高三第一次高考模拟考试卷数学(理科)

绝密 ★ 启用前 试卷类型A高三第一次模拟考试 数学（理科）试卷命题人:本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共21题，共150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}082|{2≤--=x x x M ，集合}0lg |{≥=x x N ，则=N M（A ）}42|{≤≤-x x （B ）}1|{≥x x （C ）}41|{≤≤x x （D ）}2|{-≥x x （2）下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在)0,(-∞上单调递增的函数是（A ）2)(x x f = （B ）||2)(x x f = （C ）||1log )(2x x f =（D ）x x f sin )(= （3）设R ∈ϕ，则“2πϕ=”是“)2cos()(ϕ+=x x f 为奇函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）由曲线x y =，直线x y =所围成的封闭图形的面积是（A ）61（B ）21 （C ）32（D ）1（5）已知02<<-απ，51cos sin =+αα，则αα22sin cos 1-的值为 （A ）57 （B ）257 （C ）725 （D ）2524（6）若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,y y x x y 且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n ，则=-n m（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （7）已知命题“R ∈∃x ，使021)1(22≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是 （A ）)1,(--∞ （B ）)3,1(- （C ）),3(+∞- （D ）)1,3(-（8）将函数)62sin(π-=x y 的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为（A ）3π=x （B ）6π=x （C ）12π=x （D ）12π-=x（9）函数||22x e x y -=在]2,2[-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）（10）设函数)(x f '是函数)R )((∈x x f 的导函数，1)0(=f ，且3)()(3-'=x f x f ，则)()(4x f x f '>的解集为（A ）),34ln (+∞ （B ）),32ln (+∞ （C ）),23(+∞ （D ）),3(+∞e第Ⅱ卷二、填空题：本题共5小题，每小题5分。

2021-2022年高三第一次模拟考试数学（理）试题本试卷，分第I 卷和第II 卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}24,0,1,2,3,A x x B A B =<=⋂=则A. B. C. D. 2.已知，其中是实数，i 是虚数单位，则的共轭复数为A. B. C. D.3.下列命题为真命题的是A.若0ln ln 0x y x y >>+>，则B.“”是“函数为偶函数”的充要条件C. ，使成立D. 已知两个平面，若两条异面直线满足，4.设随机变量服从正态分布()()()3,4,232N P a P a a ξξ<-=>+若，则的值为A. B.C.3D.5 5.已知圆()()()22:240C x a y a -+-=>，若倾斜角为45°的直线l 过抛物线的焦点，且直线l 被圆C 截得的弦长为，则a 等于A. B. C. D.6.下列函数中，既是偶函数，又在区间上是减函数的为A. B. C. D.7.设向量()()()1,2,,1,,0OA OB a OC b =-=-=-，其中O 为坐标原点，，若A,B,C 三点共线，则的最小值为A.4B.6C.8D.98.已知满足不等式组0,0,,2 4.x y x y m y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当时，目标函数的最大值的变化范围是 A. B. C. D.9.已知一个平放的各棱长均为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于A. B. C. D.10.如图所示，由直线()2,10,x a x a a y x x ==+>=及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，若对，不等式111111122121A n n n n n n ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅++++-恒成立，则实数A 等于A.B. C. D.第II 卷（共100分） 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________.12.函数()()0,0,sin 2A f x A x πωϕωϕ⎛⎫=>>< ⎪+⎝⎭的部分图象如图所示，则__________.13.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有__________种.14.已知A 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点，分别为虚轴的两个端点，F 为右焦点.若，则双曲线C 的离心率是_________.15.在研究函数()2241240f x x x x =+--+的性质时，某同学受两点间距离分工启发，将变形为()()()()()2222002602f x x x =-+---+-，并给出关于函数以下五个描述： ①函数的图象是中心对称图形；②函数的图象是轴对称图形；③函数在上是增函数；④函数没有最大值也没有最小值；⑤无论m 为何实数，关于x 的方程都有实数根.其中描述正确的是___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本题满分12分）已知函数()()23sin cos sin10f x x x x ωωωω=-+>相邻两条对称轴之间的距离为.（I ）求的值及函数的单调递减区间；（II ）已知分别为中角的对边，且满足()3,1,a f A ABC ==∆求面积S 的最大值.17. （本题满分12分）如图，四棱锥90P ABCD ABC BAD -∠=∠=中，，2,BC AD PAB PAD =∆与都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点.