概率论参数分析例题

常见连续性随机变量1、均匀分布2、正态分布3、指数分布4、埃尔兰分布5、 T 分布（一）均匀分布 ξ～U(a,b)▪ 实际背景：随机变量 X 仅在一个有限区间（a,b ）上取值；随机变量 X 在其内取值具有“等可能”性，则 ξ～U(a,b)。

“等可能”表现在： 若a ≤c<c+l ≤b ，则P{c<ξ<c+l } 与位置无关，只与长度有关设ξ具有概率密度：则称ξ在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为ξ ~U(a,b)。

例1：设电阻值R 是一个随机变量，均匀分布在900Ώ~1100Ώ，求R 的概率密度及R 落在 950Ώ~1050Ώ的概率。

解：按题意，R 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=].,[,0];,[,1)(b a x b a x a b x p ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=.,1;,;,0)(b x b x a a b a x a x x F ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0110090090011001)(x x p 5.02001}1050950{1050950==<<⎰dr R P例2 ξ ~ U (2, 5). 现在对 ξ 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：记 A = { ξ > 3 },则 P (A ) = P ( ξ> 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y ~ B (3, 2/3)，所求概率为P (Y ≥2) =P (Y =2)+P (Y =3)=20/27（二）正态分布(normal distribution )记为ξ ~ N (μ, σ2),其中σ >0， μ 是任意实数.➢ μ 是位置参数➢ σ 是尺度参数.正态分布的性质(1) p (x ) 关于μ 是对称的. 在μ 点 p (x ) 取得最大值.(2) 若σ 固定, μ 改变, p (x )左右移动, 形状保持不变.(3) 若μ 固定, σ 改变,σ 越大曲线越平坦; σ 越小曲线越陡峭标准正态分布N (0, 1)密度函数记为 ϕ(x ),分布函数记为 Φ(x ).Φ(x ) 的计算(1) x ≥ 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x < 0时, 用 若 ξ ~ N (0, 1), 则(1) P (ξ < a ) = Φ(a );(2) P (ξ≥a ) =1-Φ(a );(3) P (a ≤ξ<b ) = Φ(b )Φ-(a );(4) 若a ≥ 0, 则P (|ξ|<a ) = P (-a <ξ<a ) = Φ(a )Φ-(-a ) = Φ(a )- [1- Φ(a )] = 2Φ(a )-1230233*********C C =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()(),22x p x x μσ⎧⎫-⎪⎪=--∞<<∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭R x dt e x F x t ∈=⎰∞---,21)(222)(σμσπ1(1) (0),2Φ=(2)()1()x x Φ-=-Φ()1().x x Φ=-Φ-例2.5.1 设 ξ ~ N (0, 1), 求P (ξ>-1.96) , P (|ξ|<1.96)解: P (ξ>-1.96)= 1- Φ(-1.96) = 1-(1- Φ(1.96)) = Φ(1.96)= 0.975 (查表得)P (|ξ|<1.96)= 2 Φ(1.96)-1= 2 ⨯0.975-1= 0.95例2.5.2 设 ξ ~ N (0, 1), P (ξ ≤ b ) = 0.9515, P (ξ ≤ a ) = 0.04947, 求 a , b . 解: Φ(b ) = 0.9515 >1/2,所以 b > 0,反查表得: Φ(1.66) = 0.9515,故 b = 1.66而 Φ(a ) = 0.0495 < 1/2,所以 a < 0,Φ(-a ) = 0.9505, 反查表得:Φ(1.65) = 0.9505,故 a = - 1.65一般正态分布的标准化 结论1 设 ξ ~ N (μ, σ 2), 结论2:若 ξ ~ N (μ, σ 2), 则 若 ξ ~ N (μ, σ2), 则P (ξ<a ) = ， P (ξ>a ) = 例2.5.3 设ξ ~ N (10, 4), 求 P (10<ξ<13), P (|ξ-10|<2).解: P (10<ξ<13) = Φ(1.5)Φ-(0) = 0.9332 - 0.5= 0.4332P (|ξ -10|<2) = P (8<ξ<12)= 2Φ(1)-1= 0.6826例2.5.4 设 ξ ~ N (μ, σ 2), P (ξ ≤ -5) = 0.045,P (ξ ≤ 3) = 0.618, 求 μ 及 σ.解:μ = 1.76σμξη-=()x F x μσ-=Φ⎛⎫ ⎪⎝⎭a μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭1a μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭5 1.6930.3μσμσ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩σ =4课堂练习(1)已知ξ~ N(3, 22), 且P{ξ>k} = P{ξ≤k}, 则k = ( ).课堂练习(2)设ξ~ N(μ, 42), η~ N(μ, 52), 记p1 = P{ξ≤μ-4}，p2 = P{η≥μ +5}, 则( )①对任意的μ，都有p1 = p2②对任意的μ，都有p1 < p2③只个别的μ，才有p1 = p2④对任意的μ，都有p1 > p2课堂练习(3)设ξ~ N(μ , σ2), 则随σ的增大，概率P{| ξ-μ | <σ} ( )①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定▪例假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在1%以下，设男子的身高ξ(cm)服从正态分布，ξ~ N (170,36)，问车门高度至少应为多高?实际背景：如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布．在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。

