b 11min .nnij ij i j Z w x ===∑∑1. 对节点恰有一条路出去，却不能有路回来，故有：a 11najj j ax=≠=∑ 且10nkak k a x=≠=∑2. 对节点恰有一条路到达，却不能有路出去，故有：b 11nkbk k bx=≠=∑ 且10nbjj j bx=≠=∑3. 对除起始点a 和目标点之外，其它点进入和出去的路是一样多（可都为0），则：b 11,nnkiijk j xx i a ===≠∑∑b4. 对不通的路不取，约束为：,1,2,ij ijx w i j ≤=L n总的线性规划模型为：11111111min .,10..10,1,2,,01n nij iji j nnki ijk j naj j j a n ka k k a n kb k k a nbj j j a ij ijijZ w x x x i a b x x s t x x x w i j x =====≠=≠=≠=≠=⎧=≠⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎪≤=⎪⎪=⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑L 或n示例演示。

tsp问题总结归纳TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是一类经典的组合优化问题，在数学和计算机科学领域具有重要的研究价值和实际应用。

本文将从定义、解决方法和应用三个方面，对TSP问题进行总结归纳。

一、定义TSP问题是指给定一系列城市和城市之间的距离，求解经过每个城市一次且路径最短的旅行路线。

该问题可以用图论中的欧拉图和哈密顿图来描述。

在欧拉图中，一笔画问题要求从图的一个顶点开始，经过每个边一次并回到起点；而哈密顿图中，要求从图的一个顶点开始，经过每个顶点一次而路径最短。

二、解决方法1. 穷举法：穷举法是最简单直接的解决TSP问题的方法，即尝试遍历所有可能的路径，并计算每条路径的总距离，从中选出最短的一条。

然而，由于TSP问题的复杂性，穷举法在实际应用中很少使用，因为其时间复杂度随着城市数量的增加而急剧增加。

2. 动态规划：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解构建整体最优解。

动态规划方法可以有效地解决TSP问题，但其时间复杂度仍然较高，在大规模问题中难以实施。

3. 遗传算法：遗传算法是一种基于生物进化原理的搜索算法，通过模拟遗传、突变和选择等操作，逐步优化解的质量。

遗传算法在解决TSP问题中具有良好的性能和适应性，能够处理较大规模的问题，但其结果并不一定是全局最优解。

三、应用TSP问题在实际生活和工程领域中有广泛的应用，如物流配送、路径规划、电路布线等。

通过求解TSP问题，可以帮助优化物流运输路线、节约时间和资源成本，提高效率。

结论TSP问题是一个具有理论研究价值和实际应用的经典问题，其求解方法多种多样。

穷举法虽然简单直接，但在实际问题中难以应用；动态规划方法虽然高效，但对于大规模问题仍有限制；遗传算法具有较好的适应性和性能，可以处理较大规模的问题。

TSP问题在实际应用中可以有效地优化物流和路径规划等方面，提高效率和节约成本。

通过对TSP问题的总结归纳，我们可以更好地理解和应用有关组合优化问题的解决方法，推动其在实践中的发展和应用。