（I ）证明：AE//平面PCD ；（II ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小.18. （本题满分12分）为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛，经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军.决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的选后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④选得3分者获胜，已知甲、乙答对每道题的概率分别为，且每次答题的结果相互独立.（I ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；（II ）若甲选答题，记乙所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. （本题满分12分）数列是公差为正数的等差数列，是方程的两实数根，数列满足.（I ）求；（II ）设为数列的前n 项和，求，并求的最大值.20. （本题满分13分）设()()2ln 21,f x x x ax a x a R =-+-∈.（I ）令的单调区间；（II ）当时，直线的图像有两个交点，()21212,,2B x t x x x x <+>且，求证：.21. （本题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点，离心率为，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当时，求面积的最大值；（III ）若直线l 的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点A 的定点.24988 619C 憜Y28199 6E27 渧34896 8850 衐38022 9486 钆33557 8315 茕25966 656E 敮28645 6FE5 濥23564 5C0C 尌37937 9431 鐱33387 826B 艫32941 80AD 肭。

卜人入州八九几市潮王学校2021年高三年级第一次调研考试数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选项里面，有且只有一项为哪一项哪一项符合要求的．1. 设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，那么()U A B =〔〕A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4}2. 复数13i z =+，21i z =-，那么复数12z z 在复平面内对应的点位于〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 如下列图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A．3π2B ．2πC ．3πD ．4π4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，那么(2)f -= 〔〕A ．1B ．14C ．1-D ．114-5. 等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，那么这个等比数列的公比是〔〕 A ．4B ．3C ．2D ．126. 函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是〔〕A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)7. 为调查生平均每人每天参加体育锻炼时间是X 〔单位：分钟〕，按锻炼时间是分以下四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名生参加了此项活动，以下列图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，那么平均每天参加体育锻炼时间是在0～20分钟内的学生的频率是 〔〕A ．3800B ．6200C ．0.38D ．0.628. 如图，(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，那么光线所经过的路程是〔〕 A ．210B ．6C ．33D ．259. 在ABC ∆中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，假设60B =︒，75C =︒，8a =，那么边b 的长等于．10. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所的自主招生考试，由于其中两所的考试时间是是一样，因此该学生不能同时报考这两所．该学生不同的报考方法种数是 ．〔用数字答题〕11. 在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，那么222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，那么．12. 定义在区间[0,1]上的函数()y f x =的图像如下列图，对于满足1201x x <<<的任意1x 、2x ，给出以下结论：① 2121()()f x f x x x ->-；开场0S =1T =输入X 20X ≤1T T =+ 1S S =+10000T ≤输出S 完毕② 2112()()x f x x f x >； ③1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 其中正确结论的序号是．〔把所有正确结论的序号都填上〕13. 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是，它与方程π4θ=〔0ρ>〕所表示的图形的交点的极坐标是．14. 〔不等式选讲选做题〕点P 是边长为它到三边的间隔分别为x 、y 、z ，那么x 、y 、z 所满足的关系式为，222x y z ++的最小值是．15. 〔几何证明选讲选做题〕如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、TB 于D 、E 两点，2PT =，PB ，那么PA =，TEAD=．二、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．16. 〔本小题总分值是12分〕向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅．〔Ⅰ〕求()f x 的最大值及相应的x 的值；〔Ⅱ〕假设8()5f θ=，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17. 〔本小题总分值是12分〕将一个半径适当的小球放入如下列图的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在 下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或者B 袋中．小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．〔Ⅰ〕求小球落入A 袋中的概率()P A ；〔Ⅱ〕在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ．18. 〔本小题总分值是14分〕如下列图的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．〔Ⅰ〕求证：DMEB ⊥；〔Ⅱ〕求二面角M BD A --的余弦值．19. 〔本小题总分值是14分〕在平面直角坐标系中，点(2,0)A 、(2,0)B -，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 的斜率之积为34-．〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围．20. 〔本小题总分值是14分〕()ln f x x =，217()22g x x mx =++〔0m <〕，直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都 相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．〔Ⅰ〕求直线l 的方程及m 的值；〔Ⅱ〕假设()(1)()h x f x g x '=+-〔其中()g x '是()g x 的导函数〕，求函数()h x 的最大值； 〔Ⅲ〕当0b a <<时，求证：()(2)2b af a b f a a-+-<． 21. 〔本小题总分值是14分〕如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y 〔120n y y y <<<<〕是曲线C ：23y x =〔0y ≥〕上的n 个点，点(,0)i i A a 〔1,2,3,,i n =〕在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是正三角形〔0A 是坐标原点〕．〔Ⅰ〕写出1a 、2a 、3a ；〔Ⅱ〕求出点(,0)n n A a 〔n *∈N 〕的横坐标n a 关于n 的表达式；〔Ⅲ〕设12321111nn n n nb a a a a +++=++++，假设对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，务实数t 的取值范围． 2021年高三年级第一次调研考试数学〔理科〕参考答案一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选项里面，有且只有一项为哪一项哪一项符合要求的．二、填空题：9．10．1611．22221111h a b c =++ 12．②③13．(1,0)，π4⎫⎪⎭ 14．3x y z ++=，315 三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．16. 解：〔Ⅰ〕因为(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，所以π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，当ππ22π42x k -=+，即3ππ8x k =+〔k ∈Z 〕时，()f x 1； 〔Ⅱ〕由()1sin 2cos2f θθθ=+-及8()5f θ=得3sin 2cos25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．17. 解：〔Ⅰ〕记“小球落入A 袋中〞为事件A ，“小球落入B 袋中〞为事件B ，那么事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或者一直向右落下，故33111()224P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而13()1()144P A P B =-=-=； 〔Ⅱ〕显然，随机变量34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故 3343127(3)4464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，3434E ξ=⨯=．18. 解：建立如下列图的空间直角坐标系，并设22EA DA AB CB ====，那么〔Ⅰ〕31,1,2DM⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,2,0)EB =-，所以0DM EB ⋅=，从而得DM EB ⊥；〔Ⅱ〕设1(,,)n x y z =是平面BDM 的 法向量，那么由1n DM ⊥，1n DB ⊥及31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-得11302220n DM x y z n DB y z ⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎩可以取1(1,2,2)n =． 显然，2(1,0,0)n =为平面ABD 的法向量．设二面角M BD A --的平面角为θ，那么此二面角的余弦值121212||1cos |cos ,|3||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅．19. 解：〔Ⅰ〕依题意，有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+〔2x ≠±〕，化简得 22143x y +=〔2x ≠±〕， 这就是动点P 的轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕依题意，可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --，那么有2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩， 两式相减，得4430014342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-，由此得点M 的轨迹方程为 226830x y x +-=〔0x ≠〕．