概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。

现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。

（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。

P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。

08，P（B｜ A2）＝0。

09，P（B｜ A3)＝0。

12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。

若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。

概率论与数理统计 典型例题及其分析第三章 多维随机变量及其分布Y ⑴ 求,a b 应满足的条件； ⑵ 若X 与Y 相互独立 ，求 a,b 的值. 【思路】 先利用联合分布律的性质1ijijp=∑∑确定a,b 应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a 与b. 【解】⑴ 因为1ij ijp =∑∑，所以11111,84248b a +++++= 因此 11.24a b += ⑵ 由于 X 与Y 相互独立，即对所有,i j x y 有 ()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 于是 ()()()112,121,46a P X Y P X Y a a ⎛⎫⎛⎫=======++⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 112a =或1.2a =同理 ()()()131,212,88b P X Y P X Y B b ⎛⎫⎛⎫=======++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 18b =或3.8b = 再由11.24a b +=知 13,128a b == 【解毕】 【技巧】 由于X 与Y 的独立性，故对所有的,i j x y 应有()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如()13,1,24P X Y ===而()()1131,66P X Y a ⎛⎫===∙+ ⎪⎝⎭可求得1;12a =又()13,2,8P X Y ===而18求得3.8b =这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握. 例3.2.2 （1999年考研题）设随机变量X 与Y 相互独立 ，下表列出了二维随机变量(),X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：- 62 -j【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从11,86p +=求得11,24p =再利用独立性知1111.6p p =⨯从而知11,4p =等等. 【解】 利用;i ij jij jip p pp ==∑∑以及 1i jijp p==∑∑ 与独立性 ij i j p p p =. 求解空格内的数值，故11111111111,,68246p p p p p =-===⨯即11,4p =又由121,p p +=可得2131.44p =-= 反复运用上列公式，可求得 1322232313111,,,,.128423p p p p p ===== j例3.2.3 （1999年考研题）已知随机变量1X 和2X 的概率分布分别为 1x -1 0 1 2x 0 1 与 P111 424 P 1122， 而且()120 1.P X X ==求1X 和2X 的联合分布；问： ⑴ 1X 和2X 是否独立？ ⑵ 为什么？ 【思路】 已知1X 和2X 的边缘分布，一般是不能确定1X 和2X 的联合分布的，但题中给了一附加条件()120 1.P X X ==因此就要从条件入手加以分析，再利用边缘分布与联合分布的关系，就可求解此题了.独立性的判断是比较简单的.【解】⑴ 由()120 1.P X X ==知()1200,P X X ≠=即()()12121,11,10.P X X P X X =-===== 于是1X 和2X 的联合分布有如下结构：1j p 从而利用边缘分布律与联合分布律的关系知()()()1121211,01,1,P X P X X P X X =-==-=+==即 1110,4p +=从而得111.4p = 同理可知31222111,,0.p p p ===故1X 和2X 的联合分布律为1j p ⑵ 由以上结果知 ()120,00,P X X === 而 ()()12111000.224P X P X ===⨯=≠ 可见，1X 与2X 不独立. 【技巧】先.将边缘分布的数据以及由条件()1201P X X ==中对应数据填入表中，得到联合分布律表的基本结构，再来求其余ij p 的值，是对解离散型随机向量的基本技巧.按独立性的要求，可以检验1X 与2X 是否独立，特别对不独立的说明只需找出一对(),i j x y ，使ij i j p p p ≠即可.例3.2.4 将两封信投入3个编号为1，2，3的信箱，用,X Y 分别表示投入第1，2号信箱的信的数目，求(),X Y 的边缘分布律，并判断X 与Y 是否独立.【思路】 首先确定(),X Y 的所有可能取值，并用古典概型求出取相应值的概率，即可得到(),X Y 的联合分布律，剩下的问题也就迎刃而解了.【解】 将2封信投到3个信箱的总投法239,n ==而X 和Y 的可能取值均为0，1，2，于是- 64 -()0,0P X Y P ===（两封信都投入第3号信箱）=1;9()1,0P X Y P ===（两封信中一封投入第1号信箱，另一封投入第3号信箱）11212.99C C == 同理可得：()()220,1;1,1;99P X Y P X Y ====== ()()()1,22,12,20.P X Y P X Y P X Y ========= 这样，可得(),X Y 的联合分布律，又由于()()()()22,,0,1,2,,,0,1,2.i i P X k P X k Y i k P X k P X i Y k k ============∑∑故所求的分布律为X 的边缘分布律在表中的最后一列，Y 的边缘分布律在表中的最后一行. 由于()10,09P X Y ===，而()()44100,999P X P Y ===⨯≠故X 与Y 不独立. 【解毕】 【技巧】 二维离散型随机变量的联合分布律，在实际问题中可用事件的乘机（交）的概率求得，此时概率的乘法公式是十分常用的计算技巧. 例3.2.5 设(),X Y 服从区域(){}2,:01D x y y x =≤≤-上的均匀分布，⑴ 写出(),X Y 的联合密度函数；⑵ 求X 和Y 的边缘密度函数； ⑶ 求概率()2P Y X ≥.【思路】 先画出区域D 的图形，再按上面的解法来求解. 【解】 （1）由于区域D 是由曲线21y x =-和0y =所围成的（如图3.2.1所示），其面积为()12141.3D x dx -=-=⎰ 所以(),X Y 的联合密度为()23,01,40, y xf x y ⎧≤≤-⎪=⎨⎪⎩其他图3.2.1⑵ X 的边缘密度函数为()()()()2120331,11,11,440, 0, x X x x dy x f x f x y dy -+∞-∞⎧⎧⎪--<<⎪-<<===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他其他 而Y 的边缘密度函数为()()3,011,40, 0, Y dx y y f y f x y dy +∞-∞⎧<<⎪<<===⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他其他 ⑶ 记(){}2,:G x y y x =≥，则G D ⋂为图3.2.2阴影部分，从而()()()()2221,,33 .442Gx G Dx P Y X P X Y G f x y dxdydxdy dxdy -⋂≥=∈====⎰⎰⎰⎰⎰【寓意】 本题要求熟悉二维均匀分布和计算边缘密度及概率的基本方法，求这些问题的技巧读者应牢牢掌握，最关键的问题是激发呢区间和积分区域的确定. 图 3.2.2例3.2.6 设二维随机变量(),X Y 的概率密度为 (), 0,,0, Ay Ae x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他⑴ 确定常数A ；⑵ 求随机变量X 的密度()X f x ；⑶ 求概率()1P X Y +≤. (后二问为1992年考研题) 【解】⑴ 记D 为(),f x y 的零区域，即 (){},:0D x y x y =<< 其图形如图3.2.3所示.