设直线MA ：2x my =+〔其中1m k=〕，那么 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩， 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥，即18k ≥，解之得k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 20. 解：〔Ⅰ〕依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-〔4m =不合题意，舍去〕；〔Ⅱ〕因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+〔1x >-〕，所以1()111xh x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． 因此，当0x =时，()h x 获得最大值(0)2h =； 〔Ⅲ〕当0b a <<时，102b aa--<<．由〔Ⅱ〕知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭． 21. 解：〔Ⅰ〕12a =，26a =，312a =；〔Ⅱ〕依题意，得12n n na a x -+=，12n n n a a y --，由此及23n n y x =得2113()22n n n n a a a a ---⎫=+⎪⎭， 即211()2()n n n n a a a a ---=+．由〔Ⅰ〕可猜想：(1)n a n n =+〔n *∈N 〕． 下面用数学归纳法予以证明： 〔1〕当1n =〔2〕假定当n k =(1)n a k k =+，那么当1n k =+时，由归纳假设及得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，解之得1(1)(2)k a k k +=++〔1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去〕， 即当1n k =+〔Ⅲ〕12321111nn n n nb a a a a +++=++++2111112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 令1()2f x x x =+〔1x ≥〕，那么21()2210f x x'=-≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函数，故当1x =时，()f x 获得最小值3，即当1n =时，max 1()6n b =．2126n t mt b -+>〔n *∀∈N ，[1,1]m ∀∈-〕2max 112()66n t mt b ⇔-+>=，即220t mt ->〔[1,1]m ∀∈-〕222020t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩． 解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．。

高三第一次阶段性模拟测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分）)1. 设集合Q ={x|2x 2−5x ≤0, x ∈N}，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是( ) A.3B.4C.7D.82. 下列判断正确的是（ ）A.若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B.命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”C.“sinα=12”是“α=π6”的充分不必要条件D.命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”3. 若函数y =ax 与y =−bx 在(0, +∞)上都是减函数，则y =ax 2+bx 在(0, +∞)上是（ ） A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增4. 三个数60.7，0.76，log 0.76的从小到大的顺序是（ ） A.log 0.76<0.76<60.7 B.0.76<60.7<log 0.76 C.log 0.76<60.7<0.76D.0.76<log 0.76<60.75. 函数f(x)＝a x−1a(a >0, a ≠1)的图象可能是（ ）A.B.C. D.6. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|2x <1}，B ＝{x|log 3x >0}，则A ∩(∁U B)＝（ ） A.{x|x >1}B.{x|x >0}C.{x|0<x <1}D.{x|x <0}7. 已知p:|m +1|<1，q ：幂函数y ＝(m 2−m −1)x m 在(0, +∞)上单调递减，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lgx 的定义域和值域相同的是（ ） A.y =xB.y =lgxC.y =2xD.y =√x9. 已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x +4)=f(x)，当x ∈(0, 2)时，f(x)=2x 2，则f(2 019)等于( ) A.−2B.2C.−98D.9810. 已知函数f(x)={x 2+x,x ≥0−3x,x <0 ，若a[f(a)−f(−a)]>0，则实数a 的取值范围为（ ）A.(1, +∞)B.(2, +∞)C.(−∞, −1)∪(1, +∞)D.(−∞, −2)∪(2, +∞)11. 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是（ ） A.[−2, 2]B.[−1, 1]C.[0, 4]D.[1, 3]12. 设函数f(x)={2−x ，x ≤0，1,x >0，则满足f(x +1)<f(2x)的x 的取值范围是（ ）A.(−∞, −1]B.(0, +∞)C.(−1, 0)D.(−∞, 0)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）) 13. 已知复数z ＝3−4i ，则|z|z=________．14. 函数f(x)=√4−4x +ln(x +4)的定义域为________． 15. 若函数y =x 2−3x −4的定义域为[0, m]，值域为[−254, −4]，则m 的取值范围是________．16. 