由联合密度的性质得(),1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，从而有()01, .AyAyDxI f x y dxdy Aedxdy dx Ae dy A+∞+∞+∞+∞---∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 因此，A=1. ⑵ X 的边缘密度为 ()(), 0, 0,0, 00, 0yx X x e d yx e x f x f x y dy x x +∞-+∞--∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰⑶ 设(){},:1G x y x y =+≤，则D G ⋂如图3.2.4所示.故()()1112121, 12.xyyGD GxP X Y f x y dxdy edxdy dx e dy e e -----⋂+≤====+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰- 66 -图 3.2.3 图3.2.4【技巧】 在利用(),1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰确定(),f x y 中的常数时，若(),0f x y ≠的区域为D ，则只需用(),1Df x y dxdy =⎰⎰就可以了.例3.3.1 设(),X Y 的联合分布律为求：⑴ 常数a; ⑵ 联合分布函数在点31,22⎛⎫⎪⎝⎭处的值31,;22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ⑶ ()1|0.P X y ==【解】⑴ 由联合分布律的性质1ij ijp =∑∑知 1111,446ij ijp a ==+++∑∑ 求得1.3a =⑵(),X Y 的联合分布函数(),F x y 在点31,22⎛⎫⎪⎝⎭处的值 ()()3131111,,1,11,0.2222442F p X Y P X Y P X Y ⎛⎫⎛⎫=≤≤===-+===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑶ ()()()11,0341|0.110743P X Y P X Y P X ========+ 【解毕】 【技巧】 求联合分布函数(),F x y 时，只需把取值满足,i j x x y y ≤≤的点(),i j x y 的概率ij p 找出来，然后求和就可以了，值得注意的是不要有遗漏.而求条件分布律时的关键是将其边缘分布求出即可，而边缘分布律的求法在前节已反复强调过多次.例3.3.2 已知随机变量X 和Y 联合概率密度为 ()4, 01,01,,0, xy x y f x y ≤<≤<⎧=⎨⎩其他求⑴ 条件密度()||X Y f x y 及()||;Y X f y x ⑵ X 和Y 的联合分布函数(),F x y .(第二问为1995年考研题) 【思路】 根据条件密度的定义，我们首先要求出X 与Y 的边缘密度，然后再来求条件密度.而联合分布函数的求法是一个较为繁琐的工作，需要分区域讨论，这些区域不能遗漏. 【解】⑴ 由于X 的边缘密度为 ()()104, 012, 01 ,0, 0, X x y d yx x x f x f x y dy +∞-∞⎧≤<≤<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他.其他同理，有 ()()2, 01,,0, Y y y f y f x y dx +∞-∞≤<⎧==⎨⎩⎰其他故当01y <<时，()Y f y >0，且 ()()()|4, 01,,2|0, X Y Y xyx f x y yf x y f y ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其他从而，在{}Y y =条件下，X 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, X Y x x y f x y ≤<<<⎧=⎨⎩其他同样可得，在{}X x =条件下，Y 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, Y X y y x f y x ≤<<<⎧=⎨⎩其他⑵ 对联合分布函数()(),,F x y P X x Y y =≤≤要分区域讨论.对于0x <或0y <，有 ()(),,0;F x y P X x Y y =≤≤= 对于01,01,x y ≤<≤<有 ()2200,4;yx F x y uvdudv xy ==⎰⎰对于1,1x y ≥≥，有 (),1;F x y = 对于1,01,x y ≥≤<有 ()()2,1,;F x y P XY y y =≤≤= 对于1,01,y x ≥≤<有 ()()2,,1;F x y P X x Y x =≤≤= 从而，X 和Y 的联合分布函数为 ()22220, 00,01,01,,, 01,1,, 1,01,1, 1,1x y x y x y F x y x x y y x y x y<<⎧⎪≤<≤<⎪⎪=≤<≤⎨⎪≤≤<⎪≤≤⎪⎩或【技巧】 由于本题中，X 与Y 的地位完全平等，因此，在求条件密度时，只需求出一个，另一个用对- 68 -称性即可得到，此对称性在(),F x y 中也有很好的体现，对称性的利用也经常是我们解决数学问题的一种技巧，另外，在求(),X Y 的分布函数时，一定要牢牢记住它的定义：()(),,.F x y P X x Y y =≤≤对一切,x y 都要讨论，它是一个分区域函数，不同值的定义范围一定要证明. 例3.4.1 设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为 ()()2,01,0,,0, ky x x y x f x y ⎧-≤≤≤≤=⎨⎩其他试求常数k ,并问X 与Y 是否相互独立？【思路】 常数k 的确定仍是利用联合密度的性质，而独立性质的判断只须验证是否成立()()(),,X Y f x y f x f y =为此，首先要求出X 与Y 的边缘密度()X f x 与()Y f y .【解】 由联合密度的性质知()()()1010151,22,24xx y f x y dxdy ky x dxdy k dx x ydy k +∞+∞-∞-∞≤≤≤≤==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以，24.5k =(),X Y 关于X 的边缘密度为()()()()2024122, 012, 0 1,550, 0, x X x ydy x x x x f x f x y dy +∞-∞⎧⎧-≤≤-≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他.其他而(),X Y 关于Y 的边缘密度为()()()()122412, 01,34,01,52,50, 0, Y y ydx y y y y y x f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤<-+≤≤⎪⎪-===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他其他 很明显，当01,0,x y x <<<<时，有 ()()(),,X Y f x y f x f y ≠ 所以X 与Y 不互相独立. 【注】本例中，(),X Y 的联合密度(),0f x y ≠的区域是三角形区域(){},:01,0D x y x y x =≤≤≤≤.虽然(),f x y 在D 上可表达成分离变量形状 ()()()12,f x y kg x g y =，这里，()12,g x x =-()2.g y y =但需要注意的是，只有当D 为矩形区域(){},:,D x y a x b c y d =≤≤≤≤（包括全平面、半平面等）时，()()()12,f x y kg x g y =才是使X 与Y 相互独立的充要条件.从而本题中X 与Y 不是相互独立的.如果(),X Y 的联合密度改为()()~~2,01,01,,0, k y x x y f x y ⎧⎪-≤≤≤≤=⎨⎪⎩其他则此时，X 与Y 必相互独立.例3.4.2 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从区间()0,1上的均匀分布，Y 服从参数12λ=的指数分布，求a 的二次方程220a Xa Y ++=有实根的概率.【思路】 方程220a Xa Y ++=有实根当且仅当2440,X Y ∆=-≥故本题是求概率()2P X Y ≥,而要计算此概率必须知道X 与Y 的联合密度，因此 首先必须根据题中独立性的假定求出(),.f x y【解】 有题设知，X 与Y 的概率密度分别为 ()1 010, X x f x <<⎧=⎨⎩，其他. 和 () 00, y 0Y x f y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩y-21e 2.