已知函数f(x)={√x +1,−1<x <0,2x,x ≥0若实数a 满足f(a)＝f(a −1)，则f(1a )＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）)17. 已知命题p ：方程x 2+mx +1＝0有两个不相等的负实根，命题q ：不等式4x 2+4(m −2)x +1>0的解集为R ，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18. 计算以下式子的值： （1）2lg2+lg25； （2）(1−log 63)2+log 62⋅log 618log 64；（3）(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5．19. 已知函数f(x)＝x 2+(2a −1)x −3．（1）当a ＝2，x ∈[−2, 3]时，求函数f(x)的值域．（2）若函数f(x)在[−1, 3]上单调递增，求实数a 的取值范围． 20. 已知f(x)＝log a 1+x1−x (a >0, a ≠1)． （1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并予以证明；（3）求使f(x)>0的x 取值范围．21. 已知幂函数f(x)=x (m2+m)−1(m ∈N ∗)，经过点(2, √2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2−a)>f(a −1)的实数a 的取值范围．22. 已知直线l 的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sinθ−2cosθ． （1）求曲线C 的参数方程；（2）当α=π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分） 1. 【答案】 D【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】解出集合Q ，再根据P ⊆Q ，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P 的个数. 【解答】解：集合Q ={x|2x 2−5x ≤0, x ∈N}={x|0≤x ≤52, x ∈N}，∴ Q ={0, 1, 2}，共有三个元素， ∵ P ⊆Q .又Q 的子集的个数为23=8， ∴ P 的个数为8. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】直接利用命题真假的判定，充分条件和必要条件，命题的否定，真值表的应用判定A 、B 、C 、D 的结果． 【解答】对于选项A ：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为假命题． 对于选项B ：命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”真命题． 对于选项C ：“sinα=12”是“α=π6”的必要不充分条件，假命题．对于选项D ：命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0”假命题． 3. 【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明【解析】根据y =ax 与y =−bx 在(0, +∞)上都是减函数，得到a <0，b <0，对二次函数配方，即可判断y =ax 2+bx 在(0, +∞)上的单调性． 【解答】解：∵ y =ax 与y =−bx 在(0, +∞)上都是减函数， ∴ a <0，b <0，∴ y =ax 2+bx 的对称轴方程x =−b 2a<0，∴ y =ax 2+bx 在(0, +∞)上为减函数． 故选B . 4. 【答案】 A【考点】利用不等式比较两数大小 【解析】由函数y ＝6x ，y ＝0.7x 和y ＝log 0.7x 单调性，可得60.7>1，0<0.76<1，log 0.76<0，进而可得答案． 【解答】因为指数函数y ＝6x 单调递增，故60.7>60＝1，同理因为指数函数y ＝0.7x 单调递减，故0<0.76<0.70＝1， 又因为对数函数y ＝log 0.7x 单调递减，故log 0.76<log 0.71＝0， 故log 0.76<0.76<60.7， 5. 【答案】 D【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点(−1, 0)，问题得以解决． 【解答】当0<a <1时，函数f(x)＝a x −1a ，为减函数，当a >1时，函数f(x)＝a x −1a，为增函数，且当x ＝−1时f(−1)＝0，即函数恒经过点(−1, 0)，6.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先化简集合A、B，求出∁U B，然后借助数轴即可求得答案．【解答】A＝{x|x<0}，B＝{x|x>1}，则∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁U B)＝{x|x<0}，7.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】分别化简p，q，再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】p:|m+1|<1等价于−2<m<0，∵幂函数y＝(m2−m−1)x m在(0, +∞)上单调递减，∴m2−m−1＝1，且m<0，解得m＝−1，∴p是q的必要不充分条件，8.【答案】D【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为(0, +∞)，函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为(0, +∞)，值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为(0, +∞)，不满足要求；函数y=√x的定义域和值域均为(0, +∞)，满足要求；故选D.9.【答案】A【考点】抽象函数及其应用【解析】求出函数的周期，转化所求函数值为已知条件，求解即可．【解答】解：f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，可得函数的周期为：4，f(2 019)=f(2016+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)．当x∈(0, 2)时，f(x)=2x2，f(2 019)=−f(1)=−2×12=−2．故选A．10.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断分段函数的应用【解析】结合已知的函数的解析式，分别求出a>0和a<0时的情况下不等式的解集，即可得到答案．【解答】当a>0时，不等式a[f(a)−f(−a)]>0化为a2+a−3a>0，解得a>2，当a<0时，不等式a[f(a)−f(−a)]>0化为−a2−2a<0，解得a<−2，综上所述a的取值范围为(−∞, −2)∪(2, +∞)，11.【答案】D【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性．【解答】解：∵ 函数f(x)为奇函数． 若f(1)=−1，则f(−1)=1，又∵ 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，−1≤f(x −2)≤1， ∴ f(1)≤f(x −2)≤f(−1)， ∴ −1≤x −2≤1， 解得：x ∈[1, 3]， 故选D . 12. 【答案】 D【考点】分段函数的应用函数单调性的判断与证明 【解析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可． 【解答】解：函数f(x)={2−x ，x ≤0，1,x >0的图象如图：满足f(x +1)<f(2x)，可得：2x <0<x +1或2x <x +1≤0， 解得x ∈(−∞, 0)． 故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 【答案】35+45i 【考点】 复数的运算 【解析】由已知求得|z|，代入|z|z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】∵ z ＝3−4i ，∴ |z|＝|z|=√32+(−4)2=5， 则|z|z =53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=35+45i ． 14. 【答案】 (−4, 1]【考点】函数的值域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【解答】由{4−4x ≥0x +4>0，解得−4<x ≤1．∴ 函数f(x)=√4−4x +ln(x +4)的定义域为(−4, 1]． 15. 【答案】 [32, 3] 【考点】二次函数的性质 【解析】根据函数的函数值f(32)=−254，f(0)=−4，结合函数的图象即可求解 【解答】解：∵ f(x)=x 2−3x −4=(x −32)2−254，∴ f(32)=−254，又f(0)=−4， 故由二次函数图象可知：m 的值最小为32，最大为3．m 的取值范围是：32≤m ≤3．故答案为：[32, 3].16. 【答案】 8【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】分析可得函数f(x)在(−1, 0)和区间[0, +∞)上都是增函数，进而分析可得若实数a 满足f(a)＝f(a −1)，必有a >0，且有2a =√a ，解可得a 的值，结合解析式求出f(1a )的值即可得答案． 【解答】根据题意，f(x)={√x +1,−1<x <0,2x,x ≥0其定义域为(−1, +∞)，则函数f(x)在(−1, 0)和区间[0, +∞)上都是增函数， 当a ≥1时，有2a ＝2(a −1)，无解； 当−1<a <0时，无解；若实数a 满足f(a)＝f(a −1)，必有−1<a −1<0且1>a >0，且有2a =√a ，解可得a =14，则f(1a)＝f(4)＝8，故f(1a )＝8，三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. 【答案】令f(x)＝x 2+mx +1，若命题p 真，则有{△=m 2−4>0−m2<0f(0)>0，解得 m >2． 若命题q 真，则有判别式△′＝[4(m −2)]2−16<0，解得 1<m <3．根据p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，可得命题p 和命题q 一个为真，另一个为假． 当命题p 为真、命题q 为假时，m ≥3． 当命题p 为假、命题q 为真时，1<m ≤2． 综上可得，m 的取值范围为[3, +∞)∪(1, 2]． 【考点】复合命题及其真假判断 一元二次不等式的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】若命题p 真，则有 {△=m 2−4>0−m2<0f(0)>0，解得 m >2；若命题q 真，则有判别式△′＝[4(m −2)]2−16<0，解得 1<m <3．分命题p 为真、命题q 为假，以及命题p 为假、命题q 为真两种情况，分别求出m 的取值范围，取并集即得所求． 【解答】令f(x)＝x 2+mx +1，若命题p 真，则有{△=m 2−4>0−m2<0f(0)>0，解得 m >2． 若命题q 真，则有判别式△′＝[4(m −2)]2−16<0，解得 1<m <3．根据p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，可得命题p 和命题q 一个为真，另一个为假． 当命题p 为真、命题q 为假时，m ≥3． 当命题p 为假、命题q 为真时，1<m ≤2． 综上可得，m 的取值范围为[3, +∞)∪(1, 2]． 18. 【答案】原式＝lg4+lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2；原式=(log 66−log 63)2+log 62⋅log 61821og 62=(log 62)2+log 62⋅log 61821og 62=log 62(log 62+log 618)21og 62=log 6362=1； 原式=1+14⋅23−0.1=910+16=1615． 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 对数的运算性质 【解析】（1）进行对数的运算即可； （2）进行对数的运算即可； （3）进行指数的运算即可． 【解答】原式＝lg4+lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2； 原式=(log 66−log 63)2+log 62⋅log 61821og 62=(log 62)2+log 62⋅log 61821og 62=log 62(log 62+log 618)21og 62=log 6362=1；原式=1+14⋅23−0.1=910+16=1615．19. 【答案】当a ＝2，x ∈[−2, 3]时，函数f(x)＝x 2+(2a −1)x −3＝x 2+3x −3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f(x)的值域为[−214, 15]．