由于,X Y 相互独立，故X 与Y 的联合密度为 ()()(), 01,0,0, X Y x y f x y f x f y ⎧<<>⎪==⎨⎪⎩y-21e 2其他又因为方程220a Xa Y ++=有实数当且仅当2440,X Y ∆=-≥故所求概率为()()()()2221120000101, 1 1110.x x yx y x y P X Y f x y dxdy dxdy dx dy dx dx ≥≥<<>⎛⎫≥====- ⎪ ⎪⎝⎭=-=Φ-Φ⎤⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22y y x ---222x -211e e e 22e而()()10,10.8432Φ=Φ=（查正态分布表），故方程220a Xa Y ++=有实根的概率为0.1448. 【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，要求读者熟悉均匀分布，指数分布的定义，掌握独立性和概率计算的基本方法，知道怎么利用独立性构造联合分布.同时，要求大家在计算形如2-Ax e的积分时，如何应用正态分布的性质和特征，这种计算技巧，在概率论、微积分中是常用的.例3.4.3 一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为 ()()0.50.50.51,0,0,,0, x y x y e e e x y F x y -+--⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩其他⑴ 问X 和Y 是否独立； ⑵ 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.α【解】 （方法1）直接利用分布函数计算. ⑴ X 与Y 的边缘分布函数分别为()()0.51, 0,,0, 0.x X e x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩ 与 ()()0.51, y 0,,0,y 0.y Y e F y F y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩ 故有 ()()(),, ,,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞ 从而，X 与Y 相互独立. ⑵ 由于X 与Y 相互独立，故- 70 -()()()()()()()0.050.050.10.1,0.10.10.110.110.1 10.110.1 .x y P X Y P X P Y P X P Y F F eeeα---=>>=>>=-≤-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=--==⎡⎤⎣⎦⎣⎦（方法2）利用概率密度进行计算.⑴ 以(),f x y ，()(),X Y f x f y 分别表示(),,,X Y X Y ，的概率密度，则()()()0.5,0.25, 0,0,,0, x y F x y e x y f x y x y -+⎧∂≥≥⎪==⎨∂∂⎪⎩其他. ()()0.50.5,0,,0, x X e x f x f x y dy +∞--∞⎧≥==⎨⎩⎰其他. ()()0.50.5,0,,0, y Y e y f y f x y dx +∞--∞⎧≥==⎨⎩⎰其他. 由()()(),, (,)X Y f x y f x f y x y =-∞<<+∞知X 与Y 独立. ⑵()()0.50.10.10.10.1,0.10.25.x y P X Y dy edx e α+∞+∞-+-=>>==⎰⎰ 【解毕】【技巧】 用分布函数和概率密度均可以判定随机变量的独立性，具体应用哪种方法要依题而定.一般较为常用的是概率密度的方法，但本题中用前一方法反而简单些.在本题的计算时，读者要注意X 与Y 的对称性，不必重复计算，另外，利用分布函数(),F x y 的性质也可以直接计算出α，即()()()()()0.10.1,0.1,0.1,,0.10.1,0.1.P X Y F F F F e α-=>>=+∞+∞-+∞-+∞+=例3.5.1 设二维随机变量的联合分布律为求：（1）1;Z X Y =+（2）2Z X Y =（3）3;Z Y=（4）()4max ,Z X Y =的分布律 【思路 】 思路与一维离散型随机变量的函数的分布律的计算类似，注意上面介绍的技巧.【解】 我们将(),i j x y 的取值与取这些值的概率以及要计算的所有随机变量的函数()1,2,3,4k Z k =的Y X Y从而得到：（1）1Z X Y =+的分布律为（2）2Z X Y =的分布律为 Y（3）3XZ=的分布律为（4）()4,Z max X Y =分布律为【注】（1）二维离散型随机变量的函数的分布律的计算是有一定的方法可循的，读者在利用上述方法计算时要搞清楚它的背景.在求XY的分布律时，注意要求()00.P Y =≠ （2）如果已知X 与Y 独立，且X 与Y 的分布律给定时，求(),Z g X Y =的分布律的方法是：首先利用独立性构造出X 与Y 的联合分布律表，然后再按本题类似的技巧处理. 例3.5.2 (1987年考研题)设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为()1,01,0, X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他.和 (), 0,0, y 0y Y e y f y -⎧>=⎨≤⎩. 求随机变量2Z X Y =+的概率密度函数. 【思路】 这是计算两个独立随机变量和的概率密度的典型题，可有两种解法，一是通过2Z X Y =+的分布函数来求解.另一是利用卷积公式来计算. 【解】 （方法1）分布函数法.因为,X Y 相互独立，所以(),X Y 的联合概率密度函数为()()(), 01,0,,0, y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他.故2Z X Y =+的分布函数为 ()()()22,.Z X Y ZF z P X Y Z f x y dxdy +≤=+≤=⎰⎰记(),0f x y ≠的区域为(){},:01,0D x y x y =≤≤>，积分区域为(){},:2,G x y X Y Z =+≤于是().y Z D GF z e dxdy -⋂=⎰⎰为此，考虑区域D G ⋂的情形.① 当0z ≤时，D G ⋂≠∅（见图3.5.1），于是，()0.Z F z = ② 当02z <≤时，D G ⋂为图3.5.2中的阴影部分，于是()()()22220111.2z xyyx z z Z D GF z e dxdy dxe dy e dx z e ππ-----⋂===-=-+⎰⎰⎰⎰⎰图3.5.1 图3.5.2当2z >时，D G ⋂为图3.5.3中的阴影部分，于是()()1220111.2z xyy z Z D GF z e dxdy dxe dy e e ----⋂===--⎰⎰⎰⎰所以，随机变量2Z X Y =+的概率密度为 ()()()()'20, 0,11, 02,211, 2.2z z z zz f z F z e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩（方法2）卷积公式法.若记2W X =，为求W 的密度函数，我们先考虑W 的分布函数()()()()2220, 0,, 02,21, 2.W wXw F w P WwP Xw P X w w f x d x w w-∞⎛⎫=≤=≤=≤⎪⎝⎭≤⎧⎪⎪==<≤⎨⎪>⎪⎩⎰故W 的概率密度为()1, 02,20, W w f w ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩其他.图3.5.3因为,X Y 相互独立，所以W 与Y 也相互独立，从而2Z X Y W Y =+=+的概率密度可按卷积公式计算，即 ()()()z W Y f z f wf z wd w+∞-∞=-⎰为使被积函数非零，则必须满足条件 02,0,w z w <≤⎧⎨->⎩ 即 02,.w w z <≤⎧⎨<⎩ 从而，分情况讨论：① 若0,z ≤则{}{}02,w w z <≤⋂<=∅于是 ()0;z f z = ② 若02,z <≤则 {}{}{}020,w w z w z <≤⋂<=<<故 ()()()0111;22zz w zz f z e dw e ---==-⎰ ③ 若2z >，则{}{}{}020,w w z w z <≤⋂<=<<故 ()()()220111.22z w z z f z e dw e e ---==-⎰ 综上知 ()()()20, 0,11, 02,211, 2.2z z zz f z e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩【技巧】 这类问题的求解，主要工作量是求分段函数的积分和积分上、下限的确定，希望读者仔细体会此题求解的方法，得到举一反三的效果.第一种分布函数的方法是通常的方法，第二种卷积公式法仅适用随机变量和的情形.其实，对两随机变量和的线性组合，我们也有如下推广的卷积公式：设(),X Y 的联合概率密度为(),f x y ，则()0,0Z aX bY a b =+≠≠的概率密度为()11,,.z z ax z by f z fx dx f y dy b b a a +∞+∞-∞-∞--⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰不妨用此公式去验证一下本题的结论. 例3.5.3 设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为 ()(), 0,0,,0, x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他求Z X Y =-的概率密度. 【思路】 用分布函数法.【解】 显然，当0z ≤时，有 ()()()0;z F z P Z z P X Y z =≤=-≤= 当0z >时，有 ()()()()()00,.x y z x y zx y zy F z P Z z P X Y z f x y dxdy e dxdy -+-≤-≤>>=≤=-≤==⎰⎰⎰⎰此积分的积分区域如图3.5.4所示.因此，化此重积分为累次积分，得()()()()03331112221.z x zx zx y x y z zx zz z z z z F z dxedy dxedye e e e e ++∞+-+-+------=+⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰所以有 ()1, 00, 0.z Z e z F z z -⎧->=⎨≤⎩从而Z X Y =-的概率密度为()(), 0,0, 0.z Z Z e z df z F z dz z -⎧>==⎨≤⎩ 图3.5.4 【寓意】 本题考查的是给定(),X Y 联合概率密度的条件下，求X 和Y 的函数的分布函数，关键是对二重积分确定其积分区域.例3.5.4 设二维随机变量(),X Y 服从取区域(){},:0,0D x y x a y a =<<<<上的均匀分布，试求：（1）XZ Y=的概率密度；（2）()max ,M X Y =的概率密度. 【思路】 利用分布函数法来处理，先分别求出Z 和M 的分布函数，然后再求导.【解】 （1）由于(),X Y 的概率密度为 ()21, 0,0,,0, x a y a f x y a ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他故当0z <时，()0.Z X F z P Z Y ⎛⎫=≤=⎪⎝⎭而当01z <<时，有()()201,.2zya Z xz yX z F z P z f x y dxdy dy dx Y a ≤⎛⎫=≤=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰当1z ≥时，有 ()()2011,1.2a aZ xx z yzX F z P z f x y dxdy dx dy Y a z≤⎛⎫=≤===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰从而XZ Y =的概率密度为 ()()20, 0,1, 0<z<1,21, 1.2Z Z z d f z F z dz z z<⎧⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎩（2）由于 ()21, 0,0,,0, x a y a f x y a ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他故 ()()1, 0,,0, X x a f x f x y dy a+∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他. ()()1, 0,,0, Y y a f y f x y dx a +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他.从而，X 与Y 相互独立，且均服从()0,a 上的均匀分布，故对()max ,M X Y =的分布函数有()()()()()()()()()22max ,,, 0,0, M X Y F z P M z P X Y z P X z Y z P X z P Y z z z a F z F z a =≤=≤=≤≤=≤≤⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他,.由此得()max ,M X Y =的概率密度为 ()()22, 0<z<a,0, .M M zd f z F z adz ⎧⎪==⎨⎪⎩其他 【注】 此题时考查对随机变量的商及极值函数的分布的计算，其中的关键仍然时积分区域的确定.当然，商运算等也已有现成的公式，我们在此一并介绍给读者.若(),X Y 的联合密度为(),f x y ，则有()()()()()()(),; ,;11,; ,.X Y X YXY X Y f z f x z x dx f z f x x z dx z f z f x dx f z f zy y dy x x y +∞+∞+--∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰综例3.6.1 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，从10件产品中不放回地抽取3件，用X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数.求：（1）(),X Y 的联合分布律；（2）,X Y 的边缘分布律；（3）X 和Y 是否独立； （4）在 0X =的条件下，Y 的条件分布律.【解】 ⑴ 依题设知X 只能取0，1，2，Y 只能取0，1，2，3.显然，当2i j +<或3i j +>时，有 (),0.P X i Y j ===当23i j ≤+≤时，由古典概率知 ()()3271310,0,1,2,0,1,2,3.i j i j C C C P X i Y j i j C --===== 将这些一一计算并列表后，即得(),X Y 的分布律的具体表示. ⑵ ,X Y 的边缘分布律也列于分布律表中，具体形式如下：⑶ 而()()000,120P X P Y ===≠因此，X 与Y 不相互独立. ⑷ 在0X =的条件下，Y 的条件概率为 ()()()0,|0,0,1,2,3.0P X Y j P Y j X j P X =======因此Y 的条件分布律如下：【寓意】本例时二维离散型随机变量的综合题，首先要求读者了解如何用古典概型来求解相关的概率，进而考查联合分布律与边缘分布律的关系及独立性的判别，条件分布律的计算只需知道条件概率的定义便可给出.综例 3.6.2 设12,34,,ξξξξ独立同分布，且 ()()00.6,10.4,1,2,3,4.i i P P i ξξ=====（第一问为1994年考研题）求：（1）行列式1234ξξξξξ=的概率分布；（2）方程组112231420,0x x x x ξξξξ+=⎧⎨+=⎩ 只有零解的概率.【思路】 要求行列式ξ的分布律，先要将ξ的所有可能取值找到，然后利用独立性将取这些值的概率计算出来，而第二问就是求系数行列式0ξ≠的概率. 【解】（1）记114223,,ηξξηξξ==则 142312ξξξξξηη=-=-由于12,34,,ξξξξ相互独立，故12,ηη也相互独立，且12,ηη都只能取0，1两个值,而()()()()()122323111,1110.16,P P P P P ηηξξξξ==========()()120010.160.84.P P ηη====-= 随机变量12ξηη=-有3个可能取值-1，0，1，易见()()()()121210,1010.840.160.1344,P P P P ξηηηη=-=======⨯= ()()()()121211,0100.160.840.1344,P P P P ξηηηη========⨯= ()()()01110.7312.P P P ξξξ==-=--== 于是行列式ξ的概率分布为（2）由于齐次方程 112231420,0.x x x xξξξξ+=⎧⎨+=⎩ 只有零解的充要条件是系数行列式不为0，故此题就简化为求概率 ()()01010.73120.2688.P P ξξ≠=-==-=【技巧】 本题实质上是求多维离散型随机变量的函数分布的问题，通过引入变量12,ηη将其化为二维随机变量函数分布问题，问题的解决最关键的是用到了独立性的性质：若随机变量12,,,n ξξξ相互独立，则()112,,,m g ξξξ与()212,,,m m n g ξξξ++也相互独立.综例3.6.3 设随机变量(),X Y 服从(){}22,:0,1D x y y xy =≥+≤上的均匀分布，定义随机变量,U V如下：0, 0,1, 0,2, .X U X Y X Y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩0, 3,1, 3.XV X⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 求(),U V 的联合概率分布，并计算()0.P UV ≠【思路】 写出(),U V 的所有可能取值，并利用均匀分布的特征计算其取值的概率.