若函数f(x)在[−1, 3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴ a ≥32，即实数a 的范围为[32, +∞)【考点】函数单调性的性质与判断 二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）当a ＝2，x ∈[−2, 3]时，利用二次函数的性质求得函数f(x)的值域． （2）由函数f(x)在[−1, 3]上单调递增，可得1−2a 2≤−1，由此求得a 的范围．【解答】当a ＝2，x ∈[−2, 3]时，函数f(x)＝x 2+(2a −1)x −3＝x 2+3x −3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f(x)的值域为[−214, 15]．若函数f(x)在[−1, 3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴ a ≥32，即实数a 的范围为[32, +∞)20. 【答案】由对数函数的定义知1+x 1−x >0．如果{1+x >01−x >0，则−1<x <1；如果{1+x <01−x <0，则不等式组无解．故f(x)的定义域为(−1, 1)∵ f(−x)=log a 1−x 1+x =−log a 1+x1−x =−f(x)， ∴ f(x)为奇函数．(ⅰ)对a >1，log a 1+x1−x >0等价于1+x1−x >1，①而从（1）知1−x >0，故①等价于1+x >1−x ，又等价于x >0．故对a >1，当x ∈(0, 1)时有f(x)>0．(ⅱ)对0<a <1，log a 1+x 1−x>0等价于0<1+x 1−x<1．②而从（1）知1−x >0，故②等价于−1<x <0．故对0<a <1，当x ∈(−1, 0)时有f(x)>0．【考点】函数奇偶性的性质与判断 对数函数的定义域 【解析】（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f(−x)和f(x)的关系，注意到1+x1−x 和1−x1+x 互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f(−x)+f(x)＝0得到．（3）由对数函数的图象可知，要使f (x)>0，需分a >0和a <0两种境况讨论． 【解答】由对数函数的定义知1+x1−x >0．如果{1+x >01−x >0，则−1<x <1； 如果{1+x <01−x <0 ，则不等式组无解．故f(x)的定义域为(−1, 1)∵ f(−x)=log a 1−x 1+x =−log a 1+x1−x =−f(x)， ∴ f(x)为奇函数．(ⅰ)对a >1，log a 1+x 1−x >0等价于1+x1−x >1，①而从（1）知1−x >0，故①等价于1+x >1−x ，又等价于x >0．故对a >1，当x ∈(0, 1)时有f(x)>0．(ⅱ)对0<a <1，log a 1+x1−x >0等价于 0<1+x1−x <1．②而从（1）知1−x >0，故②等价于−1<x <0．故对0<a <1，当x ∈(−1, 0)时有f(x)>0． 21. 【答案】∵ 幂函数f(x)经过点(2, √2)， ∴ √2=2(m 2+m)−1，即212=2(m2+m)−1∴ m 2+m ＝2．解得m ＝1或m ＝−2． 又∵ m ∈N ∗，∴ m ＝1．∴ f(x)=x 12，则函数的定义域为[0, +∞)，并且在定义域上为增函数． 由f(2−a)>f(a −1)得{2−a ≥0a −1≥02−a >a −1 解得1≤a <32．∴ a 的取值范围为[1, 32)． 【考点】 幂函数的性质 【解析】先根据幂函数的定义求出m 的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可． 【解答】∵ 幂函数f(x)经过点(2, √2)， ∴ √2=2(m 2+m)−1，即212=2(m2+m)−1∴ m 2+m ＝2．解得m ＝1或m ＝−2． 又∵ m ∈N ∗，∴ m ＝1．∴ f(x)=x 12，则函数的定义域为[0, +∞)，并且在定义域上为增函数． 由f(2−a)>f(a −1)得{2−a ≥0a −1≥02−a >a −1 解得1≤a <32．∴ a 的取值范围为[1, 32)．22. 【答案】由ρ＝2sinθ−2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ−2ρcosθ．把{x =ρcosθy =ρsinθ ，ρ2＝x 2+y 2代入可得：曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2＝2y −2x ， 标准方程为(x +1)2+(y −1)2＝2． 曲线C 的直角坐标方程化为参数方程为{x =−1+√2cosφy =1+√2sinφ（φ为参数）．当α=π4时，直线l 的方程为{x =−2+√22t y =√22t化成普通方程为y ＝x +2．联立{x 2+y 2=2y −2xy =x +2，解得{x =0y =2 ，或{x =−2y =0 ．利用{x =ρcosθy =ρsinθ ，ρ2＝x 2+y 2可得：直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2, π2)，(2, π)．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）由ρ＝2sinθ−2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ−2ρcosθ．把{x =ρcosθy =ρsinθ ，ρ2＝x 2+y 2代入可得：曲线C 的直角坐标方程．利用cos 2φ+sin 2φ＝1即可标准曲线C 的直角坐标方程化为参数方程．（2）当α=π4时，直线l 的方程为{x =−2+√22t y =√22t，化成普通方程为y ＝x +2．与圆的方程联立解出，进而化为极坐标． 【解答】由ρ＝2sinθ−2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ−2ρcosθ．把{x =ρcosθy =ρsinθ ，ρ2＝x 2+y 2代入可得：曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2＝2y −2x ， 标准方程为(x +1)2+(y −1)2＝2． 曲线C 的直角坐标方程化为参数方程为{x =−1+√2cosφy =1+√2sinφ（φ为参数）．当α=π4时，直线l 的方程为{x =−2+√22ty =√22t化成普通方程为y ＝x +2．联立{x 2+y 2=2y −2xy =x +2，解得{x =0y =2 ，或{x =−2y =0 ．利用{x =ρcosθy =ρsinθ，ρ2＝x 2+y 2可得：直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2, π2)，(2, π)．。