【解】 由题设知，(),X Y 的联合密度函数为 ()()()2, ,,,0, ,.x y D f x y x y D π⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩(),U V 有6个可能取值：()()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,2,0和()2,1.由,U V 的定义知()()()()()()()()000,0,1,0,1,10,021, .4AOC BCE x yx yP U V P P U V P P U V P X Y X P X Y S f x y dxdy dxdy S π≤<≤<===∅===∅===≤<<=≤<====⎰⎰⎰⎰扇其中，AOC S 扇和BCE S 分别表示图3.6.1中扇形AOC 与半圆BCE 的面积.同理有()()()()()()()()()10,10,0 ,212,0, ,612,1,.12BCE BCE AOF BCE S P U V P X X P X S S P U V P Y X X P X S S P U V P Y X X P Y X S ===<<=<=====≤≥=≥=====≤≥=≤<==扇COE 扇BOF 扇所以，(),U V 的联合概率分布为图 3.6.1从而 ()()()01,12,1.4123P UV P U V P U V ≠===+===+= 【技巧】 本题是求连续型随机变量的离散值函数的分布问题，解题过程中巧妙地应用了均匀分布的性质从而简化了计算.综例3.6.4 设随机变量(),X Y 的联合概率密度为 (), 0,,0, .y cxe x y f x y -⎧<<<+∞=⎨⎩其他⑴ 求常数c; ⑵ X 与Y 是否独立？为什么？ ⑶ 求()()|||,|X Y Y X f x y f y x ； ⑷ 求()()1|2,1|2;P X Y P X Y <<<= ⑸ 求(),X Y 的联合分布函数； ⑹ 求Z X Y =+的密度函数； ⑺ 求()1P X Y +<; ⑻ 求()()min ,1P X Y <.【解】 （1）根据(),1,f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得 ()20013.22y yy ccdy cxe dy y e dy c +∞+∞--===Γ=⎰⎰⎰这里利用了特殊函数()10x x e dx αα+∞--Γ=⎰的性质：()()1,αααΓ+=Γ故 1.c =（2）先分别计算X 和Y 的边缘密度.()(),0, 0,,0, 0.0,0yxX x xe dy x xe x f x f x y dy x x +∞-+∞--∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰()()21, 0, y 0,,20, y 0.0, 0y y yY xxe dx y y e f y f x y dx y -+∞--∞⎧⎧>>⎪⎪===⎨⎨⎪⎪≤⎩≤⎩⎰⎰由于在0x y <<<+∞上，()()(),X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 不独立. （3）由条件分布密度的定义知()()()2|2,0,,|0, .X Y Y xx y f x y yf x y f y ⎧<<<+∞⎪==⎨⎪⎩其他 ()()()|,,0,|0,.x y Y X X f x y e x y f y x f x -⎧<<<+∞==⎨⎩其他 （4）直接由条件概率定义知()()()()()1212120222201,121,221|2.21512yxy Y dx xe dyf x y dxdy e e P X Y P X Y P Y ef y dyy e dy ----∞-∞---∞--<<<<====<-⎰⎰⎰⎰⎰⎰又由条件密度的性质知 ()()1|1|2|2X Y P X Y f x dx -∞<==⎰而 ()|,02,|220, .X Y xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 ()111|2.24x P X Y dx <===⎰（5）由于()(),,,F x y P X x Y y =≤≤故有： 当0x <或0y <时，(),0.F x y = 当0y x ≤<<+∞时，有()()2200011,,11.22y yv vv y F x y P X x Y y dv ue du v e dv y y e ---⎛⎫=≤≤===-++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰当0x y ≤<<+∞时，有()()()()2001,,11.2y x xvu y x y u F x y P X x Y y dv ue dv u e e du x e x e -----=≤≤==-=-+-⎰⎰⎰综上知 ()()220, 00,1,11, 0,2111, 02yx y x y F x y y y e y x x e x e x y ---⎧⎪<<⎪⎪⎛⎫=-++≤<<+∞⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≤<<+∞⎪⎩或 （6）根据两个随机变量和的密度公式 ()(),,z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰ 由于要被积函数(),f x z x -非零，只要当0x z x <<-，即02zx <<时，从而有： 当0z <时， ()0;z f z =当0z ≥时， ()()22201;2zz x zxzz z f z xedx e xe dx e e ππ-----⎛⎫===+- ⎪⎝⎭⎰⎰因此， ()21, 0,20, 0.zz z z e e z f z z --⎧⎛⎫+-≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩（7）由于已经求出了Z X Y =+的密度，故()()1111220111.2z z z z P X Y f z dz e e dz e e -----∞⎡⎤⎛⎫+<==+-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰（8）()()()()()2111min ,11min ,111,115 11 1.22v vvP X Y P X Y P X Y dv ue du v e dv e +∞+∞---<=-≥=-≥≥=-=-=-⎰⎰⎰【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，几乎涵盖了其中的主要内容.在常数确定c 时，应用了Γ函数的定义和性质，当然，读者也可以直接用分部积分法计算.概率()1|2P X Y <=的求法，要利用条件密度()||2X Y f x 进行计算，其计算过程同一般的一维密度的计算方法.()1P X Y +<的计算，我们利用了第(6)问的结论，在不需要求X Y +密度的情形下，只要直接计算就可以了，即 ()111212011.xyxP X Y dxxe dy ee ----+<==--⎰⎰综例3.6.5 设[]~0,1,X U 且在{}X x =的条件下，[]~0,,0 1.Y U X x ≤≤求（1）()221|,01;P X Y X x x +≤=≤≤ （2）()221.P X Y +≤【思路】第一问等价于求(),P Y x ≤=故只需利用条件密度()||Y X f y x 来计算，而第二问的计算，首先要知道(),X Y 的联合分布密度(),f x y . 【解】 由题设知，X 的密度函数为 ()1, 01,0, X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他.而在{}X x =条件下，Y 的条件密度为()|1, 01,|0, .Y Xy x f y x x⎧≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 从而(),X Y 的联合密度函数为： ()()()|1, 01,,|0, X Y X y x f x y f x f y x x⎧≤≤≤⎪==⎨⎪⎩其他① 对01x ≤≤，有()()()22221|1|P X Y X x P Y x X x P Y X x +≤==≤-==≤=()((|11|min min .Y X y y f y x dy dx x x x===- 82 -②()()(22221422001101111,ln 1.cos x y x y y x P X Y f x y dxdy dxdy dr rd x r πθθ+≤+≤≤≤≤+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰极坐标变换【注】 本题中的()||Y X f y x 和(),f x y 虽然具有相同的表示式，但其含义却截然不同. ()||Y X f y x 是y 的一元函数，而不是二元函数，x 在此视为常量，这相当于微积分中，当二元函数一个自变量固定时，它只是另一个变量的一元函数.当x 变化时，Y 的条件密度函数也变化. 综例3.6.6 设二维随机变量(),X Y 在矩形 (){},:02,01G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度().f s【解】 由题设知，二维随机变量(),X Y 的概率密度为 ()()()1,,,,20,,.x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩若若设()(),S X Y F s P S s ==≤为S 的分布函数，则：当0s <时，()()0,F s P XY s =≤= 当2s ≥时，()()1,F s P XY s =≤= 当02s ≤<时，曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(),1s （见图3.6.1），于是 ()()(),F s P S s P XY s =≤=≤因而，S XY =的概率密度为 ()()1ln 2ln ,02,20, s s f s ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他.【解毕】【寓意】 本题实质上是求两随机变量的乘积的概率密度.第四章 随机变量的数学特征例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望EX 和方差DX . 【思路】 关键是求出X 的分布律，然后用定义计算EX .【解】 引入事件：{}i=1,2,3.i A i =第个部件需要调整 根据题设，三部件需要调整的概率分别为()()()1230.10,0.20,0.30.P A P A P A ===由题设部件的状态相互独立，于是有()()()()()1231230 0.90.80.70.504.P X P A A A P A P A P A ====⨯⨯=()()12312312310.10.80.70.90.20.70.90.80.3 0.398P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()12312312320.10.20.70.10.80.30.90.20.3 0.092;P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=X从而00.50410.39820.09230.0060.6,i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑22222200.50410.39820.09230.0060.820.i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑故 ()2220.8200.60.46.DX EX EX =-=-=【解毕】【技巧】 本题的关键是引入事件i A ，将X 的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求X 的分布.同时，方差的计算一般均通过公式()22DX EX EX =-来进行.例4.2.2 对目标进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为p ，求射击次数X 的数学期望和方差.【解】 由题意可求得X 的分布律为()1, 1,2,,1.k P X k pq k q p -====-于是 1111.k k k k EX kpqp kq ∞∞--====∑∑为了求级数11k k kq∞-=∑的和，我们利用如下的技巧：由于11, 0<q<1.1k k q q∞==-∑- 84 -对此级数逐项求导，得1001,kk k k k k d dq q kq dq dq ∞∞∞-===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑ 因此()12111,11k k d kq dq q q ∞-=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∑ 从而 ()22111.1EX ppp pq ===- 为了求DX ,我们先求2EX .由于 ()()212121111.k k K k EX k k pqpq k k q p p ∞∞--===-+=-+∑∑ 为了求()221k k k k q∞-=-∑得值，注意到()()123112.11k k d d kq dq dq q q ∞-=⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 从而()2322121.1q EX p qp p pq =+=+- 因此 ()22221.p qDX EX EX p p-=-== 【寓意】 本题实质上是求几何分布的数学期望和方差.本题的主要技巧是利用了级数的逐项求导公式来求期望. 当然同样可用逐项积分方法来求11k k kq∞-=∑和211k k kq ∞-=∑，这种手段在级数求和或数学期望和方差的计算是十分奏效的.还有一点，我们在此说明一下，在本题中，由于X 的取值都是正数，所以只要正项级数1kk k xp ∞=∑收敛，则一定绝对收敛，即1k k k x p ∞=∑的和就为EX .而实际情况中，可能存在级数1k k k x p ∞=∑是条件收敛的，此时，X 的数学期望就不存在（虽然1kk k xp ∞=∑本身仍是收敛的），因此判断离散型随机变量的期望是否存在，要用关于级数绝对收敛的判断方法.例4.2.3 设X 是一随机变量，其概率密度为()1, 10,1, 01,0, x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.求DX .(1995年考研题) 【解】()()()()()()()011011222221110..11211 6EX xf x dx x x dx x x dx EX x f x dx x x dx x x dx x x dx +∞-∞-+∞-∞-==++-===++-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是 ()221.6DX EX EX =-=【解毕】 【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下()f x 的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，()f x 为偶函数，故()0.EX xf x dx +∞-∞==⎰同样DX 的计算也可直接简化.例4.2.4 已知连续型随机变量X 的密度函数为 ()221, -<x<+.xx f x -+-=∞∞求EX 与DX .(1987年考研题) 【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义.【解】 （方法1）直接法.由数学期望与方差的定义知()()()()()()222211111 1.x x x x EX xf x dx xedx edx x e dx e dx +∞+∞+∞+∞-------∞-∞+∞--===+-==⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()22222212111 .2x t t DX E X EX x f x dx x dxt e e dt +∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞=-=-=-==⎰⎰⎰⎰（方法2） 利用正态分布定义.由于期望为μ，方差为2σ()()222.x x μσ---∞<<+∞所以把()f x 变形为- 86 -()()221212x f x π--⨯=易知，()f x 为11,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭的概率密度，因此有 11,.2EX DX ==【解毕】 【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分2kx e dx +∞--∞⎰等.(2)若干计算公式的应用主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例4.2.5 设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求2EX . (1995年考研题) 【解】 由题意知()~10,0.4X B 于是100.44,EX =⨯=()100.410.4 2.4.DX =⨯⨯-=由()22DX EX EX =-可推知()2222.4418.4.EX DX EX =+=+=【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量X 的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么 ()1010221000.410.4kk k K EX k C -==-∑的计算是繁琐的.例4.2.6 设X 服从参数1λ=的指数分布，求()2XE X e -+.（1992年考研题）【解】 由题设知，X 的密度函数为(), 0,0, 0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩且1EX =，又因为()22201,3Xxx xEeef x dx e e dx +∞+∞-----∞===⎰⎰ 从而 ()22141.33XX E X eEX Ee --+=+=+= 【解毕】 【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例4.2.7 设二维随机变量(),X Y 在区域(){},:01,G x y x y x =<<<内服从均匀分布，求随机变量21Z X =+的方差.DZ【解】 由方差的性质得知()214DZ D X DX =+=又由于X 的边缘密度为()()1, 01,0, .2, 010, xX xdy x f x f x y dy x x +∞--∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩<<⎧=⎨⎩⎰⎰其他其他.于是()112200222212, 2,32121.2318EX x xdx EX x xdx DX EX EX ====⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰因此 ， 1244.189DZ DX ==⨯=【解毕】 【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求X 的期望于方差时，可以从X 的边缘密度函数出发，而不必从X 与Y 的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例4.2.8 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1Y 服从标准正态分布，试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.（1989年考研题）【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z- 88 -作为,X Y 的线性组合也服从正态分布.故只需求EZ 和DZ ，则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，()()~1,2,~0,1X N Y N .从而由期望和方差的性质得2235,29.EZ EX EY DZ DX DY =-+==+=又因Z 是,X Y 的线性函数，且,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知()~5,9Z N ，于是，Z 的概率密度为 ()()2529, .z Z f z z --⨯=-∞<<+∞ 【解毕】【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例4.2.9 假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量 0, ,1, .k Y k X Y k ≤⎧=⎨>⎩若若 ()1,2k =（1） 求1X 和2X 的联合概率分布； （2） 求()12E X X +. 【解】 显然，Y 的分布函数为()1, 0,0, 0.y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩10, 11 1.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 20, 21 2.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 （1）()12X X +有四个可能取值：()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,且()()()()()()()()()()()()()()121121212120,01,21 11,0,11,20,1,01,212 21,1,11,22 P X X P Y Y P Y F e P X X P Y Y P X X P Y Y P Y F F e e P X X P Y Y P Y --===≤≤=≤==-===≤>====>≤=<≤=-=-===>>=>()2 12.F e -=-=于是得到1X 和2X 的联合分布律为（3） 显然，12,X X 的分布律分别为1X 0 1 2X 0 1P 11e -- 1e - P 21e -- 2e -因此 1212,.EX e EX e --==故 ()121212.E X X EX EX e e --+=+=+ 【解毕】【技巧】 本题中若不要求求X 与Y 的联合分布律，也可直接求出()12E X X +，这是因为 ()()()1111011.EX P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=而 222,EX PY e -=>= 因此 ()121212.E X X EX EX e e --+=+=+不仅如此，我们还能求12,X X 其他函数的期望.例如求()12E X X ，此时，由于121, 2,0 .Y X X >⎧=⎨⎩若，其他故 ()()()()21212022.E X X P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=例4.2.10 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，其密度函数为()()22121,2x y f x y e π-+= 求随机变量Z .【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算.。

概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。

2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。

2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。

（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。

概率论考研题目及答案解析题目：设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，求 \( X \) 的期望值和方差，并证明 \( X \) 的分布律。

答案解析：首先，我们知道泊松分布的概率质量函数（probability mass function, PMF）为：\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]其中 \( k = 0, 1, 2, \ldots \)。

求期望值：期望值 \( E(X) \) 定义为：\[ E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X = k) \]将泊松分布的 PMF 代入上式，得到：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^j}{j!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \]\[ = \lambda \]求方差：方差 \( Var(X) \) 定义为 \( E(X^2) \) 减去 \( (E(X))^2 \)：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]计算 \( E(X^2) \)：\[ E(X^2) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \cdot P(X = k) \]\[ = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]\[ = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2} k^2}{(k-2)!} \]\[ = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^j j^2}{j!} \]\[ = \lambda^2 \left( 1 + \lambda \right) \]代入 \( E(X) \) 的结果，得到方差：\[ Var(X) = \lambda^2 (1 + \lambda) - \lambda^2 \]\[ = \lambda \]证明泊松分布律：我们已经知道 \( E(X) = \lambda \) 和 \( Var(X) = \lambda \)。